Luận án tiến sĩ toán học: Sử dụng phương pháp phi tuyến vào các bài toán biên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




BÁO CÁO NGHIỆM THU
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU CẤP BỘ



SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHI TUYẾN
VÀO CÁC BÀI TOÁN BIÊN

Mã số: B. 2005-18-01




THỜI GIAN THỰC HIỆN 12 THÁNG
Từ tháng 06/2005 đến tháng 06/2006




Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Thành Long

TP. HỒ CHÍ MINH 2006




ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN



BÁO CÁO NGHIỆM THU
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU CẤP BỘ



SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHI TUYẾN
VÀO CÁC BÀI TOÁN BIÊN

Mã số: B. 2005-18-01



THỜI GIAN THỰC HIỆN 12 THÁNG
Từ tháng 06/2005 đến tháng 06/2006

Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Thành Long

Thành viên tham gia:

1/ TS. Trần Minh Thuyết, Đại học Kinh tế Tp. HCM
2/ TS. Trần Ngọc Diễm, Đại học Bách khoa Tp. HCM
3/ TS. Bùi Tiến Dũng, Đại học Kiến Trúc Tp. HCM
4/ ThS. Nguyễn Thò Thảo Trúc, Đại học Cần Thơ





TP. HỒ CHÍ MINH 2006


0

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 00
KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP BỘ 2005-2006 01
1. TÊN NHIỆM VỤ 01
2. TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐÃ THỰC HIỆN 01
3. CÁC SẢN PHẨM ĐỀ TÀI ĐÃ HOÀN THÀNH 02
3.1. KẾT QUẢ KHOA HỌC 02

3.2. KẾT QUẢ ĐÀO TẠO 03
3.3. KẾT QUẢ ỨNG DỤNG 04
4. TỔNG QUAN PHẦN NGHIÊN CỨU 05
4.1. TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 06
4.2. THUYẾT MINH NGHIÊN CỨU 09
Thuyết minh Phần I. 09
Thuyết minh Phần II. 13
Thuyết minh Phần III. 15
Thuyết minh Phần IV. 16
06 BÀI BÁO CÔNG BỐ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU 19
TÀI LIỆU THAM KHẢO 20
ĐÍNH KÈM TOÀN VĂN 06 BÀI BÁO 23

1

KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
KHOA HỌC CẤP BỘ 2005-2006

1. TÊN NHIỆM VỤ

Tên đề tài: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHI TUYẾN VÀO CÁC BÀI TOÁN BIÊN
(Using nonlinear methods in some boundary value problems).

Mã số: B. 2005-18-01
Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Thành Long
Cơ quan quản lý: Đại học Quốc Gia TP. HCM
Cơ quan chủ trì thực hiện: Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh.

Đòa chỉ: 227 Nguyễn Văn Cừ, Q.5, Tp. Hồ Chí Minh, ĐT: 8.350098.

Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Thành Long

Thành viên tham gia:

1/ TS. Trần Minh Thuyết, Đại học Kinh tế Tp. HCM
2/ TS. Trần Ngọc Diễm, Đại học Bách khoa Tp. HCM
3/ TS. Bùi Tiến Dũng, Đại học Kiến Trúc Tp. HCM
4/ ThS. Nguyễn Thò Thảo Trúc, Đại học Cần Thơ.

Thời gian thực hiện: từ tháng 06/2005 đến tháng 06/2006.

2. TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐÃ THỰC HIỆN

Đề tài nầy đã nhận được nhiều kết quả trong các lãnh vực Giải tích hàm phi
tuyến và phương trình vi phân thể hiện qua:
- 06 công trình đã công bố trên các tạp chí Quốc tế chuyên ngành,
- 05 báo cáo tại các hội nghò khoa học,
- Hoàn thành 2 luận án tiến só và đã bảo vệ cấp Nhà nước thành công (NCS. Trần
Ngọc Diễm đã bảo vệ ngày 20/05/2006 và NCS. Bùi Tiến Dũng đã bảo vệ ngày
24/06/2006).
- Hoàn thành 06 luận án thạc só và đã bảo vệ chính thức.
Mặt khác, đề tài nghiên cứu các bài toán liên quan đến mô hình toán học cho
các vấn đề đặt ra trong Kỹ thuật, Cơ học,… và có đònh hướng ứng dụng trong thực
tiễn. Mặt khác đề tài cũng ứng dụng trực tiếp ngay trong giảng dạy, đào tạo cùng với
việc triển khai nó vào các đề tài luận văn thạc sỹ và luận án tiến só. Trong thời gian
nầy hai thành viên trong nhóm xêmina đang chuẩn bò để thi nghiên cứu sinh theo
hướng đề tài nầy.


2

3. CÁC SẢN PHẨM ĐỀ TÀI ĐÃ HOÀN THÀNH

3.1. KẾT QUẢ KHOA HỌC. Bao gồm 06 công trình đã công bố trên các tạp chí
Quốc tế chuyên ngành cùng với 05 báo cáo tại các hội nghò khoa học.

a) Các bài báo đã và nhận đăng
[N1] Nguyen Thanh Long,
On the nonlinear wave equation

=−
xxxtt
uuutBu ),,(
22

),,,,,,(
22
xtx
uuuuutxf
associated with the mixed homogeneous conditions
, J.
Math. Anal. Appl. 306 (1) (2005) 243-268.
[N2] Nguyen Thanh Long,
Nonlinear Kirchhoff- Carrier wave equation in a unit
membrane with mixed homogemeous boundary conditions
, Electronic J. Differential
Equations, 2005, No. 138 (2005) Pages 1-18.
ISSN: 1072-6691. URL: or .
[N3] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem,
On a shock
problem involving a nonlinear viscoelastic bar
, J. Boundary Value Problems, Hindawi
Publishing Corporation, 2005 (3) (2005) 337-358.
[
[ ]
[N4] Nguyen Thanh Long, Vo Giang Giai,
A nonlinear wave equation associated with
nonlinear boundary conditions: Existence and asymptotic expansion of solutions
,
Nonlinear Anal. TMA, Series A: Theory and Methods, (2206) (accepted for

publication).
[N5] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh,
On a nonlinear parabolic equation
involving Bessel's operator associated with a mixed inhomogeneous condition
,
Comput. Appl. Math. 196 (1) (2006) 267-284.
[N6] Nguyen Thanh Long,
On the nonexistence of positive solution of some singular
nonlinear integral equations
, J. Inequalities and Applications, Hindawi Publishing
Corporation, (2006) Article ID 45043, Pages 1-10.
DOI: 10.1155/JIA/2006/45043
[ ].

b) Các báo cáo tại nghò Hội Nghò Ứng Dụng Toán học, Hà Nội, 23-25/12/2005.

1. Trần Ngọc Diễm, Alain Phạm Ngọc Đònh,
Mô hình toán học bài toán va chạm chứa
thanh đàn hồi nhớt
.
2. Lê Thò Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long,
Bài toán hỗn hợp cho phương trình sóng
phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff
.
3. Trần Minh Thuyết, Lê Khánh Luận, Võ Giang Giai,
Về một hệ Elliptic p-Laplace
trong không gian Sobolev có trọng
.
4. Trần Minh Thuyết, Phạm Gia Khánh,
Phương trình sóng phi tuyến liên kết với một

phương trình tích phân phi tuyến
.


3

5. Nguyễn Thò Thảo Trúc, Nguyễn Công Tâm,
Về phương trình sóng tuyến tính:
:),,,,(
txxxtt
UUUtxfUU =−
Xấp xỉ tuyến tính và khai triển tiệm cận
.

3.2. KẾT QUẢ ĐÀO TẠO. Hướng nghiên cứu đề tài cũng góp phần trong việc triển
khai trong 02 luận án tiến só đã bảo vệ cấp Nhà nước và 06 luận án thạc só.

a) Tiến só :

1. N.C.S. Trần Ngọc Diễm (Cơ sở đào tạo: Đại học KH Tự Nhiên TP. HCM)
Đề tài: Sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin vào một số bài toán biên phi tuyến.
Hướng dẫn bởi: Nguyễn Thành Long và GS. TS. Alain Phạm Ngọc Đònh (Orléans,
Pháp).
Ngày bảo vệ chính thức: 20/05/2006.

