Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Bài 2. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG
CỦA BIẾN NGẪU
NHIÊN 2.1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên:
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên là một
số thực được định nghĩa như sau.
Nếu X rời rạc có bảng phân phối xác suất

X
1 2 n
x x x
1 2 n
p p p
X
P
Thì kỳ vọng của X có ký hiệu và được xác
định như sau
1
( ) ( )
i i
i
E X M X x p
∞
=
= =
∑

Nếu X liên tục có hàm mật độ f(x) thì
Ví dụ 1: Gọi X là số chấm xuất hiện trên
mặt con xúc sắc thì X là một biến ngẫu
nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất.

( ) ( )E X xf x dx
+∞
−∞
=
∫
X 1 2 3 4 5 6
P
X
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Kỳ vọng của X là:

1
( ) ( )
i i
i
E X M X x p
∞
=
= =
∑
1 1 1 1 1 1
1. 2. 3. 4. 5. 6. 3.5
6 6 6 6 6 6
= + + + + + =
Nhận xét: Kỳ vọng chính là giá trị trung
bình (có trọng số) của các giá trị biến ngẫu
nhiên.
Ví dụ 2: Một Công ty bán Bảo
hiểm cho những người tuổi từ 40 đến 60.
Mỗi thẻ Bảo hiểm là 50 000đ. Nếu người

mua không may phải chết thì Công ty sẽ
bồi thường số tiền là 5 triệu, nếu bị tai nạn

thì Công ty sẽ bồi thừơng 1 tr 500 000 đ.
Theo thống kê dân số, tỷ lệ người chết
ở tuổi này là 0.2% và bị tai nạn là 0.8% .
Tính số tiền lời trung bình cho mỗi phiếu
Bảo hiểm.
Giải:
Gọi X là số tiền chi trả cho mỗi thẻ
Bảo hiểm. Ta có X là một biến ngẫu nhiên
rời rạc, nhận các giá trị với xác suất tương
ứng sau

X 0 1,500,000 5,000,000
P
X
0.99 0.008 0.002
Giá trị trung bình của X chính là số
tiền trung bình phải trả cho mỗi thẻ.
( ) 0 0.99 1,500,00 0.008 5,000,00 0.002
22,000
E X
= × + × + ×
=
Vậy số tiền lời là 50,000-22,000=28,000đ

Ví dụ 3:
Tuổi thọ X (tính bằng giờ) của một
thiết bị là một biến ngẫu nhiên liên tục có

hàm mật độ
0
( )
0 0
x
e x
f x
x
λ
λ
−

≥
=

<

Ở đây
0.00125
λ
=
Tính tuổi thọ trung bình của thiết bị
này.

0
( ) ( )
x
E X xf x dx xe dx
λ
+∞ +∞

−
−∞
= = =
∫ ∫
1
800
λ
=
2.2. Phương sai của biến ngẫu nhiên:
Phương sai của biến ngẫu nhiên là một
số thực được định nghĩa như sau
Nếu X rời rạc có bảng phân phối xác suất

X
1 2 n
x x x
1 2 n
p p p
X
P
Thì phương sai của X có ký hiệu và được
xác định như sau
2
( ) ( ) ( ( ))D X Var X E X E X
= = −

( )
2
2
2 2

1 1
( ) ( ) ( ) ( )
i i i i
i i
D X Var X E X E X x p x p
∞ ∞
= =
 
= = − = −
 ÷
 
∑ ∑
Nếu X liên tục có hàm mật độ f(x) thì
( )
2
2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Var X x E X f x dx x f x dx xf x dx
+∞ +∞ +∞
−∞ −∞ −∞
 
= − = −
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Ví dụ 1: Gọi X là số chấm xuất hiện trên
mặt con xúc sắc thì phương sai của X là:
( )
2
2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1
( ) 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 3.5
6 6 6 6 6 6
35
2.916
12
Var X
= + + + + + −
= =

X 0 1,500,000 5,000,000
P
X
0.99 0.008 0.002
Ví dụ 2: Gọi X là số tiền chi trả cho mỗi thẻ
Bảo hiểm, với bảng pp xs của X như sau
2 2 2
2 10
0 0.99+1,500,000 0.008+5,000,000 0.002-
-(22,000) 6.7516 10
× × ×
= ×
Phương sai của X là:
Phương sai rất lớn !

Ý nghĩa của phương sai:
Theo định nghĩa thì phương sai là kỳ vọng của
biến ngẫu nhiên
( )
2

( )Y X E X
= −
X-E(X) là độ lệch của X so với giá trị trung
bình. Vậy Y chính bình phương độ lệch của X so với
giá trị trung bình.
Phương sai chính là trung bình của bình phương
độ lệch của X so với giá trị trung bình. Gọi tắt là
phương sai.
Nếu phương sai nhỏ thì giá trị của X tương đối
đồng đều và ngược lại.

