Giáo trình lý thuyết xác suất và thống kê toán chương 2: Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
50
Chơng II
Biến ngẫu nhiên v quy luật phân phối xác suất
A. Biến ngẫu nhiên một chiều
I. Định nghĩa v các phép toán cơ bản
1. Định nghĩa
Cho (, A , P). Nếu X là một ánh xạ đo đợc từ vào thì X đợc gọi là một biến ngẫu nhiên
(hoặc một đại lợng ngẫu nhiên).
Nói cách khác: X là một hàm số thực, hữu hạn, xác định trên sao cho với mỗi x thì
{}
< xX )(: A .
Ghi chú:
Để cho gọn ta sẽ ký hiệu (X S) thay cho
{}
S

)(: X chẳng
hạn
{}
xXxX = )(:)( .
Thí dụ:
Tung 2 đồng xu đối xứng đồng chất. Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp. Hãy chứng tỏ X là một
biến ngẫu nhiên
Bài giải
a. Ta xây dựng không gian xác suất (, A , P) ứng với phép thử này.

=
4321
, , ,
NN, NS ,SN ,

SS

A =G() =
{}{}{}{}
{}{}{}{}{}{}
1234
12 13 14 23 24 34
, , ,
, , , , ,

Nh ta đã biết các biến cố này bao gồm:
16=2=)1+1(=C+C+C+C+C
444
4
3
4
2
4
1
4
0
4
phần tử.
Vì tính chất đều đặn và đối xứng của hai đồng xu nên ta có thể đặt các xác suất nh sau:
1234
( )( )( )( )PPPP====
4
1
.
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD

51
b. Ta xác định X
Vì X:
nên miền giá trị của nó là Im(X) = {0, 1, 2}. Phép ánh xạ này có thể đợc minh họa
nh sau:




Từ đó ta thấy:
(){ }
{}
{}
4
234
khi x 0
khi 0 x 1
:( )
, , khi 1 x 2
khi x 2
Xx X x






<

<= <=


<




>



Do tất cả các tập hợp viết ở vế phải đều là các tập thuộc
A nên theo định nghĩa X là một biến ngẫu nhiên.

Nhận xét:
Vì X là một ánh xạ từ
vào R nên dùng nó ta có thể chuyển từ không gian mẫu cũ sang không gian
mẫu mới do đó có thể chuyển các biến cố mang nội dung về chất thành các biến cố mang nội dung về
lợng, cụ thể là các biến cố sơ cấp thành các số thực. Chẳng hạn ở không gian
thì biến cố {
2
,
3
} là
biến cố có nội dung chỉ có 1 lần xuất hiện mặt sấp nhng khi chuyển sang không gian mới biến cố này
tơng đơng với biến cố X nhận giá trị 1.
Dựa trên xác suất đã xây dựng trên không gian cũ, nếu ta xây dựng đợc độ đo xác suất cho không
gian mới này thì các thao tác sau này sẽ đơn giản hơn và lúc đó ta có thể trừu xuất khỏi không gian xác
suất cũ.

2. Các phép toán cơ bản với các biến ngẫu nhiên
a. Phép nhân với một số
Định nghĩa:
Nếu X là một hàm số thực xác định trên
và C là một hằng số thực thì ta coi CX cũng là một hàm
số thực mà với mỗi
thì CX sẽ lấy giá trị là C.X() tức là CX() = C.X().

Định lý:
Nếu X là một biến ngẫu nhiên thì CX cũng là một biến ngẫu nhiên.

1

2


3



4




X
0 1 2
R

Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
52
Chứng minh
Để đơn giản ta xét trờng hợp C > 0. Khi đó:
()







<=<
C
x
XxCX
A. Do X là biến ngẫu nhiên.
b. Phép cộng
Định nghĩa:
Nếu X và Y là hai hàm thực xác định trên
thì X + Y cũng là hàm thực xác định trên sao cho:
(X + Y)(
) = X() + Y().
Định lý:
Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên thì X + Y cũng là một biến ngẫu nhiên.
Chứng minh
Ta xét tập
[]

r
r)-xY)(rX(A <<=
trong đó r chạy trên tập hợp các số hữu tỷ. Do X là một biến ngẫu
nhiên nên
< )( rX A, do Y là một biến ngẫu nhiên nên

<
r)-( xY A. Từ đó
[]

<
< r)-)(( xYrX
A.
Do tập hợp các số hữu tỷ là đếm đợc nên ta suy ra A A.
Ta sẽ chứng minh A = (X + Y < x) và từ đó kết luận đợc (X + Y) là một biến ngẫu nhiên do
(X + Y < x)
A .
. Trớc hết ta có A (X + Y < x).
Thật vậy, ta lấy bất kỳ thuộc A khi đó, tồn tại ít nhất một r sao cho [(X < r) ( Y < x - r)] . Do
X và Y là hai biến ngẫu nhiên ta sẽ có X() < r và Y () < x - r, suy ra: X() + Y () < x.
Vậy (X + Y < x).
. Ngợc lại ta cũng có (X + Y < x) A .
Lấy bất kỳ thuộc (X + Y < x). Khi đó (X + Y)() < x, suy ra X() < x - Y().
Vì X() và x - Y() là hai số thực nên ta có ít nhất một số hữu tỷ r
o
sao cho X () < r
o
< x - Y(),
khi đó X() < r
o

và Y() < x - r
o
.
Vậy [(X < r
0
)(Y < x r
0
)] nhng [(X < r
0
)(Y< r r
0
)] A nên A.

c. Phép nhân hai biến ngẫu nhiên
Định nghĩa:
Tích X.Y của hai hàm số thực X và Y là một hàm số thực sao cho với mỗi
thì
(XY)( ) = X().Y().
Định lý 1:
Nếu X là một biến ngẫu nhiên thì X
2
cũng là một biến ngẫu nhiên.
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
53
Chứng minh
Nếu x 0 thì (X
2
< x) = A .
Nếu x > 0 thì (X

2
< x) = )x->)(Xx<(X=)x < X < x(- . Hai tập hợp này đều thuộc A do
X là biến ngẫu nhiên nên giao của chúng cũng thuộc
A . Vậy X
2
là một biến ngẫu nhiên.

