Slide bài giảng hệ phương trình

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 1 / 60
Nội dung
1
Hệ phương trình không thuần nhất - Phương
pháp giải
2
Hệ phương trình thuần nhất - Phương pháp giải
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 2 / 60
Khái niệm tổng quát Định nghĩa hệ phương trình
Định nghĩa
Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình
và n ẩn là hệ có dạng:











a

11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1j
x
j
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
x
1
+ a
i2
x
2
+ . . . + a
ij
x
j

+ . . . + a
in
x
n
= b
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mj
x
j
+ . . . + a
mn
x
n
= b
m
(1)
với a
ij
là hệ số của hệ, b
i

là hệ số tự do của hệ,
i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n;
x
1
, x
2
, . . . , x
n
là các biến số.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 3 / 60
Khái niệm tổng quát Định nghĩa hệ phương trình
Định nghĩa
Ma trận A = (a
ij
) ∈ M
m ×n
(K ) được gọi là ma
trận hệ số của hệ (1). Ma trận
A
B
=







a
11

a
12
. . . a
1j
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . a
ij
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m 1
a
m 2
. . . a
mj
. . . a
mn












b
1
. . .
b
i
. . .
b
m







m ×(n+1)
được gọi là ma trận mở rộng của hệ (1).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 4 / 60
Khái niệm tổng quát Định nghĩa hệ phương trình
Nếu đặt X =






x
1
x
2
.
.
.
x
n





và B =





b
1
b
2
.
.
.
b
m






thì hệ (1)
được viết dưới dạng ma trận A
m ×n
X
n ×1
= B
m ×1
.
Định nghĩa
Hệ (1) được gọi là hệ thuần nhất nếu B = 0 và
được gọi là hệ không thuần nhất nếu B = 0.
Hệ thuần nhất luôn có nghiệm

0 0 . . . 0

T
và
được gọi là nghiệm tầm thường.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 5 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất
Một hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất
có tính chất:
Hoặc là vô nghiệm
Hoặc là có nghiệm duy nhất
Hoặc là vô số nghiệm

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 6 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất
Định nghĩa
Véctơ α =





α
1
α
2
.
.
.
α
n





, α
i
∈ K , i = 1, 2, . . . , n được
gọi là 1 nghiệm của hệ (1) nếu Aα = B.
Có nghĩa là khi thay
x
1

= α
1
, x
2
= α
2
, . . . , x
n
= α
n
vào hệ (1) ta thu
được đồng nhất thức.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 7 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất
Định nghĩa
Hệ (1) được gọi là hệ tương thích nếu nó có ít
nhất 1 nghiệm và được gọi là hệ không tương
thích nếu nó không có nghiệm.
Định nghĩa
Hệ (1) tương thích và chỉ có 1 nghiệm được gọi là
hệ xác định, còn nếu nó có nhiều hơn 1 nghiệm
gọi là hệ không xác định
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 8 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định nghĩa
Định nghĩa
Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến
tính có số ẩn, số phương trình bằng nhau và ma
trận hệ số là không suy biến. Tức là hệ có dạng












a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1i
x
i
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1

x
1
+ a
i2
x
2
+ . . . + a
ii
x
i
+ . . . + a
in
x
n
= b
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ . . . + a
ni
x
i
+ . . . + a

nn
x
n
= b
n
(2)
trong đó A = (a
ij
) ∈ M
n
(K ) và detA = 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 9 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Cramer
Định lý Cramer
Định lý
Hệ Cramer (2) có nghiệm duy nhất
x
i
=
detA
i
detA
, i = 1, 2, . . . , n trong đó ma trận A
i
nhận được từ A bằng cách thay cột thứ i bởi cột
hệ số tự do B =

b
1
b

2
. . . b
n

T
|A| =










a
11
a
12
. . . a
1i
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i 1
a
i 2
. . . a

ii
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . a
ni
. . . a
nn










⇒ |A
i
| =











a
11
a
12
. . . b
1
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i 1
a
i 2
. . . b
i
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n1
a
n2
. . . b
n
. . . a

nn










TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 10 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Cramer
Chứng minh. Hệ (2) ⇔ AX = B ⇔ X = A
−1
B
hay X = (x
1
x
2
. . . x
i
. . . x
n
)
T
=
P
A
detA

