Luận án tiến sĩ toán học: Sử dụng phương pháp giải tích trong bài tóan biên phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH




BÙI TIẾN DŨNG



SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP
GIẢI TÍCH
VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN
PHI TUYẾN






LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

TP. HỒ CHÍ MINH - 2005


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH



BÙI TIẾN DŨNG



SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP
GIẢI TÍCH
VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN
PHI TUYẾN





Chuyên ngành

:

TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 1. 01. 01


LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:


TS. NGUYỄN THÀNH LONG
PGS.TS. NGUYỄN HỘI NGHĨA


TP. HỒ CHÍ MINH – 2005


LỜI CAM ĐOAN


Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả và
số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong
bất kỳ một công trình nào khác.



Tác giả luận án

Lời cảm ơn
W X Y Z

Con xin ghi tạc công ơn sinh thành và dưỡng dục của Cha mẹ để con khôn lớn
nên người.
Tôi xin ghi ơn tất cả Quý Thầy, Cô đã dạy cho tôi từ thû ấu thơ cho đến ngày
tôi được thành đạt hôm nay.
Kính gửi đến TS. Nguyễn Thành Long, Khoa Toán – Tin của Trường Đại học
Khoa học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, cùng PGS. TS. Nguyễn Hội Nghóa,
Ban Sau Đại Học của Đại Học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh, lòng biết ơn và
tất cả những tình cảm tốt đẹp nhất vì sự tận tụy dạy dỗ của Quý Thầy đã dành cho
tôi, kể cả những nghiêm khắc cần thiết của Quý Thầy trong việc hướng dẫn cho tôi
học tập và nghiên cứu khoa học, nhằm giúp tôi được nên người.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Quý Thầy phản biện độc lập luận án,
Quý Thầy trong Hội đồng đánh giá luận án tiến sỹ cấp Bộ môn, Hội đồng đánh giá
luận án tiến sỹ cấp Nhà nước, đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu, giúp cho tôi hoàn

thành tốt đẹp luận án này.
Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô cùng các Chuyên viên ở Vụ Đại học và Sau
Đại học của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, và ở Phòng Sau Đại học của Trøng Đại
học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp cho tôi hoàn tất các thủ tục
học tập và bảo vệ luận án tiến sỹ.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Kiến Trúc
Thành phố Hồ Chí Minh cùng Qúy Thầy, Cô đồng nghiệp thuộc Khoa Khoa học Cơ
Bản đã độâng viên và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn tất việc học tập,
nghiên cứu khoa học. Đặc biệt xin được cảm ơn Thạc sỹ Ninh Quang Thăng, Khoa
Trưởng Khoa Khoa Học Cơ Bản của Trường Đại học Kiến Trúc Thành phố Hồ Chí
Minh, người lãnh đạo, người anh, và là đồng nghiệp đã luôn sát cánh bên tôi, giúp
đỡ rất nhiều cho tôi trong sự nghiệp giảng dạy, quản lý tổ chức để cho tôi tập trung
hoàn thành được luận án tiến sỹ này.
Sau cùng, tôi xin gửi tất cả những tình cảm yêu thương và lòng biết ơn đối với
gia đình, nơi đã gửi gắm ở tôi niềm tin, nơi cho tôi những an lành và sức mạnh, nhờ
đó tôi có thể vượt qua khó khăn, trở ngại để học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận
án tiến sỹ của mình.

Bùi Tiến Dũng



MỤC LỤC


trang
Phần mở đầu
1
Chương 1
:

Phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff
12
1.1 Giới thiệu
1.2 Ký hiệu và các kết quả chuẩn bò
1.3 Đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán
với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất
1.4 Đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán
với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất
1.5 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu đến cấp 3
theo một tham số ε
1.6 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu đến cấp N+1
theo một tham số ε
1.7 Nhận xét về các kết quả thu được
Chương 2
:
Phương trình sóng phi tuyến liên kết với một phương trình
tích phân phi tuyến chứa giá trò biên

71

2.1 Giới thiệu
2.2 Đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm
2.3 Sự ổn đònh của nghiệm
2.4 Nhận xét về các kết quả tìm được
Phần kết luận
100

A. Danh mục các công trình của tác giả có liên quan đến luận án
103

B. Tài liệu tham khảo
104





1
PHẦN MỞ ĐẦU
Trong các ngành Khoa học ứng dụng như Vật lý, Hóa học, Cơ học, Kỹ
thuật, thường xuất hiện các bài toán biên phi tuyến rất phong phú và đa dạng.
Đây chính là nguồn đề tài không bao giờ cạn mà rất nhiều các nhà toán học từ
trước đến nay quan tâm nghiên cứu. Hiện nay, với những thành tựu của Toán học
hiện đại, nhiều công cụ sâu sắc dựa vào nền tảng của Giải tích hàm đã xâm nhập
vào từng bài toán biên phi tuyến cụ thể ở một mức độ nào đó. Tuy nhiên, nhìn
một cách tổng quát, chúng ta vẫn chưa có một phương pháp toán học chung để
giải quyết cho mọi bài toán biên phi tuyến. Do đó còn rất nhiều các bài toán biên
phi tuyến vẫn chưa giải hoặc giải được một phần tương ứng với số hạng phi tuyến
cụ thể nào đó.
Trong luận án này chúng tôi sẽ khảo sát một số bài toán biên có liên quan
đến nhiều vấn đề trong các ngành Khoa học ứng dụng. Chẳng hạn các phương
trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện
trong các bài toán mô tả dao động của một vật đàn hồi ( một dây hoặc một thanh
đàn hồi) với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va
chạm của một vật rắn với một thanh đàn nhớt tuyến tính trên một nền cứng hoặc
một nền đàn nhớt với các ràng buộc đàn hồi phi tuyến ở bề mặt, các ràng buộc
liên hệ với lực cản ma sát nhớt. Công cụ để khảo sát các bài toán biên trên được
chúng tôi sử dụng và trình bày trong luận án là các phương pháp của Giải tích
hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn điệu,
phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với các đònh lý về điểm bất động, phương

pháp tiệm cận
Ngoài phần tổng quan ở chương mở đầu, kết quả chính của luận án sẽ
được trình bày trong hai chương sau:
Chương 1: Trong chương này, chúng tôi quan tâm đến một dạng phương
trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff


