Dạy học bai đường trung bình của tam giác, của hình thang thông qua hoạt động giáo khoa

DY HC BI NG TRUNG BèNH CA TAM GIC, CA HèNH THANG THễNG
QUA HOT NG GIO KHOA
Nguyn Duy Khanh, trng THCS Thanh Trự, Vnh Yờn, Vnh Phỳc
I. Dy hc thụng qua hot ng giỏo khoa (HGK) giỳp cho hc sinh (HS) hng thỳ v nm bt
kin thc mi tt hn. iu ny ó c cp trong nhiu bi bỏo ca nhiu tỏc gi. Trong quỏ
trỡnh dy hc ti trng THCS Thanh Trự, Vnh Yờn, Vnh Phỳc, chỳng tụi cng ó vn dng
hng dy hc ny v cho kt qu tht tt.
Trong phm vi bỏo cỏo ny, chỳng tụi xin trỡnh by mt s HGK c thit k dy
hc bi ng trung bỡnh ca tam giỏc, ca hỡnh thang (Toỏn 8).
Bi hc ny khụng khú dy. Nhng sau khi chỳng tụi dy hc bi ny theo cỏch trỡnh
by ca sỏch giỏo khoa (SGK) thỡ kt qu khụng cao. HS khú nhn dng c ng trung bỡnh
ca tam giỏc, ca hỡnh thang cng nh l khú khn trong vn dng cỏc tớnh cht vo gii toỏn.
Cỏc em cha hiu rừ v nh ngha ng trung bỡnh ca tam giỏc, ca hỡnh thang cng nh cỏc
tớnh cht, m ch dng li vic hc thuc lũng. iu ú khin chỳng tụi mong mun dy hc
bi ny thụng qua HGK. Vi hai HGK c trỡnh by di õy, HS ch cn vn dng kin
thc v tam giỏc bng nhau v tớnh cht ca hỡnh thang cú hai cnh bờn song song thc hin
hot ng. Vic lm ny khụng khú khn gỡ vi mi HS. Vỡ vy, cỏc em cú th t mỡnh khỏm
phỏ c nh ngha v cỏc tớnh cht. Khi ú vic cỏc em nhn bit v ng trung bỡnh ca tam
giỏc, ca hỡnh thang cng nh vn dng cỏc tớnh cht vo gii toỏn s d dng hn.
II. Hot ng giỏo khoa l mt nhim v hc tp tho món cỏc iu kin:
(1) Phự hp vi chng trỡnh;
(2) Khụng c quỏ n gin, quỏ d dng n mc hc sinh ch cn thc hin trong mt vi
phỳt; nhng ngc li cng khụng c quỏ khú n mc hc sinh phi suy ngh quỏ lõu hoc
khụng th gii quyt c cho dự cú hp tỏc vi nhng hc sinh khỏc;
(3) c trỡnh by rừ rng, d hiu i vi mi hc sinh tham gia;
(4) Nhim v ny t bn thõn nú hoc cựng vi mt s nhim v khỏc cng tha món ba iu
kin trờn phi to cho hc sinh mt trong cỏc c hi sau:
- i n nhng phng oỏn v kin thc mi;
- i n kin thc mi;
- Hỡnh thnh biu tng hỡnh nh v i tng sp c hc;
- Hỡnh thnh k nng mi;

