CHUYÊN đề hình học không gian về QUAN hệ VUÔNG góc KIẾN THỨC TỔNG hợp DẠNG bài tập lớp 11

CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
CHUYÊN ĐỀ VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

A/ Tóm tắt lý thuyết:
I/ Góc
1. Góc giữa hai đường thẳng:
 Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau, chúng tạo thành bốn góc. Số đo của
góc nhỏ nhất trong bốn góc đó gọi là số đo góc hợp bởi a và b hay góc giữa
hai đường thẳng a và b.
 Trong không gian góc giữa hai đường thẳng a, b là
góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm
và lần lượt song song hoặc trùng với a và b.
 Lưu ý:
0
0
≤

·
( , )a b

≤

0
90
* Nhị diện:
 Hình hợp bởi hai nữa mặt phẳng (
α
) và
( )
β

có chung bờ c gọi là nhị diện.
Mỗi nữa mặt phẳng (
α
) và
( )
β
gọi là một nữa của nhị diện. Đường thẳng c
được gọi là cạnh của nhị diện. Kí hiệu nhị diện [
, ,c
α β
]
 Mặt phẳng vuông góc với c cắt nhị diện theo góc
¶
aIb
.
Góc
¶
aIb
gọi là góc phẳng của nhị diện
[ ]
, ,c
α β
Ta có:
[ ]
0
0 , , 180c
α β
≤ ≤
Khi
[ ]

, ,c
α β
=
0
90
. Ta nói
[ ]
, ,c
α β
là nhị diện vuông.
2.Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng d và mặt phẳng
( )
α
.

( ) ( )
0
, 90d d
α α
⊥ ⇒ =

d ⊥
( ) ( ) ( )
, , 'd d d
α α
⇒ =
với d’ là hình chiếu
của d trên
( )

α
.
Chú ý:
0 0
0 90
ϕ
≤ ≤
3.Góc giữa hai mặt phẳng:
 Định nghĩa:
( )
·
( )
·
( ) ( )
, , ; ,a b a b
α β α β
= ⊥ ⊥
 Nhận xét:
•
( )
·
0 0
0 , 90
α β
≤ ≤
1
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
•
( ) ( )
( ) ( )

( )
·
0
//
, 0
α β
α β
α β

⇒ =

≡


 Cách xác định góc giữa hai mp cắt nhau:
Cho
( ) ( )
c
α β
=I
.
B1: Lấy điểm I bất kì thuộc c.
B2: Trong
( )
α
dựng
a c
⊥
tại I
B3: Trong

( )
β
dựng
b c
⊥
tại I
B4: KL:
( )
·
( )
·
, ,a b
α β
=
Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của một đa giác phẳng với S’ là diện tích của đa giác
hình chiếu (vuông góc) và
ϕ
là góc giữa mặt phẳng của đa giác và mặt
phẳng hình chiếu, ta có:
( )
·
' .cos , ,S S
ϕ ϕ α β
= =
4/ Hình chiếu của góc vuông
Định lí: Hình chiếu của góc vuông lên một mặt phẳng (
α
) là một góc vuông
khi và chỉ khi góc vuông đem chiếu có ít nhất một cạnh song song hoặc nằm

trong (
α
) .
·
·
90
' ' ' 90
/ /( )
( )
AOB
A O B
OA
OA
α
α

=

⇔ =




⊂


o
o
II/Quan hệ vuông góc
1.Hai đường thẳng vuông góc:

 a
⊥
b
⇔
·
( , )a b
=
0
90



/ /
a c
a b
⊥



c b
⇒ ⊥
2
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
 Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là
vuông góc với mặt phẳng nếu như nó vuông góc
với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là
mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung
điểm của nó.

 Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập
hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
 Định lí và tính chất:

a.
( )
, ( )
d a
d b
d P
a b
a b P
⊥


⊥

⇒ ⊥

∩


∈

b.
/ /
( )
( )
a b
P b

a P

⇒ ⊥

⊥

c.
( ) / /( )
( )
( )
P Q
d Q
d P

⇒ ⊥

⊥

d.
( )
( ) ( ) / /( )
( ) ( )
P d
Q d P Q
P Q
⊥


⊥ ⇒



≡

e.
( )
( ) / /
a P
b P a b
a b
⊥


⊥ ⇒


≡


f.
( )
( )
( )
a P
a b a P
b P
⊄


⊥ ⇒ ⊥



⊥

 Phép chiếu vuông góc: Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo
phương l vuông góc với mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt
phẳng (P).
 Định lí ba đường thẳng vuông góc:
Gọi đường thẳng b’là hình chiếu vuông góc của
đường thẳng b trên (P).
( )
( ) '
' ( )
b P
P a b a b
b P
⊥


⊂ ⇒ ⊥ ⇔ ⊥


⊂



3
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
2/ Hai mặt phẳng vuông góc:
a.Hai mặt phẳng vuông góc
 Định nghĩa:

·
( ) ( ) (( ),( )) 90P Q P Q⊥ ⇔ =
o
 Các tính chất:
1.
( )
( ) ( )
( )
a P
P Q
a Q
⊂

