sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin vào một số bài toán biên phi tuyến 3_2

19
Chương 1

KHẢO SÁT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN

),,,,(
txxxtt
uuutxfuu
=−



1.1. Giới thiệu
Trong chương này, chúng tôi xét bài toán giá trò biên và giá trò ban đầu sau
đây

,0, ,),,,,( Ttxuuutxfuu
txxxtt
<<Ω∈=−
(1.1.1)

),(),1(),1( (t),),0(),0(
1100
tgtuhtugtuhtu
xx
=+=−

,0 Tt <<
(1.1.2)

),(
~
)0,( (x),
~
)0,(
10
xuxuuxu
t
==

,Ω∈x
(1.1.3)
với
10
,hh
là các hằng số không âm cho trước, số hạng phi tuyến
f
cũng là hàm
cho trước thuộc lớp
).),0[]1,0([
31
IRC ×∞×

Chương nầy gồm hai phần. Để tiện theo dõi, chúng tôi sẽ trình bày phần
một từ mục 1.1 đến mục 1.5 và phần hai bắt đầu từ mục 1.6 trở đi. Trong phần
một, chúng tôi sẽ thiết lập một đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài
toán (1.1.1) – (1.1.3) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương
pháp Galerkin và phương pháp compact yếu. Các kết quả của chương nầy tổng
quát hóa các kết quả trong [9,11, 12, 37] và đã được công bố trong [D2]. Ta cũng

lưu ý rằng phương pháp tuyến tính hoá được sử dụng ở đây không áp dụng được
cho [13, 14, 21, 22]. Phần 2 sẽ đề cập đến bài toán khai triển tiệm cận theo một
tham số bé
ε
mà chi tiết sẽ trình bày bắt đầu từ mục 1.6 của chương nầy.
1.2. Các ký hiệu và giả thiết
Ta thành lập các giả thiết sau


20

)(
1
H

,0 ,0
10
≥> hh


)(
2
H

),(
~
),(
~
1
1

2
0
Ω∈Ω∈ HuHu


)(
3
H

),),0[(
31
IRCf ×∞×Ω∈


)(
4
H

).( ,
3
10 +
∈ IRCgg

Xét hàm số phụ

.
)()1()()]1([
),(
1010
10011

hhhh
tgxhtghxh
tx
++
+++−
=
ϕ
(1.2.1)
Đặt

⎩
⎨
⎧
≤≤+=
−=
.0),,1(),1(
),,0(),0(
11
00
TttvhtvvB
tvhtvvB
x
x
(1.2.2)
Khi đó, với phép đổi biến

,0 , ,),(),(),(
Ttxtxtxutxw
≤≤Ω∈−=
ϕ

(1.2.3)
thì
w
thỏa mãn phương trình

,0 , ),,,,,(
~
Ttxwwwtxfww
txxxtt
<<Ω∈=−
(1.2.4)
với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất

⎩
⎨
⎧
≤≤=
=
,0,0
,0
1
0
TtwB
wB
(1.2.5)
và điều kiện đầu

,),(
~
)0,(),(

~
)0,(
10
Ω∈==
xxwxwxwxw
t
(1.2.6)
trong đó

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−=
−+++=
),0,()(
~
)(
~
,)0,()(
~
)(
~
),,(),,,,(),,,,(
~
1100
xxuxwxxuxw
txwwwtxfwwwtxf
t

ttttxxtx
ϕϕ
ϕϕϕϕ
(1.2.7)
thỏa

.
~
,
~
,)),0[(
~
1
1
2
0
31
HwHwIRCf ∈∈×∞×Ω∈
(1.2.8)


21
Như vậy từ bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất (1.1.1)-(1.1.3) với
phép biến đổi (1.2.3) sẽ tương đương với bài toán biên hỗn hợp thuần nhất
(1.2.4)-(1.2.6). Do đó, không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng
)(
5
H

.0

10
== gg

Trên
1
H
ta sử dụng một chuẩn tương đương sau:

.)()0(
2
1
1
0
2
/2
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
∫
dxxvvv
H
(1.2.9)
Trong chương này, ta sử dụng dạng song tuyến tính trên

1
H
như sau:

., ),1()1()0()0()()(),(
1
10
1
0
//
Hvuvuhvuhdxxvxuvua ∈∀++=
∫
(1.2.10)
Khi đó ta có các bổ đề sau

