Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT quan sơn sử dụng giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải bài toán thực tế mang tính tối ưu

Mục lục
Phần I. MỞ ĐẦU.........................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài....................................................................................................1
2. Mục nghiên cứu.....................................................................................................1
3. Đối tượng nghiên cứu............................................................................................1
4. Phương pháp nghiên cứu........................................................................................1
Phần II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM................................................3
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm................................................................3
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.................................5
3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề...........................................................6
4. Hiệu qủa của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động của bản thân , đồng
nghiệp và nhà trường...............................................................................................17
Phần III. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ.......................................................................18
1. Kết luận................................................................................................................18
2. Kiến nghị.............................................................................................................18

1


Phần I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Việt Nam đang trong quá trình hội nhập với thế giới và quá trình toàn cầu
hóa cũng như chúng ta đang trong quá trình công nghiệp hóa hiện đại hóa đất
nước tiến tới tự động hóa. Điều đó đòi hỏi đội ngũ cán bộ, công nhân phải có
năng lực chuyên môn vững vàng, óc tư duy sáng tạo, tính kỷ luật cao.
Để đáp ứng nhu cầu lao động của xã hội những năm qua Bộ Giáo Dục &
Đào Tạo đã và đang cải cách giáo dục để đào tạo ra nguồn nhân lực dồi dào đảm
bảo về chất và lượng. Việc đổi mới trên nhiều phương diện về nội dung, chương
trình, phương pháp dạy và học cũng như phương pháp kiểm tra đánh giá.
Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động tư duy sáng tạo của học sinh. Phù hợp đặc điểm của từng lớp học, từng

môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn
luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại
niềm vui hứng thú học tập cho học sinh.
Năm học 2016-2017 Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo thay đổi hình thức thi
THPT Quốc Gia, trong đó môn toán thi trắc nghiệm với 50 câu thời gian 90
phút “Bài toán thực tế” cũng được đưa vào nhiều trong các đề thi thử nghiệm
của Bộ và các đề thi thử của các trường THPT trên toàn quốc. Theo tôi, việc đưa
các bài toán thực tế vào đề thi là rất cần thiết, vì như vậy học sinh sẽ hiểu hơn về
các ứng dụng thực tế của toán học.
Bài toán thực tế là một dạng toán lạ và khó hiểu đối với học sinh nhất là
những học sinh ở vùng cao. Qua thực tế giảng dạy ở trường THPT Quan Sơn và
qua trao đổi với đồng nghiệp công tác ở các trường khác tôi nhận thấy, khả năng
vận dụng giải “Bài toán thực tế” của học sinh còn rất hạn chế, thường mắc
nhiều sai lầm. Điều này đòi hỏi chúng ta tìm nguyên nhân, đưa ra giải pháp khắc
phục nhằm tạo ra hứng thú cho học sinh trong học tập góp phần nâng cao chất
lượng dạy và học ở bộ môn toán . Đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường
THPT Quan Sơn sử dụng giá trị lớn nhất giá - trị nhỏ nhất của hàm số để
giải bài toán thực tế mang tính tối ưu ” là nhằm giúp học sinh vượt qua khó
khăn trở ngại, ngày càng yêu thích, học tập và đặc biệt là môn Toán, cũng như
giúp các em có nền tảng kiến thức vững chắc hơn để học tốt các phần toán thực
tế khác.
2. Mục nghiên cứu
Để cảm nhận được những ứng dụng thực tiễn của toán học từ đó làm cho
các em có hứng thú hơn với môn học này.
3. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia.
4. Phương pháp nghiên cứu
1

Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu
tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài;
- Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS);
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin;
- Phương pháp quy lạ về quen.

2


Phần II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Có rất nhiều bài toán thực tế mà việc giải nó lại quy về việc tìm GTLN –
GTNN của một hàm số nào đó. Ví dụ như làm thế nào để xây một bể nước dung
tích là V mà tiết kiệm vật liệu nhất, hay để làm một đường dây dẫn điện mà chi
phí thấp nhất…Trong đề tài này tôi đưa ra một ví dụ cụ thể và tập trung vào
phân tích bài toán, từ đó rút ra quy trình chung để giải chúng.
Có nhiều cách để tìm GTLN – GTNN của hàm số, trong đề tài này tôi sử
dụng công cụ đạo hàm để phù hợp với học sinh ôn thi quốc gia năm nay.
Nhắc lại về khái niệm GTLN – GTNN và các dạng toán
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D
∃M : f ( x ) ≤ M ∀x ∈ D

- Nếu  ∃x ∈ D : f x = M thì M được gọi là GTLN của hàm số trên tập
( 0)
 0
f ( x) = M
D, ký hiệu: max
D
∃m : f ( x ) ≥ m∀x ∈ D

