lời giải bài tóan sóng nước dùng phép biến đổi miền và phương pháp phần tử hữu hạn

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 14, SỐ T5 2011
Trang 5
LI GII S BÀI TỐN SĨNG NƯC DÙNG PHÉP BIN ĐI MIN VÀ PHƯƠNG
PHÁP PHN T HU HN
Trnh Anh Ngc, Huỳnh Thân Phúc
Trưng Đi hc Khoa hc T nhiên, ĐHQG-HCM
(Bài nhn ngày 21 tháng 03 năm 2011, hồn chnh sa cha ngày 03 tháng 04 năm 2012)
TĨM TT: Trong bài này, phương pháp bin đi min kt hp vi phương pháp phn t hu
hn đ gii s bài tốn sóng nưc. Mt thí d s đưc trình bày đ minh chng hiu qu ca phương
pháp.
T khóa : phương pháp phn t hu hn, gii s bài tốn sóng nưc.
M ĐU
Bài tốn sóng nưc có nhiu ng dng quan
trng trong nhiu ngành k thut và trong đi
sng. Vì th, vic mơ hình hóa và gii s cho
bài tốn này đã và đang đưc quan tâm, nghiên
cu rng rãi. Đã có nhiu gii pháp đưc đ
ngh nhm gii quyt bài tốn này. Có th k ra
đây hai trong s các đ ngh đó:
- Phương pháp Lagrange-Euler tùy ý [1,2,4]).
- Phương pháp bin đi min, min vt lý
đưc đưa v min tính tốn c đnh.
Trong [6], A. Pawell và các đng s đã dùng
phương pháp bin đi min, áp dng phương
pháp sai phân hu hn và phương pháp s cho
phương trình vi phân đ gii quyt bài tốn
sóng mt t do. Trong bài báo này, cũng da
trên phương pháp bin đi min, nhưng áp
dng phương pháp phn t hu hn và các
phương pháp Euler đ gii s. Cũng cn nhn
mnh đây, trong [6], các tác gi ch! bin đi

ta đ theo phương X, còn phương Y v"n gi
ngun. Như vy, min c#a bài tốn v"n b
thay đi theo thi gian do s chuyn đng c#a
mt t do. Trong bài này, chúng tơi bin đi
min theo c hai phương X và Y.
PHƯƠNG PHÁP
Bài báo đưc t chc như sau
Mc 2 gii thiu mơ hình bài tốn, và cách
bin đi bài tốn v bài tốn có min xác đnh
c đnh. Mc 3 trình bày lưc đ tính tốn, gii
bài tốn bng phương pháp lp theo bưc thi
gian. $ m%i bưc lp, gii tun t hai bài tốn:
(1) bài tốn biên cho phương trình đo hàm
riêng cp 2 theo hai bin khơng gian (x, y); (2)
bài tốn biên-giá tr đu cho phương trình đo
hàm riêng phi tuyn cp 1 theo mt bin khơng
và thi gian (x, t). Tip theo, gii thiu phương
pháp ri rc hóa cho hai bài tốn, bài tốn (1)
dùng phương pháp phn t hu hn (phn t t
giác 4-nút), bài tốn (2) dùng phương pháp
đưng (line method) d"n v bài tốn Cauchy
cho h phương trình vi phân vectơ cp 1, có th
gii bng các phương pháp s thơng dng như
phương pháp Euler, phương pháp Euler ci
tin. Mc 4 cho mt thí d s đ minh chng
Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011

Trang 6
tính hiu qu c#a phương pháp. Cui cùng là
kt lun và hưng phát trin.

