SLIDE - DẠNG TOÀN PHƯƠNG pot


Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
CHƯƠNG 4

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
2 2
( , ) "( , ) 2 "( , ) "( , )
2
d f x y f x y dx f x y dxdy f x y dy
Adx Bdxdy Cdy
  
  
 Khi tìm cực trị của hàm 2 biến bài toán sẽ
dẫn đến việc xác định dấu của vi phân cấp 2
của hàm f, nghĩa là ta cần xác định dấu của:
 Khi xét hàm 3 biến thì ta cần xác định
dấu của vi phân cấp 2:
2 2 2 2
11 12 13 22 23 33
2 2 2
d f a dx a dxdy a dxdz a dy a dydz a dz
     

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương

 Tổng quát cho hàm nhiều biến thì việc tìm
dấu của vi phân cấp 2 không đơn giản, do
vậy “Dạng toàn phương” là một lý thuyết
hổ trợ cho việc tìm dấu của vi phân cấp 2
của hàm nhiều biến.

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
 Định nghĩa: Cho V là không gian vector n
chiều trên R, hàm
xác định như sau: với mỗi
:
V R


1 2
( , , , )
n
x x x x V
 

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
2
11 1 12 1 2 13 1 3 1 1
2
22 2 23 2 3 2 2
2

33 3 3 3
2
( ) 2 2 2
2 2
2

n n
n n
n n
nn n
x a x a x x a x x a x x
a x a x x a x x
a x a x x
a x

    
   
  

được gọi là dạng toàn phương trên V.

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
 Ví dụ: Cho dạng toàn phương:
3
1 2 3
2
1 1 2 1 3
2

2 2 3
2
3
2 2 2
1 1 2 1 3 2 2 3 3
: , ( , , )
( ) 2 4 6
2
8
2 4 6 2 8
R R x x x x
x x x x x x
x x x
x
x x x x x x x x x


 
  
 

     
11
a
12
2
a
13
2
a

22
a
23
2
a
33
a

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
 Định nghĩa: Cho dạng toàn phương
2
11 1 12 1 2 13 1 3 1 1
2
22 2 23 2 3 2 2
2
33 3 3 3
2
( ) 2 2 2
2 2
2

n n
n n
n n
nn n
x a x a x x a x x a x x
a x a x x a x x
a x a x x

a x

    
   
  

khi đó, ma trận sau:

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
 Gọi là ma trận của dạng toàn phương
11 12 1
12 22 2
1 2




n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a

 
 
 


 
 
 
 

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
 Ví dụ: Cho dạng toàn phương
3
1 2 3
2 2 2
1 1 2 1 3 2 2 3 3
: , ( , , )
( ) 2 4 6 2 8
R R x x x x
x x x x x x x x x x


 
     
 Khi đó, ma trận của dạng toàn phương là:
2 2 3
2 1 1
3 1 8
A


 

 
 
 
 

 

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
 Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:
2 2 2
1 2 3 1 1 2 2 2 3 3
( , , ) 6 3 4 5
x x x x x x x x x x

    
1 3 0
3 3 2
0 2 5
A


 
 
 
 
 

 


Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
 Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 3 7 3 8 10 8
x x x x x x x x x x

     
3 4 5
4 7 4
5 4 3
A


 
 
  
 
 
 
 

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
 Ví dụ: Cho dạng toàn phương có ma trận:
2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 4 5 4 6 2
x x x x x x x x x x

     
1 2 3
2 4 1
3 1 5
A


 
 
 
 
 

 
 Khi đó, dạng toàn phương tương ứng là:

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
Nhận xét:
 Xác định dấu của các dạng toàn phương sau:
.35)(
.432)(
.523)(
.8262)(
2

3
2
2
2
14
2
3
2
2
2
13
2
3
2
2
2
12
323121
2
3
2
2
2
11
xxxx
xxxx
xxxx
xxxxxxxxxx










Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
 Dạng chính tắc của dạng toàn phương
 Khi ma trận của dạng toàn phương là ma trận
chéo














nn
a
a

a
000

0 0
0 0
22
11

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
)(
22
222
2
111 nnn
xaxaxax 

 Hay
 Thì ta gọi đó là dạng chính tắc của dạng
toàn phương.

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
 Phương pháp Lagrange (xem tài liệu)
 Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc.
2 2 2

1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 2 10 2 4 8
x x x x x x x x x x

     

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
2 2 2
1 2 3 2 3 2 3
2 2 2
1 2 3 2 3 3
( ) 2 10 2 4 8
( 2 ) 6 4
( 2 ) ( 2 ) 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x

     
     
     
1 1 2 3
2 2 3
3 3
2
2

y x x x
y x x
y x
  
 

2 2 2
1 2 3
( ) 2
y y y y

   
 Đặt

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
 Ví dụ: Đưa DT phương sau về dạng chính tắc:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 6 13 4 6 2
x x x x x x x x x x

     
2
1
( )
x
2
2x

3
3
x

2
2
2
x

2
3
4
x

2 3
10
x x

2 2 2
1 2 3 2 3 2 3
( 2 3 ) 2[ 2 5 ]
x x x x x x x
     
2 2
1 2 3 2
( 2 3 ) 2[( ) ]
x x x x   
3
5
2

x

2
3
17
4
x

2 2 2
1 2 3 2 3 3
5 17
( 2 3 ) 2( )
2 2
x x x x x x
     
2 2 2
1 2 3
17
2
2
y y y
  

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
 Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc bằng phương pháp Lagrange:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3

( ) 5 10 4 8 2
x x x x x x x x x x

     
2
1
)(x

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
 Phương pháp Jacobi (xem tài liệu)
 Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc.
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 2 3 2 4 6
x x x x x x x x x x

     















132
331
212
A

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương














132
331
212

A
,2
111


aD
0
1,
D

11 12
2
21 22
2 1
5,
1 3
a a
D
a a
  
 Đặt
11 12 13
3 21 22 23
31 32 33
2 1 2
1 3 3 35,
2 3 1
a a a
D a a a
a a a


    
  

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
 Nếu thì dạng toàn phương
có dạng chính tắc là:
2
3
2
3
2
2
1
2
2
1
0
1
)( y
D
D
y
D
D
y
D
D

y 

2 2 2
1 2 3
2 5 35
( )
1 2 5
y y y y


  
, 2,1,0



iD
i

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
§7: Dạng Toàn phương
 Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng
chính tắc bằng phương pháp Jacobi:
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 2 3 4 2 8
x x x x x x x x x x

      















341
422
121
A