⇒ ⊥

⊥

2.
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
P Q
a P
a Q
P Q c
a c
⊥



⊂

⇒ ⊥

∩ =


⊥

 Hệ quả:
( ) ( )
( )
( )
( )
P Q
A P
a P
A a
a Q
⊥


∈

⇒ ⊂

∈


⊥


 Hệ quả:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q a
P R a R
Q R
∩ =


⊥ ⇒ ⊥


⊥

3. Hình lăng trụ đứng và hình chóp đều:
a. Hình lăng trụ:
Hình có các cạnh bên vuông góc với đáy được gọi là hình lăng trụ
hay hình lăng trụ đứng.
Hình lăng trụ đứng có đáy là các miền đa giác đều được gọi là hình
lăng trụ đều.
Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp
đứng.
Hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ
nhật.
Hình hộp có tất cả các mặt là hình vuông được gọi là hình lập
phương.
b. Hình chóp
-Hình chóp đều là hình có đáy đáy là

đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
4
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
-Khi cắt hình chóp cụt đều bởi một mặt phẳng song song
với đáy để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó
được gọi là hình chóp cụt đều.
-Đường nối tâm hai đáy được gọi là đường cao của
hình chóp cụt đều.
III/ Khoảng cách
1.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
( ; )
O a
H a OH d O a
OH a
∉


∈ ⇒ =


⊥

-Ta có:
•
( , ) ,d O a OH OM M a= ≤ ∀ ∈
•
( )
, 0d O a O a= ⇔ ∀ ∈
2.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
( )

( ) ( ;( ))
( )
O
H OH d O
OH
α
α α
α
∉


∈ ⇒ =


⊥

-Ta có:
•
( )
( )
( )
, ,d O OH OM M
α α
= ≤ ∀ ∈
•
( )
( )
( )
, 0d O O
α α

= ⇔ ∈
3.Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song:
-Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng
( )
α
.
Khi đó:
( )
( )
( )
( )
, , ;d a d M MH M a
α α
= = ∀ ∈
-Ta có:
•
( ,( )) 0 ( )d a a
α α
= ⇔ ∩
•
( )
( )
( )
, , ,d a MH MN N M a
α α
= ≤ ∀ ∈ ∈
4.Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
-Cho hai mặt phẳng song song
( ) ( )
,

α β
.
Khi đó:
(( ),( )) ( ,( )) ', ( ), ' ( )d d M MM M M
α β β α β
= = ∈ ∈
hoặc
(( ),( )) ( ,( )) AA', ( ), ' ( )d d A A A
α β β α β
= = ∈ ∈
5
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
5.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
-Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng đó.
• Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
( )
∆
và
( )
'∆
là đường thẳng a cắt
( )
∆
ở
M
và cắt
( )
'∆

ở
N
đồng thời vuông góc với cả
( )
∆
và
( )
'∆
.
• Đoạn
MN
được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau
( )
∆
và
( )
'∆
.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đườngthẳng đó .
• Nhận xét:Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song
và lần lượt đi qua a và b, ta có:
+
( ; ) ( ;( )) ( ;( )) (( ); ))d a b d a Q d b P d P Q= = =
+Khoảng cách giữa a và b là bé nhất so với khoảng cách giữa hai điểm bất kì
lần lượt nằm trên a và b.
B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN VÀ BÀI TẬP MINH HỌA.
-Phương pháp:
• a

⊥
b
⇔
·
( , )a b
=
0
90
/ /b c
a b
a c

⇒ ⊥

⊥

.
•
0a b a b⊥ ⇔ × =
uur uur
.Nếu
,a b
uur uur
lần lượt là các vectơ
chỉ phương của hai đường
thẳng
vàa b

Khi hai đường thẳng cắt nhau ta có
thể dùng các kết luận đã có trong

hình học phẳng như : tính chất
đường trung trực , định lí Pitago đảo
… để chứng minh chúng vuông
góc .
•
( )
( )
a
a b
b
α
α
⊥

⇒ ⊥

⊂

;
•
/ /( )
( )
a
b a
b
α
α

⇒ ⊥


⊥

•
( )
'
( ) '
a hch a
b b a
b a
α
α
=


⊂ ⇒ ⊥


⊥

( )
'
( )
'
a hch a
b b a
b a
α
α
=



⊂ ⇒ ⊥


⊥

.
•
;ABC a AB
a BC
a AC
∆ ⊥

⇒ ⊥

⊥

( áp dụng trực tâm của tam giác)
6
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy

-Phương pháp:

( )
( ) ( )
a b
a c a
b c O
α

α α
⊥ ⊂


⊥ ⊂ ⇒ ⊥


∩ =

.
 .
/ /
( )
( )
a b
b
a
α
α

⇒ ⊥

⊥


/ /( )
( )
a
b
a b

α
α

⇒ ⊥

⊥

.

( ) { }
|AB M MA MB
α
⊥ = =
((
α
)là mặt phẳng trung trực
của AB).

( )
( )
ABC
MA MB MC MO
OA OB OC
α
α
∆ ⊂


= = ⇒ ⊥



= =

.

