đề cương ôn thi tốt nghiệp môn tóan

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN
Chủ đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
I. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
*) Tìm TXĐ D.
*) Tính y’.
*) Tìm các nghiệm của phương trình y’=0 và các điểm mà tại đó y’ không xác định.
*) Tìm
lim , lim
x x
y y
→−∞ →+∞
*) Tìm các tiệm cận đứng, ngang (nếu có).
*) Lập bảng biến thiên và điền đầy đủ các yếu tố.
*) Nêu sự đồng biến,nghịch biến và cực trị (nếu có).
*) Tìm các điểm đặc biệt ( giao với trục Ox, giao với trục Oy) và một số điểm.
*) Vẽ đồ thị.
2) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Cho hàm số y = f(x).
Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại một điểm M(x
0
;y
0
)
- Xác định x
0
; y
0
.
- Tính y’ sau đó tính y’(x
0

) hay f’(x
0
).
- Viết phương trình
0 0 0
'( )( )y y f x x x
− = −
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
- Tính y’ suy ra f’(x
0
).
- Giải phương trình f’(x
0
) = k tìm x
0
.
- Có x
0
tìm y
0
, viết phương trình
0 0 0
'( )( )y y f x x x
− = −
.
3) Biện luận số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị (C ): y=f(x)
- Đưa phương trình về dạng f(x) = A(m).
- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường
thẳng y = A(m).
- Vẽ hai đồ thị lên cùng một hệ trục tọa độ và biện luận kết quả.

Lưu ý: Đôi khi bài toán chỉ yêu cầu tìm m để phương trình có 3, 4 nghiệm, ta chỉ trả lời đúng
yêu cầu của mỗi bài toán đưa ra.
4) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]
- Nhận xét: Hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b].
- Tính y’.
- Giải phương trình y’=0 tìm nghiệm x
i
trên [a;b], tìm x
j
trên [a;b] sao cho f(x
j
) không
xác định.
- Tính f(a), f(b), f(x
i
), f(x
j
),
- So sánh các giá trị và kết luận.
5) Điều kiện để hàm số có cực trị
- Hàm số đạt cực trị tại x
0
thì f’(x
0
) = 0 (f(x) có đạo hàm tại x
0
).
- Nếu y’ là một tam thức bậc hai có biệt thức
∆
thì y’ đạt cực trị

0
⇔ ∆ >
.
1
6) Số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x)
- Giải phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x).
- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị đã cho.
II. BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1: Cho hàm số
3 2
3 1y x x= − + −
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
3 0x x m− + =
.
Bài giải
a)
• TXĐ: D = R.
•
2
' 3x 6xy = − +
2
0
' 0 3x 6x=0
2
x
y
x
=


= ⇔ − + ⇔

=

• Giới hạn:
lim , lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞
• Bảng biến thiên:
• Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên
( ;0)−∞
và
(2; )+∞
.
• Hàm số đạt cực đại tại x = 2, y
CĐ
= 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y
CT
= -1.
• Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1)
b)
•
3 2 3 2
3 0 3 1 1x x m x x m− + = ⇔ − + − = −
• Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số
3 2
3 1y x x= − + −

với
đường thẳng y = m – 1.
Vậy
2
1 3 4m m− > ⇔ >
: Phương trình có 1 nghiệm.
1 3 4m m
− = ⇔ =
: Phương trình có 2 nghiệm.
3 1 1 4 0m m> − > − ⇔ > >
: Phương trình có 3 nghiệm.
1 1 0m m
− = − ⇔ =
:Phương trình có 2 nghiệm.
1 1 0m m− < − ⇔ <
: Phương trình có 1 nghiệm.
Bài 2: Cho hàm số
4 2
2y x x= −
có đồ thị (C ).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x
0
= 2.
Bài giải
a)
• TXĐ: D = R.
•
3
' 4 4y x x= −

3
0
' 0 4 4 0
1
x
y x x
x
=

= ⇔ − = ⇔

= ±

• Giới hạn:
lim , lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞
• Bảng biến thiên:
•
Hàm số đồng biến trên (-1; 0) và (1;
+∞
); hàm số nghịch biến trên (
−∞
; 0) và (0;1).
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y
CĐ
= 0; hàm số đạt cực tiểu tại
1x = ±

, y
CT
= -1.
• Đồ thị: Điểm đặc biệt:
( 2;0),( 2;0),(0;0)−
b)
• Hàm số
4 2
2y x x= −
và x
0
= 2.
0
16 2.4 8y = − =
3
' 4 4 , '(2) 4.8 4.2 24y x x y= − = − =
• Phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
'( )( )
8 24( 2)
24 40
y y y x x x
y x
y x
− = −
⇔ − = −
⇔ = −
3
Bài 3: Cho hàm số
2 3

2 1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Bài giải
a)
• TXĐ:
1
D \
2
 
=
 
 
¡
•
2
8
' 0,
(2x 1)
y x D
−
= < ∀ ∈
−

• Giới hạn:
lim 1; lim 1
x x
y y
→−∞ →+∞
= =
,
1 1
2 2
lim ; lim
x x
y y
− +
   
→ →
 ÷  ÷
   
= −∞ = +∞
Vậy y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

1
2
x =
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
• Bảng biến thiên:
• Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
• Hàm số không có cực trị.
• Đồ thị: Điểm đặc biệt:
3
;0 , (0; 3)

