Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8

Giáo án BDHSG Toán 8
Tiết 1-2-3-4
Chuyên đề 1:
phép nhân và phép chia đa thức
Dạng tổng quát:
Phép nhân đơn thức với đa thức,đa thức với da thức:
A(B+C) = A.B +A.C
( A + B)( C+ D ) = A . C + A . D + B . C + B . D
Các bài toán vận dụng:
Bài toán 1:
Cho biểu thức:
M =
433
432
229
1
)
433
1
2(
229
3
+
-
433229
4

a) Bằng cách đặt
a=
229
1

,
b=
433
1
, hãy rút gọn biểu thức M theo
a
và
b
b) Tính giá trị của biểu thức M.
Giải:
a) M =
aabbaba 54)1()2(3 ==
b) M =
229
5
229
1
55 ==a
Bài toán 2:
Tính giá trị của biểu thức:
A=
15555
2345
++ xxxxx
với x= 4

Giải:
Cách 1. Thay
4
=

x
, ta có
A = 4
5
-5.4
4
+5.4
3
-5.4
2
+5.4-1
= 4
5
-(4+1).4
4
+(4+1).4
3
-(4+1)4
2
+ (4+1).4-1
= 4-1
= 3
Cách 2: Thay 5 bởi
1+x
, ta có:
A =
1)1()1()1()1(
2345
++++++ xxxxxxxxx
=

xxxxxxx ++
334455
2
+
1
2
+ xx
=
1

x
= 3.
Nhận xét: Khi tính giá trị của biểu thức, ta thờng thay chữ bằng
số.Nhng ở ví dụ 1 và ở cách 2 của ví dụ 2, ta lại thay số bằng chữ.
Bài toán 3:
Chứng minh hằng đẳng thức
2
))(())(())(( xcabcabaxcxcxbxbxax ++=++
biết rằng
cbax
++=
2
Giải:
Biến đổi vế trái ta đợc:
).()(23ã
2222
cabcabcbaxxabcxxbcbxcxxabbxx +++++=+++++
Thay
cba
++

bởi
x2
đợc vế trái bằng
cabcabx +++
2
, bằng vế phải.
Giáo án BDHSG Toán 8
bài tập:
Bài tập 1: Rút gọn bểu thức
[ ]
}{
)5(322 xyxyyxxy +
Với
2222
2,2 babaybabax +=++=
.
Bài tập 2:
a)Chứng minh rằng
121110
222 ++
chia hết cho 7
b) Viết 7.32 thành tổng của ba luỹ thừa cơ số 2 với các số mũ là ba
số tự nhiên liên tiếp
Bài tập 3:
Tính
39
8
118117
5
119

118
5
117
4
119
1
117
1
3 +


Bài tập 4:
Chứng minh hằng đẳng thức:
(
)()()())((
222222
abcccabbbcaacbacabcabcba ++=++++
Bài tập 5:
Rút gọn biểu thức
))()(( cxbxax +++
biểu rằng
60,7,6 ==++=++ abccabcabcba

Tiết 5-6-7-8
Chuyên đề 2:
các hằng đẳng thức đáng nhớ
Ngoài bảy hằng đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến các hằng đẳng thức mở
rộng.
từ đẳng thức (1) ta suy ra:
cabcabcbacba 222)(

2222
+++++=++
Mở rộng:
nnnnn
aaaaaaaaaaa
121
22
1
2
2
2
1
2
21
2 2 ) (

+++++++=++
Tổng quát:
n
b
n
a
n
aBbBba +=+=+
)()(
)(
Giáo án BDHSG Toán 8
Các ví dụ :
Ví dụ 1:
Cho x+y=9 ; xy=14. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) x-y ; b) x
2
+y
2
; c)x
3
+y
3
.
Giải
a) (x-y)
2
=x
2
-2xy+y
2
=x
2
+2xy+y
2
-4xy=(x+y)
2
-4xy=9
2
-4.14=25=5
2
suy ra x-y =

5
b) (x+y)

2
=x
2
+y
2
+2xy
suy ra x
2
+y
2
=(x+y)
2
-2xy = 9
2
-2.14 = 53
c) (x+y)
3
= x
3
+y
3
+3x
2
y+3xy
2
= x
3
+y
3
+3xy(x+y)

suy ra x
3
+y
3
=(x+y)
3
-3xy(x+y) =9
3
-3.14.9 = 351
Nhận xét:
1. Hai số có bình phơng bằng nhau thì chúng đối nhau hoặc bằng nhau.Ngợc
lại , hai số đối nhau hoặc bằng nhau có bình phơng bằng nhau.
( A B)
2
= ( B A )
2
2. Để tiện sử dụng ta còn viết:
( A + B)
3
= A
3
+ B
3
+ 3AB(A+B)
( A B)
3
= A
3
- B
3

- 3AB(A-B )
Ví dụ 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A = (x + 3y 5)
2
- 6xy + 26
Giải :
A = x
2
+ 9y
2
+ 25 + 6xy 10x -30y 6xy + 26
= ( x
2
- 10x + 25) + ( 9y
2
- 30y + 25 ) + 1
= ( x -5)
2
+ ( 3y-5)
2
+ 1
Vì (x-5)
2

0 (dấu = xảy ra

x=5 ); (3y-5)
2

0 (dấu = xảy ra


y=
3
5
) nên A

1.Do đó GTNN của a =1 (khi và chỉ khi x=5 ; y
3
5
=
).
Ta viết min A = 1.
Nhận xét :
1. Các hằng đẳng thức đợc vận dụng theo hai chiều ngợc nhau.
Chẳng hạn:
(A B )
2
= A
2
- 2AB + B
2
hoặc ngợc lại
2. Bình phơng của mọi số đều không âm :
( A B )
2

0 (dấu = xảy ra

A = B).
Ví dụ 4:
Cho đa thức 2x
2
- 5x +3.Viết đa thức trên dới dạng một đa
thức của biến y trong đó y =x+ 1.
Giải: thay x bởi y-1, ta đợc :

1x
2
- 5x +3 = 2( y 1)
2
- 5( y-1 ) + 3
= 2 ( y
2
- 2y + 1) 5y + 3 + 5
= 2y
2
- 9y + 10
Ví dụ 5:
Số nào lớn hơn trong hai số A và B ?
Giáo án BDHSG Toán 8
A = (2+1)(2
2
+1)(2
4
+1)(2
8
+1)(2

16
+1)
B = 2
32
.
Giải:
Nhân hai vế của A với 2-1, ta đợc :
A = (2-1)(2+1)(2
2
+1)(2
4
+1)(2
8
+1)(2
16
+1).
áp dụng hằng đẳng thức (a+b)(a-b) = a
2
- b
2
nhiều lần, ta đợc:
A = 2
32
-1. Vậy A < B.
Ví dụ 6:
Rút gọn biểu thức :
A = (a + b + c)
3
+ (a - b c)
3

-6a(b + c)
2
.
Giải :
A = [a + (b + c)]
3
+ [a (b + c)]
3
- 6a(b + c )
2
= a
3
+ 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
+ (b + c) + a
3
-3a
2
(b + c) +
+ a
3
- 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
- (b + c)
3
- 6a(b + c)

