các bài tập về bất đẳng thức 3 biến xyz

www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định


Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 1
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , NHỎ NHẤT P=f(x,y,z) với x,y,z thuộc D
Bài 1 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm maxP ,
111
y
zzxxy
P
x
yz




HD :
Ta có :
2
() 1
14()42
cyc cyc cyc
xy xy xy
zxy



 
,
11
max ( )

32
PPxyz

 
Bài 2 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1, Tìm MaxP ,
y
zzxxy
P
x
yz y zx z xy



HD :
Ta có :
13
1(1)(1)2112
cyc cyc cyc cyc
xy xy xy x y
zxy xyxy x y y x



  

  

13
max ( )
32

PPxyz
Bài 3 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MaxP ,
22 22 22
111
(1) 1(1) 1(1) 1
P
xy yzzx


  

HD: đặt ,,
bca
xyz
abc

Ta có :
22 22
111 1
( 1) 1 2 2 2( 1) 2( ) 2
cyc cyc cyc cyc
a
x y x y x xyx abc

   


1
max ( 1)
2

PPxyz
Bài 4 : Cho x,y,z> 0 , x+y+z+2=xyz , Tìm MinP ,
111
P
x
yz


HD : đặt
111
,,
111
abc
x
yz


, x+y+z+2=xyz => a+b+c=1

111 3
2
abc
P
xyzbccaab

 


3
min ( 2)

2
PPxyz
Bài 5 Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tim minP ,
222
x
yz
P
y
zzxxy




HD : ,,
y
zazybxyc  => a+b+c=2

2
(1 ) 1 1
24
cyc cyc cyc
a
a
aa a





 

Ta có :
111 9 9
2abcabc
 

=>
222
1
2
xyz
P
yzzxxy

 


11
min ( )
32
PPxyz
Bài 6 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm MinP ,
111
(1 )(1 )(1 )P
x
yz


HD :
111

(1 )(1 )(1 )P
x
yz
   =
111
()()()
xyz
x
yz



2
4
14
x
xxyz xyz    
www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định


Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 2

2
4
14
y
xyyz xyz    
2
4
14zxyzzxyz   

64
64
xyz
P
xyz

1
min ( ) 64
3
PPxyz
Bài 7 : Cho x,y,z>0 , x+y+z=1 , Tìm MaxP ,
222
xyz
P
x
yzx yz xy z




HD :
11
13
2111
cyc cyc cyc cyc
xx
P
x
yz x x x




   

 

111 9 9
111 34xyzxyz
 

=>
3
2224
xyz
P
xyzx yzxy z


   

13
max ( )
34
PPxyz
Bài 8 : Cho x,y,z>0 ,
3
4
xyz

 , Tìm MaxP ,

3
33
333Pxyyzzx

 
HD : Ta có
3
324( )6
33
33
cyc cyc
xy xyz
xy
 
  

,=>
1
max ( ) 3
4
PPxyz

 
Bài 9 : Cho x+y+z=0 , Tìm MinP , 34 34 34
x
yz
P


HD: Ta có

3
4
44
34 44 2 2 62 6
xxyz
xx
cyc cyc cyc
P

   
 

min ( 0) 6PPxyz

Bài 10 : cho x,y,z>0 , xy+yz+zx=4xyz , Tìm MaxP ,
111
222
P
x
yz x yz xy z




HD : ta có xy+yz+zx=4xyz =>
111
4
xyz

1 1 211 1111

1
216 4
cyc cyc
P
xyz xyz xyz







3
max ( ) 1
4
PPxyz
Bài 11 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MaxP ,
33 33 33
111
111
P
xy yz zx




HD : Ta có
33 2 2
()( )()(2 )()
x

yxyxxyy xyxyxyxyxy     
=>
33
1( ) ( )
x
yxyxyxyzxyxyz   =>
33
11
1( )
z
x
yxyxyzxyz





33
1
1
1
cyc cyc
z
P
x
yxyz

 

, max ( 1) 1PPxyz



Bài 12: Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MinP ,
22 2 2 22 2 2 22 2 2
111
x
yzyxz
P
x
yyx yzyz xzzx

HD:

33
3
2
13
327
333
cyc cyc cyc
xy xy
P
xy xy
xy
xyz




www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định

Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 3
(1)33MinP P x y z
Bài 13 : Cho x,y,z >0, xyz=1 . Tìm MaxP ,
22 22 22
111
111
xy yz zx
P
xy yz zx






HD : Ta có
22
1
x
yxyxy =>


22 22 2
31 12()(1)xy xy xyxy xy

     
=>
22

13
11
xy
x
yxy







33
3
3
11
33
1
1
cyc cyc
P
xy
xy




Áp dụng , bài 11 , 3P


max ( 1) 3PPxyz

Bài 14 : Cho x,y,z>0 ,
22 22 22
111
1
111xy yz zx

  
, Tìm MaxP ,
Pxyyzzx

HD : Ta có :