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
P Q
a P
a Q
P Q c
a c
⊥ 

⊂

⇒ ⊥

∩ =


⊥


( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )

P R
Q R a R
P Q a
⊥ 

⊥ ⇒ ⊥


∩ =


( ) / /( )
( )
( )
p Q
a Q
a P

⇒ ⊥

⊥

-Phương pháp:

( ) ( ) ( ) ( )
·
(
)
0
, 90P Q P Q⊥ ⇔ =


( )
( )
( ) ( )
P a
P Q
a Q
⊃ 

⇒ ⊥

⊥



( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
/ /
R Q
P Q
P R
⊥ 

⇒ ⊥



-Phương pháp :
*Cách 1: (theo phương pháp hình học)

7
Dạng 2 : Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau
Dạng 4: Tính góc giữa hai đường thẳng
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
-Lấy điểm O tùy ý (ta có thể lấy O thuộc một trong hai đường thẳng) qua đó
vẽ các đường thẳng lần lượt song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng đã
cho
-Tính một góc trong các góc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt nhau tại
O .
-Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm , nếu góc đó tù thì góc cần tính là
góc bù với góc đã tính .
*Cách 2: (theo phương pháp véctơ)
-Tìm
1 2
,u u
uur uur
lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng
( ) ( )
1 2
àv∆ ∆

-Khi đó
( )
( )
1 2
1 2 1 2
1 2
cos , cos ,
u u

u u
u u
×
∆ ∆ = =
×
uur uur
uur uur
uur uur
.

-Phương pháp :
-
( )
·
( )
0
, 90a a
α α
⊥ ⇒ =
;
-
( )
·
0
/ /
, 0
a
a
a
α

α
α

⇒ =

⊂

;
-
( )
·
( )
( )
·
, , '
'
d
d d d
d hch d
α
α
α
⊥ 

⇒ =

=


-Để tìm

'd hch d
α
=
ta lấy tùy ý điểm
A d∈
, dựng
( )
AH
α
⊥
tại H , suy ra
( )
( )
' ,hch d d OH O d
α
α
= = = ∩
·
( )
·
,d AOH
α
⇒ =

-Phương pháp:
*Cách 1: Dùng định nghĩa:

( ) ( )
·
(

)
¶
( )
, ,a b
α β
=
trong đó:
( )
( )
a
b
α
β
⊥ 


⊥


8
Dạng 6: Tìm góc giữa hai mặt phẳng
Dạng 5: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
*Cách 2: Dùng nhận xét:

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
·

(
)
·
( )
, ,
R P Q
R P p P Q p q
R Q q
⊥ ∆ = ∩ 

∩ = ⇒ =


∩ =

.
*Cách 3: Dùng hệ quả:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
·
(
)
·
,
P
M Q
H hch M P Q MNH
HN m P Q

∈


= ⇒ =


⊥ = ∩

.
-Phương pháp: Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta
phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến mặt phẳng , ta hay dùng một
trong hai cách sau :
*Cách 1:
Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) .
- Xác định giao tuyến
( ) ( )
m P Q= ∩
.
- Dựng
MH m
⊥
( )
MH P⇒ ⊥
, suy ra MH là đoạn
cần tìm .
*Cách 2: Giả sử biết đường thẳng d
⊥
(P),
-Dựng
/ / ( )Mx d P⊥

, lúc đó
( )H Mx P= ∩
là hình chiếu
của điểm M trên mp(P).
*Cách 3: Dựa vào tính chất trục của tam giác: Cho
ABC∆
nằm trên (P), hình
chiếu vuông góc của điểm M trên (P) là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC∆
,
tức là nếu MA=MB=MC khi đó hình chiếu của điểm M trên mp (P) là tâm O
của đường tròn ngoại tiếp
ABC∆
.
 Chú ý :
-Nếu
( ) ( )
( )
( )
( )
/ / , ,MA d M d A
α α α
⇒ =
.
9
Dạng 7: Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
-Nếu
( )
MA P I∩ =

( )
( )
( )
( )
,
,
d M P
IM
d A P IA
⇒ =
=
MH
AK

(Do MH // AK)
-Nếu
( )
( )
( )
( )
, 0
a P
d a P
a P
∩
⇒ =

⊂



.
-Khi
( )
/ /a P

( )
( )
( )
( )
, ,d a P d A P⇒ =
với
A a∈
.
-Khi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
, 0
P Q
d P Q
P Q
∩
⇒ =

≡


.
-Khi

( ) ( )
/ /P Q
( ) ( )
( )
( )
( )
,
,
( ,( ))
d A Q
d P Q
d B Q

⇒ =




với
( )
,A B P∈
.
-Khi
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
'
, ' 0
'

d
∆ ∩ ∆
⇒ ∆ ∆ =

∆ ≡ ∆


.
-Khi
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
/ / ' , ' , ' ,d d M d N∆ ∆ ⇒ ∆ ∆ = ∆ = ∆
với
( ) ( )
, 'M N∈ ∆ ∈ ∆
.
-Phương pháp :
10
Dạng 11: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Dạng 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng
Dang 9: Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng
Dạng 8: khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
*Cách 1: Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính
khoảng cách từ b đến mp(P) .
*Cách 2: Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng .

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm .
*Cách 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó .
Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
*Cách 1: Khi
a b⊥
-Dựng một
( ) ( )
,mp P b P a⊃ ⊥
tại H .
-Trong (P) dựng
HK b⊥
tại K .
-Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b .
*Cách 2:
-Dựng
( ) ( )
, / /P b P a⊃
.
-Dựng
( )
'
P
a hch a=
, bằng cách lấy
M a∈
dựng đoạn
( )
MN P⊥
, lúc đó a’ là
đường thẳng đi qua N và song song a .

-Gọi
'H a b= ∩
, dựng
/ /HK MN

HK⇒
là đoạn vuông góc chung cần tìm .
*Cách 3:
-Dựng
( )
α
⊥
a tại O,
( )
α
cắt b tại I
-Dựng b’=
( )
hch b
α
=
-Trong
( )
α
, vẽ
', '.OH b H b⊥ ∈
-Từ H dựng đường thẳng song song với
a cắt b tại B.
-Từ B dựng đường thẳng song song với OH
cắt a tại A. Vậy AB là khoảng cách của hai

đường chéo a và b.
*Cách 1: Nếu một hình chóp có các đỉnh còn lại cùng nhìn một cạnh dưới
một góc vuông thì tâm của hình cầu ngoại tiếp hình chóp chính là trung điểm
của cạnh đó.
-Chú ý: Để chứng minh các điểm cùng nhìn đoạn thẳng dưới một góc vuông.
*Cách 2: Ta thực hiện theo các bước sau:
11
Dạng 12: Xác định tâm của mặt hình cầu ngoại tiếp hình chóp ta có
thể làm theo các bước sau
au:
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
+Bước 1 : Xác định trục (
∆
) của đáy ( tức là đường thẳng đi qua tâm của
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy).
+Bước 2:
 Nếu (
∆
) đồng phẳng với một cạnh bên nào đó của hình chóp, thì trên mặt
phằng chứa trục và cạnh bên đó ta dựng đường trung trực (d) của cạnh bên,
lúc đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp là giao điểm của (
∆
) và (d).
 Nếu (
∆
) không đồng phẳng với một cạnh bên nào của hình chóp, thì :
1.ta xác định tiếp(
∆
’) là trục của một mặt bên nào đó, lúc đó tâm của mặt
cầu ngoại tiếp là giao điểm của (

∆
) và (
∆
’).
2.Nếu không xác định được (
∆
’) thì ta xác định mặt phẳng trung trực (
α
)
một cạnh bên nào đó của hình chóp, lúc đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp là giao điểm của (
∆
) và (
α
)
BÀI TẬP
Ví dụ 1: Tứ diện A.BCD có AD=
2a
, các cạnh khác đều bằng a; DH
vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H.
a)Chứng minh rằng ABH và ACH là nhứng tam giác vuông bằng nhau và
các mặt phẳng (DBC) và (ADH) vuông góc với nhau.
b)Tính số đo nhị diện cạnh AD.
c)Mặt phẳng qua H vuông góc với AD cắt AD, BD, CD lần lượt tại A’, B’,
C’.Tính AH, DH, DB’ và chứng minh rằng tứ giác HB’A’C’ là hình vuông.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a,
( )SO ABCD⊥
. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh của đáy
và vuông góc với cạnh bên đối diện có diện tích bằng nữa diện tích đáy.
Tính góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy.

Bài làm:
12
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
Gọi mặt phẳng thiết diện cắt hình chóp S.ABCD là mặt phẳng (P).
Giả sử (P) cắt lần lượt các cạnh SD, SC, SB tại các điểm theo thứ tự F, G, H.
Vậy (P) chính là (AFGH)
Vì
( )SO ABCD⊥
nên hình chiếu của SC lên (ABCD) chính là OC
Ta có:
( )
·
(
)
SC, ABCD
=
·
( )
SC,OC
=
·
SCO
=
α
Ta xét DB và (SAC)
( )
DB AC
DB SAC DB SC
DB SO

⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

(1)
Mặt khác:
(AF )
(AF )
SC GH
SC FH
FH GH
⊥

⇒ ⊥

⊂

(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
/ /
( )
DB FH
FH AG
DB SAC DB AG

⇒ ⊥

⊥ ⇒ ⊥


Vậy diện tích tứ giác AFGH là:
AFGH
S
=
1
2
AG.FH
Xét
∆
SBD có FH//DB nên ta có tỉ lệ:
1
FH SE SO EO EO
BD SO SO SO
−
= = = −
Xét
∆
SOC vuông tại O: SO= tan
α
.OC= tan
α
.
2
AC
= tan
α
.
2
2

a
Vì
SEG SCO∆ ∆:
Nên :
·
SEG
=
·
SCO
Mà
·
SEG
=
·
AEO
(Đối đỉnh)
Suy ra:
·
SEG
=
·
AEO
=
·
SCO
=
α
Xét
∆
AEO vuông tại O, EO=cot

α
.AO=cot
α
.
2
AC
=cot
α
.
2
2
a
Suy ra:
2
2
cot
2
1 1 1 cot
2
tan
2
a
FH EO
BD SO
a
α
α
α
= − = − = −

nên FH=BD(
2
1 cot
α
−
)=
2a
(
2
1 cot
α
−
)
Xét
∆
AGC vuông tại G vì SC
AG⊥
, nên AG=sin
α
.
2a
AFGH
S
=
1
2
AG.FH=
1
2
(sin