Bổ đề 1.1.
Phép nhúng
1
H
↪
( )
Ω
0
C
là compact và

()
. ,2
1
10

Hvvv
HC
∈∀≤
Ω

Bổ đề 1.1 là một kết quả quen thuộc mà chứng minh của nó có thể tìm thấy trong
nhiều tài liệu liên quan đến lý thuyết về không gian Sobolev, chẳng hạn [3, 4].
Bổ đề 1.2.
Với giả thiết
),(
1
H
dạng song tuyến tính đối xứng xác đònh bởi
(1.2.10)
liên tục, cưỡng bức trên
,
11
HH ×
nghóa là:
(i)
,, ,),(
1
1
11
HvuvuCvua
HH
∈∀≤

(ii)
. ,),(

1
2
0
1
HuuCuua
H
∈∀≥

với
{} { }
.2,,1max ,,1min
10100
hhChC ==

Chứng minh: Sử dụng bất đẳng thức Schwartz và bổ đề 1.1 ta có (
i
) đúng.
Chứng minh (
ii
) thì dễ dàng nên ta bỏ qua.
Bổ đề 1.3.
Tồn tại một cơ sở Hilbert trực chuẩn
}{
j
w
của
2
L

gồm các hàm riêng

w
j
ứng với trò riêng
j
λ
sao cho



22

, 0
21
LL
≤≤≤≤<
j
λλλ
,lim +∞=
+∞→
j
j
λ

(1.2.11)

,,),( 〉〈= vwvwa
jjj
λ
với mọi
L

,2,1 ,
1
=∈ jHv

(1.2.12)

Hơn nữa dãy
{}
jj
w λ
cũng là cơ sở trực chuẩn Hilbert của
1
H
tương ứng
với tích vô hướng
).,( ⋅⋅a

Mặt khác, chúng ta cũng có hàm
j
w
thỏa mãn bài toán giá trò biên sau:


,
jjj
ww
λ
=Δ−
trong
,Ω

(1.2.13)

).( ,0)1()1()0()0(
1
/
0
/
Ω∈=+=−
∞
Cwwhwwhw
jjjjj
(1.2.14)
Bổ đề 1.3 được chứng minh bằng cách áp dụng bổ đề 0.3, chương 0, với
,
1
HV =
2
LH =
và
),( ⋅⋅a
cho bởi (1.2.10).
Với
0 ,0 >> TM
ta đặt

,),,,,(sup),,(
00
wvutxffTMKK ==
(1.2.15)

( )
),,,,,(sup),,(
/////
11
wvutxffffffTMKK
wvutx
++++==
(1.2.16)
sup
trong (1.2.15), (1.2.16) được lấy trên miền

,0 ,10 Ttx ≤≤≤≤ .2,, Mwvu ≤
(1.2.17)
Với mỗi
0>M
và
,0>T
ta đặt

}.,,
),,,0(),;,0(:);,0({),(
);,0();,0();,0(
212
212
MvMvMv
LTLvHTLvHTLvTMW
LTL
tt
HTL
t

HTL
ttt
≤≤≤
∈∈∈=
∞∞∞
∞∞∞
(1.2.18)
1. 3. Xấp xỉ tuyến tính cho phương trình sóng phi tuyến
Trong phần này, với sự chọn lựa
M
và
T
thích hợp, ta xây dựng một dãy
}{
m
u
trong
),( TMW
bằng qui nạp. Dãy
}{
m
u
sẽ được chứng minh hội tụ về
nghiệm của bài toán (1.1.1)-(1.1.3) tương ứng với
.0
10
== gg

Chọn số hạng ban đầu
).,(

0
TMWu ∈
Giả sử rằng

).,(
1
TMWu
m
∈
−
(1.3.1)


23
Ta liên kết bài toán (1.1.1)-(1.1.3) tương ứng với
0
10
== gg
với bài toán biến
phân tuyến tính sau:
Tìm
),( TMWu
m
∈
thỏa

,,),(, 〉〈=+〉〈 vFvuavu
mmm
&&
với mọi

,
1
Hv ∈

(1.3.2)

,
~
)0(,
~
)0(
10
uuuu
mm
==
&
(1.3.3)
trong đó

)).,(),,(),,(,,(),(
111
txutxutxutxftxF
mmmm −−−
∇=
&
(1.3.4)
Sự tồn tại của
m
u
cho bởi đònh lý dưới đây.