2
,0 ),1,0(),,,,,,() ,(
22
TtxuuuutxfuutBu
txxtt
<<=Ω∈∇∇=∇− (0.1)
liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất
,(t)),1( ),(),0(),0(
100
gtutgtuhtu
x
=
=− (0.2)
và điều kiện đầu
),(
~
)0,( ),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t
=

= (0.3)
trong đó
1010
, ,
~
,
~
, , gguufB là các hàm cho trước sẽ được giả thiết ở phần sau và
0
0
≥h là hằng số cho trước. Trong phương trình (0.1) các số hạng phi tuyến
),(
2
utB ∇ và ),,,,,(
2
uuuutxf
t
∇∇ phụ thuộc vào tích phân

.),()(
1
2
2
∫
∑
Ω
=
∂
∂
=∇

N
i
i
dxtx
x
u
tu (0.4)
Phương trình (0.1) được tổng quát hóa từ phương trình mô tả dao động của một
dây đàn hồi (Kirchhoff [16]):
ρ
,0 , 0 ,),(
y
u

2
0
2
0
TtLxudyty
L
E
Phu
xx
L
tt
<<<<
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=
∫
(0.5)
đây
u
là độ võng, ρ là khối lượng riêng,
h
là thiết diện,
L
là chiều dài sợi dây ở
trạng thái ban đầu,
E
là môđun Young và
0
P là lực căng lúc ban đầu. Tuy nhiên,
trong nhiều tài liệu sau này ( xem [13, 15, 23, 24, 30, 39]) vẫn gọi phương trình
thuộc dạng (0.5) là phương trình sóng chứa toán tử Carrier hoặc ghép tên chung
và gọi là phương trình sóng chứa toán tử Kirchhoff-Carrier. Thật ra giữa hai bài
báo gốc của Kirchhoff (1876)[16] và của Carrier (1945)[7] có sự khác biệt, bởi vì
chúng tôi tìm thấy trong [7] của Carrier đã công bố năm 1945 thì phương trình
không phải thuộc dạng
(0.5), mà lại là

,0 , 0 ,),(

0
2
10
TtLxudytyuPPu
xx
L
tt
<<<<
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
∫
(0.6)
trong đó
10
, PP là các hằng số dương.


3
Trong một số trường hợp riêng của
B
và
f
, bài toán Cauchy hay hỗn hợp

cho phương trình
(0.1) đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như Ebihara,
Medeiros và Miranda[13]; Pohozaev[34]; Frota[14]; Larkin[18]; Santos[36],
Tucsnak[38]; Santos-Fereira-Saposo[37]; Yamada[39]. Trong hai công trình gần
đây (xem [31, 32]), các tác giả Medeiros, Limaco, Menezes đã cho một tổng
quan các kết quả về khía cạnh toán học có liên quan đến mô hình Kirchhoff-
Carrier.
Trong [14], Frotta chú ý nghiên cứu phương trình sóng cho miền n-chiều
n
I
R⊂Ω
,0,),,() ,(
2
TtxtxfuuxBu
tt
<<Ω∈=Δ∇− (0.7)
liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất và điều kiện đầu.
Thay vì xét
(0.7), Larkin[18] nghiên cứu phương trình sóng
,0 ,),,(),,())( ,,(
2
TtxtxfutxgututxBu
ttt
<<Ω∈=+Δ−
(0.8)
liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất và điều kiện đầu, với

∫
Ω
= .),()(

22
dxtxutu
Trong [37], các tác giả Santos-Ferreira-Pereira-Raposo nghiên cứu bài
toán với phương trình sóng
,0 ),1,0(,0)()(
2
TtxufuuuBu
ttt
<<=Ω∈=+Δ−Δ∇− (0.9)
liên kết với điều kiện biên hỗn hợp phi tuyến và điều kiện đầu.
Trong [38], Tucsnak nghiên cứu bài toán
,0 , 10 0,),(
1
0
2
><<=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+−
∫
txudyty
y

u
bau
xxtt
(0.10)
,0 ,0),1( ),1( ,0),0( >
=
−
== ttututu
tx
α
(0.11)
),(
~
)0,( ),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t
=
= (0.12)


4
trong đó 0 ,0 ,0 >≥>
α
ba là các hằng số cho trước. Trong trường hợp này, bài
toán
(0.10) - (0.12) mô tả sự kéo giãn sợi dây.
Trong [30] Medeiros đã khảo sát bài toán

)1.0( - )3.0( với ,)(
2
buuff −==
ở đây
b
là một hằng số dương cho trước, Ω là một tập mở bò chận của .
3
IR Trong
[15], Hosoya và Yamada đã xét bài toán với
,)( uuuff
α
δ
−==
trong đó
δ
> 0 ,
α
≥ 0 là các hằng số cho trước.
Trong [8] Dmitriyeva đã nghiên cứu bài toán
),(0,),( ),,( .
2
2
TtxtxFuuuuu
ttt
×Ω∈=+Δ∇−Δ+
ελ
(0.13)
∑
=
=

∂
∂
=
2
1
2
2
0 ,0
i
i
i
v
x
u
u trên ,
Ω
∂
(0.14)
),(
~
)0,( ),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t
=
= (0.15)
trong đó,
),,0(),0(