α
.
2a
)(
2a
(
2
1 cot
α
−
))
Theo đề ta có:
AFGH
S
=
1
2
ABCD
S
13
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
⇔

1
2
(sin
α
.
2a
)

2a
(
2
1 cot
α
−
) =
1
2
2
a
⇔
-2sin
α
(
2
1
2
sin
α
−
)=1

⇔
4
2
sin
α
-sin
α

+2 =0
⇔

0
0
1 33
sin 57 28'
8
1 33
sin 36 23'
8
α α
α α

+
= ⇒



−
= ⇒ −


;
;
Ta chỉ nhận giá trị
0
57 28'
α
;

. Vì
0 90
o
α
≤ ≤
.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ∆ABC đều cạnh a . I là trung điểm
của BC, SA vuông góc với (ABC) .
a) Chứng minh (SAI) vuông góc với (SBC) .
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, AB . BE, CF lần lượt là đường cao
của ∆SBC. Chứng minh (MBE) vuông góc với (SAC) và (NFC) vuông góc
với (SBC) .
c) Gọi H, O lần lượt là trực tâm của ∆SBC và ∆ABC . Chứng minh OH
vuông góc với (SBC) .
d) Cho (α) qua A và song song với BC và (α) vuông góc với (SBC). Tính
diện tích của thiết diện S.ABC bởi (α) khi SA = 2a .
e.)Khi SA =
3a
. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) , (SAC) và
(SBC) .
Bài làm:
14
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
a) cm (SAI) vuông góc (SBC)
( )
( )
BC SA SA ABC
BC SAI
BC AI
⊥ ⊥


⇒ ⊥

⊥

( )
( ) ( )
( )
BC SAI
SAI SBC
BC SBC
⊥

⇒ ⊥

⊂

b)cm(MBE) vuông góc (SAC)
( )
BM SA
BM SAC
BM AC
⊥

⇒ ⊥

⊥

Cm (NFC) vuông góc SBC)
Ta có:

( )SA ABC⊥ ⇒
A là hình chiếu của lên mp(ABC)
⇒
Vì CN
⊥
AB nên
CN
⊥
SB
Mặt khác: SB
⊥
CF
⇒
SB
⊥
(CNF) mà SB
⊂
(SBC)
⇒
(SBC)
⊥
(FCN)
c)cm OH
⊥
(SBC)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
CFN SBC
SAI SBC OH SBC

SAI CFN OH
⊥


⊥ ⇒ ⊥


∩ =

d)Tìm thiết diện (
α
)
Gọi P=SI
∩
EF
Thiết diện ta cần tìm là
∆
AFE cân tại A, xét:
(AFE) (SBC)(gt)
(AF ) ( )
(AFE)
/ /
( )
C SBC FE
SI
SI BC
SI FE
BC FE
SI SBC
⊥



∩ =


⇒ ⊥
⊥


⇒ ⊥





⊂

Nên SI
⊥
AP
Xét
∆
SAI vuông tại A, có AP là đường cao, nên ta có: SA.AI=AP.SI
⇒
AP=
2 2
3
2 .
. 2 3
2

19
3
(2 ) ( )
2
a
a
SA AI a
SI
a
a
= =
+
Xét
∆
SBC có EF//BC nên ta có tỉ lệ:
EF SP
BC SI
=
SP=
2 2
2 2
2 3
(2 ) ( ) .2
32
19
EF
19
3
(2 ) ( )
2

a
a a
a
a
a
−
= =
+
1 16
EF
2 19
a
FP⇒ = =
15
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
Diện tích thiết diện là:
2
AEF AFP
1 2 3 16 32 3
2. 2. . . .
2 19
19 19 19
a a a
S S AP FP= = = =
d.+Tính
( ) ( )
·
(
)
SBC , ABC

=?
Ta có:
( ) ( )
·
·
SBC ABC BC
(( ),( )) ( , ) AISSI BC SBC ABC SI AI
AI BC
=


⊥ ⇒ = =


⊥

Xét
∆
ABI vuông tại I có
AI=
2 2 2 2
3
( )
2 2
a a
AB BI a− = − =
Xét
∆
SAI vuông tại A, có tg
·

AIS
=
3
2
3
2
SA a
AI
a
= =
suy ra:
·
AIS
0
63 26';
Vậy
( ) ( )
·
(
)
SBC , ABC
=
·
AIS
0
63 26';
.
+Tính
( ) ( )
( )

