Chuyên đề sử dụng véc tơ giải bài toán cơ học

Sử dụng véctơ trong bài toán cơ học
Bài toán 1:
Một hòn đá đợc ném từ điểm O trên mặt đất với vận tốc ban đầu hớng tới điểm A.
Hai điểm O và A cùng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng và điểm A cách mặt đất
một khoảng bằng AH = h. Một giây sau khi ném hòn đá rơi đúng điểm H. Bỏ qua
sức cản của không khí. Lấy g = 10m/s
2
. Tìm h.

Giải:
Phơng pháp toạ độ
Chọn hệ trục xOy nh hình vẽ.
Gọi là góc ném. Các phơng trình chuyển động của
hòn đá là:






=
=
2
.sin
.cos
2
0
0
gt
tvy
tvx

Khi t = 1s thì:






==
===
0
2
sin
cos
0
0
g
vy
LOHvx

=
+
=
=
+
=
0
2
.
22
0
22
0
g
hL
h
vy
L
hL
L
vx

Suy ra
m
g
h 5
2
==

Phơng pháp véctơ:
Véctơ vị trí của hòn đá:

2
)(
2
00
t
gtvrtr

++=

2
2
0
t
gtv

+=

)0(
0
=
r

Từ hình vẽ ta thấy:

H
x
A

O
y
h

A
O

x
y
tv .
0

2/.
2
tg

)(tr

A

)(5
2
1.10
2
2
2
m
gt
h
===

Bài toán 2. Ném một hòn đá từ điểm O trên mặt đất, sau một giây nó đến điểm
B. Biết rằng véctơ vận tốc tại B vuông góc với vận tốc ban đầu. Hãy xác định
khoảng cách OB. Bỏ qua sức cản của không khí. Lấy g = 10m/s
2
.

Giải:
Phơng pháp toạ độ
Chọn hệ trục xOy nh hình vẽ.
Gọi là góc ném. Các phơng trình chuyển động của
hòn đá là:






=
=
2
.sin
.cos
2
0
0
gt
tvy
tvx

Khi t = 1s thì:






==
=
0
2
sin
cos
0
0
g
vy
vx



Gọi khoảng cách OB = S, ta có:

sin
4
0
2
2
0
222

gv
g
vyxS
+=+=
(1)
Gọi vận tốc của hòn đá tại B là
t
v

, hợp với phơng ngang góc , ta có:

cos
0
vv
x
=

và
gvgtvv
y
==
00
Do vận tốc tại B vuông góc với vận tốc ban đầu nên:



cos
sin
cot
0

0
v
vg
v
v
gtg
x
y

===

g
v
0
sin
=

(2)
Từ (1) và (2) ta đợc:
mS
g
S 5
4
2
2
==
.
Phơng pháp véctơ:
Véctơ độ dời:
2

.)()(
2
00
t
gtVrtrts



+==
t
VV
t
tgVV
t
22
)(
000



+
=
++
=



t
VV
ts

t
2
)(
0


+
=
Từ hình vẽ ta thấy:
tgVVVV
tt
.
00
==+


y
O
x


v
0
t
v
H
tv
0

t

v

t
vv

+
0
tg.

Do đó
)(5
2
)(
2
m
t
gts
==

= OB
Bài toán 3. Mèo Tom ở đầu một nóc nhà (điểm B trên hình).
Chú chute Jerry ở dới đất (điểm A) ding song cao su bắn vào
Tom nhng Tom phát hiện ra và quyết định bắn trả lại.
Hai viên sỏi bắn ra đồng thời từ song cao su của hai con đập
vào nhau ở chính giữa đoạn AB. Tính độ cao H cuả nóc nhà.
Biết góc hợp bởi AB với pphơng ngang là
0
30
=

, vận tốc của
đạn bắn ra từ súng của Tom là 7m/s còn Jerry bắn theo ph-
ơng ngang. Bỏ qua sức vcản của không khí.
Lấy g = 10m/s
2
.

Giải:
Phơng pháp toạ độ
Phơng pháp toạ độ
Chọn hệ trục xOy nh hình vẽ.
Gọi là góc bắn của Tom.
Các phơng trình chuyển động của đạn do Tom bắn là:






=
=
2
.sin
.cos
2
11
11
gt
tvy
tvx

Các phơng trình chuyển động của đạn do Jery bắn là:








=
==
2
.
2
2
222
gt
Hy
tv
tg
H
tvLx

Khi hai viên đạn đập vào nhau ở trung điểm đoạn AB thì:

====
===
222
.sin
2
.cos
2
2
2
11
211
gtH
y
gt
tvy
tg
H
xtvx




y
x
H

y

1
v

y
L
O
B





==
==

)2(.sin
)1(
2
.cos
2
1
21
gtHtv
tg
H
xtv

Bình phơng hai vế của (1) và (2) rồi cộng với nhau, ta đợc:
2
2
2
22
1
4
. H
tg
H
tv
+=

(3)
Rút t từ phơng trình (2) rồi thế vào (3) ta đợc:
m
tgg
tgv
H 8,2
)41(
4
2
22
1
=
+
=

Phơng pháp véctơ:
Véctơ vị trí của hai viên đạn khi gặp nhau:

222
2
2
2
11
ABtg
tvAB
tg
tvr
=++==





Từ hình vẽ ta thấy:
2
gtH
=
(1)

22222
1
)cos
2
()()(

AB
HOKHtv
+=+=



2
2
2
4tg
H
H
+=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
m
tgg
tgv
H 8,2
)41(
4
2
22
1
=
+
=


.

Nhận xét:
So sánh lời giải các bài toán trên bằng hai phơng pháp thì rõ ràng việc sử
dụng phơng pháp véctơ để giải các bài tập động học làm cho lời giải gọn
gàng hơn rất nhiều so với phơng pháp toạ độ truyền thống. Việc sử dụng
véctơ còn làm cho bài toán trở nên trực quan hơn mà vẫn không làm giảm đi ý
nghĩa vật lí. Hơn nữa cần nhấn mạnh rằng các phơng trình toạ độ chỉ là kết
quả của các phơng trình véctơ khi ta chiếu lên các trục toạ độ đợc chọn. Mặt
khác các phơng trình toạ độ thờng chứa các giá trị đại số của các đại lợng vật
lí nên học sinh thờng mắc sai lầm, nhất là về dấu của các đại lợng.

L
y
x
H

tv
1

tv
2

O
2
2
tg

K
B