2
 
− −
 ÷
 
b)
• Tại giao điểm với trục tung thì x
0
= 0.
0
3y = −
4
2
8
' '(0) 8
(2x 1)
y y
−
= ⇒ = −
−
• Phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
'( )( )
3 8( 0)
8 3
y y y x x x
y x
y x
− = −
⇔ + = − −

⇔ = − −
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) trong các trường hợp:
a)
3 2
3x 2y x= − +
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
b)
4 2
2xy x= −
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x.
c)
2 3
2 1
x
y
x
+
=
−
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
2
y x=
Bài giải
a)

2
' 3x 3y = −
 Hệ số góc k = 9
2

0 0 0
'( ) 9 3x 3 9 2y x x⇔ = ⇔ − = ⇔ = ±
 Với x
0
= 2
0
4y⇒ =
Phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
'( )( )
4 9( 2)
9x 14
y y y x x x
y x
y
− = −
⇔ − = −
⇔ = −
 Với x
0
= -2
0
0y⇒ =
Phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
'( )( )
0 9( 2)
9 18
y y y x x x
y x

y x
− = −
⇔ − = +
⇔ = +
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến:
9x 14y = −
và
9 18y x= +
.
b)
 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x nên có hệ số góc k = 24.

3
' 4x 4xy = −

3
0 0 0
24 4x 4x 24 2k x= ⇔ − = ⇔ =

0 0
x 2 8y= ⇒ =
 Phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
'( )( )
8 24( 2)
24 40
y y y x x x
y x
y x
− = −

⇔ − = −
⇔ = −
c)
 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
2
y x=
nên có hệ số góc k = -2.

2
8
'
(2x 1)
y
−
=
−
5

0
2
0
3
8
2
2 2
1
(2x 1)
2
x

k
x

=

−
= − ⇔ = − ⇔

−

= −


 Với
0 0
3
3
2
x y= ⇒ =
Phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
'( )( )
3
3 2( )
2
2 6
y y y x x x
y x
y x
− = −

⇔ − = − −
⇔ = − +
 Với
0 0
1
1
2
x y= − ⇒ = −
phương trình tiếp tuyến:
0 0 0
'( )( )
1
1 2( )
2
2 2
y y y x x x
y x
y x
− = −
⇔ + = − +
⇔ = − −
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm:
2 6y x= − +
và
2 2y x= − −
.
Bài 5: Cho hàm số
4 2
3x 1y x= − + +
có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình
4 2
x 3x 0m− + =
có 4 nghiệm phân biệt.
c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số
4 2
3x 1y x= − + +
trên [0; 2].
Bài giải
a)
Thực hiện các bước tương tự như bài tập 2, ta được đồ thị hàm số sau:
b)
•
4 2 4 2
x 3x 0 3 1 1m x x m− + = ⇔ − + + = +
• Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y=m+1.
• Dựa vào đồ thị , phương trình có 4 nghiệm phân biệt
13 9
1 1 0
4 4
m m⇔ < + < ⇔ < <
c)
6
• Hàm số
4 2
3x 1y x= − + +
liên tục trên [0;2].
•
3

' 4 6y x x= − +
•
( )
( )
( )
3
0 0;2
3
' 0 4 6 0 0;2
2
3
0;2
2
x
y x x x
x


= ∉


= ⇔ − + = ⇔ = − ∉



= ∈


•
3 13

(0) 1, (2) 3,
2 4
y y y
 
= = − =
 ÷
 ÷
 
• Vậy
[0;2]
min 3y = −
tại x = 2.
[0;2]
13
ax
4
m y =
tại
3
2
x =
.
Bài 6: Cho hàm số
3 2
( 1) (2 1) 1 3y x m x m x m= + − − + − +
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số có cực trị.
Bài giải
a)

3
1 3 2m y x x= ⇔ = − +
Thực hiện các bước tương tự bài 1, ta được đồ thị như sau:
b)
• TXĐ: D = R.
•
2
' 3 2( 1) (2 1)y x m x m= + − − +
• Hàm số
3 2
( 1) (2 1) 1 3y x m x m x m= + − − + − +
có cực trị
' 0y⇔ =
có hai nghiệm phân biệt.
• Xét
2
' 0 3 2( 1) (2 1) 0y x m x m= ⇔ + − − + =
2
2 2
' ( 1) 3(2 1)
4 4 ( 2) 0,
m m
m m m m
∆ = − + +
= + + = + ≥ ∀
• Vậy với
2m
≠ −
thì phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt. Hay với
2m

≠ −
thì hàm
số có cực trị.
7
Bài 7: Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại
hai điểm phân biệt.
Bài giải
a)
Thực hiện tương tự các bước khảo sát bài 3, ta có đồ thị (C) như sau:
b)
• Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
2 1
2
x
x m
x
−
= −
−

có hai nghiệm phân biệt.
• Xét phương trình:
2 1
( 2)
2
x
x m x
x
−
= − ≠
−
2
2
2 1 ( )( 2)
4 1 2 0
(4 ) 1 2 0
x x m x
x x mx m
x m x m
⇔ − = − −
⇔ − − + + =
⇔ − + + + =
Có
2
(4 ) 4(1 2 )m m∆ = + − +

2
2
8 16 4 8
12 0

m m m
m m
= + + − −
= + > ∀
• Vậy với mọi m thì đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số
3 2
1
3
y x x= −
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có tung độ bằng 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
8
Bài 2: Cho hàm số
3 2 2
2 3( 1) 6 2y x m x mx m= − + + −
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
b) Tìm giá trị của m để hàm số đạt cực trị tại x = 1. Khi đó xác định giá trị cực trị của hàm
số tại đó.
Bài 3: Cho hàm số
3 2
3 4y x x= − + −
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
d : 9 7y x= − +
.
c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số

