đề thi olympic toán lớp 8 năm học 2010-2011

PHÒNG GD-ĐT THẠCH HÀ
Đề chính thức
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 8
NĂM HỌC 2010 - 2011
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
2
4 8x x− −
.
b)
( ) ( )
2
2 2
4 10 7 4 11 7x x x x+ + − + + +
.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
2 2 2 2
17 15 13 11
2008 2010 2012 2014
x x x x− − − −
+ = +
b)
2 2 2
(1 ) 4 (1 ) 0x x x
+ − − =
.
Bài 3. a) Cho phương trình:
4 1
3

1
x
m
x
−
= +
−
, với m là tham số. Tìm m để phương
trình có nghiệm dương.
b) Cho các số nguyên:
1 2 3 10
, , , a a a a
thoã mãn điều kiện:
3 3 3 3
1 2 3 10
a a a a+ + + +
chia hết cho 6. Chứng minh:
1 2 3 10
a a a a+ + + +
chia hết
cho 6.
Bài 4. Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về một phía của AB
các tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy điểm C trên tia Ax, lấy điểm D trên tia By
sao cho
·
0
90COD =
.
a) Chứng minh rằng:
ACO∆

đồng dạng với
BOD∆
;

OCD∆
đồng dạng với
BOD∆
.
b) Kẻ OI vuông góc với CD (I thuộc CD), gọi K là giao điểm của AD và
BC. Chứng minh rằng: IK // AC.
c) Gọi E là giao điểm của OD với IK. Chứng minh: IE = BD.
Bài 5. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia AC lấy điểm I (
I A≠
), gọi G là giao AM với BI; K là giao điểm CG với AB. Chứng minh rằng:
IK // BC.
===HẾT===
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 8, NĂM HỌC 2010-2011
Bài Nội dung Điểm
Bài 1
4.0
điểm
a) (2.0đ)
2
2 2 2
4 8 4 4 12 ( 2) 12x x x x x− − = − + − = − −
( 2 12)( 2 12)x x= − − − +
1.0
1.0
b) (2,0đ) Đặt

( )
2
4 10x x a+ + =

Ta có:
2
7( 1) 7a a− + +
=
( )
7a a −
=
( ) ( )
2 2
4 10 4 3x x x x+ + + +
=
( )
( ) ( )
2
4 10 3 1x x x x+ + + +
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 2
4.0
điểm
a) (2.0đ)
2 2 2 2
17 15 13 11
2008 2010 2012 2014

x x x x− − − −
+ = +
2 2 2 2
17 15 13 11
1 1 1 1
2008 2010 2012 2014
x x x x− − − −
⇔ − + − = − + −
0,5
2 2 2 2
17 2008 15 2010 13 2012 11 2014
2008 2010 2012 2014
x x x x− − − − − − − −
⇔ + = +
0,25
2 2 2 2
2025 2025 2025 2025
0
2008 2010 2012 2014
x x x x− − − −
⇔ + − − =
0,5
2
1 1 1 1
( 2025). 0
2008 2010 2012 2014
x
 
⇔ − + − − =
 ÷

 
0,25
2
2025 0x⇔ − =
45x
⇔ = ±
. Vậy ph trình có 2 nghiệm là
1
45x = −
và
2
45x =
0,25
0,25
b) (2.0đ)
2 2 2
(1 ) 4 (1 ) 0x x x
+ − − =
2 2 2 2 2
(1 ) 4 (1 ) 4 4 8 0x x x x x x⇔ + + + + − − =
0,5
2 2 2
(1 2 ) 4( 2 1) 4 0x x x x⇔ + + − + + + =
0,25
2 2 2
(1 2 2) 0 2 1 0x x x x⇔ + + − = ⇔ + − =
0,25
2
( 1) 2x⇔ + =
2 1x⇔ = ± −

Vậy phương trình có 2 nghiệm
1
2 1x = − −
và
2
2 1x = −
0,5
0.5
Bài 3
4.0
điểm
a) (2,0đ)
ĐKXĐ: x
≠
1

4 1
3
1
x
m
x
−
= +
−
suy ra: 4x – 1 = (m+3)(x-1)
⇔
(m -1) x = m+2 (*)
* Nếu m = 1 thì pt (*) vô nghiệm
* Nếu m

≠
1 pt (*) có nghiệm
2
1
m
x
m
+
=
−

Ta thấy
2 1m m+ ≠ −
nên x
≠
1
Phương trình đã cho có nghiệm dương khi và chỉ khi
2
0
1
m
m
+
>
−

⇔
m > 1 hoặc m < -2
0.25
0.25

0.5
0.25
0,25
0.25
0,25
b) (2.0đ) Xét
3 3 3 3
1 2 3 10
( )a a a a+ + + + −
(
1 2 3 10
a a a a+ + + +
)
=
3 3 3
1 1 2 2 10 10
( ) ( ) ( )a a a a a a− + − + + −
Do
3
1 1 1 1 1
( 1) ( 1)a a a a a− = − +
chia hết cho 2 và 3 nên
1 1 1
( 1) ( 1)a a a− +
6M
Khi đó ta có:
3 3 3 3
1 2 3 10
( )a a a a+ + + + −
(

1 2 3 10
a a a a+ + + +
)
6M
Mà
3 3 3 3
1 2 3 10
6a a a a+ + + + M
Suy ra:
1 2 3 10
a a a a+ + + +
6M
0,25
0.75
0.5
0.5
Bài 4
6.0
điểm
(0,25đ) Vẽ hình đúng 0,25
a) (1,75 đ)
*
ACO∆
đồng dạng với
BOD∆
( g. g)
* Do
ACO
∆
đồng dạng với

BOD
∆
( g-g)
suy ra:
AO CO BO BD
BD OD CO OD
= ⇒ =
Khi đó ta có:
OCD∆
đồng dạng với
BOD
∆
( c.g.c).
0.5
0.5
0.75
b) (2 đ) Ta chứng minh được
OBD OID
∆ = ∆
(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒
DB = DI
chứng minh tương tự ta có: CI = CA
khi đó ta có:
CI CA
ID BD
=
(1)
Do AC // BD nên ta có:
CK CA

BK BD
=
(2)
từ (1) và (2) ta có:
CK CI
BK BD
=

⇒
IK // AC
0.5
0.5
0.5
0.5
c) (2.0 đ)Ta chứng minh được E là trực tâm của
BOI∆

⇒
BE vuông góc OI mà OI vuông góc CD suy ra CD // BE
kết hợp với BD // IK ta có BEID là hình bình hành
⇒
BD = IE
1.0
0.5
0.5
Bài 5
2.0
điểm
Vẽ hình đúng 0.25
Qua G kẻ đường thẳng song song với

BC lần lượt cắt AC và AB tại E và F
Ta có:
GE GF
GE GF
MC BM
= ⇒ =
Ta lại có:
GK GF
KC BC
=
và
GI GE
BI BC
=
Suy ra:
GI GK
BI KC
=
⇒
KI // BC
0.75
1.0
Tổng
20.0
Lưu ý: Các cách giải khác dúng và hợp lý vẫn cho điểm tối đa. Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5
y
x
K
E
I

D
C
O
B
A