π
π
×=Ω vectơ ),(
21
vvv
=
là pháp tuyến đơn vò trên biên
Ω
∂

hướng ra ngoài,
,6/
22
h
πλ
= với
ε
,h
là các hằng số dương. Trong trường hợp này,
bài toán (0.13)-(0.15) mô tả dao động phi tuyến của một bản hình vuông có tải
trọng tónh.
Trong [26], N.T Long và các tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của bài toán
),,0(),( ),,( )(.
12
2
TtxtxFuuuuBuu
tttt
×Ω∈=+Δ∇−Δ+
−

α
ελ
(0.16)
0 ,0 =
∂
∂
=
v
u
u trên
Ω
∂
, (0.17)
),(
~
)0,( ),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t
=
= (0.18)
trong đó λ >
,0
ε
> ,0 0 < α < 1 là các hằng số cho trước và Ω là một tập mở bò
chận của
.
n

IR
Bằng cách tổng quát kết quả của [8, 26], các tác giả N.T Long và T.M.
Thuyết [27] đã xét bài toán
),,0(),( ),,(),( )(.
2
2
TtxtxFuufuuBuu
ttt
×Ω∈=+Δ∇−Δ+
λ
(0.19)


5
0 ,0 =
∂
∂
=
v
u
u trên
Ω
∂
, (0.20)
).(
~
)0,( ),(
~
)0,(
10

xuxuxuxu
t
=
= (0.21)
Trong [9], Alain Phạm đã nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận khi
ε →
0 của nghiệm yếu của bài toán
)1.0(
-
)3.0(
với
B
≡ 1 liên kết với điều kiện
biên thuần nhất Dirichlet
,0),1( ),0(
=
=
tutu (0.22)
ở đây số hạng phi tuyến có dạng ).,(
1
utff
ε
=
Sau đó, trong [10] Alain P.N. Đònh
và N.T. Long đã xét bài toán
)1.0( - )3.0( với
B
≡ 1 và số hạng phi tuyến có dạng

),,(

1 t
uutff
ε
=
(0.23)
Trong [21] N.T. Long và T.N. Diễm đã khảo sát phương trình sóng phi tuyến
,0),1,0(),,,,,( ),,,,(
1
Ttxuuutxfuuutxfuu
txtxxxtt
<
<
∈
+
=−
ε
0.24)
liên kết với điều kiện đầu
(0.3) và điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất
0,),0(),1(),0(),0(
10
=
+
=− tuhtutuhtu
xx
(0.25)
trong đó
10
, hh là các hằng số dương cho trước.
Trong trường hợp

)),0[]1,0([
32
IRCf ×∞×∈ và ),),0[]1,0([
31
1
IRCf ×∞×∈
trong [12] thu được kết quả thu được liên quan đến khai triển tiệm cận của
nghiệm bài toán nhiễu đến cấp 2 theo một tham số ε đủ nhỏ. Kết quả này tiếp
tục được mở rộng trong [24] với phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử
Kirchhoff:
),,,,,( ),,,,(
)] (.) ([
1
2
1
2
0
txtx
xxxxtt
uuutxfuuutxf
uuBuBbu
ε
ε
+=
++−
(0.26)
liên kết với điều kiện
)3.0( và )22.0( trong đó 0
0
>b là hằng số cho trước và

0 ,0 ),( ),(
1
1
1
2
≥≥∈∈
++
BBIRCBIRCB là các hàm cho trước.
Trong chương này, chúng tôi tập trung giải quyết hai vấn đề:


6
Vấn đề thứ nhất: Chúng tôi liên kết bài toán với một dãy qui nạp tuyến
tính hội tụ mạnh trong các không gian hàm thích hợp và chứng minh sự tồn tại đòa
phương và duy nhất nghiệm của bài toán bằng phương pháp Galerkin thông dụng
kết hợp với phương pháp compact. Chú ý rằng phương pháp tuyến tính hóa trong
chương này cũng như trong các bài báo [6, 10, 21, 23, 24, 33] không thể sử dụng
trong các bài báo [3, 5, 9, 11, 12, 13, 19, 20, 26, 27, 29, 30, 34]
Vấn đề thứ hai: Chúng tôi khảo sát bài toán nhiễu
) ,,,,,(.ε) ,,,,,(
)] ,(.ε) ,([
2
1
2
2
1
2
xtxxtx
xxxxtt
uuuutxfuuuutxf

uutButBu
+=
+−
(0.27)
và tìm cách khai triển tiệm cận của nghiệm yếu
),(
ε
txu đến cấp N+1 theo một
tham số bé ε.
Trong vấn đề thứ nhất, trước hết chúng tôi chứng minh sự tồn tại đòa
phương và duy nhất nghiệm của bài toán
(0.1) - (0.3) tương ứng với điều kiện biên
hỗn hợp thuần nhất
,0 ),1,0( ),,,,,,() (
22
TtxuuuutxfuuBu
xtxxxxtt
<<=Ω∈=− (0.28)
,0),1(),0(),0(
0
=
=
−
tutuhtu
x
(0.29)
),(
~
)0,( ),(
~

)0,(
10
xuxuxuxu
t
=
= (0.30)
trong đó
10
~
,
~
, , uufB là các hàm cho trước. Ở đây, số hạng phi tuyến ở vế phải
của
(0.28) xác đònh bởi hàm
f
được giả sử rằng )]1,0([
30
++
×××∈ IRIRIRCf và
thêm một số điều kiện phụ.
Kế tiếp chúng tôi mở rộng việc khảo sát cũng với phương trình sóng phi
tuyến có chứa toán tử Kirchhoff-Carrier nhưng lại liên kết với điều kiện biên
hỗn hợp không thuần nhất như sau:
,0),1,0(),,,,,,() ,(
22
TtxuuuutxfuutBu
xtxxxxtt
<<=Ω∈=− (0.31)

,(t)),1( ),(),0(),0(

100
gtutgtuhtu
x
=
=− (0.32)
),(
~
)0,( ),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t
=
= (0.33)