KT QU
Bài toán
Thùng hình hp ch nht cha ñy cht l&ng
(nưc), ñáy nm ngang, mt trên là mt thoáng,
các mt bên vuông góc vi ñáy. Mt mt bên
có th chuyn ñng tnh tin song song vi mt
ñi din. $ trng thái tĩnh khi cht l&ng có ñ
sâu h (Hình 1). Bài toán ñt ra là tìm chuyn
ñng c#a khi cht l&ng, ñc bit, chuyn ñng
c#a mt thoáng khi bit chuyn ñng c#a mt
bên.
Gi thit chuyn ñng c#a cht l&ng không
thay ñi theo phương Z. Mt bên chuyn ñng
theo phương OX, phương trình:
( )
X a t
=
.
Mt thoáng có phương trình:
( , )
Y X t
η
=
.
Min vt lý c#a bài toán ti thi ñim t (Hình
2):
(
)
{
}

, ( ) , ( , )
t
X Y a t X K h Y X t
η
Ω = ≤ ≤ − ≤ ≤
,
vi biên:
: ( ) ,
b
a t X K Y h
Γ ≤ ≤ = −
;
: ( ) , ( , )
f
a t X K Y X t
η
Γ ≤ ≤ =
;
: ( ), ( ( ), )
l
X a t h Y a t t
η
Γ = − ≤ ≤
;
: , ( , )
r
X K h Y K t
η
Γ = − ≤ ≤
.

Hình 1. Mô hình bài toán sóng nưc 2-chiu

Hình 2. Min vt lý

Phương trình ch ño
Gi thit: cht l&ng không nén ñưc, không
nht, không xoáy, nên tn ti hàm th vn tc
( , , )
X Y t
Φ = Φ
. Phương trình không nén
ñưc cho phương trình xác ñnh hàm th:
0
∆Φ =
. (1)
Điu kin biên
Dùng gi thit không thm trên hai biên cng
c ñnh
,
b r
Γ Γ
và biên cng di ñng
l
Γ
vi
vn tc
(
)
( ),0

a t
&
,
ta có:
0
Y
∂Φ
=
∂
trên
b
Γ
, (2)
0
X
∂Φ
=
∂
trên
r
Γ
, (3)
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 14, SỐ T5 2011
Trang 7
( )
a t
X
∂Φ
=
∂

&
trên
l
Γ
. (4)
Trên mt thống
f
Γ
s dng hai điu kin:
- Điu kin đng hc liên quan đn hình hc
c#a biên,
;
η η
∂ ∂Φ ∂Φ ∂
= −
∂ ∂ ∂ ∂
t Y X X
(5)

- Điu kin đng lc hc mơ t chuyn đng
c#a mt thống, thu đưc t( phương trình
Bernoulli,
2
( , ) 0,
2
η
∇Φ
∂Φ
+ + =
∂

g X t
t
(6)
Trong đó
g
là gia tc trng trưng.
Như [6], đưa vào hàm
( , ) ( , ( , ), )
W X t X X t t
η
= Φ
là hình chiu
c#a hàm th vn tc lên mt thống c#a cht
l&ng. T( (5), (6) ta thu đưc:
2
1 ,
η η η
 
∂ ∂ ∂ ∂Φ ∂
 
= − + +
 
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
W
t X X Y X
(7)

2 2 2
1 1
1 .
2 2
η
η
 
∂ ∂ ∂Φ ∂
     
= − + + −
 
     
∂ ∂ ∂ ∂
     
 
 
W W
g
t X Y X
(8)
Như vy, điu kin biên c#a hàm
Φ
trên
f
Γ
có th ly là
W
Φ =
trên
.

Γ
f
(9)
Điu kin đu
Lúc đu cht l&ng đng n, nên điu kin
đu cho hàm W:
( ,0) 0.
=
W X
(10)
Mt thống nm ngang nên
( ,0) 0.
η
=
X
(11)
Bin đi bài tốn
Dùng phép bin đi ta đ
( , ) ( , )
X Y x y
a
,
( )
,
( )
−
=
−
X a t
x

K a t

.
( , )
η
+
=
+
Y h
y
X t h
(12)
Khi đó, min
t
Ω

thành min c đnh
[0,1] [0,1]
Q
= ×
. Các biên
, , ,
b r f l
Γ Γ Γ Γ
ln lưt thành
1 2 3 4
, , ,
C C C C

c#a

Q
(Hình 3).