- Nếu  ∃x ∈ D : f x = m thì m được gọi là GTNN của hàm số trên tập
( 0)
 0
f ( x ) = m [1].
D, ký hiệu: min
D

Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên miền các định hay một
khoảng.
Phương pháp.
- Tìm tập xác định
- Tính y’
- Giải phương trình y’ = 0 (các điểm tới hạn) và tính giá trị tại các điểm
tới hạn.
- Lập bảng biến thiên, căn cứ bảng biến thiên GTLN,GTNN [6].
Dạng 2. Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên một đoạn [ a; b] ?
Phương pháp.
- Tính y’
- Giải phương trình y’ = 0, để tìm các nghiệm x1 , x2 ,..., xn ∈ [ a; b ]
- GTLN là số lớn nhất trong các giá trị vừa tìm được.
- GTNN là số bé nhất trong các giá trị vừa tìm được [6].
1.1. Bài toán
3


Một người thợ xây cần xây một bể chứa 108m 3 nước, có dạng hình hộp
chữ nhật với đáy là hình vuông và không có nắp. Hỏi chiều dài, chiều rộng và
chiều cao của lòng bể bằng bao nhiêu để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất?
Biết thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch, độ dày của thành bể và đáy

như nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị
diện tích là bằng nhau [6].

1.2. Phân tích
Toán học hóa
* Nhận xét rằng, vì “độ dày của thành bể và đáy là nhau, các viên gạch có
kích thước như nhau và số viên gạch trên cùng một đơn vị diện tích là bằng
nhau” nên số viên gạch cần dùng để xây sẽ ít nhất khi tổng diện tích bề mặt các
thành và đáy của lòng bể là nhỏ nhất.
* Bài toán giờ trở thành tìm kích thước của hình hộp chữ nhật để tổng
diện tích của mặt đáy và 4 mặt xung quanh là nhỏ nhất.
* Gọi chiều dài, chiều rộng, chiều cao của bể là x, y, z(x, y, z > 0). Vì đáy
là hình vuông nên chiều dài và chiều rộng bằng nhau. Tức là x = y. Theo giả
thuyết thì bể nước có thể tích là 108m3 nên ta có:
108
2
xyz = 108 ⇔ x z = 108 ⇒ z = 2
x
* Gọi S là tổng diện tích bề mặt của bể nước, ta có:
432
S = x 2 + 4 xz = x 2 +
x
Việc cần làm bây giờ là ta đi tìm x để hàm số S đạt GTNN.
1.3. Tìm GTNN của hàm số.
4


Bài toán trở thành:
2
Tìm GTNN của hàm số S ( x ) = x +

432
trên ( 0; +∞ )
x

432
x2
432
S '( x) = 0 ⇔ 2 x − 2 = 0 ⇔ x = 6
x
Bảng biến thiên:

Ta có: S '( x) = 2 x −

x

0

+∞

S’(x)
S(x)

6
-

0

+∞

+
+∞

108
Do đó hàm số S(x) đạt GTNN khi x = 6.
Vậy chiều dài, chiều rộng, chiều cao của bể lần lượt là: 6m, 6m, 3m.
1.4. Quy trình chung
Qua phân tích trên, chúng ta có thể rút ra một quy trình chung để giải quyết
các bài toán thực tế mang tính tối ưu như trên theo các bước sau:
Bước 1. Toán học hóa bài toán
Thực chất là đại số hóa, gọi các đại lượng cần tìm và đã cho trong bài toán.
Từ điều kiện của bài toán thiết lập được một hàm số phụ thuộc vào một
biến
Bước 2. Tìm GTLN hoặc GTNN của hàm số trên, tùy theo yêu cầu của
bài toán.
Chúng ta thường dùng công cụ đạo hàm ở bước này, mặc dù có thể sử dụng
công cụ khác.
Bước 3. Kết luận bài toán ban đầu.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Quan Sơn đặt trên vùng có điều kiện kinh tế đặc biệt khó
khăn, trình độ dân trí còn thấp, phụ huynh hộc sinh chưa nhận thức được tầm
quan trọng việc học tập của con cái nên chưa có sự quan tâm và đầu tư đúng
hướng. Năng lực học tập của học sinh còn hạn chế do đầu vào lớp 10 quá thấp,
khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo của học sinh gần như chưa có. Đa số học
sinh chưa có đầy đủ đồ dùng học tập, sách giáo khoa, sách tham khảo. Ngoài
thời gian tới trường các em còn phải giúp cha mẹ công việc gia đình, có những
em còn là lao động chính nuôi sống cả gia đình không có thời gian học tập. Nên
5

