Tải bản đầy đủ (.pdf) (37 trang)

Sử dụng bất đẳng thức bunhia

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (703.58 KB, 37 trang )

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page1



I.Bất đẳng thức Bunhiacơpxki ( BCS ) :

Cho 2 bộ số thực
()
12
; ; ;
n
aa a và
()
12
; ; ;
n
bb b , mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có:

()
()
(
)
2
22 222 2
11 2 2 1 2 1 2

nn n n
ab a b a b a a a b b b+++ ≤+++ +++
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:



12
12

n
n
a
aa
bb b
===
với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0.

II. Các hệ quả :
Hệ quả 1:

Nếu
11

nn
ax ax C++ =(khơng đổi) thì
()
22
1
22
1
min

n
n
C

xx
aa
++ =
+
+

đạt được khi
1
1

n
n
x
x
aa
==


Hệ quả 2:

Nếu
222
1

n
x
xC++ = (khơng đổi) thì
()
22
11 1

max
nn n
ax ax C a a
+
+= ++
đạt được khi
1
1
0
n
n
x
x
aa
== ≥


()
22
11 1
min
nn n
ax ax C a a++ =− ++
Dấu “=” xảy ra
1
1
0
n
n
x

x
aa
⇔==≤


III.Bất đẳng thức Bunhiacơpxki mở rộng:



• Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacơpxki cho 3 dãy số thực khơng âm
()
12
; ; ;
n
aa a ;
()
12
; ; ;
n
bb b ;
()
12
; ; ;
n
cc c ta ln có :
()
()
(
)
(

)
2
33 333 333 3
111 222 1 2 1 2 1 2

nnn n n n
abc abc a bc a a a b b b c c c+++ ≤+++ +++ +++

Chứng minh:

Đặt
33 3 33 3 33 3
333
12 12 12
, ,
nn n
Aaa aBbb bCcc c= + ++ = + ++ = + ++
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page2

Nếu 0A = hoặc 0B = hoặc 0C = thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đó cả hai vế của bất đẳng thức
đều bằng 0.
Vậy ta chỉ xét trường hợp
0; 0; 0ABC>>>
Đặt
;;
iii
iii
abc

xyz
ABC
===
với 1;2;3i =
Khi đó ta có:
333
123
333
123
333
123
1
1
1
xxx
yyy
zzz

++=

++=


++=

và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
111 2 22 3 33
1xyz xyz xyz++≤
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số khơng âm:
(

)
333
;; 1;2;3
iii
xyzi=
ta có:
333
111
111
333
222
222
333
333
333
3
3
3
x
xx
xyz
x
xx
xyz
x
xx
xyz

++





+
+




++





Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được:
111 2 22 3 33
1xyz xyz xyz
+
+≤(đpcm)
Đẳng thức xảy ra
111
111
222
222
333
333
abc
ABC
xyz

abc
xyz
ABC
xyz
abc
ABC

==

==


⎪⎪
⇔==⇔ ==
⎨⎨
⎪⎪
==


==



Hay
()
:: :: 1;2;3
iii
abc ABCi==tức là:
111 2 2 2 3 33
:: :: ::abc abc abc

=
=
• Tổng qt : bất đẳng thức Bunhiacơpxki mở rộng cho rộng cho m dãy số thực khơng âm:

Cho
m dãy số thực khơng âm:
()
12
; ; ;
n
aa a ,
()
12
; ; ;
n
bb b , … ,
()
12
; ; ;
n
KK K
Ta có:
()
(
)
(
)( )
11 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

m

mm mmm m m m m
nn n n n n
ab K a b K a b K a a a b b b K K K+++ ≤++++++ +++

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
11 1 2 2 2
: : : : : : : : :
nn n
ab K ab K a b K==( chứng minh tương tự như trên)



I- MỘT SỐ VÍ DỤ :

Bài 1:
Cho ,,
x
yz là ba số dương thỏa 4 9 16 49xy z++ =. Chứng minh rằng:
12564
49T
xy z
=
++≥
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page3

Đẳng thức xảy ra khi nào?
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho sáu số 2;3;4

x
yzvà
158
;;
x
yz
ta được:
()
()()()
2
2
2
222
12584 1 5 8
49. 4 9 16 2 3 4Txyz x y z
xy z
xyz


⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
⎡⎤


=++ ++ = + + + +
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟

⎜⎟
⎢⎥
⎜⎟
⎣⎦


⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠



2
2
158
2. 3. 4. 49xyz
xyz
⎛⎞
≥++ =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

12564
49T
xy z
⇒=+ + ≥
Đẳng thức xảy ra khi
1

2
158
5
234
3
4 9 16 49
2
x
xyz
y
xy z
z

=



==
⎪⎪
⇔=
⎨⎨
⎪⎪
++ =

=






Bài 2 : Cho 0; 0xy>> và
22
x
yxy+≤+.Chứng minh:
325xy+≤+
Hướng dẫn giải
Giả thiết:
22
22
111
222
xyxy x y
⎛⎞⎛⎞
+≤+⇔− +− ≤
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số:
()
11
1; 3 ; ;
22
xy
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎝⎠
ta có:
2
22

11 11
1. 1 3. 10 5
22 22
yxy
⎡⎤
⎡⎤
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
−+−≤ −+−≤
⎢⎥
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦

()
2
32 5xy⇒+− ≤
32 5xy⇒+ −≤
325xy⇒+ ≤+
Đẳng thức xảy ra khi
15
210
135
210
x
y

=+





=+




Bài 3 :
Cho , , 0abc≥ ; 1abc++=.Chứng minh:
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page4

222
1111
30
ab bc ac
abc
+
++≥
++

Hướng dẫn giải
Gọi
222
1111
A
ab bc ac

abc
=+++
++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số:
(
)
222
222
1111
;;;
;3 ;3 ;3
ab bc ca
abc
abc ab bc ca
⎛⎞
⎜⎟
++
⎝⎠
++

Ta có:
()
()
2
222
1333 9 9 9a b c ab bc ca A+++ ≤ + + + + +

()( )
2

100 7abc abbcca A
⎡⎤
⇒≤+++ ++
⎣⎦
(*)

()
2
11
(do 1)
33
ab bc ca a b c a b c++≤ ++ = ++=
Do đó: (*)
30.A⇒≥
Đẳng thức xảy ra khi
1
3
abc===
Bài 4 : Cho ; ; 0xyz> và thoả 1
x
yz++≤.Chứng minh :
222
222
111
82xyz
xyz
++ ++ +≥

