Bồi dưỡng học sinh giỏi vật lý lớp 10

CƠ HỌC
PHẦN - ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM
A. LÝ THUYẾT
CÁC ĐỊNH LUẬT VỀ CHUYỂN ĐỘNG
I. Lực – Cân bằng lực
- Khi vật chuyển động có gia tốc, ta nói có lực tác dụng lên vật.
- Lực là đại lượng vectơ. Vectơ lực có hướng của gia tốc do lực truyền cho vật.
- Khi các lực đồng thời tác dụng gây các gia tốc khử lẫn nhau, các lực gọi là cân bằng nhau.
II. Các định luật Niu-tơn (Newton)
1. Định luật I:
2. Định luật II:
Đơn vị:
m: (kg)
a: (m/s
2
)
F: (N)
3. Định luật III:
Ghi chú:
• Hệ quy chiếu trong đó các định luật Newton nghiệm đúng gọi là hệ quy chiếu
quán tính.
• Một cách gần đúng, hệ quy chiếu gắn với Trái Đất có thể coi là hệ quy chiếu
quán tính.
III. Khối lượng
- Đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật. Khối lượng là đại lượng vô hướng, dương, cộng
được và bất biến đối với mỗi vật (trong phạm vi cơ học cổ điển).
- Đo khối lượng bằng tương tác hay bằng phép cân.
- Khối lượng riêng:
(kg/m
3
)

CÁC LOẠI LỰC
I. Lực hấp dẫn
1. Trường hợp tổng quát:

BDHSG Lưu hành nội bộ 1
F 0 a 0= ⇒ =
r r
r
r
F
a
m
=
r
r
21 12
F F= −
r r
m
D
V
=
1 2
2
.m m
F G
r
=
2
r

mM
GmgP ==
2
0
.
R
M
GG =
2
)( hR
M
Gg
+
=
xkF


−=
lkF ∆−=

NF
ms
µ
=
NFNF
FFNF
mst
tmst
µµ
µ

=≥
=<
;
;
v nh : ỏ F
c
=
k
1
Sv.
1 2
12 21
2
.q q
F F F k
r
ε
= = =
CƠ HỌC
( G là hằng số hấp dẫn;
2
11
2
.
6,68.10
N m
G
kg
−
≈

)
2. Trọng lực: (M: khối lượng Trái Đất)
Biểu thức của gia tốc trọng lực:
• Ở sát mặt đẩt:
• Ở độ cao h từ mặt đẩt:
(R: bán kính trái đất.)
II. Lực đàn hồi
Hoặc
(k: hệ số đàn hồi hay độ cứng;
lx ∆,

: độ biến dạng của vật đàn hồi)
III. Lực ma sát
1. Lực ma sát trượt (ma sát động):
2. Lực ma sát nghỉ (ma sát tĩnh):
(F
t
:

ngoại lực tiếp tuyến)
IV. Lực cản của môi trường
V. Lực điện
- Hai điện tích q
1,
q
2
đặt cách nhau một khoảng r trong một
môi trường có hằng số điện môi
ε
thì tương tác nhau bằng một lực

có độ lớn:
- Điện tích Q đặt trong điện trường có cường độ E chịu một lực điện tương tác có độ lớn:
BDHSG Lưu hành nội bộ 2
PHƯƠNG PHÁP ĐỘNG LỰC HỌC
Phương pháp động lực học:
- Chọn hệ quy chiếu (chọn phù hợp).
- Phân tích tất cả các lực tác dụng lên từng vật.
- Viết phương trình định luật II Niutơn đối với từng vật:
1
(1)
i
i
n
F ma
=
=
∑
r
r
- Chọn hệ trục tọa độ Oxy (chọn phù hợp). Chiếu (1) lên Ox, Oy để được các phương trình
đại số.
- Kết hợp giữa các phương trình đại số và điều kiện bài toán, giải phương trình, hệ phương
trình để tìm kết quả.
- Biện luận kết quả (nếu cần).
• Đối với hệ quy chiếu phi quán tính (hệ quy chiếu có gia tốc):
- Chuyển động thẳng:
0q
F ma=
(
0

a
là gia tốc của hệ quy chiếu phi quán tính).
- Chuyển động tròn đều:
2
2
q
v
F m m R
R
ω
= =
.
CƠ HỌC
VI. Lực từ
- Một dây dẫn có chiều dài l, mang dòng điện có cường độ I đặt trong từ trường có cảm ứng từ
B
r
, góc hợp bởi
B
r
và chiều dòng điện là
α
. Lực từ tác dụng lên dây dẫn mang dòng điện có độ lớn:
- Chiều của lực từ được xác định bằng “quy tắc bàn tay trái”.
VII. Lực lo-ren-xơ
- Một thì chịu một lực tác dụng. Lực đó gọi là lực lo-ren-xơ:

;
( , )B v
α

=
r
r

- Chiều của lực từ được xác định bằng “quy tắc bàn tay trái”.
- Hạt mang điện tích q chuyển động với vận tốc
v
r
trong từ trường đều có cảm ứng từ
B
r
sao cho
B v⊥
r
r
thì bán kính quỹ đạo tròn của điện tích là

B. BÀI TẬP
1. Một vật khối lượng 0,2kg trượt trên mặt phẳng ngang dưới tác dụng của lực F có phương nằm
ngang, có độ lớn là 1N.
a. Tính gia tốc chuyển động không vận tốc đầu. Xem lực ma sát là không đáng kể.
b. Thật ra, sau khi đi được 2m kể từ lúc đứng yên, vật dạt được vận tốc 4m/s. Tính gia tốc
chuyển động, lực ma sát và hệ số ma sát. Lấy g = 10m/s
2
.
BDHSG Lưu hành nội bộ 3
F Q E=
sinF BIl
α
=

sinf q Bv
α
=
mv
R
q B
=
CƠ HỌC
ĐS: a. a = 5 m/s
2
., b. a = 4 m/s
2
;
0,1
µ
=
.
2. Một buồng thang máy có khối lượng 1 tấn
a. Từ vị trí đứng yên ở dưới đất, thang máy được kéo lên theo phương thẳng đứng bằng một lực
F
ur
có độ lớn 12000N. Hỏi sau bao lâu thang máy đi lên được 25m? Lúc đó nó có vận tốc là bao nhiêu?
b. Ngay sau khi đi được 25m trên, ta phải thay đổi lực kéo thang máy thế nào để thang máy đi
lên được 20m nữa thì dừng lại? Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: a. t = 5 s, v = 10 m/s; b. F = 7500 N.
3. Một đoàn tàu có khối lượng 10
3
tấn đang chạy với vận tốc 36km/h thì bắt đầu tăng tốc. Sau khi đi

được 300m, vận tốc của nó lên tới 54km/h. Biết lực kéo cảu đầu tầu trong cả giai đoạn tăng tốc là
25.10
4
N. Tìm lực cản chuyển động cảu đoàn tàu.
ĐS: F
c
= 5.10
4
N.
4. Một chiếc ô tô có khối lượng 5 tấn đang chạy thì bị hãm phanh chuyển động thẳng chậm dần đều.
Sau 2,5s thì dừng lại và đã đi được 12m kể từ lúc vừa hãm phanh.
a. Lập công thức vận tốc và ve đồ thị vận tốc kể từ lúc vừa hãm phanh.
b. Tìm lực hãm phanh.
ĐS: a. v
t
= 9,6 – 3,84t; b. F
h
= 19,2.10
3
N.
5. Một vật khối lượng 1kg được kéo trên sàn ngang bởi một lực
F
r
hướng lên, có phương hợp với
phương ngang một góc 45
0
và có độ lớn là
2 2
N. Hệ số ma sát giữa sàn và vật là 0,2.
a. Tính quãng đường đi được của vật sau 10s nếu vật có vận tốc đều là 2m/s.

b. Với lực kéo trên thì hệ số ma sát giữa vật và sàn là bao nhiêu thì vật chuyển động thẳng đều.
Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: a. s = 40 m; b.
0,25
µ
=
.
6. Một người khối lượng m = 60kg đứng trên thang chuyển động lên trên gồm ba giai đoạn.
hãy tính lực nén lên thang trong mỗi giai đoạn:
a. Nhanh dần đều với gia tốc 0,2m/s
2
.
b. Đều
c. Chậm dần đều với gia tốc 0,2m/s
2
. Lấy g = 10m/s
2
ĐS: a. N = 612 N; b. N = 600 N; c. N = 588 N.
7. Một vật có khối lượng 60kg đặt trên sàn buồng thang máy. Tính áp lực của vật lên sàn trong các
trường hợp:
a. Thang chuyển động xuống nhanh dần đều với gia tốc 0,2m/s.
b. Thang chuyển động xuống chậm dần đều với gia tốc 0,2m/s
2.
c. Thang chuyển động xuống đều.
d. thang rơi tự do. Lấy g = 10m/s
2
ĐS: a. N = 588 N; b. N = 612 N; c. N = 600 N; d. N = 0.
8. Một lực kế, có treo vật khi đứng yên chỉ 20n. Tìm số chỉ của lực kế khi:

a. Kéo lực kế lên nhanh dần với gia tốc 1m/s
2
b. Hạ lực kế xuống chậm dần đều với gia tốc 0,5m/s
2
. Lấy g = 10m/s
2
ĐS: a. F
k
= 22 N; b. F
k
= 21 N.
9. Một sợi dây thép có thể giữ yên được một trọng vật có khối lượng lớn đến 450kg. Dùng dây để kéo
một trọng vật khác có khối lượng 400kg lên cao. Hỏi gia tốc lớn nhất mà vật có thể có để dây không bị
đứt. Lấy g= 10 m/s
2
.
ĐS:
2
1,25 /a m s≤
.
10. Một vật trượt không vận tốc đầu đỉnh dốc nghiêng dài 8m, cao 4m. Bỏ qua ma sát. Lấy g= 10 m/s
2
.
Hỏi
a. Sau bao lâu vật đến chân dốc?
b. Vận tốc của vật ở chân dốc.
ĐS: a. t = 1,79 s; b. v = 8,95 m/s.
11. Giải lại bài toán trên khi hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng là k = 0,2.
BDHSG Lưu hành nội bộ 4
CƠ HỌC