2
222 2
22 2
12
() 111
1( )
z
xyz x y z
x
yxyz

      
 

=>
222

22 22 22 2
1116
1
111()
x
yz
xy yz zx xyz



   

=>
2222
()6
x
yz x y z   
=>
3Pxyyzzx

=>
max ( 1) 3PPxyz

Bài 15: Cho ,, 1, 2
x
yz x y z xyz ,
Tìm MaxP ,
333
2 2 22 2 222 2 2 22
11 11 11

P
x
yz xyz xyz xyz xyz xyz
  
HD: Biến đổi

3
33
2
3
111
x
yyzzx
P
xyz
  

Ta có
,, 1, 2
x
yz x y z xyz
, khi đó :

222(1)0xyzxyzzzxy   
,
222(1)0x y z x yz y y xz

    
,
222(1)0xyz xyz x xzy      

Ta có :





2
33 3
x
yz xy xyz xz xyz yz
xyz x y z
     
   

33
2 ()2(1)
cyc cyc
xyz x y z x y z xy xyz xy    


=>

3
33
3
2
3
111
4
xy yz zx

P
xyz
  

=>
3
3
max ( ) 4
2
PPxyz 

Bài 16 : Cho x,y,z>0, xy+yz+zx=1 , Tìm minP ,
2
22
111
Px y z
y
zx


  





HD : Biến đổi
222
222
111

2
x
yz
Px y z
x
yz yzx

  



Mà :
3
xyz
yzx

www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định


Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 4

222
222
12 12 12
,,
93 93 93
xyz
xyz
  
Nên

222
81 1 1 81 1 1 8
88816
99
P
xyz xyyzzx xyyzzx

       




1
()16
3
MinP P x y z 
Bài 17: Cho x,y,z>0 , Tìm MaxP ,
22 22 22
232323
xyz
P
xy yz zx




HD :
Ta có :
22 2 2
111

232(1)(1)222
2
cyc cyc cyc cyc
xxx
P
y
xy x y xy
x
 
   

 



19 1
22
6
P
yxz
xzx


=>
1
max ( )
2
PPxyz

 

Bài 18 : Cho x,y,z> 0 , x+y+z=1 , Tìm MaxP ,
22 22 22
xy yz zx
P
xy yz zx




HD :

11
2
229 11 2 9 2
cyc cyc cyc
x
yxyxyxy xy
Pxy
x
yxyxy



  

 

Mà
 
2

1
3()1
3
xy yz zx x y z xy yz zx    


2
22 9
29
x
yxy
xyxy xy
xy




Nên
12 (2 2 2 ) 1
93 9 9
xy yz zx
P
  

 



=>
11

max ( )
39
PPxyz
Bài 19: Cho x,y,z>0 , Tìm maxP ,
333 33 33
33
44 44 44
xy yz zx
P
zxyxyzyzx



  

HD : Ta có :
33 3 3 3 3
31
()3()()() ()
44
x
yxy xyxyxy xy xy      
=>
33
3
44zxyzxy=>
33
3
2
44

cyc cyc
xy xy
P
xyz
zxy








max ( ) 2PPxyz
Bài 20 : cho x,y,z 0 , Tim minP ,
x
yz
P
y
zzxxy




HD : Ta có
2
2( )
x
x
xyz xyz

y
zxyz
     




2
2
cyc cyc
xx
P
yz xyz
 


=> ( 1, 0) 2MinP P x y z

  
www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định


Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 5
Bài 21 : Cho x, y, z  0 thỏa mãn: x + y + z = 1. Tìm minP,


22 22 22 2 2 2
33 yz zx2Pxyyzzx xy xyz
HD :
Ta có Đặt t = xy+yz+zx

 1 = (x+y+z)
2
≥ 3(xy+yz+zx)=3t, x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 – 2t và
1
0
3
t




22 22 22 2 2
3()
x
yyzzx xyyzzx t 

 M ≥
2
3212 ()tt tft  
f’(t) =
2
23
12
t

t



f ’’(t) =
3
2
2
(1 2 )t


< 0, t 
1
0,
3



 f’(t) là hàm giảm

111
'( ) '( ) 2 3
33
ft f
> 0  f tăng  f(t) ≥ f(0) = 2, t 
1
0,
3








( 1, 0) 2MinP P x y z
Bài 22 : Cho x,y,z>0 , xyz=1 , Tìm MinP ,
333
111
xyz
P
y
zyz zxzx xyxy


  

HD :
333
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
xyz
P
y
zzxxy

  

Ta có
3
113

(1 )(1 ) 8 8 4
xyz
x
yz



,
3
11 3
(1 )(1 ) 8 8 4
yzx
y
zx



,
3
11 3
(1 )(1 ) 8 8 4
zxy
z
xy




=>


3
13333
24244
Pxyz xyz 
3
(1)
4
MinP P x y z
Bài 23 : cho x,y,z>0 , xy+yz+zx=1 , Tìm MinP, 111Pxyyzzx