7
trong đó
1010
, ,
~
,
~
, , gguufB là các hàm cho trước sẽ được giả thiết sau. Bằng
việc đặt ẩn phụ thích hợp, chúng tôi đưa bài toán
(0.31) - (0.33) về bài toán có
điều kiện biên thuần nhất thuộc dạng
(0.28) - (0.30) với sự điều chỉnh lại các hàm
10

~
,
~
, , uufB trong (0.28) - (0.30) thành các hàm
10
~
,
~
,
~
,
~
vvfB . Tuy nhiên để giải bài
toán
(0.31) - (0.33) thì giả thiết )]1,0([
30
++
×××∈ IRIRIRCf không đủ mà phải là
),]1,0([
31
++
×××∈ IRIRIRCf dó nhiên cũng phải bổ sung thêm một số điều kiện
phụ. Mặt khác cho dù
),]1,0([
31
++
×××∈ IRIRIRCf thì với các dữ kiện
10
~
,

~
,
~
,
~
vvfB

cho bài toán
(0.31) - (0.33) cũng không áp dụng trực tiếp kết quả đã khảo sát cho
bài toán
(0.28) - (0.30). Điều này cho thấy rằng bài toán (0.28) - (0.30) là trường
hợp riêng của bài toán
(0.31) - (0.33), nhưng về kết quả thì lại là không. Chính vì
vậy, chúng tôi vẫn phải trình bày hai bài toán
(0.1) - (0.3) tương ứng với hai điều
kiện biên thuần nhất và không thuần nhất.

Trong vấn đề thứ hai, để xây dựng ý tưởng và cơ sở lập luận, trước tiên
chúng tôi khảo sát phương trình nhiễu
) ,,,,,(.ε) ,,,,,(
)] ,(.ε) ,([
2
1
2
2
1
2
xtxxtx
xxxxtt
uuuutxfuuuutxf

uutButBu
+=
+−
0.34)
liên kết với (0.32) và (0.33). Khi đó với các giả thiết thích hợp về
1010
, ,
~
,
~
, , gguufB , chúng tôi thu được một nghiệm yếu ),(
ε
txu có khai triển
tiệm cận đến cấp 3 theo một tham số ε đủ nhỏ.
Kế tiếp, chúng tôi mở rộng việc khai triển tiệm cận đến cấp cao hơn cho
phương trình nhiễu
) ,,,,,(.ε) ,,,,,(
)](.ε)([
22
2
1
2
xtxxtx
xxxxtt
uuuutxfuuuutxf
uuBuBu
+=
+−
(0.35)
liên kết với

(0.29) và (0.30). Chúng tôi thu được một nghiệm yếu ),(
ε
txu có khai
triển tiệm cận đến cấp N+1 theo một tham số ε đủ nhỏ và các giả thiết thích hợp
cho
10
~
,
~
, , uufB .


8
Các kết quả này đã được công bố trong hai bài báo [d1, d2]
Chương 2: Chúng tôi xét phương trình sóng phi tuyến liên kết với một
phương trình tích phân phi tuyến chứa giá trò biên. Bài toán đặt ra là tìm một cặp
hàm
(u, P)
thỏa
,0),1,0( ,0),( Ttxuufuu
txxtt
<
<
=
Ω
∈
=+− (0.36)
,0),1( ),(),0(
=
= tutPtu

x
(0.37)
),()0,( ),()0,(
10
xuxuxuxu
t
=
= (0.38)
trong đó
10
, , uuf là các hàm cho trước thỏa một số điều kiện nào đó sẽ được
giả thiết sau. Ẩn hàm
u(x,t)
và giá trò biên chưa biết
P(t)
thỏa một phương trình
tích phân phi tuyến
∫
−−+=
t
dssustKtuHtgtP
0
,)),0(,()),0(()()(
(0.39)
trong đó
g, H
và
K
là các hàm cho trước.
Bài toán

(0.36) - (0.39) đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu theo
nhiều kiểu điều kiện biên khác nhau tương ứng với các ý nghóa cơ học nào đó,
chẳng hạn như :
Trong [1], N.T. An và N.Đ. Triều và trong [20] N.T. Long, Alain P.N. Đònh
đã xét bài toán
(0.36), (0.38) liên kết với điều kiện biên
,0),1( ),(),0(
=
= tutPtu
x
(0.40)
trong đó ẩn hàm
u(x,t)
và giá trò biên chưa biết
P(t)
thỏa bài toán Cauchy cho
phương trình vi phân thường
,0 ,),0()()(''
2
TtthutPtP
tt
<<=+
ω
(0.41)
,)0(' ,)0(
10
PPPP == (0.42)
ở đây
10
, ,0 ,0 PPh >>

ω
là các hằng số cho trước [1, 20].
Trong [1] đã nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của bài toán
(0.36), (0.38)
(0.41), (0.42) với 0
010
=
== Puu và


9
,.),(
tt
uKuuuf
λ
+
= (0.43)
với
K
và
λ
là các hằng số dương cho trước. Trong trường hợp này bài toán (0.36),
(0.38), (0.41), (0.42) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một
thanh đàn nhớt tuyến tính có một đầu đặt trên một nền cứng.
Bằng việc giải bài toán
(0.41), (0.42) ta thu được
P(t)
biểu thò theo
t)(0, , , , ,
10 tt

uhPP
ω
và sau khi tích phân từng phần, ta được

∫
−−+=
t
dssustkthutgtP
0
,),0()(),0()()(
(0.44)
trong đó

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−+−=
. sin)(
, sin))0((
1
cos))0(()(
1100
thtk
thuPtuhPtg
ωω
ω
ω

ω
(0.45)