Định lý 2:
Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên thì XY cũng là một biến ngẫu nhiên.
Chứng minh:
Do X và Y là hai biến ngẫu nhiên nên X + Y và X - Y là các biến ngẫu nhiên. (X + Y)
2
và (X Y)
2

là các biến ngẫu nhiên.
Vậy
22
1
()().
4
X
YXYXY

+ =


cũng là một biến ngẫu nhiên.

d. Phép chia hai biến ngẫu nhiên

Định nghĩa: Thơng
Y
X
của hai hàm thực X và Y xác định trên sao cho với mỗi m Y() 0
thì :
XX( )
( )
YY( )
=
.
Định lý: Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên với (Y = 0) =
thì
Y
X
cũng là một biến ngẫu nhiên.
Chứng minh
Ta có thể phân tích
() ()
00 >






<<

<=






<
Yx
Y
X
Yx
Y
X
x
Y
X


(
)
(
)
(
)
(
)
00 >

<
<
>
=
YxYXYxYX
.
Do X và Y là hai biến ngẫu nhiên nên các tập (X<xY), (Y<0), (X<xY), (Y>0) đều thuộc
A suy ra
tập hợp vừa viết cũng thuộc
A.
Vậy
Y
X
là một biến ngẫu nhiên.

e. Hàm của biến ngẫu nhiên
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
54
Ta thừa nhận mệnh đề sau: Nếu X là một biến ngẫu nhiên trên (, A, P) và G là một hàm đo đợc
trên R thì
G
0
X cũng là biến ngẫu nhiên trên (, A, P).

II. Hm phân phối xác suất
1. Định nghĩa
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là
F
X

(x) = P{: X() < x} {x }.
Nh vậy hàm phân bố xác suất là sự thu hẹp của độ đo xác suất P lên lớp các khoảng (- , x) của
đờng thẳng thực

.
Ghi chú: Để cho gọn ta sẽ ký hiệu F(x) = P(X < x)
Thí dụ:
Gọi X là "số lần xuất hiện mặt sấp khi tung hai đồng xu đối xứng đồng chất". Hãy xây dựng hàm
phân phối xác suất của X.
Bài giải
Ta đã thấy X là một biến ngẫu nhiên vì
()
{}
{}
4
234
v i x 0
v i 0 x 1
, , v i 1 x 2

Xx






<

<=


<






ớ
ớ
ớ

là các tập đều thuộc
A. Từ đó
()
{}
{}
4
234
P( ) 0 v i x 0
1
v i 0 x 1
4
()
3
, , v i 1 x 2
4
P( ) 1 v i x 2

P
Fx PX x
P

=





=<



=<=



=<





=>


ớ
ớ
ớ

ớ
.
Tóm lại nếu trừu xuất khỏi không gian xác suất cũ ta có thể viết biểu thức của F(x) nh sau:
()









>
<
<

=<=
2 x với1
2x1 với
4
3
1x0 với
4
1
0x với
xXP)x(F
0
.

Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
55
2. Các tính chất
Tính chất 1: 0 F(x) 1 với mọi x.
Chứng minh
Do F(x) = P{
: X() < x}, mà 0 P(A) 1 với mọi A A . Nên ta suy ra tính chất phải chứng
minh.

Tính chất 2: F(x) là hàm số không giảm, có nghĩa là với mọi x
2
> x
1
thì F(x
2
) F(x
1
)
Chứng minh
Do x
2
> x
1
nên (X < x
2
) = (X < x
1
)(x
1

X x
2
). Vì thế P(X < x
2
) = P(X < x
1
) + P(x
1
X x
2
)
(do (X < x
1
)(x
1
X < x
2
) =) suy ra F(x
2
) = F(x
1
) + P(x
1
X < x
2
).
Mà P(x
1
X < x
2

) 0 nên F(x
2
) F(x
1
).
Hệ quả:
Từ chứng minh trên ta suy ra P(x
1
X < x
2
) = F(x
2
) - F(x
1
).

Tính chất 3: 1)x(Flim và 0)x(Flim
x-x
=
=
+
.
Chứng minh
a.
0=F(x)lim
-x

Do tính chất 2 và 1 ta thấy P(x) là hàm không giảm và bị chặn dới nên nó có giới hạn.
Lấy dãy {x
n

} (n = ,1) với
12

lim
n
x
xx x


>>



=



,
tức là một dãy giảm tùy ý và đặt A
n
= {X < x
n
} khi đó ta có:
12
1

lim
n
nn
n

n
AA A
AA


=








==





.
Vậy P(
lim
n
n
A

) = P() = 0.
Mặt khác theo tính chất liên tục của độ đo xác suất ta có
: (lim ) lim ( )

nn
nn
PA PA

= . Do đó
0)A(Plim
n
n
=

. Nhng:
lim ( ) lim ( ) lim ( )
nnn
nn n
PA PX x Fx

=<=
. Vậy lim ( ) 0
n
n
Fx

= .
Do
{}
(
)
= ,1nx
n
là một dãy giảm lấy tùy ý nên ta có: 0)x(Flim

n
n
=

.
b. Chứng minh:
1)x(Flim
n
=


Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
56
Tơng tự lấy một dãy tăng tùy ý
{
}
(
)
= ,1nx
n
sao cho:
12

lim
n
n
n
xx x
x

<<<<




=+




.
Ta đặt B
n
= {X < x
n
} khi đó:





==

=


n

1n
nn
n
n21
BBlim
B BB
.
Theo tính chất liên tục của độ đo xác suất P ta có:
)B(Plim
n
n
=
1)(P)Blim(P
n
n
==

. Nhng
)B(Plim
n
n
=
)xX(Plim
n
n
<

=
)x(Flim

n
n
.
Vậy
1)x(Flim
n
=

.
Do
{}
(
)
= ,1nx
n
là một dãy tăng lấy tùy ý nên ta kết luận
1)x(Flim
n
=
+
.
Ghi chú
Hai giới hạn này sau này ta sẽ ký hiệu gọn là F(- ) = 0 và F(+) = 1.

Tính chất 4: Hàm phân phối F(x) liên tục bên trái, có nghĩa là tại mọi điểm x
0
ta đều có
0
0
lim ( ) ( )

xx
F
xFx


=
.
Chứng minh
Lấy một dãy
{}
(
)
= ,1nx
n
tùy ý hội tụ về x
0
về phía bên trái, tức là










=
<<<<

on
n
n21
xxlim
x xx
.
Ta đặt
{}
{}



<=
<=
o
nn
xXC
xXC
. Khi đó





==

=


n

C
C
1n
nn
n
n21
CClim
CC

Vậy
)C(P)Clim(P)C(Plim
n
n
n
n
==

.
Nhng
00
() ( ) ( )PC PX x Fx=<= còn
)C(Plim
n
n
=
)xX(Plim
n
n
<

=
)x(Flim
n
n
.
Vậy
)x(Flim
n
n
= F(x
0
).
Do
{}
(
)
= ,1nx
n
là một dãy tăng tùy ý hội tụ về phía trái của x
0
nên ta suy ra:
0
0
lim ( ) ( )
xx
F
xFx


=

.
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
57
Ghi chú: Theo hệ quả của tính chất 2 ta có )
n
1
xXx(P +< = )(
n
1
+xF - F(x).
Vậy
)
n
1
xXx(Plim
n
+<

=






+

)x(F-)
n

1
x(Flim
n

=
F(x+0) - F(x).
Mặt khác
1
lim
n
Px X x
n




<+





=

1
lim
n
PxXx
n

<+











=
1
1
()
n
PxXx
n

=

<+






=
P(X = x).
Từ các kết quả trên ta suy ra:
a.
()(0)- ()PX x Fx Fx== + .
b. Hàm F(x) liên tục tại x khi và chỉ khi P(X = x) = 0.

III. Biến ngẫu nhiên rời rạc
1. Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên X đợc gọi là rời rạc nếu miền giá trị của nó là một tập hữu hạn hoặc đếm đợc.
Nếu Im(X) = {x
i
, i I} với I =(1, 2, , n) hoặc I = N thì tập hợp các xác suất P(X = x
i
) với i I lập
thành một
quy luật phân phối xác suất của X.
Khi đó:
I)(i
xx với
x x với)xx(P
)xX(P
i

ii





==
==
0

đợc gọi là
hàm khối lợng xác suất (hoặc hàm xác suất) của biến ngẫu nhiên rời rạc X.
Do







j) (i =)x=(X)x=(X
=)x=(X
ji
Ii
i



,
tức là các biến cố (X = x

i
) (i I) lập thành một nhóm đày đủ nên ta suy ra


==
Ii
i
1)xX(P.
Ghi chú:
Đồ thị của hàm phân phối F(x) của một biến ngẫu nhiên rời rạc X sẽ có dạng bậc thang. Tại các
điểm mà là các giá trị có thể có của X thì đồ thị này có bớc nhẩy. Nh ta đã thấy ở ghi chú trong mục
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
58
trên, độ dài của bớc nhảy chính bằng xác suất để X nhận giá trị tơng ứng. Cụ thể tại giá trị x
i
thì:
()()()
ii i
PX x Fx Fx
+
==
.
Thí dụ:
Nếu X là "số lần xuất hiện mặt sấp khi tung hai đồng xu đối xứng và đồng chất" thì ta đã có biểu
thức của hàm phân phối xác suất nh sau:

>
<
<

=
2 x với1
2x1 với
4
3
1x0 với
4
1
0x với
)x(F
0
.

Từ đó đồ thị của hàm này có dạng






Mũi tên trên hình nhằm biểu thị giá trị của hàm F(x) tại điểm x

i
nào đó là ứng với độ cao của bậc
thang dới (do tính chất liên tục của F(x)).

