Chuyên đề sử dụng lượng giác giải bài toán dãy số

NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
Thpt_LongThành
Tác giả : NGUYÊN NGỌC MINH TRAI
Where there is a will , there is a way
1
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
PHẦN . MỞ ĐẦU:
Dãy số là một dạng toán rất hay và khó trong chương trình toán phổ thông, đặc
biệt là trong kì thi HSG chúng ta thường gặp rất nhiều dạng toán về dãy số. ngoài
những dạng dãy số sai phân tuyến tính mẫu mực còn có rất nhiều dạng không mẫu
mực mà cách giải thường là sử dụng phương pháp lượng giác. Hôm nay, tôi xin mạo
mụi viết một tập tài liệu nhỏ về cách sử dụng lượng giác để giải các bài toán dạng này.
Đây là tập tài liệu đầu tay của tôi nên sai sót là điều không thể tránh khỏi, hi vọng nhận
được các ý kiến từ các bạn…. qua email
hoặc Trong tập tài liệu này, tác giả có sử
dụng một số tài liệu về dãy số trong ebook của thầy Nguyễn Tất Thu_THPT
Lê Hồng Phong_Đồng Nai__xin chân thành cảm ơn thầy.
Long Thành. ngày 3-9, năm 2009
Lớp 11A
2
, Nguyễn Ngọc Minh Trai
Where there is a will , there is a way
2
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
II. Phương pháp

1)_CẦN NẮM VỮNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Cos2a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2sin
2
a
Sin2a = 2sinacosa
Cos3a = 4cos
3
a – 3cosa
Sin3a = - 4sin
3
a + 3sina
Tan(a+b) =
ba
ba
tantan1
tantan
−
+
Tan3a =
a
aa
2
3
tan31
tantan3
−
+
2)_ Đọc kĩ giả thiết của đề bài … => phân tích đặc điểm của dãy số => chọn

hàm số lượng giác phủ hợp => giải bài toán…
(Chú ý khi dụng hàm sin và cos cần phải có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1)
Where there is a will , there is a way
3
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
PHẦN 3. BÀI TẬP
Bài 1: (Olympic 30/4/2003)
Cho dãy {u
n
} định bởi:
( )
1
1
3
2 1
1 1 2
n
n
n
u
u
u
u
+

=



+ −

=

+ −


Tính
2003
u
Nhận xét : với giả thiết của bài ta liên tưởng ngay đến CT:

ba
ba
ba
tantan1
tantan
)tan(
−
+
=+
. Đồng thời ta còn có
8
tan12
π
=−
, u
1
=
3

tan
π
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
1
1
3
*2 1
1 1 2
n
n
n
u
u
u
u
+

=


+ −

=

+ −



Ta đã biết:
2 1
8
tg
π
= −
2
2
8
1 2.
4 8
1
8
tg
tg tg
tg
π
π π
π
 
= = =
 ÷
 
−

⇒
2 1
8
tg

π
= −
Where there is a will , there is a way
4
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
Từ (*) ta có:
( )
1
8
1
1
8
n
n
n
u tg
u
u tg
π
π
+
+
=
−
Theo nguyên lý quy nạp, từ (1) và
1
3u =
.suy ra

Suy ra:
( )
1
3 8
n
u tg n
π π
 
= + −
 
 
Vậy:
2003
2002
3 8 3 4
u tg tg
π π π π
   
= + = +
 ÷  ÷
   
( )
2 3= − +
Bài 2: (đề thi đề nghị Olympic 30.4)
Cho dãy số xác định bởi:
a
0
=1, a
1000
=0

a
n+1
=2a
1
a
n
- a
n-1
tính : a
1999
+ a
1
hướng dẫn giải:
+ nếu thay n=2 thì ta được a
2
= 2a
1
2
– 1. vậy nên nếu muốn sử dụng lượng giác(ở đây
là hàm cos, vì cos2a = 2cos
2
a – 1) ta cần phải chứng minh được |a
1
|≤1 thì mới có thể
dặt a
1
=cosa.
+ quả vậy, nếu |a
1
| ≥ 1, thì |a

