skkn hướng dẫn học sinh lớp 12 trường thpt quan sơn tiếp cận và giải nhanh các bài tập về thể tích của khối đa diện

A-ĐẶT VẤN ĐỀ
LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong giai đoạn đổi mới hiện nay trước yêu cầu của sự nghiệp CNH- HĐH
đất nước, để tránh nguy cơ tụt hậu về kinh tế và khoa học công nghệ thì việc cấp
bách là phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Cùng với việc thay đổi về
nội dung cần có sự thay đổi về phương pháp dạy học.
Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động tư duy sáng tạo của Học sinh; phù hợp đặc điểm của từng lớp học, từng
môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học; khả năng làm việc theo nhóm,rèn
luyện kỷ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm đem lại
niềm vui hứng thú trong học tập cho học sinh.
Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn Toán được nhiều học sinh
yêu thích và say mê, nhưng nói đến phân môn hình học thì lại mang nhiều khó

khăn và trở ngại cho không ít học sinh và giáo viên, thậm trí ta có thể dùng từ
“SỢ” học. Từ việc học sinh sợ học dẫn tới giáo viên cũng ngại dạy và ngày càng
học sinh học yếu hơn. Đặc biệt là hình học không gian tổng hợp. Đây là phần có
trong cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT, ĐH-CĐ và thường xuyên xuất hiện trong
các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi vì kiến thức phần này yêu cầu học sinh phải
tư duy cao, khả năng phân tích tổng hợp và tưởng tượng mà một chủ điểm quan
trọng của hình học không gian tổng hợp đó là “TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI
ĐA DIỆN” nhưng qua thực tiễn giảng dạy tại Trường THPT Quan Sơn những
năm qua trong các kỳ thi các em học sinh thường bỏ qua bài tập dạng này.
Như chúng ta đã biết trong giảng dạy đã chia ra 4 mức độ của nhận thức là
1, Nhận biết 2, Thông hiểu
3, Vận dụng 4, Sáng tạo

Như vậy việc đưa ra các bài tập tuỳ theo mức độ của nhận thức của học sinh
là việc cơ bản khi giảng dạy. Để làm tốt việc dạy học phân hóa đối tượng và
đưa ra các bài tập phù hợp thì việc phân dạng, loại bài tập với giáo viên và giúp
học sinh phân dạng toán cũng rất quan trọng và cần thiết cho học sinh dễ hiểu,
tạo sự thích thú đam mê trong học tập và khám phá
Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn và trở ngại, ngày càng yêu thích và
học toán hơn, cũng như giúp các em có kiến thức vững chắc để ôn thi Tốt
nghiệp và ĐH-CĐ.Tôi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm:
“Hướng dẫn học sinh lớp 12 Trường THPT Quan Sơn Tiếp cận và giải
nhanh các bài tập về thể tích của khối đa diện”
1
B-GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I.CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI:
Để làm tốt các bài tập về tính thể tích của khối đa diện việc đầu tiên chúng ta
cần phải giúp học sinh nắm vững các công thức và khái niệm sau:
Nếu khối đa diện (H) được chia thành các khối H
1
; H
2
; ;H
n
thì:

1 2

( ) ( ) ( ) ( )

n
H H H H
V V V V= + + +
Thể tích của khối chóp được tính theo công thức:
V =
1
3
Bh
( trong đó B là diện tích đáy, h là độ dài chiều cao của khối chóp)
Thể tích của khối lăng trụ được tính theo công thức:

V = Bh
(B là diện tích đáy , h là độ dài đường cao)
Qua hai công thức trên ta thấy để tính được thể tích của khối đa diện yêu cầu
chúng ta phải xác định được 2 yếu tố đó là tính được diện tích đáy và độ dài của
đường cao.
Để xác định chân đường cao học sinh cần lưu ý:
-Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy.
-Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường
tròn ngoại tiếp mặt đáy.
- Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân
đường cao chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy.
-Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên

giao tuyến của mặt phẳng đó và đáy.
-Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trên
giao tuyến của hai mp đó.
Để tính độ dài đường cao và diện tích đáy học sinh cần ghi nhớ và vận dụng
tốt:
- Các hệ thức lượng trong tam giác, đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giác
vuông.
- Các khái niệm liên quan đến góc, khoảng cách và cách xác định.
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ:
Trường THPT Quan Sơn đặt trên vùng kinh tế đặc biệt khó khăn, trình độ
dân trí còn thấp, phụ huynh học sinh chưa nhận thức được tầm quan trọng của
việc học tập của con cái nên chưa có sự quan tâm và đầu tư đúng hướng. Năng

