chuyên đề Giới hạn hàm số trong đề thi đại học

Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 1 -
Giới hạn hàm số

I. Lý thuyết
1. ðịnh nghĩa:
1.1. Gi
ới hạn hàm số: Cho khoảng
K
chứa ñiểm
0
x
. Ta nói rằng hàm số
f(x)
xác ñịnh trên
K
(có
th
ể trừ ñiểm
0
x
) có giới hạn là
L
khi x dần tới
0
x
nếu với dãy số
n
(x )
bất kì,
n 0

x K \ {x }
∈
và
n 0
x x
→ , ta có:
n
f(x ) L
→ . Ta kí hiệu:
0
x x
lim f(x) L
→
=
hay
f(x) L
→
khi
0
x x
→ .
1.2.Gi
ới hạn một bên:
* Cho hàm s
ố
( )
y f x
=
xác ñịnh trên
0

( ; )
x b
.Số
L
gọi là giới hạn bên phải của hàm số
( )
y f x
=

khi
x
dần tới
0
x
nếu với mọi dãy
0
( ) :
n n
x x x b
< <
mà
0
n
x x
→ thì ta có:
( )
n
f x L
→ . Kí
hi

ệu:
0
lim ( )
x x
f x L
+
→
=
.
* Cho hàm s
ố
( )
y f x
=
xác ñịnh trên
0
( ; )
a x
.Số
L
gọi là giới hạn bên trái của hàm số
( )
y f x
=
khi
x
dần tới
0
x
nếu với mọi dãy

0
( ) :
n n
x a x x
< <
mà
0
n
x x
→ thì ta có:
( )
n
f x L
→ . Kí
hi
ệu:
0
lim ( )
x x
f x L
−
→
=
.
Chú ý:
0
0
0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x

x x x x
f x L f x f x L
+ −
→
→ →
= ⇔ = =
.
1.3. Gi
ới hạn tại vô cực

* Ta nói hàm s
ố
( )
y f x
=
xác ñịnh trên
( ; )
a
+∞
có giới hạn là
L
khi
x
→ +∞
nếu với mọi dãy số
( ) :
n n
x x a
>
và

n
x
→ +∞
thì
( )
n
f x L
→ . Kí hiệu:
lim ( )
x
f x L
→+∞
=
.
* Ta nói hàm s
ố
( )
y f x
=
xác ñịnh trên
( ; )
b
−∞
có giới hạn là
L
khi
x
→ −∞
nếu với mọi dãy số
( ) :

n n
x x b
<
và
n
x
→ −∞
thì
( )
n
f x L
→
. Kí hiệu:
lim ( )
x
f x L
→−∞
=
.
1.4.Giới hạn vô cực
* Ta nói hàm s
ố
( )
y f x
=
có giới hạn dần tới dương vô cực khi
x
dần tới
0
x

nếu với mọi dãy số
0
( ) :
n n
x x x
→
thì
( )
n
f x
→ +∞
. Kí hiệu:
0
lim ( )
x x
f x
→
= +∞
.
* T
ương tự ta cũng có ñịnh nghĩa giới hạn dần về âm vô cực
* Ta c
ũng có ñịnh nghĩa như trên khi ta thay
0
x
bởi
−∞
hoặc
+∞
.

2. Các ñịnh lí về giới hạn

ðịnh lí 1: Gới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn về
0
L
≠
) khi
0
x x
→
(hay
;
x x
→ +∞ → −∞
) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn ñó khi
0
x x
→
(hay
;
x x
→ +∞ → −∞
) .
Chú ý:
ðịnh lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho
các giới hạn dần về vô cực

ðịnh lí 2: (Nguyên lí kẹp)
Giới hạn hàm số

Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 2 -
Cho ba hàm số
( ), ( ), ( )
f x g x h x
xác ñịnh trên
K
chứa ñiểm
0
x
(có thể các hàm ñó không xác ñịnh
t
ại
0
x
). Nếu
( ) ( ) ( )
g x f x h x x K
≤ ≤ ∀ ∈
và
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
g x h x L
→ →
= =
thì
0
lim ( )
x x
f x L

→
=
.
3. M
ột số gới hạn ñặc biệt
*
2
( )
lim
k
x
x
x
→+∞
→−∞
= +∞
;
2 1
( )
lim ( )
k
x
x
x
+
→+∞
→−∞
= +∞ −∞

*

0 0
lim ( ) ( ) lim 0 ( 0)
( )
x x x x
k
f x k
f x
→ →
= +∞ −∞ ⇔ = ≠

*
0 0
sin
lim lim 1
sin
x x
x x
x x
→ →
= =
, từ ñây suy ra
0 0
tan
lim lim 1
tan
x x
x x
x x
→ →
= =

.
*
1
0
1
lim (1 ) lim (1 )
x
x
x x
x e
x
→ →±∞
+ = + =
0 0
ln(1 )
1
lim lim 1
x
x x
x
e
x x
→ →
+
−
⇒ = =


Chú ý : Ta th
ường sử dụng các giới hạn ñặc biệt trên ñể tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực,

giới hạn các hàm số lượng giác và giới hạn hàm lũy thừa, mũ và logarít.

CÁC D
ẠNG GIỚI HẠN THƯỜNG GẶP

D
ạng 1: Tìm
0
lim ( )
x x
f x
→
biết
( )
f x
xác ñịnh tại
0
x
.
Phương pháp:
* Nếu f(x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng
0
( )
f x

* Nếu f(x) cho bởi nhiều công thức, khi ñó ta sử dụng ñiều kiện ñể hàm số có giới hạn ( Giới hạn
trái bằng giới hạn phải).

Ví d
ụ 1: Tìm giới hạn các hàm số sau:

2
1
1
1
1) lim
1
x
x x
A
x
→
− +
=
+

2
6
2 tan 1
2) A lim
sin 1
x
x
x
→
+
=
+
π

2

3
0
ln ( 2) 1
3) lim
3 1
x
x x
A
x
→
+ − +
=
+

Giải:
1) Ta có:
2
1
1
1 1 1 1 1
lim
1 1 1 2
x
x x
A
x
→
− + − +
= = =
+ +

.
2)
2
6
2 tan 1
2 tan 1 4 3 6
6
lim
sin 1 9
sin 1
6
x
x
A
x
→
+
+ +
= = =
+
+
π
π
π
.
3)
2
2
3
0

ln ( 2) 1
lim ln 2 1
3 1
x
x x
A
x
→
+ − +
= = +
+
.