2. N.C.S. Bùi Tiến Dũng (Cơ sở đào tạo: Đại học Sư phạm TP. HCM)
Đề tài: Sử dụng phương pháp giải tích vào một số bài toán biên phi tuyến.
Hướng dẫn bởi: Nguyễn Thành Long và PGS.TS. Nguyễn Hội Nghóa( Ban Đào Tạo
Sau Đại học, ĐHQG Tp. HCM).
Ngày bảo vệ chính thức: 24/06/2006.

b) Thạc só:

1. Phạm Gia Khánh ( Khoá 09, Trường Đại học Cần Thơ)
Đề tài: Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa phương trình tích phân phi
tuyến.
Người hướng dẫn: Nguyễn Thành Long
Ngày bảo vệ: 17/09/2005.

2. Nguyễn Văn Diễm ( Khoá 10, Trường Đại học Cần Thơ)
Đề tài: Phương trình nhiệt phi tuyến trong không gian Sobolev có trọng.
Người hướng dẫn: Nguyễn Thành Long
Ngày bảo vệ: 26/11/2005.
3. Phan Thanh Xuân ( Khoá 10, Trường Đại học Cần Thơ)
Đề tài: Sự không tồn tại nghiệm dương của một số phương trình tích phân phi tuyến.
Người hướng dẫn: Nguyễn Thành Long
Ngày bảo vệ: 26/11/2005.

4. Dương Bửu Lộc ( Khoá 13, Trường Đại học Sư phạm TP. HCM)
Đề tài: Bất đẳng thức tích phân thuôc loại Ostrowski cho hàm khả vi cấp hai.
Người hướng dẫn: Nguyễn Thành Long
Ngày bảo vệ: 07/10/2005.

5. Huỳnh Văn Tùng ( Khoá 13, Trường Đại học KHTN Tp. HCM)


4

Đề tài: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến trong không gian Sobolev có trọng.
Người hướng dẫn: Nguyễn Thành Long

Ngày bảo vệ: 21/01/2006.

6. Nguyễn Vũ Dzũng ( Khoá 13, Trường Đại học KHTN Tp. HCM)
Đề tài: Khảo sát phương trình parabolic phi tuyến trong miền hình cầu.
Người hướng dẫn: Nguyễn Thành Long
Ngày bảo vệ: 21/01/2006.


3.3. KẾT QUẢ ỨNG DỤNG.

Hướng đề tài nghiên cứu các bài toán liên quan đến mô hình toán học cho các
vấn đề đặt ra trong Kỹ thuật, Cơ học,… và có đònh hướng ứng dụng trong thực tiễn.
Các kết quả công bố trên tạp chí nói trên tiếp tục trình bày thảo luận trong các nhóm
xêmina để các thành viên trong nhóm học hỏi, tiếp cận thêm các công cụ mới. Từ đó
đề tài đã gợi ra thêm một số vấn đề mới cần tiếp tục nghiên cứu. Mặt khác đề tài cũng
ứng dụng trực tiếp ngay trong giảng dạy, đào tạo cùng với việc triển khai nó vào các
đề tài luận văn thạc sỹ và luận án tiến só. Trong thời gian nầy hai thành viên trong
nhóm xêmina là Võ Giang Giai và Lê Xuân Trường đang chuẩn bò để thi nghiên cứu
sinh theo hướng đề tài nầy.

5

4. TỔNG QUAN PHẦN NGHIÊN CỨU

Các bài toán biên phi tuyến xuất hiện ngày càng nhiều trong các ngành của
Khoa học ứng dụng ( Vật lý, Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật,…). Đây là nguồn đề tài mà
rất nhiều nhà Toán học từ trước đến nay quan tâm nghiên cứu bởi tính chất phong phú
và nhiều chủng loại của nó. Hiện nay các công cụ của Giải tích hàm phi tuyến đã xâm
nhập vào từng bài toán biên phi tuyến cụ thể ở một mức độ nào đó. Tổng quát, chúng
ta không có một phương pháp toán học chung để giải quyết cho mọi bài toán biên phi
tuyến. Các yếu tố phi tuyến xuất hiện trong bài toán có ảnh hưởng rất nhiều đến việc
chọn lựa các phương pháp toán học để giải quyết. Do đó các bài toán biên phi tuyến ở
trên cũng chưa giải hoặc chỉ giải được một phần tương ứng với số hạng phi tuyến cụ
thể nào đó. Bởi vậy, tôi cho rằng đề tài nghiên cứu ở đây là cần thiết, có ý nghóa lý
luận và thực tiễn.

Trong các bài toán biên trên đây, nhiều nhà Toán học thường chú ý đến những

loại có xuất xứ từ các vấn đề của Vật lý, Cơ học, v.v… và nghiên cứu chúng ở nhiều
khía cạnh khác nhau bởi các công cụ toán học thích hợp. Bản thân chủ nhiệm đề tài
cũng đã có nhiều kết quả công bố về hướng nghiên cứu nầy từ năm 1992 đến nay trên
các tạp chí của Anh, Balan, Đức, Mỹ, Việt Nam….

Trong đề tài nầy chúng tôi muốn sử dụng các phương pháp phi tuyến như:
phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến
tính liên hệ với các đònh lý điểm bất đọâng, phương pháp khai triển tiệm cận… nhằm
khảo sát một số bài toán biên có liên quan đến các vấn đề trong Khoa học ứng dụng.
Chẳng hạn như các phương trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên
khác nhau xuất hiện trong các bài toán mô tả dao độâng của một vật đàn hồi với các
ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và
một thanh đàn nhớt tựa trên một nền đàn nhớt. Cũng trong đề tài nầy, tính chất không
tồn tại nghiệm dương của một số phương trình tích phân phi tuyến kỳ dò xuất phát từ
bài toán biên Neumann cũng được nghiên cứu.

Trong đề tài nghiên cứu chúng tôi chú ý đến các vấn đề tồn tại, không tồn tại,
tính duy nhất và các tính chất khác của nghiệm (tính trơn, ổn đònh, khai triển tiệm
cận,…) của các bài toán biên có điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất và không thuần
nhất. Kết quả thu được đã công bố trong 06 bài báo dưới đây [N1-N6].

[N1] Nguyen Thanh Long, J. Math. Anal. Appl. 306 (1) (2005) 243-268.
[N2] Nguyen Thanh Long, Electronic J. Differential Equations, 2005, No. 138 (2005)
Pages 1-18.
[N3] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem, J. Boundary
Value Problems, Hindawi Publishing Corporation, 2005 (3) (2005) 337-358.
[N4] Nguyen Thanh Long, Vo Giang Giai, Nonlinear Anal. TMA, Series A: Theory and
Methods, (2206) (accepted for publication).

6

[N5] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Comput. Appl. Math. 196 (1) (2006)
267-284.
[N6] Nguyen Thanh Long, J. Inequalities and Applications, Hindawi Publishing
Corporation, (2006) Article ID 45043, Pages 1-10.


Các kết quả thu được trên đây được phân loại và sắp xếp thành 4 phần như sau:


Phần I. Phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff cho miền một chiều và hai
chiều:
A. Phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff với điều kiện biên hỗn hợp
thuần nhất.
B. Phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff trong màng tròn đơn vò với điều
kiện biên hỗn hợp thuần nhất.
Phần II. Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên phi tuyến chứa một tích chập
với giá trò biên.
Phần III. Phương trình parabolic phi tuyến chứa toán tử Bessel với điều kiện biên hỗn
hợp không thuần nhất.
Phần IV. Sự không tồn tại nghiệm dương của một số phương trình tích phân phi tuyến
kỳ dò.

4.1. TÓM TẮT KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Tóm tắt kết quả Phần I. Phần nầy cũng chia thành hai phần tương ứng với các phương
trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff trong miền một chiều và hai chiều.

PHẦN A: TRƯỜNG HP MỘT CHIỀU.