lực học tập của học sinh còn hạn chế do đầu vào lớp 10 quá thấp, khả năng tự
học, tự tìm tòi sáng tạo của học sinh gần như chưa có. Đa số học sinh không có
đầy đủ đồ dùng học tập, sách giáo khoa, sách tham khảo. Ngoài thời gian tới
trường các em lại phải giúp bố mẹ công việc gia đình, có những em còn là lao
động chính để nuôi sống gia đình không có nhiều thời gian dành cho học tập.
Nên các khái niệm các em thường nắm không vững, hay quên và khó vận dụng
lý thuyết vào việc giải bài tập. Đa số học sinh yếu môn hình trong khi đó những
2
năm gần đây trong các kỳ thi TN- ĐH CĐ lại thường có bài tính thể tích của
khối đa diện, thông thường các em thường bỏ qua câu này.
Với thực trạng như vậy để giúp học sinh phát huy năng lực tư duy logic, trừu
tượng, tạo hứng thú trong học tập. Bổ xung kiến thức cho các em có đủ kiến

thức để bước vào hai kỳ thi lớn là kì thi TN- ĐH CĐ. Tôi xin giới thiệu đề tài:
“Hướng dẫn học sinh lớp 12 Trường THPT Quan Sơn tiếp cận và giải
nhanh các bài tập về thể tích của khối đa diện”
III. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:
Để tạo hứng thú học hình không gian cho học sinh cũng như giúp các em có
thể vận dụng lý thuyết vào việc giải nhanh bài tập trong quá trình giảng dạy và
đặc biệt là trong các tiết ôn tập tôi thường giúp học sinh hệ thống lại các kiến
thức liên quan, sau đó thực hiện các ví dụ từ mức độ đơn giản nhất sau đó nâng
dần mức độ khó hơn. Giúp học sinh một mặt cũng cố kiến thức cũng từ đó hình
thành phương pháp giải cho mỗi dạng toán mà không cảm thấy bị ngợp hoặc
thấy khó quá mà bỏ cuộc.
Thể tích của khối đa diện có thể phân ra làm hai dạng cơ bản nhưng trong mỗi

dạng lại có thể chia nhỏ ra để dễ nhớ ,dễ học cụ thể:
DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

TÍNH THỂ TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP
Yêu cầu các em phải đọc kĩ đề bài xác định chính xác đường cao. Vẽ hình sao
cho dễ nhìn, dễ quan sát. Vận dụng các kiến thức đã học để tính diện tích đáy và
độ dài của đường cao sau đó vận dụng công thức tính thể tích của các khối đa
diện để tính thể tích.
Ví dụ 1: ( Hình chóp đều)
Chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo
với đáy một góc 60
0

.Hãy tính thể tích của khối chóp đó.

Hướng dẫn học sinh giải:
3
S
A
E
B
C
D
Gọi D là trung điểm của BC và E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy. SE
là đường cao của khối chóp.

AE=
3
2
AD=
3
3a
Ta có
∠
SAD=60
0
nên SE=AE.tan60
0

=a
S
ABC
=
4
3
2
a
Do đó V
SABC
=
3

1
SE.S
ABC
=
12
3
3
a
.
Ví dụ 2: ( Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy 1 góc bằng nhau)
Cho hình chóp S.ABC có AB=5a,BC=6a,CA=7a. Các mặt bên (SAB), (SBC),
(SCA) cùng tạo với đáy một góc 60

0
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn học sinh:
Gọi D là hình chiếu của S lên (ABC)

Suy ra D là tâm tròn tròn nội tiếp tam giác ABC. Suy ra SD là đường cao của
khối chóp
Ta có S
ABC
=
))()(( cpbpapp −−−

=6a
2
.
6
(
2
AB AC BC
p
+ +
=
)
mặt khác S

ABC
=pr
⇒
r=
p
S
=
6
3
2
a
Trong

∆
SDK ta có SD=KDtan60
0
= r.tan60
0
= 2a.
2
Do đó V
SABC
=
3
1

SD.S
ABC
=8a
3
.
3
.
Ví dụ 3 :(Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và tạo với đáy 1 góc bằng
nhau)
Cho hình chóp SABC có các cạnh bên bằng nhau cùng hợp với đáy góc 60
0
,

đáy là tam giác cân AB=AC=a và góc BAC=120
0
. Tính thể tích khối chóp đó
Hướng dẫn học sinh:
A
B
C
S
D
k
4
Gọi D là trung BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Suy ra SO là đường cao của khối chóp
Ta có S
ABC
=1/2.AB.AC.sin120
0
=
4
3
2
a
và BC=2BD=2.ABsin60
0

=a.
3
OA=R=
s
cba
4

=a
⇒
SO=OA.tan60
0
=a.