Ví d
ụ 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các ñiểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới
hạn ñó?
Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 3 -
1)
2
2
12 2
khi 1
( )
2
3 2 khi 1
x x
x
f x
x

x x


+ +


<

=

+


+ ≥



khi
1
x
→
.
2)
2
2
2 3 1 khi 0
( )
3 2 khi 0
x x x
f x

x x x


+ + ≥


=


− + + <



khi
0
x
→
.
Giải:
1) Ta có:
1 1
lim ( ) lim (3 2) 5
x x
f x x
+ +
→ →
= + =
.
2
2

1 1 1 1
12 2
lim ( ) lim 5 lim ( ) lim ( ) 5
2
x x x x
x x
f x f x f x
x
− − + −
→ → → →
+ +
= = ⇒ = =
+
.
V
ậy
1
5
lim ( )
3
x
f x
→
=
.
2) Ta có:
2
0 0
lim ( ) lim (2 3 1) 1
x x

f x x x
+ +
→ →
= + + =
.
2
0 0 0 0
lim ( ) lim ( 3 2) 2 lim ( ) lim ( )
x x x x
f x x x f x f x
− − + −
→ → → →
= − + + = ⇒ ≠
.
Vậy hàm số
( )
f x
không có giới hạn khi
0
x
→
.

Ví d
ụ 3: Tìm a ñể hàm số sau có giới hạn khi
2
x
→

2

2
1 khi 2
( )
2 1 khi 2
x ax x
f x
x x x


+ + >


=


− + ≤



.
Giải:
Ta có:
2
2 2
lim ( ) lim ( 2) 2 6
x x
f x x ax a
+ +
→ →
= + + = +

.

2
2 2
lim ( ) lim (2 1) 7
x x
f x x x
− −
→ →
= − + =
.
Yêu c
ầu bài toán
2 2
1
lim ( ) lim ( ) 2 6 7
2
x x
f x f x a a
+ −
→ →
⇔ = ⇔ + = ⇔ =
.
V
ậy
1
2
a
=
là giá trị cần tìm.

Bài t
ập:
Bài 1: Tìm các gi
ới hạn sau
1)
1
2
2
1
lim
4
x
x
B
x x
→−
+
=
+ +
2)
2
2
6
sin 2x 3 cos
lim
tan
x
x
B
x

→
−
=
π

3)
2
2 2 3
3
1
3 2
ln(2 1) 2
lim
x
x
x
x x
B
e
+
→
−
− + −
=
4)
4
3
1
3 1 2
lim

3 1 2
x
x
B
x
→
+ −
=
+ −

Bài 2: Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các ñiểm chỉ ra hay không ? Nếu có hãy tìm giới hạn
ñó ?
Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 4 -
1)
2
3 5 1 1
( )
3 2 1
x x khi x
f x
x khi x


− + ≥


=



− + <



khi
1
x
→
.
2)
3
8
2
( )
2
2 1 2
x
khi x
f x
x
x khi x


−


>

=


−


+ ≤



khi
2
x
→
.
Bài 3: Tìm a
ñể hàm số sau có giới hạn khi
0
x
→
.
3
2
3 2 2
5 3 2 1 0
( )
ln( 2) 0
x x
ax x a khi x
f x
e x x khi x
−



+ + + ≥



=



+ + + <



.


D
ạng 2: Tìm
0
( )
lim
( )
x x
f x
A
g x
→
=
trong ñó
0 0

( ) ( ) 0
f x g x
= =
. Dạng này ta gọi là dạng vô ñịnh
0
0
.
ðể khử dạng vô ñịnh này ta sử dụng ñịnh lí Bơzu cho ña thức:
ðịnh lí: Nếu ña thức
( )
f x
có nghiệm
0
x x
=
thì ta có :
0 1
( ) ( ) ( )
f x x x f x
= −
.
*Nếu
( )
f x
và
( )
g x
là các ña thức thì ta phân tích
0 1
( ) ( ) ( )

f x x x f x
= −
và
0 1
( ) ( ) ( )
g x x x g x
= −
.
Khi ñó
0
1
1
( )
lim
( )
x x
f x
A
g x
→
=
, nếu giới hạn này có dạng
0
0
thì ta tiếp tục quá trình như trên.
Chú ý :Nếu tam thức bậc hai
2
( ) x+c
f x ax b
= +

có hai nghiệm
1 2
,
x x
thì ta luôn có sự phân
tích
2
1 2
( )( )
ax bx c a x x x x
+ + = − −
.
* Nếu
( )
f x
và
( )
g x
là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp ñể chuyển về các ña thức,
rồi phân tích các ña thức như trên.

Các lượng liên hợp:
1.
( )( )
a b a b a b
− + = −

2.
3 3
3 3 3

2 2
( )( )
a b a ab b a b
± + = −
∓

3.
1 2 1
( )( )
n n n
n n
n n n
a b a a b b a b
− − −
− + + + = −

* Nếu
( )
f x
và
( )
g x
là các hàm chứa căn thức không ñồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng
hạn: Nếu
( ), ( )
n m
f x g x c
→
thì ta phân tích:
( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

n m n m
f x g x f x c g x c
− = − − −
.
Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không ñi ñến kết quả ta phải phân tích như
sau:
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
n m n m
f x g x f x v x g x v x
− = − − −
, trong ñó
( )
v x c
→
.
* Một ñẳng thức cần lưu ý:
1 2 2 1
( )( )
n n n n n n
a b a b a a b ab b
− − − −
− = − + + + +
.


