Xác suất của biến cố ngẫu nhiên

Chương 1. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
NGẪU NHIÊN
Bài 2
ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC CÔNG THỨC
XÁC SUẤT
2.1. Định nghĩa xác suất :
Xét một phép thử, và A là một biến cố
ngẫu nhiên tùy ý.
Ta gọi xác suất của biến cố A là một
số thực xác định bởi tỷ số:
m
n

Trong đó m là số các khả năng thuận lợi
cho sự xuất hiện của A
n là tất cả các khả năng có thể xảy ra.
Ví dụ 1: Gieo một con xúc sắc. Gọi
A là biến cố con xúc sắc xuất hiện mặt
chấm chẵn, A
i
là biến cố con xúc sắc xuất
hiện mặt có số chấm là i, B là biến cố con
xúc sắc xuất hiện mặt có số chấm chia hết
cho 3. Khi đó
Ký hiệu:
( )
m
p A
n
=

( )
m
p A
n
=
3 1
6 2
= =
1
( )p A
=
1
6
2 3 4 5 6
( ) ( ) ( ) ( ) ( )p A p A p A p A p A
= = = = =
2 1
( )
6 3
p B
= =
Ví dụ 2:
Trong một hộp có 10 sản phẩm, trong
đó có 3 phế phẩm. Rút ngẫu nhiên từ hộp 4
sản phẩm.
a) Tính xác suất để rút được 3 phế phẩm.

b) Tính xác suất để rút được 3 chính phẩm.
c) Tính xác suất để rút được 2 phế phẩm.

d) Tính xác suất để rút được ít nhất 1 phế
phẩm.
Giải:
a) Gọi A là biến cố rút được 3 phế phẩm.
( )
m
p A
n
=
n là tất cả các khả năng có thể xảy ra.
Ta rút 4 sản phẩm trong 10 sản phẩm. Vậy

tất cả các khả năng có thể là: số tổ hợp chập
4 của 10 phần tử.
4
10
n C
=
m là số các khả năng thuận lợi cho sự
xuất hiện của A.
3 1
3 7
.m C C
=
Vậy
3 1
3 7
4
10
.

( )
C C
m
p A
n C
= =
7 1
210 30
= =
b) Lập luận tương tự như trên ta có

3 1
7 3
4
10
.
( )
C C
m
p B
n C
= =
35.3 1
210 2
= =
2 2
7 3
4
10
.

21.3 3
( )
210 10
C C
m
p C
n C
= = = =
b)
c)
d)
1 2 3
( )
m m m
m
p D
n n
+ +
= =
Trong đó m
1
là số cách rút được 1phế phẩm
1 3
1 3 7
.m C C
=
m
2
là số cách rút được 2 phế phẩm

2 2
2 3 7
.m C C=
m
3
là số cách rút được 3 phế phẩm
3 1
3 3 7
.m C C
=
1 2 3
( )
m m m
m
p D
n n
+ +
= =
Vậy
1 3 2 2 3 1
3 7 3 7 3 7
4
10
. . .C C C C C C
C
+ +
=
3.35 3.21 1.7 5
210 6
+ +

= =

Định nghĩa xác suất như trên được gọi
là định nghĩa cổ điển của xác suất.
Phương pháp định nghĩa xác suất như
sau được gọi là phương pháp định nghĩa
xác suất bằng thống kê.
Nếu lặp lại n lần phép thử, trong đó có
m lần xuất hiện biến cố A thì tỷ số (1)
gọi là tần suất của biến cố A.
m
n
Với n đủ lớn thì (1) xấp xỉ bằng một
số p nào đó, p được gọi là xác suất của biến
cố A.

Ví dụ:
Gieo một đồng tiền. Gọi A là biến cố
đồng tiền xuất hiện mặt sấp theo định nghĩa
xác suất cổ điển ta có:
1
( ) 0.5
2
p A
= =
Bằng phương pháp thống kê, người ta
đã gieo đồng tiền này một số lần và ghi lại
kết qủa như sau.
Kết qủa này tham khảo từ một số tài
liệu Xác suất thống kê.

Người thực
hiện
Số lần thực
hiện
Số lần xuất
hiện mặt sấp
Tần suất
Fucfon 4040 1992 0.4930
Pearson 12000 5981 0.4984
Pearson 24000 11988 0.4995
Mosteller 1000 502 0.5020
Mosteller 1000 476 0.4760
….
….
….
….
…….
…….
……
……

Ngòai ra xác suất được định nghĩa
bằng hình học như sau.
Xét một hình vuông đã biết diện
tích. Bên trong xét một hình A tùy ý
cũng biết diện tích. Thực hiện một phép thử
như sau.
Ω
Ω

Gieo ngẫu nhiên một vật nhỏ vào bên
trong , xác suất để vật này rơi vào hình
A được định nghĩa
Ω
( )
( )
( )
S A
p A
S
=
Ω

Trong đó S(A) là diện tích của miền A,
và là diện tích hình vuông.
( )S
Ω
Ví dụ: (Bài tóan hẹn nhau)
Hai người hẹn nhau ở một địa điểm
trong khỏang thời gian từ 11 giờ đến 12
giờ. Họ quy ước với nhau như sau, nếu một
người tới trước mà không gặp người kia thì
đợi thêm 10 phút, người kia chưa tới thì về.
Tính xác suất để hai người gặp nhau.

Giải:
Gọi x, y (đơn vị phút) lần lượt là thời
điểm người thứ nhất và người thứ hai đến.
0 , 60x y
≤ ≤

Theo đề bài hai người gặp nhau khi
10
10
x y
y x
− ≤


− ≤

Vậy thời điểm để hai người gặp nhau
có thể biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ

x
y
O
60
60
10
10
Do đó xác suất để họ gặp nhau bằng
diện tích phần gạch chéo chia cho diện tích
hình vuông.

