Luận án tiến sĩ toán học: Sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin trong bài tóan biên phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




TRẦN NGỌC DIỄM





SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ
GALERKIN VÀO MỘT SỐ
BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN



LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2005





ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN




TRẦN NGỌC DIỄM


SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ
GALERKIN VÀO MỘT SỐ

BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN




Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số : 1. 01. 01



LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. TS. Nguyễn Thành Long
Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh.

2. GS.TS.
Alain Phạm Ngọc Đònh

Đại học Tổng hợp Orléans, Pháp.





Thành phố Hồ Chí Minh - 2005






LỜI CAM ĐOAN


Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số
liệu, các kết quả của luận án là trung thực và chưa từng được ai công
bố trong bất kỳ một công trình nào khác.

Tác giả luận án



Trần Ngọc Diễm

LÔØI CAÛM ÔN

MỤC LỤC
Trang

MỤC LỤC 0

PHẦN MỞ ĐẦU 1
Chương 0: Một số công cụ chuẩn bò 15
Chương 1: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng:
),,,,(
txxxtt
uuutxfuu =−
19
1.1. Giới thiệu.
1.2. Các ký hiệu và giả thiết.
1.3. Xấp xỉ tuyến tính cho phương trình sóng phi tuyến.
1.4. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán với điều kiện biên thuần nhất.
1.5. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán với điều kiện biên không thuần
nhất.
1.6. Giới thiệu.
1.7. Khai triển tiệm cận của nghiệm theo tham số bé
ε
đến cấp 1.
1.8. Khai triển tiệm cận của nghiệm theo tham số bé
ε
đến cấp N+1.
Chương 2: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng:
),(),( txfuuFuu
txxtt
=+− 49
2.1. Giới thiệu.
2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán.
2.3. Sự tuỳ thuộc tính trơn của nghiệm theo các dữ kiện.
2.4. Khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số.
Chương 3: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff-Carrier 74
3.1. Giới thiệu.

3.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán.
3.3. Khai triển tiệm cận của nghiệm theo tham số bé
ε
đến cấp 1.
3.4. Khai triển tiệm cận của nghiệm theo tham số bé
ε
đến cấp 2.

Chương 5: Kết luận 95
Danh mục các công trình của tác giả 99
Tài liệu tham khảo 100


1
PHẦN MỞ ĐẦU

Các bài toán biên phi tuyến xuất hiện trong Khoa học ứng dụng ( Vật lý,
Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật,…) rất phong phú và đa dạng. Đây là nguồn đề tài mà
rất nhiều nhà Toán học từ trước đến nay quan tâm nghiên cứu. Hiện nay các công
cụ của Giải tích hàm phi tuyến đã xâm nhập vào từng bài toán biên phi tuyến cụ
thể ở một mức độ nào đó. Tổng quát, chúng ta không có một phương pháp toán
học chung để giải quyết cho mọi bài toán biên phi tuyến. Các yếu tố phi tuyến
xuất hiện trong bài toán có ảnh hưởng không nhỏ đến việc chọn lựa các phương
pháp toán học để giải quyết. Do đó các bài toán biên phi tuyến ở trên cũng chưa
giải hoặc chỉ giải được một phần tương ứng với số hạng phi tuyến cụ thể nào đó.
Bởi vậy, tôi cho rằng đề tài nghiên cứu ở đây là cần thiết, có ý nghóa lý luận và
thực tiển.
Trong luận án nầy chúng tôi muốn sử dụng các phương pháp của Giải tích
hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn điệu,
phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với các đònh lý điểm bất đọâng, phương

pháp khai triển tiệm cận… nhằm khảo sát một số bài toán biên có liên quan đến
các vấn đề trong Khoa học ứng dụng. Chẳng hạn như các phương trình sóng phi
tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán
mô tả dao độâng của một vật đàn hồi với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại
biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tựa trên một
nền đàn nhớt.
Trong luận án nầy chúng tôi trình bày 3 nội dung tương ứng với 3 bài toán
và sẽ được phân bố theo 3 chương chính. Sau đây là phần giới thiệu lần lượt 3 bài
toán nói trên.


2
Bài toán thứ nhất
đề cập đến phương trình sóng phi tuyến ở một dạng
tương đối tổng quát:

),,,,,(
txxxtt
uuutxfuu =− ,0),1,0( Ttx
<
<
=
Ω
∈
(0.1)
liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất

⎩
⎨
⎧

=+
=−
),(),1(),1(
),(),0(),0(
11
00
tgtuhtu
tgtuhtu
x
x
(0.2)
và điều kiện đầu

),(
~
)0,(),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t
=
=
(0.3)
Bài toán nầy có nhiều ý nghóa trong Cơ học, Vật lý học, đã được đề cập
nhiều trong các công trình nghiên cứu của nhiều tác giả từ trước đến nay và trong
các tài liệu tham khảo trong đó. (xem [1, 2, 8, 9, 11-13, 16, 19, 21, 25, 32, 37, 41,
D2]). Phương trình (0.1) với số hạng phi tuyến
),,,,(
tx

uuutxf có các dạng khác
nhau và các dạng điều kiện biên khác nhau đã được khảo sát ở nhiều khía cạnh
khác nhau bởi nhiều tác giả. Chẳng hạn, chúng tôi có thể nêu ra như sau:
Ficken và Fleishman [16] đã thiết lập kết quả tồn tại, duy nhất và ổn đònh
nghiệm của phương trình

,2
3
21
buuuuu
txxtt
+=−+−
εαα

0>
ε
là tham số bé. (0.4)
Rabinowitz [41] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương
trình

),,,,,(2
1 txtxxtt
uuutxfuuu
ε
α
=
+
−
(0.5)
0>

ε
là tham số bé và f là hàm tuần hoàn theo thời gian.
Trong [8], Caughey và Ellison đã hợp nhất các trường hợp trước đó để bàn về tồn
tại, duy nhất và ổn đònh tiệm cận của các nghiệm cổ điển cho một lớp các hệ
động lực liên tục phi tuyến.
Alain P.N. Đònh [11] và Ortiz, Alain P.N. Đònh [37] đã nghiên cứu sự tồn


3
tại và dáng điệu tiệm cận khi
0→
ε
của nghiệm yếu bài toán (0.1), (0.3) liên kết
với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất

,0),1(),0(
=
=
tutu (0.6)
trong đó số hạng phi tuyến có dạng

).,(
1
utff
ε
= (0.7)
Bằng sự tổng quát hóa của [11, 37], trong [12] đã xét bài toán (0.1), (0.3),
(0.6) với số hạng phi tuyến có dạng

).,,(

1 t
uutff
ε
=
(0.8)
Nếu
)),0[(
2
1
IRCf
N
×∞∈
thỏa
0)0,0,(
1
=
tf

,0≥
∀
t
các tác giả trong [12] đã thu
được một khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (0.1), (0.3), (0.6), (0.7) đến cấp
1+N theo ,
ε
với
ε
đủ nhỏ. Kết quả nầy đã nới rộng kết quả từ phương trình vi
phân thường sang phương trình đạo hàm riêng (xem[6]).
Đối với bài toán giá trò biên và ban đầu (0.1)-(0.3), cũng được nhiều tác

giả quan tâm nghiên cứu ở nhiều dạng khác nhau tương ứng với các dạng của số
hạng phi tuyến
),,,,(
tx
uuutxf
. Thậm chí điều kiện biên (0.2) có thể được thay
thế bởi các dạng điều kiện biên khác phức tạp hơn. Chẳng hạn, chúng tôi có thể
kể ra một số trường hợp như sau:
Trong [2], Đ.Đ. Áng, Alain P.N. Đònh đã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất
nghiệm toàn cục của bài toán (0.1), (0.3) tương ứng với

,)(
1
ttt
uuuff
−
−==
α
,10
<
<
α
(0.9)
và điều kiện biên

.0),1(),(),0(
0
=
=
tutgtu

x
(0.10)
Bài toán (0.1), (0.3), (0.9), (0.10) mô tả chuyển động của một thanh đàn hồi nhớt.
Trong [21], N.T. Long, Alain P.N. Đònh đã nới rộng nghiên cứu [2] bằng
cách xét bài toán (0.1), (0.3) tương ứng với


4

),,(
t
uuff =
(0.11)
và điều kiện biên
),(),0(),0(
00
tgtuhtu
x
=
− ,0),1(
=
tu (0.12)
mà (0.9) là một trường hợp riêng.
Alain P.N. Đònh, N.T. Long trong [13], bằng cách xét bài toán (0.1), (0.3)
với và điều kiện biên phi tuyến
),()),0((),0(
0
tgtuHtu
x
=−

,0),1(
=
tu
(0.13)
tương ứng với
f
có dạng (0.9) hoặc (0.11).
Bài toán (0.1), (0.3), (0.11) cũng đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả
khác nhau tương ứng với nhiều loại điều kiện biên khác nhau có ý nghóa cơ học
nhất đònh, chẳng hạn như
Trong [1], N.T. An và N.Đ. Triều và trong [23] N.T. Long, Alain P.N.
Dinh đã xét bài toán (0.1), (0.3) với
),(
t
uuff
=
liên kết với điều kiện biên

,0),1(),(),0(
=
=
tutPtu
x
(0.14)
trong đó ẩn hàm
),( txu và giá trò biên chưa biết )(tP thỏa bài toán Cauchy cho
phương trình vi phân thường như sau

),,0()()(

0
2//
tuhtPtP
tt
=+
ω
,0 Tt
<
<
(0.15)