Với miền một chiều
),1,0(
=
Ω
chúng tôi xét bài toán giá trò biên và đầu cho
phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff
(a.1)
=−
xxxtt
uuutBu ),,(
22
),,,,,,,(
22
xtx
uuuuutxf ,0),1,0( Ttx
<
<=
Ω
∈

(a.2) ,0),1(),1(),0(),0(
10
=
+
=− tuhtutuhtu
xx

(a.3) ),(
~

)0,(
0
xuxu = ),(
~
)0,(
1
xuxu
t
=
trong đó
10
,hh là các hằng số không âm cho trước với ;0
10
>
+
hh và
10
~
,
~
, , uufB
là các hàm cho trước. Trong phương trình (1.1) các số hạng phi tuyến
),,(
22
x
uutB

và
),,,,,,(
22

xtx
uuuuutxf còn phụ thuộc vào các tích phân ,),()(
22
∫
Ω
= dxtxutu
.),()(
22
∫
Ω
= dxtxutu
xx
Trong phần này, chúng tôi liên kết bài toán (a.1)-(a.3) với một
dãy qui nạp tuyến tính hội tụ mạnh trong các không gian hàm thích hợp mà sự tồn tại


7

đòa phương của nghiệm duy nhất được chứng minh bằng phương pháp Galerkin thông
dụng kết hợp với phương pháp compact. Trong trường hợp ,0 ),(
0
31
>≥∈
+
+
bBIRCB
N

,0 ),(
1

3
1
≥∈
+
BIRCB
N
),]1,0([
231
++
+
×××∈ IRIRIRCf
N
)]1,0([
23
1
++
×××∈ IRIRIRCf
N

chúng tôi thu được từ phương trình
xxxxtt
uuutBuutBu )],,(),,([
22
1
22
ε
+−
),,,,,,(
22
xtx

uuuuutxf= ),,,,,,(
22
1 xtx
uuuuutxf
ε
+
liên kết với điều kiện
(a.2) và (a.3) một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu
),( txu
ε
đến cấp
1+N
theo một
tham số bé
.
ε
Kết quả nầy đã được công bố trong [N1].

PHẦN B: TRƯỜNG HP HAI CHIỀU.

Với miền hai chiều
},1:),{(
22
<+=Ω yxyx chúng tôi xét bài toán giá trò biên
và đầu cho phương trình sóng phi tuyến trong màng tròn đơn vò có chứa toán tử
Kirchhoff
(b.1)
),,,,()
1
)(,(

2
0
2
0
rrrrrtt
uutrfu
r
uuuBu =+−
,0,10 Ttr <
<
<
<

(b.2) ,),(lim
0
∞<
+
→
trur
r
r

(b.3) ,0),1(),1( =+ tuhtu
r

(b.4) ),(
~
)0,(),(
~
)0,(

10
rurururu
t
==
trong đó
10
~
,
~
, , uufB là các hàm cho trước và 0>h là hằng số cho trước. Trong
phương trình (b.1) số hạng phi tuyến ),(
2
0
2
0
r
uuB phụ thuộc vào các tích phân
,),(
1
0
22
0
∫
= drtruru

.),(
1
0
22
0

∫
= drtruru
rr
Trong phần này, chúng tôi liên kết bài
toán (b.1)-(b.4) với một dãy qui nạp tuyến tính mà sự tồn tại đòa phương của nghiệm
duy nhất được chứng minh trong các không gian Sobolev có trọng thích hợp. Trong
chứng minh phương pháp Galerkin kết hợp với phương pháp compact được sử dụng. Kế
đó chúng tôi xét bài toán (b.1)-(b.4) với trong trường hợp
),( urff
=
và
η
η
+
=
0
)( bB
với hằng số cho trước .0
0
>b Chúng tôi liên kết phương trình (b.1) với một dãy qui nạp
}{
m
u (phi tuyến)
)
1
)(),((
2
2
2
1

0
0
2
2
r
u
r
r
u
rdrtr
r
u
b
t
u
mmmm
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+−
∂
∂
∫

),,()(),(
111 −−−

∂
∂
−+=
mmmm
ur
u
f
uuurf ,0,10 Ttr <<<
<

với
m
u thỏa (b.2)-(b.4). Số hạng đầu tiên
0
u được chọn là .
~
00
uu = Nếu
),]1,0([
2
IRCf ×∈ chúng tôi chứng minh rằng dãy }{
m
u là hội tụ bậc hai. Kết quả nầy
đã được công bố trong [N2].



8

Tóm tắt kết quả Phần II. Trong phần II này, chúng tôi xét bài toán: tìm cặp hàm số

),( Pu sao cho

(2.1)
,0 ,10 ),,(
22
TtxtxFuuuuKuu
t
q
t
p
xxtt
<<<<=++−
−−
λ

(2.2) ),(),0( tPtu
x
=
(2.2) ,0),1(),1(),1(),1(),1(
22
11
=+=−
−−
tututututu
t
q
t
p
x

(2.4) ),()0,(),()0,(
10
xuxuxuxu
t
==
trong đó
λ
,,1,2,,
11
Kqqpp >≥ là các hằng số cho trước và Fuu ,,
10
là các hàm
số cho trước và hàm phải tìm ),( txu và giá trò biên chưa biết )(tP thỏa một phương
trình tích phân phi tuyến như sau
(2.5)
,),0()(),0(),0(),0(),0()()(
0
22
0
00
∫
−−++=
−−
t
t
q
t
p
dssustktutututuKtgtP

trong đó ,2q ,
00
≥p và
0
K là các hằng số cho trước.
Báo cáo phần II, gồm 4 mục chính: Trong mục 1, dưới các giả thiết ,),(
21
10
LHuu ×∈
),(
2
T
QLF ∈ ),,0(
1,1
TWk ∈ ),,0(
/
0
TLg
q
∈ ;0,,1
0
≥
=
KK
λ
,1,2,,,,
1100
>≥ qqpqpp
,
1

0
0
/
0
−
=
q
q
q
đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu ),( Pu của bài toán (2.1)- (2.5)
được chứng minh. Chứng minh được dựa vào phương pháp Galerkin và compact yếu
kết hợp với toán tử đơn điệu [N4]. Trong mục 2, với trường hợp
,2
10
==qq ,2,,,
10
≥ppqp chúng tôi chứng minh rằng nghiệm duy nhất ),( Pu nằm
trong không gian hàm ),,0()];,0();,0();,0([
221102
THLTCHTCHTL ×∩∩
∞
với
),;,0(
1
HTLu
t
∞
∈ ),;,0(
2
LTLu

tt
∞
∈ ),,0(),1(),,0(
2
THuu ∈⋅⋅ nếu ta giả thiết thêm
12
10
),( HHuu ×∈ và các điều kiện khác[N4]. Trong mục 3, chúng tôi thu được một
khai triển tiệm cận của nghiệm
),( Pu
của bài toán (2.1)-(2.5) đến cấp 1+N theo
theo ba tham số bé
.,,
0
KK
λ
[N4]. Trong mục 4, với ,2
110
==
=
=
=
qppqp ;0
0
=
λ

chúng tôi cũng thu được sự phụ thuộc tính trơn của nghiệm bài toán (2.1)-(2.5) (theo
biến thời gian) theo tính trơn của dữ kiện [N3]. Kết quả nầy đã được công bố trong
[N3, N4].

Tóm tắt kết quả Phần III. Trong phần này, chúng tôi xét bài toán giá trò biên và đầu
cho phương trình parabolic phi tuyến
(3.1)
),,(),())(( trfurFu
r
utau
rrrt
=++−
γ
,0,10 Ttr
<
<
<
<

(3.2) ,),(lim
2/
0
+∞<
+
→
trur
r
r
γ
,0)
~
),1()((),1(
0

=
−
+
ututhtu
r

(3.3) ),()0,(
0
ruru =


9

trong đó
0
~
,0 u>
γ
là hằng số cho trước, ),(),,(),(),( trfurFthta là các hàm cho trước.
Trong phần 1, bằng phương pháp Galerkin kết hợp với phương pháp compact trong các
không gian Sobolev có trọng thích hợp, chúng tôi chứng minh sự tồn tại của một
nghiệm yếu duy nhất )(tu trên khoảng ,0 Tt
<
<
với mỗi .0>T Trong phần 2, chúng
tôi chứng minh rằng nếu điều kiện đầu )(
0
ru bò chận thì nghiệm cũng bò chận. Trong
phần 3, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm )(tu khi .+∞→t Kết
quả nầy đã được công bố trong [N5].