3
Do vậy V
SABC
=
3
1
SO.S
ABC
=
3
4
a

Ví dụ 4: (Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy)
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SA=a, SB=a
3
và (SAB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC.
Hãy tính thể tích khối chóp S.BMDN.

A
B
O
C
S
D

B
A
D
C
S
H
M
N
5
Hướng dẫn học sinh giải:
Trong tam giác SAB kẻ SH vuông góc với AB, suy ra SH cũng là đường cao
của chóp SABCD và SBMDN. S

ABCD
=4a
2
Ta có: S
ADM
=1/2AD.AM= a
2
và S
CDN
=1/2.CD.CN= a
2
Nên S

BMDN
=S
ABCD
-S
ADM
-S
CDN
=4a
2
-2a
2
=2a

2
.
mặt khác
222
111
SBSASH
+=
⇒
SH=
22
22
.

SBSA
SBSA
+
=
2
3a
do đó V
SBMDN
=
3
1
.SH.S

BMDN
=
3
3
3
a
.
Ví dụ 5: (Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy)
Tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC=a. Trên đường thẳng vuông góc
với (ABC) tại A lấy S sao cho (ABC) và (SBC) tạo với nhau 1 góc 60
0
. Tính thể

tích của S.ABC.
Hướng dẫn học sinh:
Gọi I là trung điểm của BC; SA vuông góc với đáy
Trong tam giác ABC ta có AI =
2
BC
=
2
a

SA= AI. Tan60
0

=
3
.
2 2
a
=
3
4
a

Do đó V
SABC

=
3
1 1 1 3
. . . .
3 3 2 12
ABC
a
SA S SA AI BC= =

Ví dụ 6: (ĐH- KA 2009) ( Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy)
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a,
CD=a. Góc giữa (SBC) và đáy bằng 60

0
. Gọi I là trung điểm của AD, Biết
(SBI), (SCI) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Hướng dẫn học sinh:
Nhận xét: Vì (SBI), (SCI) cùng vuông góc với đáy
⇒
SI
⊥
(ABCD)
6

S

B
I
A
C
Gọi H là hình chiếu của I lên BC, J là trung điểm AB.
Ta có SI
⊥
(ABCD)
⇒
IC=
22
DCID +

=a
2
IB=
22
ABIA +
=a
5
và BC=
22
JBCJ +
=a
5

Ta có S
ABCD
=
1
2
AD(AB+CD)=3a
2
S
IBA
=
1

2
.IA.AB=a
2
và S
CDI
=
1
2
.DC.DI=1/2.a
2

⇒

S
IBC
=S
ABCD
-S
IAB
-S
DIC
=
2
3
2

a

mặt khác S
IBC
=
2
1
.IH.BC nên IH =
a
BC
S
IBC

5
33
2
=
mà SI=IH.tan60
0
=
a
5
3.9
.
Do đó V

ABCD
=
3
1
SI.S
ABCD
=
5
153
a
3

Ví dụ 7: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy là tam giác vuông tại A,
AC=a, góc ACB=60
0
. Đường thẳng BC
1
tạo với mp(A

1
ACC
1
)một góc 30
0
.Tính
thể tích khối lăng trụ.
Hướng dẫn học sinh:
Trong tam giác ABC ta có AB=AC.tan60
0
=a
3

Ta có AB
⊥
AC và AB
⊥
A
1
A Nên AB
⊥
mp(ACC
1
A) do đó
∠

AC
1
B=30
0
A
B
D
C
I
H
J
S

7
S

⇒
AC
1
=AB.cot30
0
=3a. Trong tam giác ACC
1
ta có CC
1

=
2
2
1
ACAC −
=2a
2
Do vậy V=CC
1
.S
ABC
= 2a

2
.
2
1
.a.a
3
=a
3
.
6
Ví dụ 8:
Cho khối trụ tam giác ABCA

1
B
1
C
1
có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A
1
cách đều ba điểm A,B.C,cạnh bên A
1
A tạo với mp đáy một góc 60
0
.Hãy tính

thể tích khối trụ đó.
Hướng dẫn học sinh:
B
1
C
1
A
1
B
C
A
8

Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên S
ABC
=
4
3
2
a
mặt khác A
1
A=

A
1
B=

A
1
C
⇒
A
1
ABC là tứ diện đều. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC có A
1

G là đường
cao của tứ diện cũng như lăng trụ
Trong tam giác A
1
AG có AG=2/3AH=
3
3a
và
∠
A
1
AG=60