các khái niệm các em thường nắm không vững , hay quên và khó vận dụng lý
thuyết vào việc giải bài tập. Đa số học sinh khi học môn toán thường đặt ra câu
hỏi “thưa cô học phần này có ứng dụng gì vào thực tế?” khi tôi giải thích ra thì
thấy các em rất hứng thú.
Với thực trạng như vậy để giúp học sinh phát huy năng lực tư duy logic,
trừu tượng, tạo hứng thú trong học tập. Bổ sung kiến thức cho các em có đủ kiến
thức để các em có thể học tốt các phần sau. Tôi xin giới thiệu đề tài:
“Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Quan Sơn sử dụng giá trị lớn
nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải bài toán thực tế mang tính tối
ưu”
3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
Để tạo hứng thú cho học sinh cũng như giúp các em có thể vận dụng lí
thuyết vào việc giải nhanh các bài tập, trong quá trình giảng dạy và đặc biệt là
trong các tiết ôn tập, tôi thường giúp học sinh hệ thống lại các kiến thức liên
quan, sau đó thực hiện từ các ví dụ từ dễ đến khó. Giúp học sinh một mặt củng
cố kiến thức cơ bản cũng từ đó hình thành phương pháp giải cho mỗi dạng toán
mà các em không thấy bị ngợp hoặc thấy khó quá mà bỏ cuộc.
Để cho các em dễ hình dung tôi chia dạng toán này thành các dạng sau:
Dạng 1. Bài toán về quãng đường
Ví dụ 1. Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên
bờ biển đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để
xây đường ống trên bờ là 50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km dưới
nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách
từ A đến B’là 9km. Vị trí điểm C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB
thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng:
A. 6,5km.
B. 6km.
C. 0km.
D. 9km [5].
Hướng dẫn giải

B
Đặt B’C = x km; x ∈ [ 0;9]

Ta có: BC = x 2 + 36 ; AC = 9-x
Chi phí xây dựng đường ống là:

6km

C ( x) = 130.000 x 2 + 36 + (9 − x )50.000

B’’’

x
C
km
 13 x

− 5÷
Hàm C( x), xác định và liên tục trên [ 0;9] và C ' ( x ) = 10000  2
 x + 36


Để chi phí thấp nhất, thì C(x) phải nhỏ nhất

A

 13 x

5
C ' ( x ) = 0 ⇔ 10000 

− 5 ÷⇔ x =
2
2
 x + 36

6


5
 

Ta có: C (0) = 1230000; C  ÷ = 1170000; C ( 9 ) ≈ 1406165
2
Vậy chi phí thấp nhất khi x = 2,5. Vậy C cần cách A một khoảng 6,5 km

→ Chọn A

Ví dụ 2: Ngọn hải đăng ở vị trí A có khoảng cách đến bờ biển là AB = 5 km
,trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7 km .Người canh hải
đăng có thể chèo đò từ A đến M trên bờ biển với vận tốc 4km / h sau đó đi bộ
đến C với vận tốc 6 km / h .Vị trí điểm M cách B một khoảng bao nhiêu để người
đó đến kho nhanh nhất?

A. 0 km.

B. 7 km.

C. 2 5 km.

D.

14 + 5 5
km [4].
12

Hướng dẫn giải
Đặt BM = x (km) (0 < x < 7)
Thời gian đi bộ từ M đến C là: tMC =
Thời gian đi từ A đến kho là: t =

t'=

x

−

1
6

7−x
( h)
6

x 2 + 25 7 − x
+
4
6

; t'=0⇔

x

−

1
=0⇔ x=2 5
6

4 x + 25
4 x 2 + 25
→
Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh nhất khi x = 2 5 km
Chọn C
Ví dụ 3. Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng
thời cả hai tàu cùng khởi hành, một chạy về hướng nam với 6 hải lý/ một giờ,
còn tàu kia chạy về vị trí hiện tại của tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lý/ một giờ.
Hãy xác đinh thời điểm mà khoảng cách hai tàu là lớn nhất [6].
Hướng dẫn giải
Tại thời điểm t sau khi xuất phát khoảng
cách giữa hai tàu là d.
Ta có:
2

7


d 2 = AB12 +AA12 = (5 − BB1 ) 2 + AA12 = ( 5 − 7.t ) + (6t ) 2
2

Suy ra d = d ( t ) = 85t 2 − 70t + 25

Áp dụng đạo hàm lập bảng biến thiên ta được d nhỏ nhất khi t =

17
(giờ), khi đó
7

ta có d ≈ 3, 25 hải lý.
Các bài tập tương tự
Bài 1. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn
đảo ở C. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là
4 km. Mỗi dây điện đặt dưới nước mất 5000 USD, còn đặt trên mặt đất mất 3000
USD. Hỏi điểm S trên bờ biển cách A. Mỗi dây điện đặt dưới nước mất 5000
USD, còn đặt trên mặt đất mất 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ biển cách A bao
nhiêu để khi mắc dây điện từ bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến
C là ít tốn kém nhất [6]?
A. 15/4km.
C. 13/4 km.
C
B. 5/2km.
D. 19/4km.

