BÀI TẬP HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC pdf

Tiết 35

BÀI TẬP HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
+ Củng cố lại các kiến thức đã học về vectơ chỉ phương của đường thẳng
trong không gian.
+ Biết cách xác định được góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian, từ
đó nắm được định nghĩa hai đường thẳng vng góc và vận dụng để giải
các bài tốn thực tế.
+ Củng cố lại điều kiện đồng phẳng của ba vectơ.
2. Kĩ năng:
+ Chứng minh hai đường thẳng vng góc bằng nhiều cách.
+ Biết vẽ hình khơng gian, tưởng tượng hình khơng gian.
3. Tư duy:
+ Rèn luyện tư duy logic, tư duy trừu tượng.
+ Rèn luyện các thao tác tư duy: so sánh, phân tích, tổng hợp.
4. Thái độ:
+ Tích cực, chủ động học tập.
+ Cẩn thận, chính xác.
II. Chuẩn bị:


1. Giáo viên:
+ Lựa chọn một số bài tập ở SGK để sửa
+ Chuẩn bị bài tập ngoài SGK
+ Chuẩn bị đồ dùng dạy học: thước, phiếu học tập (PHT).
2. Học sinh:
+ Xem lại kiến thức lý thuyết của bài 2.
+ Làm bài tập SGK.

III. Phương pháp dạy học:
+ Gợi mở, vấn đáp
+ Nêu vấn đề, giải quyết vấn đề
+ Thảo luận nhóm
IV. Tiến trình dạy học:
1. Ổn định lớp, kiểm tra vắng.
2. Kiểm tra bài cũ: Hãy nêu:
- Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng,
- Các nhận xét,
- Định nghĩa hai đường thẳng vng góc,
- Nhận xét.


3. Nội dung bài mới:
Hoạt động 1: Làm bài tập 7 SGK

Hoạt động của giáo viên

Yêu cầu học sinh trả lời

Hoạt động của học sinh

Đứng dậy trả lời:

miệng bài tập 7
a. Khẳng định “Hai đường thẳng cùng
Yêu cầu học sinh cả lớp
theo dõi và bổ sung
Kết luận lại và yêu cầu

vng góc với đường thẳng thứ 3 thì
song song với nhau” là không đúng.
b. Khẳng định “Hai đường thẳng cùng

học sinh chép vào vở (nếu

vng góc với đường thẳng thứ 3 thì

cần)

vng góc với nhau” là khơng đúng.
Lắng nghe bạn trả lời và đứng dậy bổ
sung (cho phản ví dụ)
Nghe và chép

Hoạt động 2: Làm bài tập 8a) SGK
PHT1: Nếu n , a , b đồng phẳng thì theo điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ
ta có:
n = ................

Từ đó ta có n.n = .......................


Hoạt động của giáo viên

Phát PHT1: (nội dung

Hoạt động của học sinh

Nhận PHT và đọc nội dung của PHT

như trên)
Trình bày lời giải:
Yêu cầu học sinh suy
nghĩ trình bày lời giải dựa
theo những gợi ý trong
PHT1.

Nếu n , a , b đồng phẳng thì theo điều
kiện đồng phẳng của 3 vectơ ta có:
n = xa  yb .

Gọi một học sinh bất kỳ
lên trình bày lời giải.
Gọi học sinh khác nhận
xét

Từ đó ta có
n.n = (x a  y b ).n  x a .n  y b .n  0.

Điều này mâu thuẫn với n  0

Chính xác hóa kết quả,

Học sinh khác nhận xét

cho điểm
Nghe và chép

Hoạt động 3: Làm bài tập 8b) SGK

PHT2: Giả sử 3 vectơ cùng vng góc với n là a , b , c . Xét hai trường
hợp:
-

TH1: Nếu a , b cùng phương thì ..............


TH2: Nếu a , b khơng cùng phương thì dùng kết quả câu 8a, ta

có:

................
Từ đó ta có c = .......................