2
|

= |2a
1
2
– 1| ≥ 1, suy ra |a
3
|

= |2a
2
2
– 1| ≥ 1…….|a
1000
| ≥
1(trái với giả thiết). vậy nên |a
1
|≤1 , đặt a
1
=cosa.
Bằng quy nạp, ta chứng minh được rằng:
a
n+1
= cos(n+1)a
ta có: a
1000
= cos1000a = 0, => 1000a =
π
π

k2
2
+
 a
1999
=cos1999a=cos(
ak −+
ππ
2
)= -cosa = -a
1
 a
1999
+ a
1
= 0
Bài 3: Cho dãy {u
n
} và {v
n
} như sau: (tạp chí THTT)
0
2
1
2
2
2
1 1
2
n n

u
u u
+

=




= − −


và
0
2
1
1
1 1
n
n
n
v
v
v
v
+
=


 + −

=


Chứng minh rằng:
2 2
2 . 2 .
n n
n n
u v
π
+ +
< <
Giải:
Ta có:
0 1
2 2 3
2 2
sin , 1 cos sin
2 2
2 2 2
u u
π π π
= − = − =
Where there is a will , there is a way
5
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
Vậy:
2 1 2

2
1 cos sin
2
2 2
n
n
u
π π
+ +
= − =
Tương tự:
0
2
1
2
v tg
π
= =
2
1
1
2
1 1
1
1
1
cos
2
2
2

2 2
n
n
n
n
n n
tg
v tg
tg tg
π
π
π
π π
+
+
+
+ +
−
+
= = =
Bằng cách xét:
( )
sinf x x x= −
,
( )
; 0;
2
g x tgx x x
π
 

= − ∈
 ÷
 
Ta suy ra:
sin ; 0;
2
x x tgx x
π
 
< < ∀ ∈
 ÷
 
Khi đó:
2 2 2
sin
2 2 2
n n n
tg
π π π
+ + +
< <
2 2
2 . 2 .
k k
n n
u v
π
+ +
⇔ < <

⇒
đpcm
Bài 4:
Cho a
0
= 2, b
0
= 1. Lập hai dãy số{a
n
},{b
n
}với n = 0, 1, 2, theo quy tắc sau:
1
2 .
n n
n
n n
a b
a
a b
+
=
+
;
1 1
.
n n n
b a b
+ +
=

Chứng minh rằng các dãy {a
n
},{b
n
} có cùng một giới hạn khi
n → ∞
. Tìm giới hạn đó.
Giải:
Ta chú ý:
0
1 1
2
1
cos
2 3
a
π
= =
,
0
1b =
0 0
1
2
0 0
0 0
2
2 2 1
1 1
cos 1 cos

3 6
a b
a
a b
a b
π π
= = = =
+
+ +
1 1 0
1
cos
6
b a b
π
= =
Từ đó, bằng quy nạp, ta chứng minh rằng:
1
2 1
cos .cos cos .cos
2.3
2 .3 2 .3 2 .3
n
n n
a
π π π π
−
−
 
=

 ÷
 
1
2 1
cos .cos cos .cos 1
2.3
2 .3 2 .3 2 .3
n
n n
b n
π π π π
−
−
 
= ∀ ≥
 ÷
 
Where there is a will , there is a way
6
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
Lưu ý rằng:
2 1
sin
3
cos .cos cos .cos 1
2.3
2 .3 2 .3 2 .3
2 .sin

2 .3
n n
n
n
n
π
π π π π
π
−
= ∀ ≥
Ta có:
( )
2 .sin
2 .3
1
sin .cos
3
2 .3
n
n
n
n
a
π
π π
=
;
2 .sin
2 .3
sin