,)0(,)0(
1
/
0
PPPP == (0.16)
trong đó
10
,,0,0 PPh ≥>
ω
là các hằng số cho trước.[1, 23].
Trong [1] đã nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của bài toán (0.1), (0.3),
(0.14)-(0.16) với
0
~
~
010
=
== Puu và

,),(
tt
uKuuuf
λ
+= (0.17)
trong đó
λ
,K là các hằng số cho trước. Trong trường hợp nầy bài toán (0.1), (0.3),


5
(0.14) -(0.17) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một
thanh đàn nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng [1].
Chú ý rằng từ (0.15), (0.16),
)(tP được biểu diễn theo ),0(,,,,
10
tuhPP
tt
ω
và
sau đó tích phân từng phần, khi đó
)(tP có dạng

,),0()(),0()()(
0
00
∫
−−+=
t
dssustktuhtgtP

(0.18)
trong đó

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−+−=
.sin)(
,
sin
))0(
~
(cos))0(
~
()(
0
1010000
thtk
t
uhPtuhPtg
ωω
ω
ω
ω
(0.19)
Bằng cách khử bớt một ẩn hàm
)(tP

thì điều kiện biên (0.2) có dạng

,),0()(),0()(),0(
0
00
∫
−−+=
t
x
dssustktuhtgtu .0),1(
=
tu (0.20)
Trong [5], Bergounioux, N.T. Long, Alain P. N. Đònh đã xét bài toán (0.1),
(0.3), (0.17) liên kết với điều kiện biên

,),0()()(),0(),0(
0
00
∫
−−+=
t
x
dssustktgtuhtu (0.21)

,0),1(),1(),1(
11
=
+
+ tutuhtu
tx

λ
(0.22)
trong đó
101
,,,, hhK
λ
λ
là các hằng số không âm. Trong trường hợp nầy, bài toán
mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tựa trên một nền đàn
nhớt với ràng buộc đàn hồi tuyến tính tại bề mặt, các ràng buộc liên kết với một
lực cản ma sát nhớt.
Trong [9], N.T. Long, T.N. Diễm, đã xét bài toán (0.1)-(0.3) với

,0)()(
10
=
=
tgtg (0.23)
và
).),0[]1,0([
31
IRCf ×+∞×∈ Trong trường hợp nầy, chúng tôi sử dụng một sơ đồ
xấp xỉ tuyến tính, kết hợp với phương pháp Galerkin và compact để thiết lập


6
nghiệm yếu của bài toán (0.1) - (0.3), (0.23). Nếu số hạng phi tuyến
),,,,(
tx
uuutxf trong vế phải của (0.1) được thay bởi

),,,,,(),,,,(),,,,(
10 txtxtx
uuutxfuuutxfuuutxf
ε
+
= (0.24)
với
),),0[]1,0([
32
0
IRCf ×+∞×∈ )),0[]1,0([
31
1
IRCf ×+∞×∈ thì chúng tôi thu được
trong [9] một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu
ε
u của bài toán (0.1)-(0.3),
(0.23), (0.24) đến cấp 2 theo
ε
như sau:

),(
2
10
εε
ε
Ouuu ++= với
ε
đủ nhỏ,

theo nghóa

,
2
);,0(
10
);,0(
10
21
εεε
εε
Cuuuuuu
LTLHTL
≤−−+−−
∞∞
&&&
(0.25)
với
C
là hằng số độc lập với
.
ε
Kết quả nầy đã được công bố trong [9].
Kết quả [9] cũng được nới rộng cho bài toán (0.1)-(0.3) cho trường hợp
,0
0
≡
/
g

.0
1
≡
/
g
Nếu với
),),0[]1,0([
31
0
IRCf
N
×+∞×∈
+
),),0[]1,0([
3
1
IRCf
N
×+∞×∈ thì chúng
tôi thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu
ε
u
của bài toán (0.1) - (0.3),
(0.24) đến cấp
1+N
theo
ε
như sau:

),(

1
0
+
=
+=
∑
N
N
i
i
i
Ouu
εε
ε
với
ε
đủ nhỏ, (0.26)
theo nghóa

,
1
);,0(
0
);,0(
0
21
+
==
≤−+−
∞∞

∑∑
N
LTL
N
i
i
i
HTL
N
i
i
i
Cuuuu
εεε
εε
&&
(0.27)
với
C là hằng số độc lập với .
ε
Kết quả nầy đã được công bố trong [D2].