BT1. Tính kỳ vọng và phương sai của biến
ngẫu nhiên có phân phối nhị thức.
Trước tiên xét trường hợp n=5; p=0.6
Tổng quát bài toán.
BT2. (Phân phối siêu bội, hay pp hình học)
Một hộp có 8 bi trong đó có 2 đỏ và 6
xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ hộp, gọi X là
số bi đỏ chọn được.
a) Tính kỳ vọng và phương sai của X.

b) Tính các xác suất
[1 4]p X≤ <
[ ( ) 2]p X E X− <
BT3. Một người bắn vào mục tiêu cho đến
khi có viên đạn đầu trúng đích thì dừng, xác
suất mỗi lần bắn trúng là p. Gọi X là số
viên đạn bị tiêu hao.
a) Chứng minh kỳ vọng của X là
1

( )E X
p
=
b) Tính phương sai của X.

BT4. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có
hàm phân phối xác suất là:
0 0
( ) (2 ) 0 1
1 1
x
F x ax x x
x
<


= − ≤ ≤


>

a)Tìm a và hàm mật độ ppxs.
b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
c) Tính các xác suất
1 1
0 , ( )
2 2
p X p X E X
   
< < − <

   
   

2.3. Kỳ vọng và phương sai của một số biến
ngẫu nhiên có phân phối đặc biệt:
2.3.1.Phân phối nhị thức X~B(n,p):
Kỳ vọng của X: E(X) = np.
Phương sai của X: Var(X)=npq.
Ví dụ 1: Xác suất mua phải một cái đồng hồ
xấu là 0.03. Mua về 120 cái đồng hồ. Gọi X
là số đồng hồ xấu mua phải.
a) Hỏi trung bình mua về bao nhiêu cái xấu.
b) Tính phương sai của X.

a) E(X) = np=
120 0.03 3.6
× =
Vậy trung bình mua phải 3 hay 4 cái đồng
hồ xấu.
b) Phương sai của X là
120 0.03 (1 0.03) 3.492npq
= × × − =
2.3.2. Phân phối chuẩn: Biến ngẫu nhiên X
có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ của X
có dạng
( )
2
2
2
1

( )
2
x
f x e
µ
σ
σ π
−
−
=

a) Kỳ vọng của X là:
( )E X
µ
=
b) Phương sai của X là:
2
( )Var X
σ
=
2.3.3. Phân phối siêu bội:
Xét một tập có N phần tử, trong đó có
phần tử có tính chất A. Từ tập đó lấy ra
n phần tử. Gọi X là số phần tử có tính chất
A, thì biến ngẫu nhiên X được gọi là có
phân phối siêu bội.
A
N
Ký hiệu
~ ( , , )

A
X H N N n

b) Kỳ vọng của X là:
a)
[ ]
A A
k n k
N N N
n
N
C C
p X k
C
−
−
= =
( )
A
N
E X np n
N
= =
c) Phương sai của X là:
( ) 1
1 1
A A
N N
N n N n
Var X npq n

N N N N
− −
 
= = −
 ÷
− −
 

Một hộp có N=8 bi trong đó có N
A
= 2 đỏ
và 6 xanh. Chọn ngẫu nhiên n=3 bi từ hộp,
gọi X là số bi đỏ chọn được.
Tính kỳ vọng và phương sai của X.
Kỳ vọng của X là:
2 3
( ) 3
8 4
A
N
E X np n
N
= = = =
Phương sai của X là:
( ) 1
1 1
2 2 8 3 45
3 1
8 8 8 1 112
A A

N N
N n N n
Var X npq n
N N N N
− −
 
= = −
 ÷
− −
 
−
  
= − =
 ÷ ÷
−
  

2.3.4. Phân phối Poisson:
Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là
có phân phối Poisson với tham số nếu X
nhận các giá trị 0;1;2;3;…;n;…và xác suất
để X nhận giá trị k là:
[ ] .
!
k
p X k e
k
λ
λ
−

= =
λ
a) Kỳ vọng của X là
( )E X
λ
=
b) Phương sai của X là
( )Var X
λ
=

Trong thực tế thông thường những đại
lượng ngẫu nhiên sau có phân phối Poisson
Thời gian chờ đợi của một khách hàng.
Số người ra vào một Bưu điện trong một
đơn vị thời gian.
Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối
chuẩn X~B(n,p) với n lớn p nhỏ thì phân
phối chuẩn có thể coi là phân phối Poisson
với tham số
Ví dụ: Giả sử mỗi sản phẩm được sản xuất
ra từ một dây chuyền sản xuất là phế phẩm
np
λ
=

với xác suất rất nhỏ là 0.01. Sản xuất ra 200
sản phẩm.
a)Tính xác suất để có không quá 3 phế
phẩm.

b) Gọi X là số phế phẩm sản xuất được.
Tính kỳ vọng và phương sai của X.
Giải: Vì n lớn p nhỏ nên có thể xem X có
phân phối Poisson với tham số
200 0.01 2np
λ
= = × =

0 1 2 3
2 2 2 2
[ 3] [ 0] [ 1] [ 2] [ 3]
2 2 2 2
0.8571
0! 1! 2! 3!
p X p X p X p X p X
e e e e
− − − −
≤ = = + = + = + =
= + + + =
a) Tính xác suất để có không quá 3 phế
phẩm.
b) Tính kỳ vọng và phương sai của X
( ) 2, ( ) 2E X Var X
λ λ
= = = =
Nếu tính trực tiếp từ công thức của phân
phối nhị thức ta cũng có kết qủa gần đúng
như trên.