Lý thuyết, bài tập về bất đẳng thức hay nhất

BẤT ĐẲNG THỨC
§1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
I. BẤT ĐẲNG THỨC:
1. Khái niệm bất đẳng thức:
Các mệnh đề dạng “A>B”, “A<B”, “A≥B”, “A≤B” được gọi là bất đẳng thức, với
A gọi là vế trái, B gọi là vế phải và A, B là hai biểu thức đại số.
Ta có:
* A > B A-B > 0; A < B A - B < 0
* A B A-B 0; A B A B 0
⇔ ⇔
≥ ⇔ ≥ ≤ ⇔ − ≤
2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
A>B
a) TÝnh chÊt 1: A C
B>C
b) TÝnh chÊt 2: A>B A C>B C
A.C>B.C, nÕu C>0
c) TÝnh chÊt 3: A>B
A.C<B.C, nÕu C<0
A>B
d) TÝnh chÊt 4: A C B D
C>D
A>B>0
e) TÝnh chÊt 5: A.C B.D
C>D>0
f) TÝnh chÊt 6:


⇒ >



⇔ ± ±

⇔



⇒ + > +



⇒ >


* n n
n n
* 2n 1 2n 1
*
2n+1 2n 1
A>B>0, n N A B
A>B>0, n N, n 2 A B
g) TÝnh chÊt 7:
A>B, n N A B
A>B, n N A B
+ +
+
∈ ⇒ >
∈ ≥ ⇒ >
∈ ⇔ >
∈ ⇔ >
II. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY:

1.Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm :
2
Víi hai sè kh«ng ©m a vµ b, ta cã:
a+b a+b
ab hay a+b 2 ab, ab
2 2
§¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi a=b.
 
 
≥ ≥ ≤
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy hai số là :
1
2 2 2
2(a +b ) (a+b) 4ab, với a, b R.
1 1 4
, với a, b>0.
a b a b
a b
2, với a, b>0.
b a

+
+
+
* Hệ quả 1 :

* Hệ quả 2 :
* Hệ quả 3 :
2. Bt ng thc Cauchy cho n s khụng õm :
1 2 n
1 2 n
n
1 2 n
1 2 n
Với n số không âm a , a , , a (n 2), ta có :
a a a
a a a
n
Đẳng thức xảy ra a a a

+ + +

= = =
III. BT NG THC BU-NHIA-CPSKI
1. Bt ng thc Bu-nhia-cpski cho hai cp s:
1 2 1 2
2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1 2
Với hai cặp số thực (a , a ), (b , b ) bất kì, ta đều có:
(a b +a b ) (a a )(b b )
b b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
a a

Nếu a 0 (hoặc a =0) thì b 0 (hoặc b 0)
+ +
=
= = =* :Quy ớc
2. Bt ng thc Bu-nhia-cpski cho hai b n s:
1 2 n 1 2 n
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
1 2 n
1 2 n
i
Với hai bộ số thực (a , a , , a ), (b , b , , b ) bất kì, ta có :
(a b +a b + +a b ) (a a a )(b b b )
b b b
Đẳng thức xảy ra .
a a a
Nếu một a nào đó bằng 0
+ + + + + +
= = =
* : Quy ớc
i
thì b 0 (i=1,n).=
IV. BT NG THC CHA GI TR TUYT I:
Với mọi số thực a và b, ta có:
1) a+b a b . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0.
2) a-b a b . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0.
+
+
V. BT NG THC HèNH HC:
1) Bất đẳng thức cơ bản: b-c a b c, c-a b c a và a-b c a b,

p-a>0, p-b>0 và p-c>0.
2) Các bất đẳng thức khác: 2S ab; 2S bc và 2S ca.

< < + < < + < < +

à
2 2 2 0
b c a nếu A 90 .+
VI. CễNG THC TNH DI NG TRUNG TUYN V PHN GIC:
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b c
a b c
b c a c a b a b c
m ; m ; m
2 4 2 4 2 4
2 bc 2 ca 2 ab
l p(p a); l p(p b); l p(p c)
b c c a a b
+ + +
= = =
= = =
+ + +
Đ2. MT S PHNG PHP CHNG MINH BT NG THC
Dng 1: S dng cỏc phộp bin i, ỏnh giỏ thớch hp
Để chứng minh A B, ta sẽ chứng minh A-B 0 (nghĩa là ta sử dụng định
nghĩa, tính chất cơ bản, để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến bất
đẳng thức đúng hay một tính chất đúng hoặc có thể sử dụng bất đẳng thức đúng
biến đổi dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh).

Ví dụ 1: Cho ba số a, b, c bất kì. Chứng minh các bất đẳng thức:
a) a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca (1)
b) (ab + bc + ca)
2
3abc(a + b + c) (2)
(ĐHQG TP. HCM -1998)
Lời giải.
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
a) (1) 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca
(a b) (b c) (c a) 0 luôn luôn đúng.
b) (2) a b b c c a a bc ab c abc 0
2a b 2b c 2c a 2a bc 2ab c 2abc 0
(ab-bc) (bc ca) (ca ab) 0
+ + + +
+ +
+ +
+ +
+ + luôn luôn đúng.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng a
2

+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
a(b + c + d + e) (1)
với mọi a, b, c, d, e.
(ĐH Y dợc TP. HCM-1999)
Lời giải.
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a a a a
(1) ab b ac c ad d ae e 0
4 4 4 4
a a a a
b c d e 0 hiển nhiên đúng.
2 2 2 2
+ + + + + + +

+ + +
ữ ữ ữ ữ

1 1 1
Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn abc=1 và a+b+c>
a b c
a) Chứng minh rằng: (a-1)(b-1)(c-1)>0. (1)

b) Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có đúng một
+ +Ví dụ 3 :
số lớn hơn 1.
(ĐHTH TP.HCM -1993)
Lời giải.
a) Ta có: (1) abc-ab-ac-bc+a+b+c>0
(2)
3
1 1 1 ab+bc+ca
Vì a+b+c> a+b+c>
a b c abc
a b c ab bc ca (vì abc=1)
Vậy (2) đúng. Suy ra (1) đúng.
+ +
+ + > + +
b) Ta có: (a-1)(b-1)(c-1)>0
Suy ra hoặc cả ba số a, b, c đều lớn hơn 1
hoặc trong ba số a, b, c có đúng một số lớn hơn 1
Nếu a>1, b>1, c>1 abc>1, mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy trong ba số a, b, c có đúng m

ột số lớn hơn 1.
3
3 3 3
3 3 3 3 3 3
a b c
Chứng minh: 2. 4
b c c a a b
+ + <
+ + +

