chuyên đề khảo sát hàm số 2015
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (771.2 KB, 82 trang )
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I.Kiến thức cơ bản:
1. Định lý:
)(0)(*
/
xfDxxf
đồng biến trên D.
)(0)(*
/
xfDxxf nghịch biến trên D.
2. Định lý mở rộng:
Dxxf 0)(*
/
và
0)(
/
xf
tại một số hữu hạn điểm )(xf
đồng biến trên D.
Dxxf 0)(*
/
và 0)(
/
xf tại một số hữu hạn điểm )(xf
nghịch biến trên D.
3. Chú ý:
baxxf ;0)(*
/
và f(x) liên tục trên
ba;
)(xf
đồng biến trên
ba;
.
baxxf ;0)(*
/
và f(x) liên tục trên
ba; )(xf
nghịch biến trên
ba; .
4. Điều kiện không đổi dấu trên R:
Cho
)0()(
2
acbxaxxf
.
0
0
0)(*
a
Rxxf
0
0
0)(*
a
Rxxf
0
0
0)(*
a
Rxxf
0
0
0)(*
a
Rxxf
II. Các dạng toán:
1. Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng, đoạn cho trước:
Phương pháp:
* Tính y
/
.
* Cho y
/
= 0.
Có các cách sau
Cách 1. ( Nếu ta tìm được nghiệm của y
/
)
+ Lập bảng biến thiên.
+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán.
Cách 2. ( Nếu ta rút ra được y
/
= 0 về dạng g(x) = h(m))
+ Xét sự biến thiên của g(x).
+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán.
Cách 3. ( Không làm được như hai cách trên )
+ Lập bảng biến thiên dưới dạng tổng quát.
+ Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán.
Ví dụ 1. Cho hàm số
3 2
1
1 2 1 6
3
y x m x m x
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên
;2
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên
1;3
Giải:
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
a. Tập xác định: D = R.
1212
2/
mxmxy
Hàm số đồng biến trên R
0
0
0
/
/
a
Rxy 0
0
0
01
2
m
m
Rm
m
b. Tập xác định: D = R.
1212
2/
mxmxy
/ 2
1
0 2 1 2 1 0
2 1
x
y x m x m
x m
* Trường hợp 1:
2 1 1 0
m m
.
Ta có bảng biến thiên:
x
1
y
/
+ 0 +
y
3
1
Suy ra hàm số đồng biến trên R nên đồng biến trên
;2 .
Do đó m = 0 thỏa mãn.
* Trường hợp 2 :
0112
mm
.
Ta có bảng biến thiên:
x
1 2m+1
y
/
+ 0 - 0 +
y(1)
y
y(2m+1)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên
;2
2
1
212 mm ( thỏa đk m>0)
* Trường hợp 3 : 0112
mm .
Ta có bảng biến thiên:
x
2m+1 1
y
/
+ 0 - 0 +
y(2m+1)
y
y(1)
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị nào của m để hàm số đồng biến
trên
;2
Vậy hàm số đồng biến trên
;2
khi m = 0 hoặc
2
1
m
c. Tập xác định: D = R.
1212
2/
mxmxy
12
1
012120
2/
mx
x
mxmxy
* Trường hợp 1: 0112
mm .
Ta có bảng biến thiên:
x
1
y
/
+ 0 +
y
3
1
Suy ra hàm số đồng biến trên R nên không nghịch biến trên
1;3
Do đó m = 0 không thỏa mãn.
* Trường hợp 2 :
0112
mm
.
Ta có bảng biến thiên:
x
1 2m+1
y
/
+ 0 - 0 +
y(1)
y
y(2m+1)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị nào của m để hàm số nghịch
biến trên
1;3
* Trường hợp 3 :
0112
mm
.