·
(
)
SAC , SBC
=?
Ta có:
·
·
·
( ) ( )
( ) (( ),( )) ( , )
( )
SAC SBC SC
BE SC gt SAC SBC BE AE AEB
AE SC gt
∩ =


⊥ ⇒ = =


⊥

Mà ta có:
( )
( )
( )
BE SA gt
BE SAC
BE SC gt

⊥

⇒ ⊥

⊥

nên BE
⊥
AE suy ra
·
AEB
=
90
o
Vậy
( ) ( )
( )
·
(
)
SAC , SBC
=
·
AEB
=
90
o
Bài 3: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc
·
60BAD =

o
. Đường thẳng SO vuông góc với mp(ABCD) và
3
4
a
SO =
. Gọi E, F
theo thứ tự là trung điểm của BC, BE.
a)Chứng minh:
( ) ( OF)SBC S⊥
.
b) Tính khoảng cách từ tâm O đến mp (SBC)
c)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AD.
d)Mặt phẳng(
α
) đi qua AD và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Xác định
thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng(
α
) và tính diện tích thiết diện.
e)Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (
α
) và (ABCD)
Bài làm:
16
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
a)
( ) ( OF)SBC S⊥
Ta có:
∆
OBE tam giác đều do

·
·
·
·
0
/ / 60
1 1
(180 60 ) 60
2 2
OE DC DCB OEB
EBO ABC

⇒ = =


= = − =


o
o o
Mà F là trung điểm BE nên BF
⊥
OF
Mặt khác: SO
⊥
(ABCD) nên SO
⊥
BE
Suy ra: BE
⊥

(SOF) mà BE
⊂
(SBC)
Suy ra: (SOF)
⊥
(SBC)
b) Tính d(O,(SBC))=?
Gọi OI là đường thẳng vuông góc với SF
Vì BE
⊥
(SOF) nên OI
⊥
BE
Suy ra: OI
⊥
(SBC)
⇒
I là hình chiếu vuông góc của O lên mp(SBC).
⇒
d(O,(SBC))= OI
Xét tam giác vuông OFB vuông tại F
OF=
·
3
tan . tan 60 .
4
OBF BF BF= = =
o
Xét
∆

SOF vuông tại O và có đường cao OI
Ta có hệ thức:
2 2 2
1 1 1
OFOI SO
= +
⇒
OI=
( )
( )
2
2
2 2
2 2
3
3
.
4 4
.OF 3
OF 8
3
3
4 4
a
a
SO a
SO
a
a
 

 ÷
 
=
+
 
+
 ÷
 

⇒
d(O,(SBC))=
3
8
a
17
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
c) Tính d(SO,AD)=?
Gọi K=
OF AD∩
, J là trung điểm AD.
Ta có: OK
⊥
SO ( SO
⊥
(ABCD)) (1)
Và ta có:
∆
OBE =
∆
JOD (c.g.c) do

·
·
OJ
OD DB
EOB D
JO OE
=


=


=

(Đối đỉnh)
Suy ra:
∆
JOD đều nên K là trung điểm DJ
⇒
OK
⊥
DJ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: d(AD,SO) = OK =
3
4
a
a) Xác định thiết diện
Vì SF
⊥
OI nên

Gọi L là hình chiếu của K lên cạnh SF
⇒
OI//KL
KL SF⇒ ⊥
(*)
Mặt khác:
( )
( )
BE SKF
BE KL
KL SKF
⊥

⊥

⊂

(**)
Từ (*) và (**) suy ra: KL
⊥
(SBC)
Qua L kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại điểm N, M.
Suy ra thiết diện là tứ giác ADMN có MN//AD và AN=DM
⇒
ADMN là hình thang cân
KL
⊥
(SBC)
KL BC⇒ ⊥
mà BC//AD nên

KL AD⊥
Và KL
MN⊥
Suy ra hình thang có KL là đường cao
Xét tam giác SBC có MN//BC
Nên ta có tỉ lệ:
MN SL
BC SF
=
($)
OFS∆
vuông tại O nên theo định lý Pi Ta Go ta có: SF=
( )
2
2
2 2
3
3
3
OF
4 4
2
a
a
a
SO
 
+ = + =
 ÷
 

Trong tam giác SOF vuông tại O:
·
( )
·
( )
tan 3 60
OF
SO
SFO SFO= = ⇒ =
o
Xét tam giác LKF vuông tại L:
LF=2.OF.
·
osc SFO
=
2. 3 1 3
.
4 2 4
a a
=
KL=2.OF.
·
sin SFO
=
3
4
a
18
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
SL=SF-LF=

3
2
a
-
3
4
a
=
3
4
a
Từ ($) ta có:
MN SL
BC SF
=
3
1
4
2
3
2
2
a
MN
a
a
a
MN
⇒ = =
⇒ =

Diện tích hình thang ADMN:
( )
2
1 1 3 9
. . ( ).
2 2 2 4 16
ADMN
a a a
S MN AD KL a= + = + =
b) Tính
·
( )
( D),( D )ABC A MN
=?
Ta có:
·
( )
·
( D) ( )
( ),(
ABC ADMN AD
KL AD ABCD ADMN LKF
FK AD
∩ =


⊥ ⇒ =


⊥


Xét tam giác vuông LKF:
·
·
0 0 0 0
90 90 60 30LKF LFO= − = − =
Vậy
·
( )
·
( ),(ABCD ADMN LKF=
=
0
30
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên
bằng a
2
.
a)Tính khoảng cách từ S đến mp (ABCD).
b)Tính khoảng cánh giữa đường thẳng AB và (SCD).
c)Tính khoảng cánh giữa hai đường thẳng AB và SC.
d)Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết
diện của hình chóp khi cắt bởi mp (P). Tính diện tích thiết diện.
e)Tính góc giữa đường thẳng AB và mp (P).
Bài làm:
19
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
∆
SAC,
∆