Ví dụ 4 :
trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 5/2004)
Lời giải.
3 3 3
1
Ta có: b c (b c)
4
+ +
(1)
3 3 3 3 2 2
3 3 2 2 2 2
Thật vây:
(1) 4(b +c ) b c 3b c 3bc
b c b c bc 0 b (b c) c (b c) 0
+ + +
+
2 2 2
(b-c)(b -c ) 0 (b-c) (b c) 0 +
(2)
(2) đúng (1) đúng.
3 3 3
3 3 3
3
3 3 3
3 3 3 3 3 3
1
T ơng tự: c a (c a)
4
1

a +b (a+b)
4
Do đó:
a b c a b c
4 (3)
b+c c a a b
b c c a a b
a b c 2a 2b 2c
mà
b+c c a a b 2(b c) 2(c a) 2(a b)

+ +


+ + + +
ữ
+ +

+ + +
+ + = + +
+ + + + +
2a 2b 2c
< =2 (4)
b c a c a b a b c
(Do a+b>c; b+c>a; c+a>b)
Từ (3) và (4) suy ra đpcm.
+ +
+ + + + + +
Bi tp t luyn:
2 2

2 2
x y x y
Cho x, y 0. Chứng minh: 4 3
y x y x

+ + +
ữ

Bài 1 :
( thi vo lp 10 chuyờn ca trng Trn i Ngha TP. HCM nm 2004 )
Chứng minh rằng nếu 0<x y z, thì ta có:
1 1 1 1 1
y (x z) (x z).
x z y x z


+ + + + +
ữ ữ

Bài 2 :
4
( 148 - B tuyn sinh)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Cho a, b, c là các số d ơng. Chứng minh:
a b b c c a a b c
3
a b b c c a a b c

+ + + + +
+ +

ữ
+ + + + +

Bài 3 :
(Tp chớ Toỏn hc & Tui tr 11/1995)
2 2 2 2 2 2
Cho x, y, z là các số d ơng. Chứng minh:
x xy y y yz z z zx x 3(x y z)+ + + + + + + + + +
Bài 4 :
(Hc vin Quan h Quc t nm 1997)
Bi 5: Cho ba s a, b, c tha món iu kin a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Chng minh rng:
abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) 0.
( 2 - B tuyn sinh)
Dng 2: S dng bt ng thc Cauchy
Trng hp 1: Cỏc bin khụng b rng buc
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
Chứng minh: , abc 0
b c a c a b
+ + + + Ví dụ 1 :
(H Y dc Tp. HCM-1999)
Li gii.
2 2 2 2

2 2 2 2
p dụng BĐT Cauchy cho 2 số d ơng, ta có:
a b a b a 2a
2 . 2
b c b c c c
+ =
á
(1)
2 2
2 2
b c 2b
T ơng tự:
c a a
+
(2)

2 2
2 2
c a 2c

a b b
+ +
(3)
Cng cỏc v tng ng ca (1), (2) v (3) ta cú pcm.
x x x
x x x
12 15 20
Chứng minh rằng với mọi x R, ta có: 3 4 5 .
5 4 3
Khi nào đẳng thức xảy ra ?

+ + + +
ữ ữ ữ

Ví dụ 2 :
( thi tuyn sinh H, C-Nm 2005)
Li gii.
p dng bt ng thc Cauchy cho hai s dng, ta cú:

x x x x
x
12 15 12 15
2 . 2.3
5 4 5 4

+ =
ữ ữ ữ ữ

(1)
Tng t ta cú:
x x
x
15 20
2.5
4 3

+
ữ ữ

(2)

x x
x
20 12
2.4
3 5

+ +
ữ ữ

(3)
5
Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia hai vế của bất đẳng thức nhận được cho 2, ta
có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
3 2 3 2 3 2 2 2 2
Cho x, y, z > 0. Chøng minh r»ng:
2 y
2 x 2 z 1 1 1
.
x y y z z x x y z
+ + ≤ + +
+ + +
VÝ dô 3 :
(ĐH Nông Nghiệp I Khối A - 2001)
Lời giải.
2 2 2
DÔ dµng chøng minh ® îc B§T sau: a b c ab bc ca (1)+ + ≥ + +
2 2 2
3 2 3 2 3 2
3 2 3 2 3 2

2 2
1 1 1 1 1 1
p dông (1), ta ® îc: (2)
x y z xy yz zx
p dông B§T Cauchy cho c¸c mÉu sè, ta ® îc:
2 y 2 y
2 x 2 z 2 x 2 z
+ + =
x y y z z x
2 x y 2 y z 2 z x
1 1 1 1 1
=
xy yz zx x y
+ + ≥ + +
+ + ≤
+ + +
+ + ≤ + +
¸
¸
2
1
(®pcm).
z
3 3 2
Chøng minh r»ng víi a, b lµ hai sè kh«ng ©m bÊt k×, ta lu«n cã:
3a 17b 18ab+ ≥
VÝ dô 4 :
(ĐH Kinh tế Quốc dân - Năm 1997)
Lời giải.
3 3 3 3 3 3 3 3 2

3
p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho ba sè kh«ng ©m, ta cã:
3a 17b 3a 9b 8b 3 3a .9b .8b 18ab (®pcm)+ = + + ≥ =
¸
Cho a, b, c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng:
a b c
3.
b+c-a c a b a b c
+ + ≥
+ − + −
VÝ dô 5 :
(ĐH Y Hải Phòng – Năm 2000)
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương:

b c a c a b
(b+c-a)(c+a-b) c
2
+ − + + −
≤ =
(1)
T ¬ng tù ta cã: (c+a-b)(a+b-c) a≤
(2)

(a+b-c)(b+c-a) b≤
(3)
Nhân các vế tương ứng của (1), (2) và (3), ta được:

3
abc

(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) abc 1
(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)
p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho ba sè d ¬ng, ta cã:
a b c abc
3 3.
b+c-a c a b a b c (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)
≤ ⇒ ≥
+ + ≥ ≥
+ − + −
¸
6
3 3 3
3 3 3
Cho a, b, c > 0. Chøng minh:
1 1 1 3 b+c c+a a+b
(a +b +c ) + + + +
a b c 2 a b c
   
≥
 ÷  ÷
   
VÝ dô 6 :
(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 6/2003)
Lời giải.
3 3 3 3 3 3
3 3 3
Víi a, b, c > 0, ta cã:
a b ab(a b); b c bc(b c); c a ca(c a)
2(a b c ) ab(a b) bc(b c) ca(c a)
∀

