SKKN chứng minh hai đường thẳng song song bằng định lý talet đảo

ĐỀ TÀI:
CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
BẰNG ĐỊNH LÝ TALET ĐẢO
A. MỞ ĐẦU
Mơn tốn là một trong những mơn học cơ bản, không thể thiêú trong nhà
trường phổ thông, nó cịn là mơn học trở thành cơng cụ cho một số mơn học khác. Bởi
vậy Tốn học chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong lĩnh vực khoa học kỷ thuật
cũng như trong cuộc sống hàng ngày . Thế nhưng không phải học sinh nào cũng say
mê và hứng thú học Tốn.đặc biệt về phân mơn Hình học lại có một cái khó mà nhiều
học sinh thường khơng dám tiếp cận và đối mặt với việc giải các bài tập hình học. Bởi
cái khó của các em là không biết vận dụng lý thuyết vào làm bài tập như thế nào?
Chưa hình dung được khi giải một bài tập hình là làm thế nào? Tư duy về hình học
cịn nhiều hạn chế. Chính vì vậy mà số học sinh u thích học hình cịn rất ít so với số
học sinh thích học đại số
Đứng trước thực trạng ấy địi hỏi giáo viên dạy mơn Tốn cần biết giúp các em
tháo gỡ khó khăn phần nào khi học hình học. Tạo niềm hưng phấn cho học sinh khi
làm bài tốn Hình. Muốn vậy giáo viên phải sớm hình thành phương pháp giải từng
bài toán, cần giúp học sinh biết định hướng tìm lời giải theo phương pháp phân tích
đi lên, hoặc phương pháp phân tích đi xuống (Tuỳ từng bài tốn). Tuy vậy với từng
loại bài tốn lại có thể có nhiều cách giải khác nhau. Chẳng hạn để chứng minh hai
đường thẳng song song trong chương trình Hình học cấp 2 có nhiều phương pháp,
riêng đối với Hình học lớp 8, định lý Talet đảo đã giúp chúng ta có thêm một phương
pháp để chứng minh hai đường thẳng song song. Trong thực tế rất nhiều bài tập về
chứng minh hai đường thẳng song song cần phải nhờ vào định lý Talét đảo. Trong bài
viết này, tôi xin đưa ra cách hướng dẫn học sinh giải một số bài tập về chứng minh hai
đường thẳng song song dựa vào định lý Ta lét đảo.

1


B.NỘI DUNG

I. Cơ sở lý luận:
Xuất phát từ nội dung định lý Ta lét đảo như sau:
Nội dung định lý: “Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra
trên hai cạnh này những đoạn thẳng tỷ lệ thì hai đường thẳng đó song song với cạnh
cịn lại của tam giác”
Vì vậy khi đọc đến dạng tốn có chứng minh hai đường thẳng song song trong hình
học 8, tơi thường hướng cho học sinh nội dung định lý Talét đảo bằng cách phát hiện
ra các đoạn thẳng tỉ lệ ở trong các tam giác.
II. Cơ sở thực tiễn.
Trong thực tế giảng dạy tôi thấy đa số học sinh rất t l khi làm bài tốn hình, phải
chăng các em không định hướng được phương pháp chứng minh bài tốn đó, các em
chưa biết vận dụng lý thuyết vào giải toán. Tức là đối với bài toán đó ta nên vận dụng
định nghĩa hay tính chất hay định lý nào cụ thể vào bài tập đó. Muốn cho các em định
hướng đúng về bài toán chứng minh hai đường thẳng song song dựa vào định lý Talét
đảo trước hết các em phải nắm vững định lý. Từ giả thiết của định lý, nghĩa là phải
tìm được các đoạn thẳng tỉ lệ gắn vào tam giác nào từ đó mới kết luận hai đường
thẳng song song. Trong quá trình định hướng để tìm lời giải, giáo viên cần kết hợp
thêm lược đồ phân tích, để qua đó học sinh hình dung được các bước giải và từ đó
các em có thể trình bày được lời giải của bài toán.