Hướng dẫn giải
Gọi

222
222
111
Sx y z
x
yz
=+++++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số:
()
1
1; 9 ; ;x
x
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Ta có:
22
22
911
181. 82.xxx
x
x
x
+≤ + + = +
(1)
Tương tự:
2
2

91
82.yy
y
y
+≤ +
` (2)

2
2
91
82.zz
z
z
+≤ +
(3)
Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được:
111
.82 9Sxyz
x
yz
⎛⎞
≥+++ + +
⎜⎟
⎝⎠

Hay
() ()
111
.82 81 9 80Sxyz xyz
xyz

⎛⎞
≥+++++−++
⎜⎟
⎝⎠

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page5


()
111
2.9.3. 80 162 80 82xyz
xyz
⎛⎞
≥++++−≥−=
⎜⎟
⎝⎠

Vậy
222
222
111
82xyz
xyz
++ ++ +≥


Bài 5 : Cho ba số thực dương ,,abcthoả ab bc ca abc
+

+= .Chứng minh rằng:
22 22 22
222
3
ba cb ac
ab bc ca
+++
++≥

Hướng dẫn giải
Ta có:
22 22
22 2 2
2211
2
ba ba
ab
ab a b
++
==+
(do ,abdương)
Đặt
111
;;xyz
abc
===
thì
giả thiết
,, 0 ;; 0
1

abc xyz
ab bc ca abc x y z
>>
⎧⎧

⎨⎨
++= ++=
⎩⎩

và (đpcm)
22 22 22
2223xy yz zx⇔+++++≥
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
()
(
)
()
2
22 222
323
x
yxyyxyy+=++≥++

()
22
1
22
3
x
yxy⇒+≥ +

Tương tự
()
22
1
22
3
y
zyz+≥ +

()
22
1
22
3
zx zx+≥ +
Vậy
()
22 22 22
1
2223333
3
xy yz zx xyz+++++≥ ++=
Đẳng thức xảy ra khi
1
3
xyz===
Với
1
3
xyz=== thì

3abc===


Bài 6 : Chứng minh:
()
111 1abccab−+ −+ −≤ + với mọi số thực dương
;; 1abc≥

Hướng dẫn giải
Đặt
222
1;1;1axbycz−= −= −=
Với ; ; 0.xyz> Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
()()()
222
1111xyz z x y


++≤ + + ++



Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page6

()() ()
(
)

22 22
11 11
x
yx y xyzx y z+≤++⇒++≤+++ (1)
()() ()()
22 22 2
11 111.1xy zxy z+++≤++++ (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có
()()()
222
1111xyz z x y


++≤ + + ++



Vậy
()
111 1abccab−+ −+ −≤ + (đpcm)

Bài 7 : Cho ; ; 0abc> và thoả
1abc =
.Chứng minh:

()()()
333
1113
2
abc bca cab

++≥
+++

Hướng dẫn giải
Đặt
111
;;xyz
abc
===
1; 0; 0; 0xyz x y z⇒=>>>
Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau : A=
222
3
2
xyz
yz zx xy
+
+≥
+++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số :
()
;; ; ; ;
xyz
yz zx xy
y
zzxxy
⎛⎞
+++
⎜⎟

⎜⎟
+++
⎝⎠

Ta có:
()( )
2
x
yz yzzxxyA++ ≤ +++++
3
33
.
22 2
xyz
Axyz
++
⇒≥ ≥ =(do 1xyz = )
3
2
A⇒≥
Đẳng thức xảy ra khi 1
x
yz===
Với 1
x
yz===thì 1.abc===


Bài 8 : Cho ; ; 0abc> .Chứng minh:
()() ()() ()()

1
abc
a abac b bcba c cacb
++≤
++ + ++ + ++ +

Hướng dẫn giải

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số:
(
)
(
)
;;;ab ca
Ta có:
()
()() ()()
2
ac ab a b c a ac ab a b c a+≤++⇒+≤++
()()
aacaba abca⇒+ + ≤+ + +
()()
aaa
aacab abc
aabac
⇒≤=
++ ++
++ +
(1)
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn


Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page7

Tương tự:
()()
bb
abc
bbcba

++
++ +
(2)

()()
cc
abc
ccacb

++
++ +
(3)
Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được:
()() ()() ()()
1
abc
a abac b bcba c cacb
++≤
++ + ++ + ++ +

Đẳng thức xảy ra khi

abc==.

Bài 9 : Cho ; 0ab> và thoả
22
9ab+=.Chứng minh :
32 3
32
ab
ab


++

Hướng dẫn giải
Ta có:
22
9ab+=

()
()()
2
29
233
ab a b
ab a b a b
⇔=+−
⇔=++ +−

2
3

3
3
322
ab
ab
ab
ab a b
ab
⇔=+−
++
+
⇔=−
++

Mà theo BĐT Bunhiacơpxki thì
22
2. 3 2ab a b+≤ + =
Nên
32 3
32
ab
ab


++

Đẳng thức xảy ra khi
22
;0
3

9
2
ab
ab ab
ab
>



+=⇔==



=


Bài 10: Cho ; ; ;abcddương tuỳ ý.Chứng minh :
111
p
qpqpq
a b c pa qb pb qc pc qa
+
++
++≥ + +
+++

Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có
() ()
2

2

pq pq
p
qpaqb paqb
ab ab
⎛⎞
⎛⎞
+= + ≤+ +
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠

Tương tự ta chứng minh được
() ()() ()
22
;
pq pq
p
qpbqcpqpcqa
bc ca
⎛⎞ ⎛⎞
+≤+ + +≤+ +
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức ta có :
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn


Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page8

() ()
2
111 111
pq pq
p
aqb pbqc pcqa abc
⎡⎤
⎛⎞
+++≤+++
⎜⎟
⎢⎥
+++
⎝⎠
⎣⎦

Hay
()
111111
pq
p
aqb pbqc pcqa abc
⎡⎤
+++≤++
⎢⎥
+++
⎣⎦


Vậy
111
p
qpqpq
a b c pa qb pb qc pc qa
+
++
++≥ + +
+++


Bài 11 : Cho 4 số dương ;;;abcd.Chứng minh:
33332222
3
a b c d abcd
bcd cda bd a abc
+++
+++≥
++ ++ + + ++

Hướng dẫn giải
Đặt
3333
abcd
P
bcd cd a bda abc
=+++
++ ++ ++ ++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số:

()()()()
()
3333
;;;; ;;;
abcd
ab c d bc d a cd b a d a b c
bcd cd a bd a abc
⎛⎞
++ ++ ++ ++
⎜⎟
⎜⎟
++ ++ ++ ++
⎝⎠

Ta có:
()
()()()()
2
222 2
a b c d Pabcd bcda cd ab dabc+++ ≤ +++ +++ +++ ++⎡⎤
⎣⎦


()
()
(
)
2
2
222 2 222 2

abcd Pabcd abcd
⎡⎤
⇔ +++ ≤ +++ − +++
⎣⎦
(1)
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki cho 2 bộ số:
()
(
)
; ; ; ; 1; 1;1;1abcd ta được:
()
()
2
222 2
4abcd abcd+++ ≤ + + + (2)
Từ (1) và (2) ta được
()
(
)
2
222 2 222 2
222 2
3
3
abcd Pabcd
abcd P
+++ ≤ +++
⇔+++≤

Vậy

33332222
3
a b c d abcd
bcd cda bda abc
+++
+++≥
++ ++ ++ ++


Bài 12 :
Cho các số dương ;;abc thỏa a + b + c = 1 . Chứng minh : 1
111
abc
ba cb ac
+
+≥
+− +− +−

Hướng dẫn giải
Đặt
111 222
abc abc
A
ba cb ac bc ca ab
=++ =++
+− +− +− + + +

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
() () () ()
()()()

2
2
222
222
222
222
abc
abc a bc b ca c ab
bc ca ab
abc
abc bca cab
bc ca ab
⎡⎤
++ = + + + + +
⎢⎥
++ +
⎣⎦
⎡⎤
≤++ +++++
⎡⎤
⎣⎦
⎢⎥
+++
⎣⎦

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page9

()

()
2
3
abc
A
ab bc ca
++
⇔≥
++

Ta lại có:
()( )
2
3abc abbcca++ ≥ + +
. Suy ra
(
)
()
3
1
3
ab bc ca
A
ab bc ca
++
≥=
++

Vậy
1

111
abc
ba cb ac
++≥
+− +− +−

Dấu đẳng thức xảy ra khi
222
1
3
1
bc ca ab
abc abc
abc
+= += +


== ⇔===


++=


Bài 13 : Giả sử các số thực ;;;
x
yztthoả mãn điều kiện:
(
)
(
)

22 22
1ax y bz t
+
++= với ;ablà hai số dương cho
trước. Chứng minh:
()()
ab
xzyt
ab
+
++≤
Hướng dẫn giải
Do ; 0ab> nên từ giả thiết ta có:
()()
2222
22 22
22 22
1
1
1

xy zt
ax y bz t
baab
xzyt
babaab
++
++ +=⇔ + =
⇔+++=


Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
() ()
2
22
2

x
zxz
xz b a ba
ba
ba
⎛⎞
⎛⎞
+= + ≤+ +
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
(1)
Tương tự :
()()
22
2
y
t
yt ba
ba
⎛⎞
+≤+ +
⎜⎟

⎝⎠
(2)
Cộng từng vế (1) và (2) ta được:

()()()
22 22
22
x
zyt ab
xz yt ba
baba ab
⎛⎞
+
+++≤+ +++ =
⎜⎟
⎝⎠
(3)
Mặt khác
()()()()
22
2
x
zyt xzyt+++≥ + + (4)
Do đó từ (3) và (4) suy ra:
()()
ab
xzyt
ab
+
++≤


Dấu đẳng thức xảy ra
xz
ba
xy
yt
ax
ba
zt
b
xz yt

=

=


⎪⎪
⇔= ⇔
⎨⎨
==
⎪⎪

+=+





Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn


Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page10

Bài 14 : Cho các số thực dương ;;;
x
yztthoả mãn 1.xyzt
=
Chứng minh:
()()()()
3333
11114
3
x yz zt ty y xz zt tx z xt ty yx t xy yz zx
+++ ≥
++ ++ ++ + +

Hướng dẫn giải
Với
;;;
x
yzt
dặt
1111
; ; ; ( ; ; ; 0)abcd abcd
xyzt
==== >và
1abcd
=

1111

;;;xyzt
abcd
⇒= = = =

Bất đẳng thức cần chứng minh tương với:
333 3
11114
11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1
3
bc cd bd ac cd ad ad bd ab ab bc ac
abc d
+++≥
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
++ ++ ++ ++
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠

3333
4
3
abcd
bcd cda dab abc
bcd adc abd abc
⇔+++≥
++ + + ++ ++

()()()()
333 3
4
3

abcd
abcd bcda cd ab dabc
⇔+++≥
++ + + ++ ++
(vì
1abcd =
)
2222
4
3
abcd
bcd cd a d ab abc
⇔+++≥
++ + + ++ ++

Đặt
2222
abcd
S
bcd cd a d ab abc
=+++
++ + + ++ ++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:

()()()()( )
2
.S bcd cda dab abc abcd++ + + + + ++ + ++ ≥ +++
⎡⎤
⎣⎦


()
()
()
2
1
33
abcd
Sabcd
abcd
+++
⇒≥ = +++
+++
(1)
Áp dụng BĐT Cauchy với 2 số dương:
2 ; 2ab ab cd cd+≥ +≥
Suy ra
()
2abcd ab cd+++ ≥ +
Lại áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương
;ab cd ta có:
4
222ab cd abcd abcd+≥ = =
(vì
1abcd
=
) (2)
Từ (1) và (2) suy ra
4
3

S ≥
Vậy
333 3
11114
11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1
3
bc cd bd ac cd ad ad bd ab ab bc ac
abc d
+++≥
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞
++ ++ ++ ++
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠

Dấu đẳng thức xảy ra khi
11abcd x yzt====⇔==== .