2
= 2a
3
Bài tập vận dụng:
A Các hằng đẳng thức (1),(2),(3),(4)
Bài 6:
Tính nhamh kết quả các biểu thức sau:
a) 127
2
+146.127 + 73
2
;
b) 9
8
.2
8
- (18
4
- 1)(18
4
+ 1) ;
c) 100
2
- 99
2
+ 98
2
- + 2
2
- 1

2
d) (20
2
+18
2
+ +4
2
+2
2
) (19
2
+17
2
+ +3
2
+1
2
) ;
e)
22
22
75125.150125
220780
++

Bài 7 :
Tính giá trị của biểu thức bằng cách hợp lí :
a) A =
22
22

246254
242258


; b) B = 263
2
+ 74.263 + 37
2
; C = 136
2
-92.136 + 46
2
;
c) D = (50
2
+ 48
2
+ +2
2
) (49
2
+47
2
+ +3
2
+ 1
2
)
Bài 8 :
Cho a

2
+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ca . Chng minh rằng a = b = c .
Bài 9 :
Tìm x và tìm n

N biết
x
2
+ 2x + 4
n
- 2
1+n
+2 = 0.
B Các hằng đẳng thức (5), (6), (7) :
D
C
B
A
Giáo án BDHSG Toán 8
Bài 10 :
Rút gọn các biểu thức :
a) x(x-1)(x+1) (x+1)(x
2
-x+1) ;
b) 3x
2

(x+1)(x-1) (x
2
-1)(x
4
+x
2
+1)+(x
2
-1)
3
;
c) (a+b+c)
3
+((a-b-c)
3
+(b-c-a)
3
+(c-a-b)
3
;
Bài 11 :
Tìm x biết :
6(x+1)
2
-2(x+1)
3
+2(x-1)(x
2
+x+1) = 0
Bài 12 :

Chứng minh các hằng đẳng thức :
(a+b+c)
3
= a
3
+b
3
+c
3
+3(a+b)(b+c)(c+a).
Bài 13 :
Cho a+b+c+d = 0 . Chứng minh rằng :
a
3
+b
3
+c
3
+d
3
= 3(ab cd)(c +d) .
Bài 14 :
Cho a+b = 1 .Tính giá trị của M = 2(a
3
+b
3
) 3(a
2
+b
2

) .
Tiết 9-10-11-12
Chuyên đề 3: Tứ Giác hình Thang Hình thang cân
*) Khái niệm chung về tứ giác:
+) Định nghĩa :
a) Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì
hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đờng thẳng.
A, B, C, D là các đỉnh ; AB, BC, CD, DA là các cạnh.
Ta chỉ xét tứ giác đơn trong đó các cạnh chỉ có thể cắt nhau tại các đỉnh.
Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề nhau (cùng nằm trên một
cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ một đỉnh) với hai cạnh
đối (không kề nhau).
Đờng chéo của tứ giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau.
Trong tập hợp , các điểm của mặt phẳng chứa một tứ giác đơn, ta phân biệt
điểm thuộc tứ giác, điẻm trong tứ giác, điểm ngoài tứ giác.
b) ABCD là tứ giác lồi

ABCD luôn thuộc nửa mặt phẳng với bờ là đờng thẳng
chứa bất kỳ cạnh nào của nó.
Tứ giác (đơn) không lồi là tứ giác lõm.
Trong hình, ABCD là tứ giác lồi
3. Định lí:
Tổng các gọc trong tứ giác bằng 360
0
.
*) Tìm hiểu sâu về tứ giác giác lồi:
Định lí : Trong một tứ giác lồi , hai đờng chéo cắt nhau.
Đảo lại, nếu một tứ giác có hai đờng chéo cắt nhau thì đó là một tứ giác
lồi.
ABCD lồi

ABCD có hai đờng chéo cắt nhau.
Để chứng minh định lí, cần nhớ lại mấy định lí sau đây:
(I) Tia Oz nằm trong gọc xOy

tia Oz cắt đoạn thẳng MN, với M

Oz, N

Oy
(II) Néu tia Oz nằm trong xOy thì Oz và Oy nằm trong nửa mặt phẳng
bờ chứa Oy; Oz và O x nằm trong nửa mặt phẳng bờ chứa Oy.
(III)
Cho tam giác ABC
a) Các trung tuyến xuất phát từ các điểm A và C cắt nhau tại điểm M. Tứ giác
ABCM là lồi hay không lồi? Vì sao?
M
C
A
B
j
M'
M
B
C
A
M
N
C
A

B
Giáo án BDHSG Toán 8
b) M là một điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( không thẳng
hàng với hai đỉnh nào của tam giác). Với vị trí nào của điểm M thì ABCM
là tứ giác lồi?
c) M và N là hai điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( và không
thẳng hàng với đỉnh nào của tam giác). Chứng minh rằng trong năm điểm
A, B, M, N, C bao giờ cũng chọn ra đợc bốn điểm là đỉnh của một tứ giác
lồi.
Giải
a) ABCM không lồi (lõm), vì B và C nằm ở hai nửa mặt
phẳng đối nhau có bờ chứa AM (h .2a)
b) Kết quả ở câu a/ cũng đúng khi M là điểm bất kì
thuộc miền trong của tam giác ABC.
Nếu M thuộc miền ngoài của ABC thì có hai
trờng hợp :
- M ở trong góc đối đỉnh của một góc
của tam giác. trong h .2b, M ở trong góc đối
đỉnh của góc B . Dễ thấy rằng lúc đó đỉng B lại là điểm thuộc miền trong
của tam giác MAC, do đó AMCB không lồi(lõm).
- M ở trong một góc của tam giác. trong hình 2b, M nằm trong góc A. Do
đó AM là tia trong của góc A, mà A và M nằm ở hai phía của cạnh BC, cho nên
đoạn Am cắt đoạn thẳng BC và ABMC là tứ giác lồi.
Tóm lại, trong h .2b, các miền đợc gạch chéo là tập hợp các điểm M mà MABC
là tứ giác lõm.
Các miền khác (để trắng ) là tập hợp các điểm M mà M, A, B, C là các
đỉnh của tứ giác lồi.
c) Đờng thẳng đi qua hai điểm M và N bao giờ
cũng không cắt một cạnh của tam giác ABC. Trong h .2c, đờng thẳng MN không
cắt AC. Tứ giác MNCA là tứ giác lồi(điểm N thuộc miền ngoài của tam

giác MAC và nằm trong góc MAC).
H .2a
các ví dụ :
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi tổng độ dài các cạnh(chu vi)
lớn hơn tổng độ dài các đờng chéo và nhỏ hơn hai lần tổng độ dài các đờng chéo.
*) Nhận xét :
o
C
D
A
B
O
C
D
A
B
Giáo án BDHSG Toán 8
Đây là bài toán về chứng minh bất đẳng thức về các độ dài. nên kẻ thêm
các đờng phụ, xét các tam giác để áp dụng mệnh đề : Trong một tam giác,
toỏng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba.
Giải
Cho tứ giác ABCD(h. 7). Ta phải chứng minh :
AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD)
1) Chứng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA
Ta có :
AC < AB +BC (bất đẳng thức trong