Ta có bảng biến thiên:
x
2m+1 1
y
/
+ 0 - 0 +
y(2m+1)
y
y(1)
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên
1;3
2312
mm
( Thỏa mãn điều kiện m <0 )
Vậy 2
m hàm số nghịch biến trên
1;3
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
Ví dụ 2. Cho hàm số 102
3
1
23
mxxxy
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên
;0
c. Xác định m để hàm số đồng biến trên
1;
d. Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
Giải:
a. Tập xác định: D = R.
mxxy 4
2/
Hàm số đồng biến trên R
0
0
0
/
/
a
Rxy
4
404
01
m
m
Rm
m
b. * Tập xác định: D = R.
mxxy 4
2/
* Hàm số đồng biến trên
;0
;00
/
xy
;04;004
22
xmxxxmxx
* Xét hàm số xxxf 4)(
2
trên
;0
Ta có
42)(
/
xxf
20)(
/
xxf (loại)
Ta có bảng biến thiên:
x 0
f
/
(x) +
f(x)
0
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT
0
m
Vậy
0
m
hàm số đồng biến trên
;0 .
c. * Tập xác định: D = R.
mxxy 4
2/
* Hàm số đồng biến trên
1;
1;0
/
xy
1;41;04
22
xmxxxmxx
* Xét hàm số
xxxf 4)(
2
trên
1;
Ta có 42)(
/
xxf
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
20)(
/
xxf
( nhận )
Ta có bảng biến thiên:
x
-2 1
f
/
(x) - 0 +
f(x) -4 5
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT 4
m
d. * Tập xác định: D = R.
mxxy 4
2/
/ 2
0 4 0
y x x m
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1
phương trình 0
ý có hai nghiệm phân biệt
21
, xx sao cho
1
21
xx
14
4
12
04
1
0
21
2
2121
2
2
2
1
2
21
/
xxxx
m
xxxx
m
xx
4
3
4
3
4
1)(42
4
2
m
m
m
m
m
Vậy
4
3
m thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ví dụ 3. Cho hàm số
112
23
xmxxy
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên
;1
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên
2;1
d. Xác định m để hàm số nghich biến trên đoạn có độ dài bằng 2.
Giải:
a. Tập xác định: D = R.
1223
2/
mxxy
Hàm số đồng biến trên R
0
0
0
/
/
a
Rxy 66
66
036
03
2
m
m
Rm
m
b. Tập xác định: D = R.
1223
2/
mxxy
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
* Hàm số đồng biến trên
;1
;10
/
xy
;1
123
2;101223
2
2
x
x
x
mxmxx
Xét hàm số
;1
123
)(
2
trên
x
x
xf
Ta có
2
2
/
123
)(
x
x
xf
)(2
)(2
0
123
0)(
2
2
/
lx
nx
x
x
xf
Ta có bảng biến thiên:
x 1 2
f
/
(x) - 0 +
15
f(x)
12
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT
6122
mm
Vậy
6
m
thỏa mãn điều kiện bài toán.
c. Tập xác định: D = R.
1223
2/
mxxy
* Hàm số nghịch biến trên
2;1
2;10
/
xy
2;1
123
22;101223
2
2
x
x
x
mxmxx
Xét hàm số
2;1
123
)(
2
trên
x
x
xf
Ta có
2
2
/
123
)(
x
x
xf
)(2
)(2
0
123
0)(
2
2
/
lx
lx
x
x
xf
Bảng biến thiên:
x 1 2
f
/
(x) -
15
f(x)
12
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT 6122
mm
Vậy
6
m
thỏa mãn điều kiện bài toán.
d. * Tập xác định: D = R.
1223
2/
mxxy
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2
phương trình 0
ý có hai nghiệm phân biệt
21
, xx sao cho 2
21
xx
44
;66;
42
036
4
0
21
2
21
21
2
2
2
1
2
2
21
/
xxxx
m
xxxx
m
xx
m
m
m
m
m
m
6
6
;66;
44.4
3
2
;66;
2
Vậy không có giá trị nào của m thỏa điều kiện bài toán.
Ví dụ 4. Cho hàm số
m
x
mx
y
9
.
a. Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên
;2 .
c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên
1;
Giải:
a. TXĐ:
mRD \
2
2
/
9
mx
m
y
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
mxy 0
/
3;309
2
mm
Vậy:
3;3m
thỏa điều kiện bài toán.
b. TXĐ:
mRD \
2
2
/
9
mx
m
y
Hàm số đồng biến trên
;2
mxvàxy ;20
/
3
2
;33;
2
;33;
;2
09
2
m
m
m
m
m
m
m
Vậy:
3
m
thỏa điều kiện bài toán.
c. TXĐ:
mRD \
2
2
/
9
mx
m
y
Hàm số nghịch biến trên
1;
mxvàxy 1;0
/
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
13
1
3;3
1
3;3
1;
09
2
m
m
m
m
m
m
m
Vậy:
13
m
thỏa điều kiện bài toán.