B

S

A

Bài 2. Một ngọn Hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB là
5 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. Người
canh Hải đăng có thể chèo đò từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h

rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km/h. Tính độ dài đoạn BM để người đó đến kho
nhanh nhất.
A.

74
km.
4

29

B. 12 km.
C. 29 km.
D. 2 5 km [6].
Dạng 2. Bài toán diện tích hình phẳng
Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật có diện tích bằng 100 (cm 2). Hỏi mỗi kích
thước của nó bằng bao nhiêu để chu vi của nó nhỏ nhất?
A. 10cm ×10cm .
B. 20cm × 5cm .
C. 25cm × 4cm .
D. Đáp án khác[6].
Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là: x (cm) và y
(cm) (x, y > 0)
Chu vi hình chữ nhật là: P = 2x + 2y
Theo đề bài thì: xy=100 hay y =

100
200
. Do đó P = 2 x +
với x > 0.

x
x

8


P '( x ) = 2 −

200
; P '( x ) = 0 ⇔ x = 10
x2

Lập bảng biến thiên ta được Pmin = 40 khi x = 10, y = 10
Chọn A
Ví dụ 2. Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng,
biết người con sẽ được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 800 (m).
Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn
nhất?
A. 200m × 200m .
B. 300m ×100m .
C. 250m ×150m .
D. Đáp án khác[6].
Hướng dẫn giải
Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là: x (cm) và y (cm)
(x, y > 0)
Diện tích miếng đất: S = xy
Theo đề bài thì: 2(x + y) = 800 hay y = 400 – x. Do đó S = x(400-x) với x > 0.
Đạo hàm: S’(x) = -2x + 400. Cho S’(x) = 0 thì x = 200
Lập bảng biến thiên ta được Smax = 40000 khi x = 200 và y = 200
Chọn A

Ví dụ 3. Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho
trước là 180 mét thẳng hàng rào. Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để
làm một cạnh của hàng rào và rào thành mảnh đất hình chữ nhật. Hỏi mảnh đất
hình chữ nhật được rào có diện tích bằng bao nhiêu?
A. Smax = 3600 m2.
B. Smax = 4000 m2.
C. Smax = 8100 m2.
D. Smax = 4050 m2 [6].
Hướng dẫn giải
Gọi x là chiều dài cạnh song song với bờ giậu và y là chiều dài cạnh
vuông góc với bờ giậu (x, y > 0), theo bài ra ta có x + 2y = 180. Diện tích của
mảnh đất là:
S = y(180 – 2y) với y > 0. Ta có: S’(y) = 180 – 4y. S’(y) = 0 thì y = 45
Vậy Smax = 4050 m2 khi x = 90 m, y = 45 m.
Chọn D
Ví dụ 4. Cần phải làm cái cửa sổ mà phía trên là hình bán nguyệt, phía
dưới là hình chữ nhật, có chu vi là a (m) (a là chu vi hình bán nguyệt cộng với
chu vi hình chữ nhật trừ đi độ dài cạnh hình chữ nhật là dây cung của hình bán
nguyệt ).Hãy xác định các kích thước của nó để diện tích cửa sổ là lớn nhất?
2a
a
, chiều cao bằng
.
4+π
4+π
a
2a
B. Chiều rộng bằng
, chiều cao bằng
.

4+π
4+π
C. Chiều rộng bằng a(4 + π ) , chiều cao bằng 2a(4 + π ) .

A. Chiều rộng bằng

D. Đáp án khác [6].

Hướng dẫn giải
Gọi x là bán kính của hình bán nguyệt. Ta có chu vi của hình bán nguyệt
π
x
là , tổng 3 cạnh của hình chữ nhật là a − π x . Diện tích cửa sổ là:

9





÷
πx
a − π x − 2x
a
π

π

S = S1 + S 2 =
+ 2x

=ax-  + 2 ÷x 2 =  + 2 ÷x 
− x ÷.
2
2
÷
2

2
   π + 2
÷ ÷
 2



a
x=
a
π
 - x hay x =
Dễ thấy S lớn nhất khi
4+π
 + 2÷
2

2

Vậy để diện tích cửa sổ lớn nhất thì kích thước của nó là: chiều cao bằng
Chiều rộng bằng

2a

4+π

a
,
4+π

Chọn A

Các bài tập tương tự
Bài 1. Người ta sử dụng một tấm bìa cứng hình chữ nhật có diện tích là
2
400cm để làm bìa cho một quyển sách. Lề trái và lề phải là 3,5cm, lề trên và lề
dưới là 2cm (như hình vẽ). Để có được phần diện
tích phần viết chữ (phần gạch sọc) lớn nhất thì
bìa cứng này có chiều rộng bằng bao nhiêu?
A.