Ví d
ụ 1: Tìm các gới hạn sau
Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 5 -
1)

3 2
4
2
1
3 2
lim
4 3
x
x x
A
x x
→
− +
=
− +
2)
3 4
5
0
(1 3 ) (1 4 )
lim
x
x x
A
x
→
+ − −
=

3)

4 2
6
3
2
5 4
lim
8
x
x x
A
x
→
− +
=
−
4)
7
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
x x x
A
x
→
+ + + −
=
.
Giải:
1) Ta có:

2
3 2 2
4
2
1 1 1
( 1)( 2 2)
3 2 2 2 3
lim lim lim
( 1)( 3) 3 2
4 3
x x x
x x x
x x x x
A
x x x
x x
→ → →
− − −
− + − −
= = = =
− − −
− +

2)
3 4
6
0 0
(1 3 ) 1 (1 4 ) 1
lim lim
x x

x x
A
x x
→ →
+ − − −
= −

2 2
0 0
3 [(1 3 ) (1 3 ) 1] 4 (2 4 )[(1 4 ) 1]
lim lim
x x
x x x x x x
x x
→ →
+ + + + − − − +
= −

2 2
0 0
lim 3[(1 3 ) (1 3 ) 1] lim 4(2 4 )[(1 4 ) 1] 7
x x
x x x x
→ →
= + + + + + − − + = −


3)
2 2
4 2

6
3 3 3
2 2
( 1)( 4)
5 4
lim lim
8 2
x x
x x
x x
A
x x
→ →
− −
− +
= =
− −

2 2
2 2
2 2
( 1)( 2)( 2) ( 1)( 2)
lim lim 1
( 2)( 2 4) 2 4
x x
x x x x x
x x x x x
→ →
− − + − +
= = =

− + + + +
.
4)
3 2
7
0 0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
6 11 6
lim lim 6
x x
x x x
x x x
A
x x
→ →
+ + + −
+ +
= = =
.

Ví d
ụ 2: Tìm các giới hạn sau:
1)
8
0
1
lim ( , *)
1
n
m

x
x
A m n
x
→
−
= ∈
−
ℕ
.
2)
9
0
1 1
lim ( *, 0)
n
x
ax
A n a
x
→
+ −
= ∈ ≠
ℕ
.
Giải:
1)
1 2
8
1 2

0
( 1)( 1)
lim
( 1)( 1)
n n
m m
x
x x x x
A
x x x x
− −
− −
→
− + + + +
=
− + + + +
1 2
1 2
0
1
lim
1
n n
m m
x
x x x n
m
x x x
− −
− −

→
+ + + +
= =
+ + + +
.
2) Cách 1: Nhân liên h
ợp
1 2
9
0
1 2
( 1 1)( (1 ) (1 ) 1 1)
lim
( (1 ) (1 ) 1 1)
n n
n n
n n
x
n
n n
n n
ax ax ax ax
A
x ax ax ax
− −
→
− −
+ − + + + + + + +
=
+ + + + + + +

0
1 2
lim
(1 ) (1 ) 1 1
x
n
n n
n n
a a
n
ax ax ax
→
− −
= =
+ + + + + + +
.
Cách 2:
ðặt ẩn phụ
Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 6 -
ðặt
1
1
n
n
t
t ax x
a

−
= + ⇒ =
và
0 1
x t
→ ⇔ →

9
1
1 1
1 1
lim lim
1 ( 1)( 1)
n n n
t t
t t a
A a a
n
t t t t t
−
→ →
− −
⇒ = = =
− − + + + +
.

Ví d
ụ 3: Tình các giới hạn sau
1)
10

0
1 1
lim
1 1
n
m
x
ax
A
bx
→
+ −
=
+ −
2)
3 4
11
0
1 1 1 1
lim
x
x x x
A
x
α β γ
→
+ + + −
=
Giải:
1) Áp d

ụng bài toán trên ta có:
10
0 0
1 1
lim . lim .
1 1
n
m
x x
ax x a m am
A
x n b bn
bx
→ →
+ −
= = =
+ −
.
2) Ta có:
3 4
1 1 1 1
x x x
α β γ
+ + + − =


3 4 3
1 1 ( 1 1) 1 (( 1 1) ( 1 1)
x x x x x x
α β γ α β α

= + + + − + + + − + + −
.
4 3
3
11
0 0
0
1 1 1 1
lim ( 1 1 ) lim 1
1 1
lim
x x
x
x x
A x x x
x x
x
x
γ β
α β α
α
→ →
→
+ − + −
= + + + +
+ −
+

11
4 3 2

A
γ β α
= + +
( Áp dụng kết quả bài
9
A
).

Ví d
ụ 4: Tìm các giới hạn sau:
1)
12
2
1
2 1
lim
1
x
x x
A
x
→
− −
=
−
2)
3
13
2
3 2

lim
3 2 2
x
x x
A
x
→
+ −
=
− −

Giải:
1)
2
12
1 1
( 1)
2 1
lim lim 0
( 1)( 1)( 2 1 ) ( 1)( 2 1 )
x x
x
x x
A
x x x x x x x
→ →
− −
− −
= = =
− + − + + − +

.
2)
3
13
3
2 2
3
(3 2 )( 3 2 2)
lim
3( 2)( (3 2) 2 3 2 4)
x
x x x
A
x x x
→
+ − − +
=
− + + + +
2
3
2 2
3
( 2 1)( 3 2 2)
lim
3( (3 2) 2 3 2 4)
x
x x x
x x
→
− + + − +

=
+ + + +
.
13
1
A
⇒ = −
.


Ví d
ụ 5: Tìm các giới hạn sau
1)
3
14
1
7 1 5 1
lim
1
x
x x
A
x
→
+ − −
=
−
2)
3
15

4
7
2 20
lim
9 2
x
x x
A
x
→
+ − +
=
+ −
.
Giải:
1)
3
14
1
7 1 2 ( 5 1 2)
lim
1
x
x x
A
x
→
+ − − − −
=
−

3
1 1
7 1 2 5 1 2
lim lim
1 1
x x
x x
I J
x x
→ →
+ − − −
= + = +
− −
.
Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 7 -
3
1 2
3
7( 1)
7
lim
12
( 1)( (7 1) 2 7 1 4)
x
x
I
x x x
→

−
= =
− − + − +
.
1 1
5( 1)
5 5
lim lim
3
( 1)( 5 1 1) 5 1 1
x x
x
J
x x x
→ →
−
= = =
− − + − +

V
ậy
14
9
4
A
=
.
2) Ta có:
3
3

15
4 4
7 7
2 3 20 3
2 20
7 7
lim lim
9 2 9 2
7
x x
x x
x x
x x
A
x x
x
→ →
+ − + −
−
+ − +
− −
= =
+ − + −
−

mà:
7 7
2 3 1 1
lim lim
7 6

2 3
x x
x
x
x
→ →
+ −
= =
−
+ +

3
3 3
2
7 7
20 3 1 1
lim lim
7 27
( 20) 3 20 9
x x
x
x
x x
→ →
+ −
= =
−
+ + + +
.
4

4 4 4
3 2
7 7
9 2 1 1
lim lim
7 32
( 9) 2( 9) 4 9 8
x x
x
x
x x x
→ →
+ −
= =
−
+ + + + + +
.
V
ậy
15
1 1
112
6 27
1 27
32
A
−
= = .