ĐS: a. t = 2,2 s; b. v = 7,2 m/s.
12. Một vật trượt không vận tốc đầu từ đỉnh mặt phẳng nghiêng dài 5m, nghiêng góc 30
0
so với phương
ngang. Coi ma sát trên mặt nghiêng là không đáng kể. Đến chân mặt phẳng nghiêng, vật sẽ tiếp tục
chuyển động trên mặt phẳng ngang trong thời gian là bao nhiêu ? Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt
phẳng ngang là k = 0,2. Lấy g = 10m/s
2.
ĐS: t = 3,54 s.
13. Xe đang chuyển động với vận tốc 25m/s thì bắt đầu trượt lên dốc dài 50m, cao 14m. Hệ số ma sát
giữa xe và mặt dốc là 0,25.
a. Tìm gia tốc của xe khi lên dốc.
b. Xe có lên dốc không ? Nếu xe lên được, tìm vận tốc xe ở đỉnh dốc và thời gian lên dốc.
ĐS: a. a = - 3m/s
2
; b. v = 18,02 m/s, t = 2,33 s.
14. Một vật có khối lượng m = 1kg trượt trên mặt phẳng nghiêng một góc
α
= 45
0
so với mặt phẳng
nằm ngang.
Cần phải ép lên một vật lực
F
r
theo phương vuông góc với mặt phẳng nghiêng có độ lớn là bao
nhiêu để vật trượt xuống nhanh dần đều với gia tốc 4m/s
2
. Biết hệ ma sát giữa vật và mặt phẳng nghiêng
là

0,2
µ
=
. Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: F = 8,28 N.
15. Giải lại bài toán khi vật trượt xuống đều.
ĐS: F = 28,28 N.
16. Một đầu máy tàu hoả có khối lượng 60 tấn đang xuống một dốc 5% (sin
α
= 0,050) và đạt được vận
tốc 72km/h thì tài xe đạp thắng. Đầu máy tàu hoả chạy chậm dần đều và dừng lại sau khi đi được 200m.
Tính:
a. Lực thắng.
b. Thời gian đầu máy đi được quãng đường 200m trên. Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: a. F = 9.10
4
N; b. t = 20 s.
17. Tại một điểm A trên mặt phẳng nghiêng một góc 30
0
so với phương ngang, người ta truyền cho một
vật vận tốc 6m/s để vật đi lên trên mặt phẳng nghiêng theo một đường dốc chính. Bỏ qua ma sát. Lấy g
= 10 m/s
2
.
a. Tính gia tốc của vật.
b. Tính quãng đường dài nhất vật chuyển động trên mặt phẳng nghiêng.

c. Sau bao lâu vật sẽ trở lại A? Lúc đó vật có vận tốc bao nhiêu?
ĐS: a. a = - 5 m/s
2
; b. s = 3,6 m; c. t = 2,4 s.
18. Tác dụng lục
F
r
có độ lớn 15N vào hệ ba vật như hình vẽ. Biết
m
1
= 3kg; m
2
= 2kg; m
3
= 1kg và hệ số ma sát giữa ba vật và mặt
phẳng ngang như nhau là k = 0,2. Tính gia tốc của hệ và lực căng
của các dây nối.
Xem dây nối có khối lượng và độ dã không đáng kể. lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: a = 0,5 m/s
2
T
1
= 7,5 N; T
3
= 2,5 N
19. Giải lại bài toán trên nếu ma sát không đáng kể
ĐS: a = 2,5 m/s
2

T
1
= 7,5 N; T
3
= 2,5 N
20. Cho hệ cơ học như hình vẽ, m
1
= 1kg, m
2
= 2kg. hệ số ma sát giữa m
2
và mặt bàn là 0,2. Tìm gia tốc hệ và lực căng dây. Biết ròng rọc có khối
lượng và ma sát với dây nối không đáng kể. Lấy g = 10m/s
2
. Cho dây nối
có khối lượng và độ giãn không đáng kể.
ĐS: a = 2 m/s
2
T = 8 N
21. Giải lại bài toán trên nếu hệ số ma sát giữa vật m
2
với mặt bàn là 0,6 và lúc đầu cơ hệ đứng yên.
ĐS: a = 0 m/s
2
T =10 N
BDHSG Lưu hành nội bộ 5
CƠ HỌC
22. Trong bài 20 biết lúc đầu cơ hệ đứng yên và m
1
cách đất 2m. Sau khi hệ chuyển động được 0,5 thì

dây đứt. Tính thời gian vật m
1
tiếp tục rơi và vận tốc của nó khi vừa chạm đất. Biết trước khi dây đứt thì
m
2
chưa chạm vào ròng rọc. Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: t = 0,5 s; v = 6 m/s.
23. Trong bài 20 nếu cung cấp cho m
2
một vận tốc
v
r
0
có độ lớn 0,8
m/s như hình vẽ. Mô tả chuyển động kế tiếp của cơ hệ (không xét đến
trường hợp m
1
hoặc m
2
có thể chạm vào ròng rọc.
24. Người ta vắt qua một chiếc ròng rọc một đoạn dây, ở hai đầu có
treo hai quả cân 1 và 2 có khối lượng lần lượt là m
1
= 260g và m
2
=
240g. SAu khi buông tay, hãy tính:
a. Vận tốc của mỗi vật ở đầu giây thứ 3.

b. Quãng đường mà mỗi vật đi được trong giây thứ 3.
Lấy g = 10m/s
2
. Bỏ qua khối lượng và độ giãn không đáng kể.
ĐS: a. v = 0,8 m/s; b.
1s m∆ =
.
25. Cho hệ vật như hình vẽ: m
1
= 1kg, m
2
= 2kg. Hệ số ma sát giữa
hai vật và mặt phẳng ngang đều bằng nhau là k = 0,1. Tác dụng vào
m
2
lực
F
r
có độ lớn F = 6N và
α
= 30
0
như hình vẽ. Tính gia tốc mỗi
vật và lực căng của dây. Biết dây có khối lượng và độ giãn không
đáng kể. lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: a = 0,83 m/s
2
; T = 1,83 N.

26. Cho hệ vật như hình vẽ: m
1
= 3kg, m
2
= 2kg,
α
= 30
0
. Bỏ qua ma sát, khối
lượng của dây và khối lượng ròng rọc. Lấy g = 10m/s
2
.
a. Tính gia tốc chuyển động của mỗi vật
b. Tính lực nén lên trục ròng rọc.
c. Sau bao lâu kể từ khi bắt đầu chuyển động từ trạng thái đứng yên
thì hai vật ở ngang. Biết lúc đầu m
1
ở vị trí thấp hơn m
2
0,75m.
ĐS: a. a =1 m/s; b. T = 31,2 N; c. t = 1 s.
27. Trên mặt phẳng nằm ngang có hai vật có khối lượng m
1
= 1kg và m
2
=
2kg nối với nhau bằng một dây khối lượng và độ giãn không đáng kể. Tại
một thời điểm nào đó vật m
1
bị kéo theo phương ngang bởi một lò xo (có

khối lượng không đáng kể) và đang bị giãn ra một đoạn
∆
l = 2cm. Độ
cứng của lò xo là k = 300
N
m
. Bỏ qua ma sát. Xác định:
a. Gia tốc của vật tại thời điểm đang xét
b. Lực căng dây tại thời điểm đang xét.
ĐS: a. a = 2 m/s
2
; b. T = 4 N.
28. Đặt một vật khối lượng m
1
= 2kg trên một mặt bàn nhẵn nằm ngang. Trên nó có một vật khác khối
lượng m
2
= 1 kg. Hai vật nối với nhau bởi một sợi dây vắt qua một ròng rọc cố định. Cho độ giãn của sợi
dây, khối lượng của dây và ròng rọc không đáng kể.
Hỏi cần phải tác dung một lực
F
r
có độ lớn bao nhiêu vào vật
m
1
(như hình vẽ) để nó chuyển động với gia tốc a = 5m/s
2
. Biết hệ
số ma sát giữa hai vật m
1

và m
2
là k = 0,5. Lấy g = 10m/s
2
. Bỏ qua
ma sát với mặt bàn.
ĐS: F = 25 N.
BDHSG Lưu hành nội bộ 6
CƠ HỌC
29. Có thể đặt một lực F theo phương ngang lớn nhất là bao nhiêu lên
m
2
để m
1
đứng yên trên mặt m
2

khi m
2
chuyển động nhanh dần đều trên
mặt phẳng nằm ngang. Biết hệ số ma sát giữa m
1
và m
2
là k = 0,1; giữa
m
2
và mặt ngang là k’ = 0,2; m
1
= 1kg; m

2
= 2kg. Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: F = 9 N.
30. Có hệ vật như hình vẽ, m
1

= 0,2 kg; m
2
= 0,3 kg được nối với nhau
bằng một dây nhẹ và không giãn. Bỏ qua ma sát giữa hai vật và mặt bàn.
Một lực
F
r
có phương song song với mặt bàn có thể tác dụng vào khi m
1
hoặc m
2
.
a. Khi
F
r
tác dụng vào m
1
và có độ lớn 1N thì gia tốc của các vật và lực căng dây nối là bao
nhiêu?
b. Biết dây chịu được lực căng lớn nhất là 10N. Hỏi độ lớn cực đại của
F
r

tác dụng vào m
1
hoặc
m
2
.
ĐS: a. a = 2 m/s
2
, T = 0,6 N; b. F
max
= 25 N.
31. Có hệ vật như hình vẽ, m
1
= 3kg, m
2
= 2kg, m = 5kg. Bỏ qua ma sát và độ
giãn dây treo. Khối lượng của các ròng rọc và của dây treo. Khối lượng của các
ròng rọc và của dây treo không đáng kể. Lấy g = 10m/s
2
. Tính gia tốc chuyển
động của m và lực căng dây nối m với ròng rọc động
ĐS: a = 0,2 m/s
2
; T = 49 N.
32. Muốn kéo một vật có trọng lượng P = 1000N chuyển động đều lên một mặt phẳng nghiêng góc 60
0
so với đường thẳng đứng, người ta phải dùng một lực
F
r
có phương song song với mặt phẳng nghiêng

và có độ lớn 600N. Hỏi vật sẽ chuyển động xuống mặt phẳng nghiêng với gia tốc bao nhiêu khi không
có lực
F
r
. Biết giữa vật và mặt phẳng nghiêng có ma sát. Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: a = 4 m/s
2
.
33. Một vật khối lượng 2kg được kéo bởi một lực
F
r
hướng lên hợp với phương ngang một góc
α
= 30
0
.
Lực
F
r
có độ lớn 8N. Biết sau khi bắt đầu chuyển động 2s từ trạng thái đứng yên vật đi được quãng
đường 4m.
Lấy g = 10m/s
2
.
a. Tính hệ số ma sát giữa vật và mặt ngang.
b. Để cho vật có thể chuyển động thẳng đều thì
F
r

có độ lớn là bao nhiêu?
ĐS: a.
0,18
µ
=
; b. F = 2,63 N.
34. Một vật khối lượng m
2
= 4kg được đặt trên bàn nhẵn. Ban đầu vật m
2
đứng yên cách sàn nhà 1m.
Tìm vận tốc vật m
1
khi vừa chạm sàn nhà. Lấy g = 10m/s
2
. Bỏ qua ma sát, khối lượng ròng rọc, khối
lượng và độ giãn của dây nối. “Biết cơ hệ như bài 20”.
ĐS: a = 2 m/s
2
; v = 2 m/s.
35. Một vật được ném thẳng đứng từ mặt đất lên với vận tốc ban đầu 20 m/s
2
. Bỏ qua sức cản không khí.
Lấy g = 10 m/s
2
.
a. Tìm độ cao và vận tốc của vật sau khi ném 1,5s.
b. Xác định độ cao tối đa mà vật có thể đạt được và thời gian vận chuyển động trong không khí .
c. Sau bao lâu sau khi ném, vật ở cách mặt đất 15m? Lúc đó vật đang đi lên hay đi xuống?
ĐS: a. h = 18,85 m, v = 5 m/s; b. h = 20 m, t = 4 s; c. t = 3 s, vật đang đi xuống.

