đề tài phương pháp giải các bài toán cực trị

Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
PhầnI :Một số vấn đề chung
1)l ý do chọn đề tài :
a/ Cơ sở lý luận:
Việc giải toán, việc giải quyết vấn đề trong cuộc sống có những vấn đề giống
nhau nếu cả hai việc đó đều đuợc tiến hành một cách khoa học.
Thật vậy toán học là một môn học có tính chất rất quan trọng trong việc phát
triển và rèn luyện kỹ năng, t duy sáng tạo, kỹ năng phân tích tổng hợp, tính cẩn thận,
kiên trì, tính chính xác, năng lực sáng tạo và khả năng t duy lôgíc cho học sinh .
Trong chơng trình toán học ở bậc trung học cơ sở các bài toán cực trị giữ vai
trò vô cùng quan trọng, nó rèn cho học sinh có kỹ năng phân tích tổng hợp, t duy sáng
tạo, tính độc lập suy nghĩ, nó có tác dụng tốt trong việc phát triển năng lực t duy và sự
linh hoạt trong giải toán.
b/ Cơ sở thực tiễn:
Là một giáo viên giảng dậy môn toán lớp 9 , trong quá trình giảng dạy và ôn tập cho
học sinh lớp 9 chuẩn bị thi hết bậc học THCS , thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và bồi
dỡng học sinh giỏi trong nhiều năm qua tôi nhận thấy: Các bài toán tìm cực trị th-
ờng gặp nhiều, đặc biệt trong các kỳ thi vào lớp 10 THPT và thi học sinh giỏi, nhng nó
lại là một phần kến thức khó đối với học sinh, đa số học sinh thờng bỏ qua hoặc chỉ có
một số học sinh khá giỏi giành thời gian để suy nghĩ song kết quả không cao . Các em
rất lúng túng khi gặp dạng toán này vì cha có phơng pháp giải . trong khi đó vấn đề
này ở SGK toán THCS lại đề cập rất ít, không đi sâu. Các tài liệu tham khảo không
nhiều mà chỉ chung chung không có phơng pháp cụ thể .
Để giúp các em vợt qua trở ngại này trong nhiều năm qua tôi đã cố gắng đúc rút
kinh nghiệm và đi sâu nghiên cứu đề tài : Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị.
Để phân dạng và tìm ra phơng pháp giải cho từng dạng bài toán tìm cực trị . Nhằm
trang bị cho các em học sinh một số phơng pháp và kỹ năng cơ bản khi giải các bài
toán tìm cực trị .
1
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
2)Mục đích nghiên cứu :

a/ Đối với giáo viên .
1/Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết, các phơng pháp giải các bài toán cực trị đại số.
và hình học
2/Xây dựng đợc hệ thống các bài tập theo chuyên đề riêng phù hợp với từng đối t-
ợng học sinh, có phơng pháp giải của từng dạng.
3/Tích cực tìm tòi, sử dụng cách giải ngắn ,chính xác.
4/ Khắc phục sai lầm của học sinh trong quá trình làm toán.
b/ Đối với học sinh .
1/Hiểu đợc các dạng toán cực trị đại số và hình học.
2/Nắm đợc phơng pháp giải toán.Vận dụng tốt các phơng pháp giải toán để làm
bài tập.
3/Phát huy khả năng độc lập suy nghĩ và t duy sáng tạo trong việc giải toán.
3) Đối t ợng và phạm vi nghiên cứu:
a/ Đối tợng: Học sinh lớp 8 , 9
b/ Phạm vi : Các bài toán tìm cực trị
4) Ph ơng pháp nghiên cứu:
a/ Nghiên cứu lý luận:
- Đọc tài liệu sách tham khảo có liên quan đến đề tài.
- Tìm hiểu các dạng toán về cực trị
- Đa ra các cách giải quyết bài toán sao cho ngắn gọn và dể hiểu nhất.
- Đa ra các cơ sở lý luận cho mỗi dạng bài trong dạng toán này.
b/ Nghiên cứu thực tế:
- Khảo sát kỹ năng giải bài toán về cực trị ở các lớp giảng dạy, và ở các lớp đại
diện cho các khối.
2
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
- Dự giờ trao đổi ý kiến với giáo viên, đặc biệt là các giáo viên tham gia bồi d-
ỡng học sinh giỏi.
- Thực hành tổ chức, kết hợp thực hiện theo các cách dạy khác nhau để so sánh
đa ra cách giải quyết vấn đề tối u nhất.

- Phân tích tổng hợp, rút kinh nghiệm về đổi mới nội dung và phơng pháp
giảng dạy dạng toán "Cực trị ".
3
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Phần II: Nội dung
A/ cơ sở lý thuyết
I/ Nguyên tắc chung về cực trị:
a) Cho biểu thức A. Ta chứng minh đợc A


(

là hằng số)và phơng trình A=

cho ta
ít nhất một giá trị (hay một bộ giá trị) của biến có mặt trong A làm nghiệm thì ta kết
luận MinA=

Ngợc lại ta chứng minh đợc A


(

là hằng số) và phơng trình A=

cho ta ít
nhất một giá trị (hay một bộ giá trị) của biến có mặt trong A làm nghiệm thì ta kết
luận MaxA=

b) Bài toán cực trị hình học là bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một