Ví dụ 5. (ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A, A1 NĂM 2013)
Cho hàm số
3 2
y x 3x 3mx 1 (1)
, với m là tham số thực. Tìm m để hàm số
(1) nghịch biến trên khoảng (0; +
)
Giải:
Ta có y’ = -3x
2
+ 6x+3m
Yêu cầu bài toán y’
0, 0;x
2
2
3 6 3 0 (0; )
2 (0; )
x x m x
m x x x
Xét hàm số
2
( ) 2
g x x x
với x > 0
Ta có
/
( ) 2 2
g x x
/
( ) 0 1
g x x
Ta có bảng biến thiên:
x 0 1
g
/
(x) - 0 +
0
g(x)
-1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy YCBT
1
m
Vậy
1
m
hàm số nghịch biến trên
(0; )
.
BÀI TẬP TỰ LÀM
1. Cho hàm số
3 2
3 4
y x x mx
có đồ thị
( )
C
. Xác định m để hàm số nghịch
biến trên khoảng
0;
. ( ĐỀ DỰ BỊ KHỐI A NĂM 2009)
2. Cho hàm số
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
y x m x m m x
có đồ thị (C
m
).
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
;2 .
3. (Dự bị 1 khối D 2003) Cho hàm số:
2 2
x 5x m 4
y
x 3
, (1)
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1.
b) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng
1;
.
2 .Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức:
Ví dụ 1. Chứng minh rằng:
a. sinx < x
2
;0
x b.
2
;0tan
xxx c.
1;102
24
xxx
Giải:
a. Ta có: sinx < x 0sin
xx
Xét xxxf sin)(
Với
2
;0
x
Ta có
2
;00
2
sin2cos1)(
2/
x
x
xxf
)
2
;0(02
2
0
2
sin0)(
/
xDoxkxk
xx
xf
Suy ra,
)(xf
đồng biến trên
2
;0
Do đó,
2
;0
x
Ta có
xxxxxffx sinsin0)(00
Vậy: sinx < x
2
;0
x
b. Ta có:
0tantan
xxxx
Xét hàm số xxxf tan)(
trên
2
;0
Ta có
2
;00tan
cos
1
1)(
2
2
/
xx
x
xf
)
2
;0(00tan0)(
/
xDoxkxxxf
Suy ra, )(xf nghịch biến trên
2
;0
Do đó,
2
;0
x
Ta có
xxxxxffx tantan0)(00
Vậy
2
;0tan
xxx
c.
1;102
24
xxx
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
Xét hàm số
24
2)( xxxf
với
1;1x
Ta có
xxxf 44)(
3/
1
1
0
0140440)(
23/
x
x
x
xxxxxf
Bảng biến thiên:
x -1 0 1
f
/
(x) + 0 -
0
f(x)
-1 -1
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
1;102)(
24
xxxxf
(đpcm)
CHUYÊN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tai một điểm:
Cách 1. ( Thường dùng cho hàm đa thức )
* f(x) đạt cực trị tại x = x
0
0)(
0)(
0
//
0
/
xy
xy
* f(x) đạt cực đại tại x = x
0
0)(
0)(
0
//
0
/
xy
xy
* f(x) đạt cực tiểu tại x = x
0
0)(
0)(
0
//
0
/
xy
xy
Cách 2. ( Thường dùng cho hàm phân thức )
* Nếu f(x) đạt cực trị tại x = x
0
thì
0)(
0
/
xy
.
* Giải phương trình 0)(
0
/
xy tìm m, thay m vừa tìm được vào hàm số .
* Lập bảng biến thiên và kết luận.
Ví dụ 1. Cho hàm số
5231
3
1
223
xmmxmxy
.
a. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = 0.
b. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.
c. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.
Giải:
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
a. TXĐ: D = R
2312
22/
mmxmxy
122
//
mxy
Hàm số đạt cực trị tại x = 0
2
1
2
1
012
023
0)0(
0)0(
2
//
/
m
m
m
m
m
mm
y
y
Vậy Hàm số đạt cực trị tại x = 0
b. TXĐ: D = R
2312
22/
mmxmxy
122
//
mxy
Hàm số đạt cực đại tại x = 1
2
55
2
2
55
2
55
024
055
0)1(
0)1(
2
//
/
m
m
m
m
m
mm
y
y
c. TXĐ: D = R
2312
22/
mmxmxy
122
//
mxy
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3
m
m
m
m
mm
y
y
4
028
0179
0)3(
0)3(
2
//
/
Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.