Hình 3. Phép bin đi min

Ký hiu:
( , , ) ( , , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , )
x y t X Y t wxt W X t s x t X t
ϕ η
=Φ = =

Ma trn Jacobi c#a phép bin đi:
1
( )
11 12
1
21 22
[ ( , ) ][ ( )] ( , )
0
.
−
−
∂
+ − ∂ +
 
 
= =
 
 
 

 
 
K a t
y
s
s x t h K a t x s x t h
G G
G
G G
(13)
Bin đi phương trình và điu kin
Phương trình (1) thành
2 2 2
2 2
2 0.
ϕ ϕ ϕ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
A B C D
x x y y y
(14)

trong đó
Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011

Trang 8
2 2 2
21 21
11 11 21 21 22 11 21

, , , .
∂ ∂
= = = + = +
∂ ∂
G G
A G B G G C G G D G G
x y
(15)

Phương trình (7)-(8) thành:
2
2 2
1 1 2 2 1 1 1 1
( )(1 ) 1 ,
ϕ
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
= − + + −
 
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
&
s s s w s
a t x G G G G
t x y x x x
(16)

2
2 2
2 2
2
11 22
11 11
( )(1 ) 1 .
2 2
ϕ
 
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
= − − + + −
 
 
   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
 
 
 
&
G Gw w w s
a t x G G gs
t x x y x
(17)

Điu kin biên:
( ,0, ) 0

ϕ
∂
=
∂
x t
y
trên
1
C
, (18)

11 21
(1, , ) (1, , ) 0
ϕ ϕ
∂ ∂
+ =
∂ ∂
G y t G y t
x y
trên
2
C
,(19)

( ,1, ) ( , )
ϕ
=
x t w x t
trên
3

C
, (20)

11 21
(0, , ) (0, , ) ( )
ϕ ϕ
∂ ∂
+ =
∂ ∂
&
G y t G y t a t
x y
trên
4
C
.(21)

Điu kin ñu:
( ,0) 0, ( ,0) 0
w x s x
= =
. (22)
Phương pháp tính
Lưc ñ tính toán
Bài toán bin ñi cha hai bài toán con:
(a) bài toán gm phương trình (14) vi ñiu
kin biên (18)-(21), và
(b) bài toán gm h phương trình (16)-(17)
vi ñiu kin ñu (22).
Vic gii ñng thi hai bài toán này gp rt

nhiu khó khăn do các h s c#a phương trình
ño hàm riêng (14) không phi là hng s mà
ph thuc vào các d liu cho trưc
, , ( )
K h a t
và hàm
( , )
s x t
chưa bit. Cũng
vy, phương trình xác ñnh
( , )
s x t
có mt
hàm cn tìm
( , , )
x y t
ϕ
và mt d"n xut c#a
nó,
( , )
w x t
. Đ vưt qua khó khăn này ta
dùng phương pháp lp gii liên tip (a) và (b).
Phân hoch khong thi gian kho sát
[0, ]
T

thành N khong con
1
[ , ]

m m
t t
−
, vi
0 1 2 1
0
N N
t t t t t T
−
= < < < < < =
L
.
Kh i ñu, bit
0 0
( ) : ( ,0) 0, ( ) : ( ,0) 0
w x w x s x s x
= ≡ = ≡

Bưc th m (
1
m
≥
), ñã bit
1 1 1 1
( ) : ( , ), ( ): ( , )
m m m m
w x w x t s x s x t
− − − −
= =
(*)

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 14, SỐ T5 2011
Trang 9
(1) Gii bài tốn
(
)
m
a

Tìm
1 1
( , ): ( , , )
m m
x y x y t
ϕ ϕ
− −
=
nghim
bài tốn (a), trong đó các h s A, B, C, D trong
phương trình (14), các điu kin biên (18)-(21)
đưc tính vi
( ), ( , )
a t s x t
đưc thay bng
1 1
( ), ( )
m m
a t s x
− −
.
(2) Gii bài tốn