0
A
1
G=AG.tan60
0
=a. vậy V
LT
=A
1
G.S
ABC
=

4
3.
3
a
Ví dụ 9:
Cho khối trụ tam giác ABCA
1
B
1
C
1
có đáy là ABC là tam giác vuông cân với

cạnh huyền AB=
2
.Cho biết (ABB
1
) vuông góc với đáy,A
1
A=
3
,Góc A
1
AB
nhọn, góc giữa (A

1
AC) và đáy bằng 60
0
. Hãy tính thể tích khối lăng trụ.
Hướng dẫn học sinh:
ABC vuông cân tại C và AB=
2

⇒
S
ABC=
1

2
.CA.CA=
1
2
.
G
A1
B1
C1
A B
C
H

I
9
(ABB
1
) vuông góc với ABC từ A
1
hạ A
1
G
⊥
AB tại G
⇒

A
1
G chính là đường
cao .Từ G hạ GH
⊥
AC tại H
⇒
góc A
1
HG=60
0
. Đặt AH=x(x>0)

Do
∆
AHG vuông cân tại H nên HG=x và AG=x
2


∆
HGA
1
ta có A
1
G=HG.tan60

0
=x.
3
trong
∆
A
1
AG có A
1
A
2
=AG

2
+A
1
G
2

⇔
3=2x
2
+3x
2
hay x=

5
15

Do đó A
1
G=
5
53
vậy V
LT
=A
1

G.S
ABC
=
10
53
Chú ý: Trong quá trình giảng dạy tùy từng đối tượng học sinh, tình huống
trực tiếp trên lớp ta có thể bổng sung các câu hỏi phụ để dẫn dắt học sinh trung
bình yếu cũng có thể tiếp cận và lĩnh hội được nội dung của phương pháp. Đối
với học sinh khá giỏi có thể lấy các ví dụ yêu cầu cao hơn hoặc các câu hỏi cần
mức độ tư duy cao hơn.
Với ví dụ 8,9 là các ví dụ yêu cầu cao hơn trong việc xác định và tính độ dài của
đường cao nên ví dụ này ta giành cho học sinh khá giỏi.

TÍNH THỂ TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP :
Nhận xét : Trong nhiều bài toán nếu tính trực tiếp như trên có thể gặp khó
khăn với 2 lí do: Hoặc khó xác định và tính chiều cao, hoặc tính được diện tích
đáy nhưng cũng không dễ dàng. Khi đó trong nhiều trường hợp ta có thể hướng
học sinh đi theo con đường khác:
- Phân chia khối đa diện cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản
mà các khối này dễ tính hơn
- So sánh thể tích khối đa diện cần tính với các khối khác đã biết thể tích.
A1
B1
C1
A

C
B
G
H
10
Tinh thần của phương pháp là ta sử dụng phân chia lắp ghép các khối đa
diện, để đưa về bài toán áp dụng tính thể tích theo công thức hoặc sử dụng bài
toán tỉ lệ của hai khối tứ diện sau:
Bài toán: Cho hình chóp SABC. Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lấy lần lượt
ba điểm A
1,
B

1
,C
1
khác với S chứng minh:
1 1 1
1 1 1
S A B C
SABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
=

.
Hướng dẫn học sinh:

Gọi H,E lần lượt là hình chiếu của A, A
1
trên (SBC)
⇒
AH / / A
1
E
nên
∆

SAH và
∆
SA
1
E đồng dạng
⇒

11
SA
SA
EA
AH

=
Khi đó V
SABC=
3
1
AH.S
SBC
=
3
1
AH.SB.SC.sinBSC.

V
SA
1
B
1
C
1

=

3
1

A
1
E.S
SB
1
C
1

=

3
1

A
1
E.SB
1.
SC
1
.sinBSC.
Do vậy
111
111

sin

3
1
sin
3
1
111
SC
SC
SB
SB
EA
AH

BSCSCSBEA
BSCSCSBAH
V
V
CBSA
SABC
==
Nên
1 1 1
1 1 1
S A B C
S ABC

V
SA SB SC
V SA SB SC
=
S
A
B
C
E
H
A1
B1

C1
11
Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ tam giác ABCA
1
B
1
C
1
có đáy là tam giác đều cạnh a.
A
1
A =2a và A

1
A tạo với đáy một góc 60
0
. Tính thể tích khối tứ diện A
1
B
1
CA.
Hướng dẫn học sinh:

Gọi H là hình chiếu của A
1

trên (ABC)
KhiđóA
1
H=A
1
A.sinA
1
AH=2a.sin60
0
=a.
3

⇒
V
LT
=A
1
H.S
ABC
=
4
3
4
3.