Ví dụ 2. Cho hàm số
3
1
2
1
3
1
23
bxaxxy
. Xác định a và b để hàm số đạt cực
đại tại x = 1 và giá trị cực đại tại điểm đó bằng 2.
Giải:
* TXĐ: D = R
* baxxy
2/
axy 2
//
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và giá trị cực đại tại điểm đó bằng 2
2)1(
0)1(
0)1(
//
/
y
y
y
3
2
2
3
2
2
2
1
02
01
b
a
a
b
a
ba
a
ba
Vậy
3
2
b
a
thỏa mãn điều kiện bài toán.
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
Ví dụ 3. Xác định m để hàm số
52
224
xmxy
a. Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1
b. Hàm số đạt cực đại tại x = - 2.
Giải:
a. TXĐ: D = R
22//
23/
412
44
mxy
xmxy
Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 1
3;3
1
1
0412
044
0)1(
0)1(
2
2
//
/
m
m
m
m
m
y
y
1
1
m
m
b. TXĐ: D = R
22//
23/
412
44
mxy
xmxy
Hàm số đạt cực đại tại x = - 2
2
:3232;
2
2
0448
0832
0)2(
0)2(
2
2
//
/
m
m
m
m
m
m
y
y
Ví dụ 4. Xác định m để hàm số
1
52
2
x
mxx
y đạt cực tiểu tại x = 3.
Giải:
TXĐ:
1\ RD
2
2
/
1
522
x
mxx
y
* Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 thì 0)3(
/
y
50
16
210
m
m
* Với 5
m ta có
2
2
/
1
152
x
xx
y
/
3
0
5
x
y
x
x
- 5 3
y
/
+ 0 - 0 +
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
CĐ
y
CT
Dựa vào BBT ta thấy x = 3 là điểm cực tiểu.
Vậy m = 5 hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.
Ví dụ 5. Xác định m để hàm số
2
2
2
2
2
x
x
mxx
y
đạt cực đại tại
2x
.
Giải:
TXĐ: D = R
*
2
2
2
/
22
2244
xx
mmxxx
y
* Nếu hàm số đạt cực tiểu tại
2x
thì
0)2(
/
y
220
224
212824
2
m
m
* Với 22m ta có
2
2
2
/
22
242444
xx
xx
y
1
2
0
/
x
x
y
Bảng biến thiên:
x
1 2
y
/
- 0 + 0 -
1 CĐ
y
CT 1
Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt cực đại tại
2x
.
Vậy
22m
thỏa mãn điều kiện bài toán.
2. Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước:
Ví dụ 1. Cho hàm số
14112
3
1
23
xmxmxy
a. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
b. Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
sao cho
4
21
xx
.
c. Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
sao cho 43
21
xx .
d. Xác định m để hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
thỏa mãn:
.2
2
2
2
1
xx
e. Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục
tung.
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
Giải:
a. TXĐ: D = R
mxmxy 41122
2/
(*)0411220
2/
mxmxy
Hàm số có cực đại và cực tiểu
phương (*) có hai nghiệm phân biệt
/ 2 2
4 0 0 0
m m m
Vậy
0
m
hàm số có cực đại và cực tiểu.
b. TXĐ: D = R
mxmxy 41122
2/
(*)0411220
2/
mxmxy
* Hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
phương (*) có hai nghiệm phân biệt
/ 2 2
4 0 0 0
m m m
* Với 0
m hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
Ta có x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình (*) nên
mxx
mxx
41.
122
21
21
Theo đề ta có
4
21
xx
164162
21
2
2121
2
2
2
1
xxxxxxxx
1641.4122
2
mm
2
1 ( )
16 16
1 ( )
m n
m
m n
Vậy m = 1; m = -1 thỏa mãn điều kiện bài toán.
c. TXĐ: D = R
mxmxy 41122
2/
(*)0411220
2/
mxmxy
* Hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
phương (*) có hai nghiệm phân biệt
/ 2 2
4 0 0 0
m m m
* Với
0
m
hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
Ta có x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình (*) nên
)2(41.