20 7
7

B. 40 7

C. 20 7
D.

40 7
[4].
7

Bài 2. Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa

đường tròn bán kính 10 cm, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên
đường kính của đường tròn.
A. 80 cm2.
B. 100 cm2.
C. 160 cm2.
D. 200 cm2[6].
Bài 3. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 16 cm. Người ta muốn cắt
một hình thang như hình vẽ. Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt
giá trị nhỏ nhất.
2 cm
E

A

B

3 cm

x cm
cmc
m H

F

G

D

A. 7cm.

B. 5cm.

C.

C
y cm

7 2
cm.
2

D. 4 2 cm [6].

Dạng 3. Bài toán liên quan đến diện tích, thể tích.
10


Ví dụ 1. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn
góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng
x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không
nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

A. x = 6cm.
B. x = 3cm.
C. x = 2cm.
D. x = 4cm [3].
Hướng dẫn giải
Ta có, thể tích hình hộp nhận được là: V = Bh = x( 12-x) = 12x – x2
Sử dụng đạo hàm ta có: V’ = 12 – 2x.
Vmax khi x = 6

Chọn A
Ví dụ 2. Một bác nông dân cần xây dựng một hố ga không có nắp dạng
hình hộp chữ nhật có thể tích 3200cm3, tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng
của đáy bằng 2. Hãy xác định diện tích của đáy hố ga để khi xây tiết kiệm
nguyên vật liệu nhất?
A. 1200 cm2.
B. 160 cm2.
C. 1600cm2.
D. 120 cm2[6].
Hướng dẫn giải
Gọi x, y (x, y > 0)lần lượt là chiều rộng, chiều dài của đáy hố ga.
Gọi h là chiều cao của hố ga ( h > 0). Ta có h = 2x.
Thể tích của hố ga là: V = xyh = 3200 ⇒ y =

3200 1600
= 2
xh
x

Diện tich toàn phần của hố ga là:
S = 2 xh + 2 yh + xy = 4 x 2 +

6400 1600
8000
+
= 4x2 +
= f ( x)
x
x
x

Để tiết kiệm nhiên liệu nhất thì diện tích toàn phần của hố ga là nhỏ nhất.
Sử dụng đạo hàm ta có f ( x ) nhỏ nhất là 1200 khi x = 10 ⇒ y = 16.
Vậy diện tích đáy hố ga là: xy = 160 cm2 . Chọn B
Ví dụ 2. Bạn An là một học sinh lớp 12, bố bạn là một thợ hàn. Bố bạn
định làm một chiếc thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm theo cách
dưới đây:
11


Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh tôn để làm được chiếc
thùng có thể tích lớn nhất, khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là:
A. 35cm; 25cm.
B. 40cm; 20cm.
C. 35cm; 25cm.
D. 30cm; 30cm [4].
Hướng dẫn giải
Gọi một chiều dài của mảnh tôn là x cm( 0 < x < 60), khi đó chiều còn lại
của mảnh tôn là 60 – x cm, giả sử quấn cạnh có chiều dài là x thì bán kính đáy là
r=

x
− x 3 + 60 x
; h = 60 − x . Ta có: V = π r 2 h =
.
2π
4π

3
2

Xét hàm số f ( x ) = − x + 60 x , x ∈ ( 0;60 )

 x=0
f ' ( x ) = −3 x 2 + 120 x; f ' ( x ) = 0 ⇔ 
 x = 40

Lập bảng biến thiên ta thấy f ( x ) lớn nhất khi x = 40. Khi đó chiều dài là
40cm, chiều rộng là 20 cm.
Chọn B
Ví dụ 3. Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích
theo yêu cầu là 2000π lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần
lượt bằng bao hiêu để tiết kiệm vật liệu nhất?
A. 1m và 2m. B. 1 dm và 2 dm.
C. 2m và 1m. D. 2dm và 1dm[4].
Hướng dẫn giải
Đổi 2000π = 2π m3 . Gọi bán kính đáy và chiều cao lần lượt là x (m) và h(m).
Ta có thể tích thùng phi V = π x 2 h = 2π ⇒ h =