.3.
32
aa
a =
Mặt khác ta nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp: CA
1
B
1
C
1
B
1

ABC ; A
1
B
1
CA mà
111
CBCA
V
=
ABCB
V
1

=
1
. .
3
ABC
AH S
=
3
1
V
LT

do đó
ACBA
V
11
=
3
1
V
LT
=
4

3
a
Ví dụ 2: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạch AB bằng a. Các cạnh bên tạo
với đáy một góc 60
0
. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và
vuông góc với SA. Tính thể tích của S.DBC
Hướng dẫn học sinh:
Gọi H,H’ là hình chiếu của S,D lên (ABC). Vì tam giác ABC đều nên H là
trọng tâm tam giác và góc SAI bằng 60
0

⇒
SH=AH.tan60
0
=a ; SA=
0
2 3
sin 60 3
SH a
=
A1 C1
B1
A

B
C
H
K
12
Ví dụ 3: Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A
1
B
1
C
1
D

1
có AB=a,A
1
A=c,BC=b. Gọi
E,F lần lượt là trung điểm của B
1
C
1
và C
1
D
1

. Mặt phẳng FEA chia khối hộp
thành hai phần. hãy tính tỉ số thể tích hai khối đa diện đó
Hướng dẫn học sinh:
Mp(FEA) cắt các đoạn thẳng A
1
D
1
,A
1
B
1
,B

1
B,D
1
D lần lượt tại J,I,H,K(hv)
Gọi V
1
,V
2
lần lượt là thể tích phần trên và phần dưới mp
Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quen thuộc
nhưng khi ghép thêm hai phần chóp HIEB
1

và chóp KFJD
1
thì phần dưới là hình
chóp AIJA
1
Ba tam giác IEB
1
,EFC
1
,FJD
1
bằng nhau “ c.g.c”

Theo TA-LET
3
1
1
1
1
1
==
IA
IB
AA
HB

Và
3
1
11
1 1
==
JA
JD
AA
KD
Ta có:
11

723
.
2
.
2
.
2
1
.
3
1

3
1
111 KFJDHIEB
V
abccba
IBEBHBV ====

8
3
.
2
3

.
2
3
.
2
1
.
3
1

2
1

3
1
1
abc
c
ba
JAAIAAV
JIAA
J
===

V
1
=
JIAA
J
V
-2.
1
HIEB
V
=
72

25
72
.2
8
3 abcabcabc
=−
V
2
= V
hh
-V
1

=
72
47abc
do vậy
47
25
2
1
=
V
V
A

I
C
S
D
HH’
B
DI= IA.sin60
0
=
AD=SD=
Ta có
Mà

13

DẠNG 2: DÙNG CÔNG THỨC THỂ TÍCH ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP
HÌNH HỌC KHÁC:
DÙNG CÔNG THỨC THỂ TÍCH ĐỂ CHÚNG MINH CÁC HỆ THỨC:
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD ,điểm M ở miền trong của tứ diện. AM cắt (BCD)
tại A’, BM cắt (ACD) tại B’; CM cắt (ABD) tại C’; DM cắt (ABC) tại D’.
Chứng minh:
'
AA'
MBCD

ABCD
V
MA
V
=
từ đó suy ra
' ' ' '
1
' ' ' '
MA MB MC MD
AA BB CC DD
+ + + =

Hướng dẫn học sinh:
Gọi H,H’ là hình chiếu của A và M lên (BCD).
⇒
MH’//AH
⇒
'
AA'
AM MH
AH
=
Mà
1

'.
'
3
1
.
3
BCD
MBCD
ABCD
BCD
MH S
V

MH
V AH
AH S
= =

⇒

'
AA'
MBCD
ABCD
V

MA
V
=
( đpcm)
Tương tự ta có
' ' '
; ;
DD' ' '
MABC MACD
MABD
ABCD ABCD ABCD
V V

VMD MB MC
V V BB V CC
= = =
H
K
A
D
B C
B1 C1
D1
A1
I

E
F
J
14
Mà V
ABCD
=V
MBCD
+V
MABC
+V
MABD

+V
MACD
⇒
' ' ' '
1
' ' ' '
MA MB MC MD
AA BB CC DD
+ + + =
(đpcm)

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD, M là điểm nằm trong tứ diện cách đều các mặt của

tứ diện một khoảng r . Gọi h
a
,h
b
,h
c
,h
d
là khoảng cách từ A,B,C,D đến các mặt đối
diện chứng minh:
1 1 1 1 1
a b c d

r h h h h
= + + +

Hướng dẫn học sinh:
Trước hết ta đi chứng minh
MBCD
ABCD a
V
r
V h
=
thật vậy

Gọi H,H’ là hình chiếu của A và M lên (BCD).
⇒
MH’//AH
⇒
'
AA'
AM MH
AH
=
Mà
1
'.