ABC)
AC < AD + DC (bất đẳng thức trong

ADC)
BD < BC + CD (bất đẳng thức trong

BCD)
BD < BA + AD (bất đẳng thức trong

BAD)
Từ đó :
2( AC + BD) < 2(AB +BC + CD + DA)
AC + BD < AB + BC + CD + DA
2) Chứng minh
AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD).
Trong tam giác ABO và CDO, ta có :
AB < BO + OA (1)
CD < CO + OD (2)
Cộng (1) và (2) ta có :
AB + CD < BO + OD + CO + OA
AB + CD < BD + AC (3)
Tơng tự, trong tam giác BCO và ADO, ta có :
AD + BC < BD + AC (4)
Từ (3) và (4) ta đợc :
AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD). (đpcm)
*) Nhận xét:
1) Từ mỗi bất đẳng thức (3) và (4) ta thấy vế trái là tổng của hai cạnh của
tứ giác, còn vế phải là tổng của hai đờng chéo. Vậy có thể phát biểu mệnh đề :
Trong một tứ giác giác lồi, tổng của hai cạnh đối nhỏ hơn tổng của hai đờng
chéo.
2) Nếu tứ giác ABCD không lồi, thì hai bất đẳng thức trong bài 7 có còn
đúng không ? vì sao?

Ví dụ 2:
Cho một tứ giác lồi ABCD, Tronh đó AB + BD không lớn hơn AC + CD.
Chứng minh rằng : AB < AC.
Giải
Gọi giao điểm của AC và BD là O
Trong tam giác AOB, ta có :
AB < AO + OB (1)
Trong tam giác COD, ta có :
CD < CO + OD (2)
Từ (1) và (2) ta có :
AB + CD < BO + OD + CO + OA
AB + CD < AC + BD (3)
Theo giả thiết :
AB + BD

AC + CD (4)
Từ (3) và (4) suy ra AB < AC.
(đpcm)
Ví dụ 3 :
Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi P và Q là trung điểm của hai cạnh AD và BC.
Chứng minh rằng :
Q
F
P
D
C
B
A
Giáo án BDHSG Toán 8
PQ

2
ABDC +
Gợi ý :
ở đây có bất đẳng thức giữa độ dài các đoạn thẳng , nên kẻ đờng phụ để có
các hình tam giác, lại có trung điểm của các cạnh, nên nhgĩ đến việc áp dụng
định lí về đờng trung bình trong tam giác.
Giải
GT Tứ giác ABCD
PA = PD, QB = QC
KL PQ

2
ABDC +
Cm:
Ta kẻ thêm đờng chéo AC và lấy trung điểm
F của AC.
Trong tam giác ACD, PF là đờng trung bình, do
đó :
PF =
2
DC
Trong tam giác ACD, PF là đờng trung bình. do đó :
QF =
2
AB
Nếu P,Q và F không thẳng hàng thì trong tam giác PQF ta có:
PQ < PF + QF =
2
ABDC +

Nếu P, Q, và F thẳng hàng thì F là điểm nằm giữa của hai đoạn thẳng PQ và ta có
:
PQ = PF + QF =
2
ABDC +
Nh vậy trong mọi trờng hợp, ta có :
PQ

2
ABDC +
.
( đpcm)
Nhận xét :
Có thể thấy ngay rằng :
P, Q, F thẳng hàng

AB//CD.
Do đó ta chứng minh đợc rằng :
PQ

2
ABDC +
.
Trong đó dấu = xảy ra khi và chỉ khi AB//CD.
Nh vậy, qua việc giải bài toán trên, ta chứng minh cùng một lúc hai định
lí:
(1) Nếu ABCD là hình thang (AB//CD) thì PQ =
2
ABCD +
(2) Nếu ABCD không là hình thang (AB//CD) thì PQ

2
ABCD +
và PQ <
2
ABDC +
Các bài tập :
Bài tập 1:
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
Giáo án BDHSG Toán 8
Cho A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ giác lồi,E là một điểm thuộc
miền trong của ttam giác OCD, với O là giao điểm của hai đoạn thẳng AC và
BD. Chỉ ra tứ giác lồi nhận bốn trong năm điểm A, B, C, D, E.
Bài tập 2:
Chứng minh rằng từ năm điểm bất kì trong mặt phẳng(không có ba
điểm nào thẳng hàng) Bao giờ cũng chọn đợc bốn điểm là các đỉnh của một tứ
giác lồi.
Bài tập 3:

Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi có các góc không bằng nhau
thì có ít nhất một góc tù.
Bài tập 4:
Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài gặp nhau tại E,
hai cạnh AB và CD kéo dài gặp nhau tại M. Kẻ hai phân giác của hai góc CED
và BMC cắt nhau tại K. tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác ABCD.
*) hình thang hình thang cân:
Hình thang:
-) Định nghĩa:
Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song.
AB//CD
ABCD là hình thang

hoặc (AB//CD,AD//BC)
AD//BC
Trong hình thang, hai
cạnh song song là hai cạnh đáy; hai cạnh kia là hai cạnh bên, đoạn thẳng
nối trung điểm của hai cạnh bên gọi là đờng trung bình
2. Định lí (về đờng trung bình)
AB//CD

PQ//AB và PQ =
2
CDAB +
hình thang cân
1. Định nghĩa:
Hình thang cân là hình thang có hai gọc ở đáy bằng nhau.
2. Tính chất:
Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
Hình thang ABCD (AB//CD) :

BC= AD
Định lí 2 : Trong hình thang cân hai đờng chéo bằng nhau.
Hình thang ABCD(AB//CD) :

AC = BD
Định lí 3 :(đảo của định lí 2)
Nếu hình thang có hai đờng chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân.
3. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:
Để chứng minh hình thang là cân, ta có thể chứng minh hình thang
đó có một trong các tính chất sau :
1) Hai gọc ở đáy bằng nhau(định nghĩa).
D
E
O
K
L
B
C
A
O
E
D
H
C
B
A
Giáo án BDHSG Toán 8
2) Hai đờng chéo bằng nhau.
Ví dụ 4 :

Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Lấy các điểm E, K lần lợt trên các tia AB
và AC sao cho :
AE + AK = AB + AC
Chứng minh rằng : BC < EK.
Giải :
Lấy trên AB một điểm L sao cho
AL = AK
Lấy trên AC một điểm D sao cho
AD = AE
Rõ ràng các tam giác ALK và AED là những
tam giác cân có chung góc ở đỉnh A nên các góc đáy của chúng bằng nhau. Suy
ra LK// ED, do đó DELK là hình thang cân, có các đờng chéo bằng nhau.
DL = EK (1)
Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo DL và EK, ta xét tổng :
EK + DL = (EO + OK) + (DO + OL)
= (EO + OD) + (OK + OL)
Từ (1) và đẳng thức cuối cùng này, ta có :
2 EK = (EO + OD) + (OK + OL) (2)
Nhng trong tam giác OKL, ta có :
OK + OL > LK (3)
Trong

DEO : EO + OD > ED (4)
Từ (2), (3) và (4) : 2EK > LK + ED (5)
Từ giả thiết AE + AK = AB + AC
Suy ra BE = CK
Mặt khác dễ thấy BCDE là hình thang cân nên
BE = CK
Vậy DC = CK.
Tơng tự, ta cũng chứng minh đợc B là trung điểm của EL.