Bài t
ập:
Tìm các gi
ới hạn sau:
1)
2
5
3
2
2 5 2
lim
3 2
x
x x
B
x x
→
− +
=
− −
2)
4
6
3
1
3 2
lim
2 3
x
x x

B
x x
→
− +
=
+ −

3)
7
2
3
2 3
lim
4 3
x
x x
B
x x
→
+ −
=
− +
4)
3
8
4
0
1 1
lim
2 1 1

x
x
B
x
→
+ −
=
+ −

5)
3
9
4
7
4 1 2
lim
2 2 2
x
x x
B
x
→
− − +
=
+ −
6)
3
10
2
0

1 2 1 3x
lim
x
x
B
x
→
+ − +
=

7)
11
2
1
( 1)(2 1)(3 1)(4 1) 1
lim
1
x
x x x x
B
x
→
+ + + + −
=
−
.
8)
3 3
2 2
12

0
4 2 4 2
lim
2 2
x
x x x x
B
x x
→
− + − + +
=
+ − −
.




Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 8 -
Dạng 3: Tìm
( )
lim
( )
x
f x
B
g x
→±∞
= , trong ñó
( ), ( )

f x g x
→ ∞
, dạng này ta còn gọi là dạng vô ñịnh
∞
∞
.
Phương pháp: Tương tự như cách khử dạng vô ñịnh ở dãy số. Ta cần tìm cách ñưa về các giới hạn:
*
2
( )
lim
k
x
x
x
→+∞
→−∞
= +∞
;
2 1
( )
lim ( )
k
x
x
x
+
→+∞
→−∞
= +∞ −∞

.
*
( )
lim 0 ( 0; 0)
n
x
x
k
n k
x
→+∞
→−∞
= > ≠
.
*
0 0
lim ( ) ( ) lim 0 ( 0)
( )
x x x x
k
f x k
f x
→ →
= +∞ −∞ ⇔ = ≠
.


Ví d
ụ 1: Tìm các giới hạn sau:
1)

2
16
2
3 5 1
lim
2 1
x
x x
A
x x
→+∞
+ +
=
+ +

2)
0 1
17 0 0
0 1

lim ( 0)

n
n n
m
x
m m
a x a x a
A a b
b x b x b

−
→+∞
−
+ + +
= ≠
+ + +
.
Giải:
1) Ta có:
2
2 2
16
2
2 2
5 1 5 1
(3 ) 3
3
lim lim
1 1 1 1 2
(2 ) 2
x x
x
x x
x x
A
x
x x
x x
→+∞ →+∞
+ + + +

= = =
+ + + +

2) Ta có:
1 1
0
1
17
1 1
0
1
( )
lim
( )
n
n n
n n
x
m
m m
m m
a a a
x a
x
x x
A
b b b
x b
x
x x

−
−
→+∞
−
−
+ + + +
=
+ + + +

* N
ếu
1 1
0
1
0
17
1 1 0
0
1

lim

n n
n n
x
m m
m m
a a a
a
a

x
x x
m n A
b b b b
b
x
x x
−
−
→+∞
−
−
+ + + +
= ⇒ = =
+ + + +
.
* N
ếu
1 1
0
1
17
1 1
0
1

lim 0
( )
n n
n n

x
m n
m m
m m
a a a
a
x
x x
m n A
b b b
x b
x
x x
−
−
→+∞
−
−
−
+ + + +
> ⇒ = =
+ + + +

( Vì t
ử
0
a
→ , mẫu
0
→

).
* N
ếu
m n
<

Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 9 -
1 1
0
1
0 0
17
0 0
1 1
0
1
( )
khi . 0
lim
khi 0

n m
n n
n n
x
m m
m m
a a a
x a

a b
x
x x
A
a b
b b b
b
x
x x
−
−
−
→+∞
−
−
+ + + +

+∞ >

⇒ = =

−∞ <


+ + + +
.

Ví d
ụ 2: Tìm các giới hạn sau:
1)

2 2
18
2 1 1
lim
2 2
x
x x
A
x
→+∞
+ − +
=
+
2)
2
19
2
3 2 1
lim
1 1
x
x x
A
x
→−∞
− + +
=
+ −
.
Giải:

1) Ta có:
2 2
18
1 1
| | 2 | | 1
lim
2
(2 )
x
x x
x x
A
x
x
→+∞
+ − +
=
+
2 2
1 1
2 1
2 1
lim
2 2
2
x
x x
x
→+∞
+ − +

−
= =
+
.
2)
2 2
19
2
2 1 1
| | 3 | |
lim
1 1
| | ( 1 )
| |
x
x x
x
x x
A
x
x
x
→−∞
− + +
=
+ −
2 2
2
2 1 1
3

lim 3
1 1
( 1 )
| |
x
x
x x
x
x
→−∞
− − − +
= =
− + −
.
Ví d
ụ 3:Tìm các giới hạn sau
1)
3
3 2
20
4
4
3 1 2 1
lim
4 2
x
x x x
A
x
→−∞

+ − + +
=
+

2)
2
21
3
3
1 2 1
lim
2 2 1
x
x x x
A
x
→+∞
+ − +
=
− +
.
Giải:
1) Ta có:
3
3
3 2
20
4
4
1 1 1

3 2
3 2
lim
2 2
4
x
x x
x
x x
A
x
x
→−∞
+ + + +
+
= = −
− +
.
2)
2
2 2 2 2
21
3 3
3 3
1 2 1 1 2 1
( 1 ) ( 1 )
lim
2 1 2 1
( 2 ) 2
x

x x
x x
x x x x
A
x
x x
x x
→+∞
+ − + + − +
= = = +∞
− + − +

(do t
ử
→ +∞
, mẫu
3
2
→ ).