Hoạt động của giáo viên

Phát PHT2: (nội dung

Hoạt động của học sinh

Nhận PHT và đọc nội dung của PHT

như trên)
Trình bày lời giải:
Yêu cầu học sinh suy
nghĩ trình bày lời giải dựa
theo những gợi ý trong
PHT2.

Giả sử 3 vectơ cùng vng góc với n

là a , b , c . Xét hai trường hợp:
TH1: Nếu a , b cùng phương thì a , b , c

Gọi một học sinh bất kỳ đồng phẳng.
lên trình bày lời giải.
TH2: Nếu a , b khơng cùng phương thì
dùng kết quả câu 8a, ta có: phương thì
a , b , n khơng đồng phẳng.

Từ đó ta có c  x a  y b  z n .
Nhân vô hướng hai vế với n , ta có
2

c .n  x a.n  y b .n  z n suy ra z n

2

 0 hay

z = 0, tức là c  x a  y b . Vậy các vectơ
a , b , c đồng phẳng.


Nếu ba đường thẳng d 1 , d 2 , d 3 cùng
vng góc với một đường thẳng thì do kết
quả nêu trên, ta có ba vectơ của ba đường
thẳng d 1 , d 2 , d 3 đồng phẳng tức là ba
đường thẳng d 1 , d 2 , d 3 cùng song song
với một mặt phẳng.
Học sinh khác nhận xét

Nghe và chép

Gọi học sinh khác nhận
xét
Chính xác hóa kết quả,
cho điểm

Hoạt động 4: Làm bài tập 9 SGK

Hoạt động của giáo viên

Yêu cầu học sinh hoạt động

Hoạt động của học sinh

Học sinh hoạt động theo nhóm


nhóm
Gợi ý:

Trình bày lời giải:

-

Cách vẽ hình

-

Để chứng minh SA  BC ta

cần chứng minh điều gì?
-

S

C

A

uur uuu
r

Biểu diễn SA.BC theo các
uur uuu uuu
r r

vectơ SA , SB , SC như thế nào?
Gọi một học sinh bất kỳ lên
trình bày lời giải.
B

Xét SA.BC . do BC  SC  SB
nên SA.BC  SA.SB  SA.SC
·
·
 SA.SB cos ASB  SA.SC cos ASC.

Mặt khác SA = SB = SC và
uur uuu

r
·
·
ASB  ASC nên SA.BC  0, tức là

SA  BC .

Tương tự như trên ta cũng có
SB  AC , SC  AB .

Gọi học sinh khác nhận xét

Học sinh khác nhận xét


Chính xác hóa kết quả, cho điểm

Nghe và chép

Hoạt động 5: Làm bài tập 10 SGK

Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

Yêu cầu học sinh làm bài tập

Học sinh đọc đề bài và suy nghĩ.

10

Gợi ý:

uuu uuu
r r

-

Ta chứng minh AC .BD  0

-

uuu uuu uuu
r
r
r
BD  AD  AB

Để chứng minh

AC  BD ta cần chứng minh

điều gì?
-

uuu
r

Biểu diễn BD theo các

uuu uuu

r
r
vectơ AB , AD như thế nào?

Trình bày lời giải:
uuu uuu
r r

uuu uuu
r r

Ta có: AB .AC  AC .AD
Gọi một học sinh bất kỳ lên
trình bày lời giải.

uuu uuu uuu
r
r
r
 AC .( AD  AB )  0
uuu uuu
r r
 AC .BD  0  AC  BD

Tương tự,
uuu uuu uuu uuu
r r
r r
AB .AD  AC .AD  AD  BC

uuu uuu uuu uuu
r r
r r
AB .AD  AC .AB  AB  CD

Gọi học sinh khác nhận xét
Chính xác hóa kết quả, cho

Học sinh khác nhận xét
Nghe và chép

điểm

4. Củng cố - BTVN:
- Hãy nêu các cách chứng minh hai đường thẳng a, b vng góc.
- Trả lời:
+ Chứng minh góc giữa chúng bằng 90 
u r
r

 

u r
r

+ Chứng minh cos u ,v  0, với u ,v lần lượt là các vectơ chỉ
phương của a và b.
u r
r

+ Chứng minh u .v  0
- Làm các bài tập còn lại ở SGK
- Bài tập thêm: Cho tứ diện ABCD có AC  BD và AD  BC. Chứng
minh rằng AB  DC . (Gợi ý: tương tự bài tập 10 sgk).


VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I.MỤC TIÊU
1.Về kiến thức
+Học sinh năđược các định nghĩa , vectơ trong không gian , hai vaecơ
bằng nha , vectơ không ,đọ dài véctơ.
+Thực hiện tốt các pháp toán về vectơ, cộng trừ các vectơ, nhân vectơ với
một đồng phẳng .
+Nắm được định nghĩa ba vetơ không đơng phăng , điều kiện đẻ ba vectơ
địmg phẳng .
+Biết định nghĩa tích vvo hướng của hai vectơ,vận dụng tích vơ hướng
của vectơ để giải các bài tốn yếu tố hình học khơng gian .
Chú ý :Khắc sâu các phép tính vectơ tổng hình học phẳng vẫn có thể vận
dụng cho hình học khơng gian và khơng chứng minh .
2.Về kĩ năng
Học sinh vận dụng linh hoạt các phép tính về vevtơ , hiểu được bản chất
các phép tính để vận dụng .
3.Về thái độ
Thấy được sự phát triển toán học , thấy được tính chặt chẽ của tốn học
khi phát triển mở rộng các kiến thức.
II.CHUẨN BỊ CHO BÀI HỌC
1.Chuẩn bị của giáo viên:

Câu hỏi :Hãy nhắc lại :-Định nghĩa véctơ
-Giá của véctơ ,độ dài vectơ
-Sự cùng phương , cùng hướng của hai vectơ
-Phép cộng hai vectơ
-Phép nhân vectơ với một số.
2.Chuẩn bị của học sinh :
uuu
r

Câu trả lời : Vectơ là một đoạn thẳng dịnh hướng AB có điểm đầu và
điểm mút (A gọi là điểm đầu , B gọi là điểm mút )
-Đuờng thẳng đi qua hai điểm đầu và cuối gọi là giá của vectơ .
-Hai vectơ là cùng phương nếu chúng có cùng giá hoặc giá của chúng
song song với nhau.
-Hai vectơ cùng hướng nếu chúng có cùng phương và cùng hướng , hai
vectơ ngược hướng nếu chúng cùng phương và ngược hướng .
uuu
r

uuu
r

-Độ dài AB là | AB | =AB
r

r

-Hai vec tơ bằng nhau a " b khi và chỉ khi chúng cùng hướng và cùng độ
dài.
-Phép cộng hai vectơ:

uuu
r

uuu
r

uuu
r

+Quy tắc tam giác: AB ! BC " AC.
uuu
r

uuu
r

uuu
r

+Quy tắc hình bình hành : AB ! AD " AC.


Phép nhân vectơ với một số thực k :k.alà một vectơ cùng hướng

-

r

r

với vectơ a nếu k>0 và ngược hướng với a nếu k<0 .Độ dài cảu k. a là k
r

r

.a = k a .
III. NỘI DUNG VÀ TIẾN TRÌNH LÊN LỚP
1.Định nghĩa vectơ trong không gian
Hoạt động 1: Định nghĩa
Giáo viên đặt vấn đề :Mơn hình học mởongj thêm các khái niệm về vectơ
tương tự như trong hình học phẳng để hiểu rõ và vận dụng tốt trong học
tập và tự học.Xét vectơ trong không gian.