đại lợng hình học biến thiên m ; (m có thể là độ dài đoạn thẳng, độ lớn của chu vi,
diện tích,độ lớn của góc. . .)
Yêu cầu tìm đợc các giá trị m
1
,m
2
cố định thoả mãn :
1 2
m m m
đồng thời chỉ
rõ các vị trí hình học của đại lợng biến thiên đang xét để tại đó m đạt giá trị nhỏ nhất
m
1
hoặc giá trị lớn nhất m
2
. Đôi khi bài toán chỉ yêu cầu tìm một trong hai giá trị m
1
hoặc m
2
II/ Một số kiến thức th ờng dùng .
1/ các tính chất của bất đẳng thức:
1.1) a > b

b < a
1.2) Tính chất bắc cầu: a > b ; b > c
ca >
1.3) Tính chất đơn điệu của phép cộng :
a > b
cbca
+>+

1.4) Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều:
a > b ; c > d
dbca
+>+
* Chú ý: Không đợc trừ từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều
4
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
1.5) Trừ từng vế hai bất đẳng thức ngợc chiều:
a > b ; c < d
dbca
>
1.6) Tính chất đơn điệu của phép nhân:
a) a > b ; c > 0
bcac
>

b) a > b ; c < 0
bcac
<
1.7) Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm :
a > b
0

, c > d
0

,
bdac
>
1.8) Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế của bất đẳng thức :

n
+
Z
ta có : a > b > 0
n
a
>
n
b

a > b

n
a
>
n
b
với n lẻ;

nn
baba >>
với n chẵn;
1.9) So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dơng:
m , n
+
Z
; m > n thì: a > 1
nm
aa >

a = 1
nm
aa =
0 < a < 1
nm
aa <
1.10) Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu:
a > b , ab > 0
ba
11
<
2) Một số bất đẳng thức th ờng dùng:
a) a
2


0 ; -a
2


0. Dấu = xảy ra khi a = 0
b) Bất đẳng thức côsi và hệ quả:
Cho n số không âm a
1
,a
2
, ,a
n
.Ta có: a
1

+a
2
+ +a
n

n .
n
n
aaa
21
Dấu = khi a
1
=a
2
= =a
n
.
* Hệ quả:
-Nếu tổng n số dơng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi các số đó bằng nhau.
-Nếu tích n số dơng không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi các số đó bằng nhau.
c) Bất đẳng thức Bunhiacôpski:
Cho 2n số : a
1
,a
2
, ,a
n
; b
1
,b

2,
, ,b
n

Ta luôn có :
( )
22
2
2
1

n
aaa +++
.
( )
22
2
2
1

n
bbb +++

( )
nn
baba ++
11
2
5
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị

Dấu = xảy ra khi
1
1
b
a
=
2
2
b
a
= =
n
n
b
a
d/Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối:

0a
Dấu = xảy ra khi a = 0

baba ++
Dấu = xảy ra khi ab

0

baba
Dấu = xảy ra khi ab

0 ;
ba

3/Bất đẳng thức trong hình học :
a) Nếu tam giác ABC có góc A = 90
o
thì AC

BC ( Dấu = xảy ra khi tam giác
ABC suy biến thành đoạn thẳng hay A

B ).
b) Với tam giác ABC tuỳ ý ta luôn có:
AB + BC

AC . Dấu = khi tam giác ABC suy biến( B nằm giữa A và C ).
c)Quan hệ giữa cạnh và góc trong một tam giác .
Cho tam giác ABC , nếu góc A

góc B

BC

AC .
d)Trong đờng tròn đờng kính là dây cung lớn nhất .
Trong đờng tròn dây cung nào gần tâm hơn là dây cung lớn hơn và ngợc lại
Với hai cung nhỏ trong một đờng tròn, cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngợc lại
III/ Một số ph ơng pháp th ờng áp dụng:
1/ Đ a về tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai: P(x) =ax
2
+bx+c

Ta có : P(x)=a






+
a
b
x
2
2
-
a
acb
4
4
2

=a






+
a
b

x
2
2
-
a4

;
( )
acb ã4
2
=
Vì






+
a
b
x
2
2


0 với mọi x nên :
+Nếu a > 0 thì P(x)đạt GTNN bằng -
a4

khi x=
a
b
2

+nếu a < 0thì P(x)đạt GTLN bằng -
a4

khi x=
a
b
2

2/ Dùng những đánh giá cơ bản:
Bình phơng một số (hay một biểu thức) luôn không âm .
Vậy A
2
+



dấu = khi A=0
-A
2
+



dấu = khi A=0
3/ Dùng điều kiện có nghiệm của một ph ơng trình bậc hai.

Mô hình tổng quát:
6
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Xét A=P(x) (1) Tìm Min A ; Max A.
Hàm P(x) có tập xác định khác

ta biến đổi (1) về dạng:
( )
A

x
2
+
( )
A

x+
( )
A

=0 (2)
ở đây A tham gia với t cách nh một tham số. Vì tập xác định của P(x) khác rỗng nên
pt(2) cần có nghiệm.
Từ đó

(A) =
2

(A) - 4

(A)

(A)

0
Từ bất đẳng thức trên ta rút ra miền bị chặn đối với A từ đó tìm đợc Max A và Min A
4/ Dùngph ơng pháp hình học:
Để tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức y= P(x) ta có thể dùng đồ thị y= P(x)
trong hệ toạ độ đề các vuông góc xOy từ dáng điệu đờng cong ta có thể xác định đợc
giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của y.
5/ Dự a vào các bất đẳng thức để đánh giá:
B/ Các dạng toán và ph ơng pháp giải:
Dạng 1: Cực trị đại số
1.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức ax
2
+bx+c (a
0