3
n
n
n
b
π
π
=
(2)
Từ (1), (2) tồn tại
lim
n
n
a
→∞
và
lim
n
n
b
→∞
Ngòai ra:
2 .sin
2 3
2 .3 3
lim lim
9
sin .cos sin
3 3
2 .3

n
n
n
n n
n
a
π
π
π
π π π
→∞ →∞
= = =
2 3
lim lim .lim cos
9
2 .3
n n
n
n n n
b a
π π
→∞ →∞ →∞
= =
Vậy hai dãy {an},{bn}có cùng giới hạn chung là
2 3
9
π
Bài 5: (Kỳ thi quốc gia lần XXVIII-1990)
Cho dãy số{x
n

},
n
∈
¥
,
1
1x <
được xác định bởi hệ thức:
2
1
3 3
2
n n
n
x x
x
+
− + −
=
a.Có cần thêm diều kiện gì đối với x
1
để dãy tòan số dương.
b.Dãy số này có tuần hòan không? Tại sao?
Giải:
a. Để x
n
> 0, trước hết ta phải có x
1
> 0 và x
2

<0.
Nhưng x
2
> 0 tức là
2
3 3
n
x−
>
1
x
hay
2
1
3
4
x <
.
Suy ra:
1
3
0
2
x< <
.
Ngược lại, nếu
1
3
0
2

x< <
thì tồn tại
0;
3
π
α
 
∈
 ÷
 
sao cho
1 1
sin x
α
=
. Khi đó:

2
3 1
cos sin sin ,0
2 2 3 3 3
x
π π π
α α α α
 
= − = − < − <
 ÷
 
Ta lại có:
3

3 1
cos sin sin
2 3 2 3
x
π π
α α α
   
= − − − =
 ÷  ÷
   
Where there is a will , there is a way
7
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
Từ đó suy ra:
1 3
sin 0x x
α
= = = >
Vậy điều kiện là:
1
3
0
2
x< <
b. Xét hai trường hợp đối với x
1
:
• Trường hợp

1
0x ≥
:
- Nếu
2
0x ≥
thì tương tự phần a ta có:
3
0x ≥
,
4
0x ≥
và
1 3 2 4
; x x x x= = = =
- Nếu x
2
< 0 thì x
3
>0 và cũng có x
3
=

x
1
Thật

vậy từ:
2
1 1

2
3 3
2
x x
x
− + −
=
Suy ra:
( )
2
1 2 1
3 3 2 1x x x− = +

( ) ( )
2
2
2 1 2
3 3 2 2x x x⇒ − = +
Do (1) mà:
1 2
2 0x x+ >
.Suy ra:

( )
1 2 1 1 2 1 2
2 0x x x x x x x+ = + + > − >
(
1 2
0, 0x x≥ <
)

Vì thế từ (2) ta có:
2
2 1 2
3 3 2x x x− = +
Suy ra:
2
2 2
1 3
3 3
2
x x
x x
− + −
= =
Tương tự:
2 4
x x=

Vậy ta có:{x
n
} là dãy tuần hòan.
• Trường hợp x
1
< 0.
Khi đó x
2
> 0 và theo trường hợp 1 suy ra x
n
kể từ hạng thứ hai trở đi là dãy tuần hòan.
bài toán 6 :

Cho hai dãy {a
n
},{b
n
} như sau: a < b cho trước

1
2
a b
a
+
=
;
1 1
.b a a=

1 1
2
2
a b
a
+
=
;
2 2 1
.b a b=


1 1
2

n n
n
a b
a
− −
+
=
;
1
.
n n n
b a b
−
=
a.Tìm
lim
n
n
b
→∞
b.Tìm
lim
n
n
a
→∞
Giải:
a.Đặt
cos
a

b
α
=
0
2
π
α
 
< <
 ÷
 
Where there is a will , there is a way
8
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
Ta có
2
1
1
cos
2
cos
2
a b
b b
α
α

=





=


⇔
2 2
1 1
2
2
2 2 2 2
2 2 1
2 2
cos cos cos cos
2 2 2 2
2
cos cos cos cos
2 2
2 2
a b
a b b
b a b b b
α α α α
α α α α
+

 
= = + =

 ÷

 