)1(122
21
21
mxx
mxx
Theo đề ta có 43
21
xx (3)
Từ (3)
12
34 xx thay vào (1) và (2) ta được
mxx
mx
4134
12224
11
1
)4(4134
)3(23
2
11
1
mxx
mx
Thay mx 23
1
vào (4) ta được
mmm 41233234
2
)(2
)(
3
2
0163212
2
nm
nm
mm
Vậy 2;
3
2
mm thỏa TĐKBT.
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
d. TXĐ: D = R
mxmxy 41122
2/
(*)0411220
2/
mxmxy
* Hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
phương (*) có hai nghiệm phân biệt
/ 2 2
4 0 0 0
m m m
* Với
0
m
hàm số có hai điểm cực trị x
1
, x
2
Ta có x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình (*) nên
mxx
mxx
41.
122
21
21
Theo đề ta có
2
2
2
2
1
xx
241212222
2
21
2
21
mmxxxx
2
1
00816
2
mmm
Vậy
2
1
0 m
thỏa TĐKBT.
e. TXĐ: D = R
mxmxy 41122
2/
(*)0411220
2/
mxmxy
* Hàm số có hai điểm cực trị
phương (*) có hai nghiệm phân biệt
/ 2 2
4 0 0 0
m m m
* Với 0
m hàm số có hai điểm cực trị . Gọi x
1
, x
2
là hai điểm cực trị của hàm
số.
Ta có x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình (*) nên
mxx
mxx
41.
122
21
21
Đồ thị hàm số có hai điểm cực nằm về cùng phía so với trục tung
4
1
0410.
21
mmxx
Kết hợp với điều kiện 0
m ta được
4
1
;0 mm
Vậy
4
1
;0 mm thỏa TĐKBT.
Ví dụ 2. Cho hàm số 22
24
mxxy
a. Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị.
b. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông
cân.
c. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác đều.
d. Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác có
diện tích bằng 1.
Giải:
a. TXĐ: D = R
mxxy 44
3/
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
)2(
)1(0
04
(*)0440
2
2
3/
mx
x
mxx
mxxy
Hàm số có ba điểm cực trị
phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
0
0
0
0
0
2
m
m
m
m
m
Vậy m > 0 thỏa mãn TĐKBT.
b. TXĐ: D = R
mxxy 44
3/
)2(
)1(0
04
(*)0440
2
2
3/
mx
x
mxx
mxxy
* Hàm số có ba điểm cực trị
phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
0
0
0
0
0
2
m
m
m
m
m
* Với 0
m , ta có mx )2( nên đồ thị hàm số có ba diểm cực trị
A( 0; 2), B
)2;(
2
mm
, C
)2;(
2
mm
.
Ta có ACABmmACmmAB
44
; nên tam giác ABC cân tại A.
Do đó tam giác ABC vuông cân ABC
vuông tại A
0. ACAB
(**)
Có
22
;;; mmACmmAB
Vậy (**)
)(1
)(0
00)).((m.
422
nm
lm
mmmmm
Vậy m = 1 đồ thị hàm số có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân.
c. TXĐ: D = R
mxxy 44
3/
)2(
)1(0
04
(*)0440
2
2
3/
mx
x
mxx
mxxy
* Hàm số có ba điểm cực trị
phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
0
0
0
0
0
2
m
m
m
m
m
* Với
0
m
, ta có (2)
mx )2(
nên đồ thị hàm số có ba diểm cực trị
A( 0; 2), B
)2;(
2
mm
, C
)2;(
2
mm
.
Tam giác ABC đều
mmm
mmm
mmmm
BCAC
ACAB
BCACAB 4
4
4
4
44
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
)(3
)(0
303
3
34
nm
lm
mmmm
Vậy
3
3m
thỏa mãn ĐKBT.
d. TXĐ: D = R
mxxy 44
3/
)2(
)1(0
04
(*)0440
2
2
3/
mx
x
mxx
mxxy
* Hàm số có ba điểm cực trị
phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
0
0
0
0
0
2
m
m
m
m
m
* Với
0
m
, ta có (2)
mx )2(
nên đồ thị hàm số có ba diểm cực trị
A( 0; 2), B
)2;(
2
mm
, C
)2;(
2
mm
.
.
mBC 4
.
0;1.20;2 mmBC
vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC là
1;0n
Nên BC có phương trình:
02
2
my
d( A; BC)=
22
mm
Ta có, 1);(
2
1
BCAdBCS
ABC
)(111.4.