Tóm tắt kết quả Phần IV. Trong phần này, chúng tôi xét phương trình tích phân phi
tuyến kỳ dò

(4.1)
dy
xy
yuyxg
xu
N
IR
σ
−
=
∫
))(,,(
)(
,
N
IRx∈∀
trong đó
σ
là hằng số cho trước với
,0 N
<
<
σ
và hàm cho trước
IRIRIRIRg
NN

→××
+
: là liên tục sao cho tồn tại các hằng số
0>M
và
0,,,,
11
≥
γ
γ
β
β
α
thỏa
αγ
γ
ββ
uyxyxMuyxg
−
−
++≥ )1()1(),,(
1
1
,,
N
IRyx ∈∀ ,0≥
∀
u
trong đó các hằng số ở trên thoả ,2,0
11

≥>
−
+
N
β
γ
σ
))(2/1(
11
γ
γ
β
β
−
−++N
}.,min{
11
γ
γ
β
β
σ
−−++<< NN Bằng chứng minh sơ cấp chúng tôi thu được rằng
nếu
),/()(0
11
β
γ
σ
γ

β
α
−
+−+≤≤ N
phương trình tích phân (4.1) không có nghiệm
dương liên tục. Kết quả nầy đã được công bố trong [N6].


4.2. THUYẾT MINH NGHIÊN CỨU

Thuyết minh Phần I. Phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff cho miền một
chiều và hai chiều:

Liên quan đến các phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff chúng
tôi đặc biệt chú ý đến miền một chiều )1,0(
=
Ω
và miền tròn đơn vò
}.1:),{(
22
<+=Ω yxyx (miền hai chiều). Nội dung của phần nầy được công bố trong
02 bài báo: [N1, N2].

PHẦN A: TRƯỜNG HP MỘT CHIỀU

Trong báo cáo nầy, chúng tôi quan tâm đến một dạng phương trình sóng phi
tuyến có chứa toán tử Kirchhoff
(1.1) =Δ∇− uuutBu
tt
),,(

22
),,,,,,,(
22
uuuuutxf
tx
∇ ,0),1,0( Ttx <<
=
Ω
∈

liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất


10

(1.2) ,0),1(),1(),0(),0(
10
=
+
=− tuhtutuhtu
xx

và điều kiện đầu
(1.3)
),(
~
)0,(
0
xuxu = ),(
~

)0,(
1
xuxu
t
=
trong đó
10
~
,
~
, , uufB là các hàm cho trước thỏa thêm một số điều kiện phụ và ,0
0
>h
0
1
≥h
là các hằng số cho trước. Trong phương trình (1.1) các số hạng phi tuyến
),,,,,,(
22
uuuuutxf
tx
∇
và ),,(
22
uutB ∇ còn phụ thuộc thêm vào các tích
phân
(1.4)
∫
Ω
= dxtxuu

22
),( và .),(
22
∫
Ω
∇=∇ dxtxuu
Phương trình (1.1) được tổng quát hóa từ phương trình mô tả dao động của một dây đàn
hồi (Kirchhoff [16]):
(1.5)
,0 , 0 ,),(
y
u

2
0
2
0
TtLxudyty
L
Eh
Phu
xx
L
tt
<<<<
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=
∫
ρ

đây u là độ võng, ρ là khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài sợi dây ở
trạng thái ban đầu,
E

là môđun Young và
0
P là lực căng lúc ban đầu. )
Trong [8], Carrier cũng thiết lập một mô hình thuộc loại
(1.6)
,0 , 0 ,),(
0
2
10
TtLxudytyuPPu
xx
L
tt
<<<<
⎟
⎟
⎠

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
∫

trong đó
10
, PP là các hằng số dương.
Khi 0=f và ) (
2
uBB ∇= là hàm chỉ phụ thuộc vào ,
2
u∇ bài toán Cauchy
hay hỗn hợp cho phương trình (1.1) đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả; xem [12, 40]
và các tài liệu tham khảo được trích dẫn trong đó. Trong hai công trình gần đây (xem
[37, 38]), các tác giả Medeiros, Limaco, Menezes đã cho một tổng quan các kết quả
về khía cạnh toán học có liên quan đến mô hình Kirchhoff-Carrier.
Trong [36] Medeiros đã khảo sát bài toán (1.1)-(1.3) với ,)(
2
buuff −== ở đây b

là
một hằng số dương cho trước, Ω là một tập mở bò chận của .
3
IR Trong [13], Hosoya
và Yamada đã xét bài toán với ,)( uuuff
α

δ
−== trong đó ,0>
δ
0≥
α
là các hằng
số cho trước.
Trong [20, 24] các tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán
(1.7) ,0, ),,( )(
12
2
>Ω∈=+Δ∇−Δ+
−
txtxFuuuuBuu
tttt
α
ελ

trong đó
λ > ,0
ε
> ,0 0 < α < 1 là các hằng số cho trước và Ω là một tập mở bò chận
của .
n
IR
Trong [10], Đònh đã nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận khi
ε → 0 của
nghiệm yếu của bài toán )1.0( - )3.0( với 1
≡
B

liên kết với điều kiện biên thuần nhất
Dirichlet


11

(1.8) ,0),1( ),0( == tutu
ở đây số hạng phi tuyến có dạng ).,(
1
utff
ε
=
Sau đó, trong [11] Đònh và Long đã
xét bài toán (1.1), (1.3), (1.8) với 1
≡
B
và số hạng phi tuyến có dạng
(1.9) ),,(
1 t
uutff
ε
=
Nếu 1≡
B
và )(
3
1
IRIRCf
N
×∈

+
thỏa 0)0,0,(
1
=
tf ,0≥
∀
t một khai triển tiệm cận của
nghiệm bài toán (1.1), (1.3), (1.8), (1.9) đến cấp
1
+
N
theo một tham số ε thu được
với ε đủ bé.
Trong [23] Long và Diễm đã khảo sát thuật giải xấp xỉ tuyến tính và khai triển tiệm
cận liên kết với phương trình sóng phi tuyến
(1.10)
,0),1,0(),,,,,( ),,,,(
1
Ttxuuutxfuuutxfuu
txtxxxtt
<<
∈
+
=−
ε

cùng với các điều kiện đầu (1.2) và (1.3). Trong trường hợp
)]1,0([
32
IRIRCf ××∈

+

và ),]1,0([
31
1
IRIRCf ××∈
+
chúng tôi thu được một khai triển tiệm cận đến cấp 2 theo
một tham số ,
ε
với ε đủ bé. Kết quả này tiếp tục được mở rộng trong [26] với
phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff
(1.11)
(
)
),,,,,(),,,,( ) () (
1
2
1
2
0 txtxxxxxtt
uuutxfuuutxfuuBuBbu
εε
+=++−

liên kết với điều kiện (1.1), (1.8), trong đó 0
0
>b là hằng số cho trước và
0 ,0 ),( ),(
1

1
1
2
≥≥∈∈
++
BBIRCBIRCB là các hàm cho trước.
Trong phần này, chúng tôi liên kết bài toán (1.1)-(1.3) với một dãy qui nạp
tuyến tính hội tụ mạnh trong các không gian hàm thích hợp mà sự tồn tại đòa phương
của nghiệm duy nhất được chứng minh bằng phương pháp Galerkin thông dụng kết hợp
với phương pháp compact. Trong trường hợp ,0 ),(
0
31
>≥∈
+
+
bBIRCB
N

,0 ),(
1
3
1
≥∈
+
BIRCB
N
),]1,0([
231
++
+

×××∈ IRIRIRCf
N
)]1,0([
23
1
++
×××∈ IRIRIRCf
N

chúng tôi thu được từ phương trình
xxxxtt
uuutBuutBu )],,(),,([
22
1
22
ε
+−
),,,,,,(
22
xtx
uuuuutxf= ),,,,,,(
22
1 xtx
uuuuutxf
ε
+ liên kết với điều kiện
(1.2) và (1.3) một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu ),( txu
ε
đến cấp 1+N theo một
tham số bé .