- Huy ng nhng kin thc ó c hc t chc li nhng kin thc ny;
- Huy ng nhng kin thc ó c hc vn dng nhng kin thc ny vo i sng thc
tin.
Khi dy hc bi ng trung bỡnh ca tam giỏc, ca hỡnh thang - Toỏn 8, SGK, tp 1,
trang 76 GV cú th thit k cho hc sinh thc hin cỏc HGK hng vo hai ni dung chớnh:
ng trung bỡnh ca tam giỏc v ng trung bỡnh ca hỡnh thang.
Mc tiờu ca bi hc ny l:
+ V kin thc: Hc sinh nm vng tớnh cht ca ng thng i qua trung im mt cnh ca
tam giỏc v song song vi cnh th hai, ng thng i qua trung im mt cnh bờn ca hỡnh
thang v song song vi hai ỏy; nm vng nh ngha, tớnh cht ng trung bỡnh ca tam giỏc,
ca hỡnh thang.
+ V k nng: Vận dụng đợc định lí về đờng trung bình của tam giác và đờng trung bình
của hình thang.
(Chun chng trỡnh toỏn THCS, Nh xut bn Giỏo dc 2006).
V phõn b chng trỡnh: Bi ny c dy trong 02 tit lớ thuyt v 01 tit luyn tp sau
khi hc sinh ó nm vng v hỡnh thang, hỡnh thang cõn.
1. Hot ng giỏo khoa dy hc ng trung bỡnh ca tam giỏc
Mc ớch ca HGK ny l giỳp HS khỏm phỏ c tớnh cht: ng thng i qua
trung im mt cnh ca tam giỏc v song song vi cnh th hai thỡ i qua trung im cnh th
ba” (định lí 1_SGK Toán 8, tập 1, trang 76); khám phá định nghĩa: “Đường trung bình của tam
giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác” (SGK Toán 8, tập 1, trang 77); khám
phá tính chất: “Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh
ấy” (định lí 2_SGK Toán 8, tập 1, trang 77).
HOẠT ĐỘNG ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC
Thời gian: 25 phút
Hình thức: Làm bài theo nhóm 4 người
Phương tiện: Phiếu học tập, dụng cụ vẽ hình
(1) Hãy Vẽ tam giác ABC bất kì.
(2) Hãy Lấy trung điểm D của AB.
(3) Qua D, hãy vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E.

(4) Qua E, hãy kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC ở F.
(5) Hãy chứng minh rằng E là trung điểm của AC, F là trung điểm của BC. Từ điều vừa chứng
minh được, em có nhận xét gì về đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song
song với cạnh thứ hai.
(6) Các đoạn thẳng DE và EF ở trên được gọi là các đường trung bình của tam giác ABC.
Hãy vẽ thêm một đường trung bình của tam giác ABC.
Theo em, đường trung bình của tam giác là gì?
(7) So sánh độ dài DE với độ dài BC; độ dài EF với độ dài AB. Từ đó hãy cho nhận xét về
đường trung bình của một tam giác. .
(hết hoạt động)
* Diễn giải:
Các yêu cầu (1), (2), (3), (4) HS vẽ được hình:
Hoàn thành yêu cầu (5), HS phát hiện và phát biểu được tính chất: “ Đường thẳng đi qua trung
điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba”
(định lí 1_SGK Toán 8, tập 1, trang 76);
Yêu cầu (6) giúp HS nhận biết DF là đường trung bình của tam giác ABC, từ đó học sinh phát
biểu được định nghĩa đường trung bình của tam giác.
Yêu cầu (7) giúp HS phát hiện tính chất đường trung bình của tam giác (định lí 2_SGK Toán 8,
tập 1, trang 77) và gợi ý cách chứng minh định lí.
* Bình luận:
Với họat động trên, HS vừa được luyện tập về tính chất của hình thang có hai cạnh bên
song song, được rèn luyện kĩ năng chứng minh hai tam giác bằng nhau, chứng minh hai đoạn
thẳng bằng nhau vừa được rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức, kĩ năng đã được học để giải
quyết công việc mới; tìm tòi, khám phá kiến thức mới (Đây là khả năng càn phải có đối với mỗi
người lao động trong thời kì mới)
2. Hoạt động giáo khoa để dạy học đường trung bình của hình thang
Mục đích của HĐGK này là giúp HS khám phá được tính chất: “Đường thẳng đi qua
trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh
bên thứ hai” (định lí 3_SGK Toán 8, tập 1, trang 78); khám phá định nghĩa: “Đường trung bình
của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang”; khám phá tính chất:

A
B
C
D E
F
“Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy” (định lí
4_SGK Toán 8, tập 1, trang 78).
HOẠT ĐỘNG ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG
Thời gian: 20 phút.
Hình thức: Làm bài theo nhóm 4 người.
Phương tiện: Phiếu học tập, dụng cụ vẽ hình.
(1) Hãy vẽ hình thang ABCD có hai đáy là AB và DC.
(2) Hãy lấy trung điểm E của cạnh bên AD.
(3) Qua E, hãy kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở I, cắt BC ở F.
(4) Hãy nhận xét vị trí của điểm I trên AC, từ đó hãy nhận xét vị trí của điểm F trên BC.
Từ những điều em đã nhận xét, hãy cho nhận xét về đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh
bên của hình thang và song song với hai đáy.
(5) Đoạn thẳng EF ở trên được gọi là đường trung bình của hình thang ABCD.
Theo em, đường trung bình của hình thang là gì ?
(6) Dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác, hãy so sánh độ dài của đoạn thẳng EF với
tổng độ dài hai đáy AB và CD. Từ đó hãy nêu nhận xét về đường trung bình của hình thang.
(hết hoạt động)
* Diễn giải:
Các yêu cầu (1), (2), (3) HS vẽ được hình:
Hoàn thành yêu cầu (4), HS khám phá được tính chất: “Đường thẳng đi qua trung điểm một
cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai” (định
lí 3_SGK Toán 8, tập 1, trang 78);
Yêu cầu (5) giúp HS khám phá định nghĩa đường trung bình của tam giác;
Yêu cầu (6) giúp HS phát hiện tính chất đường trung bình của hình thang (định lí 4_SGK Toán
8, tập 1, trang 78).

* Bình luận:
Với họat động trên, HS vừa được luyện tập củng cố về đường trung bình của tam giác
(học ở tiết trước) vừa khám phá được tính chất của đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên
của hình thang và song song với hai đáy (định lí 3_SGK); khám phá định nghĩa và tính chất
đường trung bình của hình thang (định lí 4_SGK).
III. Để người đọc hình dung được quy trình thiết kế cho bài học này một cách rõ hơn thông qua
HĐGK, dưới đây, chúng tôi nêu rõ vị trí của HĐGK trong bài học.
- GV nêu vấn đề sau: Giữa hai điểm B và C có
chướng ngại vật (hình vẽ bên). Đo được
DE = 50m. Ta có thể biết được khoảng cách giữa
hai điểm B và C không?
A B
CD
E
F
I
B
C
D
E
A
1. Đường trung bình của tam giác
HOẠT ĐỘNG ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC
(1) Hãy Vẽ tam giác ABC bất kì.
(2) Hãy Lấy trung điểm D của AB.
(3) Qua D, hãy vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E.
(4) Qua E, hãy kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC ở F.
(5) Hãy chứng minh rằng E là trung điểm của AC, F là trung điểm của BC. Từ điều vừa chứng
minh được, em có nhận xét gì về đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song
song với cạnh thứ hai.

(6) Các đoạn thẳng DE và EF ở trên được gọi là các đường trung bình của tam giác ABC.
Hãy vẽ thêm một đường trung bình của tam giác ABC.
Theo em, đường trung bình của tam giác là gì?
(7) So sánh độ dài DE với độ dài BC; độ dài EF với độ dài AB. Từ đó hãy cho nhận xét về
đường trung bình của một tam giác.
(hết hoạt động)
HS cần rút ra định lí Định lí 1
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi
qua trung điểm cạnh thứ ba.
HS trình bày chứng minh (theo yêu cầu (4), (5) của hoạt động).
Qua E, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BC ở F
Vì DE//BF(do DE//BC) nên tứ giác DEFB là hình thang có hai đáy DE, BF.
Lại có DB//EF (do EF//AB)
⇒ BD = EF ; (hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy
bằng nhau)
mà BD = DA (gt)
⇒ AD = EF
∆ADE và ∆EFC có:
·
EDA
=
·
CFE
(cùng bằng
·
CBA
)
AD = EF (chứng minh trên)
·
DAE