Đònh lý 1.1.
Giả sử
)(),()(
531
HHH −
đúng. Khi đó tồn tại các hằng số
0>M
và
0>T
sao cho đối với mọi
),(
0
TMWu ∈
cho trước, tồn tại một dãy qui nạp tuyến
tính
),(}{ TMWu
m
⊂
xác đònh bởi
(1.3.2)-(1.3.4).
Chứng minh. Chứng minh bao gồm nhiều bước.
Bước
1:
Xấp xỉ Galerkin
.
Gọi
{ }
j
w
là cơ sở trực chuẩn của

1
H
như trong bổ đề 1.3
( )
jjj
ww λ
=
.
Dùng phương pháp Galerkin để xây dựng nghiệm xấp xỉ
)(
)(
tu
k
m
của (1.3.2)-(1.3.4)
theo dạng

,)()(
1
)()(
∑
=
=
k
j
j
k
mj
k
m

wtctu
(1.3.5)
trong đó
)(
)(
tc
k
mj
thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính sau:

,1 ,),()),((),(
)()(
kjwtFwtuawtu
jmj
k
mj
k
m
≤≤〉〈=+〉〈
&&
(1.3.6)

,
~
)0( ,
~
)0(
1
)(
0

)(
k
k
mk
k
m
uuuu ==
&
(1.3.7)
với

()
, trong
~

~
2
0
1
0
Huwu
k
j
j
k
jk
→=
∑
=
α

(1.3.8)


24

()
. trong
~

~
1
1
1
1
Huwu
k
j
j
k
jk
→=
∑
=
β
(1.3.9)
Từ giả thiết (1.3.1), tồn tại
( )
0>
k
m

T
sao cho bài toán (1.3.6), (1.3.7) có duy nhất
nghiệm
)(
)(
tu
k
m
trên
].,0[
)(k
m
T

Chú thích 1.1. Nghiệm của hệ (1.3.6) – (1.3.9) được tính như sau. Trước hết hệ
phương trình vi phân tuyến tính (1.3.6) – (1.3.9) tương đương với hệ sau:

,1,),(
1
)()(
2
)()(
kjwtF
w
tctc
jm
j
k
mjj
k

mj
≤≤〉〈=+
λ
&&
(1.3.10)

() () ( ) ( )
.)0(c ,)0(
k
j
k
mj
k
j
k
mj
c
βα
==
&
(1.3.11)
Từ đó, nghiệm của hệ (1.3.10) – (1.3.11) được biểu diễn theo công thức:

() () ()
.1,),(
))(sin(
1
)sin(
)cos()(
0

2
kjdwF
t
w
t
ttc
t
jm
j
j
j
j
j
k
jj
k
j
k
mj
≤≤〉〈
−
+
+=
∫
ττ
λ
τλ
λ
λ
βλα

(1.3.12)
Các đánh giá sau đây trong bước 2 cho phép ta lấy
( )
,TT
k
m
=
với mọi
k
và
với mọi
m
.
Bước
2:
Đánh giá tiên nghiệm
.
Trong (1.3.6) thay
j
w
bởi
)(
)(
tu
k
m
&
ta có

.)(),())(),((

2
1
)(
2
1
)()()(
2
)(
〉〈=+ tutFtutua
dt
d
tu
dt
d
k
mm
k
m
k
m
k
m
&&

Sau đó tích phân theo
t
ta được

,)(),(2)0()(
0

)()()(
∫
〉〈+=
t
k
mm
k
m
k
m
duFptp
τττ
&
(1.3.13)
trong đó

)).(),(()()(
)()(
2
)()(
tutuatutp
k
m
k
m
k
m
k
m
+=

&



25
Trong (1.3.6) thay
j
w
bởi
,
1
j
j
wΔ−
λ
khi đó

,),()),((),(
)()(
〉Δ〈=Δ+〉Δ〈
jmj
k
mj
k
m
wtFwtuawtu
&&

hay

).),((),()),((
)()(
jmj
k
mj
k
m
wtFawtuwtua =〉ΔΔ〈+
&&
(1.3.14)
Thay
j
w
bởi
)(
)(
tu
k
m
&
trong đẳng thức (1.3.14), kết hợp với (1.2.14), lấy tích phân
theo
,t
ta được

