phần mở đâu luận án sử dụng phương pháp xấp xỉ galerkin vào 1 số bài toán biên phi tuyến

1
PHẦN MỞ ĐẦU

Các bài toán biên phi tuyến xuất hiện trong Khoa học ứng dụng ( Vật lý,
Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật,…) rất phong phú và đa dạng. Đây là nguồn đề tài mà
rất nhiều nhà Toán học từ trước đến nay quan tâm nghiên cứu. Hiện nay các công
cụ của Giải tích hàm phi tuyến đã xâm nhập vào từng bài toán biên phi tuyến cụ
thể ở một mức độ nào đó. Tổng quát, chúng ta không có một phương pháp toán
học chung để giải quyết cho mọi bài toán biên phi tuyến. Các yếu tố phi tuyến
xuất hiện trong bài toán có ảnh hưởng không nhỏ đến việc chọn lựa các phương
pháp toán học để giải quyết. Do đó các bài toán biên phi tuyến ở trên cũng chưa
giải hoặc chỉ giải được một phần tương ứng với số hạng phi tuyến cụ thể nào đó.
Bởi vậy, tôi cho rằng đề tài nghiên cứu ở đây là cần thiết, có ý nghóa lý luận và
thực tiển.
Trong luận án nầy chúng tôi muốn sử dụng các phương pháp của Giải tích
hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn điệu,
phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với các đònh lý điểm bất đọâng, phương
pháp khai triển tiệm cận… nhằm khảo sát một số bài toán biên có liên quan đến
các vấn đề trong Khoa học ứng dụng. Chẳng hạn như các phương trình sóng phi
tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán
mô tả dao độâng của một vật đàn hồi với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại
biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tựa trên một
nền đàn nhớt.
Trong luận án nầy chúng tôi trình bày 3 nội dung tương ứng với 3 bài toán
và sẽ được phân bố theo 3 chương chính. Sau đây là phần giới thiệu lần lượt 3 bài
toán nói trên.


2

Bài toán thứ nhất
đề cập đến phương trình sóng phi tuyến ở một dạng
tương đối tổng quát:

),,,,,(
txxxtt
uuutxfuu =−

,0),1,0( Ttx <<=Ω∈
(0.1)
liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất

⎩
⎨
⎧
=+
=−
),(),1(),1(
),(),0(),0(
11
00
tgtuhtu
tgtuhtu
x
x
(0.2)
và điều kiện đầu

),(
~

)0,(),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t
==
(0.3)
Bài toán nầy có nhiều ý nghóa trong Cơ học, Vật lý học, đã được đề cập
nhiều trong các công trình nghiên cứu của nhiều tác giả từ trước đến nay và trong
các tài liệu tham khảo trong đó. (xem [1, 2, 8, 9, 11-13, 16, 19, 21, 25, 32, 37, 41,
D2]). Phương trình (0.1) với số hạng phi tuyến
),,,,(
tx
uuutxf
có các dạng khác
nhau và các dạng điều kiện biên khác nhau đã được khảo sát ở nhiều khía cạnh
khác nhau bởi nhiều tác giả. Chẳng hạn, chúng tôi có thể nêu ra như sau:
Ficken và Fleishman [16] đã thiết lập kết quả tồn tại, duy nhất và ổn đònh
nghiệm của phương trình

,2
3
21
buuuuu
txxtt
+=−+−
εαα

0>

ε
là tham số bé. (0.4)
Rabinowitz [41] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương
trình

),,,,,(2
1 txtxxtt
uuutxfuuu
εα
=+−
(0.5)
0>
ε
là tham số bé và
f
là hàm tuần hoàn theo thời gian.
Trong [8], Caughey và Ellison đã hợp nhất các trường hợp trước đó để bàn về tồn
tại, duy nhất và ổn đònh tiệm cận của các nghiệm cổ điển cho một lớp các hệ
động lực liên tục phi tuyến.
Alain P.N. Đònh [11] và Ortiz, Alain P.N. Đònh [37] đã nghiên cứu sự tồn


3
tại và dáng điệu tiệm cận khi
0→
ε
của nghiệm yếu bài toán (0.1), (0.3) liên kết
với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất

,0),1(),0( == tutu

(0.6)
trong đó số hạng phi tuyến có dạng

).,(
1
utff
ε
=
(0.7)
Bằng sự tổng quát hóa của [11, 37], trong [12] đã xét bài toán (0.1), (0.3),
(0.6) với số hạng phi tuyến có dạng