Bài toán thứ hai
mà chúng tôi muốn đề cập là bài toán (0.1), (0.3), (0.21),
(0.22) với

,),(
22
ttt
uuuuKuuf

−−
+=
βα
λ
(0.28)
trong đó
,2,2 ≥≥
β
α
λ
,K là các hằng số không âm cho trước. Trong trường hợp


7
nầy bài toán (0.1), (0.3), (0.21), (0.22), (0.28) là mô hình toán học mô tả sự va
chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt phi tuyến tựa trên một nền đàn
hồi nhớt[1]. Chúng tôi cũng thu được sự tồn tại nghiệm toàn cục của bài toán.
Kết quả nầy đã mở rộng kết quả của Bergounioux, N.T. Long, Alain P. N. Đònh
[5] với trường hợp
.2
=
=
β
α
Mặt khác, nếu ,2
=
=
β
α
chúng tôi cũng thu được

tính trơn của nghiệm tùy thuộc vào tính trơn của dữ kiện cũng được khảo sát.
Phần cuối của chương nầy chúng tôi chứng minh nghiệm
),( Pu
của bài toán (0.1),
(0.3), (0.21), (0.22), (0.28) với
,2
=
=
β
α
có được một khai triển tiệm cận cấp
1+N theo theo hai tham số
λ
,K như sau:
(
)
,
1
22
,
21
21
21
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=

+
≤+
∑
N
N
KOKuu
λλ
γγ
γγ
γγ
(0.29)
(
)
,
1
22
,
21
21
21
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
+
≤+
∑

N
N
KOKPP
λλ
γγ
γγ
γγ
(0.30)
theo nghóa

(
)
,
),1(),1(
1
22
1
),0(
,
);,0(
,
);,0(
,
2
21
21
21
2
21
21

21
1
21
21
21
+
≤+
≤+≤+
+≤
⋅−⋅+
−+−
∑
∑∑
∞∞
N
TL
N
LTL
N
HTL
N
KC
Kuu
KuuKuu
λ
λ
λλ
γγ
γγ
γγ

γγ
γγ
γγ
γγ
γγ
γγ
&&
&&
(0.31)

và
(
)
,
1
22
2
]),0([
,
21
21
21
+
≤+
+≤−
∞
∑
N
TC
N

KCKPP
λλ
γγ
γγ
γγ
(0.32)
với
21
, CC là hằng số độc lập với
λ
,K . Kết quả thu được ở đây cũng đã mở rộng
và chứa đựng các kết quả trong [1, 2, 5, 25] như là trường hợp riêng. Kết quả nầy
đã được công bố trong [D3].


8

Bài toán thứ ba
mà chúng tôi muốn đề cập là phương trình sóng phi tuyến
chứa toán tử Kirchhoff-Carrier

),,,,,()(
2
ttt
uuutxfuuBu ∇=Δ∇−
,0, Ttx
<
<
Ω
∈

(0.33)

0=u trên ,
Ω
∂
(0.34)

),(
~
)0,(
0
xuxu = ),(
~
)0,(
1
xuxu
t
=
(0.35)
trong đó, số hạng phi tuyến
)(
2
uB ∇
là một hàm phụ thuộc vào tích phân

∫
∑
∫
Ω
=

Ω
∂
∂
=∇=∇ .),(),()(
1
2
22
N
i
i
dxtx
x
u
dxtxutu
(0.36)
Phương trình (0.33) được tổng quát hoá từ phương trình mô tả dao động phi
tuyến của một dây đàn hồi

,),(
2
0
2
0 xx
L
tt
udyty
y
u
L
Eh

Puh
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=
∫
ρ
,0,0 TtLx <
<
<
<
(0.37)
ở đây
u là độ võng,
ρ
khối lượng riêng, h là thiết diện,
L
là chiều dài sợi dây ở
trạng thái ban đầu,
E
là môđun Young và
0
P lực căng lúc ban đầu. Xem[18,

Kirchhoff].
Về nguồn gốc của phương trình (0.37), chúng tôi đã tìm được một bài báo
đã công bố năm 1876 của Kirchhoff [18] thì đúng là Kirchhoff đã thiết lập
phương trình mô tả dao động phi tuyến của một dây đàn hồi có dạng (0.37).
Trong khi đó chúng tôi cũng tìm được một bài báo [7] đã công bố năm 1945 của
Carrier [7] thì phương trình không phải thuộc dạng (0.37), mà là dạng

,),(
0
2
10 xx
L
tt
udytyuPPu
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
∫
,0,0 TtLx
<
<
<
<
(0.38)

trong đó
10
, PP là các hằng số dương. Tuy vậy trong nhiều tài liệu sau nầy[15, 17,
27, 34, 44, D1] vẫn gọi (0.37) là phương trình sóng chứa toán tử Carrier hoặc
ghép tên chung và gọi là phương trình sóng chứa toán tử Kirchhoff-Carrier.