Bài t
ập:
Tìm các gi
ới hạn sau
1)
3 4
13
7
(2 1) ( 2)
lim

(3 2 )
x
x x
B
x
→+∞
+ +
=
−
2)
2
14
2
4 3 4 2
lim
1
x
x x x
B
x x x
→−∞
− + −
=
+ + −

Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 10 -
3)
2
15

2
2 3 2
lim
5 1
x
x x
B
x x
→+∞
+ +
=
− +
4)
4 6
16
3 4
ln(1 )
lim
ln(1 )
x
x x
B
x x
→−∞
+ +
=
+ +

D
ạng 4 : Dạng vô ñịnh:
∞ − ∞
và
0.
∞

Phương pháp:
Những dạng vô ñịnh này ta tìm cách biến ñổi ñưa về dạng
∞
∞
.
Ví d
ụ 1: Tìm các giới hạn sau:
1)
2
22
lim ( 1 )
x
A x x x
→+∞
= − + −
2)
2
23
lim (2 4 1)
x
A x x x
→−∞

= + − +

Giải:
1) Ta có:
2 2
2 2
22
2 2
( 1 )( 1 )
1
lim lim
1 1
x x
x x x x x x
x x x
A
x x x x x x
→+∞ →+∞
− + − − + +
− + −
= =
− + + − + +

22
2
1 1
lim
2
1
x

x
A
x x x
→+∞
− +
⇒ = = −
− + +
.
2)
2 2
23
2
(2 4 1)(2 4 1)
lim
2 4 1
x
x x x x x x
A
x x x
→−∞
− − + + − +
=
− − +
2
1 1
lim
4
2 4 1
x
x

x x x
→−∞
+
= =
− − +
.

Ví d
ụ 2: Tìm các giới hạn sau:
1)
3
3 2 2
24
lim ( 3 2 )
x
A x x x x
→−∞
= − + −
2)
2 2
25
lim ( 2 2 )
x
A x x x x x x
→+∞
= + − + +
.
Giải:
1) Ta có:
3 3

3 2 2 3 2 2
3 2 ( 3 ) ( 2 )
x x x x x x x x x x
− + − = − − + − +


2
3
3 2 2 3 2 2 2
3
3 2
( 3 ) 3 2
x x
x x x x x x x x x
− −
= +
− + − + − −

24
2
3 3
3 2
lim lim 0
3 3 2
(1 ) 1 1 1 1
x x
A
x x x
→−∞ →−∞
− −

⇒ = + =
− + − + − − −
.
2) Ta có:
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 4 4
2 2
2 2
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
+ + + − −
+ − + + =
+ + + +

2
2 2
2 1
2
2 2
x x x
x
x x x x x
+ − −
=
+ + + +
2 2 2
2

( 2 2 )( 2 1)
x
x x x x x x x x
−
=
+ + + + + + +

Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 11 -

2
25
2 2 2
2
lim
( 2 2 )( 2 1)
x
x
A
x x x x x x x x
→+∞
−
⇒ =
+ + + + + + +


25
2 1
lim
4

2 1 2 1
( 1 2 1 1)( 1 1 )
x
A
x x x x
→+∞
−
= = −
+ + + + + + +
.

Ví dụ 3: Tìm giới hạn:
26 1 2
lim [ ( )( ) ( ) ]
n
n
x
A x a x a x a x
→+∞
= + + + −
.
Giải:
ðặt
1 2
( )( ) ( )
n
n
y x a x a x a
= − − −
1 1 1

( )( )
n n n n n
y x y x y y x x
− − −
⇒ − = − + + +
1 1 1

n n
n n n
y x
y x
y y x x
− − −
−
⇒ − =
+ + +

1 2 1
lim ( ) lim

n n
n n n
x x
y x
y x
y y x x
− − −
→+∞ →+∞
−
⇒ − =

+ + +
1
26
1 1 1
1
lim

n n
n
n n n
x
n
y x
x
A
y y x x
x
−
− − −
→+∞
−
−
⇒ =
+ + +
.
Mà
2 3
1 2
1 2 1
lim lim ( )

n n
n
n
n n
x x
b b b
y x
a a a
x
x x x
− −
→+∞ →+∞
−
= + + + + + + +
1 2

n
a a a
= + + +

1
1
lim 1 0, , 1
k n k
n
x
y x
k n
x
− −

−
→+∞
= ∀ = −
1 2 1
1

lim
n n n
n
x
y y x x
n
x
− − −
−
→+∞
+ + +
⇒
=

V
ậy
1 2
26

n
a a a
A
n
+ + +

= .

Bài tập:
Tìm các giới hạn sau:
1)
2
17
lim ( x 1 )
x
B x x
→+∞
= − + −
2)
2
18
lim ( 4 1 )
x
B x x x
→−∞
= + −

3)
2 2
19
lim ( 1 1)
x
B x x x x
→±∞
= − + − + +
4)

3
3
20
lim ( 8x 2x 2x)
x
B
→+∞
= + −
5)
4
4 2
21
lim ( 16 3 1 4 2)
x
B x x x
→+∞
= + + − +
6)
3
3
22
lim ( 1 )
x
B x x
→−∞
= − − .

Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 12 -
Dạng vô ñịnh các hàm lượng giác

PP: Ta sử dụng các công thức lượng giác biến ñổi về các dạng sau:
*
0 0
sin
lim lim 1
sin
x x
x x
x x
→ →
= =
, từ ñây suy ra
0 0
tan
lim lim 1
tan
x x
x x
x x
→ →

= =
.
* Nếu
0 0
sin ( )
lim ( ) 0 lim 1
( )
x x x x
u x
u x
u x
→ →
= ⇒ =
và
0
tan ( )
lim 1
( )
x x
u x
u x
→
=
.

Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau:
27
2
0
1 cos

lim
x
ax
A
x
→
−
=
.
Giải:
Ta có:
2
2
27
2
0 0
2 sin sin
2 2
lim lim
2 2
2
x x
ax ax
a a
A
ax
x
→ →
 
 

 
= = =
 
 
 
.
Chú ý: K
ết quả trên chúng ta thường hay ñược sử dụng ñể giải một số bài toán khác

Ví d
ụ 2: Tìm các giới hạn sau
1)
28
0
1 sin cos
lim
1 sin cos
x
mx mx
A
nx nx
→
+ −
=
+ −
2)
29
2
0
1 cos .cos 2 . cos 3

lim
x
x x x
A
x
→
−
=
.
Giải:
1) Ta có:
2
2
2 sin 2 sin cos
1 sin cos
2 2 2
1 sin cos
2 sin 2 sin cos
2 2 2
mx mx mx
mx mx
nx nx nx nx nx
+
+ −
=
+ −
+
x
sin sin cos
2 2 2 2

. .
x
sin sin cos
2 2 2 2
mx n mx mx
m
n mx n nx nx
+
=
+
.
28
0 0 0
x
sin sin cos
2 2 2 2
lim . lim . lim
x
sin sin cos
2 2 2 2
x x x
mx n mx mx
m m
A
n mx n nx nx n
→ → →
+
= =
+
.