(
)
m
b

Tìm
( , ), ( , )
w x t s x t
nghim bài tốn (b)
trong min
1
[0,1] [ , ]
m m
t t
−
×
, vi điu kin
đu
1 1 1 1
( , ) ( ), ( , ) ( )
m m m m
w x t w x s x t s x
− − − −
= =
$ đây các thành phn ma trn Jacobi,
11 22
, ,
G G y
ϕ
∂ ∂

đưc tính vi
( ), ( , )
a t s x t

đưc thay bng
1 1
( ), ( )
m m
a t s x
− −
và
ϕ
đưc
thay bng
1
( , )
m
x y
ϕ
−
.
(3)Tính
( ): ( , ), ( ): ( , )
m m m m
w x w x t s x s x t
= =
.
Nu
1
+ <

m N
tr li (1), ngưc li thì
d(ng.
Lưu ý, t( nay v sau khi thit lp các cơng
thc liên quan đn các bài tốn bên trong vòng
lp: các h s A, B, C, D, các điu kin biên
c#a bài tốn
(
)
m
a
; các thành phn ma trn
Jacobi,
11 22
, ,
G G y
ϕ
∂ ∂
c#a bài tốn
(
)
m
b

s* đưc tính theo các qui đnh k trên dù v"n
gi ngun ký hiu cũ.
Ri rc hóa bài tốn
(
)
m

a

Cơng thc bin phân na yu
Đưa vào khơng gian hàm
{
}
1
( ) ( ,1) 0
V H Q x
ψ ψ
= ∈ =

Ly
V
ψ
∈
tùy ý, tích vơ hưng vi hai v
phương trình (14), ta đưc sau mt s bin đi
(
)
(
)
(
)
21 21
11
Q Q Q
C G G
A dQ dQ G dQ
x x y y x y y x

ψ ψ ψ
ψ ϕ ϕ ϕ ϕ
 
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− − − +
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
∫ ∫ ∫

1 1
11 11 21
0 0
0
( ) (0, ) 0
Q
y
D dQ a t G y dy G G dx
y x
ϕ ϕ
ψ ψ ψ
=
∂ ∂
+ + − =
∂ ∂
∫ ∫ ∫
&
. (23)
Lưu ý đn nhn xét v các h s A, B, C, D và các điu kin biên.

Gi
1
( )
H Q
ϕ
∈
%
là hàm th&a điu kin biên khơng thun nht trên
3
, ( ,1, ) ( , )
C x t w x t
ϕ
=
%
. Đt
φ ϕ ϕ
= −
%
thì
V
φ
∈
th&a (rút ra t( phương trình (23))
(
)
(
)
(
)
21 21

11
Q Q Q Q
G G C
A dQ G dQ dQ D dQ
x x x y y x y y y
ψ ψ ψ
ψ φ φ φ φ φ
ψ
 
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + −
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
∫ ∫ ∫ ∫

1 1 1
11 21 11 11 21
0 0 0
0 0
( ) (0, )
y y
G G dx a t G y dy G G dx F
x x
φ ϕ
ψ ψ
= =
∂ ∂
+ = − +

∂ ∂
∫ ∫ ∫
%
&
, (24)
trong đó
Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011

Trang 10
(
)
(
)
21 21
11
Q Q
G G
F A dQ G dQ
x x x y y x
ψ ψ
ψ ϕ ϕ ϕ
 
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
= − − +
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
∫ ∫
% % %