)
Ví dụ 1 : Tìm GTLN của biểu thức sau : A= -3x
2
- 4x -1
Giải :
Ta có A = -3 (x
2
+
9
4
3
4

+x
) +
3
1

A = -3 (x +
3
2
)
2
+
3
1

3
1

(vì -3 (x +
3
2
)
2

0

)
Dấu = xảy ra khi x +
3
2
= 0

x=
3
2

. Vậy Max A =
3
1
khi x=
3
2


Ví dụ 2 : Cho B = (x - 2)
2
+(x- 4)
2
. Tìm GTNN của B
Giải :
Ta có B = x
2
- 4x+ 4 +x
2
- 8x + 16
= 2x
2
-12x + 20
= 2(x
2
- 6x +9) + 2

= 2(x - 3)
2
+ 2
2
( vì 2(x - 3)
2

0

)
7
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Dấu = xảy ra khi x-3 = 0

x=3 . Vậy Min B = 2 khi x=3.
Một số bài tập cùng dạng
a)Tìm GTNN của biểu thức sau :
C = (x + 1)
2
+ (x + 3)
2
D = 2x
2
- 8x - 1
b)Tìm GTLN của biểu thức sau :
A = -x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
+ Chú ý : Học sinh có thể mắc sai lầm khi tính GTNN của B ở Ví dụ 2
B = (x - 2)
2
+(x- 4)

2
nh sau :
(x - 2)
2

0


(x- 4)
2
0



B
0

Nhng thực chất x - 2 và x - 4 không đồng thời bằng 0
2) Cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối :
Ví dụ 1 : Tìm GTNN của biểu thức sau : A =
32 + xx
Giải:
*Cách 1 : Ta có A =
xx + 32

132 =+ xx
Vì
YXYX ++
Dấu = xảy ra khi (x-2)(3-x)
0

(x-2)(x-3)
0



2
3

x
Vậy Min A = 1 khi 2
3

x
*Cách 2 : Dùng phơng pháp đánh giá :
Nếu x < 2 suy ra A = -x + 2 - x + 3 =- 2x + 5 > 5 - 2.2 = 1.
Nếu 2

x
3

suy ra A = x - 2 - x + 3 = 1
Nếu x >3 suy ra A = x - 2 + x - 3 = 2x - 5 > 2.3 - 5 = 1
Từ đó Min A = 1 khi 2
3

x
Có thể dùng phơng pháp đồ thị hàm số : y =
32 + xx
ta tìm đợc Min y .

Ví dụ 2 : Tìm GTNN của hàm số sau : y =
212 +++ xx
Giải :
8
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
y = 2
)2
2
1
(
2
1
2
2
1
+++++=+++ xxxxx
Ta có
2
3
2
1
2
2
1
22
2
1
=+++=+++ xxxxxx
Dấu = xảy ra khi -2

x

2
1
.

0
2
1
+x
Dấu = xảy ra khi x =-
2
1
, vậy Min y =
2
3
khi x =-
2
1
Ví dụ 3 : Tìm GTNN của biểu thức sau: A =
3212 +++++ xxxx
Giải :
áp dụng bất đẳng thức
BABA ++
ta có :
5323232 =++=++ xxxxxx
(1) Dấu = xảy ra khi -2

x

3
3212121 =+++++=++ xxxxxx
(2) Dấu = xảy ra khi -1

x

2
Từ (1) và (2) suy ra A

8 Dấu = xảy ra khi -1

x

2
Vậy Min A = 8 khi -1

x

2 .
Ví dụ 4 : Tìm GTNN của biểu thức sau: A = (3x - 1)
2
- 4
513 +x
Giải :
Đặt
13 x
= t
0

ta có : A = t

2
- 4t + 5 = (t - 2)
2
+ 1
1
Dấu = xảy ra khi t = 2 hay
213 =x
hay x = 1 hoặc x = -
3
1
Vậy Min A = 1 khi x = 1 hoặc x = -
3
1
Một số bài tập cùng dạng
Tìm GTNN của biểu thức sau:
A =
2
)2003( x+
+
2
)2002( x+
B =
21
22
++ xxxx
3)Các bài toán cực trị dùng ph ơng pháp đánh giá :
A
2
+

-A
2
+


Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức sau:
9
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
A = x
2
- 2x + y
2
+ 4y + 5
Giải :
Ta có A = (x - 1)
2
+(y+2)
2

0

Dấu = xảy ra khi x =1 ; y= -2
Vậy Min A = 0 khi x =1 ; y= -2
Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức sau:
B = 2x
2
+y
2
- 2xy - 2x +3

Giải :
Ta có B = (x
2
-2x+1)+(x
2
-2xy+y
2
)+2 = (x-1)
2
+(x-y)
2
+2
2

Dấu = xảy ra khi x = y= 1.
Vậy Min B = 2 khi x = y= 1.
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức sau: C= x(x-3)(x-4)(x-7)
Giải :
Ta có C = (x
2
-7x)(x
2
-7x+12) = [(x
2
-7x +6)-6] [(x
2
-7x +6) +6]
= (x
2
-7x +6)

2
- 36
36

Dấu = xảy ra khi x
2
-7x +6 = 0

x = 1 hoặc x = 6
Vậy Min C = -36 khi x = 1 hoặc x = 6
Ví dụ 4: Tìm GTNN của biểu thức sau: A = x
2
+xy+y
2
-3x-3y
Giải :
Ta có 4A = 4 x
2
+4xy+4y
2
-12x-12y
= (2x + y -3)
2
+3(y-1)
2
-12
12

suy ra A
3

Dấu = xảy ra khi x = y =1. Vậy Min A = -3 khi x=y=1
Ví dụ 5: Tìm GTNN của biểu thức sau: B = m
2
- 4mn + 5n
2
+ 10 m - 22 n + 28
Giải :
Ta có B = [m
2
- 2m (2n-5) + (2n - 5)
2
] +(n
2
- 2n + 1) + 2= (m - 2n + 5)
2
+(n-1)
2
+2
2