3 2
3 4y x x= − + −
trên [1; 3].
Bài 4: Cho hàm số
3 2
1y x mx m= − + −
, m là tham số.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số khi m = 3.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1 1
d :
3 3
y x= −
.
c) Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2.
BT 5: Cho hàm số
3 2
3 3(2 1) 1y x mx m x= − + − +
a) Định m để hàm số đồng biến trên TXĐ.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị với m = 1.
Bài 6: Cho hàm số
4 2
( 1)y x mx m= − − +
có đồ thị (C
m
).
a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1;4).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = -2.
c) Tìm m để hàm số
4 2

( 1)y x mx m= − − +
có cực đại và cực tiểu.
Bài 7:Cho hàm số
4 2
1 3
3
4 2
y x x= − +
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x
0
= 2.
c) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
4 2
6 1 0x x m− + + =
BT8: Cho hàm số
4 2
1 3
( )
4 2 2
m
m
y x x C= − +
.
a) Khảo sát hàm số khi m = 1.
b) Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
c) Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu.
d) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
4 2

2 6 4 0x x m− + − =
.
BT 9: Cho hàm số
3 2
2
x
y
x
+
=
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm các điểm trên đồ thị của hàm số có hoành độ là những số nguyên.
9
BT 10: Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
a) Khảo sát hàm số.
b) Cho đường thẳng d có phương trình 2x-y+m = 0. CMR d luôn cắt đồ thị hàm số tại hai
điểm A, B phân biệt với mọi m.
c) Tìm m để AB ngắn nhất.
Bài 11:Cho hàm số
3 2
3 2y x x mx m= + + + −

, m là tham số
a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương
trình y’’ = 0.
Bài 12:Cho hàm số
−
=
−
3 2
1
x
y
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng
2y mx= +
cắt đồ thị của hàm số đã
cho tại hai điểm phân biệt.
Bài 13: Cho hàm số
2 3
1
x
y
x
−
=
−
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng
3y x= − +
và tiếp xúc
với đồ thị (C).
Bài 14: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số:
a)
3 2
( ) 3 9 2f x x x x= − + + +
trên [ -2;2].
b)
4
( ) 1
2
f x x
x
= − + −
+
trên [-1; 2].
c)
3
4
( ) 2sin sin
3
f x x x= −
trên
[0; ]
π
d)
2
4y x x= + −

e)
1
2 6
x
y
x
−
=
−
trên [-1;0].
10
Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
I. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1) Công thức lũy thừa
• Cho a>0, b>0 và
,m n∈ ¡
. Khi đó
.
m n m n
a a a
+
=
.
( )
m n m n
a a=
( ) .
n n n
ab a b=
m

m n
n
a
a
a
−
=
m
n
m
n
a a=
m
m
m
a a
b b
 
=
 ÷
 
1
n
n
a
a
−
=
1
n

n
a
a
−
=
n n
a b
b a
−
   
=
 ÷  ÷
   
•
( ) ( )
( ) ( ) ( 0)
f x g x
a a f x g x a= ⇔ = >
• Nếu a>1 thì
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x> ⇔ >
• Nếu 0 < a < 1 thì
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x> ⇔ <
2) Công thức lôgarit
• Với các điều kiện thích hợp ta có:

log
a
b a b
α
α
= ⇔ =
log 1 0
a
=
log 1
a
a =
log
a
a
α
α
=
log
a
b
a b=
log log
a a
b b
α
α
=
1
log log

a
a
b b
α
α
=
log log
m
n
a
a
n
b b
m
=
log ( . ) log log
a a a
m n m n= +
log log log
a a a
m
m n
n
= −
log
log
log
c
a
c

b
b
a
=
1
log
log
a
b
b
a
=
•
log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
f x g x f x g x= ⇔ =
với a>0.
• Nếu a>1 thì
log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
f x g x f x g x> ⇔ >
• Nếu 0<a<1 thì
log ( ) log ( ) ( ) ( )
a a
f x g x f x g x> ⇔ <
3) Phương trình mũ
a) Phương pháp đưa về cùng cơ số
( ) ( )
( ) ( )
f x g x

a a f x g x= ⇔ =
b) Phương pháp đặt ẩn phụ
 Đặt
, 0
x
t a t= >
.
 Thay vào phương trình để biến đổi phương trình theo t.
 Giải phương trình tìm t, đối chiếu điều kiện.
 Nếu có nghiệm thỏa thì thay
x
t a=
để tìm x và kết luận.
c) Phương pháp lôgarit hóa
lấy lôgarit 2 vế đưa phương trình về dạng đơn giản hơn.
4) Phương trình lôgarit
a) Phương pháp đưa về cùng cơ số
11
( ) 0, ( ) 0
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
f x g x
f x g x
f x g x
> >

= ⇔

=


b) Phương pháp đặt ẩn phụ
 Đặt
log
a
t x=
.
 Thay t vào phương trình và biến đổi phương trình theo t.
 Giải phương trình tìm t.
 Thay
log
a
t x=
tìm .
c) Phương pháp mũ hóa
Mũ hóa hai vế của phương trình với cơ số hợp lí để đưa phương trình về dạng đơn giải
hơn.
5) Bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit
Cách giải tương tự như cách giải phương trình mũ và lôgarit.
II. BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1: Giải cac phương trình sau
2
3x
)5 625
x
a
+
=
2
3 6