2. Bảng phân phối xác suất
Để thực hiện một cách trực quan luật phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc X, ngời ta
thờng liệt kê các giá trị có thể có của X kèm theo các xác suất tơng ứng đễ nhận mỗi giá trị có thể có
đó trong một bản với dạng sau:
X x
1
x
2
x
i

P(x) P(x
1
) P(x
2
) P(x
i
)
Bảng này gọi là bảng phân phối xác suất của X với 2 điều kiện cơ bản là





=

Ii
i
i
(2) 1)x(P
(1) I i 0)x(P

Sở dĩ có điều kiện 1 là do tính chất của xác suất, còn nguyên nhân có điều kiện 2 đã đợc trình bày ở
trên.
Thí dụ:
x
210
1
3/
1/
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
59
Hãy lập bảng phân phối xác suất của X là "số lần xuất hiện mặt sấp khi tung hai đồng xu đối xứng
và đồng chất".
Bài giải
Ta biết các giá trị có thể có của X là
Im(X) = {0, 1, 2} từ hàm phân phối xác suất đã thiết lập đợc ta suy ra:
4
1
0
4
1
=F(0)-)F(0=0)=P(x
+

= .
4
2
4
1
4
3
=)F(0-)F(0=0)=P(x
-+
= .
4
1
4
3
-1=F(2)-)F(2=2)=P(x
+
= .
Vậy bảng phân phối xác suất của X nh sau:
X 0 1 2
P(X)
4
1

4
2

4
1

Ta thấy hai điều kiện cơ bản (1) và (2) nêu trên đợc thỏa mãn.
Ghi chú:
Trên đây ta đã căn cứ vào hàm phân phối xác suất để thiết lập bảng phân phối xác suất. Ngợc lại từ
bảng phân phối xác suất ta muốn xây dựng hàm phân phối xác suất thì ta thực hiện nh sau:
a. Xếp các giá trị có thể có của X theo thứ tự tăng dần.
b. Nếu muốn xác định giá trị của hàm phân phối tại điểm x nào thì ta cộng tất cả các xác suất P(x
i
)
của những giá trị x
i
ở bên trái điểm x đó, tức là

<
=
xx
)x(P)x(F
i
i
.
Chẳng hạn, từ bảng phân phối trên ta xác định đợc:
4
3
4
2
4
1
)1(P)0(P)1X(P)0X(P)5,1X(P)5,1(F =+=+==+==<= .

4
3

4
2
4
1
)1(P)0(P)8,1(F =+=+= .


4
3
4
2
4
1
)1(P)0(P)2(F =+=+=
.
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
60
Nh vậy với mọi x sao cho 1 < x 2 ta đều có F(x) =
4
3
.
Thí dụ 2: Một ngời phải tiến hành một thí nghiệm cho tới khi nào thành công thì thôi. Hãy lập bảng
phân phối xác suất của số lần phải tiến hành biết rằng xác suất thành công ở mỗi lần đều là p (0 < p < 1)
và các lần tiến hành độc lập với nhau.
Bài giải
Ta gọi A
i
là biến cố "ở lần tiến hành thứ i ngời đó thu đợc thành công" ( i = 1, 2, 3, ) thì
{

}
, AAA,AA,A
3
2
1
2
1
1
= .
Gọi X là số lần ngời đó phải tiến hành thì:
{
}
,,,)XIm( 321
=
.
Khi đó:
Vì
1
A=)1=X( nên p=)A(P=)1=X(P
1
.
Vì
2
1
AA=)2=X(
nên
)AA(P=)2=X(P
2
1
.

Do các lần tiến hành độc lập nên
1
A và A
2
là hai biến cố độc lập.
Vậy
p)p-1(=)A(P)A(P=)2=x(P
2
1
.

Tổng quát:
Vì
)AA AAA()nX(
n
1-n
321
== nên
pp)-()A(P)A(P) A(P)A(P)A(P)nX(P
1-n
n
1-n
1
321
=== .

Từ đó ta có bảng phân phối xác suất của X nh sau:
X 1 2 n
P(x) p (1-p)p (1-p)
n-1

p

Quy luật phân phối xác suất nầy có thể viết gọn lại là
{
}



===
=

),n(p)p-()nX(P
n ,,,)XIm(
n
11
21
1
.
Ta có thể thấy hai điều kiện cơ bản (1) và (2) đều đợc thỏa mãn.
Thật vậy:
(1) Vì 0 < p < 1 nên 01
1
>==

p)p-()nX(P
n
với mọi n.
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
61

(2)


=


=
==
1
1
1
1
i
n
i
p)p-()nX(P . Đây là tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội là
(1 - p), vì thế:


=

1
1
1
i
n
p)p-( 1
p
p
p)-(1-1

p
=== .

IV. Biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối
1. Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên X đợc gọi là liên tục tuyệt đối nếu trên R có tồn tại một hàm f(u) 0 sao cho hàm
phân phối xác suất của X có thể biểu diễn dới dạng:
)x-(du)u(f)x(F
x
+<<=


.
Ghi chú 1: Khi đó hàm f(u) đợc gọi là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X vì
'
()
() ()
dF x
fx Fx
dx
==
hầu khắp nơi.
Ghi chú 2: Nếu X là một biến ngẫu nhiên liên tục thì các giá trị có thể có của nó là không đếm đợc, cụ
thể chúng sẽ lấp kín cả một khoảng nào đó (hữu hạn hoặc vô hạn). Nói cách khác Im(X) sẽ có lực lợng
Continum.

Thí dụ:
Thực hiện phép thử là bắn một viên đạn vào một chiếc bia có tâm là 0 và bán kính là R. Nếu viên
đạn trúng bia ở vị trí nào thì vị trí đó đợc gọi là điểm chạm của viên đạn. Giả thiết viên đạn luôn trúng
bia. Nếu gọi X là khoảng cách từ điểm chạm của viên đạn tới tâm bia thì X là một biến ngẫu nhiên liên

tục trong đoạn [0 ; R] vì mọi giá trị của đoạn này đều là giá trị có thể có của X.

