đề thi và hướng dẫn chấm thi các môn khoa học tự nhiên (2)

KỲ THI GIẢI TOÁN HỘI ĐỒNG THI TỈNH BẠC LIÊU
TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY 2011 Ngày thi: 25/12/2011

Số báo danh HỌ VÀ TÊN THÍ SINH
MÔN THI: TOÁN Lớp 12 THPT
Ngày sinh:…. tháng …. năm ……., nam hay nữ: Đơn vị dự thi

HỌ, TÊN CHỮ KÝ
Giám thị số 1:


Giám thị số 2:


SỐ PHÁCH
(Do chủ tịch hội đồng ghi)

Chú ý:
- Thí sinh phải ghi đủ các mục ở phần trên theo sự hướng dẫn của giám thị;
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi có phách đính kèm này;
- Bài thi phải được viết bằng một loại bút, một thứ mực; không viết bằng mực đỏ, bút chì; không
được đánh dấu hay làm kí hiệu riêng; phần viết hỏng phải dùng thước gạch chéo; không được tẩy, xóa bằng
bất kỳ cách gì (kể cả bút xóa).
- Trái với các điề
u trên, thí sinh sẽ bị loại.

1
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH
CASIO-VINACAL VÒNG TỈNH NĂM 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN Lớp 12 THPT
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 25/12/2011
Chú ý: - Đề thi này gồm 4 trang, 10 bài, mỗi bài 5 điểm
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này

ĐIỂM BÀI THI
CÁC GIÁM KHẢO
(Họ, tên và chữ ký)
SỐ PHÁCH
(Do Chủ tịch Hội đồng thi ghi)
Bằng số Bằng chữ
Giám khảo 1:



Giám khảo 1:




Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô
trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không chỉ định cụ thể, được ngầm
định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy.

Bài 1. Tìm tất cả các nghiệm gần đúng của phương trình:
12 2011 2
25 log 2012 0
x
xx

−
+
+− =
.
Cách giải Kết quả









Bài 2. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:
22
2sin 3sin 2 4cos 2 2 2 0xxx
+
−+−=
.
Cách giải Kết quả

2
Bài 3. Giải hệ phương trình:
()
()
22
2
36
38
x
yyxy
x
xy y
+
+= −
⎧
⎨
++=
⎩
.
Cách giải Kết quả

Bài 4. Cho dãy số
()
n
u có
1
4u = và
1
23
nn
uu
+
=
− (
*
n
∈
N ).
Tính
()()
()
2
22
18 1 2 18

3 3 3Su u u=−+−++ −.
Cách giải Kết quả












Bài 5. Cho hàm số
2
3cos 4sin 5
() 3
x
xx
fx
+−+
= . Tính gần đúng giá trị của các hệ số a, b nếu
đường thẳng
yaxb=+ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ()
f
x tại điểm có hoành độ
5
x
π

=
.
Cách giải Kết quả












3
Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 164)1ln()1(2
22
−−−++−= xxexxy
x

trên đoạn
[]
0;1 .
Cách giải Kết quả

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại B, ba cạnh b, a, c của tam giác theo thứ tự lập thành cấp
số cộng, biết chu vi của tam giác ABC là 58 cm. Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC.
Cách giải Kết quả
















Bài 8. Tìm gần đúng tọa độ các giao điểm của hai đường tròn
(

)
(
)( )
22
1
:1 24Cx y−++ =
và
()( )( )
22
2
:2 11Cx y−++=.
Cách giải Kết quả











4
Bài 9. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC, biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là d,
góc tạo bởi đường thẳng AB và mặt phẳng (SBC) bằng
α
(
00
060

α
<<
). Tính thể tích khối
chóp S.ABC khi
5d =
,
0
20
α
=
.
Cách giải Kết quả

Bài 10. Một vận động viên chạy từ A đến D phải bơi qua sông theo đoạn BC (như hình vẽ).
Biết A cách D 1km, chiều rộng con sông 100m, vận tốc chạy bộ gấp đôi vận tốc bơi. Tìm
gần đúng chiều dài đoạn BC để vận động viên đến được D với thời gian ít nhất.
A
D
B
C

Cách giải Kết quả

















HẾT
1
SỞ GD&ĐT BẠC LIÊU KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
NĂM HỌC 2011-2012

ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN 12 Cấp THPT
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 25/12/2011

SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô
trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không chỉ định cụ thể, được ngầm
định chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy.

Bài 1. Tìm tất cả các nghiệm gần đúng của trình:
12 2011 2
25 log 2012 0
x
xx
−
+
+− =
.
Cách giải Kết quả Điểm
Đặt
12 2011 2
( ) 25 log 2012
x
fx x x
−
=++−
, với 0
x

> .
Ta có
12 2011
1
( ) 25 .12.ln 25 2 0
ln10
x
fx x
x
−
′
=++>
(do 0
x
> ) (1)
Giải với phím SOLVE ta thu được
44,83690851
x
≈
(2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất
44,8369x ≈
.