) 2 16
x x
b
− −
=
1
) 2 .5 200
x x
c
+
=
Bài giải
2 2
3 3 4
2
2
)5 625 5 5
3 4
3 4 0
1
4
x x x x
a
x x
x x
x
x
+ +
= ⇔ =
⇔ + =

⇔ + − =
=

⇔

= −

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 và x = -4.
2 2
3 6 3 6 4
2
2
) 2 16 2 2
3 6 4
3 10 0
5
2
x x x x
b
x x
x x
x
x
− − − −
= ⇔ =
⇔ − − =
⇔ − − =
=

⇔


= −

Vậy phương trình có nghiệm x = 5 và x = -2.
1
) 2 .5 200 2.2 .5 200
10 100 2
x x x x
x
c
x
+
= ⇔ =
⇔ = ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Bài 2: Giải các phương trình sau
) 9 10.3 9 0
x x
a − + =
) 25 3.5 10 0
x x
b + − =
3
) 2 2 2 0
x x
c
−
− − =
) 6.9 13.6 6.4 0
x x x

d − + =
Bài giải
2
) 9 10.3 9 0 3 10.3 9 0
x x x x
a − + = ⇔ − + =
Đặt
3 , 0
x
t t= >
.
Phương trình trở thành:
12
2
1 ( )
10 9 0
9 ( )
t nhan
t t
t nhan
=

− + = ⇔

=

1 3 1 0
9 9 2
x
x

t x
t x x
= ⇔ = ⇔ =
= ⇔ = ⇔ =
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 2.
2
) 25 3.5 10 0 5 3.5 10 0
x x x x
b + − = ⇔ + − =
Đặt
5 , 0
x
t t= >
Phương trình trở thành:
2
2( )
3 10 0
5( )
t nhan
t t
t loai
=

+ − = ⇔

= −

5
2 5 2 log 2
x

t x= ⇔ = ⇔ =
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
5
log 2x =
.
3 2
8
) 2 2 2 0 2 2 0 2 2.2 8 0
2
x x x x x
x
c
−
− − = ⇔ − − = ⇔ − − =
Đặt
2 , 0
x
t t= >
Phương trình trở thành:
2
4 ( )
2. 8 0
2 ( )
t nhan
t t
t loai
=

− − = ⇔


= −

4 2 4 2
x
t x= ⇔ = ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
2
9 6 3 3
) 6.9 13.6 6.4 0 6 13 6 0 6 13 6 0
4 4 2 2
x x x x
x x x
d
       
− + = ⇔ − + = ⇔ − + =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Đặt
3
, 0
2
x
t t
 
= >
 ÷
 
Phương trình trở thành
2
3

( )
2
6 13 6 0
2
( )
3
t nhan
t t
t nhan

=

− + = ⇔


=


3 3 3
1
2 2 2
2 3 2
1
3 2 3
x
x
t x
t x
 
= ⇔ = ⇔ =

 ÷
 
 
= ⇔ = ⇔ = −
 ÷
 
Vậy phương trình có nghiệm x = -1 và x = 1.
Bài 3: Giải các phương trình sau
2 4 8
) log log log 11a x x x+ + =
5 25 0,2
1
) log log log
3
b x x+ =
2
2 2
) log log 6 0c x x− − =
2
2
2
) 4log log 2d x x+ =
2
3 3
) 3log 10log 3e x x= −
2
) ln( 6 7) ln( 3)f x x x− + = −
13
Bài giải
2 4 8

) log log log 11a x x x+ + =
(1)
Điều kiện: x > 0.
2 3
2
2 2
(1) log log log 11x x x⇔ + + =
2 2 2
2
6
2
1 1
log log log 11
2 3
11
log 11
6
log 6 2 64 ( )
x x x
x
x x nhan
⇔ + + =
⇔ =
⇔ = ⇔ = =
Vậy phương trình có nghiệm x = 64.
5 25 0,2
1
) log log log
3
b x x+ =

(2)
Điều kiện: x > 0.
( )
2 1
1
5
5 5
(2) log log log 3x x
−
−
⇔ + =
( )
5 5 5
5 5
5 5
2
3
3
5 5 5 5
3
1
log log log 3
2
3
log log 3
2
2
log log 3
3
log log 3 log log 3

3
x x
x
x
x x
x
⇔ + =
⇔ =
⇔ =
⇔ = ⇔ =
⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm
3
3x =
.
2
2 2
) log log 6 0c x x− − =
(3)
Điều kiện: x > 0.
Đặt
2
logt x=
.
2
3
(3) 6 0
2
t
t t

t
=

⇔ − − = ⇔

=


3
2
3 log 3 2 8 ( )t x x nhan= ⇔ = ⇔ = =

2
2
2 log 2 2 4 ( )t x x nhan= ⇔ = ⇔ = =
Vậy phương trình có nghiệm x = 4 và x = 8.
2
2
2
) 4log log 2d x x+ =
(4)
Điều kiện x > 0.
1
2
2 2
2 2 2
2
(4) 4log log 2 4log 2log 2 0x x x x⇔ + = ⇔ + − =
(4’)
Đặt