HD :
P>0 , xét

2
3 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )Pxyyzzx xyyz yzzx zxxy        



2
42 12
cyc
Pxyyz   


=>
11123Pxyyzzx ,
1
max ( ) 2 3
3

PPxyz 
Bài 24 : cho x,y,z >0 , x+y+z=1 , Tìm MinP,
222
222
111
Px y z
y
zx

HD :



2
2
2
3
2
3
111 1
3(
(
P a b c abc xyz xyz
xyz
x
yz

     





Đặt

2
2
3
1
,0
39
xyz
txyz t


 


,
2
11
3(),() ,'()1 0Pftfttft
tt

www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định


Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 6
=>
1
3()3 9 82

9
Pft
=>
1
()82
3
MinP P x y z
Bài 25 : Cho x,y,z>0 ,
3

y
z
xyz
x
  Tìm maxP ,
33
2
2
3( )
()
x
y x z x xy xz yz
P
yz yz yz

 


 


HD :
Ta có :

x 3
x
yz xy 
Đặt
,
x
yxz
ab
y
zyz



=>
22
22
1
xy xz xy xz
abab
yz yz yz yz


    




Ta có
22
3
()131()()2
4
ab ab ab ab  
Khiđó
33 2
3
3()3()()5
4
Pa b ab ab ab ab ab    
=> max ( 1) 5PPxyz
Bài 26 : Cho x,y,z thuộc [0,1] , Tìm MaxP ,
333 2 2 2
2( ) ( )Pxyzxyyzzx
HD: Ta có


222
, , 0,1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 0xyz x y y z z x ,

32 32 32
,,
x
xxyyyzzz  
222 2 2 2
()3xyzxyzxyyzzx         
333 2 2 2

2( ) ( ) 3xyz xyyzzx      
ax ( 1) 3MPPx yz     
Bài 27 : Cho
1
,, ,4
2
xyz







và xyz=1 , Tìm maxP ,
222
222
log log logPxyz
HD :
1
,, ,4
2
xyz




=>



222
log ,log , log 1, 2xyz
Khi đó :


 






22 22 22
log 1 ( log 2 log 1 ( log 2 log 1 ( log 2 0,xx yy zz
=>
 
222
222222
log log log log log log 6 0xyzxyz
Mà xyz=1 nên
2222
log log log log 0xyzxyz

 
=>
222
222
log log log 6Pxyz
1
max ( 4, ) 6

2
PPx yz
Bài 28 : cho x,y,z>0 ,
3
2
xyz , Tìm MinP,
111
x
yyzzx
P
y
zx



HD :

111 9
Pxyz xyz
x
yz xyz

  





Đặt
3

,0
2
txyz t  =>
2
99
() , '() 1 0Pftt ft
tt
 
315
6
22
P 
115
()
22
MinP P x y z
Bài 29 : Cho x,y,z>1 x+y+z= 6 , Tìm maxP ,
111
x
yz
P
y
zx




www.vnmath.com Lê Quang Dũng – GV THPT số 2 Phù Cát , Bình Định

Các bài toán tìm max,min của biểu thức f(x,y,z) 7
HD : Đặt 1, 1, 1ax by cz   => a+b+c=3
Khi đó :
111abc
P
bca



111abc
bcaabc

9
36
abc
 


(2)6MinP P x y z

Bài 30 : Cho x,y,z>0, xyz=1 , Tìm MinP ,
111
(1 ) (1 ) (1 )
P
x
yyzzx




HD : Ta có
111
0
1
1
1
y
xy
x











=>
11
(1 ) (1 ) 1 1
x
yz y
x
yz x x y




=>
111
(1 ) (1 ) 1 1
y
x
yz x x y




Khi đó :
222
23
(1 ) (1 ) (1 )
P
xyyzzx


=>
3
2
P 
3
(1)
2
MinP P x y z
Bài 31 : Cho x,y,z thuộc R , xyz=1 , Tìm MinP ,
222
222

(1) (1) (1)
xyz
P
xyz



HD : Đặt ,,
111
x
yz
abc
x
yz



Khi đó abc=(a-1)(b-1)(c-1) => a+b+c-1= ab+bc+ca

222 2 2
()2( )()2(()1)Pa b c abc abbcca abc abc            
=>
2
(1)11Pabc 

Bài 32 : Cho
1
1à, 1
4
x

vyz  sao cho xyz=1 , Tìm MinP ,
111
111
P
x
yz




HD : Ta có
11 2
11
1
yz
yz



=>
12 2
11
11
yz
P
xyz
yz yz
  



Đặt
1
12tyz
x
  
Khi đó :
2
2
222
() (2)
11 15
t
Pft f
tt
  


=>
122
min ( , 2, 2)
415
PPx y z 