ε
Kết quả nầy là một sự tổng quát hóa tương đối các kết quả trong [11,
13, 17, 23, 26 28, 39] và đã được công bố trong [N1].

PHẦN B: TRƯỜNG HP HAI CHIỀU.

Với miền hai chiều },1:),{(
22
<+=Ω yxyx chúng tôi xét bài toán giá trò biên
và đầu cho phương trình sóng phi tuyến trong màng tròn đơn vò có chứa toán tử
Kirchhoff
(1.12)
),,,,()
1
)(,(
2
0
2
0
rrrrrtt
uutrfu
r
uuuBu =+− ,0,10 Ttr <
<
<
<



12

(1.13) ,),(lim
0
∞<
+
→
trur
r
r

(1.14)
,0),1(),1( =+ tuhtu
r

(1.15) ),(
~
)0,(),(
~
)0,(
10
rurururu
t
==
trong đó
10
~
,
~
, , uufB là các hàm cho trước và 0>h là hằng số cho trước. Trong
phương trình (1.12) số hạng phi tuyến

),(
2
0
2
0
r
uuB
phụ thuộc vào các tích phân
,),(
1
0
22
0
∫
= drtruru

.),(
1
0
22
0
∫
= drtruru
rr

Nhiều tác giả[8, 12, 13, 20, 24, 26, 27, 36, 40] đã nghiên cứu bài toán
(1.16) ),,0(),(),,,,,(),(
11
22
1

TtxvvvtxfvvvBv
ttt
×Ω∈∇=Δ∇−
(1.17)
),,0(,0
1
Thv
v
×Ω∂=+
∂
∂
ν

hay
(1.18) ),,0(,0
1
Tv ×Ω∂=
(1.19) ,),(
~
)0,(),(
~
)0,(
110
Ω
∈
== xxvxvxvxv
t

trong đó
1

Ω là một mở bò chận của
N
I
R có biên đủ trơn ,
1
Ω
∂

,),(
2
2
1
dxtxvv
∫
Ω
= ,),(),(
2
1
22
11
dxtx
x
v
dxtxvv
i
N
i
∂
∂
=∇=∇

∫
∑
∫
Ω
=
Ω

v là pháp vectơ đơn vò trên biên
,
1
Ω
∂
hướng ra ngoài. Với 1
=
N và
),0(
1
L=Ω

phương trình (1.16) được tổng quát hóa từ phương trình mô tả dao động của một dây
đàn hồi (Kirchhoff [16]):
(1.20)
,0 , 0 ,),(
y
v

2
0
2
0

TtLxvdyty
L
Eh
Phv
xx
L
tt
<<<<
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=
∫
ρ

đây v là độ võng, ρ là khối lượng riêng, h là thiết diện,
L
là chiều dài sợi dây ở
trạng thái ban đầu,
E

là môđun Young và
0

P là lực căng lúc ban đầu. (Giống như
(1.5)). Trong trường hợp
1
Ω là một quả cầu đơn vò mở của
N
I
R và các hàm
10
~
,
~
,, vvfv
phụ thuộc vào
r
với
()
,
2/1
1
2
∑
=
==
N
i
i
xxr
),,(),(),( trutxutxv ==
),,(
~

),,,,(
11
txfvvvtxf
t
=∇
.1),(
~
)(
~
),(
~
)(
~
1100
−=== Nxuxvxuxv
γ

Khi đó

),(),(,),(),(
1
0
2
1
0
2
22
1
rrrr
u

r
udrrtrudrrtruBvvvB
γ
γγ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=Δ∇−
∫∫

trong đó ),(),(
1
η
ω
ξ
ω
η
ξ
NN
BB = và
N
ω
là diện tích của mặt cầu đơn vò trong .
N

IR Do
đó ta có thể viết lại (1.16)-(1.19) dưới dạng


13

(1.21) ),,(
~
)(),(,),(
1
1
0
2
1
0
2
trfu
r
udrrtrudrrtruBu
rrrrtt
=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−

∫∫
γ
γγ
,0,10 Ttr <<<
<

(1.22) ,0),1(),1( =+ thutu
r

hay
(1.23)
,0),1( =tu

(1.24) ).(
~
)0,(),(
~
)0,(
10
xurururu
t
==
Với
,2=N (1.21) là phương trình sóng phi tuyến hai chiều mô tả dao động của màng
đơn vò
{
}
22
1
(, ): 1.xy x yΩ= + < Trong quá trình dao động, bề mặt của màng

1
Ω và
sức căng tại các điểm khác nhau trên đó thay đổi theo thời gian. Điều kiện trên biên
mô tả những ràng buộc đàn hồi, trong đó h là hằng số có một ý nghóa cơ học nào đó.
Điều kiện biên (1.13)

hiển nhiên sẽ được thoả mãn nếu
u
là một nghiệm cổ điển của
bài toán (1.12)-(1.15), chẳng hạn như
(
)
),0(
1
TCu ×Ω∈

(
)
),0(
2
TC ×Ω∩ . Điều kiện
này thường được sử dụng trong sự liên hệ với các không gian Sobolev có trọng r [4,
25].
Trong báo cáo này, chúng tôi liên kết bài toán (1.12)-(1.15) với một dãy qui nạp
tuyến tính mà sự tồn tại đòa phương của nghiệm duy nhất được chứng minh trong các
không gian Sobolev có trọng thích hợp. Trong chứng minh phương pháp Galerkin kết
hợp với phương pháp compact được sử dụng. Kế đó chúng tôi xét bài toán (1.12)-(1.15)
với trong trường hợp
),( urff =
và

η
η
+
=
0
)( bB với hằng số cho trước .0
0
>b
Chúng tôi liên kết phương trình (1.1) với một dãy qui nạp }{
m
u (phi tuyến)
)
1
)(),((
2
2
2
1
0
0
2
2
r
u
r
r
u
rdrtr
r
u

b
t
u
mmmm
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+−
∂
∂
∫

),,()(),(
111 −−−
∂
∂
−+=
mmmm
ur
u
f
uuurf
,0,10 Ttr <<<
<

với

m
u thỏa (1.13)-(1.15). Số hạng đầu tiên
0
u được chọn là .
~
00
uu = Nếu
),]1,0([
2
IRCf ×∈ chúng tôi chứng minh rằng dãy }{
m
u là hội tụ bậc hai. Kết quả nầy
là một sự tổng quát hóa tương đối các kết quả trong [4, 12, 13, 20, 24, 26, 27, 36, 40]
và đã được công bố trong [N2].

Thuyết minh Phần II. Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên phi tuyến chứa
một tích chập với giá trò biên

Nội dung của phần nầy được công bố trong 02 bài báo [N3, N4]

Trong phần này, chúng tôi xét bài toán: tìm cặp hàm số
),( Pu sao cho
(2.1)
,0 ,10 ),,(),( TtxtxFuufuu
txxtt
<
<
<
<
=+−

(2.2)
),(),0( tPtu
x
=


14

(2.3) ,0),1(),1(),1(),1(),1(
2
1
2
1
11
=+=−
−−
tutututuKtu
t
q
t
p
x
λ

(2.4) ),()0,(),()0,(
10
xuxuxuxu
t
==
trong đó ,),(

22
t
q
t
p
t
uuuuKuuf
−−
+=
λ
với
,,,1,2,,
11
λ
Kqqpp >≥
11
,
λ
K
là các
hằng số cho trước và Fuu ,,
10
là các hàm số cho trước thỏa một số điều kiện, và hàm
phải tìm ),( txu và giá trò biên chưa biết )(tP thỏa một phương trình tích phân phi tuyến
như sau
(2.5)
,),0()(),0(),0(),0(),0()()(
0
2
0

2
0
00
∫
−−++=
−−
t
t
q
t
p
dssustktutututuKtgtP
λ

trong đó
,2q ,
00
≥p và
00
,
λ
K là các hằng số cho trước và kg, là các hàm cho trước.
Trong [2], An và Triều đã nghiên cứu một trường hợp riêng của bài toán (2.1),
(2.2), (2.4) và (2.5) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất tại 1=x :
(2.6)
,0),1( =tu
với ,0
10
≡== uuF ,2,0
00