+ ≥ + + ≥ + + ≥ +
+ + ≥ + + + + +
(1)
3
3 3 3 3 3 3
p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho ba sè d ¬ng, ta cã:
1 1 1 1 1 1 3
3 . .
a b c a b c abc
+ + ≥ =
¸
(2)
Nhân các vế tương ứng của (1) và (2), ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
2
1
Cho a>b>0. Chøng minh: a+ 2 2.
b(a-b)
≥VÝ dô 7 :
Lời giải.
4
2 2 2
p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho bèn sè d ¬ng, ta cã:
1 a b a b 1 a b a b 1
a+ b 4 b. . . 2 2.
b(a-b) 2 2 b(a-b) 2 2 b(a-b)
− − − −
= + + + ≥ =
¸
2 2 2 2

5 5 5 5 3 3 3 3
Cho a, b, c, d > 0. Chøng minh:
a b c d 1 1 1 1
.
b c d a a b c d
+ + + ≥ + + +
VÝ dô 8 :
(ĐH Thủy lợi – Năm 1997)
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho năm số dương, ta có:
2 2 2 2
5
5 5 5 3 3 15 3 5 3 3
a a a 1 1 1 5 3a 5 2
5
b b b a a b b b b a
+ + + + ≥ = ⇒ ≥ −
(1)
2
5 3 3
3b 5 2
T ¬ng tù, ta cã: -
c c b
≥
(2)

2
5 3 3
3c 5 2
d d c

≥ −
(3)

2
5 3 3
3d 5 2
a a d
≥ −
(4)
Cộng các vế tương ứng của (1), (2), (3) và (4) ta có đpcm.
4 4 4
3
Cho c¸c sè thùc x, y, z d ¬ng. Chøng minh:
16xyz(x+y+z) 3 (x+y) (y z) (z x)≤ + +
VÝ dô 9 :
(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 1/1996)
Lời giải.
Gọi A = (x + y)(y + z)(z + x)
Ta có: A = xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + xz
2
+ zx
2
7
2 2
6 6
8
6
1
p dụng BĐT Cauchy cho tám số d ơng gồm ba số với mỗi số bằng xy(x y z), ba số với mỗi số
3

1
bằng zy(x y z), xz , zx .
3
(xyz) (x y z)
Ta có: (x+y)(y+z)(z+x) 8 đpcm.
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x
+ +
+ +
+ +

á
=y=z.
n
n n n
Cho a, b, c > 0, n N, n 2. Chứng minh:
a b c n
n 1.
b+c c a a b n 1

+ + >
+ +
Ví dụ 10 :
(Tp chớ Toỏn hc & Tui tr 8/1996)
Li gii.
n
(n-1) số
n
(a+b)(n-1)
p dụng BĐT Cauchy cho n số d ơng gồm một số bằng

c
và (n-1) số với mỗi số bằng 1, ta có:
(a+b)(n-1) (a+b)(n-1)
1+1+ +1 n
c c
(a b c)(n 1) (a b)(n 1)

nc c
+
+ + +




142 43
á
n
n
c n c
Hay n 1.
a+b n 1 a b c

+ +
(1)
n
n
b n b
T ơng tự, ta có: n 1.
c+a n 1 a b c

+ +
(2)

n
n
a n a
n 1.
c+b n 1 a b c

+ +
(3)
Cng cỏc v tng ng ca (1), (2) v (3), ta cú pcm.
(n-1)(a+b)=c
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (n-1)(b+c)=a n N
2
(n-1)(c+a)=b
không xảy ra.


=



Trng hp 2: Cỏc bin b rng buc
2 2 2
Cho x, y, z là ba số d ơng và xyz=1. Chứng minh rằng:
x y z 3

1 y 1 z 1 x 2

+ +
+ + +
Ví dụ 1 :
(Đề dự bị Khối D-Năm 2005)
Lời giải.
8
2 2
2 2
2 2
2
p dụng BĐT Cauchy cho hai số d ơng, ta có:
x 1 y x 1 y
2 . x
1+y 4 1+y 4
y 1 z y 1 z
2 . y
1+z 4 1+z 4
z 1 x z 1 x
2 . z
1+x 4 1+x 4
Cộng các vế t ơng ứng của ba BĐT, ta đ ợc:
x 1 y

1+y 4
+ +
+ =
+ +
+ =
+ +
+ =

+
+


á
2 2
y 1 z z 1 x
(x y z)
1+z 4 1+x 4

+ +
+ + + + + +
ữ ữ ữ

2 2 2
x y z 3 x y z
(x y z)
1+y 1+z 1+x 4 4
+ +
+ + + + +
3
3(x y z) 3

4 4
3 3 3 3 3
.3 x.y.z .3 (Do x.y.z=1)
4 4 4 4 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1.
+ +

= =
3 3 3 3
3 3
Cho các số d ơng x, y, z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng:
1+x y 1 y z
1+z x
3 3.
xy yz zx
Khi nào đẳng thức xảy ra?
+ + +
+
+ +
Ví dụ 2 :
(ĐH, CĐ Khối D-Năm 2005)
Lời giải.
áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dơng, ta có:

3 3 3 3
3
1+x y 3 1.x .y 3xy+ =

3 3
1+x y
3
xy
xy
+

(1)

Tơng tự, ta có:

3 3
1+y z
3
yz
yz
+

(2)

3 3
1+z +x 3
zx
zx

(3)
Mặt khác, ta có:

3
3 3 3 3 3 3
3 . .
xy yz zx xy yz zx
+ +

3 3 3
3 3
xy yz zx
+ +
(4)

Cộng các vế tơng ứng của (1), (2), (3) và (4) ta có đpcm.
9
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1.
x y z
Cho x, y, z là ba số thỏa mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
3+ 4 3 4 3 4 6.+ + + +
Ví dụ 3 :
(Đề dự bị Khối A - Năm 2005)
Lời giải.
4
x x x
4 8x x x
8y y
8
z z
p dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
3+4 1 1 1 4 4 4
3+4 2 4 2 4
T ơng tự, ta có: 3+4 2 4
3+4 2 4
= + + +
=


á
(
)
3
8 8 8 8 24
x y z x y z x y z x y z

Cộng các vế t ơng ứng của ba bất đẳng thức trên, ta đ ợc:
3+4 3+4 3+4 2 4 4 4 2.3 4 .4 .4 6 4 6
+ +
+ + + + =
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=0.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi x, y, z dơng và x + y + z = 1 thì
18xyz
xy+yz+zx> .
2+xyz
(H Tõy Nguyờn Khi A, B-Nm 2000)
Li gii.
p dụng BĐT Cauchy, ta có:á