2. Một số tính chất của hàm mật độ
Tính chất 1:

1dx)x(f =

+

.
Chứng minh:
() ( ) ( ) 1 0 1fxdx F F
+

=+==

.
Tính chất 2:

=<
x
x
dx)x(f)xxx(P
2
1
21
với [x
1
,x
2

] bất kỳ.
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
62
Chứng minh:
)xxx(P
21
<
= F(x
2
) - F(x
1
)
=
2
1
'( )
x
Fxdx
x

=

x
x
dx)x(f
2
1
.
Hệ quả 1:

1
1
1
()()0
x
PX x f xdx
x
== =


Vậy xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục X nhận một giá trị cụ thể x
1
nào đó luôn bằng 0. Vì x
1
là
một giá trị bất kỳ cho nên ta có thể viết P(X = x) = 0 với mọi x. Từ đó ta suy ra:
a. Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, để có ý nghĩa. Ta phải đề cập tới xác suất để nó nhận một giá trị
nào đó nằm trong một khoảng nào đấy.
b. Theo ghi chú b) ở cuối mục II ta suy ra hàm phân phối xác suất F(x) của biến ngẫu nhiên liên tục
là một hàm liên tục tại mọi x.

Hệ quả 2: Nếu X là một biến ngẫu nhiên liên tục thì từ hệ quả 1 ta thấy:
)xXx(P)xXx(P)xXx(P)xXx(P
21212121
<
<
=


=

<=< .

Nhận xét:
Tại mọi điểm liên tục x của f(x) ta có: f(x)dx )dxxXx(P

+
<

.
Biểu thức f(x)dx gọi là một vi phân xác suất. Nó có vai trò tơng tự nh hàm khối lợng xác suất p(x)
đối với biến ngẫu nhiên rời rạc X. Từ đó ta có hai điều kiện cơ bản tơng tự nh sau đối với trờng hợp
các biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục, cụ thể:
Đối với hàm p(x)
Đối với hàm f(x)
1) P(x
i
) 0 (iI)
1) f(x)
0 với mọi x
2)


=
Ii
i
1)x(P
2)
1dx)x(f =

+

Ngời ta chứng minh đợc rằng 1) và 2) là điều kiện cần và đủ để một hàm số f(x) nào đó trở thành
hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục X nào đấy.

Thí dụ:
Một biến ngẫu nhiên liên tục X đợc gọi là tuân theo quy luật phân phối mũ với tham số ( > 0 )
nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
63




>
=
0xvới0
0xvới
x-
e
)x(f

a. Hãy xác định hàm phân phối F(x).
b. Hãy chứng tỏ rằng:
12 1 2
()().()PX x x PX x PX x>+ = > > với mọi x
1
, x
2

> 0.
c. Từ kết quả ở câu b) hãy suy ra rằng.
12 1 2
()()PX x x X x PX x>+ > = > .
Bài giải

a. Ta có




>
==



0 x với
0 x vớie-1
du)u(f)x(F
x-
x
0
.
b. Trớc tiên ta có:
12 12
()1-()PX x x PX x x>+ = +

12
1- ( )PX x x=<+ (do X là biến ngẫu nhiên liên tục).
Từ Định nghĩa của hàm phân phối suy ra:

12 12
()1-()PX x x Fx x>+ = +
12
-( )
1-[1- ]
xx
e
+
=
12
-( )
x
x
e
+
= .
Tơng tự trên ta có:
1
-
1
()
x
PX x e

>=
2
-
2
()
x

PX x e

>= .
Vì
2121
x-x-)x+(x-
e.e=e

nên ta suy ra điều phải chứng minh.
c. Từ Định nghĩa của xác suất có điều kiện ta có:
12 1
12 1
1
[( )( )]
()
()
PX x x X x
PX x x X x
PX x
>+ >
>+ > =
>
.

Do
12 1 12
[( )( )] ( )PXxxXx PXxx>+ > = >+ nên:
12
12 1
1

()
()
()
PX x x
PX x x X x
PX x
>+
>+ > =
>
.
Từ đó theo kết quả b ta đợc:
12
12 1 2
1
().()
() ()
()
PX x PX x
PX x x X x PX x
PX x
>>
>+ > = = >
>
.
Ghi chú: Một biến ngẫu nhiên X đợc gọi là "không có trí nhớ" nếu
()()PX s tX t PX s>+ > = > với mọi s, t 0.
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
64
Chẳng hạn nếu X là tuổi thọ của một loại sản phẩm và nếu nó thỏa mãn hệ thức vừa nêu thì có nghĩa

là xác suất để nó dùng đợc tối thiểu (s + t) giờ nếu nh nó đã dùng đợc t giờ cũng giống nh xác suất
ta tính ngay từ đầu để nó dùng đợc tối thiểu là s giờ (tức là sản phẩm "không nhớ" mình đã tồn tại đợc
t giờ rồi).
Nh vậy qua kết quả trên ta thấy nếu một biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối mũ thì đó là
một biến ngẫu nhiên "không có trí nhớ". Sau này chúng ta sẽ thấy
1

chính là giá trị trung bình của X.

B. Biến ngẫu nhiên hai chiều
I. Định nghĩa
1. Đặt vấn đề

Trong nhiều trờng hợp chúng ta cần xét các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian hai
chiều, tức là xét các điểm ngẫu nhiên trên mặt phẳng.