== p
λ
và ,),(
tt
uKuuuf
λ
+
=
với 0,0 ≥≥
λ
K là các
hằng số cho trước. Trong trường hợp này bài toán (2.1), (2.2) và (2.4)-(2.6) là một mô
hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến tính
đặt trên một nền cứng[2].
Trong [3] Bergounioux, Long và Đònh đã nghiên cứu bài toán (2.1)-(2.5) với
,2
11
==== qpqp
;0
0
=
λ
,),(
tt
uKuuuf
λ
+
=
trong đó ,0
0

≥K ,,
λ
K
11
,
λ
K
là các
hằng số cho trước và kg, là các hàm cho trước.
Trong [29] Long, Út và Trúc đã khảo sát sự tồn tại duy nhất nghiệm, sự ổn đònh
của nghiệm, tính chính quy theo biến thời gian và khai triển tiệm cận của nghiệm của
bài toán (2.1), (2.2) và (2.4)-(2.6) khi 2
00
=
=
=
=
qpqp và .),(
12
10
HHuu ×∈
Trong [30] Long và Giai đã thu được kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm và
khai triển tiệm cận nghiệm của bài toán (2.1), (2.2) và (2.4)-(2.6) khi ,2
=
= qp
2,
00
≥qp và .),(
21
10

LHuu ×∈ Trong trường hợp này, bài toán (2.1)-(2.5) là mô hình
toán học mô tả sự va chạm chứa một thanh đàn hồi nhớt phi tuyến.
Báo cáo phần II, gồm 4 mục chính: Trong mục 1, dưới các giả thiết ,),(
21
10
LHuu ×∈
),(
2
T
QLF ∈ ),,0(
1,1
TWk ∈ ),,0(
/
0
TLg
q
∈ ;1
101
=
=
=
=
λ
λ
λ
K ;0,
0
≥KK
,2,,,,
1100

≥qpqpp ,1>q
,
1
0
0
/
0
−
=
q
q
q
đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu ),( Pu
của bài toán (2.1)- (2.5) được chứng minh. Chứng minh được dựa vào phương pháp
Galerkin và compact yếu kết hợp với toán tử đơn điệu [N4]. Trong mục 2, với trường
hợp ,2
10
==qq ,2,,,
10
≥ppqp chúng tôi chứng minh rằng nghiệm duy nhất ),( Pu
nằm trong không gian hàm
),,0()];,0();,0();,0([
221102
THLTCHTCHTL ×∩∩
∞
với
),;,0(
1
HTLu
t

∞
∈ ),;,0(
2
LTLu
tt
∞
∈ ),,0(),1(),,0(
2
THuu ∈⋅⋅ nếu ta giả thiết thêm
12
10
),( HHuu ×∈ và các điều kiện khác [N4]. Trong mục 3, chúng tôi thu được một
khai triển tiệm cận của nghiệm
),( Pu
của bài toán (2.1)-(2.5) đến cấp 1+N theo


15

theo ba tham số bé .,,
0
KK
λ
[N4]. Trong mục 4, với ,2
110
==
=
=
=
qppqp ;0

0
=
λ

chúng tôi cũng thu được sự phụ thuộc tính trơn của nghiệm bài toán (2.1)-(2.5) (theo
biến thời gian) theo tính trơn của dữ kiện [N3]. Kết quả nầy là một sự tổng quát hóa
tương đối các kết quả trong [2, 3, 19, 22, 23, 29, 30] và đã được công bố trong [N3,
N4].

Thuyết minh Phần III. Phương trình parabolic phi tuyến chứa toán tử Bessel với điều
kiện biên hỗn hợp không thuần nhất.

Nội dung của phần nầy được công bố trong 01 bài báo [N5].

Trong phần này, chúng tôi xét bài toán giá trò biên và đầu cho phương trình
parabolic phi tuyến
(3.1) ),,(),())(( trfurFu
r
utau
rrrt
=++−
γ
,0,10 Ttr
<
<
<
<

(3.2) ,),(lim
2/

0
+∞<
+
→
trur
r
r
γ
,0)
~
),1()((),1(
0
=
−
+
ututhtu
r

(3.3) ),()0,(
0
ruru =
trong đó
0
~
,0 u>
γ
là hằng số cho trước, ),(),,(),(),( trfurFthta là các hàm cho trước.
Phương trình (3.1) được viết lại theo dạng
(3.4) ),,(),()(
)(

trfurF
r
u
r
rr
ta
t
u
=+
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
γ
γ

.0,10 Ttr
<
<
<
<

Với ,1=
γ
,0),( =urF bài toán mô tả dòng nhiệt đối xứng trục trong một hình trụ.
Với 2=
γ

và ,0),( =urF bài toán (3.2)-(3.4) trong tọa độ cầu trong
3
I
R mô tả tỉ
khối của giọt nhiên liệu lỏng bốc hơi bên trong một thùng rỗng vô hạn. Điều kiện biên
(3.2) liên kết với điều kiện Rankine-Hugoniot trên bề mặt của giọt sau khi thay đổi
bước nhảy [1].
Trong [35], Minasjan đã nghiên cứu một trường hợp riêng của bài toán (3.1),
(3.2) liên kết với điều kiện
−
T
tuần hoàn sau
(3.5)
),,()0,( Truru =
với
(3.6) ,1=
γ
,0),( =urF ,0
~
0
=u
và các hàm
),(),(),( trfthta là
−
T
tuần hoàn theo biến thời gian .t Ý nghóa vật lý của
bài toán (3.1), (3.2), (3.5), (3.6) mô tả dòng nhiệt tuần hoàn trong một hình trụ vô hạn
với giả sử rằng hình trụ phụ thuộc vào sự trao đổi nhiệt một cách tuần hoàn ở bề mặt
)1( =r
với môi trường bên ngoài có nhiệt độ zéro. Phía trong hình trụ, nguồn nhiệt đối

xứng trục và thay đổi một cách tuần hoàn. Minasjan [35] đã tìm một nghiệm cổ điển
của bài toán này bằng cách dùng biến đổi Fourier. Phương pháp này dẫn đến một hệ
giả chính quy vô hạn các phương trình đại số tuyến tính. Tuy nhiên tính giải được của
hệ này không được chứng minh chi tiết trong [35].


16

Trong [18] Lauerova đã chứng minh rằng với dữ kiện
−
T
tuần hoàn, bài toán
(3.1), (3.2), (3.5), (3.6) có một nghiệm yếu
−
T
tuần hoàn theo .t Trong trường hợp
(3.7)
,1=
γ
,0
~
0
=u ,0=f ),(uFF = ),(
1
IRCF ∈ ,)(
/
ε
−≥uF
0>
ε

đủ nhỏ, chúng tôi đã chứng minh rằng [21] bài toán (3.1), (3.2), (3.5) có duy
nhất một nghiệm yếu
−
T
tuần hoàn trong các không gian Sobolev có trọng thích hợp.
Hơn nữa, nghiệm này cũng phụ thuộc liên tục theo các hàm )(ta và ).(th
Trong báo cáo phần III, gồm 4 mục: Trong mục 1, dưới các điều kiện của
),(),( thta

),(),,( trfurF
chúng tôi chứng minh sự tồn tại của một nghiệm yếu duy
nhất )(tu trên khoảng ,0 Tt << với mỗi .0>T Trong mục 2, chúng tôi chứng minh
rằng nếu điều kiện đầu bò chận thì nghiệm cũng bò chận. Tức là nếu )1,0(
0
∞
∈ Lu thì
nghiệm
)).,0()1,0(( TLu ×∈
∞
Trong mục 3, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận
của nghiệm
)(tu khi .+∞→t Nếu giả thiết một số dữ kiện tiến về zêrô dạng mũ khi
,+∞→t chúng tôi chứng minh rằng nghiệm
)(tu
hội tụ khi ,
+
∞→t về một nghiệm
∞
u
của bài toán dừng tương ứng, với hiệu số

∞
−
utu )(
tiến về zêrô dạng mũ theo .t
Trong mục 4, cho một ví dụ minh họa với tính toán cụ thể. Cũng chú ý rằng các giả
thiết về số hạng phi tuyến 0),(
=
urF trong công trình của chúng tôi cũng khá rộng, nó
cũng chứa một số lớn các bài toán phi tuyến. Chẳng hạn nếu ta xét 2=
γ
( Laplace
trong tọa độ cầu trong
3
I
R ) và tất cả các hàm
F
thuộc loại
,)(
1
uuuF
−
=
α
.20
<
<
α

Kết quả nầy là một sự tổng quát hóa tương đối các kết quả trong [1, 18, 21, 35] và đã
được công bố trong [N5].