2) Ta có:
2 2
1 cos cos cos 2 (1 cos 3 ) cos (1 cos 2 )
1 cos .cos 2 . cos 3
x x x x x x
x x x
x x
− + − + −
−
=
2 2 2
1 cos 1 cos 3 1 cos 2
cos . cos 2 cos
x x x
x x x
x x x
− − −
= + +
.
S
ử dụng kết quả bài
27
A
ta có:
29
2 2 2
0 0 0
1 cos 1 cos 3 1 cos 2
lim lim cos . cos 2 lim cos 3
x x x

x x x
A x x x
x x x
→ → →
− − −
= + + =






Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 13 -
Ví dụ 3: Tìm các giới hạn sau:
1)
30
0
1 cos 2
lim
3
2 sin
2
x
x
A
x
→
−
= 2)

31
0
cos 2 cos 3
lim
(sin 3 sin 4 )
x
x x
A
x x x
→
−
=
−
3)
2
32
3
0
tan 2
lim
1 cos 2
x
x
A
x
→
=
−

Giải:

1) Ta có:
2
2
30
0 0 0
3
sin
sin sin 3
2
lim lim ( ) . lim 0
3 2 3
sin
2 2
x x x
x
x x
A x
x x x
→ → →
= = =
.
2)
31
0 0 0
5 5
2 sin sin sin
5 1 5
2 2 2
lim lim ( . ). lim
7 2 5 7 2

2 cos sin cos
2 2 2 2
x x x
x x x
A
x x x x
x
→ → →
= = − =
−
.
3)
3
3
2 2
2
32
3
0 0
tan 2 (1 cos 2 cos 2 )
tan 2
lim lim
1 cos 2
1 cos 2
x x
x x x
x
A
x
x

→ →
+ +
= =
−
−


3
3
2 2
2
0
3
3
2 2 2
0
tan 2 (1 cos 2 cos 2 )
lim
2 sin
tan 2
2 lim ( ) .( ) (1 cos 2 cos 2 ).
2 sin
x
x
x x x
x
x x
x x
x x
→

→
+ +
=
= + +

32
6
A
⇒ =
.

Ví d
ụ 4: Tìm các giới hạn sau
1)
33
2
0
1 cos
lim
n
x
ax
A
x
→
−
=

2)
3 4 2008

34
2
0
cos cos 2 cos 3 cos 4 cos 2008
lim
x
x x x x x
A
x
→
− + − + − +
=


Gi
ải:
1) Ta có:
2 1
1 cos
1 cos
1 cos ( cos ) ( cos )
n
n n n
n
ax
ax
ax ax ax
−
−
− =

+ + + +

33
2
2 1
0 0
1 cos x 1
lim lim
1 cos ( cos ) ( cos )
n n n
n
x x
a
A
x
ax ax ax
−
→ →
−
⇒ =
+ + + +

1
.
2 2
a a
n n
= =
.
2) Ta có:

2008 2008
1
1 1
( 1) cos ( 1) (1 cos )
k k
k k
k k
kx kx
+
= =
− = − −
∑ ∑
.
Mà
34
2
0
1 cos 1
lim ( 1,2, , 2008) 0
2
k
x
kx
k A
x
→
−
= ∀ = ⇒ =
.

Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 14 -
Ví dụ 5: Tìm giới hạn
1)
2
35
0
lim
1 sin 3 cos 2
x
x
A
x x x
→
=
+ −
2)
2
36
3 4
0
sin 2
lim
cos cos
x
x
A
x x

→
=
−

Giải:
1) Ta có:
35
0
2
1
lim
1 sin 3 cos 2
x
A
x x x
x
→
=
+ −


Mà:
2 2 2
0 0 0
1 sin 3 cos 2 1 sin 3 1 1 cos 2
lim lim lim
x x x
x x x x x x
x x x
→ → →

+ − + − −
= +


0
sin 3 1 5
3 lim ( . ) 1
3 2
1 sin 3 1
x
x
x
x x
→
= + =
+ +
.
V
ậy:
35
2
A
5
=
.
2) Ta có:
3 4
3 4
2 2
0 0

(1 cos ) 1 cos
cos cos 1 1 1
lim lim
6 8 24
x x
x x
x x
x x
→ →
− − + −
−
= = − + = −
.
2
2
36
3 4
0 0
sin 2
4 lim ( ) . lim 4.( 24) 69
2
cos cos
x x
x x
A
x
x x
→ →
⇒ = = − = −
−

.

Ví d
ụ 6: Tìm các giới hạn sau
1)
37
1
sin( )
lim .
sin( )
m
n
x
x
A
x
π
π
→
=
2)
38
2
lim ( ) tan
2
x
A x x
π
π
→

= − .
Giải:
1) Ta có:
37
1
sin (1 )
lim
sin (1 )
m
n
x
x
A
x
π
π
→
−
=
−
1 1 1
sin (1 ) (1 )
1
lim . lim . lim
(1 ) sin (1 ) 1
m n
n
m n m
x x x
x x

x
x x x
π π
π π
→ → →
− −
−
=
− − −


1 2
1 2
1 1
(1 )( 1)
1
lim lim .
1 (1 )( 1)
n n
n
m m m
x x
x x x
x n
m
x x x x
− −
− −
→ →
− + + +

−
= = =
− − + + +

2) Ta có:
38
2 2 2
sin
2
lim ( ) lim . lim sin 1
2 cos x
sin( )
2
x x x
x
x
A x x
x
π π π
π
π
π
→ → →
−
= − = =
−
.
Ví d
ụ 7: Tìm các giới hạn sau:
1)

39
0
1
lim sin ( 0)
x
A x
x
α
α
→
= >
2)
40
lim (sin 1 sin )
x
A x x
→+∞
= + −

Giải:
1) Ta có:
1
0 | sin |
x x
x
α α
≤ < . Mà
0
lim 0
x

x
α
→
=

Nên theo nguyên lí kẹp
39
0
A
⇒ =
.
Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 15 -
2) Trước hết ta có:
sin 0
x x x
< ∀ >