36. Từ đỉnh tháp cao 25m, một hòn đá được ném lên với vận tốc ban đầu 5m/s
theo phương hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc
α
= 30
0
.
BDHSG Lưu hành nội bộ 7
CƠ HỌC
a. Viết phương trình chuyển động, phương tình đạo của hòn đá.
b. Sau bao lâu kể từ lúc ném, hòn đá sẽ chạm đất ?
Lấy g = 10 m/s
2
ĐS: a.
2,5 3x t=
,
2
25 2,5 5y t t= + −
; b. t = 2,5 s.
37. Trong bài 36 tính:
a. Khoảng cách từ chân tháp đến điểm rơi của vật.
b. Vận tốc của vật khi vừa chạm đất.
ĐS: a. x = 10,8 m; b. v = 23 m/s.
38. Từ một điểm A trên sườn một quả đồi, một vật được ném theo phương nằm ngang với vận tốc
10m/s. Theo tiết diện thẳng đứng chứa phương ném thì sườn đồi là một đường thẳng nghiêng góc
α
= 30
0
so với phương nằm ngang điểm rơi B của vật trên sườn đồi cách A bao nhiêu ? Lấy g = 10m/s
2
.

ĐS:
13,33AB m=
.
39. Từ đỉnh tháp cao 30m, ném một vật nhỏ theo phương ngang với vận tốc ban đầu v
0
= 20m/s.
a. Tính khoảng thời gian từ lúc ném đến khi vật chạm đất và khoảng cách từ điểm chạm đất đến
chân tháp.
b. Gọi M là một điểm trên quỹ đạo tại đó vectơ vận tốc hợp với phương thẳng đứng một góc
α
= 60
0
. Tính khoảng cách từ M tới mặt đất.
ĐS: a. x = 49 m, t = 2,45 s; b. h
M
= 23,33 m
40. Từ đỉnh A của một mặt bàn phẳng nghiêng người ta thả một vật có
khối lượng m = 0,2kg trượt không ma sát không vận tốc đầu. Cho AB =
50cm; BC = 100cm; AD = 130cm; g = 10m/s
2
.
a. Tính vận tốc của vật tại điểm B
b. Chứng minh rằng quỹ đạo của vật sau khi rời khỏi bàn là 1
parabol. Vật rơi cách chân bàn một đoạn CE bằng bao nhiêu? (Lấy gốc
toạ độ tại C)
ĐS: a. v
B
= 2,45 m/s; b.
2
2 2

tan .
2 os
B
g
y h x x
v c
α
α
= − −
, CE = 0,635 m.
41. Một lò xo R có chiều dài tự nhiên 1
0
= 24,3m và độ cứng k = 100
N
m
;
có đầu O gắn với một thanh cứng, nằm ngang T như hình vẽ. Đầu kia có
gắn với một vật nhỏ A, khối lượng m = 100g. Thanh T xuyên qua tâm
vật A và A có thể trượt không ma sát theo T. Lấy g = 10m/s
2
.
Cho thanh T quay đều quanh trục thẳng đứng Oy, với vận tốc góc
ω
=
10rad/s. Tính độ dài của R. Xác định phương, chiều và cường độ của lực
do R tác dụng vào điểm O’. Bỏ qua khối lượng của lò xo R.
ĐS: l = 27 cm , F = 2,7 N.
42. Một đĩa phẳng tròn có bán kính R = 10cm, nằm ngang quay đều quanh trục thẳng đứng đi qua tâm
của đĩa.
a. Nếu mỗi giây đĩa quay được 1,5 vòng thì vận tốc dài của một điểm ở mép đĩa là bao nhiêu?

b. Trên mặt đĩa có đặt một vật có kích thước nhỏ, hệ số ma sát giữa vật và đĩa là
µ
= 0,1. Hỏi
với những giá trị nào của vận tốc góc
ω
của đãi thì vật đặt trên đĩa dù ở vị trí nào cũng không bị trượt ra
phía ngoài đĩa. Cho g = 10m/s
2
BDHSG Lưu hành nội bộ 8
CƠ HỌC
ĐS:
3,16 / .
g
rad s
R
µ
ω
≤ =
43. Có đĩa phẳng như bài 41 treo một con lắc đơn (gồm vật nặng M treo vào đầu một
sợi dây nhẹ) vào đầu thanh AB cắm thẳng đứng trên mặt đĩa, đầu B cắm vào đĩa tại
điểm cách tâm quay
2
R
. Cho AB = 2R.
a. Chứng minh rằng khi đĩa quay đều thì phương dây treo hợp với phương
thẳng đứng một góc
α
nằm trong mặt phẳng chứa AB và trục quay.
b. Biết chiều dài con lắc là l = R, tìm vận tốc góc
ω

của đĩa quay để
α
= 30
0
.
ĐS: a. Do các lực đồng phẳng; b.
7,6 / .rad s
ω
≈
44. Một quả khối lượng m được gắn vào một sợi dây mà đầu kia của được
buộc vào đầu một thanh thẳng đứng đặt cố định trên một mặt bàn quay nằm
ngang như hình vẽ. Bàn sẽ quay với vận tốc góc
ω
bằng bao nhiêu, nếu dây
tạo với phương vuông góc của bàn một góc
α
= 45
0
? Biết dây dài 1 = 6cm
và khoảng cách của h thẳng đứng quay là r = 10cm.
ĐS:
8,3 / .rad s
ω
≈
45. Một quả cầu khối lượng m, treo trên một sợ dây dài 1. Quả cầu quay
đều trong một vòng tròn nằm ngàng như hình vẽ. Dây tạo một góc
α
với phương
thẳng đứng. Hãy tính thời gian để quả cầu quay được một vòng. Biết gia tốc
trọng lực tại nơi quả cầu chuyển động là g.

ĐS:
2 cos
2
l
T
g
π α
π
ω
= =
.
46. Treo một con lắc trong một toa xe lửa. Biết xe chuyển động ngang với gia tốc
a
r
và dây treo con lắc
nghiêng góc
0
15
α
=
so với phương thẳng đứng. Tính a.
ĐS:
2
tan 2,6 /a g m s
α
= ≈
.
47. Cho hệ như hình vẽ:
m
1

= 1,2 kg, m
2
= 0,3 kg, dây và ròng rọc nhẹ. Bỏ qua ma sát. Lấy
g = 10 m /s
2
. Bàn đi nhanh dần đều với gia tốc
2
0
5 /a m s=
. Tính gia tốc của m
1
và m
2
đối với đất.
ĐS:
2 2
13 / ;7 /m s m s
.
48. Cho hệ như hình vẽ, hệ số ma sát giữa m
2
và bàn là
µ
và hai vật chuyển
động đều.Tìm gia tốc của m
2
đối với đất khi bàn chuyển động với gia tốc
0
a
r
sang trái.

ĐS:
2 2
0 0
( )
1
g a g a
a
µ
µ
+ − −
=
+
49. Một dây nhẹ không co dãn vắt qua một ròng rọc nhẹ gắn ở cạnh bàn
ngang, hai đầu dây buộc hai vật co khối lượng m
1
, m
2
(hình vẽ) hệ số ma
sát giữa m
1
và mặt bàn là
µ
. Bỏ qua ma sát ở trục ròng rọc. Tìm gia tốc
của m
1
đối với đất khi bàn chuyển động với gia tốc
0
a

hướng sang trái,

cho g là gia tốc trọng trường.
BDHSG Lưu hành nội bộ 9
CƠ HỌC
ĐS:
2 2
2 0 0 1
1 2
( )m g a a m g
a
m m
µ
+ − −
=
+
50. Cho hệ như hình vẽ, thang máy đi lên với gia tốc
0
a
r
hướng lên. Tính gia tốc của m
1
và m
2
đối với đất và lực căng của dây treo ròng rọc.
ĐS:
'
2 0 2 1
1
1 2
'
1 0 2 1

2
1 2
1 2 0
1 2
2 ( )
2 ( )
2 ( )
m a m m g
a
m m
m a m m g
a
m m
m m g a g
T
m m
+ −
=
+
− −
=
+
+
=
+
51. Quả cầu khối lượng m được treo bởi hai dây nhẹ trên trần một toa xe
như hình vẽ, AB = BC = CA. Toa xe chuyển động nhanh dần đều với gia tốc
a
r
. Tính a.

a. Cho biết lực căng dây AC gấp 3 lần dây AB.
b. để dây AB chùng (không bị căng).
ĐS: a.
2 3
g
a =
; b.
3
g
a >
52. Trong một thang máy đang đi lên nhanh dần đều với gia tốc
2
0
2 /a m s=
, người ta ném ngang một
vật với vận tốc
0
2 /v m s=
(đối với thang). Khoảng cách từ điểm ném đến sàn là OH = 1,5 m. Hỏi sau
bao lâu vật chạm sàn. Tìm khoảng cách từ điểm ném đến điểm vật chạm sàn. Bỏ qua sức cản không khí,
g = 10 m/s
2
.
ĐS: OM = 1,8 m.
53. Nêm có khối lượng M, mặt AB dài l nghiêng một góc
α
so với phương ngang. Từ A thả vật khối
lượng m không vận tốc đầu. Bỏ qua ma sát giữa m với sàn và giữa m với M.
a. Tính gia tốc của M.
b. Tìm thời gian m đi từ A đến B.