3
2=x+y+z+x+y+z 6 xyz
(1)

2 2 2
3
xy+yz+zx 3 x y z
(2)
Nhõn cỏc v tng ng ca (1) v (2), ta c:
2(xy + yz + zx) 18xyz (3)
Mt khỏc, ta cú:
xyz(xy + yz + zx) > 0 (4)
Cng cỏc v tng ng ca (3) v (4), ta c:
(xy+yz+zx)(2+xyz)>18xyz
18xyz
xy yz zx (vì 2+xyz>0).
2 xyz

+ + >
+
1 1 1
Cho x, y, z là các số d ơng thỏa mãn 4. Chứng minh rằng:
x y z
1 1 1
1.
2x+y+z x 2y z x y 2z
+ + =
+ +
+ + + +
Ví dụ 5 :
(ĐH, CĐ Khối A - Năm 2005)
Lời giải.
2
1 a b 1 1 1 1
Với a, b>0 ta có: 4ab (a+b)
a b 4ab a b 4 a b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.
p dụng kết quả trên ta có:
+

+
ữ
+ +

á
Cách 1 :
10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2x+y+z 4 2x y z 4 2x 4 y z 8 x 2y 2z


+ + + = + +

ữ ữ ữ
+


(1)
Tơng tự:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x+2y+z 4 2y x z 4 2y 4 x z 8 y 2z 2x


+ + + = + +
ữ ữ
ữ

+


(2)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x+y+2z 4 2z x y 4 2z 4 x y 8 z 2x 2y


+ + + = + +

ữ ữ ữ

+


(3)
1 1 1 1 1 1 1
Vậy 1.
2x+y+z x 2y z x y 2z 4 x y z
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z= .
4

+ + + + =
ữ
+ + + +

1 1 4
: p dụng BĐT với a, b>0, ta đ ợc:
a b a b
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
8=2 4
x y z x y y z z x x y y z z x
+
+


+ + = + + + + + + +
ữ ữ ữ ữ
ữ
+ + +

Cách 2 á
(1)
T ơng tự, ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
x+y y z z x x y x z x y y z y z z x
1 1 1
4 .
2x y z x 2y z x y 2z

+ + = + + + + +
ữ ữ ữ ữ
+ + + + + + + +


+ +
ữ
+ + + + + +

(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra:
1 1 1
8 8 đpcm.
2x+y+z x 2y z x y 2z

+ +
ữ
+ + + +

2 2 2
Với a, b là hai số bất kì và x, y là hai số d ơng ta có:
a b (a b)
(*)
x y x y
+
+
+
:Cách 3
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
a y(x+y)+b x(x+y) (a+b) xy
a y +b x 2abxy
(ay-bx) 0.
a b
BĐT sau cùng hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
x y
Sử dụng BĐT (*) hai lần ta có:
1 1 1 1
1
2 2 2 2
2x+y+z 2x y z x y



=

+

ữ ữ

= +
+ + +
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
4 4 4 4
x z x y x z
1 1 1 1
1 2 1 1
4 4 4 4
.
x y x z 16 x y z

+ +
ữ ữ ữ

= +
+ + +

ữ ữ ữ ữ


+ + + = + +
ữ

11
T ơng tự ta có:
1 1 1 2 1

x+2y+z 16 x y z
1 1 1 1 2
x+y+2z 16 x y z

+ +
ữ


+ +
ữ

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên và chú ý tới giả thiết dẫn đến:
1 1 1 1 1 1 1
1.
2x+y+z x 2y z x y 2z 4 x y z
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z= .
4

+ + + + =
ữ
+ + + +

2
4
4
2
áp dụng BĐT Cauchy cho bốn số d ơng (hoặc BĐT Bu-nhia-cốpxki):
1 1 1 1 1
(x+y+z) 4. x yz.4 16.

x x y z x yz
1 1 2 1 1
Suy ra
2x+y+z 16 x y z

+ + + =
ữ


+ +
ữ

: Cách 4
1 1 1 2 1
T ơng tự:
x+2y+z 16 x y z
1 1 1 1 2
.
x+y+2z 16 x y z
Cộng từng vế ba BĐT trên ta đ ợc:
1 1 1 1 1 1 1
1.
2x+y+z x+2y+z x+y+2z 4 x y z

+ +
ữ


+ +
ữ

+ + + + =
ữ

2 2 2
Cho x, y, z 0 và x+y+z 3. Chứng minh rằng:
x y z 3 1 1 1
.
1+x 1 y 1 z 2 1 x 1 y 1 z

+ + + +
+ + + + +
Ví dụ 6 :
(ĐH Hàng hải Tp. HCM - Năm 1999)
Li gii.
2 2
2 2 2 2
2
2
2 2 2
Ta có:
x 1 2x 1 x (x 1) x 1
0
1+x 2 2(1 x ) 2(x 1) 1+x 2
T ơng tự ta có:
y 1
1+y 2
z 1
1 z 2

Cộng các vế t ơng ứng của ba bất đẳng thức trên, ta đ ợc:
x y z 3
(1)
1+x 1 y 1 z 2
(Đẳng thức xảy ra khi và

= =
+ +


+
+ +
+ +
chỉ khi x=y=z=1)
12
3
Mặt khác, áp dụngB ĐT Cauchy cho ba số d ơng, ta đ ợc:
1 1 1 1 1 3
3. 3. (Do x+y+z 3)
1 x 1 y 1 z
1+x 1 y 1 z 2
(1 x)(1 y)(1 z)
3
3 1 1 1
(2)
2 1+x 1 y 1 z
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1.
+ +
+ + + + +
+ +

+ + +
+ +
+ +
Bài tập tự luyện:
3 3 3 2 2 2
Với a, b, c là ba số d ơng bất kì. Chứng minh rằng:
(1+a )(1+b )(1+c ) (1+ab )(1+bc )(1+ca )
Bài 1 :
(ĐHDL Hải Phòng Khối A - Năm 2000)
3 2
3
Chứng minh rằng: với số thực d ơng bất kì, ta luôn có a a 1 a+ +Bài 2 :
(ĐHDL Phơng Đông Khối A - Năm 2000)
Cho ABC có ba cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
1 1 1 1 1 1
2 .
p-a p b p c a b c


+ + + +
ữ


Bài 3 :
(Học viện Ngân hàng Khối A - Năm 2001)
a b c a b c
Với a, b, c là ba số thực d ơng bất kì thỏa mãn điều kiện a+b+c=0. Chứng minh rằng:
8 8 8 2 2 2 .+ + + +
Bài 4 :
(ĐHQG Hà Nội Khối A - Năm 2000)