Thuyết minh Phần IV. Sự không tồn tại nghiệm dương của một số phương trình tích
phân phi tuyến kỳ dò.

Nội dung của phần nầy được công bố trong 01 bài báo [N6].

Chúng tôi xét sự không tồn tại nghiệm dương của phương trình tích phân phi
tuyến kỳ dò sau
(4.1)
,
))(,,(
)( dy
xy
yuyxg
bxu
N
IR
N
∫
−
=
σ

,
N
IRx ∈∀

trong đó
()
1

1
)1(2
−
+
−=
NN
Nb
ω
với
1+N
ω
là diện tích của mặt cầu đơn vò trong
,
1+N
IR

;2≥N

σ
là một hằng số dương cho trước với
,0 N
<
<
σ
và IRIRIRg
N
→×
+
2
: là

hàm liên tục cho trước thỏa điều kiện:

Tồn tại các hằng số
0,,,,
11
≥
γ
γ
β
β
α
và 0>M sao cho

(4.2)
αγ
γ
ββ
uyxyxMuyxg
−
−
++≥ )1()1(),,(
1
1
,,
N
IRyx ∈∀
,0≥
∀
u

và một số điều kiện phụ sau đó.


17

Trong trường hợp ,1
−
= N
σ
)),(,())(,,( yuygyuyxg
=
phương trình tích phân
(4.1) được thành lập từ bài toán Neumann phi tuyến sau đây

(4.3)
,0
1
1
==Δ
∑
+
=
N
i
xx
ii
vv ,
N
IRx ∈ ,0

1
>
+N
x
(4.4) )),0,(,()0,(
1
xvxgxv
N
x
=−
+
,
N
IRx ∈

mà giá trò biên
)0,()( xvxu = cùng với một số điều kiện phụ, là nghiệm của phương
trình tích phân
(4.5) ,
))(,(
)(
1
dy
xy
yuyg
bxu
N
IR
N
N

∫
−
−
=
.
N
IRx ∈∀
Trong [7] các tác giả Bunkin, Galaktionov, Kirichenko, Kurdyumov, Samarsky
đã nghiên cứu bài toán (4.3), (4.4) với 2
=
N và phương trình Laplace (4.3) ở dạng
tọa độ trụ
(4.6)
,0
1
=++
zzrrr
uu
r
u
,0,0 >
∀
>
∀
zr
và với điều kiện biên phi tuyến có dạng cụ thể như sau
(4.7)
),0,()/exp()0,(
2
0

2
0
rurrIru
z
α
+−=−
,0≥
∀
r
trong đó
α
,,
00
rI là các hằng số dương cho trước. Bài toán (4.6), (4.7) là bài toán dừng
của bài toán parabolic liên quan đến vấn đề đốt cháy bởi bức xạ. Trong trường hợp
20 ≤<
α
các tác giả trong [7] đã chứng minh rằng phương trình tích phân phi tuyến

(4.8)
()
,
cos2
)0,()/exp(
2
1
)0,(
22
2
0

2
0
2
0
0
θ
θ
π
π
α
rssr
d
sdssursIru
−+
+−=
∫∫
+∞
,0>∀r

liên kết với bài toán (4.6), (4.7) không có nghiệm dương. Sau đó, kết quả nầy đã được
mở rộng bởi Long, Ruy [32] cho điều kiện biên phi tuyến tổng quát

(4.9) )),0,(,()0,( rurgru
z
=−
.0≥
∀
r

Trong [31] bài toán (4.3), (4.4) được xét với
2
=
N
và hàm g là liên tục, không
giảm và bò chận dưới bởi một hàm lũy thừa bậc
α
đối với biến thứ ba. Chúng tôi đã
chứng minh rằng nếu 20 ≤<
α
bài toán như thế không có nghiệm dương.
Trong [5, 6] chúng tôi đã xét bài toán (4.3), (4.4) với
.3≥N Hàm số
++
→× IRIRIRg
N
: là liên tục, không giảm đối với biến
,u
thỏa điều kiện (4.2) với
0=
γ
và một số điều kiện phụ. Trong trường hợp ),1/(0
−
≤
≤
NN
α
2≥N chúng tôi
đã chứng minh rằng bài toán (4.3), (4.4) không có nghiệm dương[5, 6].
Trong [14, 15] các tác giả đã chứng minh sự không tồn tại nghiệm dương của

bài toán (4.3), (4.4) với


18

(4.10) .),(
α
uuxg =
Trong [15] Hu và Yin đã chứng minh với
),1/(1
−
<
≤
NN
α
,2≥N và trong [14]
Hu đã chứng minh với
),1/()1(1
−
+
<
< NN
α
.2≥N Cũng cần chú ý rằng hàm
α
uuxg =),(
không thỏa các điều kiện trong các bài báo [5, 31, 32].
Trong báo cáo nầy, chúng tôi xét phương trình tích phân phi tuyến (4.1) với
))(2/1(
11

γ
γ
β
β
−−++N },,min{
11
γ
γ
β
β
σ
−
−
+
+
<
< NN .2,0
11
≥>−
+
N
β
γ
σ

Hàm ),,( uyxg là liên tục thỏa điều kiện (4.2) mà (4.10) như là một trường hợp riêng.
Bằng chứng minh sơ cấp chúng tôi tổng quát hóa các kết quả trong [5-7, 9, 14, 15, 31
34] rằng nếu ),/()(0
11
β

γ
σ
γ
β
α
−
+
−+≤≤ N phương trình tích phân (4.1) không có
nghiệm dương liên tục. Kết quả nầy đã được công bố trong [N6].

19

06 BÀI BÁO CÔNG BỐ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU

[N1] Nguyen Thanh Long,
On the nonlinear wave equation
=−
xxxtt
uuutBu ),,(
22

),,,,,,(
22
xtx
uuuuutxf
associated with the mixed homogeneous conditions
, J.

Math. Anal. Appl. 306 (1) (2005) 243-268.
[N2] Nguyen Thanh Long,
Nonlinear Kirchhoff- Carrier wave equation in a unit
membrane with mixed homogemeous boundary conditions
, Electronic J. Differential
Equations, 2005, No. 138 (2005) Pages 1-18.
ISSN: 1072-6691. URL:
or .
[N3] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh, Tran Ngoc Diem,
On a shock
problem involving a nonlinear viscoelastic bar
, J. Boundary Value Problems, Hindawi
Publishing Corporation, 2005 (3) (2005) 337-358.
[
[ ]
[N4] Nguyen Thanh Long, Vo Giang Giai,
A nonlinear wave equation associated with
nonlinear boundary conditions: Existence and asymptotic expansion of solutions
,
Nonlinear Anal. TMA, Series A: Theory and Methods, (2206) (accepted for
publication).
[N5] Nguyen Thanh Long, Alain Pham Ngoc Dinh,
On a nonlinear parabolic equation
involving Bessel's operator associated with a mixed inhomogeneous condition
,
Comput. Appl. Math. 196 (1) (2006) 267-284.
[N6] Nguyen Thanh Long,
On the nonexistence of positive solution of some singular
nonlinear integral equations
, J. Inequalities and Applications, Hindawi Publishing

Corporation, (2006) Article ID 45043, Pages 1-10.
DOI: 10.1155/JIA/2006/45043
[ /> ].




