44,8369x ≈

2,0

2,0

1,0
Bài 2. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:
22
2sin 3sin 2 4cos 2 2 2 0xxx
+
−+−=
.
Cách giải Kết quả Điểm
22
2sin 3sin 2 4cos 2 2 2 0xxx+−+−=
()
1cos2 3sin2 21cos2 222 0xx x⇔− + − + +− =
122
cos 2 sin 2
3
xx
−
⇔−=
24
cos 2
46
x
π

−
⎛⎞
⇔+=
⎜⎟
⎝⎠








0,6155 , xkk
π
≈
+∈Z

1,4009 , xkk
π
≈
−+∈Z


1,0

1,0


1,0

1,0
1,0
Bài 3. Giải hệ phương trình:
()
()
22
2
36
38
x
yyxy
x
xy y
+
+= −
⎧
⎨
++=
⎩
.
Cách giải Kết quả Điểm
+ Có y = 0 không thỏa mãn hệ.
+
0y ≠ : Hệ
()
2
2
3
6
3

8
x
xy
y
x
xy
y
+
⎧
++=
⎪
⇔
⎨
+⎛⎞
⎪
+=
⎜⎟
⎩⎝ ⎠











1,0

2
2
2
3
4
2
3
2
4
x
y
xy
x
y
xy
+
⎡⎧
=
⎪
⎢
⎨
⎢
⎪
+=
⎩
⎢

⇔
+
⎧
⎢
=
⎪
⎢
⎨
⎢
⎪
+=
⎣⎩

+ Giải từng hệ để tìm x, y.






{
{
15
17
xx
yy
=
=−
=
=

hoaëc
16 16
56 56
xx
yy
⎧⎧
=− + =− −
⎨⎨
=− =+
⎩⎩
hoaëc


1,0




1,5


1,5
Bài 4. Cho dãy số
()
n
u có
1
4u = và
1
23

nn
uu
+
=
− (
*
n
∈
N
).
Tính
()()
()
2
22
18 1 2 18
3 3 3Su u u=−+−++ −.
Cách giải Kết quả Điểm
- Chứng minh
1
23
n
n
u
−
=+ bằng phương pháp
qui nạp.
+ n = 1:
1
4u = (đúng)

+ Giả sử
1
23
k
k
u
−
=+
(
1k ≥
), chứng minh
32
1
+=
+
k
k
u
.
Ta có
1
23
kk
uu
+
=−
=
()
1
22 3 3

k −
+−
23
k
=
+
(đpcm).
- Từ đó có
()
(
)
22
22 17
18
1 2 2 2S =+ + + +
* Cách 2: Sử dụng quy trình tính trên máy.








+ Chứng minh
1
23
n
n
u

−
=+
+
18
22 906 492 245S
=
(kết
quả chính xác)








2,5

2,5
Bài 5. Cho hàm số
2
3cos 4sin 5
() 3
x
xx
fx
+−+
= . Tính gần đúng giá trị của các hệ số a, b nếu
đường thẳng
yaxb=+ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số ()

f
x tại điểm có hoành độ
5
x
π
=
.
Cách giải Kết quả Điểm
- Tính
()
5
f
π

- Do đường thẳng
yaxb=+
là tiếp tuyến của
đồ thị hàm số
()
f
x tại điểm có hoành độ
5
x
π
= nên
(
)
5
af
π

′
=
và
(
)
.
55
bf a
π
π
=−
- Ta có
2
3cos 4sin 5
() (2 3sin 4cos).3 .ln3
xxx
fx x x x
+−+
′
=− −
- Suy ra a và b.
( ) 407,5533404
5
f ≈
π

() (2 3sin 4cos).().ln3fx x x xfx
′
=
−−
1675,8069a
≈
−

1460,4939b
≈


1,0



1,0



1,0
1,0
1,0
Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 164)1ln()1(2
22
−−−++−= xxexxy
x

trên đoạn
[
]
0;1
.
Cách giải Kết quả Điểm
+ Ta có 4[ ln( 1) 2]
x
yxx e
′
=++−

1,0
3
+
0ln(1) 20
x
yxxe
′
=⇔ ++ −=

Trên máy tìm được
0,5601187864x ≈

+
4ln( 1) 0
1
x
x
yx e

x
⎡⎤
′′
=+++>
⎢⎥
⎣⎦
+
(do 0x > )
Suy ra
0y
′
= có nghiệm duy nhất
0,5601187864x ≈ .
+ Tính trên máy
(0); (1); (0,5601187864)yyy .

+ Kết luận
[]
[]
0;1
0;1
max ,minyy
.