= = =


Bằng quy nạp ta dễ dàng có:
2
1
2
1
.sin cos .
2
.cos cos .cos
2
2 2
2 .sin
2
.sin .
.cos cos .cos
2
2 2
2 .sin
2
n
n
n n

n
n
n
n n
n
n
b
a b
b
b b
α
α
α α α
α
α α α α
α
−
−


= =





= =





Vậy:
sin
2
.
2 .sin sin
2 2
n
n
n
n n
b b
b
α
α
α α
α
= =
sin
lim
n
n
b
b
α
α
→∞
⇒ =
b.Ta cũng có:
.cos

2
n n
n
a b
α
=
sin sin
lim .lim cos
2
n
n
n n
b b
a
α α α
α α
→∞ →∞
= =
Bài 7: Cho dãy {u
n
} xác định bởi:
2 2 2 2
n
n
u = − +
Tìm
lim
n
n
u

→∞
Giải:
Đây là bài tóan đơn giản và quen thuộc. Ta sẽ chứng minh:
( )
1
2 2 2 2cos 1
2
n
k
v
π
+
= − + =
.
Rõ ràng với n = 1 thì (1) hiển nhiên đúng.
Giả sử đúng khi n = k, nghĩa là:
1
2cos
2
k
k
v
π
+
=
.
Xét:
1
1
2 2 2cos

2
k k
k
v v
π
+
+
= + = +
Where there is a will , there is a way
9
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010

2
2 2
2.2cos 2cos
2 2
k k
π π
+ +
= =
Vậy (1) đúng khi n = k+1, suy ra (1) đúng với mọi n.
Ta có:
2 2 2 2
n
n
u = − +

1 2

2 2
1
2 .sin .2 .sin
2
2 2
n n
n n
π π
+ +
+ +
= =
Từ đó ta có:
2
2
1
lim lim .2 .sin
2
2
n
n
n
n n
u
π
+
+
→∞ →∞
=
2
2

sin
1
2
lim
2
2
n
n
n
π
π
π
+
→∞
+
=
lim
2
n
n
u
π
→∞
⇒ =
Bài 8: Cho dãy {u
n
} xác định bởi:
1 2
1 2
2; 8

4
n n n
u u
u u u
− −
= =


= −

và
( )
2
1
cot
n
n i
i
S arc g u
=
=
∑
Tìm
lim
n
n
S
→∞
Giải:
-Ta sẽ chứng minh:

( )
2
1 1
. 4 2
i n n
u u u n
+ −
− = ∀ ≥
Thật vậy:
( ) ( )
1 1
4 4
n n n n
u u u u
− −
=
( ) ( )
2 1 1 1n n n n n n
u u u u u u
− − + −
⇒ + = +
2 2 2
1 1 1 2 2 3 1
. 4
n n n n n n
u u u u u u u u u
+ − − −
⇒ − = = = − =
Ta có:
2

4
cot
4
n
n n
u
arc gu arccotg u
 
 
=
 
 ÷
 
 
( )
1 1
2
1 1
n n n
n n n
u u u
arccotg
u u u
+ −
+ −
+
 
=
 
−

 
1
1
1
1
1
n n
n n
n n
n n
u u
u u
arccotg
u u
u u
+
−
+
−
 
+
 
 
=
 
−
 
 

1

1
n n
n n
u u
arccotg arccotg
u u
+
−
= −
Suy ra:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2
n n
i i i
i i
arcotg u arcotg u arcotg u
= =
= +
∑ ∑
Where there is a will , there is a way
10
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
Ta sẽ chứng minh rằng
1n
n
u
u

−
có giới hạn bởi vì
1
0
n n
u u
−
< <

1
1
n
n
u
u
−
⇒ <
Mặt khác
1n
n
u
u
−
là dãy giảm, suy ra
1
lim 1
n
n
n
u

u
+
→∞
≤
Mà:
1 2
4
n n n
u u u
− −
= −
1 2
1 4
n n
n n
u u
u u
− −
⇒ = −
1 2 1
1
1 4
n n n
n n n
u u u
u u u
− − −
−
⇒ = −
Nếu đặt:

1
lim
n
n
n
u
x
u
−
→∞
=
2
1 4x x⇒ = −
2 3x⇒ = +
1
lim 2 3
n
n
n
u
u
+
→∞
⇒ = +
( )
lim cot 2 3
12
n
n
S arc g

π
→∞
= + =
Bài 9: (Tạp chí tóan học và tuổi trẻ năm 2005)
Dãy {h
n
} được cho bởi điều kiện
1
1
2
h =
và
2
1
1 1
; 1
2
n
n
h
h n
+
− −
= ∀ ≥
Đặt
1
;
n
n i
i

S h n
=
= ∀ ∈
∑
¥
. Hãy chứng minh rằng:
lim 1,03
n
n
S
→∞
<
Giải:
Ta có:
1
1
sin sin
2 6 3.2
h
π π
= = =
2
sin
3.2
h
π
⇒ =
Ta sẽ chứng minh rằng:
sin
3.2

n
n
h
π
=
iả sử rằng:
sin sin
3.2
k
k
h
π
=
1
1 1 sin
1 cos
3.2
3.2
sin
2 2
3.2
k
k
k
n
h
π
π
π
+

− −
−
= = =
Mặt khác:
sin ; 0;
2
x x x
π
 
< ∀ ∈
 ÷
 
Nên:
2
1
1 1
sin sin
2 2
3.2 3.2 3.2 3.2
n
n i
n n n
i
S h
π π π π
=
= = + + + < + + +
∑
Where there is a will , there is a way
11

NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010

1
2 3.2
π
< +
Do S
n
là dãy tăng nên
1
lim 1,03
2 3.2
n
n
S
π
→∞
≤ + <
⇒
đpcm.
Bài 10: (đề thi HSG quốc gia lầnXXV-1987)
Cho cấp số cộng gồm 1987 số hạng với số hạng đầu
1
1987
u
π
=
và công sai là

3974
π
Tính giá trị:
( )
1 2 1987
cos S u u u= ± ± ±
∑
ở đó tổng
∑
chứa tất cả các số hạng ứng với
tất cả các cách khác nhau có thể được để lấy dấu cộng hay trừ trước các số
1 2 1987
, , ,u u u
Giải:
Ta sẽ chứng minh từ bài tóan tổng quát hơn. Bài tóan thực chất là:

{ }
1
n
j
u∀
(kí hiệu dãy)
( )
1 2 1987
1
cos 2 . cos
n
n
j
j

u u u u
=
± ± ± =
∑
∏
Ta chứng minh bằng quy nạp:
Với n = 1:
( )
1 1 1
cos cos 2cosu u u+ − =
Với n = 2:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 2 1 1 2
cos cos cos cosu u u u u u u u+ + − + − + − −
( )
1 2 1 2 1 2
2cos .cos 2cos .cos 4cos .cosu u u u u u= + − =
Giả sử bài tóan đúng với n, khi đó:
1
1
1
1 1
2 cos 2 2 . cos cos
n n
n n
j j n
j j
u u u
+
+

+
= =
 
=
 ÷
 
∏ ∏
( )
1 2 1987 1
2 cos cos
n
u u u u
+
 
= ± ± ±
 
∑
( )
1 2 1987
cos u u u= ± ± ±
∑
Trở lại bài tóan ta có:
1987
1987
1
2 cos
j
j
S u
=

=
∏
Do {u
j
} là cấp số cộng nên:
Where there is a will , there is a way
12
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
1987 1
1985u u d= +
1985
1987 2.1987 2
π π π
= + =
Bài 11: (Kì thi quốc gia lần XXVII - 1984)
Cho dãy số u
1
, u
2
như sau:u
1
=1, u
2
=2,u
n+1
=3u
n
-u

n-1
.
Dãy số v
1
,v
2
được theo quy luật:
1
cot
n
n i
i
v arc gu
=
=
∑
Hãy tìm
lim
n
n
v
→∞

Giải:
Trước hết nhận xét rằng dãy u
1
, u
2
chính là các số hạng lẻ của dãy Fibonaci:1,1,2, 3,
5, Gọi dãy đó là t