,))(),(()0()(
0
)()()(
∫
+=

t
k
mm
k
m
k
m
duFaqtq
τττ
&
(1.3.15)
với

.)())(),(()(
2
)()()()(
tututuatq
k
m
k
m
k
m
k
m
Δ+=
&&

Đạo hàm (1.3.6) theo
,t

sau đó thay
j
w
bởi
)(
)(
tu
k
m
&&
ta có

.)(),())(),((
2
1
)(
2
1
)()()(
2
)(
〉
∂
∂
〈=+ tutF
t
tutua
dt
d
tu

dt
d
k
mm
k
m
k
m
k
m
&&&&&&

Tích phân hai vế theo
t


,)(),(2)0()(
0
)()()(
∫
〉
∂
∂
〈+=
t
k
mm
k
m
k

m
duF
t
rtr
τττ
&&
(1.3.16)
với

)).(),(()()(
)()(
2
)()(
tutuatutr
k
m
k
m
k
m
k
m
&&&&
+=

Từ (1.3.13), (1.3.15) và (1.3.16), dẫn đến

.)(),(2
))(),((2)(),(2)0(
)())()()(

0
)(
0
)(
0
)()(
)()()()(
∫
∫∫
〉
∂
∂
〈+
+〉〈+=
++=
t
k
mm
t
k
mm
t
k
mm
k
m
k
m
k
m

k
m
k
m
duF
t
duFaduFs
trtqtpts
τττ
ττττττ
&&
&&
(1.3.17)
Các tích phân ở vế phải (1.3.17) lần lượt được đánh giá dưới đây.
+
Tích phân

thứ nhất


26
Từ (1.2.15) và (1.3.1) ta có

.)(2
)( )(2)(),(2
0
)(
0
0
)(

0
)(
∫
∫∫
≤
≤〉〈
t
k
m
t
k
mm
t
k
mm
dpK
duFduF
ττ
ττττττ
&&
(1.3.18)
+
Tích phân

thứ hai

Do bồ đề 1.2 ta có

.)( )(2))(),((2
0

)(
H
1
0
)(
1
1
∫∫
≤
t
H
k
mm
t
k
mm
duFCduFa
ττττττ
&&
(1.3.19)
Từ (1.2.15), (1.2.16) và (1.3.1) ta tìm được

,),0(
2
0
2
KtF
m
≤
(1.3.20)

()
()
∫
∫
−−−
−−∇−
∇+Δ+∇+≤
∇+Δ+∇+=
∂
∂
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
1
0
2
1
/
1
/
1
//

2
14 dxuuuK
dxufufuffF
x
mmm
mumumuxm
&
&
&


( )
()
.214
14
22
1
2
1
2
1
2
1
12
MK
uuK
H
m
H
m

+≤
++≤
−−
&
(1.3.21)
Suy ra từ (1.3.20), (1.3.21) rằng

()
.214),0(
2
0
22
1
2
2
2
1
KMKtFF
x
F
mm
H
m
++≤+
∂
∂
=
(1.3.22)
Từ (1.3.15), (1.3.19), (1.3.22) ta có

(
)
.)(212
2
))(),((2
0
)(
0
2
1
0
1
0
)(
∫∫
++≤
t
k
m
t
k
mm
dqKMK
C
C
duFa
τττττ
&
(1.3.23)
+

Tích phân

thứ ba

Ta có

.)()(2)(),(2
0
)(
0
)(
∫∫
∂
∂
≤〉
∂
∂
〈
t
k
mm
t
k
mm
duF
t
duF
t
ττττττ
&&&&

(1.3.24)


27
Từ (1.2.16) và (1.3.1) ta thu được

()
()
()
. 314
14
22
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
0
2
1
/
1
/
1
//

2
MK
uuuK
dxufufuffF
t
mmm
mumumutm
+≤
+∇++≤
+∇++=
∂
∂
−−−
−−∇−
∫
&&&&
&&&&
&
(1.3.25)
Do đó từ (1.3.24), (1.3.25) ta suy ra