20

TAỉI LIEU THAM KHAO

[1] R. Alexandre, A. Pham Ngoc Dinh, A. Simon, N.T. Long,
A mathematical model for
the evaporation of a liquid fuel droplet inside an infinite vessel

, Nonlinear Analysis
and Applications: to V. Lakshmikantham on his 80th Birthday, vol. 1, Kluwer,
Dordrecht, 2003, pp. 117140.
[2] N.T. An, N.D. Trieu,
Shock between absolutely solid body and elastic bar with the
elastic viscous frictional resistance at the side
, J. Mech. NCSR. Vietnam, 13 (2) (1991)
1-7.
[3] M. Bergounioux, N.T. Long, A.P.N. Dinh,
Mathematical model for a shock problem
involving a linear viscoelastic bar
, Nonlinear Anal. 43 (2001) 547-561.
[4] D.T.T. Binh, A.P.N. Dinh, N.T. Long,
Linear recursive schemes associated with the
nonlinear wave equation involving Bessels operator
, Math. Comp. Modelling, 34
(2002) No. 5-6, 541-556.
[5] D. T. T. Binh, T. N. Diem, D. V. Ruy, and N. T. Long,
On nonexistence of positive
solution of a nonlinear Neumann problem in half-space
,
n
IR
+
Demonstratio Math. 31
(1998), No. 4, 773782.
[6] D. T. T. Binh and N. T. Long,
On the nonexistence of positive solution of Laplace
equation in half-space
n

IR
+

with a nonlinear Neumann boundary condition
,
Demonstratio Math. 33 (2000), No. 2, 365372.
[7] F. V. Bunkin, V. A. Galaktionov, N. A. Kirichenko, S. P. Kurdyumov, and A. A.
Samarski,
A nonlinear boundary value problem of ignition by radiation
, Akad. Nauk
SSSR. Zh. Vychi. Mat. iMat. Fiz. 28 (1988), No. 4, 549559, 623 (Russian),
translated in U.S.S.R. Comput. Math. and Math. Phys. 28 (1988), No. 2, 157164
(1989).
[8] G.F. Carrier,
On the nonlinear vibrations problem of elastic string
, Quart. J. Appl.
Math. 3 (1945) 157165.
[9] M. Chipot, I. Shafrir, and M. Fila,
On the solutions to some elliptic equations with
nonlinear Neumann boundary conditions
, Advances in Diff. Equ.1 (1996), No. 1, 91
110.
[10] A.P.N. Dinh,
Sur un probleứme hyperbolique faiblement non-lineựaire en dimension

1, Demonstratio Math. 16 (1983) 269289.
[11] A.P.N. Dinh, N.T. Long,
Linear approximation and asymptotic expansion
associated to the nonlinear wave equation in one dimension
, Demonstratio Math. 19

(1986) 4563.
[12] Y. Ebihara, L.A. Medeiros, M.M. Minranda,
Local solutions for a nonlinear
degenerate hyperbolic equation
, Nonlinear Anal. 10 (1986) 2740.
[13] M. Hosoya, Y. Yamada,
On some nonlinear wave equation I: Local existence and
regularity of solutions
, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. I A, Math. 38 (1991) 225238.
[14] B. Hu,
Nonexistence of a positive solution of the Laplace equation with a
nonlinear boundary condition
, J. Diff. and Int. Equ. 7 (1994), No. 2, 301313.


21

[15] B. Hu and H. M. Yin,
The profile near blowup time for solution of the heat
equation with a nonlinear boundary condition
, Transactions of AMS. 346 (1994), No. 1,
117–135.
[16] G.R. Kirchhoff,
Vorlesungen über Mathematiche Physik: Mechanik
, Teuber,
Leipzig, 1876, Section 29.7.
[17] N.A. Larkin,
Global regular solutions for the nonhomogeneous Carrier equation
,
Math. Prob. Engrg. 8 (2002) 15–31.

[18] D. Lauerova,
The existence of a periodic solution of a parabolic equation with the
Bessel operator
, Aplikace Matematiky 29 (1) (1984) 40–44.
[19] N.T. Long, A.P.N. Dinh,
On the quasilinear wave equation
:

),(
ttt
uufuu +Δ−

0=
associated with a mixed nonhomogeneous condition
, Nonlinear Anal. 19 (1992),
No.7, 613-623.
[20] N.T. Long, et al.,
On the nonlinear vibrations equation with a coefficient
containing an integral
, Comp. Math. Math. Phys. 33 (1993) 1171–1178.
[21] N.T. Long, A.P.N. Dinh,
Periodic solutions of a nonlinear parabolic equation
involving Bessel’s operator
, Comput. Math. Appl. 25 (1993) 11–18.
[22] N.T. Long, A.P.N. Dinh,
A semilinear wave equation associated with a linear
differential equation with Cauchy data
, Nonlinear Anal. 24 (1995) 1261-1279.
[23] N.T. Long, T.N. Diem,
On the nonlinear wave equation

xxtt
uu
−

),,,,(
tx
uuutxf=
associated with the mixed homogeneous conditions
, Nonlinear Anal.
29 (1997) 1217–1230.
[24] N.T. Long, T.M. Thuyet,
On the existence, uniqueness of solution of the nonlinear
vibrations equation
, Demonstratio Math. 32 (1999) 749–758.
[25] N.T. Long, A.P.N. Dinh, D,T,T. Binh,
Mixed problem for some semilinear wave
equation involving Bessel’s operator
, Demonstratio Math. 32 (1999), No. 1, 77-94.
[26] N.T. Long, P.N.D. Alain, T.N. Diem,
Linear recursive schemes and asymptotic
expansion associated the Kirchhoff–Carrier operator
, J. Math. Anal. Appl. 267 (2002)
116–134.
[27] N.T. Long,
On the nonlinear wave equation

xxxtt
uutBu ),(
2

−

),,,,(
tx
uuutxf=

associated with the mixed homogeneous conditions
, J. Math. Anal. Appl. 274 (2002)
102–123.
[28] N.T. Long,
Asymptotic expansion of the solution for nonlinear wave equation with
the mixed homogeneous conditions
, Nonlinear Anal. 45 (2001) 261–272.
[29] N.T. Long, L.V. Ut, N.T.T. Truc,
On a shock problem involving a linear
viscoelastic bar
, Nonlinear Anal. 63 (2) (2005) 198-224.
[30] N.T. Long, V.G. Giai,
A wave equation associated with mixed nonhomogeneous
conditions: Global existence and asymptotic expansion of solutions
, Nonlinear Anal.
TMA. Series A: Theory and Methods (in press).
[31] N. T. Long and D. T. T. Binh,
On the nonexistence of positive solution of a
nonlinear integral equation
, Demonstratio Math. 34 (2001), No. 4, 837–845.


22

[32] N. T. Long and D. V. Ruy,
On a nonexistence of positive solution of Laplace
equation in upper half-space with Cauchy data
, Demonstratio Math. 28 (1995), No. 4,
921–927.
[33] N. T. Long and D. V. Ruy,
On the nonexistence of positive solution of some
nonlinear integral equation
, Demonstratio Math. 36 (2003), No. 2, 393–404.
[34] D. V. Ruy, N. T. Long, and D. T. T. Binh,
On a nonexistence of positive solution of
Laplace equation in upper half-space
, Demonstratio Math. 30 (1997), No. 1, 7–14.
[35] R.S. Minasjan,
On one problem of the periodic heat flow in the infinite cylinder
,
Dokl. Akad. Nauk. Arm. SSR. 48 (1969).
[36] L.A. Medeiros,
On some nonlinear perturbation of Kirchhoff–Carrier operator
,
Comp. Appl. Math. 13 (1994) 225–233.
[37] L.A. Medeiros, J. Limaco, S.B. Menezes,
Vibrations of elastic strings:
Mathematical aspects
,
Part one
, J. Comput. Anal. Appl. 4 (2) (2002) 91–127.
[38] L.A. Medeiros, J. Limaco, S.B. Menezes,
Vibrations of elastic strings:
Mathematical aspects

,
Part two
, J. Comput. Anal. Appl. 4 (3) (2002) 211–263.
[39] E.L. Ortiz, P.N.D. Alain,
Linear recursive schemes associated with some nonlinear
partial differential equations in one dimension and the Tau method
, SIAM J. Math.
Anal. 18 (1987) 452–464.
[40] S.I. Pohozaev,
On a class of quasilinear hyperbolic equation
, Math. USSR Sb. 25
(1975) 145–158.