Trợ giúp giáo viên

Hoạt động của học sinh

-Giáo viên đặt vấn đề xét một đoạn thẳng

HS1 VéctơAB, A gọi là điểm đầu B gọi là đi

r
AB trong khô a ng gian , cách biểu diễn

đoạn thẳng đó bằng mọtt véctơ . Từ đó dẫn

+Xét 1 : HS1 đọc và vẽ hình 3.1

đến định nghĩa (SKG)
-Lưu ý:

+ Giá , độ dài , phương chiều của véc tơ .
+Hai véctơ bằng nhau không được định
nghĩa như trong mặt phẳng .
Hình 3.1
+Véctơ khơng AA=0


uuu uuu uuu
r r r

HS2: Nêu kết quả: AB, AC , AD .
-Yêu cầu học sinh làm ví dụ∆2

∆2: Học sinh giải và nêu kết quả
+ Tượng tự ở câu ∆1

Hoạt động 2: Phép cộng và phép trừ véctơ trong không gian

Trợ giúp của giáo viên

Hoạt động của học sinh

- giáo viên đặt vấn đề bằng cách yêu cầu
học sinh nhắc lại các phép tính cộng trừ hai
véctơ trong mặt phẳng. Sau đó giáo viên
thơng báo tính tương tự trong mặt phẳng:
r

uuu
r

+ kí hiệu véctơ theo định nghĩa a " AB ,
r uuu
r
uuu uuu uuu
r
r
r
b " BC L AB ! BC " AC
r

r

uuu
r

- Học sinh nêu các tính chất của phép cộng các ve
r

r

r

r

+ Giao hoán : a ! b " b ! a

hay: a ! b " AC .

r

r

r

r

r

r

+ Kết hợp: a ! ( b ! c ) = ( a ! b ) + c
+ Phép cộng véctơ trong không gian tương
tự phép cộng trong mặt phẳng. vậy, nó có
tính chất tương tự. Hãy nhắc lại các tính

r

r

r

r

r

+ a! 0 = 0 +a = a .


chất đó.

- giáo viên u cầu nghiên cứu một ví dụ:
+ Cho tứ diện ABCD. Chứng minh:
uuu uuu uuu uuu
r
r
r
r
AC ! BD " AD ! BC .

+ Học sinh áp dụng quy tắc ba điểm để chứng mi
Hỏi: Hãy nêu phương pháp hướng giải và
nêu cách chứng minh.
Gợi ý: trong mặt phẳng (BCD) tạo ra hai
uuu
r

uuu
r

véctơ CE " BD .
- Yêu cầu học sinh thực hiện ∆3 để dẫn đến
quy tắc hình hộp:
+ Giáo viên lưu ý học sinh: trong mặt phẳng Hình 3.2
có hai quy tắc cộng vectơ:

uuu
r

uuu
r

uuu
r

Vì: AC " AD ! DC . (hình 3.2)
+ Quy tắc hình bình hành

uuu uuu uuu uuu suu
r
r
r
r
u
L AC ! BD " AC ! CE " AE .

+ Quy tắc tam giác.

uuu uuu uuu uuu uuu
r
r
r
r
r
AD ! BC " AD ! DE " AE .

- Dẫn dắt học sinh đến: Trong không gian
nếu ba vectơ cùng chung một đỉnh, ta có

Vậy, từ đó suy ra
uuu uuu uuu uuu

r
r
r
r
AC ! BD " AD ! BC .

quy tắc hình hộp đó là:
uuu uuu uuur uuuu
r
r
r
AB ! AD ! AA ' " AC ' .

- Yêu cầu học sinh vẽ hình và chứng minh
quy tắc trên.

+Hình vẽ dùng để chứng minh quy tắc hình h
3.3)


Gợi ý:
uuu uuu
r
r
uuu uuu uuur
r
r
AB ! AD " ? L AB ! AD ! AA ' .