2
.
x2

Vật liệu tỉ lệ thuận với diện tích toàn phần nên ta chỉ cần tìm x để diện tích toàn
phần bé nhất.
2
Stp = 2π x 2 + 2π xh = 2π ( x 2 + )
x

Sử dụng đạo hàm, ta có Stp nhỏ nhất khi x =1, h = 2
Chọn A

Ví dụ 4. Cho một tấm tôn hình chữ nhật ABCD có AD = 60 cm. Ta gập
tấm tôn theo hai cạnh MN và QP vào phía trong sao cho BA trùng với CD để
được lăng trụ đứng khuyết hai đáy. Khối lăng trụ có thể tích lớn nhất khi x bằng
bao nhiêu?

12


A. x = 20cm .

B. x = 22, 5cm .

C. x = 25cm

D. x = 29cm [4].

Hướng dẫn giải
Ta có thể tích của khối lăng trụ là: V = h. SNAP . Để thể tích khối lăng trụ là
lớn nhất thì diện tích tam giác NAP lớn nhất.
Ta có: SNAP = 30(30 - x)2(2x - 30) = S(x)
 x = 20
S '( x) = 30[−2(30 − x)(2 x − 30) + 2(30 − x) 2 ]; S ' = 0 ⇔ 
; với 0 < x < 60.
 x = 30

S(x) max khi x = 20cm

Chọn A

Các bài tập tương tự

Bài 1. Một người mua một cái thùng đựng rượu theo mô hình sau: Từ một
khối cầu có đường kính 1 m cắt bỏ đi hai chỏm cầu bằng nhau bởi 2 mặt phẳng
song song cách nhau 0, 6 m . Biết thể tích vỏ thùng không đáng kể, hỏi thùng
đựng được nhiều nhất bao nhiêu lít rượu? (làm tròn đến phần trăm).

A. 1828, 41 (l ) .
B. 980,18 (l ) .
C. 414, 69 (l ) .
D. 207,35 (l ) [4].
Bài 2. Một người thợ nhôm kính nhận được đơn đặt hàng làm một bể cá
cảnh bằng kính dạng hình hộp chữ nhật không có nắp có thể tích 3,2 m 3; tỉ số
giữa chiều cao của bể cá và chiều rộng của đáy bể bằng 2 (hình dưới). Biết giá
một mét vuông kính để làm thành và đáy của bể cá là 800 nghìn đồng. Hỏi
người thợ đó cần tối thiểu bao nhiêu tiền để mua đủ số mét vuông kính làm bể
cá theo yêu cầu?(coi độ dày của kính là không đáng kể so với kích thước của bể
cá).

13


A. 9,6 triệu đồng. B. 10,8 triệu đồng.
C. 8,4 triệu đồng. D. 7,2 triệu đồng [6].
Bài 3. Khi cắt mặt cầu S(O, R) bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu
và hình tròn lớn của mặt kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình
trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S(O, R) nếu một đáy của hình trụ nằm trong đáy
của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt
cầu ( Hình vẽ). Biết R = 1 ,tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp
nửa mặt cầu (O, R) để khối trụ có thể tích lớn nhất.
A. r =

6
3
, h=
.
3
3

B. r =

3
6
, h=
.
3
3

C. r =

6
3
, h=
.
2
2

D. r =

3
6
, h=

[4]
2
2

Dạng 4. Các bài toán liên quan đến chuyển động.
Với nhóm các bài toán này ta cần nhớ các công thức: v = s’; a = v’.
1
2

Ví dụ 1. Một vật chuyển động theo quy luật S = − t 3 + 9t 2 , với t
(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s(mét) là quảng
đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng 10 giây, kể từ
lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?
A.216 m/s.
B. 30 m/s.
C. 400 m/s.
D. 54 m/s [3].
Hướng dẫn giải
3
2

Ta có: v = s ' = − t 2 + 18t = f(t).
Bài toán trở thành tìm GTLN của hàm số f(t) trên khoảng (0;10)
f '(t ) = −3t + 18; f '(t ) = 0 ⇔ t = 6 ; f (t ) max = 54 khi t = 6 → Chọn D
Ví dụ 2. Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang(chiều
dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian t (s) là
a (t ) = 2t − 7(m / s 2 ) biết vận tốc ban đầu bằng 10 (m/s). Hỏi trong 6 giây đầu tiên,
thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải?
14

A. 5(s).
Hướng dẫn giải

B. 6(s).

C. 1(s).

D. 2(s) [6].

2
Vận tốc của chất điểm: v(t ) = ∫ a ( t ) dt = t − 7t + C

Do

vận

tốc

ban

đầu

bằng

10(m/s)

nên

v(0)