.)(314)(),(2
0
)(2
1
0
)(
∫∫
+≤〉
∂

∂
〈
t
k
m
t
k
mm
drMKduF
t
τττττ
&&
(1.3.26)
Từ (1.3.17), (1.3.18), (1.3.23), (1.3.26) ta thu được

,)()0(
)(2)0()(
0
)()(
0
)()()(
∫
∫
++≤
+≤
t
k
m
k
m

t
k
m
k
m
k
m
dsKTKs
dsKsts
ττ
ττ
(1.3.27)
trong đó

(
)
.312212),,(
2
10
2
1
0
1
0
MKKMK
C
C
KfTMKK +++++==
(1.3.28)
Tiếp theo ta đánh giá số hạng

).0(
)(
k
m
s

Ta có

).
~
,
~
(
~~
)
~
,
~
(2)0()0(
00
2
0
2
111
2
)()(
kkkkkk
k
m
k

m
uuauuuuaus +Δ+++=
&&
(1.3.29)
Trong (1.3.6), thay
j
w
bởi
),(
)(
tu
k
m
&&
sau đó lấy
,0=t
ta được

.)0(),
~
,
~
,
~
,0,()0(,
~
)0(
)(
100
)(

0
2
)(
〉∇〈=〉Δ〈−
k
m
k
mk
k
m
uuuuxfuuu
&&&&&&

Từ đây suy ra

.)
~
,
~
,
~
,0,(
~
)0(
1000
)(
uuuxfuu
k
k
m

∇+Δ≤
&&
(1.3.30)
Ta suy từ (1.3.8), (1.3.9), (1.3.29), (1.3.30) rằng tồn tại một số
0>M
độc lập với
k
và
m
sao cho

,4)0(
2)(
Ms
k
m
≤
với mọi
k
và
.m
(1.3.31)


28
Ta lưu ý, với giả thiết
),(
3
H
suy ra từ (1.2.15), (1.2.16) rằng

.1,0 ,0),,(lim
0
==
+
→
ifTMTK
i
T
(1.3.32)
Kết hợp (1.3.28) và (1.3.32), tìm được
T
> 0
sao cho

()
,),,(exp),,(
4
2
2
MfTMTKfTMTK
M
≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

⎛
+
(1.3.33)
và

.1),,(
1
1)21(2
1
0
<
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++=
fTMTK
C
k
T
(1.3.34)
Cuối cùng ta suy ra từ (1.3.27), (1.3.31), (1.3.33) rằng

.0 ,)()exp()(
)(
0

)(2)( k
m
t
k
m
k
m
Tt dsKTKMts ≤≤+−≤
∫
ττ
(1.3.35)
p dụng bổ đề Gronwall ta có

,)exp()exp()(
22)(
MtKTKMts
k
m
≤−≤

.0
)(
TTt
k
m
≤≤≤
(1.3.36)
Từ đây ta có
,
)(

TT
k
m
=
với mọi
m
và
k
và ta suy ra từ đây rằng

).,(
)(
TMWu
k
m
∈
(1.3.37)
Bước
3:
Qua giới hạn
Từ (1.3.37), tồn tại một dãy con
}{
)(
j
k
m
u
của
}{
)(

k
m
u
và tồn tại
m
u
sao cho

yếu*,
);,0( trong
2
)(
HTLuu
m
k
m
j
∞
→
(1.3.38)


yếu*,
);,0( trong
1
)(
HTLuu
m
k
m

j
∞
→
&&
(1.3.39)


yếu*,
);,0( trong
2
)(
LTLuu
m
k
m
j
∞
→
&&&&
(1.3.40)


).,( TMWu
m
∈
(1.3.41)
Từ (1.3.38) - (1.3.41) qua giới hạn trong (1.3.6), (1.3.7) ta có thể kiểm tra dễ dàng
rằng
m
u

thỏa mãn (1.3.2), (1.3.3) trong
),0( TL
∞
yếu *.
Đònh lý 1.1 chứng minh hoàn tất.■


29
Chú thích 1.2. Trong [9] chúng tôi thu được một đánh giá tương tự như (1.3.36)
nhờ một nghiệm cực đại đòa phương của một bất phương trình tích phân Voltera
phi tuyến liên kết với một nhân không giảm [20]. Tuy nhiên trong luận án này
chúng tôi chỉ cần đưa về đánh giá (1.3.35), từ đó nhận được (1.3.36) nhờ bổ đề
Gronwall. Cách làm này theo chúng tôi đánh giá thì đơn giản hơn [9].