- Áp dụng tính tổng và hiệu:

uuu
r

uuuuu
r

uuuu
r

a) Tính tổng AB ! A ' D ' ! CC '
Gợi ý: Vận dụng phép cộng vectơ theo quy
tắc tam giác, hình bình hành. Hãy tính

Hình 3.3
uuu
r

uuu
r

HS: AB ! AD " ? Suy ra:
uuu uuuuu
r
r
AB ! A ' D ' =?

uuu
r

uuu uuu uuur

r
r
AB ! AD ! AA ' = ?

uuuuu
r

b) Tính hiệu AB # A ' C ' .

uuu uuu uuu uuur uuuu
r
r
r
r
AB ! AD " AC , AA ' " CC '

uuu
r

uuuuu
r

Gợi ý: Hãy chuyển hai vectơ AB và A ' C '
bằng hai vectơ trên cùng chung điểm đầu.

uuu
r

uuu
r

uuur

uuuu
r

Do đó AB ! AD ! AA ' " AC ' .
+ HS: Chỉ ra kết quả
uuu uuuuu uuu uuu
r
r
r
r
AB ! A ' D ' = AB ! AD .
uuu
r

uuu
r

uuu
r

HS: tính AB ! AD " AC
uuu uuuuu uuuu uuu uuu uuuu
r
r
r
r
r

r
L AB ! A ' D ' ! CC ' " AC ! CC " AC ' .

uuu
r

uuuuu
r

uuu
r

uuu
r

uuu
r

uur
u

uuu
r

HS: AB # A ' C ' = AB # AC " AB ! CA " CB .

Hoạt động 3: Phép nhân vectơ với một số

Trợ giúp của giáo viên

Hoạt động của học sinh


- Giáo viên đặt vấn đề tương tự trong mặt

- Học sinh nêu các tính chất của phép nhân vect

phẳng, phép nhân một số thực với một

một số trong mặt phẳng

vectơ trong khơng gian cũng có các tính

r

r

T/C 1: k a cùng hướng với a nếu k>o và ngư

chất tương tự.

r

r

r

hướng với a nếu k<0, k a " k a .
+ Em hãy nhắc lại các tính chất phép nhân
vectơ với một số thực.

- Yêu cấu học sinh nghiên cứu ví dụ 2:
Cho tứ giác ABCD có MA = MD và NB =

r

r

r

u
r

T/C 2: m(a ! b) " ma ! nb.
r

r

r

T/C 3: (n ! m)a " na ! ma. .
r

r

T/C 4: (m.n) a = m (n a ).

NC. G là trọn tâm:
r

r

T/C 5: m. 0 = 0 .
Chứng minh:
r

uuuu
r

a) MN "
uuu
r

r
r
1 uuu uuu
AB ! DC
2

uuu
r

uuu
r

r

r

r

r

T/C 6: 1. a = a .1 = a , (-1) a = - a .
HS: Nêu cách giải

uuu
r

b) AB ! AC ! AD " 3 AG

uuuu uuu uuu uuu
r
r
r
r
MN " MA ! AB ! BN

Gợi ý: Dùng quy tắc cộng vectơ theo hệ

uuuu uuur uuu uuu
r
u
r
r
MN " MD ! DC ! CN .

thức Salơ.
uuu uuu
r
r

uuu uuu
r
r
Gợi ý: Tính GA ! GD " ?, GB ! GC " ?.

uuuu uuu uuur uuu uuu uuu uuu
r
r
u
r
r
r
r
2MN " MA ! MD ! BN ! CN ! AB ! DC .

+ Tương tự, em hãy chứng minh đẳng thức Suy ra

uuuu 1 uuu uuu
r
r
r
MN " ( AB ! DC ) .
2

b).
b) Học sinh tự chứng minh.

II. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ
Hoạt động 1: Khái niệm sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

Trợ giúp của giáo viên

Hoạt động của học sinh

- Giáo viên đặt vấn đề: Thếa nào là ba

+ Các vectơ AB, AC , AD có ba giá cùng song son

vectơ đồng phẳng ?

một mặt phẳng nào đó.