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page11

4444
1234
3333
1234
1
4
xxxx
xxxx
+++


+++
Bài 15 : Cho
1234
;;;
x
xxxdương thoả điều kiện
1234
1xx xx
+
++=.Chứng minh :




Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
()
(
)
2
2222
1234 1 2 3 4
14
x
xxx xxxx= +++ ≤ +++
2222
1234
1
4

xxxx⇒+++≥
(1)

()
(
)
2
2222 3 3 3 3
1234 11 22 33 44

x
xxx xxxxxxxx+++ = + + +

()
()
3333
12341 234
x
xxxxxxx≤+++ +++

3333
1234
x
xxx=+++
(vì
1234
1xxxx+++=)

3333
2222

1234
1234
2222
1234
xxxx
x
xxx
xxxx
+++
⇔ ≥+++
+++
(2)

()
2
3333
1234
x
xxx+++

()
2222
11 2 2 33 4 4

x
xxxxxxx=+++

()()
22224444
12341234

x
xxxxxxx≤ +++ +++

4444 3333
1234 1234
3333 2222
1234 1234
x
xxx xxxx
x
xxx xxxx
+++ +++
⇒≥
+++ +++
(3)
Từ (1);(2) và (3) suy ra:




Bài 16 : Cho bốn số dương ; ; ;abcd.Chứng minh:
()
()
()
()
()
()
()
()
444 4

22 22 2 2 22
4
abc dabcd
aba b bcb c cdc d dad a
+++
++ + ≥
++ ++ ++ ++

Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
()
()()
()
(
)
(
)
22
22 22 22 22
224ab ab abab ab ab+≤ +⇔+ +≤ +≤ + (1)

()
()
()
44
22
1
4
ab
ab

aba b
+
⇔≥+
++

Mặt khác:
()
()
44
22
ab
ab
aba b

=−
++

Đặt
()
()
()
()
()
()
()
()
444 4
22 22 2 2 22
abc d
N

abab bcbc cdcd dad a
=+++
++ ++ ++ ++

4444
1234
3333
1234
1
4
xxxx
xxxx
+++

+++
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page12

Ta có:
()()
()
()
()()
()
()
(
)
(
)

()
()
(
)( )
()
()
44 44 44 44 4 4 4 4 44 44
22 22 2 2 22
2
ab ab bc bc cd cd d a da
N
aba b bcb c cdc d dad a
−++ −++ −++ −++
=+++
++ ++ ++ ++
(1)
() () () ()
1111
2
4444
Nababbcbccdcddada⇔≥ ++−+ ++−+++−+ ++−

()()
11
2
44
N abbccdda N abcd⇔ ≥ +++++++ ⇔ ≥ +++ ( đpcm )


Bài 17 : Cho ; ;abclà các số thực dương.Chứng minh:

222
1
888
abc
abcbaccab
+
+≥
+++

(Trích đề thi Olympic Tốn Quốc Tế lần thứ 42, năm 2001)
Hướng dẫn giải
Đặt
222
888
abc
A
abcbaccab
=++
+++

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki hai lần ta được:
()
2
2
222
444
222
444
222
222

333
8 8 8
888
. 8 8 8
888
. . 8 . 8 . 8
abc
abc aa bc bb ac cc ab
abc bac cab
abc
a a bc b b ac c c ab
abcbaccab
A a a abc b b abc c c abc
⎡⎤
++ = + + + + +
⎢⎥
+++
⎣⎦
⎡⎤


≤++ +++++
⎢⎥


+++
⎣⎦
⎡⎤
=+++++
⎣⎦



()
()
333
.24A abca b c abc≤+++++ (1)
Mặt khác
() ()()()
3
333
3abc a b c abbcac++ = + + + + + +
Áp dụng BĐT Cauchy với hai số dương ta có:
2 ; 2 ; 2a b ab b c bc a c ac+≥ +≥ +≥
Suy ra:
()()()
8a b b c a c abc+++≥

() ()()()
3
333 333
324abc a b c abbcac a b c abc⇒++ =+++ + + +≥+++ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
()()()()
232
abc A abcabc Aabc++ ≤ ++ ++ = ++
Do đó
1
A

, nghĩa là

222
1
888
abc
abcbaccab
++≥
+++

Dấu đẳng thức xảy ra khi
abc==.

Bài 18 : Cho ; ;xyz
+
∈  thoả 1xy yz zt tx+ ++=.Chứng minh:
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page13

3333
1
3
xyz t
yztxztxytxyz
+++ ≥
++ ++ ++ ++

Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
()
()

(
)
2
22222222
x
yyzzttx x y z t y z t x+++ ≤ +++ +++
2222
1
x
yzt⇔≤ + + + (1)
Đặt: ; ; ;
X
y z tY x z tZ x y tT x y z=++ =++ =++ =++
Khơng mất tính tổng qt giả sử:
x
yzt≥≥≥
2222
x
yzt⇒≥≥≥và
3333
x
yzt≥≥≥

y
zt xzt x yt x yz X Y Z T++≤++≤++≤++⇔ ≤ ≤ ≤
1111
X
YZT
⇒≥≥≥
Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy số sau:

3333
1111
x
yzt
X
YZT

≥≥≥


≥≥≥




()
3333
3333
11111
4
xyzt
x
yzt
XY ZT XYZT
⎛⎞
+++≥ +++ +++
⎜⎟
⎝⎠
(2)
Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy

2222
xyzt
x
yzt
≥≥≥


≥≥≥



()
()
()
3333 2222
1
4
x
yzt xyztxyzt+++ ≥ +++ +++
Mặt khác:
()()
11
33
x
yzt xyzxytxztyzt XYZT+++= +++++++++++ = +++

()()
()
3333 2222
11

.
43
x
yzt xyzt XYZT⇒+++≥ +++ +++ (3)
Từ (2) và (3) rút ra:
()
()
3333
2222
1 1111
48
xyzt
xyztXYZT
X
YZT XYZT
⎛⎞
+++≥ +++ +++ +++
⎜⎟
⎝⎠

Theo (1) ta lại có:
2222
1
x
yzt≤+++
Áp dụng BĐT Cauchy cho
;;; 0XYZT> ta có:
()
4
4

4
1111 1
4

1111
.16
XYZT XYZT
XYZT XYZT
XYZT
XYZT
+++≥
+++≥
⎛⎞
⇒+++ +++≥
⎜⎟
⎝⎠

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page14

Vậy
3333
11
.1.16
48 3
xyzt
XY ZT
+++≥ =
Thay

;;;
X
YZTta được kết quả:
3333
1
3
xyz t
yztxztxytxyz
+++ ≥
++ ++ ++ ++

Dấu đẳng thức xảy ra khi
1
2
xyzt====

Bài 19 : Cho n là số tự nhiên.Chứng minh rằng:
(
)
12
2 1
nn
nn n
CC C n+++≤ −
Hướng dẫn giải
Chọn hai dãy
(
)
()
12

12 12
; ; ; ; 1
n
nnnn n
aCaCaCbb b== = ====
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
(
)
()
()
2
12 12
1 1 1
nn
nn n nn n
CC C CC C+++ ≤+++ +++ (1)
Theo nhị thức Newton ta có:
()
1
n
n
kknk
n
k
ab Cab

=
+=



Cho
1ab==.Ta có:
01 1
2 2 1
nnnn
nn n n n
CC C C C=+++⇒−=++
Vậy từ (1) ta có:
(
)
12
2 1
nn
nn n
CC C n+++≤ −
Dấu đẳng thức xảy ra khi
12
1
n
nn n
CC Cn===⇔=
.