2
logt x=
2
1
(4') 4 2 2 0
1
2
t
t t
t
= −


⇔ + − = ⇔

=

14

1
2
1
1 log 1 2 ( )
2
t x x nhan
−
= − ⇔ = − ⇔ = =

1
2

2
1 1
log 2 2 ( )
2 2
t x x nhan= ⇔ = ⇔ = =
Vậy phương trình có nghiệm
1
2
x =
và
2x =
2
3 3
) 3log 10log 3e x x= −
(5)
Điều kiện x > 0
Đặt
3
logt x=
2 2
3
(5) 3 10 3 3 10 3 0
1
3
t
t t t t
t
=



⇔ = − ⇔ − + = ⇔

=


3
3
3 log 3 3 27 ( )t x x nhan= ⇔ = ⇔ = =

1
3
3
3
1 1
log 3 3 ( )
3 3
t x x nhan= ⇔ = ⇔ = =
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 27 và
3
3x =
.
2
) ln( 6 7) ln( 3)f x x x− + = −
(6)
Điều kiện
2
6 7 0
3 0
x x
x


− + >

− >

2 2
2 ( )
(6) 6 7 3 7 10 0
5 ( )
x loai
x x x x x
x nhan
=

⇔ − + = − ⇔ − + = ⇔

=

Vậy phương trình có nghiệm x = 5.
Bài 4: Giải các bất phương trình sau:
2
6 3 7
) 7 49
x x
a
+ −
≤
2
7 2
3 9

)
5 25
x x
b
− + +
 
>
 ÷
 
) 4 3.2 2 0
x x
c − + <
Bài giải
2 2
6 3 7 6 3 7 2 2 2
) 7 49 7 7 6 3 7 2 6 3 9 0
x x x x
a x x x x
+ − + −
≤ ⇔ ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + − ≤
2
1
0 6 3 9 0
3
x
VT x x
x
=

= ⇔ + − = ⇔


= −

Xét dấu VT ta được tập nghiệm của bất phương trình S = [-3; 1].
2 2
7 2 7 2 2
2 2
3 9 3 3
) 7 2 2 7 0
5 25 5 5
x x x x
b x x x x
− + + − + +
     
> ⇔ > ⇔ − + + < ⇔ − + <
 ÷  ÷  ÷
     
2
0
0 7 0
7
x
VT x x
x
=

= ⇔ − + = ⇔

=


Xét dấu VT ta được tập nghiệm của bất phương trình
( ) ( )
;0 7;S = −∞ ∪ +∞
2
) 4 3.2 2 0 2 3.2 2 0
x x x x
c − + < ⇔ − + <
(1)
Đặt
2 , 0
x
t t= >
15
Bất phương trình trở thành:
2
3 2 0t t− + <
2
1
0 3 2 0
2
t
VT t t
t
=

= ⇔ − + = ⇔

=

Xét dấu VT, kết hợp điều kiện ta được

1 2 1 2 2 0 1
x
t x< < ⇔ < < ⇔ < <
Vậy bất phương trình có nghiệm S = (0; 1).
Bài 5: Giải các bất phương trình sau:
3
) log (4 3) 2a x − <
2
0,5
) log ( 5 6) 1b x x− + ≥ −
2
1 1
3 3
) log (2 4) log ( 6)c x x x+ ≤ − −
2
) lg(7 1) lg(10 11 1)d x x x+ ≥ − +
Bài giải
3
) log (4 3) 2a x − <
Điều kiện
3
4 3 0
4
x x− > ⇔ >
2
3
log (4 3) 2 4 3 3 4 12 3x x x x− < ⇔ − < ⇔ < ⇔ <
Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm
3
;3

4
S
 
=
 ÷
 
2
0,5
) log ( 5 6) 1b x x− + ≥ −
Điều kiện
2
2
5 6 0
3
x
x x
x
<

− + > ⇔

>

( )
1
2 2 2
0,5
log ( 5 6) 1 5 6 0,5 5 4 0 1 4x x x x x x x
−
− + ≥ − ⇔ − + ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤

Kết hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm
[
) (
]
1;2 3;4S = ∪
2
1 1
3 3
) log (2 4) log ( 6)c x x x+ ≤ − −
Điều kiện:
2
2
2 4 0
3
2
6 0
3
x
x
x
x
x x
x
> −

+ >


⇔ ⇔ >
< −


 
− − >



>


2 2
1 1
3 3
2
log (2 4) log ( 6) 2 4 6
3 10 0 2 5
x x x x x x
x x x
+ ≤ − − ⇔ + ≥ − −
⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm
(
]
3;5S =
2
) lg(7 1) lg(10 11 1)d x x x+ ≥ − +
Điều kiện:
( )
2
1
7

7 1 0
1 1
; 1;
1
7 10
10 11 1 0
10
1
x
x
x
x
x x
x

> −

+ >


−
 
⇔ ⇔ ∈ ∪ +∞

 
 ÷
<
− + >
 






>


2 2
2
lg(7 1) lg(10 11 1) 7 1 10 11 1
9
10 18 0 0
5
x x x x x x
x x x
+ ≥ − + ⇔ + ≥ − +
⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤
16
Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm
1 9
0; 1;
10 5
S
   
= ∪
÷ 
 
   
III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình

1
) 64
8
x
a
 
=
 ÷
 
2
3 3
) 4 64
x x
b
− +
=
2
2
4
1
) 3
3
x x
x
c
− +
+
 
=
 ÷

 
2
1
) 7 343
x x
d
− +
=
2 4
.
1
) 2 2
4
x x
e
−
=
1 1
) 2.3 6.3 3 27
x x x
f
+ −
− − =
1
) 9 3 10 0
x x
g
+
+ − =
1