Giáo viên phân tích các trường hợp xảy ra

+ AD, MN , BC cùng song song với một mặt phẳng

r r r

trong không gian đối với ba vectơ: a, b, c

uuu uuu uuu
r r r

uuu uuuu uuu
r
r r

là đồng phẳng.

khác vectơ không gian:
+ Nếu: OA, OB, OC không cùng nằm trong một
uuu r uuu r uuu r
r
r
r
Từ o ta vẽ : OA " a, OB " b, OC " c .

phẳng thì: a, b, c không đồng phẳng.

Huớng dẫn và gợi ý học sinh rút ramột số

+ Nếu: OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt ph

kết luận về khả năng đồng phẳng . Có thể

thì: a, b, c là đồng phẳng.

r r r

r r r

chứng minh các kết luận này ?

r r r

+ Ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi O, A
C cùng nằm trong một mặt phẳng.
uuu r uuu r uuu r
r

r
r
OA " a, OB " b, OC " c .
r r r

r r

+ Ba vectơ a, b, 0 luôn đồng phẳng với mọi a b
r r r

r r

+Ba vectơ a, b, c với a, b cùng phương thì đơng b

Gợi ý: Dùng phương pháp chứng minh
phản chứng .
- Gọi một học sinh đọc định nghĩa trong
sách giáo khoa.
+ Yêu cầu học sinh nghiên cứu ví dụ 3 từ
đó trả lời câu ∆5

CM. Giả sử OABC thuộc một mặt phẳng (a) .
r

r

r

Giá a (a), b (a), c (a). Suy ra vơ lí.
+HS: Nêu định nghĩa SGK.

+Học sinh nghiên cứu SGK và chuẩn bị trả lời y
cầu của giáo viên .

Hoạt động 2: Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ .

Trợ giúp của giáo viên

Hoạt động của học sinh

+ Em hãy nhắc lại phương pháp phân tích

HS: Phân tích theo quy tắc hình bình hành (hình

một vectơ theo hai vectơ không cùng
phương trong mặt phẳng

GV: Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng và
sự phân tích một vectơ theo hai vectơ không
cùng phương trong một mặt phẳng .
Hình 3.5
-Giáo viên giới thiệu định lí 1 bằng cách yêu
cầu một học sinh đọc định lí trong SGK và
gọi học sinh ghi tốm tắt và chứng minh :

r
r
r
a " mb ! nc.

r

HS: Ghi giả thiết và kết luận a không song song
rr r r
r
r
r
b.a, b, c đồng phẳng khi c " ma ! nb ,m,n không đ

thời bằng 0 và duy nhất.
r r r

Gợi ý : Biểu diễn ba vectơ a, b, c cùng chung
r r r

điểm đầu . a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi
OABC thuộc một mặt phẳng.


uuu
r

Vậy, theo sự phân tích vectơ OC theo hai
uuu uuu
r r

vectơ OA,OB ta có kết luận gì ?

Hình 3.6

+u cầu học sinh trả lời các câu hỏi ∆6 và

uuu
r
uuu
r
uuu
r
r
r
r
r r
OC " mOA ! nOB O c " ma ! nb. Vì a, b khơng cùng

∆7.
-Nghiên cứu ví dụ 4:

thuộc một phương nên m,n được xác định duy nh

+ Học sinh ghi giả thuyết , kết luận
+Vẽ hình
+ Chứng minh
+Trả lời u cầu bài tốn

a)Chứng minh MNPQ là hình bình hành .
Gợi ý :Chứng minh rằng :
MP= NQ, và MP|| NQ .

Hình 3.7

uuuu uuu uuu
r r r

Giải b)Chứng minh MN , BC , AD đồng phẳng
.
Hỏi : Hãy nêu phương hướng chứng minh

HS:Ghi giả thiết và kết luận và vẽ hình (hình 3.7


ba vectơ đồng phẳng .