Thí dụ: Khi nghiên cứu độ chạm của các viên đạn bắn vào bia, ta thờng xác định vị trí của các điểm
chạm so với tâm bia. Nếu lấy tâm 0 của bia làm gốc của một hệ tọa độ vuông góc thì mỗi điểm chạm M
đợc xác định bởi hai tọa độ x và y của nó. Vì trớc khi bắn ta không khẳng định đợc vị trí của M nên
M là
một điểm ngẫu nhiên, do đó các tọa độ x và y của nó đều là các biến ngẫu nhiên X và Y. Nh vậy
việc nghiên cứu vị trí của điểm M dẫn đến việc nghiên cứu đồng thời hai biến ngẫu nhiên X và Y, tức là
một hệ hai
biến ngẫu nhiên V = (X , Y) hoặc còn gọi là một véc tơ ngẫu nhiên hai chiều.

2. Định nghĩa
Cho không gian xác suất (, A, P) và hai biến ngẫu nhiên X và Y xác định trên đó. Khi đó hệ V =
(X, Y) đợc gọi là một biến ngẫu nhiên hai chiều, tức là V là một ánh xạ từ
vào R
2

sao cho với mỗi


thì V() = ( X(), Y()).

II. Hm phân phối
1. Hàm phân phối đồng thời
a. Định nghĩa
Hàm phân phối xác suất đồng thời của một biến ngẫu nhiên hai chiều
V = (X, Y) đợc định nghĩa nh sau:
)y x,-()]yY)(xX[(P)y,x(F +<
<

<
<
=
.
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
65

M(x, y)
y
x
Nh vậy F(x, y) cho ta biết lợng xác suất đợc phân cho những điểm thuộc hình chữ nhật mở nh ở
hình vẽ dới đây:

b. Các tính chất
Tơng tự nh trong trờng hợp một chiều, hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều V
= (X, Y) có các tính chất sau:
i. Không giảm đối với mỗi đối số, tức là
)y,x(F)y,x(F
12
nếu x
2
> x
1
)y,x(F)y,x(F
12
nếu y
2
> y
1

và
)y,x(F)y,x(F
1122
nếu x
2
> x
1
và y
2

> y
1

ii. Liên tục bên trái đối với mỗi đối số.
iii. 1)y,x(Flim
y
x
=
+
+
(hoặc viết gọn là
1),(F
=
+

+

).
iv.
0)-,x(F)y,-(F ==
(hiểu theo cách viết gọn nh trên).
v. Nếu a
i
< b
i
(i = 1, 2) thì
)a,F(a)a,F(b-)b,F(a-)b,b(F)]bya)(bXa[(P
212121212211
+
=

.
Đây là xác suất để điểm ngẫu nhiên M (X, Y) rơi vào hình chữ nhật










22
11
bya
bxa
R
.
2. Các hàm phân phối biên
Nếu F(x, y) là hàm phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên hai chiều V = (X, Y) thì các
hàm:
)x(F)xX(P),x(F
1
=
<
=

+

)y(F)yY(P)(F
2
=
<
=

+
y,
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
66
là các hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên thành phần tơng ứng X và Y. Các hàm này gọi là các
hàm phân phối biên của V. Đây là loại hàm phân phối một chiều đã đợc xét ở phần A và chúng cho ta
biết sự phân phối xác suất theo chiều nằm ngang và theo chiều thẳng đứng, tức là lợng xác suất phân bố
cho các điểm thuộc vào các nửa mặt phẳng nh ở các hình vẽ dới đây.









Thí dụ:
Cho các biến ngẫu nhiên hai chiều V = (X, Y) có hàm phân phối xác suất nh sau:

>+
=
lại trái nếu 0
0 y x, nếuee-e-1
y-x-y-x-
)y.x(F .
Khi đó
-x
1
1-e v i x 0
() lim (, )
0 v i x 0
y
Fx Fxy
+


>

==





ớ
ớ
.
Vậy X có phân bố mũ với tham số = 1.

III. Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc
1. Định nghĩa

Nếu X và Y đều là các biến ngẫu nhiên một chiều rời rạc thì hệ V = (X, Y) gọi là biến ngẫu nhiên hai
chiều rời rạc.
Nếu
{
}
(
)
1,
i
x
in= và
{}
()
1,
j
y
jm= là các giá trị có thể có tơng ứng của X và Y thì ta sẽ ký hiệu:
[( )( )] ( , )
ii iiij
PX x Y y Pxy P=== =
.
Các xác suất P
ij
này (i = 1,n; j = 1,m) gọi là các xác suất đồng thời của hệ V= (X, Y). Vì các biến cố
[(X = x
i

)(Y = y
j
)]
)m,1=j;n,1=i(

lập thành một nhóm đầy đủ (n
ì m) biến cố nên:

o
x
F
1
(x) = P(X < x)
y
o
F
2
(y) = P(Y < y)
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
67
1PP
m
1j
n
1i
ij
n
1i
m

1j
ij
==

====
.
Ngoài ra ta có thể phân tích biến cố:

=
====
m
1j
iii
)]yY)(xX[()xX( .
Nên
])yY)(xX[(PP)x(P)xX(P
m
j
iiiii

=

======
1

tức là

=

=

m
j
iji
PP
1

tơng tự:

=

======
n
i
iijii
)]yY)(xX[(PP)y(P)yY(P
1

Tức là

=

=
n
i
ijj
PP
1
.
Các xác suất này có thể biểu thị trên bảng phân phối xác suất hai chiều nh sau:
X