ĐS: a.
α
αα
2
sin
cos.sin
mM
mg
a
+
=
; b.
)(sin
sin(22
2
mMg
mMl
a
l
t
+
+
==
α
α
.
54. Trên mặt phẳng nằm ngang có một nêm khối lượng
kgm 4
2
=

, chiều dài mặt
phẳng nghiêng L = 12 cm, và
0
30=
α
.Trên nêm đặt khúc gỗ
kgm 1
1
=
. Biết hệ số
ma sát giữa gỗ và nêm
1,0=
µ
. Bỏ qua ma sát giữa nêm và mặt phẳng ngang.
Tìm lực
F

đặt vào nêm để khúc gỗ trượt hết chiều dài mặt phẳng nghiêng trong
thời gian t = 2 s từ trang thái đứng yên. Lấy
2
/10 smg =
.
ĐS:
NF 9,4=
.
55. Một nêm khối lượng M = 1 kg có mặt AB dài 1 m, góc nghiêng
0
30=
α
có thể trượt không ma sát

trên mặt phẳng nằm ngang. Từ A thả vật m = 1kg trượt xuống dốc AB. Hệ số ma sát trượt giữa m và mặt
AB là 0,2. Bỏ qua kích thước vật m. Tìm thời gian để m đến B. Trong thời gian đó nêm đi được đoạn
đường bao nhiêu ?. Cho g = 10 m/s
2
.
ĐS: t = 0,6 s; s = 0,43 m.
56. Chiếc nêm A có khối lượng m
1
= 5 kg, có góc nghiêng
0
30=
α
có thể
chuyển động tịnh tiến không ma sát trêm mặt bàn nhẵn nằm ngang. Một vật
khối lượng m
2
= 1 kg, đặt trên nêm được kéo bằng một sợi dây vắt qua ròng
rọc cố định gắn chặt với nêm.
BDHSG Lưu hành nội bộ 10
CƠ HỌC
Lực kéo F phải có độ lớn bằng bao nhiêu để vật m
2
chuyển động lên trên theo mặt nêm. Khi F =
10 N, gia tốc của vật và nêm bằng bao nhiêu ? Bỏ qua ma sát, khối lượng dây và khối lượng ròng
rọc.
Lấy g = 10 m/s
2
.
ĐS: 5,84 < F < 64,6 N; a
1

= 1,08 m/s
2
; a
2
= 4,99 m/s
2
.
57. Một vật có khối lượng m nằm trên mặt bàn nằm ngang, gắn vào đầu một lò xo thẳng đứng có độ
cứng K. Ban đầu lò xo không biến dạng và chiều dài l
0
. Bàn chuyển động đều theo phương ngang, lò xo
nghiêng góc
α
so với phương thẳng đứng. Tìm hệ số ma sát
µ
giữa vật và bàn.
Áp dụng: K = 10 N/m, l
0
= 0,1 m,
0
60
α
=
, m = 0,5 kg.
ĐS:
)cos1(
tancos).1(
0
0
α

α
µ
−−
−
=
KlP
Kl
,
0,2
µ
≈
.
58. Một lò xo có chiều dài tự nhiên 1
0
= 24,3m và độ cứng k = 100
N
m
;
có đầu O gắn với một thanh cứng, nằm ngang T như hình vẽ. Đầu kia có
gắn với một vật nhỏ A, khối lượng m = 100g. Thanh T xuyên qua tâm
vật A và A có thể trượt không ma sát theo T. Lấy g = 10m/s
2
.
Cho thanh T quay đều quanh trục thẳng đứng Oy, với vận tốc góc
ω
=
10 rad/s. Tính độ dài của lò xo. Xác định phương, chiều và cường độ của
lực do R tác dụng vào điểm O. Bỏ qua khối lượng của lò xo .
ĐS: l = 27 cm , F = 2,7 N.
59. Vật có khối lượng m = 50 g gắn vào đầu một lò xo nhẹ. Lò xo có

chiều dài ban đầu l
0
= 30 cm và độ cứng k = 3 N/cm. Người ta cho vật
và lò xo quay tròn đều trên một mặt sàn nhẵn nằm ngang, trục quay đi
qua đầu lò xo. Tính số vòng quay trong một phút để lò xo dãn ra một
đoạn x = 5 cm.
ĐS: n = 280 vòng/ phút.
60. Lò xo k = 50 N/m, l
0
= 36 cm treo vật m = 0,2 kg có đầu trên cố định. Quay lò xo quanh một trục
thẳng đứng qua đầu trên lò xo, m vạch một đường tròn nằm ngang hợp với trục lò xo góc 45
0
. Tính
chiều dài lò xo và số vòng quay trong một phút.
ĐS: l = 41,6 cm; 55,8 vòng/phút.
61. Thanh OA quay quanh một trục thẳng đứng OZ với vận tốc góc
ω
. Góc
·
ZOA
α
=
không đổi. Một hòn bi nhỏ khối lượng m, có thể trượt không ma sát trên OA và được nối
với điểm O bằng một lò xo có độ cứng k và có chiều dài tự nhiên l
0
.
a. Tìm vị trí cân bằng của hòn bi và điều kiện để có cân bằng.
b. Cân bằng này là bền hay không bền.
ĐS: a.
0

2 2
cos
1
;
sin sin
kl mg
k
l
k m m
α
ω
ω α α
−
= <
−
; b. Cân bằng bền.
62. Đặt một vật nhỏ ở cách trục quay của một cái mâm 10 cm. Cho mâm quay từ trạng
thái nghỉ với gia tốc góc không đổi, sau thời gian 0,5 giây có vận tốc 30 vòng/phút. Tính hệ số ma sát
nhỏ nhất giữa vật và mâm để vật không bị trượt trong thời kỳ tăng tốc. Lấy g = 10 m/s
2
,
2
10
π
=
.
ĐS:
0,187
µ
≥

.
63. Một người muốn đổ một đóng cát hình nón trên một diện tích hình tròn trong sân nhà anh ta. Ngoài
diện tích hình nón này, không có cát tràn xuống. Bán kính hình tròn là R, hệ số ma sát giữa các lớp cát
dốc là
µ
. Tìm thể tích lớn nhất của đóng cát.
ĐS:
3
1
3
V R
πµ
=
.
BDHSG Lưu hành nội bộ 11
CƠ HỌC
64. Một đĩa phẳng tròn có bán kính R = 10cm, nằm ngang quay đều quanh trục thẳng đứng đi qua tâm
của đĩa.
a. Nếu mỗi giây đĩa quay được 1,5 vòng thì vận tốc dài của một điểm ở mép đĩa là bao nhiêu?
b. Trên mặt đĩa có đặt một vật có kích thước nhỏ, hệ số ma sát giữa vật và đĩa là
µ
= 0,1. Hỏi
với những giá trị nào của vận tốc góc
ω
của đĩa thì vật đặt trên đĩa dù ở vị trí nào cũng không bị trượt ra
phía ngoài đĩa. Cho g = 10m/s
2
ĐS:
3,16 / .
g

rad s
R
µ
ω
≤ =
65. Một quả cầu khối lượng m, treo trên một sợ dây dài 1. Quả cầu quay đều trong một vòng tròn nằm
ngàng như hình vẽ. Dây tạo một góc
α
với phương thẳng đứng. Hãy tính thời gian để quả cầu quay
được một vòng. Biết gia tốc trọng lực tại nơi quả cầu chuyển động là g.
ĐS:
2 cos
2
l
T
g
π α
π
ω
= =
.
66. Có đĩa phẳng treo một con lắc đơn (gồm vật nặng M treo vào đầu một sợi dây
nhẹ) vào đầu thanh AB cắm thẳng đứng trên mặt đĩa, đầu B cắm vào đĩa tại điểm
cách tâm quay
2
R
. Cho AB = 2R.
a. Chứng minh rằng khi đĩa quay đều thì phương dây treo hợp với phương
thẳng đứng một góc
α

nằm trong mặt phẳng chứa AB và trục quay.
b. Biết chiều dài con lắc là l = R, tìm vận tốc góc
ω
của đĩa quay để
α
= 30
0
.
ĐS: a. Do các lực đồng phẳng; b.
7,6 / .rad s
ω
≈
67. Một quả khối lượng m được gắn vào một sợi dây mà đầu kia của được buộc vào
đầu một thanh thẳng đứng đặt cố định trên một mặt bàn quay nằm ngang như hình vẽ.
Bàn sẽ quay với vận tốc góc
ω
bằng bao nhiêu, nếu dây tạo với phương vuông góc
của bàn một góc
α
= 45
0
? Biết dây dài 1 = 6cm và khoảng cách của h thẳng đứng
quay là r = 10cm.
ĐS:
8,3 / .rad s
ω
≈
68. Một người nằm trong một căn phòng hình trụ, trong không gian, cách xa các thiên thể. Tính số vòng
quay của phòng quanh trục trong một phút để phòng tạo cho người một trọng lượng bằng với trọng
lượng của người trên mặt đất. Biết bán kính của phòng R = 1,44 m.

ĐS: n = 25 vòng/phút.
69. Tìm vận tốc nhỏ nhất của một người đi môtô chuyển động tròn đều theo một đường tròn nằm ngang
ở mặt trong một hình trụ thẳng đứng bán kính 3 m, hệ số ma trượt là
0,3
µ
=
.
ĐS: 36 Km/h.
70. Vận tốc tối đa của người đi xe đạp trên một đường vòng có mặt đường nghiêng về phía tâm một góc
α
gấp mấy lần vận tốc tối đa của xe đi trên đường vòng đó nhưng mặt đường nằm ngang ? Coi các bánh
xe đều là bánh phát động.
ĐS:
2
1
sin os
( os sin )
v c
v c
α µ α
µ α µ α
+
=
−
.
71. Cho hệ như hình vẽ, khối lượng của người 72 kg, của ghế treo 12 kg. Khi người kéo dây
chuyển động đi lên, lực nén của người lên ghế là 400 N. Tính gia tốc chuyển động của ghế và
người.
ĐS: a
0

= 3,3 m/s
2
.
BDHSG Lưu hành nội bộ 12
CƠ HỌC
72. Một chiếc phễu có mặt phễu nghiêng góc
α
với phương thẳng đứng, quay quanh trục (như hình vẽ)
với vận tốc góc
ω
. Một viên bi nhỏ đặt trên mặt phễu quay cùng với phễu. Khi chuyển động đã ổn định,
bi quay cùng vận tốc với phễu và ở vị trí cách trục phễu một đoạn R. Coi ma sát là nhỏ, hãy tính R.
ĐS:
2
cotg
R
α
ω
=
.
73. Một chiếc phễu có góc ở đỉnh quay đều xung quanh một trục thẳng đứng với tần số vòng là n vòng/s.
Người ta đặt một vật nhỏ trong lòng phễu. Hệ số ma sát giữa vật và phễu là
µ
. Hỏi phải đặt cách đáy
phễu một khoảng cách L bằng bao nhiêu để vật cùng quay với phễu mà không trượt.
ĐS:
2 2
(cot ) (cot )
4 (sin os ) 4 (sin os )
g g