( ) 60 60 50 50 11
30%
( ) 60 60 36
S A
p
S

× − ×
= = = ≈
Ω ×
2.2. Ý nghĩa của xác suất
Có nhiều cách định nghĩa xác suất như
đã nói. Tuy nhiên trong thực tế người ta
thường kết hợp cả hai phương pháp cổ điển
và thống kê.
Xác xuất của biến cố A đặc trưng cho
mức độ xuất hiện của biến cố A trong một
phép thử. p(A) càng gần 1thì khả năng xuất

2.3. Tính chất của xác suất
Trong một phép thử ta có
( ) 0p ∅ =
i)
ii)
( ) 1p
Ω =
iii)
0 ( ) 1p A
≤ ≤
Các tính chất trên là hiển nhiên.
Của A càng nhiều, ngược lại p(A) càng gần
0 thì khả năng xuất hiện càng ít.

2.4. Các công thức xác suất:
2.4.1. Công thức cộng:
Cho A, B là hai biến cố xung khắc
nhau. Khi đó ta có

( ) ( ) ( )p A B p A p B+ = +
Tổng quát với hai biến cố tùy ý ta có
( ) ( ) ( ) ( )p A B p A p B p AB
+ = + −
Nếu là biến cố đối lập của biến cố A thì
A
( ) 1 ( )p A p A
= −

Ví dụ 1:
Trong hộp có 8 bi, gồm 2 bi đỏ và 6 bi
xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp 3 bi. Tính
a)Xác suất để chọn được ít nhất một bi đỏ.
b) Xác suất để chọn được cả ba bi xanh.
Giải:
Gọi A
1
là biến cố chọn 3 bi mà được
đúng một bi đỏ, A
2
là biến cố chọn 3 bi mà
được đúng hai bi đỏ. Khi đó A
1
, A
2
là hai
biến cố xung khắc nhau.

A
1

+A
2
là biến cố chọn được ít nhất một bi
đỏ. Ta có
1 2 1 2
( ) ( ) ( )p A A p A p A+ = +
1 2 2 1
2 6 2 6
3 3
8 8
. .C C C C
C C
= +
9
14
=
b) Biến cố chọn được cả ba bi xanh chính là
biến cố đối lập của biến cố A
1
+A
2
1 2 1 2
( ) 1 ( )p A A p A A
+ = − +
9 5
1
14 14
= − =

Ví dụ 2:

Một lớp học có 100 học sinh, trong đó
có 30 em giỏi cả Toán lẫn Ngoại ngữ, 40
em giỏi Toán, 50 em giỏi Ngoại ngữ. Gọi
ngẫu nhiên 1 học sinh của lớp. Tính xác
suất để gọi được em giỏi ít nhất 1 môn.
Giải:
Gọi A là biến cố chọn được em giỏi Tóan
B là biến cố chọn được em giỏi Ngoại ngữ
40
( )
100
p A
=
( ) 50 100p B
=

AB là biến cố chọn được em giỏi cả hai
môn Tóan và Ngọai ngữ.
30
( )
100
p AB =
A+B là biến cố chọn được em giỏi ít nhất là
một môn, và theo công thức công ta có
( ) ( ) ( ) ( )p A B p A p B p AB
+ = + −
40 50 30 60
0.6
100 100 100 100
= + − = =

2.5. Xác suất điều kiện:
Trước tiên ta xét một ví dụ như sau.
Có 40 phiếu thi tóan, mỗi phiếu chỉ có một
câu hỏi. Mức độ khó dễ cũng như đặc tính
của câu hỏi được cho trong bảng sau:
Số lượng Câu hỏi khó Câu hỏi dễ
Câu hỏi lý thuyết 5 8
Câu hỏi bài tập 12 15

Gọi A là biến cố rút được câu lý thuyết,
B là biến cố rút được câu hỏi khó. Ta có
13
( )
40
p A
=
17
, ( )
40
p B
=
5
, ( )
40
p AB
=
Giả sử nếu biết rằng B đã xảy ra, nghĩa
là rút được một trong số 17 câu hỏi khó.
Khi đó xác suất để rút được câu hỏi đó

là câu hỏi lý thuyết là:
5
17
Xác suất này được gọi là xác suất có
điều kiện của biến cố A với điều kiện biến
cố B đã xảy ra.

2.5.1 Định nghĩa:
Biến cố của sự kiện A với điều kiện sự
kiện B đã xảy ra, ký hiệu A/B, và được tính
bằng công thức
( )
( / )
( )
p AB
p A B
p B
=
Chú ý: p(A/B) chỉ biến cố A xảy ra với điều
kiện B chắc chắn đã xảy ra.
Khác với p(AB) chỉ biến cố A và B
đồng thời xảy ra.

2.5.2. Công thức nhân xác suất:
Hệ qủa của công thức trên là công thức
nhân xác suất sau đây
( ) ( ) ( / ) ( ) ( / )p AB p B p A B p A p B A= =
Tổng quát
1 2 1 2 2 3 1
( ) ( / ) ( / ) ( / ) ( )

n n n n n n
p A A A p A A A p A A A p A A p A
−
=
Ví dụ: Một xâu chìa khóa có 10 chìa,
trong đó có 1 chìa mở được cửa. Một người
lần lượt thử từng chìa một cho đến khi mở
được cửa (chìa nào thử xong thì bỏ ra).
Tính xác suất để