Y
x
1
x
2
x
i
x
n


i

y
1

y
2


y
i
P
ij
P
*j

y
m

j

P
i*
1

Thí dụ:
Một nhân viên bán hàng mỗi ngày đi chào hàng ở 3 nơi với xác suất bán đợc hàng ở mỗi nơi đều là
0,2. Nếu bán đợc hàng ở nơi thứ nhất và nơi thứ hai thì tiền lãi thu đợc đợc ở mỗi nơi là 100 ngàn
đồng, còn bán đợc ở nơi thứ ba thì đợc lãi 200 ngàn đồng.
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
68
Hãy thiết lập bảng phân phối xác suất đồng thời của số lần bán đợc hàng X và tổng số tiền lãi X.
Bài giải
Nếu ký hiệu B là biến cố "án đợc hàng" thì dùng sơ đồ hình cây ta có các kết quả sau:

Từ kết quả trên ta lập đợc bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y nh sau:
X
Y
0 100 200 300 400

0 0,512 0 0 0 0 0,512
1 0 0,256 0,128 0 0 0,384
2 0 0 0,032 0,064 0 0,096
3 0 0 0 0 0,008 0,008

0,152 0,256 0,160 0,064 0,008 1

2. Các loại phân phối
a. Phân phối đồng thời
Hàm phân phối đồng thời của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc đợc xác định nh sau:
B
BBB (0,2)
3
= 0,008 3 400
B
B B (0,2)
2
(0,8) = 0,032 2 300

B BB (0,2)

2
(0,8) = 0,032 2 300

B B B (0,2)(0,8)
2
= 0,128 1 200
BB B (0,2)
2
(0,8) = 0,032 2 200
B B B (0,2)0,8)
2
= 0,128 1 100

B B B (0,2)(0,8)
2
= 0,128 1 100
B B B (0,8)
3
= 0,521 0 0
Nơi I
Nơi II Nơi III Kết
q
uả Xác suấ
t
X Y
B
B
B
B
B

B
B
B
B
B
B
B
B
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
69
)y,x(P)]yY)(xX[(P)y,x(F
ii
yyxx
ji


<<
=<<=
Ghi chú: Quy luật phân phối đồng thời cũng có thể biểu thị bằng hình thức bảng phân phối xác suất hai
chiều.
b. Các phân phối biên
Các hàm phân phối biên của X và của Y đợc xác định nh sau

<

=<=
xx
1
i

Pi)xX(P)x(F .

<
=<=
yy
Pj)yY(P)y(F
j
2
.
Ghi chú: Các quy luật phân phối biên cũng có thể biểu thị đợc dới hình thức bảng phân phối xác suất
một chiều.
X x
1
x
2
x
i
x
n

P(x) P(x
1
) P(x
2
) P(x
i
) P(x
n
)

Y
y
1
y
2
y
i
y
n

P(y) P(y
1
) P(y
2
) P(y
i
) P(y
n
)

Thí dụ:
Với X là "số lần bán đợc hàng" thì bằng cách kết hợp cột đầu và cột cuối của bảng phân phối xác
suất hai chiều đã thiết lập ở trên, ta có bảng phân phối xác suất (phân phối biên) của X nh sau:
X 0 1 2 3
P(X) 0,152 0,384 0,096 0,008
Tơng tự nếu kết hợp dòng đầu và dòng cuối của bảng ta đợc bảng phân phối xác suất của Y nh
sau:
Y 0 100 200 300 400
P(Y) 0,152 0,256 0,160 0,064 0,008

c. Các phân phối có điều kiện
Hàm phân phối có điều kiện của Y trong điều kiện X = x
i
đợc xác định nh sau:
)xX(P
)xX)(yY[(P
yy
)yY(P)y(F
i
ii
xX
xX
j
i
i
=
==
=<=

<
=
=



<

=
yy
P

P
j
i
ij
.
Nếu X có n giá trị có thể có thì ta sẽ có n phân phối có điều kiện của Y đối với X.
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
70
Tơng tự hàm phân phối có điều kiện của X khi Y = y
j
sẽ là

<

==<==
xx
p
P
)yYxX(P)yYx(F
i
j
ij
ii
.
Nếu Y có m giá trị có thể có thì ta sẽ có m phân phối có điều kiện cảu X đối với Y.
Ghi chú: Các quy luật phân phối có điều kiện cũng có thể biểu thị dới dạng bảng phân phối.
Chẳng hạn bảng phân phối xác suất của Y khi (X = x
i
) có dạng nh sau:

Y
)x=Xy(P
i

Y
1

Y
2


Y
j

[]

=
=
==
===
i
ij
i
ii
ij
P
P
)xX(P
)xX)(yY[(P
xXyYP

y
m


1
1
111
=====


=

==

i
i
ij
m
j
ii
ij
m
j
ij
m
j
P
P
P

PP
P
)xXy(P

Thí dụ :
Hãy lập bảng phân phối xác suất của số tiền lãi Y nếu số lần bán đợc hàng X là 2.
Bài giải
Với điều kiện ( X =2) thì bảng phân phối xác suất của Y nh sau:
Y
)2=Xy(P
0
096,0
0
=
)2=X(P
)2=X)(0=Y[(P
0=
100
096,0
0
=
)2=X(P
)2=X)(100=Y[(P
0=
200
096,0
032,0
=
)2=X(P
)2=X)(200=Y[(P

3
1
=

Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
71
300
096,0
064,0
=
)2=X(P
)2=X)(300=Y[(P

4
2
=

400
096,0
0
=
)2=X(P
)2=X)(400=Y[(P
0=


)2Xy(P =

1=


Bảng phân phối xác suất có điều kiện của X tùy theo các giá trị của Y cũng đợc thiết lập tơng tự.