Từ đó, BC ;là đờng trung bình của hình thang DELK, suy ra :
LK + ED = 2BC (6)
Từ (5) và (6), ta có : EK > BC
( đ p c m).
Ví dụ 5 :
Cho hình thang ABCD (AB//CD) có hai đờng chéo vuông góc. Biết đ-
ờng cao AH = h, Tính tổng hai đáy.
Giải :
Vẽ AE// BD (E

CD). Vì AC

BD (gt) nên AC

AE (quan hệ giữa tính song
song và vuông góc).
Ta có AE = BD ; AB = DE (tính chất đoạn chắn)
AC = BD (tính chất đờng chéo hình thang cân)Suy ra
AC = AE ;
V
AEC vuông cân tại A ; đờng cao
AH cũng là trung tuyến, do đó AH =
1 1
EC (AB CD)
2 2
= +
hay
AB + CD =2h.
Nhận xét:
Khi giải toán về hình thang, đặc biệt là hình thang cân, nếu cần vẽ đờng

phụ ta có thể :
- Từ một đỉng vẽ đờng thẳng song song với một đờng chéo (nh ví dụ
trên).
2
1
2
1
A
D
H
C
B
K
Giáo án BDHSG Toán 8
- Từ một đỉnh vẽ một đờng thẳng song song với một cạnh bên.
- Từ một đỉnh vẽ thêm một đờng cao.
Ví dụ 6 :
Cho tứ giác ABCD có AD = AB = BC và
à
à
0
A C 180+ =
. Chứng minh rằng
a) Tia DB là tia phân giác của góc D.
b) Tứ giác ABCD là hình thang cân.
Giải :
a) Vẽ BH

CD, BK

AD. Ta có
ả
à
1
A C=
(cùng bù với
ả
2
A
)
do đó

BHC =

BKA(cạnh huyền, góc
nhọn), suy ra BH = BK.
Vậy DB là tia phân giác của góc D.
b) Góc
1
A
là góc ngoài tại đỉnh A của tam
giác cân ADB nên
ả
ả
ả
ã
1 1 1
A 2D A ADC AB// CD= =
(vì có cặp góc đồng
vị bằng nhau).

Vậy tứ giác ABCD là hình thang. Hình thang này có
ã
à
1
ADC C=
(vì cùng bằng
ả
1
A
) nên là hình thang cân.
Nhận xét :
Để chứng minh tứ giác là hình thang cân, trớc tiên phải chứng minh tứ giác đó là
hình thang, sau đó chứng minh hai góc kề một đáy bằng nhau(theo định nghĩa)
hoặc hai đờng chéo bằng nhau.
Trong ví dụ trên, sau khi chứng minh đợc AB//CD cần tránh sai lầm cho rằng vì
AD = BC (gt) nên ABCD là hình thang cân, sai lầm ở chỗ hình thang có hai cạnh
bằng nhau cha chắc đã là hình thang cân.
Các bài tập vận dụnG
Bài tập 5:
Cho tứ giác lồi ABCD trong đó AD = DC và đờng chéo AC là phân
giác của góc DAB. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.
Bài tập 6 :
Chứng minh rằng trong một hình thang đờng thẳng đi qua trung
điểm của một cạnh bên song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên
kia.
Bài tập 7:
Cho tứ giác ABCD trong đó CD> AB . Gọi E, F lần lợt là trung điểm
của BD và AC . Chứng minh rằng
nếu E F =
2

ABCD
thì tứ giác ABCD là hình thang.
Bài tập 8:
Cho tam giác ABC trong đó AB > AC. Gọi H là chân đờng cao kẻ từ
đỉnh A và M, N, P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC.
Chứng minh rằng tứ giác MNHP là hình thang cân.
Bài tập 9:
Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Lấy các điểm E, K lần lợt trên các
tia AB và AC sao cho :
AE + AK = AB +AC
F
E
D
C
B
A
E
F
C
D
A
N
M
D
C
B
A
Giáo án BDHSG Toán 8
Chứng minh rằng : BC < EK .
Tiết 13 =>18

Chuyên đề 5 (6tiết):
Đờng trung bình của tam giác, của hình thang
*) Kiến thức cơ bản :
1. a) Đờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song
song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
b) Đờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và
song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.
2. a) Đờng trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai
cạnh của tam giác. (h.8)
b) Đờng trung bình của hình thang là đoạn nối trung điểm hai cạnh
bên của hình thang.(h.9)

h.8 h.9
3.a) Đờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa
cạnh đấy.
b) Đờng trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và
bằng nửa tổng hai đáy.
Bổ sung :
Trong hình thang có hai cạnh bên không song song, đoạn thẳng nối
trung điểm hai đờng chéo thì song song với hai đáy và bằng nửa hiệu hai đáy.
Trong h.10 :
MN // AB // CD
CD AB
MN
2

=
.
Các ví dụ minh họa
*) Ví dụ 1:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AD và BC. Chứng
minh rằng nếu
AB CD
MN
2
+
=
thì tứ giác ABCD là hình thang.
Giải :
O
N
M
D
C
B
A
P
Q
N
M
D
C
B
A
Giáo án BDHSG Toán 8
Gọi O là trung điểm của BD. Các đoạn thẳng OM, ON lần lợt là đờng
trung bình của
ABD

và

BCD

nên
AB
OM
2
=
và OM // AB ; (1)
ON =
CD
2
và ON // CD ; (2)
Suy ra O nằm giữa M và N. Vậy ba điểm M,
O, N thẳng hàng (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra AB // CD do đó tứ giác
ABCD là hình thang.
+) Nhận xét :
Trong giả thiết của bài toán có trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nối hai
điểm này ta cha đợc đờng trung bình của tam giác nào cả. Vì thế ta đã vẽ thêm
trung điểm của đờng chéo BD ( hoặc AC ) và vận dụng đợc định lí đờng trung
bình của tam giác để chứng minh.
Việc vẽ thêm trung điểm của một đoạn thẳng để vận dụng đờng trung bình
của tam giác là việc vẽ đờng phụ thờng gặp khi giải bài toán hình học.
*) Ví dụ 2 :
Cho hình thang ABCD ( đáy AB nhỏ hơn đáy CD ). Tìm điều kiện của
hình thang này để hai đờng chéo của nó chia đờng trung bình thành ba phần
bằng nhau.
Giải :
Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AD và BC ; MN
cắt BD tại P, cắt AC tại Q ; MN là đờng trung bình của

hình thang nên MN // AB // CD.
Xét
ABD

có MA = MD ; MP // AB nên PB = PD
Xét
ADC
có MA = MD ; MQ // CD nên QA = QC.
MP và NQ lần lợt là đờng trung bình của
ABD

và
ABC

nên
AB
MP NQ
2
= =
.
PQ là đoạn nối trung điểm hai đờng chéo của hình thang ABCD nên
CD AB
PQ
2