.B =
1
|A|







A
11
A
21
. . . A
i1
. . . A
n 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
1i
A
2i
. . . A
ii
. . . A
ni
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
1n

A
2n
. . . A
in
. . . A
nn












b
1
b
2
.
.
.
b
n






TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 11 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Cramer
hay x
i
=
1
|A|
n

k=1
A
ki
b
k
=
1
|A|
.












a
11
a
12
. . . b
1
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
a
i2
. . . b
i
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n 1
a
n 2
. . . b
n
. . . a
nn












=
|A
i
|
|A|
với i = 1, 2, . . . , n
Chú ý. Nếu B = 0, detA = 0 thì hệ (2) có
nghiệm duy nhất X = 0. Nếu B = 0, detA = 0 thì
hệ (2) có vô số nghiệm.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 12 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Cramer
Ví dụ
Giải hệ phương trình



2x
1
− 2x
2
− x
3

= −1
x
2
+ x
3
= 1
−x
1
+ x
2
+ x
3
= −1
Giải. Ta có
|A| =






2 −2 −1
0 1 1
−1 1 1







= 1 = 0;
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 13 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Cramer
|A
1
| =






−1 −2 −1
1 1 1
−1 1 1






; |A
2
| =







2 −1 −1
0 1 1
−1 −1 1






;
|A
3
| =






2 −2 −1
0 1 1
−1 1 −1






;
Vậy

x
1
=
|A
1
|
|A|
= 2, x
2
=
|A
2
|
|A|
= 4, x
3
=
|A
3
|
|A|
= −3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 14 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Hệ phương trình tương đương
Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên hàng để giải hệ
Xét hệ phương trình tuyến tính gồm m phương
trình và n ẩn












a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1j
x
j
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
i1
x

1
+ a
i2
x
2
+ . . . + a
ij
x
j
+ . . . + a
in
x
n
= b
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mj
x
j
+ . . . + a
mn

x
n
= b
m
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 15 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Hệ phương trình tương đương
Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp sau trên
hệ (1):
1
Đổi chỗ các phương trình của hệ (h
i
↔ h
j
) hay
c
i
↔ c
j
có đánh số lại các ẩn.
2
Nhân vào một phương trình của hệ một số
λ = 0(h
i
→ λh
i
).
3
Cộng vào một phương trình của hệ một
phương trình khác đã được nhân với một số
(h

i
→ h
i
+ λh
j
)
thì ta sẽ được một hệ phương trình mới tương
đương với hệ (1).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 16 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Kronecker-Capelli
Định lý Kronecker-Capelli
Định lý
Luôn có r(A
B
)  r (A). Khi r(A) = r(A
B
) thì hệ
phương trình tuyến tính tổng quát m phương
trình, n ẩn (1) có nghiệm







a
11
a
12

. . . a
1r
. . . a
1n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
r1
a
r2
. . . a
rr
. . . a
in
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
m 1
a
m 2
. . . a
mr
. . . a
mn












b
1
. . .
b
r
. . .
b
m







trên hàng
−−−−−−→
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 17 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Định lý Kronecker-Capelli












c
11
c
12
. . . c
1r
. . . c
1n
0 c
22
. . . c
2r
. . . c
2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . c
rr
. . . c
rn
0 0 . . . 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0 . . . 0
















d
1
d
2
. . .
d
r
d
r+1
. . .
0












với c
ii
= 0, i = 1, 2, . . . , r.
Nếu d
r+1
= 0 thì hệ (1) vô nghiệm và
r(A
B
) = r + 1 > r(A) = r. Nếu d
r+1
= 0 thì hệ
(1) có nghiệm và r(A
B
) = r (A) = r
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 18 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
Phương pháp Gauss
1
Viết ma trận mở rộng A
B
= (A|B) của hệ (1).
2
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng biến
đổi ma trận mở rộng về ma trận có dạng bậc
thang.
3
Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận
bậc thang.