).,,(
1 t
uutff
ε
=
(0.8)
Nếu
)),0[(
2
1
IRCf
N
×∞∈
thỏa
0)0,0,(
1
=tf

,0≥∀t
các tác giả trong [12] đã thu
được một khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (0.1), (0.3), (0.6), (0.7) đến cấp
1+N
theo
,
ε
với
ε
đủ nhỏ. Kết quả nầy đã nới rộng kết quả từ phương trình vi
phân thường sang phương trình đạo hàm riêng (xem[6]).
Đối với bài toán giá trò biên và ban đầu (0.1)-(0.3), cũng được nhiều tác
giả quan tâm nghiên cứu ở nhiều dạng khác nhau tương ứng với các dạng của số
hạng phi tuyến
),,,,(
tx
uuutxf
. Thậm chí điều kiện biên (0.2) có thể được thay
thế bởi các dạng điều kiện biên khác phức tạp hơn. Chẳng hạn, chúng tôi có thể
kể ra một số trường hợp như sau:
Trong [2], Đ.Đ. Áng, Alain P.N. Đònh đã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất
nghiệm toàn cục của bài toán (0.1), (0.3) tương ứng với

,)(
1
ttt
uuuff
−
−==
α

,10 <<
α
(0.9)
và điều kiện biên

.0),1(),(),0(
0
== tutgtu
x
(0.10)
Bài toán (0.1), (0.3), (0.9), (0.10) mô tả chuyển động của một thanh đàn hồi nhớt.
Trong [21], N.T. Long, Alain P.N. Đònh đã nới rộng nghiên cứu [2] bằng
cách xét bài toán (0.1), (0.3) tương ứng với


4

),,(
t
uuff =
(0.11)
và điều kiện biên
),(),0(),0(
00
tgtuhtu
x
=−

,0),1( =tu
(0.12)

mà (0.9) là một trường hợp riêng.
Alain P.N. Đònh, N.T. Long trong [13], bằng cách xét bài toán (0.1), (0.3)
với và điều kiện biên phi tuyến
),()),0((),0(
0
tgtuHtu
x
=−

,0),1( =tu
(0.13)
tương ứng với
f
có dạng (0.9) hoặc (0.11).
Bài toán (0.1), (0.3), (0.11) cũng đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả
khác nhau tương ứng với nhiều loại điều kiện biên khác nhau có ý nghóa cơ học
nhất đònh, chẳng hạn như
Trong [1], N.T. An và N.Đ. Triều và trong [23] N.T. Long, Alain P.N.
Dinh đã xét bài toán (0.1), (0.3) với
),(
t
uuff =
liên kết với điều kiện biên

,0),1(),(),0( == tutPtu
x
(0.14)
trong đó ẩn hàm
),( txu
và giá trò biên chưa biết

)(tP
thỏa bài toán Cauchy cho
phương trình vi phân thường như sau

),,0()()(
0
2//
tuhtPtP
tt
=+
ω

,0 Tt
<<
(0.15)

,)0(,)0(
1
/
0
PPPP ==
(0.16)
trong đó
10
,,0,0 PPh ≥>
ω
là các hằng số cho trước.[1, 23].
Trong [1] đã nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của bài toán (0.1), (0.3),
(0.14)-(0.16) với
0

~~
010
=== Puu
và

,),(
tt
uKuuuf
λ
+=
(0.17)
trong đó
λ
,K
là các hằng số cho trước. Trong trường hợp nầy bài toán (0.1), (0.3),


5
(0.14) -(0.17) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một
thanh đàn nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng [1].
Chú ý rằng từ (0.15), (0.16),
)(tP
được biểu diễn theo
),0(,,,,
10
tuhPP
tt
ω
và
sau đó tích phân từng phần, khi đó

)(tP
có dạng

,),0()(),0()()(
0
00
∫
−−+=
t
dssustktuhtgtP
(0.18)
trong đó

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−+−=
.sin)(
,
sin
))0(
~
(cos))0(
~
()(
0
1010000

thtk
t
uhPtuhPtg
ωω
ω
ω
ω
(0.19)
Bằng cách khử bớt một ẩn hàm
)(tP
thì điều kiện biên (0.2) có dạng

,),0()(),0()(),0(
0
00
∫
−−+=
t
x
dssustktuhtgtu

.0),1(
=
tu
(0.20)
Trong [5], Bergounioux, N.T. Long, Alain P. N. Đònh đã xét bài toán (0.1),
(0.3), (0.17) liên kết với điều kiện biên

,),0()()(),0(),0(
0

00
∫
−−+=
t
x
dssustktgtuhtu
(0.21)

,0),1(),1(),1(
11
=++ tutuhtu
tx
λ
(0.22)
trong đó
101
,,,, hhK
λλ
là các hằng số không âm. Trong trường hợp nầy, bài toán
mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tựa trên một nền đàn
nhớt với ràng buộc đàn hồi tuyến tính tại bề mặt, các ràng buộc liên kết với một
lực cản ma sát nhớt.
Trong [9], N.T. Long, T.N. Diễm, đã xét bài toán (0.1)-(0.3) với

