Một dạng phương trình vô tỷ đặc trưng

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỔNG QUÁT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DẠNG
2
( )
ax bx c dx e mx n
    
với
0
a


Lê Trung Tín
Gv Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
Trong bài viết này, tôi xin giới thiệu cùng các bạn một phương pháp giải tổng quát phương trình vô tỷ dạng
2
( )
ax bx c dx e mx n
    
với
0
a

, cụ thể như sau:
 Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:
2
( ) (1)
x kx p lx q mx n
    
 Bước 2: Đặt
2
2
4

k l m
x t

  . Thay vào phương trình
(1)
, ta được phương trình mới theo biến
t
có
dạng:
2
( ) (2)
t k t p l t q mt n
    
    

Trong đó:
2
2
k l m
 

.
 Bước 3: Đặt điều kiện để phương trình có nghiệm và bình phương 2 vế phương trình (2) và biến đổi
được về dạng:
4 2
(3)
t At Bt C
  
 Bước 4: Chọn




sao cho




2 2
4 2 0 (*)
B A C
 
   


Nhận xét: số thực

luôn tồn tại do (*) là phương trình bậc 3 ẩn là

.
 Bước 5: Ta đưa (3) được về dạng:
   
 
2
2 2
2 2 2 2
( 2 ) ( 2 )
2 2
B
t A t Bt C t A t
A

    

 
 
          
 

 

 Bước 6: Giải phương trình trên ta sẽ tìm được
t
. Từ đó, ta sẽ tìm được
x
.
Bây giờ, ta sẽ làm quen với phương pháp trên thông qua các bài toán sau:
⋆ Bài toán 1: Giải phương trình:
2
3 1 2 1
x x x
    

Lời giải
Đặt
3
2
x t
 
.
Phương trình theo
t

:
2 2
5 5
2 2 2 2 (1)
4 4
t t t t       

Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là
2
5 5 5
0 (*)
4 2 2
t t     
Bình phương 2 vế phương trình
(1)
ta được:
 
2
4 2 2 2 2
5 7 5 7
2 2 2 (2)
2 16 2 16
t t t t t t
  
 
         
 
 

Chọn


thỏa mãn
2 2
5 7
2 4 2 0
2 16
 
  
   
  
  
. Suy ra
3
4

 

Do đó:
 
2
2
2 2 2
1
2
3 7 1
2
(2) 1 0
1
4 4 4
2

t
t t t t t t
t

 

    
          

    
    

 



Kết hợp với điều kiện (*), ta được:
1 1
2;
2 2
t t   

 Với
1
2
2
t  
, ta được:
2 2x  

 Với
1
2
t  
, ta được: 1x 
Vậy, tập nghiệm của phương trình là
 
2 2;1S  
⋆ Bài toán 2: Giải phương trình:
2
4 6 (2 1) 2x x x x    
Đặt 3x t  .
Phương trình theo t :
2
2 9 (2 7) 5 (1)t t t t    
Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là

7
1 10; 1 10; (*)
2
t
 

       




 

Bình phương 2 vế phương trình (1) ta được:
 
 
2
4 2 2 2 2
62 225 164 62 2 225 164 (2)t t t t t t
  
         

Chọn

thỏa mãn
 
 
2 2
225 4 62 2 164 0
 
   
. Suy ra
37
2

 

Do đó:
  
2 2
2 2 2
5 3
21

2 2
37 45
(2) 5 5 41 5 4 0 1
2 2
4
t
t t t t t t t
t

 

   

            
   

   

 



Kết hợp với điều kiện (*), ta được:
5 3
21; 4
2 2
t t   

 Với
5 3

21
2 2
t  
, ta được:
11 3
21
2 2
x  

 Với 4t   , ta được: 1x  
Vậy, tập nghiệm của phương trình là
11 3
1; 21
2 2
S
 
  
 
 

Hồng Ngự, ngày 13 tháng 12 năm 2013



Lê Trung Tín