10
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Dấu = xảy ra khi m =-3 ; n = 1. Vậy Min B = 2 khi m=-3 ; n = 1
Ví dụ 6: Tìm GTNN của biểu thức sau: D = 4x
2
+ 2y
2
- 4xy - 20x - 4y + 174
Giải :

Ta có D = [(2x)
2
- 2.2x(y + 5) + (y+5)
2
] + (y
2
-14y + 49) + 100
= (2x - y - 5)
2
+ (y-7)
2
+ 100
100

Dấu = xảy ra khi x= 6 ; y = 7
Vậy Min D = 100 khi x= 6 ; y = 7.
Một số bài tập cùng dạng
Tìm GTNN của các biểu thứcsau :
A=x
2
+y
2
-6x-2y+17
B=-xy+x
2
+y
2
+2x+3y
C=x
2

-2xy+2y
2
+2x-10y+17
4) Các bài toán dựa vào điều kiện có nghiệm của ph ơng trùnh bậc hai :
Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A=
2
32
2
2
+
++
x
xx
Giải :
Viết biểu thức đã cho về dạng: (A-1)x
2
-2x+(2A-3)=0 (1)
Với A
1
thì pt (1) trở thành pt bậc hai của x; pt(1) có nghiệm khi
0
/

hay
1-(2A-3)(A-1)
0


01)1)(32( AA

2A
2
-5A+2
0



(2A - 1)(A - 2)
0



2
2
1
A
; A=2 khi x=1 và A=
2
1
khi x=-2.
Vậy max A = 2 ; min A =
2
1
(Chú ý max A
1
và min A
1
thoả mãn điều kiện. )
Ví dụ2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y=

1
1
2
++
+
xx
x
Giải:
Viết hệ thức về dạng : yx
2
+(y-1)x+(y-1) = 0 (1)
Khi y
0

phơng trình (1) là phơng trình bậc hai của x.
11
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Pt(1) có nghiệm khi
0


hay (y- 1)
2
- 4y(y- 1)
0

)1()1(4 yyy
2

0

)1)(13( + yy

0

1
3
1
y
; y=1 khi x= 0 và y = -
3
1
khi x = -2
Vậy Min y = -
3
1
và Max y = 1.
Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức sau: A=
22
22
yxyx
yxyx
++
+
Giải:
Viết hệ thức về dạng (A-1) x
2
+y(A+1)x+y
2
(A-1) = 0 (1)

Khi A
1
thì pt(1) là phơng trình bậc hai của x, pt (1) có nghiệm khi :
0)1(4)1(
2222
+= AyAy

0])1()22[(
222
+ AAy
3
1
0)3)(13(
2
AAy
3

A
Ta có A=3 khi x=-y và A=
3
1
khi x=y. Vậy MaxA = 3 và MinA =
3
1
Ví dụ 4: Tìm cặp số (x;y) thoả mãn phơng trình:
x
2
y + 2xy- 4x + y= 0 (1)
sao cho y đạt giá trị lớn nhất.
Giải :

Viết phơng trình về dạng : yx
2
+ 2(y-2)x + y = 0 (2)
Khi y
0

phơng trình (2) là phơng trình bậc hai của x.
Pt (2) có nghiệm khi
0
/

hay (y-2)
2
- y
2

0

044 y
1 y
dấu = xảy ra khi
x = 1. Vậy max y = 1 khi (x; y) = (1; 1).
Một số bài tập cùng dạng
a)Tìm giá trị lớn nhất của y đối với nó tồn tại x thoả mãn :
2x
2
+5y
2
+2xy -x - 2y - 3 = 0
12

Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
b) Xác định tất cả các giá trị của a sao cho nghiệm của phơng trình sau là lớn
nhất, nhỏ nhất : x
4
+ 2x
2
+2ax + a
2
+ 2a +1 = 0
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P =
2
)1992( +x
x
5) Các bài toán cực trị dựa vào bất đẳng thức Côsi .
Ví dụ 1: Cho x; y thay đổi sao cho 0
40;3 yx
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A=(3 - x)(4 - y)(2x + 3y)
Giải :
Do 0
3

x
; 0
4 y
03

x
; 4- y
0

; 2x+3y
0

Ta có : 6A = (6 - 2x)(12- 3y)(2x+3y) là tích của 3 số không âm nên
6 - 2x +12 - 3y +2x+3y =18 không đổi . 6A lớn nhất khi 3 số :
6 - 2x ; 12- 3y ; 2x + 3y bằng nhau, khi 6 - 2x =12-3y = 2x+3y =
6
3
18
=
hay x= 0 ; y=2
khi đó 6A= 6.6.6 = 36.6 suy ra A=36. Vậy Max A = 36 khi x= 0 ; y = 2
Ví dụ 2: Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1 .Tìm GTNN của: P=
ba
c
ca
b
cb
a
+
+
+
+
+
222
Giải :
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
4
.2