9
Khi ,0=f bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho phương trình (0.33) đã được
nghiên cứu bởi nhiều tác giả; chẳng hạn như:
+ Ebihara, Medeiros và Miranda[15];
+ Pohozaev[38];
+ Yamada[44];
+ Medeiros [34] đã nghiên cứu bài toán (0.33) - (0.35) với
,
2
buf −= trong
đó
b
là hằng số dương cho trước,
Ω
là một tập mở bò chận của ,
3
IR và các tài
liệu tham khảo ở đó. Gần đây một bài báo tổng quan các kết quả về khía cạnh
toán học liên quan đến mô hình Kirchhoff có thể tìm thấy trong [35, 36] bởi L.A.
Medeiros, J. Limaco, S.B. Menezes, và [43] bởi T.N. Rabello, M.C.C. Vieira,
C.L. Frota, L.A. Medeiros.
+ Hosoya và Yamada[17] đã xét (0.33) với
,)( uuuff

α
δ
−== trong đó
,0>
δ
0≥
α
là các hằng số dương cho trước;
+ Dmitriyeva[10] nghiên cứu bài toán hai chiều

⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
==
Ω∂=
∂
∂
=
<<×∈
=+Δ∇−Δ+
∑
=
),(
~

)0,(),(
~
)0,(
,0
,0),,0(),0(
),,(
10
2
1
2
2
2
2
xuxuxuxu
x
u
u
Ttx
txFuuuuu
t
i
i
i
ttt
trên
ν
ππ
ελ
(0.39)
trong đó,

ν
là pháp tuyến đơn vò trên biên
Ω
∂
hướng ra ngoài, ),,cos(
ii
ox
ν
ν
=
,6/
22
h
πλ
= với
ε
,h là các hằng số dương. Trong trường hợp nầy, bài toán mô tả
dao động phi tuyến của một bản hình vuông có tải trọng tónh.
+ N.T. Long và các tác giả [22] đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của bài toán


10

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨

⎧
==
Ω∂=
∂
∂
=
×Ω∈=+Δ∇−Δ+
−
),(
~
)0,(),(
~
)0,(
,,0
),,0(),(),,()(
10
12
2
xuxuxuxu
u
u
TtxtxFuuuuBuu
t
tttt
trên
ν
ελ
α
(0.40)
trong đó

10,0,0
<
<>>
α
ε
λ
là các hằng số cho trước.
+ Bằng sự tổng quát hoá của [22], N.T. Long và T.M. Thuyết [24] đã
nghiên cứu bài toán

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
==
Ω∂=
∂
∂
=
×Ω∈=+Δ∇−Δ+
),(
~
)0,(),(
~
)0,(
,,0
),,0(),(),,(),()(

10
2
2
xuxuxuxu
u
u
TtxtxFuufuuBuu
t
ttt
trên
ν
λ
(0.41)
Trong [D1], chúng tôi đã dùng phương pháp xấp xỉ tuyến tính để chứng
minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
==
==
<<=Ω∈=−
),(
~
)0,(),(
~

)0,(
,0),1(),0(
,0),1,0(),,,,,()(
10
2
xuxuxuxu
tutu
TtxuuutxfuuBu
t
txxxxtt
(0.42)
trong đó
),1,0(
~
),1,0(
~
1
1
2
0
HuHu ∈∈ ,0),(
0
1
>≥∈
+
bBIRCB ),),0[]1,0([
30
IRCf ×∞×∈
thỏa điều kiện
)),0[]1,0([,,,

30
IRC
u
f
u
f
u
f
x
f
x
×∞×∈
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
&
và một số điều kiện phụ.
Điều nầy không cần phải giả thiết
)),0[]1,0([
31
IRCf ×∞×∈ như một số các công
trình trước đó đã làm, chẳng hạn như [9, 12]. Sau đó, nếu
),(),(
1
1

2
0
++
∈∈ IRCBIRCB
,0,0
100
≥>≥ BbB
),),0[]1,0[(
32
0
IRCf ×∞×∈

1
1
Cf ∈
),),0[]1,0([
3
IR×∞× và một số điều kiện phụ cho ,,
10
ff chúng tôi thu được từ bài
toán bò nhiễu


11

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

⎨
⎧
==
==
<<=Ω∈+
=+−
),(
~
)0,(),(
~
)0,(
,0),1(),0(
,0),1,0(),,,,,(
),,,,(])()([
10
1
0
2
1
2
0
xuxuxuxu
tutu
Ttxuuutxf
uuutxfuuBuBu
t
tx
txxxxxtt
ε
ε

(0.43)
một nghiệm yếu
),( txu
ε
có khai triển tiệm cận đến cấp 2 theo ,
ε
với
ε
đủ nhỏ,
theo nghóa
,
2
);,0(
10
);,0(
10
21
εεε
εε
Cuuuuuu
LTLHTL
≤−−+−−
∞∞
&&&
với
C
là hằng số độc
lập với
.
ε