Bằng cách khử bớt một ẩn hàm
P(t)
thì điều kiện biên (0.37) có dạng

.0),1( s,),0()(),0()(),0(
0
=−−+=
∫
tudsustkthutgtu
t
x
(0.46)
Cũng với
tt
uKuuuf .),(
λ
+
= , trong [5], Bergounioux, N.T. Long và Alain
P.N. Đònh đã khảo sát bài toán
(0.36), (0.38), (0.44) và
0,),1(.),1(),1( ),(),0(
1
=
+
+
= tutuKtutPtu
txx

λ
(0.47)
ở đây
11
, , ,
λ
λ
KK là các hằng số không âm cho trước.
Bài toán này mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tuyến tính
tựa trên một nền đàn nhớt với các ràng buộc tuyến tính ở bề mặt và các ràng
buộc liên kết với lực cản ma sát nhớt.
Trong trường hợp

),10( ),(
1
<<=
−
α
α
ttt
uuuuf (0.48)
Đ.Đ. Áng và Alain P.N. Đònh trong [3] đã thiết lập được một đònh lý tồn tại và
duy nhất của một nghiệm toàn cục cho bài toán
(0.36) - (0.38) với
10
, , uuP là các
hàm cho trước.


10

Bằng sự tổng quát hóa của [1, 3, 20], bài toán (0.36) - (0.38) cũng được xét
bởi
- Alain P.N. Đònh và N.T. Long [11,12] với
k
≡

0 và
)),,0(()()( tuHtgtP += (0.49)
ở đây
H
là hàm cho trước cũng nhận trường hợp
H(s) = hs
như là trường hợp
riêng.
- N.T. Long và T.M. Thuyết [28] với

∫
−−+=
t
dsustktuHtgtP
0
s.),0()()),0(()()(
(0.50)
Trong chương này, chúng tôi thực hiện hai phần chính. Ở phần thứ 1,
chúng tôi chứng minh đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu toàn cục của bài
toán
(0.36) - (0.39). Việc chứng minh dựa trên cơ sở của phương pháp xấp xỉ
Galerkin kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm, các kỹ thuật của phương pháp
compact và phương pháp hội tụ yếu. Trong phần xấp xỉ Galerkin, chúng tôi cũng
sử dụng đònh lý về điểm bất động Schauder để kiểm tra sự tồn tại của nghiệm

xấp xỉ. Sự khó khăn chính gặp phải trong phần này là điều kiện biên tại
0
=
x
.
Ta
chú ý rằng phương pháp tuyến tính hóa đã sử dụng trong [6, 10, 21, 23, 24, 33]
không dùng được trong [3, 5, 9, 11-13, 19, 20, 26, 27, 29, 30, 34]. Trong phần thứ
2 của chương này, chúng tôi chứng minh nghiệm
(u,P)
là ổn đònh đối với các hàm
g, H
và
K
. Các kết quả thu được ở đây đã tổng quát hóa tương đối các kết quả
trong [1, 3, 5, 9-12, 17, 20, 21, 25, 28, 33] và đã được công bố trong [d3].
Các kết quả trên đây của luận án đã được công bố trong ([d1]-[d4]) và đã
tham gia báo cáo trong các hội nghò:
- Hội nghò về Phương trình đạo hàm riêng và Ứng dụng, Hà Nội, 27-29/12/99.
- Hội nghò Toán học Việt nam toàn quốc lần thứ 6, Huế, 7-10/9/2002.
- Hội nghò Khoa học lần 2, ĐHKH Tự Nhiên Tp HCM, 5-2000.
- Hội nghò Khoa học lần 3, ĐHKH Tự Nhiên Tp HCM, 10-2002.


11
- Hoọi nghũ Khoa hoùc Khoa Toaựn Tin hoùc, ẹaùi hoùc Sử phaùm Tp HCM,
22/12/2000.
- Hoọi nghũ Khoa hoùc Khoa Toaựn Tin hoùc, ẹaùi hoùc Sử phaùm Tp HCM, 21-
22/12/2002.

12
Chương 1
PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN
CÓ CHỨA TOÁN TỬ KIRCHHOFF
1.1. Giới thiệu
Trong chương này, chúng tôi quan tâm đến một dạng phương trình sóng phi

tuyến có chứa toán tử Kirchhoff được liên kết với điều kiện biên hỗn hợp
,0),1,0(),,,,,,() ,(
22
TtxuuuutxfuutBu
xtxxxxtt
<<=Ω∈=− (1.1.1)

,(t)),1( ),(),0(),0(
100
gtutgtuhtu
x
=
=
−
(1.1.2)
),(
~
)0,( ),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t
=
= (1.1.3)
trong đó
1010
, ,
~
,

~
, , gguufB là các hàm cho trước thỏa một số giả thiết nào đó
mà ta sẽ đặt sau. Trong phương trình (1.1.1) các số hạng phi tuyến
),(
2
x
utB và
),,,,,(
2
xtx
uuuutxf phụ thuộc vào tích phân
∫
=
1
0
22
.),( dxtxuu
xx
(1.1.4)
Chúng tôi tập trung giải quyết hai vấn đề
Vấn đề thứ nhất
: Chúng tôi chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm đòa
phương của bài toán
(1.1.1) - (1.1.3) tương ứng với hai trường hợp thuần nhất
(
0)()(
10
== tgtg ) và không thuần nhất ( )(0)(
10
tgtg

≠
≠
). Ý tưởng và công cụ
tổng quát để khảo sát sự tồn tại nghiệm là thiết lập một dãy qui nạp tuyến tính
liên kết với bài toán, sau đó sử dụng xấp xỉ Galerkin và phương pháp compact để
chứng minh dãy này hội tụ mạnh về nghiệm yếu của bài toán
(1.1.1) - (1.1.3) trong
các không gian hàm thích hợp. Sự duy nhất nghiệm được chứng minh nhờ vào bổ
đề Gronwall sau một số các phép tính toán và đánh giá cụ thể.
Vấn đề thứ hai
: Chúng tôi khảo sát bài toán nhiễu