2
Chứng minh rằng với mọi x, y >0 ta có:
y 9
(1+x) 1+ 1 256.
x
y
Đẳng thức xảy ra khi nào?


+
ữ
ữ
ữ


Bài 5 :
(Đề Dự bị Khối A-Năm 2005)
3 3 3
3
Cho a, b, c là ba số d ơng thỏa mãn: a+b+c= . Chứng minh rằng :
4
a+3b b 3c c 3a 3
Khi nào đẳng thức xảy ra?
+ + + +
Bài 6 :
(Đề Dự bị 1 Khối B-Năm 2005)
1
Chứng minh rằng nếu 0 y x 1 thì x y y x .
4
Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 7 :
(Đề Dự bị 2 Khối B-Năm 2005)
-x y z
x y z x y z
x y z y z x z x y
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: 3 3 3 1. Chứng minh rằng:
9 9 9 3 3 3
.
3 3 3 3 3 3 4

+ + +
+ + =
+ +
+ +
+ + +
Bài 8 :
(Đề Dự bị 2 Khối A-Năm 2006)
Dng 3: S dng bt ng thc Bu - nhia - cpski:
13
Trng hp 1: Cỏc bin khụng b rng buc
4 4
Cho x [0; 1]. Chứng minh:
x+ 1-x+ x+ 1-x 2+ 2 2 .
Tìm x để dấu đẳng thức xảy ra?


Ví dụ 1 :
(H An ninh Nm 1999)
Li gii.
p dụng BĐT Bu-nhia-Cốpski cho hai bộ số (1; 1) và ( x; 1-x), ta đ ợc:

x 1 x 2. x (1 x) 2+ + =
á
(1)
4 4
4 4 4
Tiếp tục áp dụng BĐT Bu-nhia-Cốpski cho hai bộ số (1; 1) và ( x; 1-x), ta đ ợc:
x 1 x 2. ( x 1 x ) 2. 2 2 2+ + =
(2)
Cộng các vế tơng ứng của (1) và (2), ta có đpcm.
4 4
x [0;1]
1
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 x x .
2
x 1 x



= =


=

Cho a, b, c>0. Chứng minh:
a b c
1
a+ (a+b)(a+c) b (b c)(b a) c (c a)(c b)
+ +
+ + + + + +
Ví dụ 2 :

(Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 11/2004)
Lời giải.
2
p dụng BĐT Bu-nhia-cốpski cho hai bộ số ( a; b) và ( c; a ), ta có:
( ac+ ab) (a b)(c a) ac ab (a b)(c a)
a ac ab a (a b)(c a)
+ + + + +
+ + + + +
á
a a a
a (a b)(c a) a ac ab a b c
=
+ + + + + + +
(1)
Tơng tự, ta có:

b b
b+ (b+c)(b+a) a b c

+ +
(2)

c c
c+ (c+a)(c+b) a b c

+ +
(3)
Cộng các vế tơng ứng của (1), (2) và (3), ta đợc:
a b c
1

a+ (a+b)(a+c) b (b c)(b a) c (c a)(c b)
+ +
+ + + + + +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Chứng minh rằng trong một tam giác bất kì, ta có:
p-a p b p c 3p
trong đó a, b, c là các độ dài ba cạnh và p là nửa chu vi của tam giác.
+ +
Ví dụ 3 :
Lời giải.
14
2 2 2 2 2 2
p dụng BĐT Bu-nhia-cốpski cho hai bộ ba số (1, 1, 1) và ( p-a, p-b, p-c), ta đ ợc:
p-a p b p c 1 1 1 . ( p a) ( p b) ( p c)
= 3 p a p b p c 3 p
+ + + + + + =
+ + =
á
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
p-a p b p c
a b c
1 1 1

= = = =
Trng hp 2: Cỏc bin b rng buc
2 2 2 2 2 2
Với a, b, c là ba số d ơng thỏa mãn đẳng thức ab+bc+ca=abc. Chứng minh rằng:
b 2a c 2b a 2c
3.
ab bc ca

+ + +
+ +
Ví dụ 1 :
(ĐHQG Hà Nội Khối D - Năm 2000)
Lời giải.
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
Nhân hai vế của BĐT với abc>0, ta đ ợc:
c b 2a a c 2b b a 2c 3abc
M b c 2a c a c 2a b a b 2b c 3abc
+ + + + +
= + + + + +
(1)
Theo BĐT Bu-nhia-cốpski, ta có:

2 2 2 2 2 2 2
1 3
b c 2a c (bc) (ac) (ac) (bc ca ca) (bc 2ca)
3
3
+ = + + + + = +
(2)
Tơng tự, ta có:

2 2 2 2
3
a c 2a b (ac 2ab)
3
+ +
(3)

2 2 2 2
3
a b 2b c (ab 2bc)
3
+ +
(4)
Cộng từng vế của (2), (3) và (4) đi tới:

3
M .3(ab bc ca) 3abc (1) đúng: đpcm.
3
+ + =
2 2 2
2 2 2
Cho x, y, z là ba số d ơng và x+y+x 1. Chứng minh rằng:
1 1 1
x y z 82.
x y z

+ + + + +
Ví dụ 2 :
(ĐH, CĐ Khối A - Năm 2003)
Lời giải.
2 2 2
2 2 2
1 1 1
Gọi S= x y z
x y z
1

p dụng BĐT Bu-nhia-cốpski cho hai bộ số (1; 9) và x; , ta có:
x
+ + + + +

ữ

á

2 2
2 2
9 1 1
x+ 1+81 x = 82 x
x x x
+ +
(1)
15
Tơng tự, ta có:

2
2
9 1
y+ 82 y
y y
+
(2)

2
2
9 1
z+ 82 z

z z
+
(3)
Cộng (1), (2) và (3) theo vế, ta có:
1 1 1
S. 82 x y z 9
x y z
1 1 1
hay S. 82 81(x y z) 9 80(x y z)
x y z
1 1 1
2.9.3. (x y z) 80 162 80 82.
x y z
đpcm.