Kết quả nầy đã được công bố trong [D1]. Mặt khác kết quả nầy cũng
được phát triển và quan tâm theo nhiều khía cạnh khác nhau, xem[27-30, 32, 33,
39, 40, 43].
Nội dung của luận án bao gồm phần mở đầu, chương bổ túc công cụ
(chương 0), 3 chương chính (chương 1-3), chương kết luận, cuối cùng là danh mục
các công trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo.
Phần mở đầu nhằm giới thiệu tổng quát về các bài toán trong luận án và nêu ra
các kết quả trước đó, đồng thời giới thiệu tóm tắt nội dung chính trong các
chương tiếp theo.
Chương 0 nhằm giới thiệu một số kết quả chuẩn bò, các ký hiệu và các không
gian hàm thông dụng. Một số kết quả về phép nhúng compact cũng được nhắc lại
ở đây.
Ba chương chính của luận án bao gồm
Chương 1: Chương này được chia làm hai phần chính.
Phần 1: Trong phần này chúng tôi khảo sát phương trình sóng phi tuyến
thuộc dạng:

),,,,,(
txxxtt
uuutxfuu =−
,0),1,0( Ttx
<
<
=
Ω
∈
(0.44)
liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất

),(),0(),0(

00
tgtuhtu
x
=
− ),(),1(),1(
11
tgtuhtu
x
=
+
(0.45)
và điều kiện đầu


12

),(
~
)0,(),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t
=
=
(0.46)
với
10
, hh là các hằng số không âm cho trước, số hạng phi tuyến f cũng là hàm

cho trước thuộc lớp
).),0[]1,0([
31
IRC ×∞×
Trong phần này, ta sẽ thiết lập một đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu
của bài toán (0.44) – (0.46) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với
phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu. Các kết quả của phần nầy
tổng quát hóa các kết quả trong [9,11, 12, 37] và đã được công bố trong [D2]. Ta
cũng lưu ý rằng phương pháp tuyến tính hoá được sử dụng ở đây không áp dụng
được cho [13, 14, 21, 22].
Phần 2: Trong phần này chúng tôi nghiên cứu khai triển tiệm cận theo tham
số bé
ε
của nghiệm bài toán sau đây

),,,,,(
txxxtt
uuutxFuu
ε
=− ,0),1,0( Ttx
<
<
=
Ω
∈
(0.47)

),(),0(),0(
00
tgtuhtu

x
=
− ),(),1(),1(
11
tgtuhtu
x
=
+
(0.48)

),(
~
)0,(),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t
=
= (0.49)

),,,,,(),,,,(),,,,(
10 txtxtx
uuutxfuuutxfuuutxF
ε
ε
+
=
(0.50)
Nếu

)),,0([,
3
10
∞∈Cgg )),0[(
31
0
IRCf
N
×∞×Ω∈
+
và )),0[(
3
1
IRCf
N
×∞×Ω∈
chúng tôi thu được khai triển tiệm cận của nghiệm yếu bài toán (0.47)- (0.50) đến
cấp
1+N
theo tham số bé
ε
như sau

)(
1
0
+
=
+=
∑

N
N
i
i
i
Ouu
εε
ε

theo nghóa

.
1
);,0(
0
);,0(
0
21
+
==
≤−+−
∞∞
∑∑
N
LTL
N
i
i
i
HTL

N
i
i
i
Cuuuu
εεε
εε
&&

Kết quả phần nầy đã mở rộng kết quả trong [6, 9,11, 12] và đã được công bố
trong [D2].


13
Chương 3: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng:

),,(),( txfuuFuu
txxtt
=
+− ,0),1,0( Ttx
<
<
=
Ω
∈
(0.51)
liên kết với các điều kiện biên

,),0()()(),0(),0(
0

∫
−−+=
t
x
dssustktgthutu
(0.52)

,0),1(),1(),1(
11
=
+
+ tutuKtu
tx
λ
(0.53)
và điều kiện đầu

),()0,(),()0,(
10
xuxuxuxu
t
=
=
(0.54)

,),(
22
ttt
uuuuKuuF
−−

+=
βα
λ
(0.55)
trong đó
10
,,,, uugkf là những hàm cho trước;
11
,,,,,2,2 KKh
λ
λ
β
α
≥≥
là các
hằng số không âm cho trước. Chúng tôi cũng thu được sự tồn tại nghiệm toàn cục
của bài toán cho trường hợp phi tuyến(
2,2 ≥≥
β
α
).
Trong trường hợp
,2
=
=
β
α
chúng tôi cũng thu được tính trơn của nghiệm
tùy thuộc vào tính trơn của dữ kiện
10

,,,, uugkf cũng được khảo sát. Phần cuối
của chương nầy chúng tôi vẫn với
,2
=
=
β
α
chúng tôi chứng minh rằng
nghiệm
),( Pu của bài toán (0.51)- (0.55) có một khai triển tiệm cận đến cấp 1
+
N
theo theo hai tham số
λ
,K và có các đánh giá như (0.31), (0.32). Một phần kết
quả chương nầy đã mở rộng kết quả trong [5] và được công bố trong [D3].
Chương 4: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff-Carrier

),,,,,()(
2
ttt
uuutxfuuBu ∇=Δ∇−
,0),1,0( Ttx <
<
=
Ω
∈
(0.56)

,0),1(),0(

=
= tutu
(0.57)