2
1
52
nmmmm
Vậy m = 1 thỏa ĐKBT.
Ví dụ 3. Cho hàm số y = -x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2
- 1)x - 3m
2
- 1 (1)
Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số
(1) cách đều gốc tọa độ O.
Giải:
TXĐ: D = R
y’ = –3x
2
+ 6x + 3(m
2
- 1),
y' = 0
x
2
- 2x - (m
2
- 1) = 0
x = 1 - m hoặc x = 1 +m
Do đó (1) có cực đại và cực tiểu
phương trình y
/
= 0 có hai nghiệm phân biệt
1 - m
1 + m
m
0
Gọi A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)
A(1 + m; 2(m
3
- 1)); B(1 - m; -2(m
3
+1))
x y x y m m m (vìm ) m
2 2
Ta coù : OA = OB
2 2 2 2 3 2
1 1 2 2
1 1
4 16 0
4 2
Ví dụ 4. Cho hàm số
1
241
22
x
mmxmx
y
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
a. Xác định m để hàm số có cực trị.
b. Xác định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
Giải:
a. TXĐ:
2
22
/
1
332
x
mmxx
y
)2(0332
)1(1
0
22
/
mmxx
x
y
Hàm số có cực trị
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1
21
023
023
0331.21
0
2
2
22
/
m
mm
mm
mm
b. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
;21;023
0
01
0332
1033210
2
/
22
22/
mmmRxmmxx
xmmxxxy
Ví dụ 5. Cho hàm số
m
x
mxx
y
1
2
Chứng minh rằng với mọi m để hàm số có cực trị.
Giải:
TXĐ:
mRD \
2
22
/
12
mx
mmxx
y
)2(012
)1(
0
22
/
mmxx
mx
y
Hàm số có cực trị
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
Rm
mmmm
01
01
01).(2
0
2
2
/
Vậy với mọi m hàm số luôn có cực trị.
Ví dụ 6. Cho hàm số
4 2
2 1
y x ( m )x m
. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có
ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc
trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
(ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC Khối B NĂM 2011)
Giải:
y’ = 4x
3
– 4(m + 1)x
y’ = 0
2
0 (1)
1 (2)
x
x m
Hàm số có 3 cực trị phương trình y
/
= 0 có hai nghiệm phân biệt
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
phương (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0
2
1 0
0 1
m
m
m > -1
Khi đó đồ thị hàm số có 3 cực trị A (0; m), B (
1
m
; -m
2
– m – 1),
C (-
1
m
; -m
2
– m – 1)
Ta có: OA = BC m
2
= 4(m + 1) m = 2
2 2
(thỏa m > -1)
Ví dụ 7. Cho hàm số
3 2
1
2 5 4 3 1
3
y x ( m )x ( m )x m
. Tìm m để hàm số đạt
cực trị tại x
1
, x
2
sao cho x
1
< 2 < x
2
.
Giải:
* TXĐ: D = R.
*
2
2 2 5 4
/
x ( m )x my
2
0 2 2 5 4 0
/
x (m )x m (*)
y
* Hàm số có hai cực trị
phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
2 2
2 5 4 9 0 0
/
(m ) ( m ) m m m
hoặc
9
m
(1)
* Khi
0
m
hoặc
9
m
, hàm số đạt cực trị tại x
1
, x
2
sao cho x
1
< 2 < x
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( 2)( 2) 0 2 2 4 0 2( ) 4 0
x x x x x x x x x x
5 4 2.( 2)( 2) 4 0 9 0 0
m m m m
(2)
Đối chiếu (1) và (2) ta được m < 0.
Vậy m < 0 thỏa điều kiện bài toán.
BÀI TẬP TỰ LÀM
1. Cho hàm số
mxxmxy 9)1(3
23
. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực
trị tại
21
, xx sao cho 2
21
xx .
2. Cho hàm số
4 2
( 1) ( 2) 3
y m x m x m
. Xác định m để hàm số có ba điểm cực
trị.
3. Cho hàm số
3 2
3
y x x m
(1). Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai
điểm cực trị A, B sao cho
·
0
120
AOB
.
4. Cho hàm số
4 2 2
2
y x mx m m
. Xác định m để đồ thị của hàm số đã cho có
ba điểm cực trị lập thành một tam giác có một góc bằng 120
0
.