(
)
Q Q
C
dQ D dQ
y y y
ψ
ϕ ϕ
ψ
∂
∂ ∂
− +
∂ ∂ ∂
∫ ∫
% %
.
Ký hiu v trái và v phi (24) ln
lưt là
( , )
a
φ ψ
và
( )
l
ψ
. Bài toán bin phân:
vi
0

t
>
(c ñnh), tìm
V
φ
∈
th&a
( , ) ( )
a l
φ ψ ψ
=
vi mi
V
ψ
∈
.
Công thc phn t hu hn
Dùng phn t
4
Q
t giác 4-nút. Trong phn
t e bt kỳ, xp x!
4
1
N d
e e e e e
k k
k
N
φ φ

=
= =
∑
,
trong ñó
1 2 3 4
[ , , , ]
N
e e e e e
N N N N
=
là ma
trn hàm dng,
1 2 3 4
[ , , , ]
d
e e e e e T
φ φ φ φ
=
là
vectơ chuyn dch phn t.
Các hàm
21
, ,
C D G
cũng ñưc xp x! bng
cùng mt cách như hàm
φ
:
4 4 4

21
1 1 1
, ,
e e e e e e e e e
k k k k k k
k k k
C C N D D N G G N
= = =
= = =
∑ ∑ ∑
trong ñó
, ,
e e e
k k k
C D G
ln lưt là giá tr c#a
21
, ,
C D G
ti nút th k c#a phn t e.
+ Ma trn ñ cng phn t:
[ ]
k
e e
ij
k
=
,
trong ñó
(

)
e e
e e
e
i
j j
e
i
ij
e e
C N
N N
N
k A dxdy dxdy
x x y y
∂
∂ ∂
∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂
∫ ∫

(
)
(
)
21 21
11
e e e e
e e e

i i
j j j
e e
i
e e
G N G N
N N N
G dxdy D N dxdy
x y y x y
 
∂ ∂
∂ ∂ ∂
 
+ + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
 
∫ ∫
(25)
nu phn t không có cnh nm trên biên
1
C
. Nu có thì phi thêm vào t( liên quan ñn ñiu kin
biên,
1
11 21
0
0y
G G dx
x

ϕ
ψ
=
∂
∂
∫
%
.
Trong thc hành, vic thêm vào này ñưc
thc hin giai ñon áp ñt ñiu kin biên.
+ Vector ti phn t gm ba t(. T( liên quan
ñn hàm
ϕ
%
ñưc tính vi
ϕ
%
ñưc xp x! như
hàm
ϕ
,
4
1
e e e
k k
k
N
ϕ ϕ
=
=

∑
% %
.
Trong thc hành, ta chn hàm
ϕ
%
ch! khác
không trong các phn t có mt cnh nm trên
3
C
nên
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 14, SỐ T5 2011
Trang 11
1
11 21
0
0
y
G G dx
y
ϕ
ψ
=
∂
=
∂
∫
%
0,
T( liên quan đn F có dng ging như

( , )
a
ϕ ψ
%
nhưng sai khác du tr( nên
1 2 3 4
[ , , , ]
p k
e e T
ϕ ϕ ϕ ϕ
= −
% % % %

T( còn li liên h đn
1
11
0
( ) (0, )
a t G y dy
ψ
∫
&

ch! đưc thêm khi phn t có cnh nm trên
4
C
. Vic thêm vào này cũng đưc thc hin
giai đon áp đt điu kin biên.

Sau khi l,p ghép ta nhn đưc phương trình

phn t hu hn.
KD P
=
, (26)
trong đó K, P, D ln lưt là ma trn đ cng,
vector ti và chuyn dch tồn cc.
Ri rc hóa bài tốn
(
)
m
b

Khong thi gian
1
[ , ]
m m
t t
−
. Chn các đim
i
x
trên đon
[0,1]
trùng vi các nút trên trc
x
. Dùng phương pháp đng v (collocation)
ri rc hóa theo bin khơng gian. Các phương
trình c#a bài tốn
(
)

m
b
ri rc thành:
( )
2
2
1 11 1 1 22 1 1 11 1 1
( , ) ( )(1 ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( ) ( , )
i m i m i i m i m m i
s
x t a t x G t s x t G x t x t G t s x t
t y
ϕ
− − − − −
∂ ∂
 