) 5 .4 100
x x
h
−
=
2 1
) 7 8.7 1 0
x x
i
+
− + =
1 1
1
) 6 6 2
2
x x
j
+ −
− =
) 81 9 0
x x
k − =
2
) 7. 8 0
x x
l e e+ − =
2 3 3 7
5 3
)
3 5

x x
m
− −
   
=
 ÷  ÷
   
1 2 1 2
) 2 2 2 3 3 3
x x x x x x
n
− − − −
− − = − −
2 6 7
) 2 2 17 0
x x
o
+ +
+ − =
) 2.16 17.4 8 0
x x
p − + =
) 3.16 2.81 5.36
x x x
q + =
) 27 12 2.8 0
x x x
r + − =
( ) ( )
) 4 15 4 15 2

x x
s − + + =
3
) 5 5 20
x x
t
−
− =
Bài 2: Giải các phương trình sau
3
) log 2a x =
2
)log ( 2) 3b x + =
2 1
8
) log log 16c x x− =
3 9
3
) log (1 2 ) log (1 2 )
2
d x x− + − = −
( )
2
)log 1 1e x x + = 
 
2 4 8
) log ( 1) log ( 1) log ( 1) 0f x x x+ + + + + =
2
5 5
)7log 8log 1 0g x x+ + =

2
3
3
) log ( 1) log ( 1) 4h x x+ + + =
7 7
) log 5. log 6 0i x x+ − =
2
2 1
2
2
) log 3log log 2j x x x+ + =
2
2 2
) log ( 6 5) log (1 ) 0k x x x− + − − =
2
7 1
7
) log ( 2) log (8 ) 0l x x+ + − =
l
2
5 5
)log 4log 3 0m x x− + =
2
5
) log 2 log
2
x
n x+ =
3 3
log log

) 4 5.2 4 0
x x
o − + =
2 4 8
11
) log log log
3
p x x x+ + =
4 3
) log log(4 ) 2 logq x x x+ = +
5
5
) log ( 2) log (4 5)r x x+ = +
2
0,5 2
) log log 2s x x+ =
2
) ln( 2 4) ln(2 )t x x x− − = −
17
Bài 3: Giải các bất phương trình sau
2
) 3 9
x x
a
−
<
2
2x 3x
7 9
)

9 7
b
−
 
≥
 ÷
 
2
3x
) 2 4
x
c
− +
<
) 4 3.2 1 0
x x
d − + >
2 1
) 3 3 28
x x
e
+ −
+ ≤
) 2 2 3 0
x x
f
−
+ − <
2x 6 7
) 2 2 17

x
g
+ +
+ >
1
) 4 16 3
x x
h
+
− ≥
) 5.4 2.25 7.10
x x x
i + ≤
2x 2x
) 4. 3j e e
−
− <
Bài 4: Giải các bất phương trình sau
4 4
) log ( 7) log (1 )a x x+ > −
0,5 0,5
) log ( 7) log (1 )b x x+ > −
2 2
2
) 2log ( 2) log ( 3)
3
c x x− − − >
2
2 2
) log log 0d x x+ ≤

1
3
5
)log log 3
2
x
e x > −
3 3
) log ( 3) log ( 5) 1f x x− + − <
18
Chủ đề 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
I. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG
DỤNG
1) Công thức nguyên hàm
Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng
dx x C
= +
∫
. , a
= + ∈
∫
¡a dx ax C
1
, 1
1
α
α
α
α
+

= + ≠ −
+
∫
x
x dx C
1
1 ( )
( ) .
1
α
α
α
+
+
+ = +
+
∫
ax b
ax b dx C
a
ln , x 0
= + ≠
∫
dx
x C
x
1
.ln
= + +
+

∫
dx
ax b C
ax b a
= +
∫
x x
e dx e C
1
.
+ +
= +
∫
ax b ax b
e dx e C
a
ln
= +
∫
x
x
a
a dx C
a
1
.
ln
α β
α β
α

+
+
= +
∫
x
x
a
a dx C
a
cos sin
= +
∫
xdx x C
1
cos( ) .sin( )
+ = + +
∫
ax b dx ax b C
a
sin cos
= − +
∫
xdx x C
1
sin( ) .cos( )
+ = − + +
∫
ax b dx ax b C
a
2

1
tan
cos
= +
∫
dx x C
x
2
1 1
tan( )
cos ( )
= + +
+
∫
dx ax b C
aax b
2
1
sin
= − +
∫
dx cotx C
x
2
1 1
( )
sin ( )
= − + +
+
∫

dx cot ax b C
a
ax b
2) Công thức tích phân
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫
3) Phương pháp đổi biến số
A. Dạng 1 : Tính I =
[ ]
'
( ) ( )
ϕ ϕ
∫
b
a
f x x dx
+ Đặt t =
( )
ϕ
x

'
( ).
ϕ

⇒ =
dt x dx
+ Đổi cận :
x a b
t
( )
ϕ
a

( )
ϕ
b

⇒
I =
( )
( )
( )
( ). ( )
( )
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
∫
b
a
b
f t dt F t

a
* Nhớ : đổi biến thì các em phải đổi cận.
19
* Chú ý : Thường các em đặt t là căn, mũ, mẫu.
- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào
có luỹ thừa cao nhất.
- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.
- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức.
- Nếu tích phân chứa
dx
x
thì đặt
ln
=
t x
.
- Nếu tích phân chứa
x
e
thì đặt
=
x
t e
.
- Nếu tích phân chứa
dx
x
thì đặt
=t x
.

