bài 3 giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số
3
3y x x= −
Xét trên đoạn[0;2]
Hãy tìm giá trị lớn nhất? Giá trị nhỏ nhất?
Ta có: f(2)=3 là giá trị lớn nhất vì
[ ]
( ) (2) 3, 0;2f x f x≤ = ∀ ∈
Và tồn tại x
0
=2sao cho f(x
0
)=3
Ta có f(1)=-1 là giá trị nhỏ nhất vì
[ ]
( ) (1) 1, 0;2f x f x≥ = − ∀ ∈
Và tồn tại x
0
=1 sao cho f(x
0
)=-1
I. ĐỊNH NGHĨA:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên tậpD
a/ Số M được gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên tập D
nếu f(x) M với mọi x thuộc D và tồn tại x
0
thuộc D sao cho f(x
0
)=M
Kí hiệu :
b/ Số m được gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên tập D nếu

f(x) M với mọi x thuộc D và tồn tại x
0
thuộc D sao cho f(x
0
)=m
Kí hiệu :
≤
max ( )M f x
D
=
≥
min ( )m f x
D
=
VD1 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
y=-x
2
+2x
Ghi nhớ: nếu trên khoảng K mà hs chỉ đạt 1 cực trị duy nhất thì cực trị đó
chính là gtln hoặc gtnn của hs / K.
II/ Cách tính GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn:
Lập BBT và tìm gtln, nn của các hs:
2
trê 3;1 ;
1
trê 2;3
1
y x n
x
y n

x
 
 
 
 
 
 
= −
+
=
−
Hướng dẫn:
x -3 0 1

y’ - 0 +
y 9 0 1
x 2 3
y’ -
y 3 2
- Nhận xét mối liên hệ giữa liên tục và sự tồn tại gtln,gt nn của hs trên đoạn?.
II/ Cách tính GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn:
2. Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn :
1.Định lí:
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
trên đoạn đó
Cho hs
2
2x x v
y






− + ≤ ≤
=
≤
íi -2 x 1
x víi 1<x 3
Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất, và giá trị nhỏ
nhầt của hàm số trên đoạn [-2;1],[1;3],
[-2;3] và nêu cách tính
Xem ví dụ sgk tr 20.
NHẬN XÉT:
Nếu đạo hàm f’(x) giữ nguyên dấu trên
đoạn [a;b] thì hàm số đồng biến hoặc
nghịch biến trên cả đoạn . Do đó , f(x) đạt
được GTLN,GTNN tại các đầu mút của
đoạn
Nếu chỉ có một hữu hạn các điểm x
i
(x
i
<
x
i+1
)mà tại đó f’(x)=0 hoặc không xác định
thì hàm số y=f(x) đơn điệu trên mỗi
khoảng (x
i

; x
i+1
) . Rõ ràng GTLN(GTNN)
của hàm số trên đoạn [a;b] là số lớn
nhất(số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm
số tại hai đầu mút a, b và tại các điểm x
i

nói trên
II/ Cách tính GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn:
QUY TẮC:
1. Tìm các điểm x
1
, x
2
, …,x
n
trên đoạn [a;b] tại đó f’(x) bằng 0 hoặc không
xác định
2. Tính f(a), f(x
1
),f(x
2
),…,f(x
n
), f(b)
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên . Ta có

max ( )
;

M f x
a b
 
 
 
 
= min ( )
;
m f x
a b
 
 
 
 
=
II/ Cách tính GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn:
QUY TẮC:
1. Tìm các điểm x
1
, x
2
,
…,x
n
trên đoạn [a;b]
tại đó f’(x) bằng 0
hoặc không xác định
2.Tính
f(a),f(x
1

),f(x
2
),…,f(x
n
),
f(b)
3. Tìm số lớn nhất M và
số nhỏ nhất m trong
các số trên . Ta có

max ( )
;
M f x
a b
 
 
 
 
=
min ( )
;
m f x
a b
 
 
 
 
=
VD:
Tìm GTLN,GTNN của hàm số:

3 2
1. y = -x 3 ên 1;1x tr
 
 
 
+ −
2.
2
y = 4-x
Giải
VD3: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình
vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại như hình sau để được cái hộp không nắp.
Tính cạnh của các hình vuộng bị cắt sau chothể tích của hộp là lớn nhất.
a
x
Hướng dẫn:
Gọi x là độ dài của hình vuông bị cắt
(0 )
2
a
x< <
Thể tích khối hộp là:
( )
2
( ) 2 (0 )
2
a
V x x a x x= − < <
Tìm
0

0;
2
a
x
 
∈
 ÷
 
Sao cho V(x
0
) có giá trị lớn nhất
Gọi x là độ dài của hình vuông bị cắt
(0 )
2
a
x< <
Thể tích khối hộp là:
( )
2
( ) 2 (0 )
2
a
V x x a x x= − < <
Tìm
0
0;
2
a
x
 

∈
 ÷
 
Sao cho V(x
0
) có giá trị lớn nhất
V’(x) = (a-2x)(a-6x)
Trên khoảng
0;
2
a
 
 ÷
 
Ta có
'( ) 0
6
a
V x x= ⇔ =
BBT:
x 0
y’ + 0 -
y
6
a
2
a
3
2
27

a
Vậy: thì V(x) có giá trị lớn nhất:
( )
3
2
max
27
0;
2
a
V x
a
 
 ÷
 
=
6
a
x =