L
n c n c
α µ α µ
π α µ α π α µ α
− +
≤ ≤
+ −
.
74. Đĩa nằm ngang quay quanh trục thẳng đứng với tần số n = 30 vòng/phút. Vật đặt trên đĩa cách trục
20 cm. Hệ số ma sát giữa đĩa và vật là bao nhiêu để vật không trượt trên đĩa ?
ĐS:
0,2
µ
≥
.
75. Ở mép dưới của một mặt nón đặt vật nhỏ khối lượng m. Góc nghiêng của mặt nón
là
α
(hình vẽ). Mặt nón quay xung quanh trục thẳng đứng đối xứng (
∆
) với vận tốc
góc
ω
không đổi. Khoảng cách từ trục đến vật là R. Tìm hệ số ma sát giữa vật và mặt
nón để vật đứng yên trên mặt nón và biện luận kết quả.
ĐS:
2
2
sin cos
os sin

g R
k
gc R
α ω α
α ω α
+
≥
−
;
2
min
2
sin cos
os sin
g R
k
gc R
α ω α
α ω α
+
=
−
;
cotg
R
α
ω
<
.
76. Hai quả cầu m

1
= 2 m
2
nối với nhau bằng sợi dây dài l = 12 cm và có thể
chuyển động không ma sát trên một trục nằm ngang qua tâm hai quả cầu. Cho
hệ quay quanh một trục thẳng đứng. Biết hai quả cầu đứng yên không trượt trên
trục ngang. Tính khoảng cách từ hai quả cầu đến trục quay.
ĐS: l
1
= 4 cm, l
2
= 8 cm.
77. Hai viên bi A và B có khối lượng M và m nối với nhau bằng một lò xo có độ
cứng k và chiều dài tự nhiên
0
l
. Luồn hệ thống M, m vào trục ngang xy như hình vẽ
và quay xung quanh trục Oz với vận tốc góc
ω
. Hai bi M, m trượt không ma sát
trên thanh xy. Tìm vị trí cân bằng của hai viên bi và khoảng cách giữa chúng.
ĐS:
0
1
2
( ) 2
kml
l
k m M mM
ω

=
+ −
,
0
2
2
( ) 2
kMl
l
k m M mM
ω
=
+ −
;
0
2
( )
( ) 2
kl m M
l
k m M mM
ω
+
=
+ −
.
78. Hai lò xo có độ cứng k = 250 N/m,
0
36l cm=
bố trí như hình vẽ. Hai vật co

khối lượng m kích thước nhỏ có thể trượt không ma sát trên trục nằm ngang. Quay
hệ quay trục thẳng đứng với tần số n = 2 vòng/s. Cho m = 200 g. Tính chiều dài mỗi
lò xo.
ĐS: 57 cm; 50 cm.
79. Đĩa tròn nhẵn cso thể xoay quanh trục thẳng đứng vuông góc với mặt đĩa. Vật
M đặt trên đĩa, cách trục khoảng R. Vật m đặt trên M, nối với trục băng một thanh
nhẹ. Vận tốc quay của đãi tăng chậm. Hệ số ma sát giữa M và m là
µ
. Tìm vận tốc
góc
ω
của đĩa để M bắt đầu trượt khỏi m.
ĐS:
mg
MR
µ
ω
=
.
BDHSG Lưu hành nội bộ 13
CƠ HỌC
80. Cho hệ như hình vẽ, m
A
= 300 g, m
B
= 200 g, m
C
= 1500 g. Tác dụng lên C
lực
F

r
nằm ngang sao cho A và B đứng yên đối với C. Tìm chiều và độ lớn
của
F
r
và lực căng của dây nối A, B.
ĐS:
F
r
hướng sang phải, F = 300 N; T = 30 N.
81. Cho hệ như hình vẽ. Cần phải cho vật A chuyển động về phía phải với một gia tốc là bao nhiêu để hệ
các vật m
1
và m
2
có thể:
a. Chuyển động theo chiều m
2
đi lên so với A.
b. Tiếp tục theo chiều m
2
đi xuống.
c. Đứng yên so với A.
Biết hệ số ma sát giữa các vật m
1
và m
2
đối với A là
µ
.

ĐS: a.
1 2
1 2
( )g m m
a
m m
µ
µ
+
>
−
, b.
2 1
1 2
( )g m m
a
m m
µ
µ
−
<
+
, c.
1 2 2 1
1 2 1 2
( ) ( )g m m g m m
a
m m m m
µ µ
µ µ

+ −
< <
− +
.
82. Nêm A phải chuyển động ngang với gia tốc bao nhiêu để m trên A chuyển
động lên trên ? Biết hệ số ma sát giữa m và A là
cot
µ α
<
.
ĐS:
(sin os )
os sin
c g
a
c
α µ α
α µ α
+
>
−
.
83. Cho hệ như hình vẽ, mặt sàn nhẵn, hệ số ma sát giữa m và M là
µ
. Hỏi
phải truyền cho M một vận tốc ban đầu
0
v
r
bao nhiêu để m có thể rời khỏi M ?

0
2 (1 )
m
v gl
M
µ
> +
84. Trong một toa tàu khối lượng M = 2000 kg đứng yên, có một hòn bi nằm yên trên mặt bàn nằm
ngang gắn với toa tàu và cao hơn sàn toa 1,25 m. Toa tàu bắt đầu chạy thì hòn bi lăn không ma sát trên
mặt bàn được 50 cm rồi rơi xuống sàn toa cách mép bàn theo phương ngang 78 cm. Tính lực kéo toa tàu.
Bỏ qua ma sát cản chuyển động của tàu.
ĐS: 2880 N
85. Nêm có tiết diện là tam giác ABC vuông tại A. Nêm chuyển động trêm mặt
phẳng ngang với gia tốc
0
a
r
không đổi. Hai vật nhỏ cùng khối lượng, cùng trượt
xuống từ đỉnh A dọc theo hai sườn AB và AC của nêm. Cho
·
0
; ( 45 )ABC
α α
= >
.
Tìm độ lớn và hướng gia tốc
0
a
r
của nêm theo

α
để hai vật cùng xuất phát từ đỉnh
với vận tốc ban đầu bằng không (đối với nêm) và trượt đến chân các sườn trong các khoảng thời gian
bằng nhau (bỏ qua mọi ma sát).
ĐS:
2
(tan 1)
2 tan
g
a
α
α
−
=
; nêm chuyển động sang trái.
86. Ván nằm ngang có một bậc có độ cao h. Một quả cầu đồng chất có bán kính R
đặt tren ván sát vào mép A của bậc. Ván chuyển đông sang phải với gia tốc
a
r
.
Tính giá trị cực đại của gia tốc
a
r
để quả cấu không nhảy lên trên bậc trong hai
trường hợp:
a. Không có ma sát ở mép A.
b. Ở A có ma sát ngăn không cho quả cầu trượt mà chỉ có thể quay
quanh A.
BDHSG Lưu hành nội bộ 14
CƠ HỌC

ĐS: a.
(2 )g h R h
a
R h
−
=
−
; b.
(2 )g h R h
a
R h
−
≤
−
.
87. Một ô tô chuyển động nhanh dần đều từ trang thái nghỉ trên một đoạn đường nằm ngang có cung
tròn bán kính 100 m, góc ở tâm
0
30
α
=
. Ô tô có thể vận tốc tối đa nào ở cuối đoạn đường mà không bị
trượt ? Biết hệ số ma sát trượt
0,3
µ
=
. Bỏ qua ma sát cản chuyển động và coi các bánh xe đều là phát
động.
ĐS:
2

2
14,6 /
1
1 ( )
2
gR
v m s
µ
α
≤ ≈
+
.
88. Một bình cầu rổng bán kính R quay đều quanh trục thẳng đứng. Trong bình có chứa
một vật nhỏ cùng quay với bình; khi đó góc hợp bởi bán kính nối vật với tâm bình cầu
và trục thẳng đứng là
α
(hình vẽ). Cho biết hệ số ma sát giữa vật và bình là
µ
. Tính
giá trị tối thiểu của vận tốc góc
ω
của bình để vật không trượt xuống trong quá trình
quay theo bình.
ĐS:
(tan )
sin (tan 1)
g
R
α µ
ω

α α
−
=
+
.
89. Cho hệ như hình vẽ
1
8m kg=
;
2
2m kg=
. Hệ số ma sát giữa
1
m
và mặt
sàn nằm ngang là
1
0,3
µ
=
còn hệ số ma sát giữa hai vật là
2
0,5
µ
=
.
a. Cần tác dụng lực
F
r
theo phương ngang vào

1
m
nhỏ nhất bằng bao
nhiêu để
2
m
đứng yên đối với
1
m
.
b. Với F bằng một nửa giá trị câu a. Tìm gia tốc của mỗi vật khi đó.
Cho g = 10 m/s
2
.
ĐS: a.
min
230F N=
; b.
2
1
8,83 /a m s≈
,
2
2
10,45 /a m s≈
90. Một cái nêm khối lượng M đang đứng yên trên mặt bàn nằm ngang. Trên mặt
nghiêng của nêm hợp với mặt bàn một góc
α
, người ta đặt một quả cầu đồng chất
khối lượng m. Quả cầu bắt đầu lăn không trượt dọc theo đường dốc chính của mặt

nghiêng của nêm. Bỏ qua ma sát giữa nêm và mặt bàn; ma sát lăn giữa quả cầu và
nêm. Xác định gia tốc của nêm.
ĐS:
0
2 2
5
sin os
7
2
(sin os )
7
mg c
a
M m c
α α
α α
=
+ +
BDHSG Lưu hành nội bộ 15
A. LÝ THUYẾT
1. Cân bằng chất điểm
Chất điểm cân bằng khi hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng 0 và hợp lực phải đồng quy tại
một điểm.
Điều kiện cân bằng:
1 2
0
hl n
F F F F= + + + =
r
r r r r