- Nếu tích phân chứa
2
dx
x
thì đặt
1
=
t
x
.
- Nếu tích phân chứa
cos xdx
thì đặt
sin
=
t x
.
- Nếu tích phân chứa
sin xdx
thì đặt
cos
=
t x
.
- Nếu tích phân chứa
2
cos
dx
x
thì đặt

tan
=
t x
.
- Nếu tích phân chứa
2
sin
dx
x
thì đặt
cot=t x
.
B. Dạng 2 : Tính I =
( )
∫
b
a
f x dx
bằng cách đặt x =
( )
ϕ
t
- Dạng chứa
2 2
−a x
: Đặt x = asint, t
;
2 2
π π
 

∈ −
 
 
(a>0)
4) Phương pháp tích phân từng phần
* Công thức tính :
( )
= = −
∫ ∫ ∫
b b b
b
a
a a a
f x dx udv uv vdu

Đặt






=
=
⇒
=
=
)(
)(

hamnguyenlayv
hamdaolaydxdu
dv
u
Ta thường gặp hai loại tích phân như sau:
* Loại 1:
( )
( ).sin ( ).
( ).cos ( ). ( )
( ). .
b
a
b
a
b
f x
a
P x f x dx
P x f x dx u P x
P x e dx





⇒ =







∫
∫
∫
Trong đó
( )P x
là đa thức bậc n.
*Loại 2:
( ).ln ( ). ln ( )
b
a
P x f x dx u f x
⇒ =
∫
20
5) Tính chất tích phân
Tính chất 1

( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx
=
∫ ∫
, k: hằng số
Tính chất 2:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )

b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
∫ ∫ ∫
Tính chất 3:
( ) ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx a c b= + < <
∫ ∫ ∫
6) Diện tích hình phẳng
Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là:

( )
=
∫
b
a
S f x dx
(*)
Lưu ý:

( ) 0f x =
vô nghiệm trên (a;b) thì

( ) ( )
b b
a a

S f x dx f x dx
= =
∫ ∫

( ) 0f x =
có 1 nghiệm
( ; )c a b∈
thì

( ) ( ) ( )
b c b
a a c
S f x dx f x dx f x dx
= = +
∫ ∫ ∫
Dạng 2: Cho hai hàm số y = f
1
(x) và y = f
2
(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f
1
(x), f
2
(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là:

1 2
( ) ( )
= −
∫

b
a
S f x f x dx
(**)
Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối của công thức (**) thực hiện tương tự đối với công thức
(*).
7) Thể tích vật thể tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:

2
( )
π
=
∫
b
a
V f x dx

Lưu ý: Diện tích , thể tích đều là những giá trị dương.
21
II. BÀI TẬP MINH HỌA
BÀI 1: Tính các tích phân sau
a)
1
3
0
(2x 1) xd+
∫
3

2
3
0
2
)
(1 )
x
b I dx
x
=
+
∫
1
2
0
) 1c J x dx= −
∫
2
2
0
sinx
)
(1 cos )
d dx
x
π
+
∫
2
2

1
) 3 .
x
e x e dx
−
∫
1
ln 1
)
e
x
f dx
x
+
∫
Bài giải
a)
1
3
0
(2x 1) xd+
∫
 Đặt u = 2x+1
2dx x
2
du
du d⇒ = ⇒ =
 Đổi cận:
0 1, 1 3x u x u= ⇒ = = ⇒ =


( )
3
1 3
3 3 4 4
1
0 1
1 1 1 1
(2x 1) x 3 1 .80 10
2 8 8 8
d u du u+ = = = − = =
∫ ∫
3
2
3
0
2
)
(1 )
x
b I dx
x
=
+
∫
 Đặt
1u x du dx
= + ⇒ =

0 1, 3 4x u x u= ⇒ = = ⇒ =


( )
4
4 4
3 1 1 3 1 1 3
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1
1
5
1 . ( 2 ) 2
3
I u u du u u u du u u u
− − − − −
 
= − = − + = − + =
 ÷
 
∫ ∫
1
2
0
) 1c J x dx= −
∫
 Đặt
sin cosx t dx tdt
= ⇒ =

0 0, 1
2
x t x t

π
= ⇒ = = ⇒ =

2 2 2
2 2
0 0 0
1 sin cos | cos | cos cos
4
J t tdt t tdt tdt
π π π
π
= − = = =
∫ ∫ ∫
2
2
0
sinx
)
(1 cos )
d dx
x
π
+
∫
 Đặt
1 cos sin x sin xt x dt dx dx dt= + ⇒ = − ⇒ = −
 Đổi cận :
0 2, 1
2
x t x t

π
= ⇒ = = ⇒ =

1
1 1
2
2 2 2
2
0 2 2
sinx 1 1 1
1
(1 cos ) 2 2
dt dt
dx
x t t t
π
−
= = − = = − =
+
∫ ∫ ∫
22
2
2
1
) 3 .
x
e x e dx
−
∫
 Đặt

2
2
2
dt
t x dt xdx xdx= ⇒ = ⇒ =
 Đổi cận:
1 1, 2 4x t x t= − ⇒ = = ⇒ =

2
4
2 4 4
4
1
1 1 1
3 3 3
3 . 3. ( )
2 2 2 2
x t t t
dt
x e dx e e dt e e e
−
= = = = −
∫ ∫ ∫
1
ln 1
)
e
x
f dx
x