+ + + + +
ữ


+ + + + + + +
ữ


+ + + + =
ữ



Chú ý: Bài toán này ta có thể giải bằng phơng pháp tọa độ, sẽ trình bày ở phần sau.
Bất đẳng thức trong tam giác:

a c c a a b
Cho ABC. Chứng minh rằng:
1 1 1
(l l ) (l l ) (l l ) 3 3.
a b c

+ + + + +
Ví dụ :
(Học viện Kỹ thuật Quân sự - Năm 1997)
Lời giải.
a a a
A
2bc.cos
b c A 1 1 A
2
Ta có: l l 2cos l 2cos
b c bc 2 b c 2
+

= = + =
ữ
+

b
c
1 1 B
T ơng tự, ta có: l 2 cos
c a 2
1 1 C
l 2 cos

a b 2
Cộng từng vế của ba đẳng thức trên, ta đ ợc:

+ =
ữ


+ =
ữ

( )
b c c a a b
1 1 1 A B C
(l l ) (l l ) l l 2 cos cos cos
a b c 2 2 2

+ + + + + = + +
ữ

(1)
2 2 2
A B C
p dụng BĐT Bu-nhia-cốpxki cho hai bộ số (1; 1; 1) và cos ;cos ;cos , ta có:
2 2 2
A B C A B C
cos cos cos 3 cos cos cos
2 2 2 2 2 2

ữ

+ + + +
ữ

á
16
b c
9 3
(cosA cosB cosC)
2 2
9 3 3 3 3
.
2 2 2 2
3
vì cosA+cosB+cosC
2
1 1
Từ (1) và (2) ta suy ra: (l l )
a
+ + +
+


ữ

+ +
( )
c a a b
1
(l l ) l l 3 3

b c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC đều.
+ + +

(2)
Chú ý: Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng BĐT Cauchy hoặc dùng ph-
ơng pháp đạo hàm kết hợp với BĐT Jensen.
Bài tập tự luyện:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
Chứng minh: a-1 b 1 c 1 c(ab 1), với mọi số thực d ơng a, b, c 1.
Cho x, y, z>0. Chứng minh:
xyz(x+y+z+ x y z )
3 3
.
(x y z )[(x y z) (x y z )] 18
Cho a, b, c
+ + +
+ +
+

+ + + + + +
Bài 1 :
Bài 2 :
Bài 3 :
3 3 3
2 2
>0 và thỏa mãn abc=1. Chứng minh:
1 1 1 3

a (b c) b (c a) c (a b) 2
Cho x>0, y>0 và x y x y. Chứng minh:
x+3y 2+ 5.
+ +
+ + +
+ +

Bài 4 :
Dng 3: Phng phỏp dựng du ca tam thc bc hai:
2
Cơ sở của ph ơng pháp là biến đổi bất đẳng thức ở giả thiết về dạng chứa:
f(x)=ax bx c (a 0)
Để xét dấu tam thức bậc hai f(x), ta th ờng viết nó d ới dạng:
+ +
2
Cơ sở của ph ơng pháp là biến đổi bất đẳng thức ở giả thiết về dạng chứa:
f(x)=ax bx c (a 0)
Để xét dấu tam thức bậc hai f(x), ta th ờng viết nó d ới dạng:

+ +
2 2
2
2 2
b b 4ac b
f(x)=a x a x
2a 4a 2a 4a



+ = +

ữ ữ



Dấu của biệt thức
Dấu của f(x)
< 0
af(x)>0, x R
= 0
b b
af(x)>0, x - ; f(- )=0
2a 2a

> 0
Phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm x
1
<
1 2
1 2
af(x)<0, x (x ; x )
af(x)>0, x (- ; x ) (x ; + )


17
x
2
Tóm lại, việc sử dụng các định lý thuận và đảo của tam thức bậc hai, xử lý điều
kiện tồn tại nghiệm của biệt thức , tỏ ra tiện lợi khi chứng minh một bất đẳng
thức mà nó đã đợc nhận dạng.

ở đây nhắc lại các tính chất sau để tiện sử dụng:
2
0
* f(x)=ax bx c 0, x R
a>0


+ +


2
0
* f(x)=ax bx c 0, x R
a<0


+ +


2
* f(x)=x a a; x; a+
2
* f(x)=b-x b; x; b
2 2 2 2
Chứng minh rằng với 5 số a, b, c, d, e bất kì, bao giờ ta cũng có:
a b c d a(b c d e).+ + + + + +
Ví dụ 1 :
(Đề 15/II - Bộ đề tuyển sinh)
(1)
Lời giải.

2 2 2 2 2
(1) a (b c d e)a b c d e 0 + + + + + + +
(2)
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Vế trái là tam thức bậc hai theo a có biệt thức:
=(b+c+d+e) 4(b c d e ) 0, b, c, d, e
Do BĐT Bu-nhia-cốpski, ta có:
(1.b+1.c+1.d+1.e) (1 1 1 1 )(b c d e )
Vậy (2) đúng với a, b,
+ + +
+ + + + + +
c, d, e, suy ra (1) đúng.
2 2 2
Chứng minh rằng:
5x 5y 5z 6xy 8xz 8yz 0
với mọi số x, y, z không đồng thời bằng 0.
+ + + >
Ví dụ 2 :
Lời giải.
Xem vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là một tam thức bậc hai của x, còn y,
z là những tham số, ta đợc một bất phơng trình bậc hai mà x là ẩn số:
f(x, y, z) = 5x
2
+ 2(3y - 4z)x + 5y
2
+ 5z
2
- 8yz > 0 (1)
' 2 2 2 2 2

x
'
x
' 2 2 2
y
' '
y x
(3y 4z) 5(5y 5z 8yz)=-16y 16zy 9z .
Xem là một tam thức bậc hai của y, còn z là tham số,
64z 9.16z 80z .
1. Nếu z 0 thì 0 : Do đó 0 với mọi y. Từ đó suy ra rằ
= + +

= =
< <
' 2
x
'
x
ng PT (1) nghiệm đúng với mọi x.
2. Nếu z=0 thì 16y .
a) Nếu y 0 thì 0. Do dó PT (1) nghiệm đúng với mọi x.
=
<
2 2 2
2
b) Nếu y=0 thì vì x y z 0 nên x 0.
f(x, y, z)=5x 0
Vậy bất đẳng thức (1) đúng với mọi x, y, z không đồng thời bằng 0.
+ + >

>
2
2
Cho ABC. Chứng minh:
x A
x(cosB cosC) 2sin , x R.
2 2

+
Ví dụ 3 :
Lời giải.
18
2
2
2
2 2 2
x
x A
Xét tam thức: f(x)= x(cosB cosC) 2sin . Ta có:
2 2
A B C B C A
(cosB cosC) sin 2cos cos 4sin
2 2 2 2
+ +
+

= + =
ữ

2

2 2
A B C
=4sin cos 1 0
2 2
Do đó: f(x) 0, x R (đpcm).