5. Cho hàm số
4 2 2
2( 1) 1
y x m m x m
. Xác định m để đồ thị của hàm số đã
cho có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
3. Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực trị và cực trị của đồ thị hàm
số:
A. Kiến thức cơ bản:
a/ Cho hàm số
dcxbxaxy
23
.
Thực hiện phép chia đa thức cho y cho y
/
ta được:
DCxBAxyy .
/
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó,
y
1
= Cx + D và y
2
= Cx + D
Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = Cx + D.
b/ Cho hàm số
e
dx
cbxax
y
2
.
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Khi đó,
d
bx
y
1
1
2
và
d
bx
y
2
2
2
.
Suy ra, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
d
bx
y
2
c/ Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Khi đó,
* Đồ thị hàm số có hai điểm nằm về cùng phía so với trục hoành
0.
21
yy
* Đồ thị hàm số có hai điểm nằm về khác phía so với trục hoành 0.
21
yy
B. Các ví dụ:
Ví dụ 1. Cho hàm số
37
23
xmxxy
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu đó.
Giải:
TXĐ: D = R
723
2/
mxxy
(*)07230
2/
mxxy
*Hàm số có cực đại và cực tiểu
phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
21
21
021
2/
m
m
m
*Với
21
21
m
m
hàm số có hai điểm cực trị
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Thực hiện phép chia đa thức y cho y
/
ta được:
mx
m
mxyy
9
7
3
9
2
3
14
9
1
3
1
.
2
/
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Ta có: mx
m
y
9
7
3
9
2
3
14
1
2
1
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
mx
m
y
9
7
3
9
2
3
14
2
2
2
Suy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là
mx
m
y
9
7
3
9
2
3
14
2
Ví dụ 2. Cho hàm số
6236
23
mxmxxy
.
a. Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu cùng dấu.
b. Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so
với trục hoành.
c. Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so
với trục tung.
Giải:
a. Ta có 63123
2/
mxxy
* Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu
phương trình
0
/
y
có hai nghiệm phân biệt
2018936
/
mm
* Với đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Chia
/
ychoy
ta được
1222
3
1
/
xmxyy
Ta có
122
11
xmy ;
122
22
xmy
Suy ra
124212122.
2121
2
21
2
21
xxxxmxxmyy
Do x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình
0
/
y
nên
2
4
21
21
mxx
xx
Do đó
1742.
2
21
mmyy
Vậy
21
yvày
cùng dấu
2
17
017420.
2
21
m
m
m
mmyy
Kết hợp với điều kiện m < 2 ta được 2
4
17
m
b. Ta có 63123
2/
mxxy
* Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu
phương trình
0
/
y
có hai nghiệm phân biệt
2018936
/
mm
* Với đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Chia
/
ychoy ta được
1222
3
1
/
xmxyy
Ta có
122
11
xmy ;
122
22
xmy
Suy ra
124212122.
2121
2
21
2
21
xxxxmxxmyy
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
Do x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình
0
/
y
nên
2
4
21
21
mxx
xx
Do đó
1742.
2
21
mmyy
Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục hoành
2
17
2
17
2
0.
21
m
m
m
yy
Kết hợp với điều kiện m < 2 ta được
2
17
m
Vậy
2
17
m thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ví dụ 3. Cho hàm số mxxy
23
3 . Xác định m để
a. Đường thẳng nối hai điểm cực trị đi qua điểm (2; -1)
b. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành một
tam giác vuông tại O. Tính diện tích tam giác đó.
c. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Giải:
a. TXĐ: D = R
2
0
0
63
/
2/
x
x
y
xxy
Suy ra đồ thị luôn có hai cực trị
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Thực hiện phép chia đa thức
/
ychoy
ta được
xmxyy 2
3
1
3
1
/
Ta có
2211
2;2 xmyxmy
Suy ra đường thẳng nối hai điểm cực trị là d: xmy 2
Đường thẳng d đi qua điểm (2; -1) 32.21
mm
Vậy m = 3 thỏa yêu cầu bài toán.
b. TXĐ: D = R
2
0
0
63
/
2/
x
x
y
xxy
Suy ra đồ thị luôn có hai cực trị là A( 0 ; m), B( 2; m – 4)
4;2,;0 mOBmOA
Tam giác OAB vuông tại O
4
)()(0
040.
m
OADolm
mmOBOA
Vậy m =4 thỏa điều kiện bài toán.