2


III. Q trình thực hiện
Sau đây là một số ví dụ cụ thể mà tôi đã hướng dẫn học sinh giải bài tập về chứng
minh hai đường thẳng song song nhờ vận dụng định lý Talét đảo như thế nào.
Ví dụ 1: Cho ∆ ABC, trung tuyến AM, đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB
ở D. Đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng: ED// BC.
A

Cho ∆ ABC
MB=MC, ∠ BMD = ∠ AMD, D ∈ AB

GT

E

D

∠ AME = ∠ CME, E ∈ AC

KL

ED //BC

B

Hướng dẫn cách tìm lời giải:

C

M

Giả sử có DE// BC
Thì đoạn thẳng tỉ lệ có thể là:
AD
AE AD AE DB EC
=
;
=

;
=
DB
EC AB AC AB AC

Sơ đồ phân tích
Để chứng minh DE// BC

- Các đoạn thẳng này có trong tam giác nào?
- Hơn nữa giả thiết cho 2 đường phân giác

⇑

Phải có:

AD AE
=
DB EC

của 2 góc để làm gì?
- Trong ∆ ABC có D∈ AB; E ∈ AC
Và

⇑

AD
AE
=
Sẽ suy ra điều gì?
DB

EC

AD MA
=
(gt)
DB MB

Mà

Từ đây các em dễ dàng trình bày lời giải

và

AE MA
=
(gt)
EC MC

Và MB// MC (Gt)
Giải:
Trong ∆ ABM có MD là phân giác của ∠ AMB
3


nên ta có:

AD MA
=
(1) (Định lý)
DB MB

Trong ∆ AMC có ME là phân giác của AMC nên ta có:
AE MA
=
(2) (Định lý)
EC MC

Vì MB= MC (giả thiết) .Nên từ (1) và (2) suy ra :

AD AE
=
DB EC

Trong ∆ ABC có DE định ra 2 cạnh AB, AC những đoạn thẳng tỉ lệ nên DE // BC
Ví dụ 2 : Cho tứ giác ABCD, gọi K, L lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và
tam giác BCD. Chứng minh rằng KL // AD

Cho tứ giác ABCD (AB//CD)

A

B

GT K là trọng tâm của tam giác ABC

K

L là trọng tâm của tam giác BCD
KL

M

KL//AD

L

C

D

Hướng dẫn cách tìm lời giải:
- Gọi M là trung điểm của BC.
Cho K, L là trọng tâm của ∆ ABC, BCD cho ta

Sơ đồ phân tích:
Để chứng minh KL //AD

nghĩ tới tính chất nào ? (T/ c trọng tâm của tam giác)
- Muốn chứng minh KL// AD thì phải có điều gì ?
- Từ giả thiết suy ra

⇑

Ta phải có:

MK
ML
=
MA
MD

MK
ML
=
vì sao?
MA
MD

⇑

- Từ kết luận trên rút ra điều gì? Tại sao?

Mà :

- KL // AD theo định lý Talét đảo

Và

MK 1
=
MA 3
ML 1
=
MD 3

(Tính chất trọng
4


tâm của tam giác)

Giải :
Gọi M là trung điểm của BC vì K là trọng tâm của ∆ ABC nên MK=
chất trọng tâm của tam giác) , hay

MK 1
= (1)
MA 3
1
3

Và L là trọng tâm của ∆ BCD nên ML = MD hay
Từ (1) và (2) suy ra

1
MA ( Tính
3

ML
1
= (2)
MD 3

MK ML
=
nên KL //AD ( Định lý Talét đảo)
MA MD

Do trong ∆ AMD có KL định ra trên 2 cạnh MA, MD những đoạn thẳng tỷ lệ nên
KL // AD ( Định lý Talét đảo)
Ví dụ 3 : Cho Hình thang ABCD (AB //CD), M là trung điểm của CD .Gọi I là giao

điểm của AM và BC và K là giao điểm của BM và AC. CMR : IK //AB
GT

Cho hình thang ABCD (AB //CD)

B

A

DM = MC
AM I BD = { I }
BM I AC = { K }
KL

K

I

C

D

M

IK //AB

Hướng dẫn tìm lời giải:
IK nằm trong những tam giác nào?
∆ AMB, ∆ AMC, ∆ BMD, ∆ AIK,
∆ BIK ở những tam giác AIK, BIK

Sơ đồ phân tích đi lên
IK //AB
⇑
IM KM
=
IA
KB

các em khơng khai thác được gì?
- Xét các tam giác cịn lại đó là
∆ AMC, ∆ BMD ; AMB tìm xem có

⇑
IM MD
=
IA
AB

5


KM MC
=
KB
AB

những đoạn thẳng tỉ lệ nào ?