=10

⇔ v(0) = 10 ⇔ C = 10 ⇒ v (t ) = t − 7t + 10
2

t

t 3 7t 2
Quảng đường chất điểm đi được sau thời gian t (s): s (t ) = ∫ v(t )dt = 3 − 2 + 10t
0
t

t 3 7t 2
Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm GTLN của s (t ) = ∫ v(t )dt = 3 − 2 + 10t , t ∈ [ 0;6]
0
s '(t ) = t 2 − 7t + 10; s '(t ) = 0 ⇔ t = 2, t = 5
26
25
; s (5) = ; s (6) = 6
3
6
s(t) max khi t = 2(s) → Chọn D

Ta có: s (0) = 0; s(2) =

Bài tập tương tự.
Bài 1. Một vật chuyển động theo qui luật s = 6t 2 − t 3 ( trong đó t (giây) là
khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường
vật đi được trong khoảng thời gian đó). Tính thời điểm mà tại đó vận tốc lớn

nhất ?
A. t = 4 s.
B. t = 3 s.
C. t = 2 s
D. t = 1 s [2].
Bài 1. Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quảng
đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút), hàm số
đó là s = 6t2 – t3. Thời điểm t ( giây) mà tại đó vận tốc v (m/s) của chuyển động
đạt giá trị lớn nhất?
A. 3(s).
B. 6(s).
C. 2(s).
D. 4(s) [4].
Dạng 5. Các bài toán liên quan đến hiệu quả kinh tế.
Ví dụ 1. Một sinh viên A sau khi tốt nghiệp đại học đến một công ti kinh
doanh bất động sản để phỏng vấn xin việc. Hội đồng phỏng vấn đưa ra một bài
toán kinh tế như sau: Công ty hiện nay đang chuẩn bị cho thuê 50 căn hộ chung
cư. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi
căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000
đồng một tháng thì có thêm hai căn hộ bị bỏ trống. Hỏi mỗi tháng công ty thu
được tối đa bao nhiêu tiền từ việc cho 50 căn hộ chung cư trên?
A. 100.000.000 đồng
B. 110.250.000 đồng

C. 103.250.000 đồng
D. 101.250.000 đồng [4].

Hướng dẫn giải
15

Gọi số căn hộ bị bỏ trống là x ( x ∈ [ 0;50] ).
Số tiền một tháng thu được khi cho thuê nhà là: (2000000+50000x)(50-x)
Khảo sát hàm số trên với x ∈ [ 0;50] ta được số tiền lớn nhất công ty thu được khi
x = 5 hay mỗi tháng công ty thu được tối đa số tiền từ việc cho thuê 50 căn hộ
trên là: 101250000 đồng. Chọn D
Ví dụ 2. Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng:
Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá
sau một vụ cân nặng P(n) = 480 – 2n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên
một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
A. 10

B. 12

C. 16

D. 24 [5].

Hướng dẫn giải
Gọi n là số con cá trên một đơn vị diện tích hồ(n > 0). Khi đó:
Cân nặng của một con cá là: P(n) = 480 – 2n (gam).
Cân nặng của n con cá là: n.P(n) = 480n – 2n2 (gam).
2
Xét hàm số: f ( n ) = 480n − 2n , n ∈ ( 0; +∞ ) .

Ta có: f ' ( n ) = 480 − 4n , cho f ' ( n ) = 0 ⇔ 480 − 4n ⇔ n = 12 ⇒ f ( n ) max khi n =12
Vậy để thu được nhiều cá nhất thì phải thả 12 con trên một đơn vị diện tích.
Chọn B
Bài tập tương tự.
Bài 1. Một cửa hàng bán lẻ 2500 cái ti vi mỗi năm. Chi phí gửi trong kho

là 10$ một cái mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 20$ cộng
thêm 9$ mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi
lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất?
A. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái tivi.
B. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 100 cái tivi.
C. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 90 cái tivi.
D. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 90 cái tivi [6].
Bài 2. Một giáo viên đang đau đầu vì vấn đề lương thấp và phân vân xem
có nên tạm dừng niềm đam mê với con chữ để chuyển hẳn sang kinh doanh đồ
uống trà sữa hay không? Ước tính nếu 1 ly trà sữa là 2000đ thì trung bình hàng
tháng có khoảng 1000 lượt khách tới uống tại quán, trung bình mỗi khách trả
thêm 10000đ tiền bánh tráng ăn kèm. Nay người giáo viên muốn tăng thêm mỗi
ly trà sữa 5000đ thì sẽ mất 100 khách trong tổng số trung bình. Hỏi giá một ly
trà sữa nên là bao nhiêu để tổng thu nhập lớn nhất?
A. Giảm 15 ngàn đồng.
16


B. Tăng 5 ngàn đồng.
C. Giữ nguyên không tăng giá.
D. Tăng thêm 2,5 ngàn đồng [6].
18 Trong trang này: Bài tập 1 được trích từ TLTK số [6], Bài tập 2 được trích từ TLTK
số [6].