(1)
2. Cân bằng vật rắn đồng chất
Vật rắn cân bằng khi nó không chuyển động tịnh tiến và không quay tức là hợp lực tác dụng
lên chất điểm bằng 0 và hợp lực phải đồng quy tại một điểm và tổng đại mômen quay theo
một chiều nhất định phải bằng 0.
Điều kiện cân bằng:
1 2
0
hl n
F F F F= + + + =
r
r r r r
(2)
1 2
0
n
F F F
M M M+ + + =
r r r
Phương pháp giải véctơ biểu thức (1), (2): Chiếu các véc tơ lên các trục Ox, Oy của hệ trục
toạ độ Decác Oxy.
3. Khối tâm của vật rắn
- Toạ độ khối tâm G theo trục Ox và Oy của một vật rắn dạng hình học:
1 1 2 2
1 2


n n
x
n

m x m x m x
G
m m m
+ + +
=
+ + +
1 1 2 2
1 2


n n
y
n
m y m y m y
G
m m m
+ + +
=
+ + +
Chú ý: Có thể thay khối lượng m
1
, m
2
, …, m
n
bởi diện tích hình học tương ứng của nó.
- Toạ độ trọng tâm G:
2 2
x y
G G G= +

.
CƠ HỌC
PHẦN - TĨNH HỌC
B. BÀI TẬP
1. Đầu C của một thanh nhẹ CB được gắn vào bức tường đứng thẳng, còn
đầu B của thanh thì được treo vào một cái được treo vào một cái đinh O
bằng dây OB sao cho thanh BC nằm ngang (CB = 2CO). Một vật A có
khối lượng m = 5kg được treo vào B bằng dây BD. Hãy tính lực căng của
dây OB và lực nén lên thanh BC. Bỏ qua khối lượng của thanh BC. Lấy g =
10m/s
2
.
ĐS:
NT 550=
, N = 100 N
2. Một giá treo như hình vẽ gồm:
Thanh AB = 1m tựa vào tường ở A, dây BC = 0,6m nằm ngang. Treo vào
đầu B một vật nặng khối lượng m = 1kg. Tính độ lớn lực đàn hồi N xuất hiện trên
thanh AB và sức căng của dây BC khi giá treo cân bằng. Lấy g = 10m/s
2
và bỏ qua
khối lượng thanh AB, các dây nối.
ĐS: N = 12,5 N, T = 7,5 N
BDHSG Lưu hành nội bộ 16
CƠ HỌC
3. Một dây căng ngang giữa hai điểm cố định A, B với AB = 2m.
Treo vào trung tâm của dây một vật có khối lượng m = 10kg thì khi vật
đã cân bằng nó hạ xuống khoảng h = 10cm (hình vẽ). Tính lực căng dây
lấy g = 10m/s
2

. Nếu kéo căng dây để nó chỉ hạ xuống 5cm thì lực căng
dây sẽ tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm ?
ĐS: T = 205,49 N;
99%
T
T
∆
≈
.
4. Vật có trong lượng P = 100N được treo bởi hai sợi dây OA và OB như hình vẽ.
Khi vật cân thì
ˆ
AOB
= 120
0
.
Tính lực căng của 2 dây OA và OB.
ĐS:
200
3
B
T N=
;
200
3
A
T N=
.
5. Hai thanh AB, AC được nối nhau và nối cào tường nhờ các bản lề. Tại A
có treo vật có trong lượng P = 1000N. Tìm lực đàn hồi cuất hiện ở các thanh.

Cho
α
+
β
= 90
0
; Bỏ qua trọng lượng các thanh
Áp dụng:
α
= 30
0
ĐS:
1 2
500 ; 500 3N N N N= =
.
6. Một thanh AB khối lượng 8kg dài 60cm được treo nằm ngang nhờ hai sợi dây dài 50cm như ở hình.
Tính lực căng của dây treo và lực nén (hoặc kéo) thanh trong mỗi trường hợp. Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: T = 50 N; T = 30
N.
7. Hai trọng vật cùng khối lượng được treo vào hai đầy dây vắt qua
hai ròng rọc cố định. Một trọng vật thứ ba có khối lượng bằng hai
trọng vật trên được treo vào điểm giữa hai ròng rọc như hình vẽ. Hỏi
điểm treo trọng vật thứ ba bị hạ thấp xuống bao nhiêu ? Cho biết
khoảng cách hai ròng rọc là 2l. Bỏ qua các ma sát.
ĐS: h =
1
3
m

.
8. Một trụ điện chịu tác dụng của một lực F = 5000N và được giữ thẳng đứng
nhờ dây AC như hình. Tìm lực dây căng AC và lực nén lên trụ AB. Cho
α
= 30
0
.
BDHSG Lưu hành nội bộ 17
CƠ HỌC
ĐS: T = 10000 N; N =
500 3 N
.
9. Một quả cầu có khối lượng 10kg nằm trên hai mặt phẳng
nghiêng vuông góc với nhau. Tính lực nén của quả cầu lên mỗi
mặt phẳng nghiêng trong hai trường hợp:
a.
α
= 45
0
.
b.
α
= 60
0
. Lấy g = 10m/s
2
ĐS: a.
1 2
50 2N N N= =
; b.

1 2
50 3 ; 50N N N N= =
.
10. Treo một trọng lượng m = 10kg vào giá đỡ nhờ hai dây AB và AC làm với phương nằm ngang góc
α
= 60
0
và
β
= 45
0
như hình. Tính lực căng của các dây treo. Lấy g =
10m/s
2
.
ĐS:
51,76
C
T N=
;
73,2
B
T N=
11. Một vật khối lượng m = 30kg được treo ở đầu cảu thanh nhẹ AB. Thanh được
giữu cân bằng nhờ dây AC như hình vẽ. Tìm lực căng dây AC và lực nén thanh
AB. Cho
α
= 30
0
và

β
= 60
0
. Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: T = 300 N; N =
300 3 N
.
12. Một ròng rọc nhỏ, treo một vật A có khối lượng m = 4kg, được đỡ
bằng sợi dây BCDE, có phần DE thẳng đứng, còn phần BC nghiêng một
góc
α
= 30
0
so với đường thẳng đứung. Do tác dụng của lựu kéo
F
r
nằm
ngang (hình vẽ) ròng rọc cân bằng. Tính độ lớn của
F
r
và lực căng của
dây. Bỏ qua khối lượng của ròng rọc. Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS:
1 2
21,43T T N= =
;

10,71F N=
.
13. Một quả cầu đồng chất khối lượng m = 3kg, được giữ trên mặt phẳng
nghiêng trơn nhờn một dây treo như hình vẽ. Cho
α
= 30
0
, lấy g = 10m/s
2
.
a. Tìm lực căng dây và lực nén cảu quả cầu lên mặt phẳng nghiêng.
b. Khi dây treo hợp với phương đứng một góc
β
thì lực căng dây là
10 3
N. Hãy xác định góc
β
và lực nén của quả cầu lên mặt phẳng nghiêng lúc
này.
ĐS: a.
15T N=
; b.
15 3N N=
.
BDHSG Lưu hành nội bộ 18
CƠ HỌC
14. Hai vật m
1
và m
2

được nối với nhau qua ròng rọc như hình vẽ. Hệ số
ma sát giữa vật m
1
và mặt phẳng nghiêng là
µ
. Bỏ qua khối lượng ròng
rọc và dây nối. Dây nối không co dãn. Tính tỉ số giữa m
2
và m
1
để vật m
1
:
a. Đi lên thẳng đều.
b. Đi xuống thẳng đều
c. Đứng yên (lúc đầu vật đứng yên)
ĐS: a.
2
1
sin
m
cos
m
α µ α
= +
; b.
2
1
sin
m

cos
m
α µ α
= −
; c.
15. Một vật có khối lượng m = 20kg nằm trên một mặt phẳng nghiêng một góc
α
= 30
0
so với phương
ngang.
1. Bỏ qua ma sát, muốn giữ vật cân bằng cần phải đặt phải đặt vào vật một lực F bằng bao nhiêu
trong trường hợp:
a. Lực
F
r
song song với mặt phẳng nghiêng.
b. Lực
F
r
song song với mặt phẳng nàm ngang
2. Giả sử hệ số ma sát của vật với mặt phẳng nghiêng là k = 0,1 và lực kéo
F
s
song song với mặt
phẳng nghiêng.
Tìm độ lớn
F
r
khi vật được kéo lên đều và khi vật đứng yên trên mặt phẳng nghiêng. Lấy

g = 10m/s
2
.
ĐS: 1. a. F = 100 N, b. F = 115,47 N; 2. F = 117,32 N.
16. Một vật có trọng lượng P = 100N được giữ đứng yên trên mặt phẳng nghiêng góc
α
bằng lực
F
r
có phương nằm ngang như hình vẽ. Biết hệ số ma sát
µ
= 0,2. Tính giá
trị lực F lớn nhất và bé nhất. Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: F
max
= 77,77 N; F
min
= 27,27 N.
17. Người ta giữ cân bằng vật m
1
= 6kg, đặt trên mặt phẳng ngiêng góc
α
= 30
0
so với
mặt ngang bằng cách buộc vào m
1
hai sợi dây vắt qua ròng rọc 1 và 2, đầu kia của hai

sợi dây treo hai vật có khối lượng m
2
= 4kg và m
3
(hình). Tính khối lượng m
3
của vật
và lực nén của vật m
1
lên mặt phẳng nghiêng. Lấy g = 10m/s
2
. Bỏ qua ma sát.
ĐS: m
3
= 1 kg ; N = 17,32 N.
18. Giải lại bài 217 trong trường hợp hệ số ma sát giữa m
1
và mặt phẳng nghiênglà
µ
= 0,1. Xác định m
3
để m
1
cân bằng.
ĐS:
3
0,83 1,17kg m kg≤ ≤
.
19. Trong một hộp (đáy nằm ngang, cạnh thẳng đứng, nhẵn) có hai hình trụ đồng chất
cùng bán kính R, cùng trọng lượng P nằm chồng lên nhau như hình. Đường nối hai trục

O
1
O
2
nghiêng một góc
α
= 45
0
với phương ngang. Tìm lực nén của các hình trụ lên hộp
và lực ép tương hỗ giữa chúng.
ĐS: N
1
= N
2
= P.
20. Tương tự bài 219. Trong trường hợp 3 khối trụ như hình. Tính lực
nén của mỗi ống dưới lên đáy và lên tường.
ĐS:
1 4
2 3
P
N N= =
BDHSG Lưu hành nội bộ 19
CƠ HỌC
21. Một viên bi khối lượng m = 500g treo vào điểm cố định A nhờ dây AB,
AB = 1 = 40cm. Bi nằm trên mặt cầu tâm O, bán kính R = 30cm. Cho AC = 20cm,
AO thẳng đứng. Tìm lực căng dây và lực nén của viên bi lên mặt cầu. Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: T = 4 N; N = 3 N.