Ta có:
1 1 1
| sin 1 sin | | 2sin . cos |
2 2
1
x x x x
x x
x x
+ − + +
+ − = <
+ +
Mà

1
lim 0
1
x
x x
→+∞
=
+ +
nên
40
0
A
=
.
Bài tập:
Tìm các gi
ới hạn sau
1)
23
0
cos 3x cos 4x
lim
cos 5x cos 6x
x
B
→
−
=
−
2)

3
24
0
1 1 2sin2x
lim
sin 3x
x
B
→
− +
=

3)
25
2
cos 3 1 sin 3x
lim
1 sin
x
x
B
x
π
→
+ −
=
−
4)
4
26

4
0
sin 2x
lim
sin 3x
x
B
→
=

5)
27
0
1 sin( cos )
2
lim
sin(tan )
x
x
B
x
π
→
−
= 6)
28
3 sin 2 cos
lim
1
x

x x
B
x x
→+∞
+
=
+ +

7)
29
2
0
cos cos
lim
sin
m m
x
ax bx
B
x
→
−
=
8)
3
2 2
20
0
2x 1 3x 1
lim

1 cos x
x
B
→
+ − +
=
−





Gi
ới hạn hàm số mũ và Lôgarít
Sử dụng giới hạn ñặc biệt:
0 0
ln(1 )
1
lim lim 1
x
x x
x
e
x x
→ →
+
−
= =
.
Từ ñây ta có hệ quả:

Nếu
0
lim ( ) 0
x x
u x
→
=
thì
0 0
( )
ln(1 ( ))
1
lim lim 1
( ) ( )
u x
x x x x
u x
e
u x u x
→ →
+
−
= =
.

Ví d
ụ 1: Tìm các giới hạn sau
1)
41
0

lim
ax bx
x
e e
A
x
→
−
=
2)
3
2 1 1 1 3
42
0
lim
x x
x
e e
A
x
+ − −
→
−
=
.
Giải:
1) Ta có:
41
0 0
1 1

A lim lim
ax bx
x x
e e
a b a b
ax bx
→ →
− −
= − = −
.
2) Ta có:
3
3
2 1 1 1 3x 1
42
3
0 0 0 0
1 2 1 1 1 1 3x 1
lim . lim lim . lim
2 1 1
1 3x 1
x
x x x x
e x e
A
x x
x
+ − − −
→ → → →
− + − − − −

= −
+ −
− −

Mà
3
2 1 1 1 3x 1
3
0 0
1 1
lim lim 1
2 1 1
1 3x 1
x
x x
e e
x
+ − − −
→ →
− −
= =
+ −
− −
;
0
2 1 1
lim 1
x
x
x

→
+ −
=

Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 16 -
và
3
0
1 3x 1
lim 1
x
x
→
− −
= −
. Nên
42
A 1 1 2
⇒ = + =
.

Ví d
ụ 2: Tìm các giới hạn sau
1)
44
0
1
lim
x

x
a
A
x
→
−
=

2)
3
43
0
ln | | ln( 3 1 1) | 1 1 |]
lim
x
x x x
A
x
→
− + + + −
=
.
Giải:
1)
ðặt
ln( 1)
1
ln
x
t

t a x
a
+
= − ⇒ = . Khi
0 0
x t
→ ⇒ →
44
0
.ln
lim ln
ln(1 )
t
t a
A a
t
→
⇒ = =
+
.
Chú ý : Ta có d
ạng tổng quát của
44
A
như sau:
Nếu
( )
0 0
1
lim ( ) 0 lim ln

( )
u x
x x
a
u x a
u x
→ →
−
= ⇒ =
.
2) Ta có:
3
3
( 3 1 1)
( 3 1 1)( 1 1)
1 1
x x
x x
x
+ +
+ + + − =
+ +

3 3
ln( 3 1 1) | 1 1 | ln | | ln( 3 1 1) ln( 1 1)
x x x x x
⇒ + + + − = + + + − + +

3
45

0
ln( 3 1 1) ln( 1 1)
lim
x
x x
A
x
→
+ + − + +
⇒ = =


3
0 0
ln(1 1 3x) ln 2 ln(1 1 ) ln 2
lim lim
x x
x
x x
→ →
+ + − + + −
= −


3
0 0
1 1
ln(1 ( 1 3x 1)) ln(1 ( 1 1))
2 2
lim lim

x x
x
I J
x x
→ →
+ + − + + −
= − = −

Mà
3
3
0
3
1
ln(1 ( 1 3 1))
1 1 3 1 1 1
2
lim . .1.1
2 1 2 2
( 1 3 1)
2
x
x
x
I
x
x
→
+ + −
+ −

= = =
+ −
.
0
1
ln(1 ( 1 1))
1 1 1 1 1 1
2
lim . .1. .
2 1 2 2 4
( 1 1)
2
x
x
x
J
x
x
→
+ + −
+ −
= = =
+ −

Vậy
45
1 1 1
.
2 4 4
A = − =

Ví d
ụ 3: Tìm các giới hạn sau:
1)
46
0
(1 ) 1
lim ( 0)
x
x
A
x
α
α
→
+ −
= >
2)
47
lim
x a
x a
a x
A
x a
→
−
=
−
.
Giải:

1) Ta có:
( )
ln(1 )
1 1 1
x
x e
α
α
+
+ − = −

Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 17 -
ln(1 )
(1 ) 1 ln(1 )
1
.
ln(1 )
x
x x
e
x x x
α
α
α
α
+
+ − +
−
⇒ =

+
ln(1 )
46
0
ln(1 )
1
lim .
ln(1 )
x
x
x
e
A
x x
α
α
α
α
+
→
+
−
⇒ = =
+
.
Chú ý : Tổng quát ta có: Nếu
0 0
(1 ( )) 1
lim ( ) 0 lim
( )

x x
u x
u x
u x
α
α
→ →
+ −
= ⇒ =
.
2) Ta có:
x
a ( 1) (1 ) 1
a a x a a a
x a
x a a a
a
−
 
−
− = − − + −
 
 