4
22
cb
cb
acb
cb
a
+
+

+
+
+
= a (1) Dấu = xảy ra khi 2a = b + c
Tơng tự :

b
ca
ca
b

+
+
+
4
2
(2) Dấu = xảy ra khi 2b = a + c


c

ba
ba
c

+
+
+ 4
2
(3) Dấu = xảy ra khi 2c = b + a
Cộng vế theo vế của ba BĐT cùng chiều (1), (2), (3) ta có :
P +
cba
cba
++
++
2
hay P
2
1
2
=
++

cba
Dấu = xảy ra khi a = b = c =
3
1
Vậy Min P =
2
1

khi a = b = c =
3
1
13
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Ví dụ 3: Cho a, b, c là 3 số dơng, tìm giá trị nho nhất của : P =(a + b + c)(
cba
111
++
)
Giải :
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dơng a, b, c ta có a +b + c
3
3 abc
(1)
cba
111
++
3

3
1
abc
(2) Nhân theo vế (1), (2) ta có P
9

dấu = xảy ra khi a = b = c
Vậy Min P = 9 khi a = b = c
Một số bài tập cùng dạng
a) Cho 3 số dơng thoả mãn: a + b + c = 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S =
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+ bcacab
b) Cho x là số dơng thoả mãn: 0 < x < 1. Tìm giá trị lớn nhất của : x(1- x)
c) Cho x > y > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P =
2
)1)((
4)1)((
+
++
yyx
yyxx
6) Các bài toán cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
Ví dụ 1: Cho các số x, y , z thoả mãn các điều kiện: x
2
+ y
2
= 1
z
2
+ t

2
= 1
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: M =xz +yt
Giải:
áp dụng bất đẳng thức Côsi - Bunhiacôpxki . Cho: a
1
= x ; b
1
= z ; a
2
= y ; b
2
= t
Ta có : ( xz + yt )
2


( x
2
+ y
2
) ( z
2
+ t
2
) = 1
1
2
M
11

M
suy ra Min M = -1 khi x = y =
2
1
, z = t = -
2
1
và Max M = 1 khi x = y = z = t =
2
1
Ví dụ 2: Cho các số x, y thoả mãn điều kiện: 2x
2
+3y
2

5

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức: M = 2x + 3y
Giải :
14
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho : a
1
=
2
x ; b
1
=
2

; a
2
=
3
y ; b
2
=
3
Ta có : ( a
1
b
1
+ a
2
b
2
)
2


( a
1
2
+ a
2
2
)( b
1
2
+b

2
2
) hay ( 2x +3y )
2

x2(
2
+3y
2
)( 2 + 3 )
Theo giả thiết 2x
2
+3y
2

5

nên ( 2x + 3y )
2
= M
2

25

Vậy -5
5

M
suy ra Min M = - 5 khi x = y = -1 Max M = 5 khi x = y = 1
Ví dụ 3 : Cho a, b ,c thoả mãn a + b + c = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của : M =
14 +a
+
14 +b
+
14 +c
Giải :
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Cho : a
1
= a
2
= a
3
= 1
b
1
=
14 +a
; b
2
=
14 +b
; b
3
=
14 +c
Ta có (a
1
b
1

+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
)
2


(a
1
2
+ a
2
2
+ a
3
2
) ( b
1
2
+ b
2
2
+ b
3
2

)
Hay M
2
3

(4a + 4b + 4c +3 ) = 21
Suy ra M
21
. Vậy max M =
21
khi a = b = c =
3
1
Một số bài tập cùng dạng
a) Cho a
2
+ b
2
= 1 Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của : a+ b
b) Cho x
2
+ y
2
= u
2
+ v
2
= 1
Đặt M = u( x - y ) + v( x + y ).
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của M.

c) Cho 3x + 5y = 7 .Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x
2
+ y
2
7) Cực trị có điều kiện:
Ví dụ 1 : Cho a , b, x, y là các số dơng; x , y thay đổi sao cho
x
a
+
y
b
= 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x + y
Giải :
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho a
1
=
x
a
; a
2
=
y
b
; b
1
=
x
; b
2

=
y
15
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Ta có ( a
2
1
+ a
2
2
)( b
1
2
+ b
2
2
)

( a
1
b
1
+ a
2
b
2
)
2
Hay (
x

a
+
y
b
)( x + y )

(
a
+
b
)
2
Nên x + y

(
a
+
b
)
2
Suy ra x + y đạt giá trị nhỏ nhất bằng (
a
+
b
)
2
Dấu = khi
x
a
=

y
b
=
yx
ba
+
+
=
ba +
1
Hay x = a +
ab
; y = b +
ab
Vậy Min P = x + y = (
a
+
b
)
2
Khi x = a +
ab
; y = b +
ab
Ví dụ 2: Cho x , y , z > 0 thoả mãn x + y + z = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P =
z
z
y
y

x
x +++ 1
.
1
.
1
Giải :
Từ giả thiết ta có 1 + x = x + x + y + z

4 .
4
yzx
2
Tơng tự : 1 + y

4 .
4
zxy
2
; 1 + z

4.
4
2
xyz
Nhân theo vế :(1 + x ) ( 1 + y ) ( 1 + z )
xyz64
Từ đó P =
xyz
zyx )1)(1)(1( +++

64
Dấu = xảy ra khi x = y = z =
3
1
Vậy Min P = 64
Ví dụ 3 : Cho x , y , z là 3 số dơng ; x + y + z = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của : M =
xyz
yx +
Giải :
Ta có 1 = (x + y ) + z
2
.
zyx )( +