22. Một thanh dài OA có trọng tâm O ở giữa thanh và có khối lượng m = 1kg. Một
đầu O của thanh liên kết với tường bằng một bản lề, còn đầu A được treo vào tường
bằng dây AB. Thanh được giữ nằm ngang và dây làm với thanh một góc
α
=
30
0
(hình vẽ). Hãy xác định:
a. Giá của phản lực Q của bản lề tác dụng vào thanh.
b. Độ lớn của lực căng của dây và phản lực Q. Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: Các lực đồng quy tại một điểm; b. T = 10 N, Q = 10 N.
23. Thanh OA trọng lượng không đáng kể, gắn vào tường tại O, đầu A có treo vật nặng trọng lượng P.
Để giữ thanh nằm ngang, người ta dùng dây BC. Biết OB = 2BA. Tính sức căng dây
và phản lực tại O khi:
a. Dây BC hợp với thanh OA góc
α
= 30
0
.
b. Dây BC thẳng đứng (
α
= 90
0
).
ĐS: a. T = 3 P,
7N P=
; b.
3

2
T P=
,
1
2
N P=
.
24. Hai lò xo L
1
và L
2
có độ cứng là K
1
và K
2
, chiều dài tự nhiên bằng nhau. đầu trên của hai lò xo móc
vào trần nhà nằm ngang, đầu dưới móc vào thanh AB = 1m, nhẹ cứng sao cho hai lò xo luôn thẳng
đứng. Tại O (OA = 40cm) ta móc quả cân khối lượng m = 1kg thì thanh AB có vị trí
cân bằng mới nằm ngang.
a. Tính lực đàn hồi của mỗi lò xo.
b. Biết K
1
= 120 N/m. Tính độ cứng của K
2
của L
2
. Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: a. F

1
= 6 N, F
2
= 4 N; b. K
2
= 80 N/m.
25. Một thanh đồng chất AB có khối lượng m = 2kg có thể quay quanh bản
lề B (gắn vào tường thẳng đứng) được giữ cân bằng nằm ngang nhờ một
sợi dây buộc vào đầu A vắt qua một ròng rọc cố định, đầu kia của sợi dây
treo vật m
2
= 2kg và điểm C của thanh (AC = 60cm) treo vật m
1
= 5kg.
Tìm chiều dài của thanh; lấy g = 10m/s
2

ĐS: AB = 75 cm.
26. Thanh AB có khối lượng m
1
= 1kg gắn vào bức tường thẳng đứng bởi bản lề B,
đầu A treo một vật nặng có khối lượng m
2
= 2kg và được giữ cân bằng nhờ dây
AC nằm ngang (đầu C cột chặt vào tường), khi đó góc
α
= 30
0
(hình). Hãy xác
định lực căng dây và hướng, độ lớn của phản lực của tường lên đầu B. Lấy g =

10m/s
2
.
ĐS:
25 3T N=
;
52,6N N=
;
0
55
β
≈
.
27. Một thanh AB dài 2m khối lượng m = 3kg được giữ nghiêng một góc
α
trên mặt sàn nằm ngang
bằng một sợi dây nằm ngang BC dài 2m nối đầu B của thanh với một bức tường đứng thẳng; đầu A của
thanh tự lên mặt sàn. Hệ số ma sát giữa thanh và mặt sàn bằng
3
2
.
a. Tìm các giá trị của
α
để thanh có thể cân bằng.
b. Tính các lực tác dụng lên thanh và khoảng cách AD từ đầu A của
thanh đến góc tường khi
α
= 60
0
. Lấy g = 10m/s

2
ĐS: a.
0
30
α
≤
; b. N = 30 N,
5 3T N=
; AD = 1 m.
BDHSG Lưu hành nội bộ 20
CƠ HỌC
28. Để có thể di chuyển một chiếc hòm cao h dài d người ta đã tác dụng một lực F
theo phương ngang. Hỏi hệ số ma sát giữa hòm với mặt sàn, phải có giá trị bao nhiêu
để hòm di chuyển mà không lật ?
ĐS:
2
d
h
µ
≤
29. Thanh OA đồng chất là tiết diện đều dài l = 1m, trọng lực P = 8N, thanh có thể
quay quang mặt phẳng thẳng đứng xung quanh bản lề O gắn vào tường. Để thanh
nằm ngang, đầu A của thanh được giữ bởi dây DA hợp với tường góc 45
0
. Dây chỉ
chịu được lực căng tối đa là T
max
=
20 2
N.

a. Hỏi ta có thể treo vật nặng P
1
= 20N tại điểm B trên thanh xa bản lề O
nhất là bao nhiêu cm ?
b. Xác định giá trị và độ lớn của phản lực
Q
r
của thanh lên bản lề ứng với vị
trí B vừa tìm.
ĐS: a. (OB)
max
= 80 cm.; b. N = 21,54 N,
0
21 48'
β
≈
30. Người ta giữ cho một khúc AB hình trụ (có khối lượng m = 50kg) nghiêng một
góc
α
so với mặt sàn nằm ngang bằng cách tác dụng vào đầu A một lực
F
r
vuông
góc với trục AB của khúc gỗ và nằm trong mặt phẳng thẳng đứng (hình). Tìm độ lớn
của
F
r
, hướng và độ lớn của phản lực của mặt sàn tác dụng lên đầu B của khúc gỗ,
lấy g = 10m/s
2

trong các trường hợp
α
= 30
0
và
α
= 60
0
.
ĐS: Khi
α
= 30
0

thì
125 3F N=
;
330,71N N=
0
70 53'
β
≈
; Khi
α
= 60
0
thì
125F N=
;
150,69N N=

0
76 6'
β
≈
.
31. Một vật hình trụ bằng kim loại có khối lượng m = 100kg, bán kính tiết
diện R = 15cm. Buộc vào hình trụ một sợi dây ngang có phương đi qua trục
hình trụ để kéo hình trụ lên bậc thang cao O
1
O
2
= h.
a. Khi F = 500N, tìm chiều cao h để hình trụ có thể vượt qua được. Lấy g
= 10m/s
2
.
b. Khi h = 5cm, tìm lực F tối thiểu để kéo hình trụ vượt qua.
ĐS: a.
1,58h cm≤
; b.
894F N≥
.
32. Đẩy một chiếc bút chì sáu cạnh dọc theo mặt phẳng nằm ngang (hình vẽ).
Với các giá trị nào của hệ số ma sát
µ
giữa bút chì và mặt phẳng thì bút chì sẽ
trượt mà không quay.
ĐS:
1
3

µ
≤
.
33. a. Một bảng hiệu có chiều cao AB = l được treo vào tường thẳng đứng nhờ một
sợi dây AC dài d, hợp với tường một góc
α
(hình vẽ). Mép dưới B của bảng hiệu
đứng cân bằng thì hệ số ma sát
µ
giữa bảng hiệu và tường phải bằng bao nhiêu ?
b. Xét khi d = l, tìm giá trị góc
α
khi 1
≤

µ

≤
2.
ĐS: a.
2 2 2
2 sin
sin
l d dcos
d
α α
µ
α
− +
≥

; b.
0 ' 0
56 18 71 34'
α
≤ ≤
.
34. Một thanh đồng chất AB có trọng lực P; đầu B dựa vào mặt phẳng nằm
ngang, đầu A dựa vào mặt phẳng nghiêng góc
α
(hình vẽ). đặt vào đầu A một
lực F song song với mặt phẳng nghiêng. Tính F để thanh cân bằng. Bỏ qua ma sát
giữa các mặt phẳng và đầu thanh.
BDHSG Lưu hành nội bộ 21
CƠ HỌC
ĐS:
sin
2
P
F
α
=
.
35. Một thanh đồng chất có hai đầu A, B tì trên một máng hình tròn có mặt phẳng
thẳng đứng, chiều dài thanh bằng bán kính hình tròn (hình vẽ). Hệ số ma sát là
µ
.
Tìm góc cực đại
α
m
của thanh làm với đường nằm ngang khi thanh cân bằng.

ĐS:
2
4
tan
3
m
µ
α
µ
=
−
36. Ta dựng một thanh dài có trọng lực P vào một bức tường thẳng đứng. Hệ
số ma sát giữa sàn và thanh là là
1
µ
, giữa tường và thanh là
2
µ
gọi α là góc
hợp bởi thanh và sàn.
a. α nhỏ nhất bằng bao nhiêu để thanh còn đứng yên.
b. Xét các trường hợp đặc biệt:
• Tường nhẵn:
2
µ
= 0.
• Sàn nhẵn:
1
µ
= 0.

• Tường và sàn đều nhẵn:
1
µ
=
2
µ
= 0
ĐS: a.
1 2
1
1
tan
2
m
µ µ
α
µ
−
=
; b.
2
µ
= 0:
1
1
tan
2
m
α
µ

=
;
1
µ
= 0:
2
m
π
α
=
(thanh thẳng
đứng);
1
µ
=
2
µ
= 0 (giống như sàn nhẵn).
37. Một thang nhẹ dài 1 = 4m tựa vào tường nhẵn và nghiêng với sàn góc
α
= 60
0
. Hệ số ma sát giữa
thang và sàn là
µ
. Hỏi người ta có thể leo lên đến chiều dài tối đa bao nhiêu mà thang vẫn đứng yên
trong hai trường hợp:
µ
= 0,2,
µ

= 0,5.
ĐS:
µ
= 0,2:
1,38h m=
;
µ
= 0,5:
3,46h m=
.
38. Giải lại bài toán 37 khi trọng lượng thang P
1
= 100N; trọng lượng người P = 500N.
ĐS:
µ
= 0,2:
1,26h m=
;
µ
= 0,5:
3,75h m=
.
39. Một chiếc thang có chiều dài AB = 1 và đầu A tựa vào sàn nhà nằm ngang, đầu B tựa vào tường
thẳng đứng. Khối tâm C của thang ở cách đầu
1
3
A
. Thang làm với sàn nhà góc
α
.

1. Chứng minh rằng thang không thể đứng cân bằng nếu không có ma sát.
2. Gọi
µ
là hệ số ma sát ở sàn và tường. Cho biết
α
= 60
0
. Tính giá trị nhỏ nhất
µ
min
của
µ
để thang đứng cân bằng.
3.
µ
=
µ
min
. Thang có trượt không nếu:
a. Một người có trọng lượng bằng trọng lượng của thang đứng ở điểm C?
b. Người ấy đứng ở điểm D cách đầu
21
3
A
.
ĐS: 1. Hợp lực không đồng quy; 2.
µ
min
= 0,18;
3. a. Thanh vẫn cân bằng, b. Thanh trượt.