ữ


2 2 2
Chứng minh rằng nếu ba số a, b, c thỏa mãn các điều kiện:
a b c 2

ab bc ca 1
4 4 4 4 4 4
thì - a , - b , - c .
3 3 3 3 3 3

+ + =

+ + =


Ví dụ 4 :
Lời giải.
Xem hai đẳng thức đã cho là một hệ hai phơng trình mà b, c là hai ẩn số, a là
tham số. Hệ phơng trình này có nghiệm. Từ đó ta tìm đợc tập hợp các giá trị của
tham số a.

Từ giả thiết, ta suy ra:
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2(ab + bc + ca)
= 2 + 2 = 4
a+b+c=2
a+b+c=-2




Hệ đã cho t ơng đ ơng với hai hệ:
a+b+c=2 a+b+c=-2
(I) ; (II)
ab+bc+ca=1 ab+bc+ca=1
Xét hệ (I). Từ PT thứ nhất của hệ ta suy ra b+c=2-a. Thay vào PT thứ hai, ta đ ợc:
bc+a(2-



2
a)=1 bc=(a-1)
2
2 2

Hệ (I) t ơng đ ơng với hệ:
b+c=2-a

bc=(a-1)
b,c là các nghiệm của PT:
x (2 a)x (a 1) 0



+ =
2 2
PT này có hai nghiệm nên 0
=(2-a) 4(a 1) 0


2
3a 4a 0 +
4
0 a (1)
3

Lập luận t ơng tự đối với hệ (II), ta đ ợc:
4
- a 0 (2)
3

19
Phối hợp các kết quả (1) và (2), ta đ ợc:
4 4
- a

3 3

Vì a, b, c có thể đổi chỗ cho nhau trong hai đẳng thức đã cho nên ta cũng có:
4 4 4 4
- b và - c .
3 3 3 3

Bài tập tự luyện:
2 2
Chứng minh: (x+y) 2x 5 5y 4y 5 6, x,y R. + Bài 1 :
2 2 2 2 2 2 4 4 4
Chứng minh rằng nếu a, b, c là các độ dài ba cạnh của một tam giác thì ta luôn có:
1
a b b c c a (a b c )
2
+ + > + +
Bài 2 :
Chứng minh rằng với mọi x R, ta đều có:
4sin3x+5 4cos2x+5sinx


Bài 3 :
Dạng 4: Phơng pháp đạo hàm
I. Kiến thức cần nhớ:
1. Định lý Lagrange: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên
khoảng (a; b) thì tồn tại một điểm
c (a; b)
sao cho:
' '
f(b) f(a)

f(b)-f(a)=f (c)(b a) hay f (c)
b a

=

2. Tính đơn điệu của hàm số:
1 2 1 2
Cho hàm số y=f(x) xác định trên K (K là khoảng (a; b) hoặc đoạn [a; b])
* f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu:
x , x K : x x f(
a) Khái niệm tính đồng biến và nghịch biến của hàm số :
<
1 2
1 2 1 2 1 2
x ) f(x ).
* f(x) gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:
x , x K : x x f(x ) f(x ).
* Tính đồng biến hay nghịch biến đ ợc gọi chung là tính đơn điệu.
<
< >
/
Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên khoảng (a; b).
* Nếu f(x) đồng biến trên khoảng (a; b) thì f (x) 0, x (a; b)
* Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b) t
b) Điều kiện cần của tính đơn điệu :

/
hì f (x) 0, x (a; b).
Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên khoảng (a; b).
c) Điều kiện đủ của tính đơn điệu (dấu hiệu đơn điệu) :

20
/
/ /
/
/ /
x (a; b): f (x) 0
*
f (x) 0 hoặc f (x) 0 tại hữu hạn điểm x
f(x) đồng biến trên khoảng (a; b)
x (a; b): f (x) 0
*
f (x) 0 hoặc f (x) 0 tại hữu hạn điểm x
f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b)




=







=



Chú ý: Trong dấu hiệu đơn điệu, nếu thêm giả thiết f(x) liên tục trên đoạn [a; b]

thì kết luận mạnh hơn: f(x) đồng biến (hay nghịch biến) trên đoạn [a; b].
3. Cực trị của hàm số:
0
/
0 0
0
/
0 0
Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x (a;b).
a) Định lý 1:
f (x) 0 trên (x ; x )
* x là điểm cực đại của f(x).
f (x) 0 trên (x ; x + )




>



<


/
0 0
0
/
0 0
/

0
//
/
0
//
f (x) 0 trên (x ; x )
* x là điểm cực tiểu của f(x).
f (x) 0 trên (x ; x + )
b) Định lý 2:
f (x) 0
* x là điểm cực tiểu của f(x).
f (x) 0
f (x) 0
* x là điểm cực đại của f(x
f (x) 0



<



>



=

>



=



<


).
II. Ví dụ minh họa:
x
x
Cho n là số tự nhiên, n 1. Chứng minh rằng: e 1 , với mọi x>0.
n
> +Ví dụ 1 :
(ĐHSP Quy Nhơn - Năm 1999)
Lời giải.
[
)
[
)
x
/ x x 0
x
Xét hàm số f(x)=e 1 trên nửa khoảng 0; + . Với mọi x>0, n 1, ta có:
n
1 1

f (x) e >0 (vì e e 1 với x>0, n 1)
n n
Mặt khác dễ thấy hàm số liên tục trên 0; + . Do đó f(x) đồng biến trên nửa kho

= > = >

[
)
x
x
ảng 0; + .
Vậy với mọi x>0, n 1:
x
f(x)=e 1 >f(0)=0
n
x
Điều đó chứng tỏ e 1 , x>0, n 1.
n



> +
Chú ý: 1) Với bài toán này, ta cũng có thể xét hàm số
x
x
g(x)=e
n

trên nửa khoảng
[

)
0; +
, với chú ý rằng g(0) = 1.
21
2) Nếu không sử dụng tính liên tục của hàm số, ta chỉ có thể kết luận hàm số đồng
biến trên khoảng
(0; + )
. Khi đó cha thể có bất đẳng thức f(x) > f(0) với x > 0.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n 3 ta đều có:
n
n+1
> (n+1)
n
.
(H An ninh Khi A - Nm 2000)
Lời giải.
n
n+1
> (n+1)
n
(1)

n+1 n
(n+1)lnn>nln(n+1)
ln(n+1) ln n
>
(2)
/
2 2
x

Xét hàm số f(x)= với x 3.
lnx
1
ln x x.
ln x 1
x
Ta có: f (x) 0 (Do x 3)
ln x ln x
Vậy f(x) đồng biến nên f(n+1)>f(n) (2): đpcm.