+
∫
 Đặt
1
ln 1t x dt dx
x
= + ⇒ =
 Đổi cận:
1 1, 2x t x e t= ⇒ = = ⇒ =

2
2
2
1 1
1
ln 1 1 3
2
2 2 2
e
x t
dx tdt
x
+
= = = − =
∫ ∫
Bài 2: Tính các tích phân sau
a)
2
0
cosI x xdx

π
=
∫
2
1
) ln
e
b J x xdx=
∫
2
1
) 3
x
c K xe dx
−
=
∫
Bài giải
a)
2
0
cosI x xdx
π
=
∫

cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= =

 
⇒
 
= =
 

2
2 2
0 0
0
sin sin cos 1
2 2
I x x xdx x
π
π π
π π
= − = + = −
∫
2
1
) ln
e
b J x xdx=
∫

2 3
1
ln
3
du dx

u x
x
dv x dx x
v

=

=


⇒
 
=


=



3 2 3 3
3
1
1 1 1
1
ln ln (2 1)
3 3 3 9 9
e e e
e
x x x x
J x dx x e= − = = − = +

∫
2
1
) 3
x
c K xe dx
−
=
∫

3 3
x x
u x du dx
dv e dx v e
= =
 
⇒
 
= =
 
23

2
2 2
2 2 2 2
1 1
1
3 3 3 6
3 3 6 3 6 3 3
x x x

K xe e dx e e e e e
e e e e
− −
−
= − = + − = + − + = +
∫
Bài 3: Tính các tích phân sau
1
3
2
2
0
1
)
1
x
a I dx
x
−
=
−
∫
2
0
) (1 2sin )sin xb J x dx
π
= +
∫
Bài giải
1

3
2
2
0
1
)
1
x
a I dx
x
−
=
−
∫
1 1
2
2 2
0 0
1 1
1 1
x x
dx x dx
x x
+ +
 
= = +
 
+ +
 
∫ ∫

1
2
2
0
1 3
ln( 1) ln
2 8 2
x
x
 
= + + = +
 
 
( )
( )
2
0
2 2
2
0 0
2
0
) (1 2sin )sin x
sinx 2sin sinx 1 os2x
sin 2
cos
2
1 1
os sin os0 0 sin 0
2 2 2 2

1
2
b J x dx
x dx c dx
x
x x
c c
π
π π
π
π π
π
π
= +
= + = + −
 
= − + −
 ÷
 
   
= − + − − − + −
 ÷  ÷
   
= +
∫
∫ ∫
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a)
3
y x=

, trục hoành và hai đường thẳng x=-2, x=1.
b)
2
y x=
,
2 3y x= − +
và hai đường thẳng x =0, x=2.
c)
2
, 2y x y x= = +
Bài giải
a)
3
y x=
, trục hoành và hai đường thẳng x=-2, x=1.
 Trên [-2; 1] ta có:

3
0 0 [ 2;1]x x= ⇔ = ∈ −
 Diện tích của hình phẳng đã cho:
0 1
1 0 1
4 4
3 3 3
2 2 0
2 0
16 1 17
| |
4 4 4 4 4
x x

S x dx x dx x dx
− −
−
= = + = + = + =
∫ ∫ ∫
b)
24
 Đặt
2
1 2
( ) , ( ) 2 3f x x f x x= = − +
 Ta có:
2 2
1 2
1 [0;2]
( ) ( ) 0 ( 2 3) 0 2 3 0
3 [0;2]
x
f x f x x x x x
x
= ∈

− = ⇔ − − + = ⇔ + − = ⇔

= − ∉

 Diện tích hình phẳng đã cho
2
2
0

| 2 3|S x x dx= + −
∫

1 2
2 2
0 1
1 2
3 3
2 2
0 1
( 2 3) ( 2 3)
3 3
3 3
1 8 1 5 7
2 4 6 1 3 4
3 3 3 3 3
x x dx x x dx
x x
x x x x
= + − + + −
   
= + − + + −
 ÷  ÷
   
= − + + − − − + = + =
∫ ∫
c)
 Ta có:
2 2
1

( 2) 0 2 0
2
x
x x x x
x
= −

− + = ⇔ − − = ⇔

=

 Diện tích hình phẳng
2
2
3 2
2
1
1
8 1 1 9
| 2 | x 2x 2 4 2
3 2 3 3 2 2
x x
S x x d
−
−
 
= − − = − − = − − + + − =
 ÷
 
∫

Bài 5: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (D) quanh trục Ox biết (D) giới hạn
bởi
2
1 , 0y x y= − =
Bài giải
 Ta có:
2
1 0 1x x− = ⇔ = ±
 Áp dụng công thức:
2
( )
b
a
V f x dx
π
=
∫

 Ta có:
1
2 2
1
(1 )V x dx
π
−
= −
∫
( )
1
1

3 5
2 4
1
1
2x
1 2x
3 5
x
x dx x
π π
−
−
 
= − + = − +
 ÷
 
∫


2 1 2 1 4 2 16
1 1 2
3 5 3 5 3 5 15
π
π π
 
     
= − + − − + − = − + =
 ÷  ÷  ÷
 
     

 
III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Tính các tích phân sau
1.
1
3
0
( 1)
+ +
∫
x x dx
2.
2
2
1
1 1
( )
+ + +
∫
e
x x dx
x x
3.
2
1
1
+
∫
x dx
25