'
3
1
.
3
BCD
MBCD
ABCD
BCD
MH S
V
MH

V AH
AH S
= =

⇒

'
AA'
MBCD
ABCD
V
MA

V
=
( đpcm)
A
D
C
B
M
A’
B’
H
15

Tương tự ta có
' ' '
; ;
DD' ' '
MABC MACD
MABD
ABCD ABCD ABCD
V V
VMD MB MC
V V BB V CC
= = =
Mặt khác Ta có V

ABCD
=V
MBCD
+V
MABC
+V
MABD
+V
MACD

1
a b c d

r r r r
h h h h
⇒ + + + =

⇒
1 1 1 1 1
a b c d
r h h h h
= + + +
(đpcm)
DÙNG CÔNG THỨC THỂ TÍCH ĐỂ TÌM KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM
TỚI MẶT PHẲNG HOẶC TÍNH DIỆN TÍCH CỦA ĐA GIÁC:

Có rất nhiều cách để tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng hoặc
diện tích của đa giác nhưng trong nhiều trường hợp việc xác định và tính taons
không dễ dàng thì ta có thể sử dụng công thức thể tích để thực hiện:

Ví dụ 1: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông
góc với đáy , AB=a, BC=b, SA=c. Tính khoảng cách từ A đến (BCD)
Hướng dẫn học sinh:
Ta có BC vuông góc với SA và AB nên BC vuông góc với SB

⇒
tam giác SBC vuông tại B.
Ta có

2 2 2 2
;AC a b SB b c= + = +
Mà
1
3
SABC
V abc=
=
1
( ,( )).
3
SBC

d A SBC S
2 2
2 2
2
( ,( ))
1
.
2
abc ac
d A SBC
a c
b a c

⇒ = =
+
+
A
D
B
M
A’
B’
H
C
16

A
B
C
S
Ví dụ 2: Cho chóp S.ABC, đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với
đáy. AB = a, AC = 2a, SA = a.Mặt phẳng qua A vuông góc với SC tại K cắt SB
tại H. Tính SK và diện tích AHK.
Hướng dẫn học sinh:
Ta có: SK
⊥
(AHK)
Ta có BC

⊥
AB; BC
⊥
SA
⇒
BC
⊥
(SAB)
⇒
BC
⊥
AH mà AH

⊥
SC

⇒
AH
⊥
(SBC)
⇒
AH
⊥
SB
Ta có AH=

2
2
a
; AK=
2 5
5
a

⇒
SH=
2
2

a
; SK=
5
5
a

CÁC BÀI TẬP ÔN LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 45
0
.
Tính thể tích khối chóp.
Bài 2: Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a.

Bài 3: Cho chóp đều S.ABCD có AB=a góc giữa mặt bên và đáy bằng 60
0
.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
( )SA ABCD⊥
,
AB a
=
,
3SC a
=

,
SA BC
=
. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
Bài 5: Tính thể tích của khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
( )SA ABC⊥
,
AB a
=
,
2AC a
=

,
3SA a
=
.
Bài 6: Cho tam giác cân ABC, có
2AB AC b
= =
,
2BC a
=
. Trên đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm S sao cho

SA a
=
.
a. Tính thể tích khối chóp SABC .
b. Tính diện tích
SBC
∆
, suy ra khoảng cách từ A đến mp(SBC).
Bài 7: Cho chóp S.ABC có SB=SC=BC=CA=a hai mặt bên (ABC) và (ASC)
cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích S.ABC.
Ta có mà V
SABC

=V
SAHK
=
S
AHK
=
A
S
H
K
B
C

17
Bi 8: Cho chúp S.ABCD cú hai mt phng (SAB) v (SAD) cựng vuụng gúc
vi ỏy,cũn ỏy ABCD l hỡnh ch nht bit AB=a; BC=2a v SA=3a. Tớnh th
tớch khi chúp S.ABCD
Bi 9: Cho chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a; (SAC) vuụng gúc vi
ỏy; gúc ASC bng 90
0
v SA to vi ỏy gúc . Tớnh th tớch khi chúp.
Bi 10: Cho chúp S.ABC cú gúc BAC bng 90
0
, gúc ABC bng ; tam giỏc
SBC u cnh a, (SBC) vuụng gúc vi (ABC). Tớnh th tớch khi chúp.