1,
t
2,
t
3,
t
4
.
Ta có:
1 2
1t t= =
và
( )
2 1
1
n n n
t t t n
+ +
= + ≥
a. Trước hết ta chứng minh rằng:
2 3 5 2 1 2 2
cot cot cot cot cot
n n
arc gt arc gt arc gt arc g t arc gt
+ +
− − − − =
( )
1
Thật vậy theo công thức cộng cung ta có:
2 2 1 2 2 1

2 2 1
2 1 2 2 1
1
cot cot cot cot
n n n n
n n
n n n
t t t t
arc gt arc gt arc g arc g
t t t
+ +
+
+ −
+
− = =
−
Chú ý là:
1 2 3
. . ( 1)
m
m m m m
t t t t
+ + +
− = −
Nếu đặt
2 1m n
= −
thì
2 2 1 2 1 2 2
. . 1

n n n n
t t t t
+ − +
− = −
Từ đó:
2 2 1 2 1 2 2
. 1 .
n n n n
t t t t
+ − +
+ =
Suy ra:
( )
2 2 1 2 2
cot cot cot 2
n n n
arc gt arc gt arc gt
+ +
− =
Trong (2) lần lượt thay
1,2,3, n =
rồi cộng lại sẽ được (1).
b. Từ (1) suy ra:
2 2
2
cot cot cot
n
i i n
i
arc gu arc gu arc gt

+
=
− =
∑
Do:
2 2
lim
n
n
t
+
→∞
= +∞
nên
lim
2 2
cot 0
n
arc gt
+
=
Từ đó suy ra
2
lim cot cot
4
n
i i
i
arc gu arc gu
π

=
 
= =
 ÷
 
∑
Vậy:
2
lim lim cot
4 4 2
n
n i
n
i
v arc gu
π π π
→∞
=
 
= = + =
 ÷
 
∑
Bài tập 12
(103 trigonometry problems from the training of the USA IMO team)
Cho dãy số {a
n
} xác định bởi:
Where there is a will , there is a way
13

NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
X
1
= t
X
n+1
= 4X
n
( 1 - X
n
)
Tìm các giá trị của t để X
1998
= 0 ?
Hướng dẫn giải : Thoạt nhìn chúng ta thường phân tích ngay 4X
n
( 1 - X
n
) =1 - (2X
n
- 1)
2
và bắt đầu suy nghĩ xem nên dùng hàm lượng giác nào cho phù hợp………=> hoàn toàn sai
lầm …………. Bản chất của việc phân tích 4X
n
( 1 - X
n
) =1 - (2X

n
- 1)
2
là để chứng minh |x
n
| ≤ 1.
Ta có |x
n
| ≤ 1 => 0 ≤ t ≤1. vì nếu ngược lại thì ta có ngay: x
2
< 0 =>x
3
< 0 =>
…………… => X
1998
< 0(trái với giả thiết)…
Sau đó ta đặt t = sin
2
a …………=> công thức tổng quát của X
n
rồi giải… cách giải không
khác bài 2 là mấy…
Where there is a will , there is a way
14
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
Phần IV : các bài tập tự giải.
bài tập 1:
Cho dãy {x

n
}:
X
1
= a
X
n
= 2x
n-1
2
– 1
Tìm công thức tổng quát của dãy {x
n
}.
(hướng dẫn giải : xét 2 trường hợp |a| ≤ 1 , và |a| ≥ 1.)
Bài tập 2 :
Cho dãy
X
1
= m
X
n
= 4x
n-1
3
– 3u
n-1
Xác định số hạng tổng quát của dãy: {x
n
}

(giải tương tự bài tập 1)
Bài tập 3
Cho hai dãy số {x
n
} và {y
n
} xác định như sau:
X
0
= 0 , y
0
= cosa
X
n
= x
n-1
+ 2y
n-1
sin
2
a
Y
n
= y
n-1
+ 2x
n-1
cos
2
a