=
.
Ta có : MP = +Q = QN
AB2 CD AB
2 2

=

AB CD AB
CD 2.AB
=
=
+) Nhận xét :
Nếu không có điều kiện đáy AB nhỏ hơn đáy CD thì khi AB = 2.CD ,
chứng minh tơng tự nh trên ta vẫn có hai đờng chéo chia đờng trung bình thành
ba phần bằng nhau.
Tóm lại, nếu hình thang có một đáy gấp đôi đáy kia thì hai đờng chéo của nó
chia đờng trung bình làm ba phần bằng nhau.
*) Ví dụ 3 :
Từ ba đỉnh của một tam giác, hạ các đờng vuông góc xuống một đờng
thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác đó. Chứng minh rằng tổng độ dài ba đ-
ờng vuông góc đó gấp ba lần độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ trọng tâm tam
giác xuống đờng thẳng d.
Giải :
F
O
D
M
B
H
N
I
G
P
K

C
E
A
F
E
H
C
A
N
B
B'
M
A'
Giáo án BDHSG Toán 8
Giả sử
ABC
có ba đờng trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại O; các
đoạn thẳng AG, BH, OI, CK đều vuông góc với đờng thẳng d. Ta phải chứng
minh: AG + BH + CK = 3OI
Từ trung điểm M của BO và từ E, ta hạ MN và
EP vuông góc với d. Ta có BH // MN // OI //
AG // EP //CK ( chúng cùng vuông góc với d).
Vì O là tọng tâm của tam giác ABC nên BM =
MO = OE. Ta lại có HN =
IN = IP (đờng thẳng song song cách đều). Nh vậy
ta đợc ba hình thang vuông BOIH, MEPN, ACKG lần lợt có MN, OI, EP là các
đờng trung bình. Từ đó suy ra
MN + EP = 2.OI hay 2MN + 2EP = 4.OI (1)
Nhng 2MN = BH + OI, 2EP = AG + CK, thay vào (1) ta đợc
BH + OI + AG + CK = 4.OI suy ra AG + BH + CK = 3.OI.

Ví dụ 4 :
Cho một điểm C ở ngoài một đoạn thẳng AB. Dựng các tam giác vuông
cân ACA, BCB ra ngoài tam giác ABC (
ã
ã
A'AC = CBB' = 1v
). Chứng minh rằng
vị trí của điểm M ( trung điểm của AB) không phụ thuộc vào vị trí chọn điểm
C.
Giải :
Hạ AH, C E và BF cùng vuông góc với đờng thẳng AB. Ta dễ dàng chứng
minh đợc các cặp tam giác vuông sau đây bằng nhau :
A'HA = AEC (1)
B'FB = BEC (2)


Suy ra AH = BF = CE. Gọi N là
trung điểm của HF thì N cũng là
trung điểm của AB. MN cũng là
đờng trung bình của hình thang
vuông
AHFB nên
A'H + B'F
MN AB và MN =
2

.
Nhng từ (1) và (2) ta có AH = AE ; BF = BE
nên
AE + BE AB

MN =
2 2
=
.
Vậy MN vuông góc với AB tại trung điểm N của AB và
AB
MN =
2
, nghĩa
là vị trí điểm M đợc hoàn toàn xác định không phụ thuộc vào việc chọn điểm C
( C là điểm bất kì, C và M cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đờng thẳng AB).
các bài tập vận dụng
Bài 1:
Cho tam giác ABC có
à
A =

. Trên cạnh CA lấy điểm D sao cho CD = AB. Kẻ
đờng thẳng xy qua trung điểm của AD và BC. tính góc do đờng thẳng xy tạo với
AB.
Bài 2 :
Giáo án BDHSG Toán 8
Trên hai cạnh của góc nhọn xOy, ta đặt các đoạn thẳng AB và CD bằng
nhau ( A nằm giữa O và B, C nằm giữa O và D). Các điẻm I và E lần lợt là trung
điểm của AC và BD. Chứng minh rằng đờng thẳng IE song song với tia phân giác
của góc xOy.
Cho tam giác ABC. Dựng tam giác vuông cân ABD( vuông ở A, D và C
cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB), dựng tam giác vuông cân AEC ( vuông ở A,
E và B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC). Gọi K, I, M lần lợt là trung điểm của
EC, BD và BC. Chứng minh rằng tam giác KMI vuông cân.

Bài 4:
Cho hai điểm A và B ở ngoài đờng thẳng xy. tìm hệ thức giữa khoảng cách từ
trung điểm O của đoạn thẳng AB đến xy và các khoảng cách từ A và B đến xy.
Bài5 :
Cho tam giác ABC. Đờng thẳng xy đi qua đỉnh A. Gọi B và C là chân đ-
ờng vuông góc kẻ từ B và C xuống xy. Hãy xác định vị trí của đờng thẳng xy để
tổng BB + CC đặt giá trị lớn nhất.
Tiết 19 => 24
Chuyên đề 4: ( 6tiết)
phân tích đa thức thành nhân tử
Giáo án BDHSG Toán 8
*) Kiến thức cơ bản:
1. Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích
của những đa thức .
2. Các phơng pháp thông thờng :
+) Phơng pháp đặt nhân tử chung
AB + AC AD = A(B+C-D).
+) Phơng pháp dùng hằng đẳng thức :
A
2

2AB + B
2
= (A

B)
2
A
3

3A
2
B + 3AB
2


B
3
= (A

B)
3
A
2
B
2
= (A-B)(A+B)
A
3
- B
3
= (A-B)( A
2
+ AB + B
2
)
A
3
+ B

3
= (A+ B)( A
2
AB + B
2
)
+) Phơng pháp nhóm các hạng tử :
AC AD + BC BD = (C D )(A + B)
*) Nâng cao :
1. Dạng tổng quát của các hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng, hiệu hai
lập phơng là :
A
n
B
n
= (A B)(A
n-1
+ A
n-2
B + + AB
n-2
+ B
n-1
).
2. Dạng tổng quát của hằng đẳng thức tổng hai lập phơng là :
A
n
+ B
n
= (A + B)(A

n-1
A
n-2
B +A
n-3
B
2
- AB
2
+ B
n-1
).
3. áp dụng vào tính chất chia hết :
A
n
B
n


A B với n

N và A

B ;
A
n
+ B
n

A + B với n lẻ và A

-B :
A
2k
B
2k


A
2
B
2
với k

N và A

B .
các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a) x
2
6x + 8 ;
b) 9x
2
+ 6x -8 ;
Giải : Ba hạng tử của đa thức không có nhân tử chung , cũng không lập thành
bình phơng của một nhị thức. Do đó ta nghĩ đến việc tách một hạng tử thành hai
hạng tử để tạo thành đa thức có bốn hoặc năm hạng tử.
a) Cách 1. x

2
-6x + 8 = x
2
2x 4x + 8 = x(x 2) 4(x 2) = (x
2)(x- 4)
Cách 2. x
2
6x + 8 = x
2
6x + 9 1 = (x -3)
2
- 1 = (x 2)(x 4)
Cách 3. x
2
6x +8 = x
2
- 4 - 6x+12 = (x+ 2)(x 2)6(x-2) =(x- 2)(x-
4)
Cách 4. x
2
6x+8 = x
2
- 16 6x+24 = (x+4)(x 4) -6 (x- 4) = (x 4)(x
2)
b) Có nhiều cách tách một hạng tử thành hai hạng tử khác, trong đó hai cách
sau là thông dụng nhất :
Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các
hạng tử và đặt nhân tử chung mới.
9x
2