,0)()(
10
== tgtg
(0.23)
và
).),0[]1,0([

31
IRCf ×+∞×∈
Trong trường hợp nầy, chúng tôi sử dụng một sơ đồ
xấp xỉ tuyến tính, kết hợp với phương pháp Galerkin và compact để thiết lập


6
nghiệm yếu của bài toán (0.1) - (0.3), (0.23). Nếu số hạng phi tuyến
),,,,(
tx
uuutxf
trong vế phải của (0.1) được thay bởi

),,,,,(),,,,(),,,,(
10 txtxtx
uuutxfuuutxfuuutxf
ε
+=
(0.24)
với
),),0[]1,0([
32
0
IRCf ×+∞×∈ )),0[]1,0([
31
1
IRCf ×+∞×∈
thì chúng tôi thu được
trong [9] một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu
ε

u
của bài toán (0.1)-(0.3),
(0.23), (0.24) đến cấp 2 theo
ε
như sau:

),(
2
10
εε
ε
Ouuu ++=
với
ε
đủ nhỏ,
theo nghóa

,
2
);,0(
10
);,0(
10
21
εεε
εε
Cuuuuuu
LTLHTL
≤−−+−−
∞∞

&&&
(0.25)
với
C
là hằng số độc lập với
.
ε
Kết quả nầy đã được công bố trong [9].
Kết quả [9] cũng được nới rộng cho bài toán (0.1)-(0.3) cho trường hợp
,0
0
≡
/
g

.0
1
≡
/
g
Nếu với
),),0[]1,0([
31
0
IRCf
N
×+∞×∈
+
),),0[]1,0([
3

1
IRCf
N
×+∞×∈
thì chúng
tôi thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu
ε
u
của bài toán (0.1) - (0.3),
(0.24) đến cấp
1+N
theo
ε
như sau:

),(
1
0
+
=
+=
∑
N
N
i
i
i
Ouu
εε
ε

với
ε
đủ nhỏ, (0.26)
theo nghóa

,
1
);,0(
0
);,0(
0
21
+
==
≤−+−
∞∞
∑∑
N
LTL
N
i
i
i
HTL
N
i
i
i
Cuuuu
εεε

εε
&&
(0.27)
với
C
là hằng số độc lập với
.
ε
Kết quả nầy đã được công bố trong [D2].

Bài toán thứ hai
mà chúng tôi muốn đề cập là bài toán (0.1), (0.3), (0.21),
(0.22) với

,),(
22
ttt
uuuuKuuf
−−
+=
βα
λ
(0.28)
trong đó
,2,2 ≥≥
βα λ
,K
là các hằng số không âm cho trước. Trong trường hợp

7
nầy bài toán (0.1), (0.3), (0.21), (0.22), (0.28) là mô hình toán học mô tả sự va
chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt phi tuyến tựa trên một nền đàn
hồi nhớt[1]. Chúng tôi cũng thu được sự tồn tại nghiệm toàn cục của bài toán.
Kết quả nầy đã mở rộng kết quả của Bergounioux, N.T. Long, Alain P. N. Đònh
[5] với trường hợp
.2==
βα
Mặt khác, nếu
,2==
βα
chúng tôi cũng thu được
tính trơn của nghiệm tùy thuộc vào tính trơn của dữ kiện cũng được khảo sát.
Phần cuối của chương nầy chúng tôi chứng minh nghiệm
),( Pu
của bài toán (0.1),
(0.3), (0.21), (0.22), (0.28) với
,2==
βα
có được một khai triển tiệm cận cấp
1+N
theo theo hai tham số
λ
,K
như sau:
(
)
,
1
22

,
21
21
21
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
+
≤+
∑
N
N
KOKuu
λλ
γγ
γγ
γγ
(0.29)
(
)
,
1
22
,
21
21

21
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
+
≤+
∑
N
N
KOKPP
λλ
γγ
γγ
γγ
(0.30)
theo nghóa

(
)
,
),1(),1(
1
22
1
),0(
,

);,0(
,
);,0(
,
2
21
21
21
2
21
21
21
1
21
21
21
+
≤+
≤+≤+
+≤
⋅−⋅+
−+−
∑
∑∑
∞∞
N
TL
N
LTL
N

HTL
N
KC
Kuu
KuuKuu
λ
λ
λλ
γγ
γγ
γγ
γγ
γγ
γγ
γγ
γγ
γγ
&&
&&
(0.31)

và
(
)
,
1
22
2
]),0([
,

21
21
21
+
≤+
+≤−
∞
∑
N
TC
N
KCKPP
λλ
γγ
γγ
γγ
(0.32)
với
21
, CC
là hằng số độc lập với
λ
,K
. Kết quả thu được ở đây cũng đã mở rộng
và chứa đựng các kết quả trong [1, 2, 5, 25] như là trường hợp riêng. Kết quả nầy
đã được công bố trong [D3].