= − Σ + + Σ
 
∂ ∂
&

2
11 1 1 1
( ) ( , ) ( , )
m i i
G t w x t s x t
−
− Σ Σ
, (27)
( )

2
2
11 1
1 11 1 1 1
( )
( , ) ( )(1 ) ( ) ( , ) ( , )
2
m
i m i m i i
G tw
x t a t x G t w x t w x t
t
−
− −
∂
= − Σ − Σ
∂
&

( )
2
2
2
2
22 1
1 11 1 1
( , )
( , ) 1 ( ) ( , ) ( , )
2
i m

i m m i i
G x t
x t G t s x t gs x t
y
ϕ
−
− −
 
∂
 
+ + Σ −
 
 
∂
 
, (28)
trong đó
1
Σ
là tốn t sai phân hu hn, xp
x! đa hàm cp mt theo bin x. Ngồi ra, khi
gii bài tốn
(
)
m
a
, ta còn dùng đn sai phân
hu hn đ xp x! đo hàm cp hai, ký hiu
2
Σ

. Vi bưc thi gian chn đ# bé phép xp
x! dùng đây là chp nhn đưc.
Điu kin đu:
1 1
( , ) ( ), ( , ) ( )
i m b i i m b i
s x t s x w x t w x
− −
= =
(29)
trong đó
( ), ( )
b i b i
s x w x
là giá tr đu hoc giá
tr nhn đưc t( bưc tính trưc.
Ký hiu:
1 2
1 2
( , ) ( , ) ( , )
( )
( , ) ( , ) ( , )
n
n
s x t s x t s x t
S t
w x t w x t w x t
 
=
 

 
L
L

trong đó n là s nút trên đon
[0,1]
. Bài
tốn ri rc (27)-(28) vi điu kin đu (29) có
th vit dưi dng vector:
( , )
dS
S t
dt
= Η
, (30)
Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011

Trang 12
1 2
1
1 2
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
b b b n
m
b b b n
s x s x s x
S t
w x w x w x

−
 
=
 
 
L
L
(31)
trong ñó
1 2
[ , ]
H H
Η =
vi
1 2
,
H H
ln
lưt là v phi c#a (27), (28).
Bài toán (30)-(31) có th gii xp x! bng các
phương pháp s quen thuc như phương pháp
Euler, phương pháp Euler ci tin.
Áp dng s
Mt chương trình tính ñưc vit bng Matlab
ñ gii s bài toán vi d liu ñưc cho như
sau:
2
9.81 ( / )
g m s
=

,
10 ( )
K m
=
,
2 ( )
T s
=
,
2
0.25 ( 0.5) 0 0.5
( ) ( )
0.25
t t
a t s

− − < <
=

≥

neáu
neáu t 0.5

Th nghim cho thy chương trình tính toán
n ñnh vi bưc thi gian dt dưc chn ñ# bé
so vi dx, dy. Kt qu tính toán vi:
0.1 ( )
dx dy m
= =

,
0.05 ( )
dt s
=
, ñưc
cho trên hình 4. Ta thy có s di chuyn c#a
sóng t( mt kích ñng v phía b bên trái cũng
như s phn x sóng b này. Vic b& qua
hiu ng c#a sc căng b mt cùng vi th# tc
làm trơn nghim nh hư ng không nh& ñn
nghim vùng k sát hai b. Kt qu tính toán
thu ñưc có th d- dàng x lý bng các th# tc
hu nghim cho phép xác ñnh vn tc truyn
kích ñng trên b mt.
KT LUN
Trong bài này, phương pháp bin ñi min
ñưc áp dng ñ ñưa bài toán xác ñnh trên
min thay ñi (theo thi gian) v bài toán xác
ñnh trên min c ñnh. Phương trình ño hàm
riêng c#a bài toán d"n xut, vì th, không còn
có dng ñi xng ñơn gin như phương trình
gc. Tuy nhiên, vì min c ñnh nên lưi phn
t hu hn ch! cn chn mt ln cho tt c;
ñiu này cho phép tit kim ñáng k thi gian
tính toán so vi phương pháp Lagrange – Euler
tùy ý. Kt qu tính thu ñưc trong bài này ñã
ñưc so sánh (phù hp) vi kt qu tính bng
phương pháp Lagrange – Euler tùy ý c#a tác
gi ñu và L.T. Khuyên [5]. V mt ñnh tính
kt qu cũng cho thy phù hp vi kt qu c#a