Cho tứ giác ABCD , M,N,P,Qlần lượt là trung đi
của các cạnh AB, CD,CA,DB.

Gợi ý : Dựa vào định nghĩa
uuu uuu
r r
( BC , AD song song với mặt phẳng (MNPQ)).

a)Chứng minh : MNPQ là hình bình hành .
uuuu uuu uuu
r r r

b)Chứng minh MN , BC , AD là đồng phẳng .
uuuu
r

Giải: c)Phân tích MN theo các vectơ
uuu uuu

r r
BC , AD .

Học sinh được gọi nêu cách giải

Chú ý : Xét trong mặt phẳng (MNPQ). Phân AD MQ L AD (MNPQ)
uuu uuuu
r
r

tích vectơ MN theo các vectơ MP, MQ.
uuuu uuu
r r

uuu uuur
r

So sánh MQ, AD và MP, BC.

BC MP L BC (MNPQ).
uuuu uuu uuu
r r r

Suy ra MN , BC , AD đồng phẳng .
uuuu
r

uuu uuu
r r

c) Phân tích MN theo các vectơ BC , AD.
HS(khá): nêu cách phân tích
uuuu uuu uuur
r
r
u
MN " MP ! MQ
uuuu 1 uuu 1 uuu
r
r
r
MN " AD ! BC
2
2


Hoạt động 3:Định lí 2

Trợ giúp của giáo viên

Hoạt động của học sinh

-Giáo viên đặt vấn đề : Dựa

-Học sinh được gọi ghi giả thiết và kết

vào quy tắc cộng , quy tắc hình luận :
hộp được trình bày 3 tiết trước
.Tcó thể phân tích một vectơ
trong khơng gian theo ba vectơ

không đồng phẳng .

r

r r r

+ a, b, c khơng đồng phẳng , x bất kì .
r

r

r

r

+ x " ma ! nb ! pc với m, n,p được xác
định duy nhất .

r r r

+ Biểu diễn ba vectơ a, b, c
bằng ba vectơ cùng điểm đầu
(hình

+HS: ABCO khơng đồng phẳng

3.8).
uuu r uuu r uuu r uuu r r r r
r
r

r
r
OA " a, OB " b, OC " c , OX=x.! a, b, c

không đồng phẳng , ABCO
đồng phẳng .
GV: Từ điểm X kẻ đường XX '
OC,X ' U (AOB).
GV: Vậy , trong mặt phẳng

Hình3.8

(OCXX ' ),hãy phân tích
uuur
uuur
uuu
r
OX' theo hai vectơ OX' và OC ,

+ HS: OX " pc ! kOX' ,k,p được xác định

sự phân tích đó là duy nhất .

một cách duy nhất .

+ Trong mặt phẳng (AOBX’),

+HS:Thay vào ta có

uuu

r
hãy phân tích OX ' theo các
uuu uuu
r r
vectơ OA, OB

uuu
r
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
OX " pc ! k ( m ' OA ! n ' OB ) O OX " mOA ! nOB ! pOC

uuu
r

r

uuur

uuu
r
uuu
r
uuu
r
OX " mOA ! nOB ,m,n được xác

với m,n,p được xác định một cách duy

định duy nhất.

nhất

-Ví dụ minh hoạ : Giáo viên

HS: Vẽ hình (3.9), ghi giả thiết và kết

nêu ví dụ minh hoạ cho định lí

luận

, yêu cầu cả lớp cùng giải :
+Cho ABCD là hình thoi , IB
= IA và KB = KF .Chứng minh
rằng :
uuu uur uuu
r
r

a) FH , IK , BG đồng phẳng .
Hình 3.9

uuu
r
b) Phân tích BG theo các vectơ
uuur uur
HS: Nêu cách chứng minh
FH , IK .

c) Gọi M là trung điểm của

+ Nêu cách giải (dựa vào hình 3.10):

uuuu
r

FH. Phân tích AM theo các
uuu uuu uuu
r r r

uuu uuur
r

uuur uur

+So sánh BD, FH và DG , IK .

vectơ AB, AD, AE .

a)Nêu phương chứng minh
Gợi ý : FH P BD L Xét mặt
phẳng (BDG).Vậy chỉ cần
chứng minh điều gì
?(IK P(BDG).).
b) + Phân tích theo các vectơ .