+6x 8 = 9x
2
-6x + 12x 8 = 3x(3x 2) + 4(3x 2) = (3x -2)(3x
+ 4)
Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu
của hai bình phơng.
9x
2
+ 6x 8 = 9x
2
+6x+1-9 = (3x + 1)
2
- 3
2
= (3x +4)(3x -2).
*) Chú ý : Cách tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằng
đẳng thức :
mpx
2
+ (mp +nq)x +nq = (mx +n)(px + q).
Giáo án BDHSG Toán 8
Nh vậy trong tam thức bậc hai : ã
2
=bx + c, hệ số b đợc tách thành b
1
+ b
2

sao cho b
1

b
2
=ac .
Trong thực hành ta làm nh sau :
1. Tìm tích ac .
2. Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi
cách.
3. Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Trong đa thức 9x
2
+ 6x -8 thì a=9, b=6, c = -8.
Bớc 1 : Tích ac = 9 (- 8) = -72.
Bớc 2 : Phân tích -72 ra tích hai thừa số trái dấu, trong đó thừa số dơng có giá trị
tuyệt đối lớn hơn ( để tổng hai thừa số đó bằng 6).
-72 = (-1).72 = (-2).36 =(-3).24 =(-4) .18 = (-6).12 =(-8).9
Bớc 3 : Chọn hai thừa số mà tổng bằng 6. Đó là -6 và 12.
Trong trờng hợp tam thức
a
x
2
+ bx +c có b là số lẻ, hoặc a không là bình
phơng của một số nguyên thì giải theo cách 1 gọn hơn cách 2.
Ví dụ 2 : Phân tích thành nhân tử :(x
2
+x)
2
+4x
2
+4x -12.
Giải : Ta nhận thấy nếu đặt x

2
+x =y thì đa thức có dạng y
2
+ 4y -12 là
tam thức bậc hai đối với y. Ta có :
y
2
+4y -12 = y
2
+6y -2y -12 = y(y +6) 2(y +6) =(y + 6)(y -2)= (x
2
+x
+6)(x
2
+x 2)= (x
2
+ x +6)(x+2)(x 1)
Cách làm nh trên gọi là đổi biến.
Chú ý : Tam thức bậc hai
a
x
2
+bx +c sẽ không phân tích tiếp đợc nhân tử trong
phạm vi số hữu tỉ nếu :
Theo cách 1, khi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi
cách, không có hai thừa số nào có tổng bằng b, hoặc
Theo cách 2, sau khi đa tam thức về dạng
a
x
2

k thì k không là bình phơng
của số hữu tỉ.
Tam thức x
2
+x +6 không phân tích thành nhân tử đợc nữa(trong phạm vi
số hữu tỉ) vì :
Theo cách 1, tích ac =6 =1.6= 2.3, không có hai thừa số nào có tổng bằng
1.
Còn theo cách 2, x
2
+ x+6 = x
2
+ 2x.
2
1
+
4
1
+
4
23
= (x +
2
1
)
2
+
4
23
.

Ta thấy
4
23
không là bình phơng của một số hữu tỉ.
Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử : x
3
+ 3x
2
4.
Giải : Ta tách các hạng tử của đa thức trên bằng phơng pháp tìm nghiệm của đa
thức. Ta nhắc lại
a
là nghiệm của đa thức f
(x)
nếu f
(a)
= 0. Nh vậy nếu đa thức f
(x)

chứa nhân tử x-a thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta lại chú ý rằng, nếu đa thức
trên có một nhân tử là x-a thì nhân tử còn lại là x
2
+ bx + c, suy ra ac = -4, tức
là a phải là ớc của -4. Tổng quát, trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên
nếu có phải là ớc của hạng tử không đổi. Ước của -4 là

1,

2,

4. Kiểm tra ta
thấy -1 là nghiệm của đa thức. Nh vậy đa thức chứa nhân tử x-1, do đó ta tách
các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1.
Cách 1. x
3
+3x
2
4
= x
3
-x
2
+ 4x
2
-4
= x
2
(x -1)+ 4(x-1)(x
2
+4x+4)
=(x-1)(x+2)
2
.
Giáo án BDHSG Toán 8
Cách 2 . x
3
+3x
2
4= x
3

-1 + 3x
2
-3
= (x-1)(x
2
+x+1) + 3(x-1)(x+4)
= (x-1)(x
2
+x+1+3x+3)
= (x-1)(x+2)
2
.
Ta cũng chú ý rằng nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa
nhân tử x-1, nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các
hệ số bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử x+1
Ví dụ 4 : Phân tích thành nhân tử : 2x
3
-5x
2
+ 8x -3.
Giải : Các số

1,

3 không là nghiệm của đa thức, vậy đa thức không có
nghiệm nguyên. Nhng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ. Trong đa thức với hệ số
nguyên , nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng
q
p
trong đó p là ớc của hệ số tự do,q

là ớc dơng của hệ số cao nhất. Nh vậy nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thức trên chỉ
có thể là

1,

2
1
,

3, hoặc

2
3
. Sau khi kiểm tra ta thấy x=
2
1
là một nghiệm
nên đa thức chứa nhân tử x-
2
1
hay 2x-1. Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của
đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2x-1.
2x
3
-5x
2
+8x -3
= 2x
3
x

2
-4x
2
+2x +6x -3
= x
2
(2x-1)-2x(2x-1) + 3(2x-1)
= (2x-1)(x
2
2x +3).
Có thể giải bài tập trên bằng phơng pháp hệ số bất định : nếu đa thức trên phân
tích đợc thành nhân tử thì phải có dạng :
(
a
x +b)(cx
2
+dx +m).
Phép nhân này cho kết quả :
a
cx
3
+(ad +bc)x
2
+(am +bd)x +bm.
Đồng nhất đa thức này với 2x
3
-5x
2
+8x -3, ta đợc
ac =2, ad +bc =-5, am +bd =8, bm =-3

Có thể giả thiết rằng a > 0 (vì nếu a < 0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử), do
đó a=1 hoặc a=2.
Xét a=2 thì c=1, ta có 2d +b =-5, 2m +bd =8, bm = -3 ;b có thể bằng

1,

3.
Xét b =-1 thì m=3, d=-2 thoả mãn điều kiện trên.
Vậy a=2, c=1, b=-1, m=3, d=-2.
Ta có :
2x
3
-5x
2
+8x -3= (2x-1)(x
2
2x +3).
Ví dụ 5:
Cho x và y là hai số khác nhau, thoả mãn điều kiện :
9x(x-y) 10(y x)
2
= 0.
Chứng minh rằng: x = 10y.
Giải:
9x(x y) 10(y-x)
2
= 9x(x-y) -10(x-y)
2
=(x-y)[9x -10(x-
y)]=(x-y)(10y x).