13
) ,,,,,(.ε) ,,,,,(
)] ,(.ε) ,([
2
1
2
2
1
2
xtxxtx
xxxxtt
uuuutxfuuuutxf
uutButBu
+=
+−
(1.1.5)

liên kết với
(1.1.2), (1.1.3) và tìm cách khai triển tiệm cận của nghiệm yếu
),(
ε
txu đến một cấp nào đó phụ thuộc vào tính trơn của các hàm
11
, , , ffBB

theo một tham số bé ε.
Trong vấn đề thứ nhất, trước hết chúng tôi chứng minh sự tồn tại đòa
phương và duy nhất nghiệm của bài toán với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất
,0 ),1,0( ),,,,,,() (
22
TtxuuuutxfuuBu
xtxxxxtt
<<∈=−
(1.1.6)
,0),1(),0(),0(
0
=
=
−
tutuhtu
x
(1.1.7)
),(
~
)0,( ),(
~
)0,(

10
xuxuxuxu
t
=
= (1.1.8)
trong đó
10
~
,
~
, , uufB là các hàm cho trước sẽ được giả thiết ở phần sau và 0
0
≥h
là hằng số cho trước. Trong phương trình
(1.1.6) số hạng phi tuyến )(
2
x
uB bây giờ
không phụ thuộc vào biến thứ nhất ( biến thời gian
t
) mà chỉ phụ thuộc vào tích
phân
∫
=
1
0
22
),( dxtxuu
xx
. Sau đó, với một số giả thiết nào đó trên các hàm cho

trước
1010
, ,
~
,
~
, , gguufB và bằng việc đổi ẩn hàm bằng phép tònh tiến
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−
+
=
−=
−
),()()1(
1
1
),(
),,(),(),(
10
0
) (
0
tgetgx
h
tx
txtxutxv

txh
ϕ
ϕ
(1.1.9)
bài toán
(1.1.1) - (1.1.3) được đưa về bài toán với điều kiện biên thuần nhất sau
,0,10
),)()(,,,,,(
~
))()( ,(
22
Ttx
ttvvvvtxfvttvtBv
xxtxxxxxtt
<<<<
+=+−
ϕϕ
(1.1.10)
,0),1(),0(),0(
0
=
=− tvtvhtv
x
(1.1.11)
),(
~
)0,( ),(
~
)0,(
10

xvxvxvxv
t
=
= (1.1.12)
trong đó



14
,),(),,,,,(),,,,,(
~
ttzzttxxtx
ztBzvvvtxfzvvvtxf
ϕϕϕϕϕ
−++++= (1.1.13)
).0,()(
~
)(
~
),0,()(
~
)(
~
1100
xxuxvxxuxv
t
ϕ
ϕ
−
=

−= (1.1.14)
Tuy nhiên, bài toán
(1.1.10) - (1.1.13) không sử dụng được kết quả của bài
toán
(1.1.6) - (1.1.8). Do đó, chúng tôi tiếp tục trình bày chứng minh kết quả tồn
tại và duy nhất nghiệm cho bài toán
(1.1.1) - (1.1.3) tương ứng với trường hợp
không thuần nhất (
)(0)(
10
tgtg
≠
≠ ).
Trong vấn đề thứ hai, để xây dựng ý tưởng và cơ sở lập luận, trước tiên
chúng tôi khảo sát phương trình nhiễu (1.1.5) liên kết với (1.1.2), (1.1.3) và thu
được một nghiệm yếu
),(
ε
txu có khai triển tiệm cận đến cấp 3 theo một tham số
ε đủ nhỏ.
Kế tiếp, chúng tôi mở rộng việc khai triển tiệm cận cho phương trình nhiễu
) ,,,,,( ε) ,,,,,(
)] ( ε) ([
2
1
2
2
1
2
xtxxtx

xxxxtt
uuuutxfuuuutxf
uuBuBu
+=
+−
(1.1.15)
liên kết với (
1.1.7) và (1.1.8) để thu được một nghiệm yếu ),(
ε
txu có khai triển
tiệm cận đến cấp N+1 theo một tham số bé ε. Các kết quả này đã được công
bố trong hai bài báo [d1, d2].
1.2. Ký hiệu và các kết quả chuẩn bò
Chúng ta bỏ qua các đònh nghóa của các không gian hàm thông dụng. Ta
ký hiệu
.T,T),(ΩQ(ΩHH(ΩHH(ΩLL
T
mmmmPP
00),),),
00
>×====

Ta dùng ký hiệu 〈
⋅⋅, 〉 để chỉ tích vô hướng trong
2
L hay cặp tích đối ngẫu
của một phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của một không gian hàm


Ký hiệu

⋅ để chỉ chuẩn trong
2
L và ký hiệu
X
⋅ để chỉ chuẩn trong một không
gian Banach
X
. Ta gọi
X
′
là không gian đối ngẫu của
X.



15
Ta ký hiệu ,1),;,0( ∞≤≤ pXTL
P
là không gian Banach của các hàm đo
được
u
:
(
0
,T)
⎯→⎯
X
, sao cho
∞+<
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∫
)(
1
0
);,0(
p
T
P
X
P
dttuu
XTL
nếu ,1
∞
<
≤
p
và
X
tuessu
Tt
XTL

)(sup
0
);,0(

<<
∞
= nếu .
∞
=
p

Ký hiệu
)()( ),()( ),()( ),()( ),( tututututututututu
xxxttt
Δ=
∇
=
=
=
&&&
thay cho
),)(/( ),,)(/( ),,)(/( ),,)(/( ),,(
2222
txxutxxutxtutxtutxu ∂∂∂∂∂∂∂∂ lần lượt tương ứng.
Với
f = f(x,t,u,v,w,z)
, ta đặt
./ ,/ ,/ ,/ ,/ ,/
654321
zffDwffDvffDuffDtffDxffD

∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂∂=∂∂=
Bây giờ đặt

}, 0)1(:)1,0( {
1
=∈= vHvV )1.2.1(
.)0()0()()(),(
1
0
0
∫
+= vuhdxxvxuvua
xx
)2.2.1(
Khi đó
V
là một không gian con đóng của
1

H
và trên
V
thì ba chuẩn ,
1
H
v
,
x
v
V
v ),( vva= là tương đương.
Chúng ta có các bổ đề sau
Bổ đề 1.2.1.
Phép nhúng
V 1 ])1,0([
0
C
là compact và với mọi
,Vv ∈
ta có


V
vvv
x
C

])1,0([
0

≤≤ , )3.2.1(

2
1
≤
1
H
v ≤
x
v
V
v
1
),1max(
0
H
vh≤ .
)4.2.1(



Bổ đề 1.2.2.
Dạng song tuyến tính đối xứng a(
⋅
⋅
,
) được đònh nghóa trong
)2.2.1(
là
liên tục trên

VV ×
và cưỡng bức trên V.


16
Bổ đề 1.2.3.
Tồn tại một cơ sở trực chuẩn Hilbert
}
~
{
j
w
của
2
L
gồm các hàm
riêng
}
~
{
j
w
tương ứng với giá trò riêng
j
λ
sao cho
:

, 0
21

≤
≤
≤≤<
j
λ
λ
λ
,lim
∞
+
=
∞+→
j
j
λ

)5.2.1(

vwvwa
jjj
,
~
),
~
(
λ
= với mọi ,Vv
∈

j

= 1, 2, )6.2.1(
Hơn nữa, dãy
} /
~
{
jj
w
λ
cũng là một cơ sở trực chuẩn Hilbert của V đối
với tích vô hướng a(
⋅⋅,
). Mặt khác,
j
w
~
cũng thỏa bài toán giá trò biên
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∩∈
==−
Ω=Δ−
∞
]).1,0([
~
,0)1(
~
)0(

~
)0(
~

, trong
~
~
0
CVw
wwhw
ww
j
jjj
jjj
x
λ
)7.2.1(
Việc chứng minh các bổ đề 1.2.1 và 1.2.2 thì không có gì khó khăn và
phức tạp, ta có thể bỏ qua. Đối với bôû đề 1.2.3, phần chứng minh có thể tìm thấy
trong [35], trang 137, Đònh lý
,1.2.6
với
H =
,
2
L còn
V
,
a(
⋅

⋅
,
)
được đònh nghóa bởi
)1.2.1(
và
)2.2.1(
.
1.3. Đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán với điều kiện biên hỗn hợp
thuần nhất
Chúng ta bắt đầu khảo sát bài toán
)6.1.1( - )8.1.1( với các giả thiết được
đặt ra dưới đây
:)(
1
H 0
0
≥h
:)(
2
H
;,
~
1
2
0
VuHVu ∈∩∈

:)(
3

H ;0)( ),(
0
1
>≥∈
+
bzBIRCB
:)(
4
H )]1,0([
30
++
×××∈ IRIRIRCf thỏa



0),,,,,1(:)(
'
4
=zwvutfH với mọi
t, z
0≥ và ,),,(
3
IRwvu ∈

:)(
''
4
H .6 5, 4, 3, 1,),]1,0([
30
=×××∈

++
iIRIRIRCfD
i



17
(Chú ý rằng không cần thiết ).]1,0([
31
++
×××∈ IRIRIRCf
Với
B
và
f
thỏa các giả thiết )(
3
H và )(
4
H tương ứng, ta xây dựng các
hằng số sau đối với mỗi
M >
0

và
T >
0

,),,,,,(sup),,(
00

zwvutxffTMKK == )1.3.1(

),,,,,,)(sup(),,(
6
3
111
zwvutxfDfDfTMKK
i
i
∑
=
+== )2.3.1(
ở đây, trong mỗi trường hợp, sup được lấy trên miền
,0 Tt ≤≤

,10
≤
≤
x

,Mwvu ≤++ .0
2
Mz ≤≤

,)(sup),(
~
2
0
00
zBBMKK

Mz≤≤
== )3.3.1(

.)('sup),(
~
2
0
11
zBBMKK
Mz≤≤
=
′
= )4.3.1(
Với mỗi
M
>0 và
T
> ,0 ta đặt

}, ,,
),(),;,0(:);,0( {),(
)();,0();,0(
2
22
2
Mvvv
QLvVTLvHVTLvTMW
T
ttt
Tttt

QLVTLHVTL
≤
∈∈∩∈=
∞
∩
∞
∞
∞

)5.3.1(


)}.,,0(),,({),(
2
1
LTLvTMWvTMW
tt
∞
∈∈=
)6.3.1(
Ta liên kết bài toán
)6.1.1( - )8.1.1( với một dãy quy nạp tuyến tính }{
m
u sau
Trước hết, chọn số hạng đầu tiên
00
~
uu
=
. Giả sử rằng

).,(
11
TMWu
m
∈
−

)7.3.1(

Sau đó, tìm
),(
1
TMWu
m
∈ thỏa bài toán biến phân tuyến tính

〉
〈
=
+〉〈 vtFvtuatbvtu
mmmm
),()),(()(),(
&&
với mọi
,Vv ∈

)8.3.1(

,
~
)0(
0
uu
m
= ,
~
)0(
1
uu
m
=
&
)9.3.1(


ở đây

).)(),(),(),(,,(),(
),)(()(
2
1111
2
1
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧

∇∇=
∇=
−−−−
−
tututututxftxF
tuBtb
mmmmm
mm
&
)10.3.1(


18
Khi đó, ta có
Đònh lý 1.3.1.
Giả sử các giả thiết
)()(
41
HH
−
được thỏa. Khi đó tồn tại các hằng
số dương M và T và một dãy qui nạp tuyến tính
),(}{
1
TMWu
m
⊂
được xác đònh
bởi
).10.3.1()8.3.1( −

Chứng minh. Việc chứng minh đònh lý bao gồm nhiều bước
Bước1.