và

- Đối với 3 tam giác trên xét tam giác nào

Mà MD = MC

cũng được nhưng để chứng minh IK //AB thì
nên xét ∆ AMB ( Vì IK, AB đều có trong ∆ AMB).
Đến đây học sinh dễ dàng thấy ngay lời giải
Giải:
Ta có:
Và

IM MD
=
( Do AB // MD hay ∆ AIB : ∆ MID)
IA
AB

KM MC
=
( Do AB // MC) Mà MD = MC ( Giả thiết)
KB
AB

Nên:

IM KM
=
Suy ra IK // AB( Điều phải chứng minh)
IA

KB

Vì trong ∆ AMB có IK định ra trên 2 cạnh MA, MB những đoạn thẳng tỷ lệ nên
IK// AB ( định lý Talét đảo)

Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB< CD) Kẻ AK // BC , AK I BD = { E} ;
Kẻ BI //AD; BI I AC = { F } ( K, I ∈ CD) .Chứng minhn rằng EF// AB
Hình thang ABCD (AB//CD; AB< CD)
GT

B

A

AK //BC, K ∈ CD
BI //AD; I ∈ CD

O
E

AK I BD = (E)

F

BI I AC = (F)
D

KL

EF //AB

K

C

I
H

Hướng dẫn học sinh đi tìm lời giải:
6


- Xét EF nằm trong những tam giác nào? ( ∆AKC , ∆BDI , ∆AEF , ∆B EF)
- Nếu gọi thêm O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
- Giả sử AK và BI cắt nhau ở H thì có thêm ∆ OEF, ∆ AHB có chứa EF
- Tuy vậy: ∆OEF , ∆AEF , ∆BEF , ∆ABH ta khơng khai thác được gì?
Ta xét các ∆ cịn lại ∆AKC , ∆BDI muốn chứng minhEF // AB thì ta phải chứng minh
EF // KC ( Vì KC // AB)
Gỉa sử ta chứng minh EF // KC nghĩa là phải có được điều gì?
( Các đoạn thẳng tỉ lệ nào?)
- Phải chứng tỏ được

AE
AF
=
bằng cách nào ?
EK
FC

- Từ giả thiết của bài tốn em rút ra được điều gì ?

- ( Vì I, K ∈ CD suy ra AB// DK nên
AB // CI =>

AE AB
=
EK DK

AE AF
=
thì ta phải chứng minh được điều gì ?Vì sao?
EK FC

AB AB
=
Hay DK= CI
DK CI

Mà DK= DI- IK

} => DK = CI Vì DI = CK = AB

CI = CK- IK
Sau khi phân tích hướng giải quyết bài tốn giáo viên lập sơ đồ chứng minh như sau:
Để chứng minh EF // AB
⇑

Ta phải chứng minh

AE AF
=

mà
EK FC

AE AB
AF AB
=
=
,
( Do AB // DK, AB //CI)
EK DK
FC CI

Vì DI = CK ( Cùng bằng AB)
7


Đến đây học sinh có thể trình bày lời giải dễ dàng
Vì DK // AB nên
CI //AB nên

AE AB
=
EK DK

AF AB
=
FC CI

Mà DK = CI (vì cùng bằng AB) nên

AE AF
=
EK FC

Trong ∆ AKC có EF định ra trên hai cạnh AK và AC những đoạn thẳng tỷ lệ nên
EF //CK suy ra EF // AB.
Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD. Qua B vẽ Bx // CD cắt AC tại E. Qua C vẽ Cy // BA cắt
BD tại F, chứng minh rằng EF // AD.
Tứ giác ABCD
GT

C

BE // CD , E ∈ AC
CF // AB, F ∈ BD

KL

EF // AD

B
O
̀

Hướng dẫn tìm lời giải:
Gọi giao điểm của AC và BD là O

F

E

A

D

Để chứng minh EF // AD ta cần phải chứng minh được các tỷ lệ thức nào?
OE OF , OE OF , AE DF ( Chỉ cần chứng minh một trong các tỉ lệ thức)
=
=
=
EA FD OA OD OA OD

Vậy hướng giải của bài tốn đã có, bây giờ ta khai thác giả thiết như thế nào?
Từ BE // CD ta rút ra được điều gì?
OE OB
=
(1)
OC OD

Sơ đồ phân tích

Từ CF // AB rút ra được điều gì ?

