Hình học cổ điển có lời giải chi tiết

TRƯỜNG THPT LONG MỸ
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC-HÌNH HỌC
( có giải chi tiết )
B06 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
a 2
, SA = a và SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm
của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể
tích của khối tứ diện ANIB.
HD: Cách 1: Dễ thấy I là trọng tâm ∆ABD ⇒ BI =
2
BM
3
=
a 2
3
và AI =
1 a 3
AC
3 3
=
∆ABI có BI
2
+ AI
2
=
2 2
2 2
2a 3a
a AB
3 9

+ = =
⇒ BI⊥ AI và BI ⊥ SA ⇒ BI⊥(SAC) ⇒(SMB) ⊥ (SAC)
Khối tứ diện SABC có thể chia làm 3 tứ diện:
SABN ; CNBI ; ANIB
Gọi V = V
SABC
; V
1
= V
SABN
; V
2
= V
CNBI
Ta có :
1 2
V V
SN.SA.SB CN.CI.CB
V V SC.SA.SB SC.CA.CB
+ = +

1 2
V V
1 1 2 1 1 5
.
V 2 2 3 2 3 6
+
= + = + =
⇒ V
ANIB

=
SABC
1 1 1
V . BA.BC.SA
6 6 6
=
=
1
a.a 2.a
36
⇒ V
ANIB =
3
a 2
36
C2:
Xét ∆ABM và ∆BCA vuông đồng dạng ?
·
·
·
·
·
0 0
ABM +BAC =BCA+ BAC =90 90AIB MB AC⇒ = ⇒ ⊥
(1)
SA ⊥(ABCD) ⇒SA ⊥MB (2).
Từ (1) và (2) ⇒MB ⊥(SAC) ⇒(SMB) ⊥(SAC).
Gọi H là trung điểm của AC ⇒NH là đường trung bình của ∆SAC
⇒NH = SA/2= a/2 và NH//SA nên NH ⊥(ABI), do đó V
ANIB

=
3
1 2
.
3 36
ABI
a
NH S =

A06 Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O' , bán kính đáy bằng chiều cao và
bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B
sao cho AB= 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO'AB.

Kẻ đường sinh AA'. Gọi D là điểm
đối xứng với A ' qua O' và H là hình
chiếu của B trên đường thẳng A'D.
Do BH ⊥ A'D và BH ⊥ AA' nên BH ⊥ (AOO'A')
V
OO’AB
= (1/3)BH.S
AOO’
Ta có: A'B
2
= AB
2
- A'A
2
= 3a
2
và BD

2
= A'D
2
- A'B
2
= a
2
,suy ra ∆BO'D đều BH= ? .
Vì AOO' là tam giác vuông cân cạnh bên bằng a nên:
S
AOO'
= a
2
/2
Vậy thể tích khối tứ diện OO'AB là:
2
1 3
.
3 2 2
a a
V = =
D06 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông
góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường
thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
GV BÙI VĂN NHẠN ĐT 0908.753.116 1
y
z
x
B
S

C
D
A
N
M
I
a
a
a 2
C
I
H
M
N
D
A
B
C
E
O
A
O'
A'
D
C
B
H
TRƯỜNG THPT LONG MỸ
HD:
3

.
1 3
. .
3 6
S ABC ABC
a
V SA S
∆
= =
(đvtt)
+ ∆SAB vuông tại A có AM là đường cao
⇒ SM.SB = SA
2
⇒
2
2
4
5
SM SA
SB
SB
= =
+ ∆SAC vuông tại A có AN là đường cao
⇒ SN.SC = SA
2
⇒
2
2
4
5

SN SA
SC
SC
= =
16 16
. .
25 25
SAMN
SAMN SABC
SABC
V
SA SM SN
V V
V SA SB SC
= = ⇒ =
⇒ V
ABCMN
= V
SABC
– V
SAMN
=
3
9 3 3
25 50
SBAC
a
V =
(đvtt)
A07 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD.
Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
HD:
Gọi H là trung điểm của AD.
Do ∆SAD đều nên SH ⊥ AD.
Do (SAD) ⊥ (ABCD) nên
SH⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ BP (1)
Xét hình vuông ABCD ta có
∆CDH = ∆BCP
CH ⊥ BP (2) .
Từ (1) và (2) ⇒ BP⊥ (SHC) .
Vì MN//SC và AN // CH ⇒(AMN) // (SHC)
Do đó: BP⊥(AMN) ⇒ BP⊥ AM.
Kẻ MK ⊥ (ABCD) , Ta có: V
CMNP
= (1/3)MK.S
CNP
2 3
1 3 1 3
; . ;
2 4 2 8 96
CNP CMNP
a a a
MK SH S CN CP V= = = = =

B07 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của
D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN
vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
HD:
Gọi H là tâm ABCD ⇒SH ⊥(ABCD) .