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
* Với m = 4
)0;2()4;0( BvàA
42.4.
2
1
.
2
1
OBOAS
OAB
c. TXĐ: D = R
2
0
0
63
/
2/
x
x
y
xxy
Suy ra đồ thị luôn có hai cực trị là A( 0 ; m), B( 2; m – 4)
Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
0)4(0. mmyy
BA
40
m
Vậy 40
m thỏa điều kiện bài toán.
Ví dụ 4. Cho hàm số
323
43 mmxxy .
a. Xác định m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng với nhau
qua đường thẳng y = x.
b. Lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu .
c. Xác định m để độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực trị bằng 52 .
Giải:
a. TXĐ: D = R
mxxy 63
2/
mx
x
mxxy
2
0
0630
2/
* Đồ thị có cực đại cực tiểu
phương trình 0
/
y có hai nghiệm phân biệt
002
mm
* Với
0
m
đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu là
)0;2(,)4;0(
3
mBmA
.
Hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x
2
1
2
1
0240
3
m
m
mmxy
BA
Vậy
2
1
m ;
2
1
m thỏa điều kiện bài toán.
b. Cách 1.
TXĐ: D = R
mxxy 63
2/
mx
x
mxxy
2
0
0630
2/
* Đồ thị có cực đại cực tiểu
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
phương trình
0
/
y
có hai nghiệm phân biệt
002
mm
*Với
0
m
đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu là
)0;2(,)4;0(
3
mBmA
.
Vectơ chỉ phương của AB là
3
(2 ; 4 )
AB m m
uuur
Suy ra vectơ pháp tuyến của AB là:
3
(4 ;2 )
n m m
r
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B là:
3 3 2 3
4 ( 0) 2 ( 4 ) 0 2 4
m x m y m y m x m
Cách 2. TXĐ: D = R
mxxy 63
2/
mx
x
mxxy
2
0
0630
2/
* Đồ thị có cực đại cực tiểu
phương trình 0
/
y có hai nghiệm phân biệt
002
mm
*Với
0
m
đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu.
Thức hiện phép chia đa thức y cho y
/
ta được:
/ 2 3
1
2 4
3 3
m
y y x m x m
Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là:
2 3
2 4
y m x m
c. TXĐ: D = R
mxxy 63
2/
mx
x
mxxy
2
0
0630
2/
* Đồ thị có cực đại cực tiểu
phương trình 0
/
y có hai nghiệm phân biệt
002
mm
*Với
0
m
đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu là
)0;2(,)4;0(
3
mBmA
.
Ta có
2 6
4 16 2 5
AB m m
6 2 2
4 5 0 1 1( )
m m m m n
Ví dụ 5. Cho hàm số
1
2
2
x
mxx
y .
a. Xác định đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
b. Xác định m để hai cực trị cùng dấu.
c. Xác định m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về khác phía so với trục
Ox.
d. Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về khác phía so với trục
Oy.
TAILIEUEA.COM
Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam
LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2
Giải:
a. TXĐ:
1\RD
2
2
/
1
22
x
mxx
y
)2(022
)1(1
0
1
22
0
2
2
2
/
mxx
x
x
mxx
y
*Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
khác 1 3
3
3
021.21
03
2
/
m
m
m
m
m
* Với m < 3, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Ta có
1
2
;
1
2
2
2
1
1
mx
y
mx
y
Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x – m
Vậy m < 3 , đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = 2x – m
b. TXĐ:
1\RD
2
2
/
1
22
x
mxx
y
)2(022
)1(1
0
1
22
0
2
2
2
/
mxx
x
x
mxx
y
*Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
khác 1 3
3
3
021.21
03
2
/
m
m
m
m
m
* Với m < 3, đồ thị hàm số có hai điểm cực trị.
Gọi (x
1
; y
1
) và (x
2
; y
2
) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
Ta có
1
2
;
1
2
2
2
1
1
mx
y
mx
y
Nên
2
21212121
2422. mxxmxxmxmxyy
Do x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình
0
/
y
nên
2
2
21
21
mxx
xx
Do đó
82.224.
22
21
mmmmyy
Vậy,
21
yvày
cùng dấu
0.
21
yy
;2222;08
2
mm
c. TXĐ:
1\RD
2
2
/
1
22
x
mxx
y
)2(022
)1(1
0
1
22
0
2
2
2
/
mxx
x
x
mxx
y