0 0,5601187864yx
′
=
⇔≈

(0) 3y
=
, (1) 2,873127314y
≈

(0,5601187864) 1,718625234y
≈

[]
[]
0;1
0;1
max 3,min 1,7186yy
=
≈



1,0




1,0

1,5

0,5
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại B, ba cạnh b, a, c của tam giác theo thứ tự lập thành cấp
số cộng, biết chu vi của tam giác
ABC là 58 cm. Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC.
Cách giải Kết quả Điểm
Ta có a = b.sinA; c = b.cosA.
Do
b, a, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên
2bc a+=

l
l
2
00
.cosA 2 .sinA
AAA
2cos 4.sin .cos
222
A1
tan A 53 7'48,37'' C 36 52'11,63''
22
bb b⇔+ =
⇔=
⇔=⇒≈ ⇒≈
Theo định lí sin, ta có:
2
sin sin sin sin sin sin
2.sin ; 2.sin ; 2.sin

a b c abc
R
A
BC ABC
aR AbRBcRC
+
+
====
++
⇒= = =



2bc a
+
=



l
0
A537'48,37''≈
,
l
0
C3652'11,63''≈



2 24,16666667R

≈

19,3333; 24,1667ab
≈
≈ ;
14,5000c
≈



1,0




1,0


1,5


1,5
Bài 8. Tìm gần đúng tọa độ các giao điểm của hai đường tròn
(
)
(
)( )
22
1
:1 24Cx y−++ =

và
()( )( )
22
2
:2 11Cx y−++=.
Cách giải Kết quả Điểm
Viết lại
(
)
22
1
:2410Cx y x y+−++= và
(
)
22
2
:4240Cxy x y+−++=
Từ đó suy ra
32
2
x
y
−
=
.
Thay vào PT của
()
2
C

, ta được
2
836370xx−+=
.
2,911437828
1,588562172
x
x
≈
⎡
⇔
⎢
≈
⎣

Kết luận các giao điểm
A và B.



32
2
x
y
−
=


2
836370xx

−
+=
11
2,911437828 1,411437828xy
≈
⇒≈−
22
1,588562172 0,088562172xy
≈
⇒≈−
(
)
(
)
2,9114; 1,4114 , 1,5886; 0,0886AB−−



1,0


1,0
1,0
1,0
1,0
Bài 9. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC, biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là d,
góc tạo bởi đường thẳng
AB và mặt phẳng (SBC) bằng
α
(

00
060
α
<< ). Tính thể tích khối
chóp
S.ABC khi 5d = ,
0
20
α
= .
Cách giải Kết quả Điểm
4






- Gọi
I là trung điểm của BC, suy ra
)(SAIBC ⊥ . H là chân đường cao kẻ từ S.
Kẻ
SIAK ⊥
(K thuộc SI).
- Xác định d và
α
.
- Xét tam giác vuông
ABK , có
α

sin
d
AB =

- Diện tích tam giác đều
ABC là
2
3
4
AB
S =

- Xét hai tam giác vuông đồng dạng
AKI và
SHI , ta có
SH AI SI AK=
(*)
Ta có:
13
36
AB
HI AI==
,
222
SI SH HI=+,
với
SHh =
.
Do đó, (*)
(

)
2
22 2 2
.
9
AI
SH AI AK SH⇔= +
()
22
2
22
.
9
AK AI
SH
AI AK
⇒=
−

)sin43(3
2
α
−
=⇒
d
h

Vậy
3
22

1
.
3
12 3 4sin .sin
d
VhS
α
α
==
−

H
I
A
C
B
S
K
AKd
=
,
n
ABK
α
=




2

2
3
4sin
d
S
α
=














55,9611V
≈

1,0
0,5


0,5



0,5

1,0





0,5


0,5


0,5
Bài 10. Một vận động viên chạy từ A đến D phải bơi qua sông theo đoạn BC (như hình vẽ).
Biết A cách D 1km, chiều rộng con sông 100m, vận tốc chạy bộ gấp đôi vận tốc bơi. Tìm
gần đúng chiều dài đoạn BC để vận động viên đến được D với thời gian ít nhất.
A
D

B
C

Cách giải Kết quả Điểm
A
E D
B
F C
Gọi độ dài đoạn BC là x (km) (0,1 1
x
<
< ),
vận tốc bơi là v (
0v > ).

5
Ta có:
2
1(0,1)ED =−
,
22
(0,1)FC x=−

Thời gian vận động viên xuất phát từ A đến
được D là:
2
10,01 0,01
2
x
x
t
vv
−−−
=+

Xét hàm số:
2
() 2 0,01fx x x=− −

Ta có
2
() 2

0,01
x
fx
x
′
=−
−

0,04
'( ) 0
3
fx x=⇔=

Dựa vào bảng biến thiên của
()
f
x
, ta có
()
f
x
đạt giá trị nhỏ nhất khi
0,1154700538x ≈

Suy ra t ít nhất khi
0,1154x ≈
(km)
Vậy độ dài đoạn BC thỏa yêu cầu đề bài là
0,1154 km.
2

1(0,1)ED =−
,
22
(0,1)FC x=−


2
10,012 0,01
2
xx
t
v
−+−−
=




2
2
20,01
()
0,01
x
x
fx
x
−
−
′

=
−


0,1154700538x
≈






1,0


1,0





1,0


0,5




1,0

0,5

HẾT