Từ BH ⊥ AC và BH ⊥ SH suy ra BH ⊥ (SAC)
Và Gọi I, K là trung điểm SA và AB :
IH// BE và MK// BE nên IH//MK
MK//IH (1) và KN//AC (2)
1(1) và (2) ⇒ (MKN) // (SAC)
(MKN) ⊥ BD ⇒MN ⊥ BD
Khoảng cách giữa MN và AC
bằng khoảng cách từ H đến (KMN) = HQ/2
GV BÙI VĂN NHẠN ĐT 0908.753.116 2
A
B
C
S
M
N
I
N
K
H
D
A
B
C
S
E
M
K
M
P
N

H
D
A
B
C
S
TRƯỜNG THPT LONG MỸ
D07 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc ABC= BAD= 90
0
, BA = BC = a, AD =
2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA =
2a
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.
Chứng minh tam giác SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) .
HD:
Kẻ CE vuông góc AD, thì tứ giác OBCE là hình vuông nên CE=AE=ED=a. Sử dụng định lý
Pitago ta có: CD
2
=2a
2
,SC
2
= 4a
2
,SD
2
= 6a
2
;
SD

2
=SC
2
+ SD
2
⇒ ∆ SCD vuông tại C.
b) Gắn vào hệ trục tọa độ Oxyz:
A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); C(a, a, 0); D(0, 2a, 0); S(0, 0, a).
Hạ HI vuông góc với AB, HK vuông góc SA.
Ta có
2
3; ; 2
3
a
SB a AI AK a= = =
Pt mp(SCD):
2 2 0x y z a
+ + − =

⇒
a
d(H;(SCD))=
3
A08 . Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB
= a, AC =
3a
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung
điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai
đường thẳng AA', B'C'.
HD:

Gọi H là trung điểm của BC.
Suy ra A'H ⊥(ABC) và AH =
2 2
1 1
3
2 2
BC a a a= + =
Do đó : A'H =A'A
2
– AH
2
= 3a
2
⇒A'H =
3a
Vậy
3
'.
1
' .
3 2
A ABC ABC
a
V A H S= =
Trong tam giác vuông A'B'H có: HB'
2
= A'B'
2
+ A'H
2

=4a
2
nên tam giác
B'BH cân tại B'. Đặt ϕ là góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C' thì ϕ = B'BH
·
BH/2 1
' ;cos =
BB' 2.2 4
a
B BH
a
ϕ ϕ
= = =

B08 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB =
3a
và mặt
phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,
BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM,
DN.
Gọi H là hình chiếu của S trên AB, suy ra SH ⊥ (ABCD). Do đó SH là đường cao của hình chóp
S.BMDN.Ta có: SA
2
+ SB
2
= AB
2
nên tam giác SAB vuông tại S, suy ra SM = AB/2 Do đó tam
GV BÙI VĂN NHẠN ĐT 0908.753.116 3
H

A
C
B
C'
B'
A'
N
M
D
A
B
C
S
H
E
E
M
A
B
C
A'
B'
C'
A
C
E
S
K
D
I

B
H
TRƯỜNG THPT LONG MỸ
giác SAM đều, suy ra SH =
3a
/2 . Diện tích tứ giác BMDN là
S
BMDN
=S
ABCD
/2 = 2a
2
.Thể tích khối chóp S.BMDN là V
SBMDN
=
3
3
3
a
(đvtt).
Kẻ ME//DN .Đặt ϕ là góc giữa hai đường thẳng SM và DN. Ta có (SM,ME) = ϕ
Theo định lý ba đường vuông góc ta có SA ⊥ AE
SE
2
= SA
2
+ AE
2
= 5a
2

/4 ; ME
2
= AM
2
+ AE
2
= 5a
2
/4 .Suy ra tam giác SME cân tại E nên và
·
ME/2 / 2 1
;cos =
SM
5 / 2 5
a
SME
a
ϕ ϕ
= = =

D08 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' =
2a
. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.
HD:
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông cân tại B. Thể tích khối lăng trụ là
V
ABC.A'B'C'
= AA’.S
ABC

=
3
2
1 2
2.
2 2
a
a a =
(đvtt).
Gọi E là trung điểm của BB’.Khi đó mặt phẳng (AME) song song với B’C nên khoảng cách giữa
hai đường thẳng AM,B’C bằng khoảng cách giữa B’C và mặt phẳng (AME).
Nhận thấy khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME) bằng khoảng cách từ C đến mp(AME).
Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME).
Do tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi một vuông góc nên suy ra đường cao :

2 2 2 2
1 1 1 1 7
7
a
h
h BE BA BM
= + + ⇒ =
Khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AM bằng
GV BÙI VĂN NHẠN ĐT 0908.753.116 4