Tính x
n
và y
n
( hướng dẫn: X
n
+ mY
n
= (1 + 2 mcos
2
a) x
n-1
+ (m + 2sin
2
a)

y
n-1
Ta cần chọn m để :
(m + 2sin
2
a) = m(1 + 2 mcos
2
a).
Ta cần chọn như vậy vì mục đích là:
X
n
+ mY
n
= (1 + 2 mcos

2
a)( X
n-1
+ mY
n-1
)=… = (1 + 2 mcos
2
a)
n
( X
0
+ mY
0
) (1)
Where there is a will , there is a way
15
n dấu căn
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
Với cách chọn trên ta được. m = tana hoặc m = -tana
Thay 2 giá trị này vào(1), rồi giải hệ thì coi như ta đã giải quyết xong.)
Bài tập 4 (trích từ quyển 103 trigonometry problems from the training of the USA IMO
team)
Cho hai dãy số {x
n
} và {y
n
} xác định như sau:
X

1
=
3
x
n
= x
n-1 +
2
1
1
−
+
n
x
và
Y
1
=
3
y
n
=
1
1
11
−
−
++
n
n

y
y
Chứng minh rằng : 2 < x
n
. y
n
< 3
(lời giải được đề cập rất rõ trong quyển 103 trigonometry problems from the training of
the USA IMO team, nên tôi sẽ ko đề cập đền nữa)
Bài tập 5 (THTT 369)
Tìm lim








+++−+−− 2 222 222.22
Bài tập 6 (THTT 335)
Cho dãy số {x
n
} xác định:
X
1
= 1/2
X
n+1
=

2
11
2
n
a−−
Chứng minh rằng :
X
1
+ X
2
+……+X
2005
< 1.03
Bài tập 7 (THTT 313)
Cho dãy số {x
n
} xác định:
X
1
= a
X
n+1
= 2 X
n
2
- 1
Where there is a will , there is a way
16
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI

NĂM HỌC 2009-2010
Tìm a để x
n
<0,
∀
n > 0……
BÀI TẬP 8
Cho dãy số {x
n
} xác định:
X
1
= a
X
n
=
1
1
1
−
−
−
+
n
n
bX
bX
Tìm dãy số tổng quát của {x
n
} .

Hướng dẫn
Đây là bài toán tổng quát của bài toán 1
Các bạn có thể giải theo hướng dẫn sau:
Đặt a = tanα, b = tanβ
Chứng minh bằng quy nạp ta được:
X
n
= tan[ α + (n - 1) β]

Phần 3… đề thi HSG toán tỉnh Đồng Nai vòng 1 –
2007 _ 2008
Where there is a will , there is a way
17
NGUYỄN NGỌC MINH TRAI, lớp 11A2, thpt LONG THÀNH, huyện LONG THÀNH,
ĐỒNG NAI
NĂM HỌC 2009-2010
Câu 1. (3,5 điểm)
Giải hệ phương trình
Câu 2. (3,0 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD;Gọi A, B, C, D lần lượt là số đo của
; Biết
Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp
Câu 3. (3,5 điểm)
Cho hàm số f(x)= .Hãy cho biết có phải là số hữu tỉ hay không
và giải thích điều khẳng định đó
(Với là đạo hàm cấp 5 của hàm số f(x) tại điểm )
Câu 4. (3,5 điểm)
Cho tứ diện PQRS có PQ=PR=RS và QR=QS=SP.
Chứng minh rằng: < <3
Câu 5. (3,0 điểm)

Tìm tất cả các số chính phương abcd sao cho dcba là số chính phương
( với a,b,c,d là số tự nhiên có thể bằng nhau thỏa mãn a,b,c,d 9 và ad khác 0
Câu 6. (3,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho tam giác LMN nôị tiếp đường tròn tâm I ;
biết trọng tâm E( 15;4) , trực tâm U(1;7), đỉnh L(0;7).
Chứng minh rằng điểm I nằm bên trong tam giác LMN
Nhận xét : đề thi tỉnh Đồng Nai không khó lắm…. không đánh đúng vào những dạng
toán hay và khó của chương trình phổ thong như : bất đẳng thức, phương trình hàm,
dãy số …………….
The end
To be continue….
Where there is a will , there is a way
18