1


zyx )(4 +

x + y

4.(x + y )
2
. z = 4(x
2
+ y
2
).z + 8xyz

xyz16
( vì x
2
+ y
2


2xy )



xyz
yx +

16

Dấu = khi x = y =
4
1
; z =
2
1
Vậy Min M = 16
Ví dụ 4: Cho a , b , c , d là 4 số dơng có tích abcd = 1
CMR : a
2
+ b
2
+ c
2

+ d
2
+ab + ac + ad + bc + bd + cd
.10

Giải:
16
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Theo bất đẳng thức Côsi cho 10 số dơng ta có:
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ab + ac + ad + bc + bd + cd
.10


10
5
)(abcd
= 10
Từ đó nếu đặt M = a
2
+b
2
+c

2
+d
2
+ab +ac +ad +bc +bd +cd
Thì Min M = 10 khi a = b = c = d = 1
Một số bài tập cùng dạng
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của : P = 6x + 4y biết x , y > 0 và x + y = 10
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = 3
x
+3
y
biết x + y = 2
c) Cho x > y và xy = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
yx
yx

+
22
d) Cho x +2y = 1 .Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức x
2
+2y
2
Dạng 2: Cực trị hình học
1)Dạng cực trị về tìm diện tích
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC . M là điểm thay đổi trên BC. Qua M kẻ ME song song
với AB , MF song song với AC.Tìm vị trí của M để diện tích AEMF đạt giá trị lớn
nhất. Giải:
Ta có
ABC
AEMF

S
S
=
ABC
AEF
S
S2
=2
AC
AE
AB
AF
.
. (1)
Vì
BC
MC
AB
AF
=
;
1=+=
AC
AE
AB
AF
BC
MB
AC
AE

Nên ta có
AC
AE
AB
AF
.



4
1

Dấu = xảy ra khi
2
1
==
AC
AE
AB
AF
Hay khi M là trung điểm của BC (2)
Từ (1) và (2)

S
AEMF



2
1

S
ABC
Dấu = xảy ra khi M là trung điểm của BC
Vậy Max S
AEMF
=
2
1
S
ABC
khi M là trung điểm của BC
Ví dụ 2:
17
F
E
A
B
C
M
E
F
A
B
C
M
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Cho tam giác ABC ( góc A = 90
o
).
M là một điểm di động trên cạnh huyền BC.

Hạ ME

AC , MF

AB.
Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AEMF đạt giá trị lớn nhất.
Giải :
Dễ thấy ME // AB ; MF // AC. Bài toán là trờng hợp riêng của bài toán 1
Suy ra diện tích tứ giác AEMF đạt giá trị lớn nhất khi M là trung điểm của BC
Vậy MaxS
AEMF
=
2
1
S
ABC
Ví dụ 3:
Cho hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC sao cho
M

AB ; N
AC

; P, Q
BC

.Tìm vị trí của M để S
MNPQ
đạt giá trị lớn nhất
Giải :

Kẻ đờng cao AH của tam giác ABC , AH cắt MN ở K
Theo bài toán 2 ta có : S
MQHK

ABH
S
2
1

(1)
Dấu = khi MA = MB
S
NPHK

S
2
1

AHC
(2). Dấu = khi NA = NC
Cộng theo vế của (1) và (2) ta có : S
MNPQ

2
1

S
ABC
Dấu = khi M là trung điểmcủa AB ( Khi đó N là trung điểm của AC )
Vậy Max S

MNPQ
=
2
1
S
ABC
Ví dụ 4: Cho điểm M thay đổi ở miền trong của góc xOy .Qua M hãy dựng một cát
tuyến cắt Ox ở A và Oy ở B, sao cho S
AOB
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải : Qua M kẻ ME // Oy ; MF // Ox, Ta có S
MEOF
cố định.
Theo kết quả bài toán 1 ta có:
18
K
H
P
Q
N
A
B
C
M
F
E
x
O
y
A

B
M
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
S
AOB


2S
MEOF
. Dấu = khi MA = MB
Vậy S
AOB
đạt giá trị nhỏ nhất khi cát tuyến AB
nhận M làm trung điểm.
Ta có cách dựng AB nh sau:
- Qua M kẻ ME // Oy ( E

Ox ). Lấy EA = EO ( A

Ox ).
- Dựng đờng thẳng AM cắt Oy ở B .Ta có cát tuyến cần tìm.
Một số bài tập cùng dạng
a) Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đờng chéo AC .Gọi E và F lần lợt là
hình chiếu của M lên AD và DC . Tìm vị trí của M để diện tích tam giác BEF là lớn
nhất ; nhỏ nhất.
b) Cho tứ giác ABCD, trên AB, BC, CD, DA lần lợt lấy các điểm K, L, M, N sao cho:
x
DA
DN
CD

CM
BC
BL
AB
AK
====
. Tìm x để diện tích tứ giác BKMN là nhỏ nhất.
2)Dạng bài toán tìm cực trị là đo độ dài đoạn thẳng hoặc tổng độ dài các
đoạn thẳng.
Ví dụ 1 : Cho hai điểm A, B nằm về cùng một phía của đờng thẳng d. Tìm trên d một
điểm C sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.
Giải : Đặt chu vi tam giác ABC là p, p = AC + BC + AB
Do AB cố định nên p đạt giá trị nhỏ nhất
khi BC + AC đạt giá trị nhỏ nhất.Gọi A
/
là điểm đối xứng
với A qua d, A
/
B cắt d ở C. Điểm C

là điểm cần tìm.
Thật vậy lấy C
/


d , C
/


C. Ta có AC

/
+BC
/
= BC
/
+A
/
C
/
> AC + BC = A
/
B (đpcm).
Ví dụ 2 :Cho điểm A bên trong góc nhọn xOy cho trớc. Dựng tam giác ABC có chu vi
nhỏ nhất sao cho 2 đỉnh B và C nằm trên hai cạnh của góc xOy
Giải:
Gọi A
1
, A
2
lần lợt là các điểm đối xứng của A
19
C
A'
A
B
C'
d
C
B
A