),(
~
)0,(),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t
=
= (0.58)
trong đó,
)(
2
uB ∇ là số hạng phi tuyến ở vế trái phụ thuộc vào tích phân


14

∫
∑
∫
Ω
=
Ω
∂
∂

=∇=∇ .),(),()(
1
2
22
N
i
i
dxtx
x
u
dxtxutu
(0.59)

Trong chương này, bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương
pháp Galerkin và phương pháp compact yếu, chúng tôi thu được đònh lý tồn tại
và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (0.56)–(0.59), sau đó, nếu
),(
2
0 +
∈ IRCB ),(
1
1
+
∈ IRCB
,0
00
>≥ bB
,0
1
≥B ),),0[]1,0[(

32
0
IRCf ×∞×∈
)),0[]1,0([
31
1
IRCf ×∞×∈ và một số điều kiện phụ cho
,,
10
ff
chúng tôi thu được
từ bài toán bò nhiễu (0.43) một nghiệm yếu
),( txu
ε
có khai triển tiệm cận đến
cấp 2 theo
,
ε
với
ε
đủ nhỏ. Các kết quả của chương nầy tổng quát hơn các kết
quả trong [9,11, 12, 37] và đã được công bố trong [D1, D2].
Các kết quả của luận án trên đây đã được công bố trong ([D1]-[D4]) và đã
tham gia báo cáo trong các hội nghò
- Tối ưu và điều khiển, tại Qui Nhơn (27/5 - 1/6/1996),
- Hội thảo Toán Học Việt-Pháp, tại Thành phố Hồ Chí Minh (3 - 8/3/1997),
- Hội nghò Toán Học Việt Nam toàn quốc lần 5, tại Hà Nội (17 -
20/9/1997).
- Hội nghò Toán Học Việt Nam toàn quốc lần thứ 6, Huế, 7-10/9/2002.
- Hội nghò Khoa học lần 2, ĐHKH Tự Nhiên Tp. HCM, 5-2000

- Hội nghò Khoa học lần 3, ĐHKH Tự Nhiên Tp. HCM, 24/10/2002
- Hội Nghò Khoa học, Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư Phạm Tp. HCM,
22/12/2000.
- Hội Nghò Khoa học, Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư Phạm Tp. HCM,
21-22/ 12/2002.


15
Chương 0

MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ


0.1. Các ký hiệu về không gian hàm

Chúng ta bỏ qua đònh nghóa các không gian hàm thông dụng (xem [4]) và sử
dụng các ký hiệu gọn lại như sau:
),(
,,
Ω=
pmpm
WW )(
2,
Ω==
mmm
HHW
),( ),(),(
00
,0
Ω=Ω=Ω==

mmmmppp
CCHHLLW
.0),,0()1,0(),0(),1,0( >
×
=
×Ω==Ω TTTQ
T

Các ký hiệu
⋅〉〈⋅, và . dùng để chỉ tích vô hướng và chuẩn sinh bởi tích vô
hướng tương ứng trên
.
2
L Ký hiệu
⋅
〉
〈
⋅, cũng dùng để chỉ cặp tích đối ngẫu giữa
phiếm hàm tuyến tính liên tục và một phần tử trong không gian hàm nào đó trong
.
2
L Ta ký hiệu
X
. là chuẩn trên không gian Banach
.X
Gọi
/
X

là đối ngẫu của

.X

Ta ký hiệu
∞≤≤ pXTL
p
1),;,0(
là không gian Banach các hàm ,),0(: XTu →
đo được sao cho

,)(
/1
0
);,0(
+∞<
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∫
p
T
p
XXTL
dttuu
p

với ,1 ∞
<
≤
p
và

,)(
0
);,0( X
Tt
XTL
tuessu
<<
=
∞
sup với

.
∞
=
p



16
Ta viết ),()(),()(),()(),()(),( tututututututututu
xxxttt
Δ
=
∇

=
=
=
&&&
lần lượt thay cho
),,( txu
),,( tx
t
u
∂
∂
),,(),,(),,(
2
2
2
2
tx
x
u
tx
x
u
tx
t
u
∂
∂
∂
∂
∂

∂
theo thứ tự.
0.2. Một số công cụ thường sử dụng
Cho ba không gian Banach
10
,, BBB với ,
10
BBB ⊂⊂

10
, BB phản xạ (1)

0
B ↪
B
với phép nhúng compact. (2)
Ta đònh nghóa

)},;,0(:);,0({
1
/
0
1
0
BTLv
dt
dv
BTLvW
p
p

∈=∈=
trong đó
.1,0,1,0
=
∞≤≤∞<< ipT
i

Trang bò trên
W một chuẩn như sau:

.
);,0(
/
);,0(
1
1
0
0
BTL
BTLW
p
p
vvv +=
Khi đó
W

là không gian Banach. Hiển nhiên .);,0(
0
BTLW
p

⊂
Ta có kết quả sau:

Bổ đề 0.1. ( [19], p. 57).
Dưới giả thiết
(1), (2)
và nếu
,1,0,1 =∞<
<
ip
i

thì phép
nhúng
W
↪ );,0(
0
BTL
p

là compact
.
Bổ đề 0.2. ( [19], p.12).
Cho
Q
là mở bò chặn của
,
N
IR ∞<<∈ qQLgg
q

m
1),(,
thỏa

(i)

,
)(
Cg
QL
m
q
≤
với mọi
,m


(ii)

gg
m
→
hầu hết trong
.Q

Khi đó
gg
m
→
trong

)(QL
q
yếu.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một kết quả về lý thuyết phổ được áp dụng trong
nhiều bài toán biên.


17
Trước hết ta thiết lập các giả thiết sau:
Cho
V và
H
là hai không gian Hilbert thực thỏa các điều kiện
(i) Phép nhúng
V ↪
H
là compact,
(3)
(ii)
V
trù mật trong
.H


Cho
IRVVa →×: là một dạng song tuyến tính đối xứng, liên tục trên VV
×
và
cưỡng bức trên .V (4)
Chính xác hơn, ta gọi

a là một dạng song tuyến tính:
(j) Nếu
),( vuau a tuyến tính từ V vào
I
R với mọi ,Vv∈ và ),( vuav a
tuyến tính từ
V vào
I
R với mọi .Vu
∈

(jj) Đối xứng nếu .,),(),( Vvuuvavua
∈
∀
=

(jjj) Liên tục nếu
:0≥∃M
.,),( VvuvuMvua
VV
∈∀≤
(4j) Cưỡng bức nếu
.),(:0
2
Vvvvva
V
∈∀≥>∃
αα

Khi đó ta có kết quả sau:

Bổ đề 0.3.
Dưới giả thiết
(3), (4).
Khi đó
,
tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert
}{
j
w
của

H
gồm các hàm riêng

j
w
tương ứng với giá trò riêng

j
λ

sao cho


,lim , 0
21
+
∞
=

≤
≤≤≤<
∞→
j
j
j
λ
λ
λ
λ
(5)

2,1,,
~
),
~
(
=
∀
∈
∀
〉〈= jVvvwvwa
jjj
λ
(6)
Hơn nữa
,
dãy
}/
~

{
jj
w
λ

cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của

V

đối với
tích vô hướng
).,( ⋅⋅a
Chứng minh bổ đề 0.3 có thể tìm thấy trong [42, Đònh lý 6.2.1, p.137].
Ta cũng sẽ dùng bổ đề đánh giá sau đây mà chứng minh không khó khăn.


18
Bổ đề 0.4.
Cho dãy
}{
m
η

thỏa mãn


,0
0
=
η

,0
1
δ
η
σ
η
+
≤≤
−mm
, ,2,1
=
m
(7)
trong đó
0 ,10 ≥<≤
δ
σ

là các hằng số cho trước. Khi đó


,
1
σ
δ
η
−
≤
m

với mọi

.1≥m
(8)


19
Chương 1

KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN

),,,,(
t
x
x
x
t
t
u
u
u
t
x
f
u
u
=
−

1.1. Giới thiệu
Trong chương này, chúng tôi xét bài toán giá trò biên và giá trò ban đầu sau
đây

,0, ,),,,,( Ttxuuutxfuu
txxxtt
<
<
Ω
∈
=−
(1.1.1)

),(),1(),1( (t),),0(),0(
1100
tgtuhtugtuhtu
xx
=
+
=−
,0 Tt
<
<
(1.1.2)

),(
~
)0,( (x),
~

)0,(
10
xuxuuxu
t
=
=

,
Ω
∈
x
(1.1.3)
với
10
,hh
là các hằng số không âm cho trước, số hạng phi tuyến
f
cũng là hàm
cho trước thuộc lớp
).),0[]1,0([
31
IRC ×∞×
Chương nầy gồm hai phần. Để tiện theo dõi, chúng tôi sẽ trình bày phần
một từ mục 1.1 đến mục 1.5 và phần hai bắt đầu từ mục 1.6 trở đi. Trong phần
một, chúng tôi sẽ thiết lập một đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài
toán (1.1.1) – (1.1.3) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương
pháp Galerkin và phương pháp compact yếu. Các kết quả của chương nầy tổng
quát hóa các kết quả trong [9,11, 12, 37] và đã được công bố trong [D2]. Ta cũng
lưu ý rằng phương pháp tuyến tính hoá được sử dụng ở đây không áp dụng được
cho [13, 14, 21, 22]. Phần 2 sẽ đề cập đến bài toán khai triển tiệm cận theo một

tham số bé
ε
mà chi tiết sẽ trình bày bắt đầu từ mục 1.6 của chương nầy.
1.2. Các ký hiệu và giả thiết
Ta thành lập các giả thiết sau