Đề thi học kỳ Đại số tuyến tính năm 2009-2010 pdf

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 20 09 -20 10
Môn học : Đại số tuyến tính .
Th ời gian làm bài: 90 ph út. Đề thi go àm 7 câu.
Sinh viên k hông được sử dụn g tài liệu.
HÌNH THỨC T HI: TỰ L UẬN
CA 1
Câu 1 : C ho ma tr ận A =



7 4 1 6
2 5 8
−2 −2 −5



. Tín h A
2010
, b iết A có hai trò r iêng là 1 và 3 .
Câu 2 : T ìm chie àu và m ột cơ s ở TR ỰC CHUẨN của k hông g ian ng hiệm của h ệ ph ương trìn h









x
1

+ x
2
− x
3
− 2 x
4
= 0
2 x
1
+ x
2
− 3 x
3
− 5 x
4
= 0
3 x
1
+ x
2
− 5 x
3
− 8 x
4
= 0
5 x
1
+ 3 x
2
− 7 x

3
− 1 2 x
4
= 0
Câu 3 : C ho ánh xạ tuy ến tính f : IR
3
−→ IR
3
, b iết ma trận của f tr ong cơ s ở chính tắc là
A =



2 1 −1
1 3 4
−1 1 0



. Tìm m a trận cu ûa f tron g cơ sở E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ;( 1 , 1 , 1 ) }.
Câu 4 : C ho ánh xạ tuy ến tính f : IR
3
−→ IR
3
, b iết ma trận của f tr ong cơ s ở
E = {( 0 , 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } l à A =



2 1 −1

3 2 4
4 3 9



. Tìm cơ sơ û và số ch iều của ker f.
Câu 5 : C hoA là ma trận vuôn g tùy ý, thự c, cấp n, tho ả A
10
= 0 . Ch ứng tỏ rằn g A chéo h oá được kh i
và ch ỉ khi A là ma tr ận kh ông.
Câu 6 : T ìm m để ma tr ận A =



1 −2 3
−2 5 1
3 1 m



có ba trò r iêng dươn g (c ó thể trùn g n hau).
Câu 7 : T rong hệ trụ c toạ độ Oxy ch o đư ờng co ng ( C) có ph ương tr ình 5 x
2
+2 xy+5 y
2
−2
√
2 x+4
√
2 y = 0 .

Nhận dạn g và ve õ đường cong ( C) .
Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 1
Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm.
Câu 1(1 .5đ) . C héo hóa ma trận ( 1 đ) A = P DP
−1
; P =



−2 −1 −4
−1 1 0
1 0 1



. D =



1 0 0
0 3 0
0 0 3



.
A
2010
= P D
2010

P
−1
, tín h ra được P
−1
=



1 1 4
1 2 4
−1 −1 −3



; D
2010
=



1 0 0
0 3
2010
0
0 0 3
2010



.

Câu 2 (1 .5đ) . T ìm một cơ s ở tùy ý của kh ông gian n gh iệm: E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) }
Dùn g quá trìn h Gram- Schm idt đưa về cơ s ở trực g iao: E
1
= {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 ) }
Ch uẩn ho ùa, có cơ sở tr ực chuẩn: E
2
= {
1
√
6
( 2 , −1 , 1 , 0 ) ,
1
√
67
( 4 , 1 , −7 , 1 ) }
1
Câu 3 (1.5 đ). C ó nhiều cách làm . M a trận ch uyển cơ sở từ chín h tắc sang E là: P =



1 1 1
2 1 1
1 2 1



Ma tr ận của ánh x ạ tuyến t ính tron g cơ sơ û E là B = P
−1
AP =




8 1 1 6
−2 −1 −2
−3 −9 −2



Câu 4(1 .5 đ) . Giả s ử x ∈ Kerf; [x]
E
= ( x
1
, x
2
, x
3
)
T
. Kh i đó f ( x) = 0 ⇔ [f( x) ]
E
= 0 ⇔ A ·[x]
E
= 0
⇔



2 1 −1
3 2 4
4 3 9







x
1
x
2
x
3



=



0
0
0



⇔ [x]
E
=




6 α
−1 1 α
α



⇔ x = ( −1 0 α, 7 α, −4 α) .
Dim( Kerf) = 1 , cơ sơ û: ( 1 0 , −7 , 4 ) .
Câu 5 (1 .5đ) . Vì A
10
= 0 nên A chỉ có m ột trò riên g là λ = 0 ( theo t ính ch ất, n ếu λ
0
là TR c ủa A,
thì λ
10
0
là TR c ủa A
10
. A che ùo hóa được ⇔ A = P · D ·P
−1
, D là m a trận 0 n ên A = 0 .
Câu 6 (1. 5đ). M a tr ận đối xứng thực có ba tr ò r iêng dương , suy ra d ạn g toa øn p hươn g tương ứng xác
đònh dươn g ( hay ma t rận đã cho xác đòn h dương) . Th eo Sylveste r, A xa ùc đònh dươn g khi và chỉ khi
các đònh thức con chín h dươ ng ⇔ δ
1
= 1 > 0 , δ2 = 1 > 0 , δ
3
= det( A) = m − 5 8 > 0 ⇔ m > 5 8 .
Câu 7(1. 0đ) . Xét dạn g toàn ph ương 5 x

2
1
+ 2 x
1
x
2
+ 5 x
2
2
có m a trận A =

5 1
1 5

. C héo h óa tr ực
giao m a trận A b ởi ma trận trực g iao P =
1
√
2

1 −1
1 1

v à ma tr ận chéo D =

6 0
0 4

Đường cong ( C) có ptr ình tr ong h ệ trục Ouv v ới hai v éctơ cơ sở là


1
√
2
,
1
√
2

,

−1
√
2
,
1
√
2

là:
6 ( u +
1
6
)
2
+ 4 ( v +
3
4
)
2
=

11
12
. Đây là đườn g cong ellips e. Hệ trục Ouv t hu được từ hệ Oxy bằn g cách
quay 1 go ùc 4 5
o
ng ược chiều k im đồn g hồ.
2