Theo đề bài ta có (x-y)(-x +10y) = 0.
Vì x

y nên x +10y = 0 hay x = 10y.
C- các bài tập vận dụng
Bài tập 1:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 5x(x -2y) + 2(2y x)
2
; b) 7x(y -4)
2
(4 y)
3
;
c) (x
2
+4y
2
-5)
2
16(x
2
y
2
+2xy +1).
d) x
4
-25x
2
+20x -4; e) (a+b+c)

2
+(a-b+c)
2
- 4b
2
.
Giáo án BDHSG Toán 8
f) a
5
+ b
5
(a+b)
5
Bài tập 2: Chứng minh rằng:
a) 43
2
+ 43. 17

60
b) 21
10
- 1

200
c) 2005
2007
+ 2007
2005

2006
d) 49
5
49

100.
Bài tập 3: Cho x
2
y-y
2
x + x
2
z z
2
x+ y
2
z+z
2
y = 2xyz
Chứng minh rằng trong ba số x,y,z ít nhất cũng có hai số bằng nhau hoặc
đối nhau.
Bài tập 4 :
Phân tích thành nhân tử :
a) x
5
+x + 1
b) x
7
+ x
2

+ 1.
Bài tập 5 :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a)
A = (a-b)
3
+ (b-c)
3
+ (c-a)
3
b)
B = (a+ b -2c)
3
+ (b + c -2a)
3
+ (c + a 2b)
3
.
Bài tập 6 :
Phân tích đa thức A thành tích của một nhị thức bậc nhất với một đa thức
bậc ba với hệ số nguyên sao cho hệ số cao nhất của đa thức bậc ba là 1:
A = 3x
4
+ 11x
3
7x
2
2x + 1.
Bài tập 7 :
Phân tích đa thức B thành tích của hai tam thức bậc hai với hệ số nguyên :

B = x
4

6x
3
+ 11x
2
6x + 1.
Tiết 25-26-27-28
Chuyên đề 6 :
phơng pháp giải toán về chia hết trong tạp hợp z các số nguyên.
I. Nhắc lại một số kiến thức cơ bản ở lớp 6 và 7 về lí thuyết trong Z.
1. Tính chia hết :
a) Định nghĩa :
Cho a, b

Z ( b

0)
Giáo án BDHSG Toán 8
Nếu có q Z sao cho a = bq
Thì ta nói:
a là bội của b hoặc b là ớc của a
a chia hết cho b hoặc b chia hết a
Kí hiệu: a b
a b a = bq


M
M

b) Tính chất cơ bản của quan hệ chia hết trong Z
Với mọi a, b, c, m

Z :
1. a/ 0 (a

0)
2. 1/ a
3. a/ a (a

0)
4. a/b và b/a

a =
b (a, b 0)
5. a/ b và b/ c
a/c (a, b 0)
(Tính chất bắc cầu)
6. c/a và c/b
c/ (am + bn) (c 0)
2. Phép chia có d :
a) Định lí :
Cho hai số nguyên a, b (b> 0), bao giờ cũng có duy nhất cặp số nguyên q,
r sao cho :
a = bq + r với 0
r b <
.
r là số d trong phép chia a cho b.
(r = 0 : thì a chia hết cho b)
Khi r

0

, có thể lấy số d là số âm r = r- b.
b) Chia a cho b>0 thì số d r là một trong b số :
+) b chắn
b
r= 0, 1, 2, 3, +
2

(hoặc
b
r= 0, 1, 2, 3,
2

)
+) b lẻ
b-1
r= 0, 1, 2, 3,
2

.
3. Thuật toán Euclide để tìm ƯCLN của hai số :
Ước chung lớn nhất của hai số dơng a và b đợc kí hiệu là ƯCLN(a,
b) hoặc (a, b).
Thuật toán Euclide giúp ta tìm ƯCLN một cách khác. Thuật toán dựa trên điịnh
lí sau đây :
+) Nếu a là bội của b thì ƯCLN(a, b) = b
a = bq
(a, b) = b
+) Nếu a chia cho b, d r

0

, thì ƯCLN(a, b) bằng ƯCLN(b, r)
do đó, ta có thể thực hiện các phép chia liên tiếp để tìm ƯCLN(a, b).
Ví dụ :
Tìm ƯCLN(300, 105).
- Chia 300 cho 105, ta đợc d 90
- chia 105 cho 90, ta đợc d 15
- Chia 90 cho 15, ta đợc d 0
Vậy : ƯCLN(300, 105) = 15.
Có thể thấy rõ điều đó nh sau :
300 = 105. 2 + 90

(300; 105) = (105; 90)
105 = 90 . 1 + 15

(105; 90 ) = (105; 15)
90 = 15 . 6

( 90; 15 ) = 15
Vậy : (300; 15) = 15
Giáo án BDHSG Toán 8
Trong thực hành, ta đặt phép tính nh sau :
300 105
105 90 2
90 15 1
0 6
4. Một số định lí quan trọng :
*) Định lí 1 :
Một số d là ớc chung của a và b khi và chỉ khi d là ớc của ƯCLN(a, b).

d/a và d / b

d / (a, b)
*) Định lí 2 :
Một số m là bội chung của a và b khi và chỉ khi m là bội của BCNN(a, b)
m a và m b m [ a, b] M M M
*) Định lí 3 :
(a,b). [a, b] = ab
*) Định lí 4 :
Nếu a, b nguyên tố cùng nhau và tích a.c chia hết cho b thì c chia hết cho
b.
ac b và (a, b) = 1 c bM M
*) Định lí 5 :
Nếu c chia hết a và cho b mà a, b nguyên tố cùng nhau thì c cia hết cho
tích a.b.
c a, c b và (a, b) = 1 c a.bM M M
II Phơng pháp giải một số bài toán về chia hết :
*) ph ơng pháp 1 :
Để chng minh A(n) chia hết cho b, có thể xét mọi trờng hợp về số d khi
chia n cho p.
Bài toán 1:
Chứng minh rằng với mọi
n Z
:
A(n) = n(n
2
+ 1)(n
2
+ 4)
5M

Giải :
Xét mọi trờng hợp khi chia n
Z
cho 5, ta có số d là : r =
0, 1, 2.
a) r = 0
c) r =
2

A(n) là tích của ba thừa số, trong mọi trờng
hợp đều có một thừa số chia hết cho 5. Vậy A(n)
5M
, với mọi
n Z
.
Ví dụ 2 :
Chứng minh rằng :
a) Tổng của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 ;
b) Tổng của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5 ;
c) Tổng của 2k + 1 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2k + 1.
Gợi ý :
a) (n 1) + n + (n + 1) = 3n
b) (n 2) + (n 1) + n + (n + 1) + (n + 2) = 5n
c) (n k ) + (n k + 1) + + n + (n + 1) + + (n + k 1) + ( n + k)
= (2k + 1) n.
Ví dụ 3 :
Chứng minh rằng :
a) Trong 2 số nguyên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho 2 (chẵn) ;
b) Trong 3 số nguyên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho 3 ;
c) Trong k số nguyên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho k ;