Bài 20 : Cho ; ; ; 0abcd> .Chứng minh :
2
23 2 3 23 23 3
abcd
bcdcdad ababc
+
++≥

++ + + ++ ++

(Trích đề dự bị Quốc Tế Tốn Mỹ năm 1993)
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
2
11 1
nn n
i
ii i
ii i
i
x
x
yx
y
== =
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞

⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
∑∑ ∑

với
()()( )
(
)

1234 1234
4; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 3 ; 2 3 ; 2 3 ; 2 3n x x x x abcd y y y y b c dc d ad a ba b c== =++++++++

⇒VT
()
()
2
4
abcd
ab ac ad bc bd cd
+++

++ +++
(1)
Mặt khác
()()
2
3
8
ab ac ad bc bd cd a b c d++ +++ ≤ +++ (2)
Từ (1) và (2) ⇒VT
2
3
≥ ( đpcm )

Bài 21 : Cho 0; 0; 0abc>>>.Chứng minh :
444333
2
a b c abc
bc ca ab

+
+
++≥
++ +

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page15

Hướng dẫn giải
Đặt
444
222
123
;;
abc
xxx
bc ca ab
===
++ +

() () ()
2
22 22 2
123
;;abc ybca ycab y
+
=+=+=
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có cho các số
123

;;
x
xxvà
123
;;
y
yyta được:
()()()
()
444
2
2
2
22 333
abc
abc bca cab a b c
bc ca ab
⎛⎞
⎡⎤
++ +++++≥++
⎜⎟
⎣⎦
++ +
⎝⎠

Nên
()
()()()
2
333

444
2
22
abc
abc
bc ca ab
abc bca cab
++
++≥
++ +
++ ++ +

Để chứng minh được bài tốn ta cần chứng minh:
()
()()()
2
333 2 2
2 abc abcbcacab++ ≥ ++ ++ + (**)
(**)
332 2 332 2332 2
0ababbabcbcbccacaca⇔+−−++−−++−−≥

()()()()()()
222
0ab ab bc bc ca ca⇔− ++− ++− +≥
(***)
Bất đẳng thức (***) là đúng ⇔ (**) là đúng – Bài tốn đúng.
Vậy
444333
2

abcabc
bc ca ab
++
++≥
++ +


Bài 22 : Cho 0; 1;2; ;
i
x
in>= có
12
1
n
xx x+++=.Cho
12
; ; ;
n
ii i
x
xxlà hốn vị của
12
; ; ;
n
x
xx.Chứng minh:
(
)
2
2

2
1
1
1
k
n
k
k
i
n
x
xn
=
⎛⎞
+
+≥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠


Hướng dẫn giải
Theo Bunhiacơpxki:
2
22
11 11
11 1
.
kk k
nn nn

kkk
kk kk
ii i
nx x x
xx x
== ==
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
+≥ + = +
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦
∑∑ ∑∑


1
1
n
k
k
x
=
=


2
22

11 1
1
11
k
kk
k
nn n
i
n
kk k
ii
i
k
n
x
nn
xx
x
== =
=
⎛⎞
⎛⎞
≥⇒ ≥ =
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∑∑ ∑



Vậy
(
)
2
2
2
1
1
1
k
n
k
k
i
n
x
xn
=
⎛⎞
+
+≥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠






BÀI TẬP :


Bài 1:
Cho
;;; 0abcd>
và thỏa
()
3
22 22
cd ab+= + .Chứng minh:
33
1
ab
cd
+

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page16

Bài 2: Cho ;;; 0abcd> .Chứng minh:
11416 64
abc d abcd
+++ ≥
+
++

Bài 3: Cho ;;abclà 3 số dương và
222

1abc++≥.Chứng minh:
333
1
2
abc
bc ca ab
+
+≥
++ +

Bài 4: Cho
222
1abc++=
.Chứng minh: 13abcabacbc+++ + + ≤+
Bài 5: Cho ;;abclà các số dương.Chứng minh:
444222
222222
3
abcabc
abab bbcc caca
++
++≥
+
+++++

Bài 6: Cho 3 số ;;
x
yzthoả
()()()
4

111
3
xx yy zz−+ −+ −≤.Chứng minh: 4xyz
+
+≤
Bài 6: Cho ; ;abclà 3 số khơng âm.Chứng minh:
222
333
ab bc ca
abc
+++
++≥++

Bài 7: Cho 3 số dương ; ;abccó
1abc =
.Chứng minh:
22 22 22
3
2
bc ca ab
ab ac bc ba ca cb
+
+≥
+
++

Bài 8: Cho 3 số dương ;;
x
yzcó 1
x

yz++=.Chứng minh:
1
11933
2
y
xz
yz zx xy
+
+++
++≥
+++

Bài 9: Chứng minh:
()
2
abc
abc
xyz xyz
++
++≥
++

Bài 10: Cho 0xyz≥≥>.Chứng minh:
()
222
2
222
xy yz zx
x
yz

zxy
++≥++

Bài 11: Cho 1; 1ab≥≥.Chứng minh:
22 2
log log 2 log
2
ab
ab
+
⎛⎞
+≤
⎜⎟
⎝⎠

Bài 12: Cho ; ; 0abc> .Chứng minh:
()
()
2
333
111
abc abc
abc
⎛⎞
++ ++ ≥++
⎜⎟
⎝⎠

Bài 13: Cho ; ;abc∈  .Chứng minh:
() () ()

222
222
32
111
2
abbcca+− + +− + +− ≥
Bài 14: Cho ;; 0xyz> và
3
2
xyz++≤.Chứng minh:
222
222
1113
17
2
xyz
xyz
++ ++ +≥
Bài 15: Cho trước 2 số dương ;abvà 2 số dương ;cdthay đổi sao cho abcd
+
<+.Chứng minh:

()
2
22
ac
ca
cd abcd ab

+≥

++−−+
. Dấu “=” xảy ra khi nào?
Bài 16: Cho
12
; ; ;
n
aa alà các số thực thoả mãn
22 2
12
3
n
aa a
+
++ =.Chứng minh:
12
2
23 1
n
a
aa
n
+++ <
+

Bài 17: Cho ; ; ; ; 0abc pq> .Chứng minh:
3abc
p
bqc pcqa paqb pq
++≥
+

+++

Bài 18: Chứng minh rằng với mọi
()
1;2; ;
i
ai n∈= ta có:
() () ()
22 2
22 2
1223 1
1 1 1
2
n
n
aaaa aa+− ++−+++−≥
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page17







Bài 1: Cho
A
BCΔ
thoả mãn hệ thức:

333 2
2( )
9
a b c abc
br cR cr aR ar bR R
++
++=
++ +
(1).CM
A
BCΔ
đều
Hướng dẫn giải
Để đơn giản ta đặt:
0
0
0
xbrcR
ycraR
zarbR
=+ >
=+ >
=+ >
(2)
vậy (1)
333 2
2( )
9
abc abc
xyz R

++
⇔++=

Từ (2) ta có:
()()ax by cz ab bc ca r R++= ++ +(3)
333
444 2 2 2 2 2 2
()( ) ()()()
abc y x z y x z
ax by cz a b c ab a b bc b c ca c a
x
yz x y y z z x
++ ++ =+++ + + + + +

Theo BĐTCauchy,ta có:
333
444 2222
( )( ) 2 . .2 .2 ( )
abc
ax by cz a b c ab ab bc bc ca ca a b c
xyz
++ ++ ≥+++ + + ≥ ++

Suy ra :
()
333 222
()
()
()
abc abc

x
y z ab bc ca r R
++
++ ≥
++ +
(theo 3) (4)
mặt khác ta ln có (Cauchy):
222
a b c ab bc ca++≥ ++

nên (4):
333 2222 222
222
()
()()
a b c abc abc
x y z a b c rR rR
++ ++
++≥ =
++ + +


2
()
3( )
abc
rR
++

+

(theo BĐT BCS)

9
23( )3( )
22
R
R
Rr rR R≥⇒ +≤ +=
từ đó:
333 2
2( )
9
abc abc
xyz R
++
++≥

333 2
2( )
9
a b c abc
br cR cr aR ar bR R
++
⇒++≥
++ +

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page18


dấu “=” xảy ra khi
222222
,,
abc
Rr
y
yz yx z
abbcca
x
zy zy x


==


=



===




A
BC
Δ
đều

Bài 2 : CM: 1 cos cos cos 3sin sin sinABC ABC+≥ với A, B,C nhọn

Hướng dẫn giải
Do tgA>0,tagB>0,tgC>0 và 1
22 22 22
AB BC C A
tg tg tg tg tg tg++=
Áp dụng BCS ta có:
22 22 22
1
22 22 223
AB BC C A
tg tg tg tg tg tg++≥
(1)
Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có:
222
3
3
22 22 22 2 2 2
AB BC C A A B C
tg tg tg tg tg tg tg tg tg++≥
(2)
1
3
2223
ABC
tg tg tg⇔≤

từ (1)và(2):
22 22 22
4
143

22 22 223 222
AB BC C A ABC
tg tg tg tg tg tg tg tg tg+++≥≥
222 222
111 111 83
222 222 222
ABC ABC ABC
tg tg tg tg tg tg tg tg tg
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⇔+ + + +− − − ≥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠

222
222 222
111 222
222 222
1 3
111 111
222 222
ABC ABC
tg tg tg tg tg tg
ABC ABC
tg tg tg tg tg tg
−−−
⇔+ ≥
+++ +++

1 cos cos cos 3sin sin sinABC ABC⇔+ ≥
Dấu “=” xảy ra khi

A
BCΔ
đều

Bài 3 : Cho a, b, c, là số đo 3 cạnh Δ.chứng minh rằng
acb
a
T
−+
=
22
+
1
2222

−+
+
−+ cba
c
bac
b

Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho 6 số:
()()()
cbacbacbacba
cba
c
bac
b

acb
a
−+−+−+
−+−+−+
22;22;22;
22
;
22
;
22

Ta có:
()()()
[]
(
)
2
222222. cbacbacbacbacbaT ++≥−++−++−+
Sau đó dùng biến đổi tương đương chứng minh:
(a + b+ c)
2
≥ 4ab +4bc +4ca –a
2
–b
2
- c
2

Từ đó suy ra đpcm.


Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page19

Bài 4 : Cho ABCΔ và đường tròn nội tiếp Δ , các tiếp tuyến của đường tròn song song với 3 cạnh của
Δ
nhỏ

có diện tích S
1
; S
2
; S
3
. Gọi S là diện tích
ABC
Δ
. Chứng minh:
3
321
S
SSS ≥++

Hướng dẫn giải
Giả sử S
1
= S
AMN
Ta có: AMNΔ đồng dạng ABCΔ với tỉ số đồng dạng là:
ha

rha 2

với r là bán kính đường tròn nội tiếp và h
a

đường cao kẻ từ đỉnh A.
Ta có:
2
2
1
1
2








−=







=
p

a
ha
rha
S
S

(Vì S =
p
a
ha
r
praha =⇒=
2
2
1
với p là nửa chu vi)
Vậy:
p
a
S
S
−=1
1

Tương tự:
p
b
S
S
−=1

2
;
p
c
S
S
−=1
3

Do đó:
13
321
=
++
−=
++
p
cba
S
SSS

Áp dụng BĐT Bun ta có:
S =
()
()
()
321
222
2
321

111.1.1.1 SSSSSS ++++≤++

123
3
S
SSS++≥ (đpcm). Dấu “=” xảy ra khi
ABC
Δ
đều

Bài 5 : Cho ABCΔ và 1 điểm Q nào đó ở trong
Δ
. Qua Q kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở M và cắt
BC ở N. Qua điểm Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở F; cắt BC ở E. Qua E kẻ đường thẳng song
song với BC cắt AC ở P, cắt AB ở R. Kí hiệu S
1
= dt(QMP); S
2
= dt(QEN); S
3
= dt(QFR) và S =
dt(ABC).Chứng minh:
a)
()
2
123
SSSS=++ b)
123
1
3