=
·
FEC
(đồng vị, EF//AB)
Do đó ∆ADE = ∆EFC (g-c-g) ⇒ AE = EC
Vậy E là trung điểm của AC.
HS cần rút ra định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai
cạnh của tam giác.
HS cần rút ra định lí 2:
Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
GT
KL
∆ABC ; DA = DB ; DE // BC
EA = EC
A
B
C
D
E
F
HS trình bày chứng minh (từ yêu cầu (7) của hoạt động)
Qua D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E’. Theo định lí 1, E’ là trung điểm của AC
⇒ E’ ≡ E. Vậy DE // BD
Qua E kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại F. Theo định lí 1, F là trung điểm của BC
⇒ BE =
1
2
BC
BDEF là hình thang có hai đáy là DE và BF (do DE // BF)
Lại có EF // BD

⇒ DE = BF =
1
2
BC.
HS cần giải quyết được vấn đề nêu ra ban đầu:
Đo được DE = 50m. Tính khoảng cách giữa hai
điểm B và C.
2. Đường trung bình của hình thang
HOẠT ĐỘNG ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG
(1) Hãy vẽ hình thang ABCD có hai đáy là AB và DC.
(2) Hãy lấy trung điểm E của cạnh bên AD.
(3) Qua E, hãy kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ở I, cắt BC ở F.
(4) Hãy nhận xét vị trí của điểm I trên AC, từ đó hãy nhận xét vị trí của điểm F trên BC.
Từ những điều em đã nhận xét, hãy cho nhận xét về đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh
bên của hình thang và song song với hai đáy.
(5) Đoạn thẳng EF ở trên được gọi là đường trung bình của hình thang ABCD.
Theo em, đường trung bình của hình thang là gì ?
(6) Dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác, hãy so sánh độ dài của đoạn thẳng EF với
tổng độ dài hai đáy AB và CD. Từ đó hãy nêu nhận xét về đường trung bình của hình thang.
(hết hoạt động)
HS cần rút ra định lí Định lí 3
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi
qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
HS trình bày chứng minh
GT
KL
∆ABC ; DA = DB ; AE = EC
DE // BC; DE = BC
A
B

C
D
E
F
B
C
D
E
A
GT
KL
ABCD là hình thang; AB//DC
AE = ED, EF//AB, EF//CD
BF = FC
A
B
C
D
E
F
I
Gọi I là giao điểm của AC và EF
Tam giác ADC có E là trung điểm của AD (gt) và EI // DC (gt) nên I là trung điểm của AC.
Tam giác ABC có I là trung điểm của AC (cmt) và IF // AB (gt) nên F là trung điểm của BC
HS cần rút ra định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai
cạnh bên của hình thang.
HS cần rút ra định lí 4:
Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
HS trình bày chứng minh
Gọi I là trung điểm của AC

Tam giác ADC có E là trung điểm của AD, I là trung điểm của AC nên EI là đường trung bình
của tam giác ADC, suy ra EI // DC, EI =
1
2
DC.
Tam giác ABC có I là trung điểm của AC, F là trung điểm của BC nên FI là đường trung bình
của tam giác ABC, suy ra FI // AB, FI =
1
2
AB.
Vì FI // AB, AB // CD nên FI // CD.
Do EI // DC, FI // CD nên E, I, F thẳng hàng, suy ra EF // AB, EF // CD, EF = EI + IF.
Suy ra EF =
1
2
DC +
1
2
AB =
AB CD
2
+
?. Tìm x ở hình vẽ bên
Tài liệu tham khảo
(1) Trương Thị Vinh Hạnh (2008), Dạy học môn toán ở trường THPT thông qua hoạt động giáo
khoa, NXB Đại học Sư phạm.
(2) Tôn Thân- Vũ Hữu Bình - Trần Đình Châu - Ngô Hữu Dũng - Phạm Gia Đức - Nguyễn Duy
Thuận (2003). SGK Toán 8 tập 1. Nhà xuất bản Giáo dục.
(3) Tôn Thân - Vũ Hữu Bình - Trần Đình Châu - Ngô Hữu Dũng - Phạm Gia Đức - Nguyễn Duy
Thuận (2003), Sách giáo viên Toán 8 tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục.

(4) BGD&ĐT (2006) Chuần chương trình toán THCS, Nhà xuất bản Giáo dục.
GT
KL
ABCD là hình thang; AB//DC
AE = ED, BF = FC
EF // AB, EF // CD,
A
B
C
D
E
F
I
A
C
B
HE
D
24m
32m x