SBD là các tam giác đều do SA=SB=SC=AC=BD=
2a
a)d(S,(ABCD))=?
Ta có vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên gọi O =
AC BD∩
⇒
SO
⊥
(ABCD) nên d(S,(ABCD))=SO
Ta có: AC=
2a=
⇒
AO=
2
2
a
Xét
SAO∆
vuông tại O
Theo định lý Pi-ta-go: SO=
2 2 2 2
2 3
( 2) ( )
2
2
a a
SA AO a− = − =
Vậy d(S,(ABCD))=
3
2

a
.
b)d(AB,(SCD))=?
Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB và CD
Gọi N là hình chiếu của I lên SI
Xét AB và (SIJ)
IJ
/ /IJ
AB BC
AB
BC
⊥

⇒ ⊥



và
( )SO ABCD SO AB⊥ ⇒ ⊥
( IJ)AB S⇒ ⊥
mà
( IJIN S⊂
) nên AB
⊥
IN (1)
Xét
∆
SIJ có IN
⊥
SJ

/ /
NI AB
NI CD
AB CD
⊥

⇒ ⊥


( )NI SCD⇒ ⊥
(2)
Từ (1) và (2):
Vậy d(AB,(SCD)) = IN
20
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
Xét
∆
SAI vuông tại I, theo định lý Pi Ta go:
SI=
2 2 2 2
7
( 2) ( )
2 2
a a
SA AI a− = − =
Xét
∆
SIO có
·
3

42
2
sin
7
7
2
a
SO
SIO
SI
a
= = =

·
0
67 48'SIO⇒ =
Do
∆
SIJ cân nên
·
·
0 0 0 0
ISN 180 2. 180 2.(67 48') 44 24'SIO⇒ = − = − =
NI=
·
0
7
.sinIS .sin(44 24')
2
a

SI N =
=0,926.a
vậy d(AB,(SCD)) = IN=0,926.a
c)d(AB,SC)=d(AB,(SCD)) = IN=0,926.a (vì SC
( )SCD⊂
)
d)Tìm thiết diện:
Gọi M là trung điểm SC.
Xét mp (SDB). Gọi giao điểm của đường thẳng song song với DB, đi qua
giao điểm R của AM và IN và cắt SD, SB lần lượt tại H và P.
Vậy thiết diện chính là tứ giác AHMP.
Ta có
/ /
DB AC
HP AC
DB HP
⊥

⇒ ⊥



( )HP SAC⇒ ⊥
mà
( )AM SAC⊂
nên
HP AM⊥
1
. .
2

AHMP
S AM HP=
Xét tam giác đều SAC có AM là đường cao: AM=
6
2
a
Xét tam giác SDB có HP//DB nên ta có tỉ lệ:
1
HP SR SO RO RO
DB SO SO SO
−
= = = −
Xét tam giác RAO vuông tại O có: RO=tan
·
.RAO AO
=
0
2 6
tan30 .
2 6
a a
=
6
2 2
6
(1 ). (1 ). 2
3
6
2
a

RO a
HP DB a
SO
a
⇒ = − = − =
Vậy
1
. .
2
AHMP
S AM HP=
=
1 6 2 2 3
. .
2 2 3 3
a a a
=
e)Tính
·
( )
,( )AB AHMP
=?
Gọi Q là trung điểm SA. Xét
∆
SAC có OQ là đường trung bình nên OQ//SC
và OQ
( )DQP⊂
⇒
SC//(DQP)
⇒

SC//QB
21
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
Gọi giao điểm của đường thẳng đi qua B song song với SC và trong mp
(SBC) cắt MP tại F. Suy ra BFQO là hình bình hành.
Vì SC
⊥
(AHMP) nên BF
⊥
(AHMP)
Suy ra:
·
( )
,( )AB AHMP
=
·
( )
·
, AFAB FB B=
Xét tam giác ABF vuông tại F:
·
1
2 2
2
sin AF
2 2
SC
FB QO a
B
AB AB AB a

= = = = =
Suy ra:
·
0
AF 45B =

Bài 5: Cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong mặt
phẳng vuông góc với nhau. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, CD và
E, F lần lượt là trung điểm của SA, SB.
a)Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) và tan của góc giữa hai mặt
phẳng (SAB) và (SCD).
b)Gọi G là giao điểm của CE và DF. Chứng minh CE vuông góc với SA và
CF vuông góc với SB. Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (GEF) và
(SAB). Hai mặt phẳng này có vuông góc với nhau không?
c)Chứng minh G là trọng tâm của tam giác SHK. TÍnh khoảng cách từ G đến
mặt phẳng (SCD).
d)Gọi I là điểm di động trên đoạn SA. TÌm quỹ tích hình chiếu của S lên mặt
phẳng (CDM).
Bài làm:
22
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
a) *Tính d(A,(SCD))=?
Gọi H’ là hình chiếu của H lên SK
Suy ra: HH’
⊥
Sk (1)
Mặt khác: AB
⊥
SH( tam giác SAB đều)
( )

/ /
CD HK
CD SHK
CD AB
CD SH
AB SH
⊥


⊥


⇒ ⊥


⊥


mà HH’
⊂
(SHK)
Suy ra: CD
⊥
HH’ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: HH’
⊥
(SCD)
AH//CD nên AH//(SCD)
Suy ra: d(A,(SCD))= d(AH,(SCD))=HH’
Tính HH’=?

Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
HK AB
SAB ABCD HK SAB HK SH
HK ABCD
⊥


⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥


⊂

Xét tam giác SHK vuông tại H có HH’ là đường cao nên ta có:
2
2 2 2 2
2
1 1 1 1 2 7
' 3
( 3)
HH HK SH a
a
= + = + =
21
'
7
HH⇒ =
Vậy d(A,(SCD))=
21

7
* Tính
·
( )
tan ( ),( ) ?SAB SCD =
Ta có: HK
⊥
(SAB) nên SH là hình chiếu của SK lên mặt phẳng (SAB)
Nên:
·
( )
·
( )
·
( )( ) ,SAB SCD SH SK HSK= =
Xét tam giác SHK vuông tại H:
·
2 3
tan
3
3
2
HK a a
HSK
SH
a
= = =
Vậy
·
( )

2 3
tan ( ),( )
3
a
SAB SCD =
b) *cm CE
⊥
SA và CF
⊥
SB:
Xét tam giác SBC vuông tại B do
CB//HK nên CB
⊥
SB
Theo định lý Pi ta go: SC=
2 2 2 2
2SB BC a a a+ = + =
Mà AC=
2a
Nên tam giác SCA cân tại C
23
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
Suy ra CE
⊥
SA.
Cm CF
⊥
SB tương tự.
*Tính
·

( )
tan ( ),( EF) ?SAB G =
Gọi M =
EF SH∩
nên M là trung điểm EF
Ta có tam giác EGF cân tại G nên GM
⊥
EF
Xé
t (SAB) và (GEF)
·
( )
·
( )
·
( ) ( EF) EF
EF ( ),( EF ,
EF
SAB G
SH SAB G HM MG HMG
GM
∩ =


⊥ ⇒ = =


⊥

Tam giác SAB cân nên M cũng là trung điểm SH: MH=

3
4
a
Xét tam giác MHK vuông tại H
·
4 4 3
tan
3
3
HK a
HMK
MH
a
= = =
Vậy tan
·
( )
( ),( EFSAB G
=
4 3
3
Suy ra hai mặt phẳng (SAB) và (GEF) không vuông góc với nhau.
c)Chứng minh G là trọng tâm tam giác SHK.
Ta có KM là đường trung tuyến (*)
Mặt khác: Xét hình thang cân EFCD có EF//CD
Nên ta có tỉ lệ:
EF 1
2
MG
KG CD

= =
(**)
Từ (*) và (**) suy ra: G là trọng tâm tam giác SHK.
Tính d(G,(SCD))=?
Gọi N là trung điểm SK
Ta có d(H,(SCD))=
21
7
a
mà G là trọng tâm tam giác SHK nên
1
3
GN
NH
=
Suy ra: d(G,(SCD))=
1
3
d(H,(SCD)) =
1
3
.
21
7
a
=
21
21
a
d) Tìm quỹ tích:

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có
SA=SB=SC=SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:
a)Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
24
CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC HS: Nguyễn Thị Thanh Thúy
b)Đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) và đường thẳng BD
vuông góc với mặt phẳng (SAC).
Bài 2: Trong mặt phẳng (
α
) cho tam giác ABC vuông ở B. Một đoạn thẳng
AD vuông góc với (
α
) tại A. Chứng minh rằng:
a)
·
ABD
là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)
b) Mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD)
c) HK//BC với H và K làn lượt là giao điểm của DB và CD với mặt phẳng
(P) đi qua A và vuông góc với DB.
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy
đều bằng a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
a)Tính độ dài đoạn SO
b)Gọi M là trung điểm của đoạn SC. Chứng minh hai mặt phẳng (MBD) và
(SAC) vuông góc với nhau.
c)Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm I cạnh a
và có góc A bằng
60

o
, cạnh SC=
6
2
a
và SC vuông góc với mặt phẳng
(ABCD).
a)Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC).
b)Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc với SA tại K. Hãy tính độ dài IK.
c)Chứng minh
·
BKD
=
90
o
và từ đó suy ra mặt phẳng (SAB) vuông góc
với mặt phẳng (SAD).
Bài 5: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H,
K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a)Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy.
b)Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và HK vuông góc
với mặt phẳng (SBD).
c)Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.
Bài 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a)Chứng minh rằng B’D vuông góc với mặt phẳng (BA’C’).
b)Tính khoảng cánh giữa hai mặt phẳng (BA’C’) và (ACD’).
c)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.
Bài 7:Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có góc
·
60BAD =

o
. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng SO vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) và SO=
3
4
a
. Gọi E là trung điểm của đoạn BC, F
là trung điểm của đoạn BE.
a)Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
b)Tính các khoảng cánh từ O và A dến mặt phẳng (SBC).
25