A
x
O
y
A
B'
C'
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
qua Ox và Oy. A
1
A
2
cắt Ox và Oy lần lợt ở B và C
Ta có chu vi ABC nhỏ nhất
Thật vậy giả sử B

Ox ; C

Oy ; B

B ; C

C
Ta có chu vi ABC = AB + BC + CA =
= A
1
B + BC + CA
2
> A
1

A
2
= AB + BC + AC
Hay chu vi ABC lớn hơn chu vi ABC. Vậy chu vi ABC nhỏ nhất.
Ví dụ 3:
Cho ABC , hãy xác định điểm M sao cho tổng các bán kính của các đờng tròn ngoại
tiếp các tam giác ABM và tam giác BCM là nhỏ nhất.
Giải:
Gọi các bán kính các đờng tròn ngoại tiếp ABM và ACM là R
1
Và R
2
Ta có R
1
+ R
2



22
ACAB
+
.
Dấu = khi AB và AC là đờng kính của các đờng tròn đã cho.
Khi đó M là hình chiếu của A trên BC.
Vậy R
1
+ R
2
nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên BC.

Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp ( 0). Điểm D thuộc cung BC không chứa A ;
Hạ DE

AB ; DF

AC. Tìm D để EF đạt giá trị lớn nhất.
Giải :
Dễ thấy tứ giác AEDF nội tiếp đợc trong đờng tròn đờng kính AD.
Do góc A < 90
o
không đổi
suy ra số đo cung nhỏ EDF có số đo không đổi.
Vậy EF lớn nhất khi AD lớn nhất
Suy ra AD là đờng kính của đờng tròn tâm O
20
M
A
B
C
F
E
O
C
A
B
D
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Ví dụ 5
Cho đờng tròn ( 0) đờng kính AB . Một điểm P chạy trên đờng tròn. Hạ PH

AB. Gọi
R
1
, R
2
, R
3
là bán kính của các đờng tròn nội tiếp các tam giác APB ,APH ,BPH
Xác định P trên đờng tròn để R
1
+ R
2
+ R
3
lớn nhất
Giải :
Vì R
1
là bán kính của đờng tròn nội tiếp APB vuông ở P nên
R
1
= (PA + PB - AB ) : 2 (Bán kính của đờng tròn
nội tiếp của tam giác vuông bằng tổng hai cạnh
góc vuông trừ cạnh huyền chia cho 2 )
Tơng tự : R
2
=
2
APHPAH +
R

3
=
2
PBHBPH +
Từ đó : R
1
+R
2
+R
3
=
2
PBHPPHAPHPAHABPBPA +++++
= PH
Vậy R
1
+R
2
+R
3
đạt giá trị lớn nhất khi PH lớn nhất, suy ra P là điểm chính giữa của
cung AB.
Ví dụ 6:
Cho tam giác đều ABC cạnh a nội tiếp đờng tròn tâm ( 0 ). Gọi M là điểm bất kì trên
cung nhỏ BC. Tìm giá trị lớn nhất của MA + MB + MC.
Giải:
Trớc hết ta chứng minh MA = MB + MC
Thật vậy lấy D

MA ; sao cho MD = MB

Ta có tam giác MBD đều.
Vì MB = MD và góc BMD = góc BMA = góc BCA =60
0
21
H
B
O
A
P
B
C
O
A
M
D
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
Suy ra góc ABD = góc CBM = 60
o
- góc DBC
Nên ABD = CBM
Vì BA = BC ; góc ABD = góc CBM ; BD = BM. Suy ra AD = MC.
Vậy MA = MD + AD = MB + MC ( đpcm).
Trở lại bài toán, từ kết quả trên ta có:
MA + MB + MC = 2MA đạt giá trị lớn nhất khi AM lớn nhất

AM là đờng kính của
đờng tròn

M là điểm chính giữa cung BC , Khi đó MA + MB + MC = 4R
Ví dụ 7:

Điểm M chuyển động trên đáy BC của tam giác ABC. Từ M kẻ ME, MF lần lợt song
song với AB , AC. Xác định vị trí của M để EF ngắn nhất.
Giải :
Gọi B là điểm đối xứng với B qua A. Gọi giao điểm của ME với CB là M
Ta có tứ giác AEMF là hình bình hành suy ra EM // = AF
Do đó AB = AB ; MM // BB suy ra EM = EM
Từ đó EM // = AF.
Suy ra tứ giác AFEM
/
là hình bình hành,
suy ra EF = AM
Để tìm giá trị nhỏ nhất của EF ta tìm giá trị nhỏ nhất của AM.
Khi M chuyển động trên BC thì M chuyển động trên CB cố định nên:
a) Nếu góc ABC và góc ACB là góc nhọn, suy ra M là hình chiếu của A lên CB
Suy ra M.
b)Nếu góc ABC

90
0

Để AM
/
nhỏ nhất thì M

B và M

B
22
A
M'

B'
F
E
B
C
M
A
B'
B
C
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
c) Nếu góc ACB