Để EF //AD

OC OF
=
(2)
OA OB

⇑

8


Từ (1) và (2) ta rút ra được điều gì ?

Hoặc

OE OF
=
EA FD

OE OC OB OF
.
=
.
(3)
OC OA OD OB

Hoặc

AE DF
=
OA OD

EF //AD vì sao?

Hoặc

OE OF
=
OA OD

Từ (3) ta có :

OE OF
=
suy ra EF //AD
OA OD

Khơng có căn cứ

⇑
OE OC OB OF
.
=
.
OC OA OD OB
⇑
OE OB OC OF
=
=
,
OC OD OA OB

⇑

BE //CD

⇑

CF//AB (Gt)

Từ đó học sinh có thể trình bày lời giải một cách dễ dàng theo sơ đồ phân tích dưới
lên
Kết luận: Trong tam giác AOD có EF định ra trên hai cạnh OA, OD những đoạn
thẳng tỷ lệ nên EF //AD (ĐPCM)
Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD đường phân giác của góc BAD cắt BD tại M,
đường phân giác của góc ADC cắt AC tại N. Chứng minh MN //AD
ABCD (AB//CD, BC//AD), M ∈ BD, N∈ AC
GT

∠ BAM = ∠ MAD

C
M

∠ AND = ∠ CDN

KL

B
N
O

MN//AD
A

D

Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
Ta nghĩ tới MN nằm trong ∆ BOC, hoặc M, N thuộc đường thẳng chứa cạnh của tam
giác AOD, do đó các đoạn thẳng tỷ lệ có thể là
9


OM ON OM ON
=
=
,
MB NC OB OC

Hoặc

OM
ON
MN
=
=
OD
OA
AD

Gỉa thiết của bài tốn là gì ? Từ AM, DN là các đường phân giác của

∠ BAD , ∠

ADC cho ta tỉ lệ thức nào?
+ AM là phân giác của ∠BAD =>

+ DN là phân giác của ∠ DAC nên

MD AD
=
MB AB

NA AD
=
NC CD

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD do đó
Tỷ lệ thức

MD NA
=
MB NC

MD NA
=
ta suy ra được những điều gì ? Bằng cách nào ?
MB NC

Vận dụng tính chất của tỷ lệ thức, tính chất 2 đường chéo của hình bình hành cắt nhau
tại trung điểm của mỗi đường ta sẽ có :
MD NA
MD + NC NA + NC
BD AC
=
=

hay
=
Suy ra :
MB NC
MB
NC
MB NC

 2

OB
OC
=2
( Do BD = 2OB, AC = 2 OC)
MB
NC

Suy ra

OB OC
=
suy ra: MN //BC( định lý Talét đảo)
MB NC

Suy ra: MN //AD ( Vì BC // AD)
Trong ∆ BOC có MN định ra trên 2 cạnh OB và OC những đoạn thẳng tỷ lệ nên
MN// BC mà BC // AD. Vậy MN //AD.
- Sau khi phân tích tìm hướng giải giáo viên có thể phân tích theo sơ đồ đi xuống
để học sinh thấy rõ hơn.
10

Sơ đồ đi xuống:
Từ giả thiết ABCD là hình bình hành suy ra, và giả thiết AM, DN là các đường phân
giác của góc ∠ BAD, ∠ ADC ta có :
MD AD NA AD
=
;
=
; AB = CD
MB AB NC CD
⇓
MD NA
=
MB NC
⇓

Áp dụng tỷ lệ thức

MD + MB NA + NC
BD AC
=
hay
=
MB
NC
MB NC
⇓

Suy ra:

OB OC
=
MB NC

( Do BD= 2OB; AC= 2 OC,
ABCD là hình bình hành)
Nên MN // BC suy rs MN// AD (do BC//AD)
Từ cách hướng dẫn và sơ đồ phân tích các em có thể trình bày lời giải một cách dễ
dàng.
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: AB= CD,
BC= AD; BC// AD
Vì AM là phân giác của góc BAD :
DN là phân giác góc ADC nên :
Mà AB= CD nên:


MD AD
=
MB AB

NA AD
=
NC CD

MD NA
=
MB NC

MD + MB NA + NC
BD AC
=
=
hay
MB
NC
MB NC

11


Do BD= 2 OB; AC= 2OC nên:

OB OC
=
MB NC

 MN//BC
Mà BC// AD => MN// AD (Điều phải chứng minh)
Ví dụ 7: Cho ∆ ABC. Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh BC. Lây N tuỳ ý trên cạnh AM.
Đường thẳng DE//BC(D ∈ AB, E ∈ AC)
Gọi P là giao điểm của DM và BN và Q là giao điểm của CN và EM. Chứng minh
rằng PQ// BC.