4. Hiệu qủa của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động của bản thân ,
đồng nghiệp và nhà trường
Sau thời gian nghiên cứu và phân dạng bài max - min trong thực tế. Qua
thời gian thực nghiệm bằng các tiết ôn tập buổi chiều cho học sinh lớp 12A 1
trường THPT Quan Sơn tôi nhận thấy kết quả như sau:
Trước thực nghiệm tôi cho học sinh làm bài 45 phút kết quả như sau:

Tổng

Điểm từ 9 -10

Điểm từ 7-8

Điểm từ 5 -6

Điểm dưới 4

29

3

2

10

14

10,3%

6,9%

34,5%

48,3%

Kiểm tra sau thời gian ôn tập kết quả như sau:
Tổng

Điểm từ 9 -10

Điểm từ 7-8

Điểm từ 5 -6

Điểm dưới 4

29

4

6

15

4

13,8%

20,7%

51,7%

13,8%

Qua kết quả trên cho thấy đa số các em sau thời gian được ôn tập đã có
thể tự tin trong việc làm toán tối ưu trong thực tế, các em có hứng thú hơn khi
học chuyên đề này.

17


Phần III. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Với đặc thù trong một lớp học có rất nhiều đối tượng học sinh khác nhau
nên trong quá trình giảng dạy để thực hiện quá trình dạy học theo hướng phân
hóa đối tượng. Tôi lựa chọn các bài tập trong lúc giảng dạy cũng như bài tập về
nhà với mức độ khác nhau phù hợp với từng đối tượng học sinh. Thực hiện linh
hoạt trong việc đặt các câu hỏi dẫn dắt để học sinh tiếp cận dễ hơn. Đối với học
sinh trung bình tôi giới thiệu các nhóm bài tập với các ví dụ đơn giản như ví dụ
1, ví dụ 2 ở các nhóm bài tập. Còn đối với học sinh khá giỏi yêu cầu đạt được
phải cao hơn nên ngoài việc thực hiện yêu cầu như học sinh trung bình các em
còn phải biết thực hiện các ví dụ khác trong các nhóm bài tập.
Trong các tiết ôn tập buổi chiều tôi đã hướng dẫn học sinh một cách chi
tiết, từng bước một. Nhờ vậy mà học sinh tiếp cận khá tốt, thông qua các ví dụ
đó các em một mặt hệ thống lại được kiến thức một mặt hoàn thiện kỹ năng giải
bài tập một cách vững chắc. Đồng thời mỗi nhóm bài tôi cho các em hệ thống
các bài tập tương tự để các em về nhà luyện tập thêm. Với sự cố gắng của bản
thân trong quá trình giảng dạy và sự nỗ lực của các em học sinh trong học tập hy
vọng rằng chất lượng giáo dục của Quan Sơn sẽ ngày càng được nâng lên.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy phần
toán tối ưu trong thực tế rất mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp để đề tài
hoàn thiện hơn. Qua đó mong muốn cung cấp cho các em một tài liệu học tập bổ
ích đáp ứng nhu cầu học tập của các em học sinh.
2. Kiến nghị
“Toán thực tế” là một chuyên đề mà Bộ mới đưa vào đề thi THPT Quốc
Gia nên tài liệu chưa có nhiều, đề nghị với nhóm chuyên môn siêu tầm thêm
nhiều tài liệu phần này để học sinh tham khảo thêm.

XÁC NHẬN CỦA
HIỆU TRƯỞNG
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………
……………………………

Thanh Hóa, ngày 28 tháng 4 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

18


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Sách giáo khoa giải tích 12 - Trần Văn Hạo - Nhà xuất bản giáo dục, 2008.
[2]. Sách bài tập giải tích 12 - Vũ Tuấn - Nhà xuất bản giáo dục, 2008.
[3]. Các đề minh họa môn toán lần 1, lần 2 năm 2017 của Bộ Giáo Dục.
[4]. Các đề thi thử quốc gia môn toán năm 2017 của các trường học trên cả
nước.
[5]. Ôn luyện trắc nghiệm thi trung học phổ thông quốc gia – Phạm Hoàng Quân
– Nhà xuất bản đại học sư phạm, 2017
[6]. Tham khảo một số tài liệu trên mạng Internet
- Nguồn:
- Nguồn:

- Nguồn:

19