1
(1 ) 1
1
a
x a x a
a a

x a
a x a
a
a a
x a x a x a
a
−
−
−
+ −
− −
⇒ = −
− − −

1
47
1
(1 ) 1
1
lim lim
ln . ln
a
x a
a a
x a x a
a a a
x a
a
a
A a a

x a x a
a
a
a a a a a
e
−
−
→ →
−
−
+ −
−
⇒ = −
− −
= − =
.
Ví d
ụ 4: Tìm các giới hạn sau:
1)
2
4
2
48
0
3 1
lim
ln( 3 4 1)
x x
x
e x

A
x
−
→
− +
=
+ −
2)
3x+1 1
49
2
0
4 sin 3x
lim
ln( 1)
x
A
x x
−
→
−
=
− +
.
Giải:
1) Ta có:
2
2
4
2

4
2
2
3 1
ln( 3 4 1)
(2 1)
1 3 1 1 3 4 2
. .
(2 1)
ln(1 ( 3 4 2)) 3 4 2
2
x x
x x
e x
x
x x
e x x
x x
x x
x x
−
−
− +
=
+ −
 
−
− + − + −
 
= −

 
−
+ + − + −
−
 
 
.
M
ặt khác :
2
2
2
0 0
1 3 4 2
lim lim 1
ln(1 ( 3 4 2))
2
x x
x x
e x
x
x x
−
→ →
− + −
= =
+ + −
−

và

4 4
0 0 0
3 1 1 3 1 1 1 3
lim lim . lim
(2 1) 2 1 4
x x x
x x
x x x x
→ → →
+ − + −
= = −
− −
;
0
(2 1)
2
lim
3
3 4 2
x
x x
x
→
−
= −
+ −

48
3 2 7
(1 ).1.( )

4 3 6
A
⇒ = + − = −
.
2) Ta có:
3 1 1 3 1 1 2
2 2 2
4 cos 3 4 1 1 cos 3 3 1 1
3 1 1 3 1 1
ln( 1) ln( 1)
x x
x x x x x
x x
x x x x x x
+ − + −
 
− − − − + −
 
= +
 
+ − + −
− + − + −
 
.
Mà
3 1 1
0
4 1
lim 2 ln 2
3 1 1

x
x
x
+ −
→
−
=
+ −
;
2
0 0 0
3 1 1 3 1 1 1 3
lim lim . lim
1 2
x x x
x x
x x
x x
→ → →
+ − + −
= = −
−
−

Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 18 -
2
2
0 0 0
2

3
sin ( )
1 cos 3 9
2
lim lim . lim 0
2 3
3 1 1 3 1 1
( )
2
x x x
x
x x
x x
x
→ → →
−
= =
+ − + −
;
2
2
0
lim 1
ln( 1)
x
x x
x x
→
−
=

− +

49
3 ln 2
A
⇒ = − .


Gi
ới hạn
1
∞


Phương pháp: Dựa vào các giới hạn ñặc biệt sau:
*
1
0
1 1
lim (1 ) lim (1 ) lim (1 )
x x
x
x x x
x e
x x
→ →+∞ →−∞
+ = + = + =
.
* Nếu
0

lim ( ) 1
x x
u x
→
=
và
0
lim ( ) ( )
x x
v x
→
= +∞ −∞

thì
0 0
1
( ) .( ( ) 1) ( )
( ) 1
lim ( ) lim 1 ( ( ) 1)
v x u x v x
u x
x x x x
u x u x
−
−
→ →
   
= + −
   

0
lim ( ( ) 1) ( )
x x
u x v x
e
→
−
=
.

Ví d
ụ 1: Tìm các giới hạn sau:
1)
3 2
51
2
lim
1
x
x
x
A
x
+
→+∞
 
+
=
 

+
 
2)
2
1
1
52
1
lim 2 )
x
x x
x
A e
−
−
→
 
= −
 
 
.
Giải:
1) Ta có:
3 2
3 2
( 1).
lim
1
3
1

51
1
lim 1
1
x
x
x
x
x
x
x
A e e
x
→+∞
+
+
+
+
+
→+∞
 
= + = =
 
+
 
.
2) Ta có:
2
2
2

2
1
1 1
1
.
lim
1
1
1
52
1
lim 1 (1 )
x x
x x
x x
x
e
e
x
x x
x
e
x
A e e
−
−
−
→
−
−

−
−
−
−
→
 
= + − =
 
 

Mà
2 2
2
1 1
1 1
lim lim . 1
1
x x x x
x x
e e
x
x
x x
− −
→ →
− −
= = −
−
−
. Vậy

1
52
A
e
−
= .

Ví d
ụ 2: Tìm các giới hạn sau:
1)
2
2 cot
53
0
lim (1 )
x
x
A x
→
= +
2)
2 1
2
3
54
2
0
1
lim ( )
1

x
x
x
x x
A
x x
+
→
− +
=
+ +
.
Giải:
1) Ta có:
2 2
2 2 2
0
1
. lim
2
tan tan
53
0
lim (1 )
x
x x
x x x
x
A x e e
→

→
= + = =
.
Giới hạn hàm số
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa - 19 -
2) Ta có
2
2 2
1 2
1
1 1
x x x
x x x x
− +
= −
+ + + +
và
2
2
2(2 1)
2 1 1
( )
3 2
3( 1)
x
x x x
x x
x x
− +
+ + +

= −
+ +

2
2 2
0
2(2 1) 2(2 1)
1
2
. lim
2
3( 1) 3( 1)
3
54
2
0
2
lim (1 )
1
x
x x
x x
x
x x x x
x
x
A e e
x x
→
− + − +

+ +
−
−
+ + + +
→
⇒ = − = =
+ +

Ví d
ụ 3: Tìm giới hạn:
tan
55
2
lim (sin )
x
x
A x
π
→
=
Giải:
Ta có:
2
sin 1
lim
(sin 1)
1
cot
.
sin 1 cot

55
2
lim [1 (sin 1)]
x
x
x
x
x x
x
A x e
π
π
→
−
−
−
→
= + − =

Mà
2 2 2
sin sin 2 cos( )sin( )
sin 1
2 2 4 2 4
lim lim lim
cot
tan( ) tan( )
2 2
x x x
x x

x
x
x
x x
π π π
π π π
π π
→ → →
− + −
−
= =
− −


2
sin( )
2 4 2
lim [ cos( )] 0
2 4
tan( )
2 4 2
x
x
x
x
x
x
π
π π
π

π π
→
− −
= − + =
− −
.
V
ậy
0
55
1
A e
= =
.

Bài tập:
Tìm các gi
ới hạn sau