Tam giácABC, M ∈ BC

GT

A

N∈ AM, DE//BC
D ∈ AB, E∈ AC
BN I DM= { P}

H

D

CN I EM = { Q}
KL

I

E

K
N

P

Q

PQ//BC
B

C

M

Hướng dẫn lời giải:
Xét xem đoạn PQ nằm trong những tam giác nào( ∆ DAE, ∆ NBC)
- Phân tích để học sinh lựa chọn để ý ∆ DME
- Muốn chứng minh PQ // BC thì ta cần có những tỷ lệ thức nào ?
PD
EQ
DP
EQ
PM QM
=
=
=
Hoặc
Hoặc
PM QM
DM EM
MD ME

- Các tỷ lệ trên đã có thể có ngay được chưa?
- Ta phải khai thác các giả thiết của bài toán như thế nào
- Từ DE// BC suy ra được điều gì ?
12


DI
EI
AI
=
(1) ( Cùng bằng
)

BM CM
AM
KI
IH
NI
=
(2) ( Cùng bằng
)
BM CM
NM

Lấy (1) cộng (2) theo vế sẽ có :

DK HE
=
BM CM

Để ý ∆ BPM và ∆ QMC có DK//BM và HE//CM
Các em sẽ thu được kết quả gì ?
DP
EQ
=
=> PQ//DE => PQ//BC
PM QM

Lập sơ đồ phân tích đi xuống
DE //BC(gt)
⇓

DK//BM; DI//BM IE //CM; KI// BM; IH//CM; HE//CM

⇓

⇓

⇓

DI
AI
IE
AI
=
=
BM AM CM AM

⇓

KI
NI
=
BM MN

{

IH
NI
=
CM NM

{

DI
IE
=
BM CM

KI
IH
=
BM CM

⇓
DI
KI
IE
IH
=
=
−
BM BM CM CM

⇓

DK// BM

DK HE
=
HE //CM
BM CM

13

⇓
DP
EQ
=
PM QM

⇓

PQ //DE
⇓

PQ//BC (Điều phải chứng minh)

14


C. KẾT LUẬN:
Trên đây là một số ví dụ về giải bài tập cụ thể đã vận dụng định lý Talét đảo để
chứng minh hai đường thẳng song song. Trong các định lý mà các em đã được học thì
định lý này là hiện tượng khó khăn trong q trình học vận dụng vào giải bài tập song
nó lại được vận dụng rất nhiều ở trong các bài tập.
Nhưng việc hướng dẫn học sinh cách tìm tịi lời giải, bài tốn chứng minh hai
đường thẳng song song trong hình học lớp 8 mà tôi đã làm như trên qua thực tế nhiều
năm giảng dạy thì hầu hết các em đều tìm ra hướng để giải bài tốn đó. Và hiệu quả
cho thấy với cách giải quyết từng bước như thế đã làm cho học sinh không ngại ngần
khi gặp bài tập về chứng minh hai đường thẳng song song ở hình học 8. Qua q trình
thực hiện tơi đã từng cho học sinh làm bài kiểm tra để đánh giá mức độ hiểu bài thì
trên 80% đã biết giải bài tốn này.

Bên cạnh đó cịn củng cố kiến thức việc áp dụng các tính chất của tỷ lệ thức cũng
khơng kém phần quan trọng. Ngồi ra cịn cho các em thấy được rằng định lý Ta lét
đảo còn được áp dụng nhiều vào các loại bài toán khác thú vị hơn, chẳng hạn vận
dụng tính song song để chứng minh các điểm thẳng hàng (Tiên đề Ơclít) hoặc tốn
tìm tập hợp…
Trên đây là một số kinh nghiệm được đúc rút từ bản thân qua nhiều năm giảng dạy,
tôi xin mạnh dạn đưa ra để quý vị, bạn đọc và tất cả các đồng nghiệp góp ý và bổ sung
thêm vào đề tài này để tơi có nhiều kinh nghiệm hơn trong q trình giảng dạy và
hồn chỉnh đề tài này.
Tơi xin chân thành cảm ơn !

15