1.4. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán với điều kiện biên thuần nhất
Đònh lý 1.2.
Giả sử
)(),()(
531
HHH
−
đúng. Khi đó tồn tại
,0
>
M
0
>
T
sao cho
bài toán

(1.1.1)-(1.1.3)
có duy nhất một nghiệm yếu
).,( TMWu
∈

Mặt khác, dãy qui nạp tuyến tính
}{
m
u
xác đònh bởi
(1.3.1)-(1.3.4)
hội tụ
mạnh về nghiệm yếu
u
trong không gian

)}.;,0( : );,0({)(
21
1
LTLuHTLuTW
∞∞
∈∈=
&

(1.4.1)

Hơn nữa ta cũng có đánh giá sai số

,
);,0();,0(

21
m
T
LTL
m
HTL
m
Ckuuuu
≤−+−
∞∞
&&
với mọi
,m

(1.4.2)

trong đó
10
<<
T
k
xác đònh bởi
(1.3.34)
và
C
là hằng số chỉ phụ thuộc
10
,, uuT

và

.
T
k

Chứng minh.
a/ Sự tồn tại nghiệm.
Trước hết ta lưu ý rằng
)(
1
TW
là không gian Banach đối với chuẩn (xem [18])

.
);,0();,0()(
21
1
LTLHTLTW
uuu
∞∞
+=
&
(1.4.3)
Ta sẽ chứng minh rằng
}{
m
u
là dãy Cauchy trong
).(
1
TW

Đặt
.
1
mmm
uuv −=
+
Khi đó
m
v
thỏa mãn bài toán biến phân sau:

⎩
⎨
⎧
==
∈∀〉−〈=+〉〈
+
.0)0()0(
, ,, ),(,
1
1
mm
mmmm
vv
HvvFFvvavv
&
&&
(1.4.4)
Lấy

m
vv
&
=
trong (1.4.4) ta có


30

.,))(),((
2
1
)(
2
1
1
2
〉−〈=+
+
mmmmmm
vFFtvtva
dt
d
tv
dt
d
&&

Sử dụng giả thiết
),(

3
H
ta suy từ đònh lý 1.1, sau khi tích phân theo
t
ta có

()
.)21(2
,2),(
0
111
0
1
2
1
∫
∫
−−
+
++≤
〉−〈=+
t
m
H
mm
t
mmmmmm
dvvvK
dvFFvvav
τ

τ
&&
&&
(1.4.5)
Sử dụng bổ đề 1.2 (
ii
) và (1.4.5) ta thu được

() ()
.)21(2
11
1
11
2
0
2
TW
m
TW
m
H
mm
vvTKvCv
−
+≤+
&
(1.4.6)
Từ (1.4.6) dẫn đến

,

)(
1
)(
11
TW
mT
TW
m
vkv
−
≤
với mọi
,m
(1.4.7)
trong đó
10
<<
T
k
cho bởi (1.3.34). Vì vậy

,
1
)(
01
)(
1
1
T
m

T
TW
TW
mpm
k
k
uuuu
−
−≤−
+
với mọi
., pm

(1.4.8)
Suy ra
}{
m
u
là dãy Cauchy trong
),(
1
TW
do đó tồn tại
)(
1
TWu ∈
sao cho

)( trong
1

TWuu
m
→
mạnh. (1.4.9)
Bằng cách áp dụng một lý luận tương tự mà chúng ta đã sử dụng trong đònh lý
(1.1), ta có thể lấy ra một dãy con
}{
j
m
u
của
}{
m
u
sao cho

);,0( trong
2
HTLuu
j
m
∞
→
yếu*, (1.4.10)

);,0( trong
1
HTLuu
j
m

∞
→
&&
yếu*, (1.4.11)

);,0( trong
2
LTLuu
j
m
∞
→
&&&&
yếu*, (1.4.12)

).,( TMWu ∈
(1.4.13)
p dụng đònh lý Riesz-Fischer, từ (1.4.9), tồn tại dãy con của
}{
1
−
j
m
u
vẫn ký hiệu
là
}{
1
−
j

m
u
sao cho

,),( a.e.
1
Tm
Qtx uu
j
∈→
−
(1.4.14)