4
Nếu r(A
B
) > r (A) thì hệ (1) vô nghiệm.
5
Nếu r(A
B
) = r (A) = r thì hệ có nghiệm.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 19 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
Nếu r = n (số biến) thì ta giải hệ phương trình
ngược từ dưới lên, tìm biến x
n
sau đó
x
n −1
, . . . , x
1
ta được 1 nghiệm duy nhất.
Nếu r < n thì hệ có vô số nghiệm. Ta xác định:
1
r biến cơ sở - là các biến ứng với các cột
chứa r phần tử cơ sở của ma trận bậc thang.
2
(n − r) biến tự do- là các biến ứng với các
cột không chứa r phần tử cơ sở của ma trận
bậc thang
Cho (n − r) biến tự do những giá trị bất kỳ
và giải hệ tìm các biến cơ sở.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 20 / 60

Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
Ví dụ
Giải hệ phương trình









x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ 4x
4
= 7
2x
1
+ x
2
+ 2x
3
+ 3x
4
= 6

3x
1
+ 2x
2
+ x
3
+ 2x
4
= 7
4x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
+ x
4
= 18
Giải.





1 2 3 4
2 1 2 3
3 2 1 2
4 3 2 1










7
6
7
18





h
2
→h
2
−2h
1
h
3
→h
3
−3h
1
h
4

→h
4
−4h
1
−−−−−−→
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 21 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss





1 2 3 4
0 −3 −4 −5
0 −4 −8 −10
0 −5 −10 −15









7
−8
−14
−10






h
2
→h
2
−h
3
−−−−−→





1 2 3 4
0 1 4 5
0 −4 −8 −10
0 −5 −10 −15









7

6
−14
−10





h
3
→h
3
+4h
2
h
4
→h
4
+5h
2
−−−−−−→
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 22 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss




1 2 3 4
0 1 4 5
0 0 8 10

0 0 10 10








7
6
10
20




h
3
↔h
4
h
3
→
1
10
h
3
−−−−→





1 2 3 4
0 1 4 5
0 0 1 1
0 0 8 10








7
6
2
10




h
4
→h
4
−8h
3
−−−−−−→





1 2 3 4
0 1 4 5
0 0 1 1
0 0 0 2








7
6
2
−6




.
⇒ r(A
B
) = r(A) = 4 ⇒ Hệ có nghiệm duy nhất
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 23 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss

Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau









x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ 4x
4
= 7
x
2
+ 4x
3
+ 5x
4
= 6
x
3
+ x
4

= 2
2x
4
= −6
⇔









x
1
= 2
x
2
= 1
x
3
= 5
x
4
= −3
Suy ra hệ đã cho có 1 nghiệm duy nhất
(x
1
, x

2
, x
3
, x
4
)
T
= (2, 1, 5, −3)
T
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 24 / 60
Hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp Gauss
Ví dụ
Giải hệ phương trình









x
1
+ 2x
2
− 3x
3
+ 5x
4

= 1
x
1
+ 3x
2
− 13x
3
+ 22x
4
= −1
3x
1
+ 5x
2
+ x
3
− 2x
4
= 5
2x
1
+ 3x
2
+ 4x
3
− 7x
4
= 4
Giải.






1 2 −3 5
1 3 −13 22
3 5 1 −2
2 3 4 −7









1
−1
5
6





h
2
→h
2

−h
1
h
3
→h
3
−3h
1
h
4
→h
4
−2h
1
−−−−−−→
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TP. HCM — 2013. 25 / 60