IV. Biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục tuyệt đối
1. Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên hai chiều V = (X, Y) đợc gọi là liên tục tuyệt đối nếu tồn tại hàm f(u, v) 0 sao
cho:


=
x
-
y
-
dudv)v,u(f)y,x(F

Ghi chú: Tại các điểm liên tục của f(x,y) ta có:
y.x
)y,x(F
)y,x(f
2


=

Hàm f(x,y) đợc gọi là hàm mật độ xác suất đồng thời cảu biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục tục
tuyệt đối V = (X, Y).

Thí dụ:
Cho V = (X, Y) có hàm phân phối xác suất đồng thời nh sau:



+
=
lại trái nếu 0
0yx, với ee-e-
)y,x(F
y x-y-x
1
.
Hãy xác định hàm mật độ xác suất đồng thời.
Bài giải
Vì f(x, y) là đạo hàm hỗn hợp của F(x, y) nên ta lần lợt tìm
a.




=


lại trái u nế
0yx, nếu e.e-e
x
)y,x(F
-x-y-x
0

.
b.




=




lại trái ếu n
0yx, nếu ee
]
x
)y,x(F
[
y
-y-x
0
.
Vậy biểu thức của f(x,y) nh sau:
Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
72




=

+
lại trái nếu
0yx, ếu n e
)y,x(f
y)-(x
0
.
Ghi chú: Vì là đạo hàm hỗn hợp nên đơng nhiên ta có thể lấy đạo hàm của F(x, y) theo y trớc, theo x
sau:

2. Các loại phân phối
a. Phân phối đồng thời
Phân phối này thờng đợc thể hiện qua hàm mật độ đồng thời với các tính chất chủ yếu sau đây:
Tính chất 1:

+

+

==++

1dxdy)y,x(f);(F.
Tính chất 2:


=
D
dxdy)y,x(f]D)y,x[(P .
Thí dụ:
Biến ngẫu nhiên hai chiều V = (X, Y) có mật độ xác suất phân phối đều trong hình chữ nhật

20
10
y
x
K
.
a. Hãy xác định biểu thức của hàm mật độ xác suất đồng thời f(x, y).
b. Xác định F(x, y).
c.Tính P[V D] với

=
10
10
y
x
D
.
Bài giải
a. Hàm f(x,y) có dạng





=
K y)(x, với 0
K y)(x, với C
)y,x(f
Theo tính chất 1 nêu trên của hàm mật độ,
ta có
1=

)K(
Cdxdy
hoặc là
1=

)K(
dxdyC

Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
73
Vì

)K(
dxdy là diện tích của hình chữ nhật K nên tích phân này có giá trị bằng (1 - 0)(2 - 0) = 2. Do đó
2C = 1, tức là C =
2
1
.

Vậy hàm mật độ xác suất đồng thời sẽ nh sau:






=
lại trái nếu
K y)(x, ếu n
)y,x(f
0
2
1
. Với K là hình chữ nhật

20
10
y
x
K
.
Quy luật phân phối này có thể đợc biểu thị bằng hình sau:










b. Các biểu thức của F(x, y) tơng ứng với từng miền xác định nh sau:
i. Nếu x 0 hoặc y 0 thì F(x, y) = 0.
ii. Nếu 0 < x 1 và 0 < y 2.
00
00

11
(, )
22 2
y
x
xy
x
y
Fxy dxdy x y



===






.
iii. Nếu 1 < x < + và 0 < y 2.
y
2
1
dydx
2
1
)y,x(F
y
0

1
0
==

.
iv. Nếu 0 < x 1 và y > 2.
xdydx
2
1
)y,x(F
2
0
x
0
==

.
v. Nếu 1 < x < + và 2 < y < +
1dydx
2
1
)y,x(F
2
0
1
0
==

.
M(x,

y
)
f(x,y)
y
x
f(M) = 1/2
2
1

Chng1.Binngunhiờnvquylutphõnphixỏcsut
LờVnPhongTrnTrngNguyờn,HKTQD
74
Tóm lại biểu thức của F(x, y) nh sau:













>>
+<<
<+<<
<<

=
2 y và 1x với
y2 và 1x0 với x
2y 0 và x1 với y
2y0 và 1 x 0 i vớ xy
0 y hoặc0 x với
)y,x(F
1
2
1
2
1
0
.
c. Để tính P(VD) trong đó D là hình 0 x 1 và 0 y 1 ta có thể tiến hành theo hai cách.
i. Nếu dùng hàm mật độ, ta có:
2
1
dydx
2
1
dydx
2
1
dxdy)y,x(f)DV(P
1
0
1
0

1
0
1
0
====

.
ii. Nếu dùng hàm phân phối, ta có:
F(0,0)F(1,0)-F(0,1)-)1,1(F)DV(P
+
=
(1)(1) 1
-0-0 0
22
=+=
.
Nhận xét:
Từ F(x, y) nếu lấy đạo hàm hỗn hợp theo x và y, ta tìm trở lại đợc f(x,y). Cụ thể:











>>

><
<+<<
<<

=


=
2y 1;x
2y 1;x0
2y 0 ;x1
2y0 1;x0
0y hoặc0x
yx
)y,x(F
)y,x(f
0
0
0
2
1
0
2
.
Tức là

=
Kx 0
Kx
2
1
)y,x(f với










2y0
1x0
K.

b. Các phân phối biên
. Phân phối biên của X
Hàm phân phối biên của X là