Xấp xỉ Galerkin
(xem Lions[17])
Trong
V
ta chọn cơ sở trực chuẩn Hilbert } /
~
{
jjj
ww
λ
=

như đã nêu ra
trong bổ đề 1.2.3. Đặt

∑
=
=
k
j
j
k
mj
k
m
wtctu

1
)()(
,)()( )11.3.1(
trong đó
)(k
mj
c thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính

,1 ,),()),(()(),(
)()(
kjwtFwtuatbwtu
jmj
k
mmj
k
m
≤≤〉〈=+〉〈
&&
)12.3.1(

k
k
m
uu
0
)(
~
)0( =
,
,

~
)0(
1
)(
k
k
m
uu =
&
)13.3.1(
ở đây

00
~
~
uu
k
→ mạnh trong ,
2
HV ∩ )14.3.1(

11
~
~
uu
k
→ mạnh trong V .
)15.3.1(

Từ giả thiết

),(
11
TMWu
m
∈
−
ta suy ra hệ phương trình )13.3.1()12.3.1( − có duy
nhất nghiệm
)(
)(
tu
k
m
trong khoảng .0
)(
TTt
k
m
≤≤≤ Các đánh giá tiên lượng sau đây
cho phép ta lấy
TT
k
m
=
)(
với mọi
m
và
k.

Bước 2. Đánh giá tiên lượng
. Đặt


∫
++=
t
k
m
k
m
k
m
k
m
dssutYtXtS
0
2
)()()()(
,)()()()(
&&

)16.3.1(

ở đây


19
)),(),(()()()(
)()(

2
)()(
tutuatbtutX
k
m
k
mm
k
m
k
m
+=
&
)17.3.1(

.)()())(),(()(
2
)()()()(
tutbtutuatY
k
mm
k
m
k
m
k
m
Δ+=
&&
)18.3.1(

Từ
),12.3.1()13.3.1( và ),18.3.1()16.3.1(
−
ta được

∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ+
′
+=
t
k
m
k
m
k
mm
k
m
k
m
dssususuasbStS
0
2
)()()()()(

)())(),(()()0()(

+
∫∫
+〉〈
t
k
mm
t
k
mm
dssusFadssusF
0
)(
0
)(
))(),((2)(),(2
&&


∫
+
t
k
m
dssu
0
2
)(
)(

&&

=
4321
)(
)0( IIIIS
k
m
++++
. )19.3.1(
Chúng ta tiến hành đánh giá các tích phân có mặt trong vế phải của
(1.3.19).
Tích phân thứ 1
. Ta có

),)(()(
2
1
tuBtb
mm −
∇=

.)(),())((2)(
11
2
1
〉∇〈∇∇
′
=
′

−−−
tututuBtb
mmmm
&
)20.3.1(
Dùng giả thiết
),(
3
H ta thu được từ
)4.3.1(
và
),7.3.1(
rằng
(
)
.
~
2)( )( )(2)(
1
2
11
2
1
KMtututuBtb
mmmm
≤∇∇∇
′
=
′
−−−

&
)21.3.1(
Kết hợp
)18.3.1()16.3.1( −
và
),21.3.1(
ta được

∫
≤
t
k
m
dssS
b
KM
I
0
)(
0
1
2
1
.)(
~
2

)22.3.1(

Tích phân thứ 2.

Từ ),1.3.1( ),10.3.1( )16.3.1( và ),17.3.1( ta có


∫∫
≤≤
t
k
m
t
k
mm
dssSKdssusFI
0
)(
0
0
)(
2
.)(2)( )(2
)23.3.1(
Tích phân thứ 3.
Từ (1.3.1), (1.3.2), (1.3.7) và )10.3.1( ta suy được rằng


20

2
)(
V
sF

m
= .)31(4),0()(
2
00
22
1
2
0
2
KhMKsFhsF
mm
++≤+∇ )24.3.1(
Do vậy từ
(1.3.16), (1.3.18) và (1.3.24) ta thu được

∫
≤
t
k
mm
dssusFI
V
V
0
)(
3
)( )(2
&

∫
++≤
t
k
m
dssSKhMK
0
)(
00
2
1
.)(]312[2 )25.3.1(
Tích phân thứ 4.
Phương trình )12.3.1( được viết lại

,1 ,),(),()(),(
)()(
kjwtFwtutbwtu
jmj
k
mmj
k
m
≤≤〉〈=〉Δ〈−〉〈
&&
)26.3.1(
theo đó ta thay
j
w
bởi )(

)(
tu
k
m
&&
và tích phân hai vế ta được

∫∫∫
+Δ≤
t
m
t
k
mm
t
k
m
dssFdssusbdssu
0
2
0
2
)(2
0
2
)(
.)(2)()(2)(
&&
)27.3.1(
Từ (1.3.1), (1.3.3), (1.3.7), (1.3.10), (1.3.16) và (1.3.18), ta kết luận

.2)(
~
2
0
2
0
)(
04
∫
+≤
t
k
m
TKdssSKI
)28.3.1(
Kết hợp (1.3.19), (1.3.22), (1.3.23), (1.3.25) và (1.3.28), ta có

(
)
∫
+++++≤
t
k
m
k
m
k
m
dssSKhMKTKStS

0
)(
00
2
1
2
0
)()(
)()1(31222)0()(

∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
t
k
m
dssS
b
KM
K
0
)(
0

1
2
0
)(
~
~
2


2
00
2
1
2
0
)(
])1(312[
2
1
2)0( KhMKTTKS
k
m
+++++≤

∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
+++
t
k
m
dssS
b
KM
K
0
)(
0
1
2
0
)(
~
~
12


∫
++=
t
k
m
k
m

dssSMCTMCS
0
)(
21
)(
,)()(),()0(

)29.3.1(

ở đây