90
o
thì M

C và M

C
*Một số bài tập cùng dạng
+ Cho tam giác ABC đều nội tiếp đờng tròn (o). M là điểm bất kỳ trên cung
nhỏ BC . Từ M hạ ME , MF , MH vuông góc với các đờng thẳng AB, AC ,
BC .Tìm GTLN và GTNN của MA + MB + MC + ME + MF + MH.
+ Qua điểm M trong tam giác ABC kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AB ,
AC tại B
1
, B
2
. Đờng thẳng song song với AB cắt CA , CB tại A

1
, A
2
. Đờng
thẳng song song với AC cắt AB , BC tại C
1
, C
2
.
Tìm GTNN của A
1
A
2
+ B
1
B
2
+ C
1
C
2
.
3) Một số dạng toán cực trị khác:
Ví dụ 1 :Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác có các cạnh a, b, c thoả mãn :
0 < a

1

b

2

c

3.
Giải :
Ta gọi diện tích tam giác ABC là S .
Ta có : S
ab
2
1

(dấu = khi góc C = 90
0
). Suy ra S
12.1.
2
1
=
Dấu = khi tam giác ABC vuông ở C có a = 1, b = 2 .
Suy ra c =
5
thoả mãn : 2 < c < 3 . Vậy max S = 1.
Ví dụ 2 : Cho ( O; R ) , AC là đờng kính , BD là dây cung của ( O; R ) và BD vuông
góc với AC . Xác định vị trí của dây BD để diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.
Giải :
23
A
B
C

B'
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
O
A
C
B
D
AC

BD nên S
ABCD
=1/2.AC.BD = R.BD mà BD là dây cung của ( O; R ) Do đó
BD

2R . Vậy S
ABCD

2R
2
dấu = xảy ra

BD là đờng kính của ( O; R )
Ví dụ3: Cho tam giác ABC có AA
1
, BB
1
, CC
1
là các đờng phân giác.Gọi khoảng cách
từ A

1
đến AB là a
1
, khoảng cách từ B
1
đến BC là b
1
, khoảng cách từ C
1
đến CA là c
1
.
Tìm GTNN của : P =
1 1 1
a b c
a b c
h h h
+ +
.
Giải :
Từ A
1
kẻ A
1
E

AB ; A
1
F

AC. Dễ thấy A
1
E = A
1
F = a
1
.
2S
ABC

= 2S
)(2
11111
cbabacaCAASBAA +=+=+
.
Mặt khác 2S
a
ahABC =
. Suy ra a
1
(b + c ) = ah
a


cb
a
h
a
a
+

=
1
.
Tơng tự ta có :
ba
c
h
c
ca
b
h
b
cb
+
=
+
=
11
;
. Vậy : P =
1 1 1
a b c
a b c
h h h
+ +
=
ba
c
ac
b

cb
a
+
+
+
+
+
.
Suy ra P + 3 = ( 1 +
)1()1()
ba
c
ca
b
cb
a
+
++
+
++
+
=( a+ b + c )(
)
111
baaccb +
+
+
+
+
=

2
9
)
111
)](()()[(
2
1

+
+
+
+
+
+++++
cbcaba
cbcaba
Dấu = xảy ra khi a = b = c ,hay tam giác ABC đều . Suy ra P
2
3

. Vậy min P =
2
3
.
Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC và điểm 0 ở trong tam giác kẻ các đờng thẳng song song
với các cạnh, cách chúng một khoảng cách bằng khoảng cách từ 0 tới các cạnh đó.
Mỗi đờng thẳng ấy tạo với một cạnh của tam giác và phần kéo dài của hai cạnh kia
24
A
1

F
E
A
B
C
Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị
một hình thang. Xác định vị trí của 0 để tổng diện tích của ba hình thang là nhỏ nhất .
Giải :
Gọi khoảng cách từ O đến BC là x . h
a
Đờng thẳng // với BC cách BC
một khoảng là x cắt AB và AC tại B và C .
Gọi diện tích hình thang BCCB là S
1
.
Ta có

ABCđồng dạng

ABC.
2
1
)(
a
a
h
xh
S
SS
+

=
+


2
2
2
1
.21)1(1
a
aa
h
x
h
x
h
x
S
S
++=+=+
.
2
2
1
2
a
a
h
x
h

x
S
S
+=
(1)
Tơng tự :
b
h
y
S
S
2
2
=
+
2
2
b
h
y
(2)
2
2
3
.2
c
c
h
z
h

z
S
S
+=
(3)
trong đó y, z là khoảng cách từ O đến AC và AB . S
2
và S
3
là diện tích hai hình thang
còn lại .
Cộng theo vế (1) , (2) , (3) ta có:
])()()[()(2
222
321
cbacba
h
z
h
y
h
x
h
z
h
y
h
x
S
SSS

+++++=
++

3
7
3
1
23:)(2
2
=+=+++
cba
h
z
h
y
h
x
.
( Dễ thấy
)1=++
cba
h
z
h
y
h
x
.
Dấu = khi
3

1
===
cba
h
z
h
y
h
x
hay 0

G là trọng tâm tam giác ABC .
Vậy
1 2 3
s s s+ +
lớn nhất khi O là trọng tâm của tam giác ABC.
*Một số bài tập cùng dạng
a) Cho tam giác ABC nội tiếp ( 0, R ) lấy một điểm D trên cung BC không chứa điểm
A của đờng tròn đó .Hạ DH, DI, DK lần lợt vuông góc với BC, CA, AB .Tìm vị trí
điểm D để :
DK
AB
DI
AC
DH
BC
++
đạt giá trị nhỏ nhất .
b) Hai đờng tròn (0
1

) và (0
2
) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B .
25
S1
x
C
x
y
z
A
B'
C'
O
B