SSS S++≥

Hướng dẫn giải
a) Ta có: QMPΔ đồng dạng
B
ACΔ (tỉ số
M
P
AC
).
Suy ra
2
1
1
S
S
M
PMP
SAC AC
S
⎛⎞
=⇒=
⎜⎟
⎝⎠
.
Tương tự
3
2
;
S

S
PC AM
AC AC
SS
==
Do đó:
123
1
SSS
MP PC AM AC
AC AC
S
++
++
===
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page20

Suy ra:
()
2
123 123
SSSSSSSS=++⇒= ++
b) Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki ta có:
()
()
()
2
222

123 123
123
1. 1. 1. 1 1 1
1
Suy ra
3
SSSS SSS
SSS S
=++ ≤++++
++≥

Dấu “=” xảy ra khi
123
SSS== ⇔ Q là trọng tâm ABC
Δ


Bài 6 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác.Chứng minh:
abc
abc
bca cab abc
++≥++
+− +− +−

Hướng dẫn giải
Đặt
0
0
0
bca x

cab y
abc z
+−= >


+−= >


+−=>


Khi đó ta cần chứng minh:
() () ()
()
222
222
2 (1)
yz zx xy yz zx xy
xyz
yz y z zx z x xy x y xyz x y y z x z
+++ + + +
++≥ + +
⇔+++++≥ +++++

Dễ thấy
()
(1) 2VT xy yz zx≥++ (2)
Theo BĐT Bunhiacơpxki ta có:
()
()

()
()
2
6
6
(2) 2 3 (3)
xy yz zx xyz
xy yz zx xyz
VT xyz x y z
++ ++ + ≤ ++
⇒+++++≤ ++
≤++

Rõ ràng ta có
()
()()
()
22 22 22
2
3
3 (4)
xy xy xy xyz x y z
xy yz zx xyz x y z
xy yz zx xyz x y z
++≥ ++
⇒++ ≥ ++
⇒++≥ ++

Từ (1) (2) (3) (4)⇒đpcm. Dấu “=” xảy ra khi
abc

=
=


Bài 7 : Cho ∆ABC. Chứng minh : a
2
b(a – b) +b
2
c(b – a) + c
2
a(c – a) ≥ 0
( Trích đề thi vơ địch tốn quốc tế 1983 )
Hướng dẫn giải
Gọi A’; B’; C’ là các tiếp điểm:
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page21

Đặt:
''
''
''
AB AC x a y z
B
ABCY bzx
CA CB Z c x y
== =+
⎧⎧
⎪⎪
===>=+

⎨⎨
⎪⎪
== =+
⎩⎩

vậy: a
2
b(a – b) + b
2
c(b – c) + c
2
a(c – a) ≥0
<=> (y + z )
2
(z + x) (y – x) + (z + x)
2
(x + y) (x – y) + (x + y)
2
(y + z) (x - z) ≥ 0
< => y
3
z + z
3
x + x
3
y – xyz(x+y+z) ≥0
<=> y
3
z + z
3

x + x
3
y ≥ xyz (x+y+z)
222
(*)
yzx
x
yz
xyz
⇔++≥++
Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki(biến dạng) ta có:
()
2
222
xyz
xyz
x
yz
zxy xyz
++
++≥ =++
++

vậy (*) đúng ( đpcm ) .
Bài 8 : Với a; b; c là độ dài 3 cạnh của ∆. CMR :
4916
26
ab
bca acb abc
+

+≥
+− +− +−

Hướng dẫn giải
Đặt:
4916ab c
P
bca acb abc
=++
+− +− +−

Ta có:
22 2
24. 9 16
ab c
P
bca acb abc
=++
+− +− +−

4. 1 9 1 16 1
abc abc abc
bca acb abc
++ ++ ++
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
=−+−+−
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
++ +− +−
⎝⎠⎝⎠⎝⎠


()
4916
29abc
bca acb abc
⎛⎞
=++ + + −
⎜⎟
+− +− +−
⎝⎠

()()()
4916
29bca acb abc
bca acb abc
⎡⎤
=+−++−++− + + −⎡⎤
⎣⎦
⎢⎥
+− +− +−
⎣⎦

Áp dụng BĐT Bunhiacơpxki, ta có:
()
2
2
234
81 2 3 4 . .bca acb abc
bca acb abc
⎡⎤
=++ = +−+ +−+ +−

⎢⎥
+− +− +−
⎣⎦

()()()
4916
bca acb abc
bca acb abc
⎡⎤
≤+−++−++− + +⎡⎤
⎣⎦
⎢⎥
+− +− +−
⎣⎦

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page22

=> 2P ≥ 81 - 29
=> 2P ≥ 52 => P ≥ 26
Chọn a = 7; b = 6; c = 5 thì dấu đẳng thức xảy ra.
Bài 9 : Cho elip (E):
22
1
16 9
xy
+= các điểm M; N chuyển động lần lượt trên, các tia Ox; Oy sao cho MN ln
tiếp xúc với (E). Xác định toạ độ của M; N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Hướng dẫn giải

C
1
: Gọi M(m;O) và N(O,r) với m; n>0 là 2 điểm C
2
đường trên 2 tia Ox; Oy.
Đường thẳng MN có pt:
10
xy
mn
+−=
Đường thẳng này tx với (E) khi và chỉ khi:
22
11
16 9 1
mn
⎛⎞ ⎛⎞
+
=
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

Theo ĐBT Bunhiacơpxki. Ta có
2
222 22
22
16 9 4 3
MN ( ) . . 49mn mn m n
mn m n
⎛⎞⎛ ⎞
=+= + + ≥ + =

⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠

=> MN ≥ 7
Dấu “=” xảy ra <=>
22
43
::
16 9
127;21
0; 0
mn
mn
mn
mn
mn

=



+=⇔= =


>>




Vậy với

(2 7;0; (0; 21)MNthì MN đạt GTNN và GTNN của Mn là 7
C
2
: Pt tiếp tuyến tại điểm (x
0
; y
0
) thuộc (E) là
00

1
16 9
xx yy
+
=
Suy ra toạ độ của M và N là
0
16
;0
M
x
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

0
9
0;
N
y

⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

()
22
22 2
2
2
00
22 22
00 00
16 9 16 9
43 49
16 9
xy
MN
xy xy
⎛⎞
⎛⎞
⇒=+=+ +≥+=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠

Khi đó
()()
27;0; 0;21MN= và GTNN của MN là 7
Bài 10 : Cho ∆ABC. Cho p; q; r >0. CMR:

222
2. 3
Pq r
abcs
qr r p pq
++≥
++ +

Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page23

(Trích tạp chí tốn học và tuổi trẻ)
Hướng dẫn giải
Trước hết ta chứng minh bài tốn sau:
Trong ∆ABC ta có:
222 2 2 2
43( ) ( ) ( )abc s ab bc ca++≥ +− +− +−

Thật vậy:
(2)
22222 2
() () ()43abc bca cab s
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⇔−− +−− +−− ≥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦


4( )( ) 4( )( ) 4( )( ) 4 3
p

apb pbpc pcpa s⇔− −+− −+− −≥

3
x
yyzzxs⇔++≥ với
0
0
0
xpa
ypb
zpc
=−>


=−>


=−>



3( )
x
yyzxz xyzxyz⇔++≥ ++
(Vì theo cơng thức Hêrơng:
()()() ( )sppapbpc xyzxyz=−−−= ++
222
()()()0xy yz yz zx zx xy⇔− +− +− ≥
BĐT này đúng. vậy (2) đước chứng minh:
Mặt khác theo BĐT Bunhiacơpxki. Ta có:

2
2
()
ab c
abc qr r p pq
qr r p pq
⎛⎞
++ = ++ + + +
⎜⎟
⎜⎟
++ +
⎝⎠

222
2()
abc
p
qr
pr r p pq
⎛⎞
≤++ ++
⎜⎟
++ +
⎝⎠

222222
22()
pq r
a b c abc
qr r p pq

⎛⎞
≤+++++
⎜⎟
++ +
⎝⎠

222 22222
2()2()
pq r
a b c abc a b c
qr r p pq
⎛⎞
⇒++≥++−++
⎜⎟
++ +
⎝⎠

222 2 2 2
()()()abc ab bc ca
⎡⎤
≥++− − +− +−
⎣⎦
43s≥
Vậy:
222
23
pq r
abcs
qr r p pq
++≥

++ +

Dấu “=” xảy ra khi
abc
p
qr
==


==


Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page24

Chú ý:

+ Qua phép chứng minh trên, ta có kết quả “đẹp” trong ∆ABC
222 2 2 2
43( ) ( ) ( ) 43abc s ab bc ca s++≥ +− +− +− ≥

+ Lấy p = q = r > 0 ta có BĐT quen thuộc
222
43abc s++≥ (Đề thi Olympic tốn quốc tế lần 3)
+ Lấy a = b = c. ta có BĐT Nesbit:
3
2
pq r
qr r p pq

++≥
++ +
(3)
Dấu “=” xảy ra khi p = q = r > 0
+ Nếu nhân 2 vế của (3) cho p + q + r > 0 ta được
22 2
2
p
q r pqr
qr r p pq
++
++≥
++ +

Bài 11 : Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, bán kính mặt cầu ngoại tiếp R. CMR
()
2
4
6
GA GB GC GD R AB AC AD BC CD DB++++≥ +++++
( Trích tạp chí Tốn học và Tuổi trẻ)
Hướng dẫn giải
Ta có 2 bổ đề:

Bổ đề 1: Nếu G là trọng tâm của tứ diện
A
BCD thì
()
(
)

222 222
2
3
16
AB AC AD CD DB BC
GA
++ − ++
=
Chứng minh:
Gọi
a
G là trọng tâm của
B
CDΔ . Ta có:
()
2
22
991
.
16 16 9
a
GA AG AB AC AD== ++
uuur uuur uuur


(
)
()
(
)

(
)
()()
222
222
222 222
3
16
3
16
AB AC AD AC AD AD AB AB AC
AB AC AD CD DB BC
++ −− −− −−
=
++ − ++
=
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur


Bổ đề 2: Nếu O; G theo thứ tự là tâm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm của tứ diện
A
BCD
thì
2222 222222
22
44
GA GB GC GD AB AC AD CD DB BC
ROG
+++ +++++
−= =

Chứng minh:
Theo hệ thức Leibnitz, với mọi điểm M, ta có
22 2 22222 2
4
M
AMBMCMDGAGBGCGD MG+++ =++++

Từ đó, cho M trùng O, ta được
Trường THPT Chuyên Tiền Giang GV Đỗ Kim Sơn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page25

22 2 22222 2
4OA OB OC OD GA GB GC GD OG+++ =++++
Suy ra:
22 2 2
22
4
GA GB GC GD
ROG
+++
−= (1)
Từ bổ đề 1 suy ra
22 2 2 2 2 2222
44
GA GB GC GD AB AC AD CD DB BC+++ +++++
= (2)
Từ (1)(2) suy ra điều phải chứng minh
Trở lại việc giải bài tốn trên
Ta có

22 2 22 2

22
OA GA OG GA R OG
RGA OAGA OAGA
+− +−
=≥= =
uuuruuur

Từ đó theo các bổ đề 1 và 2, ta có

222
.
8
AB AC AD
RGA
++

Theo BĐT Cauchy và Bunhiacơpxki, ta có
()
()
()
2
222
626.38.3
R
GA R GA R GA AB AC AD AB AC AD+≥ = ≥ ++ ≥ ++
Suy ra
()
6

R
GA AB AC AD+≥++
Tương tự
()
()
()
6
6
6
R
GB BC BD BA
R
GC CD CA CB
R
GD DA DB DC

+≥++


+≥++


+ ≥++



Suy ra
()
2
4

6
GA GB GC GD R AB AC AD BC CD DB++++≥ +++++
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tứ diện
ABCD là đều








B
B
À
À
I
I


T
T


P
P


:
:






Bài 1 : Cho nửa đường tròn
()
;OR đường kính AB, M là điểm chuyển động trên nửa đường tròn.Xác định vị trí
của M để
3
M
AMB+ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2 : Cho ABCΔ nội tiếp đường tròn bán kính R; ; ;
B
CaCAbABc
=
==.Gọi x;y;z lần lượt là khoảng cách từ
M thuộc miền trong của
ABCΔ đến các cạnh BC;CA;AB.Chứng minh:
222
2
abc
xyz
R
++
++≤
Bài 3 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
222
222
abc

bca
P
abc
bca
++
=
++

Bài 4 : Cho a , b , c là 3 cạnh của tam giác và
2
abc
p
+
+
= .Chứng minh:
222 2
36
35
abc
abc p
p
⎛⎞
++≥ +
⎜⎟
⎝⎠

×