= = >

3x
1
2sinx tgx
2
Với 0<x< . Chứng minh 2 2 2 .
2

+
+ >Ví dụ 3 :
(ĐH Y dợc Tp. HCM - Năm 1993)
Lời giải.
2sinx tgx
1
2sinx tgx 2sinx tgx
2
p dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

2 2 2 2 .2 2
Vậy ta chỉ cần chứng minh:
2sin x tgx 3
1 x 1 2sin x tgx 3x 0, x 0;
2 2 2
Xét hàm số f(x)=2sin x tgx 3x
Ta có

+
+
+ =
+

+ > + + >
ữ

+
á
/
2 2
3
2
1 1
: f (x) 2 cosx 3 cosx cosx 3
cos x cos x
1
3 cosx.cosx. 3 0 (BĐT Cauchy)
cos x
Vậy f(x) đồng biến trên khoảng 0; .
2

Suy ra f(x)>f(0)=0 hay 2sin

= + = + +
=

ữ

x+tgx-3x>0, x 0; .
2



ữ

2 2 2
2 2 2 2 2 2
Cho ba số d ơng a, b, c thỏa a b c 1. Chứng minh rằng:
a b c 3 3
.
b c c a a b 3
+ + =
+ +
+ + +
Ví dụ 4 :
(ĐH Đà Nẵng - Năm 2001)
Lời giải.
22
2 2 2
2 2 2
2

Bất đẳng thức cần chứng minh t ơng đ ơng với:
a b c 3 3 3 3
(a b c )
1-a 1 b 1 c 3 3
2
Ta chứng minh nếu 0<x<1 thì f(x)=x(1-x )
3 3
+ + = + +


/ 2 /
3
Ta có: f (x) 1 3x ; f (x) 0 x .
3
= = =
x
0
3
3
1
f(x) + 0 -
f(x)

2
3 3
0
0
2 2
2
Từ điều kiện a, b, c (0; 1) thay x=a, ta có:

2 a 3 3
a(1-a ) a
1 a 2
3 3



(1)
Tơng tự, ta có:
2
2
b 3 3
b
1-b 2

(2)

2
2
c 3 3
c
1-c 2

(3)
2 2 2 2 2 2
2 2 2
Cộng các vế t ơng ứng của (1), (2) và (3), ta đ ợc:
a b c 3 3 3 3
(a b c ) (Do a b c =1)
1-a 1 b 1 c 2 2

+ + + + = + +

Bài tập tự luyện:
2
2
-x
-x 4
Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x [0; 1]:
x
a) 1-x e 1-x+
2
e x
b) -x< 1 x
1+x 2(1 x)


+
+
Bài 1 :
(ĐH Kiến trúc Hà Nội - Năm 2000)
Bài 2: Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng
3 thì:
3a
2
+ 3b
2
+ 3c
2
+ 4abc 13.
(ĐHSP Vinh Khối A, B - Năm 2001)

23
Bài 3: Cho các số x, y thỏa mãn điều kiện x 0, y 0 và x
3
+ y
3
= 2. Chứng minh
rằng x
2
+ y
2
2.
(ĐH Ngoại thơng - Năm 1995)
3 3 3
3 3 3
Chứng minh rằng với mọi x 0 và mọi >1, ta luôn có x 1 x. Từ đó chứng minh
rằng với ba số d ơng a, b, c bất kì, ta có:
a b c a b c
.
b c a b c a


+
+ + + +
Bài 4 :
(ĐHQG Hà Nội - Năm 2001)
a b c a b c
Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=1 thì:
1 1 1 a b c
3 .
3 3 3 3 3 3

+ + + +
ữ

Bài 5 :
(Học viện Công nghệ BCVT - Năm 2001)
Dạng 5: Phơng pháp tọa độ
I. Kiến thức cần nhớ:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy hay trong không gian Oxyz, ta chọn tọa độ các
vectơ (hay tọa độ của điểm) sao cho thích hợp với đề đã cho rồi áp dụng công thức
sau đây:
1) a b a b .
Đẳng thức xảy ra a, b cùng ph ơng.
2) a b c a b c .
3) a.b a . b
Đẳng thức xảy ra khi a, b cùng ph ơng.
+
+ +

r r r r
r r
r r r r r r
r r r r
r r
4) a.b a . b
Đẳng thức xảy ra khi a, b cùng h ớng.

r r r r
r r
5) AB+BC AC, A, B, C nằm trong mặt phẳng tọa độ.

Đẳng thức xảy ra khi A, B, C thẳng hàng.

II. V D MINH HA:
2 2 2
2 2 2
Cho x, y, z là ba số d ơng và x+y+x 1. Chứng minh rằng:
1 1 1
x y z 82.
x y z

+ + + + +
Ví dụ 1 :
(ĐH, CĐ Khối A - Năm 2003)
Lời giải.
24
2 2 2
2 2
2
Với mọi u, v ta có: u v u v (*)
(Vì u v =u +v +2u.v u + v +2 u . v =(u+v) )
1 1 1
Đặt a x; , b y; , c z;
x y z
p dụng BĐT (*) ta có a b c a b c a b c
V
+ +
+


= = =

ữ
ữ ữ


+ + + + + +
r r r r r r
r r r r r r r r r r r r
r r r
r r r r r r r r r
Cách 1 :
á
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2
ậy :
1 1 1 1 1 1
P= x y z (x y z)
x y z x y z
1 1 1 1 1 1
Ta có: (x y z) 81(x y z) 80(x y z)
x y z x y z
1 1 1
18(x y z) 80(x y z) 162 80 82 (B ĐT Cauchy)
x y z
Vậy P 82. Đẳng thức

+ + + + + + + + + +

ữ


+ + + + + = + + + + + + +
ữ ữ


+ + + + + + =
ữ


1
xảy ra khi x=y=z= .
3
1 1 1
Đặt a -x; 2 , b y; 2 , c z; 2
x y z


= = =
ữ
ữ ữ


r r r
Cách 2 :
2
2 2 2
2 2 2
2

1 1 1 1 1 1
Ta có: P= x y z a b c (x y z) 18
x y z x y z
1 1 1
Mặt khác, ta có: (x y z)
x y z
1 1 1
= 9x 9y 9z 10(x y z) 18 10 (vì x+y+z 1)
x y z
Do đó P 8 18 82 (đpcm)

+ + + + + = + + + + + + +


+ + + + =


+ + + + + + +
ữ
ữ ữ


+ =
r r r
2 2 2 2 2 2
Với a, b, c là ba số d ơng thoả mãn đẳng thức ab+bc+ca=abc. Chứng minh rằng:
b 2a c 2b a 2c
3.
ab bc ca
+ + +

+ +
Ví dụ 2 :
(ĐHQG Hà Nội Khối D - Năm 2000)
Lời giải.
25