Hình 3.10
HS: Nêu cách giải
+Theo tính chất tam giác


uuu
r

+ Em hãy phân tích BG theo
uuu
r

uuuu suu uuuu
r
u
r
AM " AE ! EM .

uuuu
r

các vectơ BD và DC ' .

uuuu
r

uu
r

uu
r

+ EM " AI .Phân tích AI theo các vectơ
c) +M là trung điểm của FH ,
uuuu
r
phân tích AM theo các vectơ
uuu uuu uuu
r r r
AB, AD, AE .
uuur

+ Hãy phân tích EM theo các
uuu uuu
r r

uuu uuu
r r
AB, AD .

uuuu
r

Vậy , AM "

vectơ AB, AD .

r
r
r
1 uuu 1 uuu uuu
AB ! AD ! AE .
2
2

IV.CỦNG CỐ
Giáo viên tổng kết lại các kiến thức cần nhớ
+Các định nghĩa , vectơ trong không gian , hai vectơ bằng nhau ,vectơ
không đọ dài vectơ .
+Các phép toán: cộng trừ các vectơ ,nhân vectơ với một số thực.
+Định nghĩa ba vectơ không đồng phẳng , điều kiện để ba vectơ đồng
phẳng .
+ Định nghĩa tích vơ hướng của hai vectơ .
+ Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng dựa vào các tính
chất của véctơ trong mặt phẳng và các phân tích vectơ trong mặt phẳng .
+Phân tích vectơ theo quy tắc hình hộp (thơng thường chuyển về các
vectơ cùng điểm đầu .
V. BÀI TẬP VỀ NHÀ


-Xem lại tồn bộ lí thuyết đã học .
-Vận dụng để giải các bài tập trong sách giáo khoa trang 91 và 92.

Trường THPT Thuận An

Lớp:

Tốn 2. Nhóm IV
CHƯƠNG III : VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN. QUAN HỆ
VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
ĐỀ KIÊM TRA HÌNH HỌC 11 (Tham khảo)
I. Phần trắc nghiệm khách quan: (4 điểm)
Câu 1: Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau ?
A.

Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của

hai đường thẳng đó;
B.

Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn;

C.

Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a

và c khí b song song với c (hoặc b trùng với c)
D.

Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a

và c khí b song song với c
Câu 2: Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau ?

A.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó

và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho;
B.

Góc giữa đường thẳng a và mp(P) bằng góc giữa đường thẳng a và

mp(Q) thì mp(P) song song với mp(Q);


C.

Góc giữa đường thẳng a và mp(P) bằng góc giữa đường thẳng b và

mp(Q) thì a song song với b;
D.

Góc giữa đường thẳng a và mp(P) bằng góc giữa đường thẳng b và

mp(P) khi a và b song song (hoặc a trùng với b)
Câu 3: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện vng góc. Cắt tứ
diện đó bằng một mặt phẳng song song với một cặp cạnh đối diện của tứ
diện. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
(A)

Thiết diện là hình thang ;

(B) Thiết diện là hình bình

hành ;
(C) Thiết diện là hình chữ nhật

(D) Thiết diện là hình vng ;

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a. Đường
thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Góc giữa đường thẳng
SC và mp(SAB) là α, khí đó tanα nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?
(A)

tanα  3;
(D) tanα =

(B) tanα  2;

(C) tanα = 1;

1
2

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a. Đường
thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Khoảng cách giữa hai
đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
(A) a

(B) a 2 ;

(C) a 3 ;

(D) 2a;
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a. Đường
thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Gọi M là trung điểm của