2 2
2
n 5
b) r = 1 n = 5k 1
n 25 k 10k +1
(n 4) 5


=
+
M
M
2 2
2
n = 5k 2
n = 25k 20k 4
( n 1) 5

+
+
M
Giáo án BDHSG Toán 8
*) Ph ơng pháp 2 :
Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m, nói chung nên phân tích m ra
thừa số : m = p.q
1) Nếu p, q nguyên tố cùng nhau : ta tìm cách chứng minh :
A(n)
p và A(n) qM M
(Suy ra A(n)
p.q, M

theo định lí 5 về chia hết )
Ví dụ 4 :
a) Chứng minh rằng tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.
b) Tích của 4 số nguyên liên tiếp chia hết cho bao nhiêu.
Giải :
a) Gọi ba số nguyên liên tiếp là n, n +1, n + 2
Tích của chúng là :
A(n) = n(n + 1)(n + 2)
Ta có 6 = 2.3 ( 2 và 3 là số nguyên tố).
Trong 2 số nguyên liên tiếp n và n + 1, bao giờ cũng có một số chẵn, do đó A(n)
2M
Trong 3 số nguyên liên tiếp n, n + 1, n + 2 bao giờ cũng có một số chia hết cho
3, nên tích của chúng luôn chia hết cho 3 : A(n)
3M
.
A(n) 2 và A(n) 3, mà (2, 3) = 1 nên
A(n) 2.3 = 6
M M
M
Chú ý rằng : ba số nguyên liên tiếp có thể là n 1, n và n + 1.
b) A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Trớc hết, ta thấy rằng trong bốn số nguyên liên tiếp : n, n + 1, n + 2, n+3,
bao giờ cũng có một số cia hết cho 2 và một số khác chia hết cho 4.
Thật vậy :
Nếu n = 2k thì n + 2 = 2k + 2 = 2(k + 1)
Do đó :
- Khi k chẵn thì n
4 còn (n + 2) 2M M
- Khi k lẻ thì (n + 2)
2 còn n 2M M

Tơng tự nh vậy, nếu xét n + 1 và n + 3 có một số chia hết cho 4, số kia
chia hết cho 2.
Do đó A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n +3)
4.2 = 8M
Theo a) thì n(n + 1)(n + 2)(n +3)
M
3
mà (3, 8) = 1 nên A(n)
M
3.8 = 24.
2) Nếu p, q không nguyên tố cùng nhau : Phân tích A(n) ra thừa số :
A(n) = B(n). C(n)
và tìm cách chứng minh
B(n) p và C(n) qM M
suy ra B(n).C(n)
M
p. q
Bài tập :
Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.
Trong trờng hợp 3 số chẵn liên tiếp thì tích chia hết cho bao nhiêu.
*) Ph ơng pháp 3 :
Để chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể biến đổi A(n) thành tổng của
nhiều hạng tử và chứng minh mỗi hạnh tử đó chia hết cho m.
Ví dụ 5 :
Chứng minh rằng lập phơng của một số nguyên bất kì (n > 1) trừ đi 13 lần
số nguyên đó thì luôn chia hết cho 6.
Giải :
Ta phải chứng mhinh :
A(n) = n
3

13n
M
6
Chú ý rằng : 13n = 12n + n, mà 12n
M
6, ta biến đổi A(n) thành
A(n) = (n
3
n) 12n.
Ta có : n
3
n = n(n
2
1) = (n 1)n(n + 1).
Đây là tích của ba số nguyên liên tiếp, tích này luôn chia hết cho 6.
Giáo án BDHSG Toán 8
A(n) là hiệu của hai hạng tử : n
3
n và 12n, mỗi hạng tử đều chia hết cho
6, nên :
A(n)
M
6.
Ví dụ 6 :
Chứng minh rằng tổng lập phơng của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho
9.
Gải :
Ba số nguyên liên tiếp là n, n +1, n+ 2, ta phải chứng minh :
A = n
3

+ (n + 1)
3
+ (n + 2)
3
chia hết cho 9.
Ta có :
A = n
3
+ (n + 1)
3
+ (n + 2)
3
= 3n
3
+ 9n
2
+ 15n + 9
= 3n
3
-3n + 18n + 9n
2
+ 9
= 3n(n 1)(n + 1) + 18n + 9 + 9n
2
n, n 1, n + 1 là ba số nguyên liên tiếp, trong đó một số chia hết cho 3,
vậy :
B = 3n(n 1)(n + 1)
M
9
C = 18n + 9n

2
+9
M
9
A = B +C mà B
M
9, C
M
9 nên A
M
9.
Để chứng minh một tổng không chia hết cho m, ta chứng minh một hạng
tử nào đó không chia hết cho m, còn tất cả các hạng tử đều chia hết cho m.
Ví dụ 7 :
Chứng minh rằng :
n
2
+ 4n + 5 không chia hết cho 8 với mọi số n lẻ .
Giải :
Đặt n = 2k + 1, ta có :
n
2
+ 4n + 5 = (2k + 1)
2
+ 4(2k + 1) + 5
= (4k
2
+ 4k + 1) + (8k + 4) +5
= (4k
2

+ 4k) + (8k + 8) + 2
= 4k(k + 1) + 8(k + 1) +2
Đây là tổng của ba hạng tử, hạng tử đầu 4k(k + 1) chia hết cho 8, hạng tử
thứ hai 8 (k + 1) cũng chia hết cho 8, riêng hạnh tử hứ ba là 2 không chia hết cho
8. Vậy tổng đã cho không chia hết cho 8.
Bài tập :
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n :
a) n
3
n + 4 không chia hết cho 3 ;
b) n
2
+ 11n + 39 không chia hết cho 49 ;
c) n
2
+ 3n + 5 không chia hết cho 121.
*) Ph ơng pháp 4 :
Để chứng minh rằng A(n) chia hết cho m, ta có thể phân tích A(n) thành
nhân tử, trong đó có một nhân tử bằng m :
A(n) = m . B(n)
Thờng phải sử dụng các hằng đẳng thức. Nói riên, từ các hằng đẳng thức
(9), (10) và (11) ta có :
a
n
b
n
chia hết cho a b (a

b) với n bất kì
a

n
b
n
chia hết cho a + b (a

- b) với n chẵn ( n = 2k)
a
n
+ b
n
chia hết cho a + b (a

- b) với n lẻ ( n = 2k + 1).
Ví dụ 8 :
Chứng minh rằng :
2
5
+ 3
5
+ 5
5

M
5 .
Gợi ý :
Vì 5 là số lẻ, nên 2
5
+ 3
5

M
(2 + 3) .
Ví dụ 9 :
Chứng minh rằng : 2
4n
1 chia hết cho 15.
Giải :
Giáo án BDHSG Toán 8
2
4n
1 = (2
4
)
n
1
n
= (2
4
1)[(2
4
)
n 1
+ + 1] = 15 . M
Vậy : (2
4n
1)
M
15
Bài tập :
a)Chứng minh rằng :

A = 7
1
+ 7
2
+ + 7
4k
(trong đó k là số tự nhiên) chia hết cho 400.
b) Chứng minh biểu thức :
A = 75(4
1975
+ 4
1974
+ + 4
2
+ 5) + 25
chia hết cho 4
1976
.
*) Ph ơng pháp 5 :
Dùng nguyên tắc Dirichlet
Nếu nhốt 9 chú thỏ vào 4 cái chuồng thì phải có một cái chuồng nhốt ít
nhất là 3 chú thỏ.