Goring tìm ñưc da trên mô hình nưc nông
[3], c#a A. Huerta và W.K. Liu [4] bng
phương pháp Lagrange – Euler tùy ý.
Trưng hp bài toán vi ñáy di ñng có th
thit lp hoàn toàn tương t. Như ñã bit hin
tưng sóng thn di-n ra trong t nhiên thưng
là do ñáy ñi dương bin ñi ñt ngt, do ñó,
vic ñt bài toán như vy rt có ý nghĩa. Tt
nhiên, vic m rng phương pháp ñây nhm
mô ph&ng s hin tưng sóng thn ñòi h&i phi
nghiên cu thêm v nh hư ng c#a phép bin
ñi min lên ñ chính xác c#a phương pháp
tính do mt kích thưc (phương ngang) ln so
vi kích thưc còn li (ñ sâu).

TAẽP CH PHAT TRIEN KH&CN, TAP 14, SO T5 2011
Trang 13


(a) Biờn t do lỳc t=0s (b) Biờn t do lỳc t=0.2s


(c) Biờn t do lỳc t=0.4s (d) Biờn t do lỳc t=0.6s


(e) Biờn t do lỳc t=0.8s (f) Biờn t do lỳc t=1s
Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011

Trang 14

(g) Biên t do lúc t=1.2s (h) Biên t do lúc t=1.4s


(i) Biên t do lúc t=1.6s (j) Biên t do lúc t=1.8s

(k) Biên t do lúc t=2s

Hình 4. Kt qu bng hình nh sau khi chy chương trình.



TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 14, SỐ T5 2011
Trang 15
THE NUMMERICAL SOLUTION OF WATER WAVE PROBLEMS USING DOMAIN
TRANSFORMATION AND FINITE ELEMENT METHOD
Trinh Anh Ngoc, Huynh Than Phuc
University of Science, VNU-HCM
ABSTRACT: In this paper, the domain transform method associated with finite element method
is used in order to solve water wave problems. A numerical example is presented to show the effect of
method.
Key words: finite element method, water wave problems.
TÀI LIU THAM KHO
[1]. K. J. Bai, S.M. Choo, S.K. Chung, D.Y.
Kim, Numerical slutions for nonlinear free
surface flows by finite element methods,
Appl. Math. Comput, 163, 941-959 (2005).
[2]. J. Donea, A. Huerta, Finite Element
Methods for Flow Problems, Wiley,
Chichester, (2003).

[3]. D. G. Goring, Tsunamis - The Propagation
of long waves onto a shelf (thesis),
California Institute of technology Pasadena,
California, (1979).
[4]. A. Huerta, W.K. Liu, Viscous flow with
large free surface motion, Comput. Meth.
Appl. Mech. Eng., 69, 277-324 (1988).
[5]. T. A. Ngc, L. T. Khun, Tính tốn dòng
chy có mt t do bng phương pháp phn
t hu hn Lagrange – Euler tùy ý (báo cáo
ti Hi ngh khoa hc ln th 7, 26/11/2010,
Trưng Đi hc Khoa hc T nhiên,
ĐHQG-HCM.
[6]. A. Pawell, R. B. Guenther, A nummerical
solution to afree surface wave problem,
Topological methods in Nonlinear Analysis,
Journal of the Juliusz Schauder Center, Vol.
6, 399-416 (1995).