40. Một thang AB khối lượng m = 20kg được dựa vào một bức tường thẳng đứng trơn nhẵn. Hệ số ma
sát giữa thang và sàn bằng 0,5.
a. Khi góc nghiêng giữa thang và sàn là
α
= 60
0
thang đưúng cân bằng. Tính độ lớn các lực tác
dụng lên thang đó.
b. Để cho thang đứng yên không trượt trên sàn thì góc
α
phải thoả mãn điều kiện gì? Lấy g =
10m/s
2
.
ĐS: a. N
1
= P = 200 N; F
ms
= N
2
= 57,7 N.
BDHSG Lưu hành nội bộ 22
CƠ HỌC
41. Một thanh đồng chất AB chiều dài l khối lượng m = 6kg có thể quay xung quanh bản lề A gắn vào
mặt cạnh bàn nằm ngang AE (AE = 1). Người ta treo vào đầu cảu hai thanh vật m
1
= 2kg và m
2
= 5kg
bằng các dây BC và dây BD vắt qua một ròng rọc nhỏ gắn cạnh E của mặt bàn (hình vẽ). Tính góc BAE

=
α
để hệ cân bằng, độ lớn và hướng của phản lực
Q
r
của mặt bàn tại A. Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: N = 113,6 N;
0
67,6
β
≈
.
42. Một quả cầu có trọng lực P được giữ nằm yên trên mặt phẳng nghiêng góc
α
so với phương ngang nhờ dây AB nằm ngang (hình vẽ).
Tính sức căng T và hệ số ma sát
µ
giữa quả cầu và mặt phẳng nghiêng.
ĐS:
sin
.
1
T P
cos
α
α
=
+

;
sin
1 cos
α
µ
α
≥
+
.
Hai tấm ván mỏng, giống hệt nhau có mép được bao tròn, nhẵn và được đặt tựa vào nhay trên mặt sàn.
Góc tựa mặt phẳng đứng và mỗi tấm ván là
α
. Hỏi hệ số ma sát
µ
giữa mép
dưới của các tấm ván và mặt sàn phải bằng bao nhiêu để chúng không bị đổ ?
ĐS:
1
tan
2
µ α
≥
.
43. Một quả cầu bán kính R khối lượng m được đặt ở đáy phẳng không nhẵn
cảu một chiếc hộp có đáy nghiêng một góc
α
so với mặt bàn nằm ngang. Quả
cầu được giữ cân bằng bởi một sợi dây AC song song với đáy hộp (hình vẽ).Hệ
số ma sát giữa quả cầu và đáy hộp là
µ

. Muốn cho quả cầu nằm cân bằng thì
góc nghiêng
α
của đáy hộp có giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu ? Tính lực căng T
của dây AC khi đó
ĐS:
0
tan 2
α µ
=
; T =
2
1 4
P
µ
µ
µ
≥
+
.
44. Đầu A của một thanh đồng chất AB khối lượng m = 6kg được gắn vào sàn
bằng một bản lề. Đầu B của thanh được nâng lên nhờ sợi dây BC cột vào bức
tường đứung thẳng tại điểm . Chi biết thanh AB và dây BC làm với mặt sàn góc
α
= 30
0
và
β
= 60
0

. Tính lực căng T của dây BC và phản lực N của sàn tại A
(hình vẽ). Lấy g = 10m/s
2
.
ĐS: T = 52 N; N = 30 N.
45. Một thanh đồng chất trọng lượng P =
2 3
N có thể quay quanh chốt ở đầu O. Đầu A của thanh được
nối bằng dây không giãn vắt qua ròng rọc S với một vật có trọng lượng P
1
= 1N. S ở cùng độ cao với O
và OS = OA. Khối lượng của ròng rọc và dây không đáng kể.
a. Tính góc
SOA
α
=
ứng với cân bằng của hệ thống và tìm phản lực của chốt O.
b. Cân bằng này là bền hay không bền ?
ĐS: a.
0
60
α
=
, N =
7 N
; b. Cân bằng bền.
BDHSG Lưu hành nội bộ 23
CƠ HỌC
46. Một vật có dạng khói hộp đáy vuông cạnh a = 20cm chiều cao b = 40cm được đặt trên một mặt
phẳng nghiêng góc

α
. Hệ số ma sát giữa vật và mặt nghiêng bằng
1
3
. Khi tăng
dần góc
α
, vật sẽ trượt hay đổ trước?
ĐS: Khối hộp sẽ đổ trước khi trượt.
47. Giải lại bài trên khi đặt khối hộp cho mặt chữ nhật tiếp xúc mặt nghiêng.
ĐS: Khối hộp sẽ trượt trước khi đổ.
48. Người ta đặt mặt lồi cảu bán cầu trên một mặt phẳng nằm ngang. Tại mép
của bán cầu đặt một vật nhỏ làm cho mặt phẳng bán cầu nghiêng đi một góc
α
so với mặt nằm ngang. Biết khối lượng của bán cầu là m
1
, của vật nhỏ là
m
2
, trọng tâm G của bán cầu cách tâm hình học O của mặt cầu là
3
8
R
trong đó
R là bán kính của bán cầu. Tính góc
α
.Áp dụng: m
1
= 800g; m
2

= 150g
ĐS:
2
1
8
tan
3
m
m
α
=
;
0
26,5
α
≈
.
49. Một khung kim loại ABC với  = 90
0
,
ˆ
B
= 30
0
, BC nằm ngang, khung
nằm trong mặt phẳng thẳng đứng. Có hai viên bi giống hệt nhau trượt dễ dàng
trên hai thanh AB và AC. Hai thanh viên bi này nối với nhau bằng thanh nhẹ
IJ. Khi thanh cân bằng thì
ˆ
AIJ

=
α
a. Tính
α
?
b. Cân bằng trên là bền hay không bền
ĐS:
0
60
α
=
; Cân bằng bền.
50. Hai khối gỗ lập phương giống nhau, khối lượng mỗi khối là M, được kéo bởi
lực
F
ur
bằng dây ABC (AC = BC), ACB = 2
α
. Hệ số ma sát giữa hai khối là
µ
,
khối lượng dưới gắn chặt vào sàn. Tìm độ lớn của
F
ur
để khối gỗ trên cân bằng.
ĐS:
2
1 tan
P
F

µ
µ α
≤
−
và
F P≤
51. Một khối gỗ lập phương đặt trên sàn, kê một cạnh vào tường nhẵn. Mặt dới
hợp với sàn một góc
α
. Tìm điều kiện của góc
α
để khối gỗ cân bằng. Cho hệ
số ma sát giữa khối gỗ và sàn là
µ
.
ĐS:
1
tan
2 1
α
µ
≤
+
.
52. Khối cầu bán kính R bị cắt một chỏm cầu đường kính a, đặt trên bàn. Xác
định hệ số ma sát
µ
giữa khối cầu và bàn để dưới tác dụng của lực
F
ur

, khối cầu
trượt đều mà không quay. Áp dụng: R = a.
ĐS:
1
3
µ
≤
.
53. Khối hộp chữ nhật, khối lượng m
2
, kích thước như hình. Vật m
1
mắc vào dây qua ròng rọc gắn trên
khối M. Hệ số ma sát giữa M và sàn là
µ
. Tìm điều kiện để hệ đứng cân bằng.
BDHSG Lưu hành nội bộ 24
CƠ HỌC
ĐS:
2 1
1
.m m
µ
µ
−
≥
và
1
2
2 ( )m b a

m
a
−
≥
.
54. Khối lập phương gắn trên khối hộp chữ nhật M tại O như hình. Khối M trượt
không ma sát trên sàn.
Tìm giá trị của lực
F
ur
đặt vào khối M để khối M không bị lật.
ĐS:
( )F M m g≤ +
.
55. Hai quả cầu đồng chất, bán kính R
1
, R
2
(R
1
> R
2
) trọng lượng P
1
, P
2

(P
1
>P

2
) tựa vào nhau và cùng được treo vào điểm O nhờ hai dây OA
1
, OA
2
(hình).
Biết OA
1
+ R
1
= OA
2
+ R
2
= R
1
+ R
2
. Tìm góc
α
của dây OA
1
với phương
thẳng đứng khi cân bằng.
ĐS:
2
1 2
3
tan
2

P
P P
α
=
+
.
56. Thanh AB, đầu B gắn vào bản lề và ép khối trụ tại C như hình. Cho trọng
lượng khối trụ là P;
α
= 60
0
; đầu A nằm trên đường thẳng đứng qua O. Tìm
các phản lực ở trục B; phản lực của nền và tường; lực ép tại C. Cho lực tác
dụng vào A là
F

, bỏ qua trọng lượng của thanh AB.
ĐS:
3
C
N F=
;
3
2
D
N P F= +
;
3
2
E

N F=
;
2
Bx
F
N =
;
3
2
By
N F=
.
57. Thanh đồng chất OA, trọng lượng P quay được quanh trục O và tựa vào quả cầu đồng
chất tại điểm giữa B của nó. Quả cầu có trọng lượng Q, bán kính R, được treo vào O nhờ
dây OD = R. Biệt OD nghiêng 30
0
với OA. Tìm góc nghiêng
α
của dây với đường thẳng
đứng khi cân bằng.
ĐS:
3
tan
4 3
P
Q P
α
=
+
.

58. Một cái chén có dạng nửa mặt cầu bán kính R đặt ngửa sao cho trục đối
xứng của nó trùng với phương thẳng đứng. Ngời ta cho chén quay quanh trục
với tần số f. Trong chén có một viên bi nhỏ quay cùng với chén. Hãy xác định
góc tạo bởi bán kính mặt cầu vẽ qua hòn bi với phương thẳng đứng (
ϕ
) khi cân
bằng. Tính
ϕ
khi bi cân bằng. Cân bằng là cân bằng bền hay không bền ?
ĐS:
2 2
4
g
cos
f R
α
π
=
.
59. Hình trụ khối lượng m, bán kính R đặt trên mặt nghiêng cân bằng nhờ vật
cản là hình hộp chữ nhật như hình vẽ. Biết OAB là tam giác đều Cho mặt
nghiêng chuyển động sang trái với gia tốc a.
a. Tính tỷ số hai lực nén của hình trụ lên B và A (khi hình trụ vẫn còn
cân bằng)
b. Tính a để hình trụ lăn qua khối hộp.
ĐS: a.
3
3
B
A

N g a
N
g a
−
=
+
; b.
3
g
a >
.
60. Thanh AB đồng nhất, trọng lượng P dựa vào tường và sàn như hình.
Biết sàn và tường hoàn toàn nhẵn. Thanh được giữ nhờ dây OI.
BDHSG Lưu hành nội bộ 25