Bi 11: (H-A 2012) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh
a. Hỡnh chiu vuụng gúc ca S lờn (ABC) l im H thuc cnh AB tha món
HA=2HB. Gúc gia SC v (ABC) bng 60
0
. Tớnh th tớch ca S.ABC v khong
cỏch gia SA v BC.
Bi 12: (H-A 2010): Cho khi chopS.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng
cnh a. Gi M,N ln lt l trung im ca AB,AD. Gi H l giao im ca CN
v DM. Bit SH vuụng gúc vi ỏy ABCD v SH=
3a
. Tớnh th tớch ca
S.CDNM.

Bi 13: (H-A 2011) Cho chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc vuụng cõn ti B
AB=BC=2a. Hai (SAB) v (SAC) cựng vuụng gúc vi ỏy . Gi M l trung
im AB Mt phng i qua SM v song song vi BC, ct Ac ti N. Bit gúc
gia (SBC) v (ABC) bng 60
0
. Tớnh th tớch khi chúp S.BCNM.
Bi 14: Tớnh th tớch ca khi chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy bng a,
cnh bờn to vi ỏy mt gúc 30
0
Bi 15: (HSG-Thanh húa) Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là
tam giác cân tại C, cạnh đáy AB bằng 2a và
ã

0
30ABC =
. Tính thể tích của khối
lăng trụ ABC.ABC biết khoảng cách giữa hai đờng thẳng AB và CB bằng
2
a
.
Bi 16: Cho hỡnh lng tr ng
. ' ' 'ABC A B C
,
ABC

vuụng ti A,
à
0
2, 60AC C= =
, gúc gia
'BC
vi mp
( ' ' )AA C C
bng
0
30
.

a. Tớnh di on
'AC
.
b. Tớnh th tớch khi lng tr.
Bi 17: (H KB 2011)Cho lng tr ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1

cú ỏy ABCD l hỡnh
ch nht. AB = a, AD =
3a
. Hỡnh chiu vuụng gúc ca im A
1
trờn mt
phng (ABCD) trựng vi giao im AC v BD. Gúc gia hai mt phng
(ADD
1
A
1
) v (ABCD) bng 60

0
. Tớnh th tớch khi lng tr ó cho v khong
cỏch t im B
1
n mt phng (A
1
BD) theo a.
Bi 18: (HSG Ngh An) Cho lng tr
ABC.A'B'C'
cú ỏy l tam giỏc u
cnh a. Hỡnh chiu vuụng gúc ca im
A'

lờn mt phng
(ABC)
trựng vi
trng tõm tam giỏc
ABC
. Bit khong cỏch gia hai ng thng
AA'
v
BC
bng
a 3
4

. Tớnh theo
a
th tớch khi lng tr
ABC.A'B'C'
.
Bi 19: Cho t din S.ABC cú ba cnh SA, SB, SC ụi mt vuụng gúc v
SA=a, SB=b, SC=c. Hai im M, N ln lt thuc 2 cnh AB, BC sao cho
18
1 1
,
3 3
= =AM AB BN BC

. Mặt phẳng (SMN) chia khối tứ diện S.ABC thành 2 khối đa
diện (H) và (H’) trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh C. Hãy tính thể tích của
(H) và (H’).
Bài 20: Cho hình hộp xiên ABCD.A’B’C’D’. Tính tỉ số thể tích cua hai khối
chóp A’.ABCD và D’.BCC’.
Bài 21: Cho chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhât., hai mặt bên (SAB) và
(SAD) vuông góc với đáy. Mặt phẳng (α) chứa AB và vuông góc với SD cắt SD,
SC tại D’ và C’. Biết AB=a; AD=b và SA=c. Tính tỉ số thể tích của các khối
BCC’ADD’ và SABC’D’.
Bài 22: Cho tứ diện ABCD và điểm M nằm trong miền tam giác BCD; kẻ
MB’//AB (B’
∈

(ACD)); MC’//AC (C’
∈
(ABD)); MD’//AD(D’
∈
(ABC)). Chứng
minh BM cắt AB’ trên CD và
'
MACD
BACD
V
MB
V AB

=
từ đó suy ra:
' ' '
1
MB MC MD
AB AC AD
+ + =
Bài 23: Cho tứ diện ABCD có thể tích V; M,N,P là các điểm nằm trên cạnh
AC,AD,BD sao cho
2
3
CM DN DP

CA DA DB
= = =
; biết d(D;(MNP)) =h. Tính diện tích
tam giác MNP.
Bài 24: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Gọi E,F lần lượt là
trung điểm BC và BB’.
a) Tính thể tích AD’EF.
b) Tính khoảng cách từ D’ đến (AEF)
Bài 25: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Gọi K là trung điểm
DD’. Tính khoảng cách giữa CK và A’D.

KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:

Sau thời gian nghiên cứu và phân dạng bài toán về thể tích khối đa diện. Qua
thời gian thực nghiệm qua các tiết ôn tập buổi chiều với học sinh lớp 12A1
trường THPT Quan Sơn tôi nhận thấy kết quả như sau:
Trước thực nghiệm tôi cho học sinh làm bài 45 phút kết quả như sau:
Tổng Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Dưới 4
32 1 3.125% 4 12.5% 12 37.5% 15 46.875%
Kiểm tra sau thời gian ôn tập kết quả như sau:
Tổng Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Dưới 4
32 3 9.375% 7 21.875% 16 50% 6 18.75%

Qua kết quả trên cho thấy đa số các em sau thời gian được ôn tập đã có thể tự
tin giải các bài tập tính thể tích khối đa diện một cách nhẹ nhàng hơn, các em

không còn cảm thấy sợ hay bỏ qua các câu bài tập có trong các đề thi TN và
ĐH- CĐ. Hy vọng các em có thể hoàn thành tốt 2 kỳ thi sắp tới.
C- KẾT LUẬN:
19
Với đặc thù trong một lớp học có rất nhiều đối tượng học sinh khác nhau nên
trong quá trình giảng dạy để thực hiện quá trình dạy học phân hóa đối tượng.
Tôi lựa chọn các bài tập trong lúc giảng dạy cũng như bài tập về nhà với mức độ
khác nhau phù hợp với từng đối tượng học sinh. Thực hiện linh hoạt trong việc
đặt các câu hỏi dẫn dắt để học sinh tiếp cận bài toán dễ hơn. Đối với học sinh
trung bình tôi chỉ giới thiệu dạng bài tập tính thể tích khối đa diện bằng phương
pháp trực tiếp và gián tiếp nhưng với yêu cầu xác định chiều cao ở dạng đơn
giản. Còn với học sinh khá giỏi yêu cầu đạt được phải cao hơn nên ngoài việc

thực hiện yêu cầu như học sinh trung bình các em còn phải biết vận dụng thể
tích để tính các yếu tố khác liên quan cũng như vận dụng thể tích để chứng minh
các bài toán khác. Trong đề tài này tôi đã xây dựng hệ thống các ví dụ một cách
có hệ thống, theo dạng từ mức độ đơn giản và nâng dần mức độ phức tạp và yêu
cầu cao hơn. Trong các tiết ôn tập buổi chiều tôi đã hướng dẫn học sinh một
cách chi tiết, từng bước một nhờ vậy mà học sinh tiếp cận khá tốt, thông qua các
ví dụ đó các em một mặt hệ thống lại được kiến thức một mặt hoàn thiện kỹ
năng giải nhanh bài tập một cách vững chắc. Đồng thời mỗi dạng toán tôi cho
các em hệ thống bài tập tương tự để các em về nhà luyện tập thêm. Với sự cố
gắng của bản thân trong quá trình giảng dạy và sự nổ lực của các em học sinh
trong học tập hy vọng rằng chất lượng giáo dục của Quan sơn sẽ ngày càng được
nâng lên.

Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học phần thể
tích của khối đa diện rất mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp để đề tài
hoàn thiện hơn. Qua đó mong muốn cung cấp cho các em một tài liệu học tập bổ
ích đáp ứng nhu cầu học tập của các em học sinh.

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
Quan Sơn, ngày 28 tháng 3 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

TÀI LIỆU THAM KHẢO
20
Sách giáo khoa hình học lớp 11- Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy nhà xuất
bản giáo dục.
Sách giáo khoa hình học lớp 12 - Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy nhà xuất
bản giáo dục.
Các đề thi TN, ĐH – CĐ các năm gần đây của bộ giáo dục và đào tạo.
Các đề thi HSG Toán của các tỉnh.
MỤC LỤC
21
A-Đặt vấn đề 1
Lí do chọ đề tài 1

B- Giải quyết vấn đề 2
Cơ sở lí luận 2
Thực trạng vấn đề 2
Biện pháp thực hiện 3
Tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp trực tiếp .3
Tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp .10
Dùng công tích thể tích để giải các bài tập hình học khác .13
Bài tập ôn luyện 17
Hiệu quả của đề tài 19
C-Kết luận 20
22
23