Tần số dao động riêng của kết cấu

Tần số dao động riêng của hệ kết cấu - yếu tố
cơ bản trong phân tích động lực nhà cao tầng
NATURAL FREQUENCY OF STRUCTURAL SYSTEM -FUNDAMENTAL
FACTOR IN DYNAMIC ANALYSIS OF TALL BUILDING
Ths. Lê Tùng Lâm
Sở Xây dựng - TP. Đà nẵng
ABSTRACT: The determination of natural frequency of structural systems is
necessary in dynamic analysis and design of tall buildings. If value of natural
frequency is not accurate will result in errors in design and influence for
durability, serviceability of building. This report will deal with concept,
methods of determination and concern problems of natural frequency of
buildings.
Từ khóa: Dao động, tần số dao động riêng, khối lợng, độ cứng, khả năng
giảm chấn, tải trọng gió, tải trọng động đất, gia tốc cực đại.
1. đặt vấn đề
Công trình cao tầng là xu hớng tất yếu của kiến trúc đô thị hiện đại. Hiện nay tốc
độ đô thị hóa của Việt nam đã và đang diễn ra với tốc độ cao. Hàng loạt các cao
ốc văn phòng, chung c cao tầng đã và đang đợc thiết kế, xây dựng. Đối với nhà
cao tầng ngoài tác dụng tĩnh ra, các công trình xây dựng còn phải chịu tác dụng
động của các loại tải trọng nh gió, động đất. Nó đòi hỏi ngời thiết kế cần đợc
trang bị một số kiến thức nhất định về động lực học công trình. Để xác định đợc
độ lớn của các tải trọng động tác dụng lên công trình, cũng nh phản ứng của
công trình thì cần phải xác định tần số dao động riêng của nó. Chính vì lẽ đó,
việc xác định chính xác tần số dao động riêng (TSDĐR) của công trình cao tầng
là hết sức cần thiết.
2. khái niệm tần số dao động riêng của hệ kết cấu
Khi công trình chịu tác dụng của tải trọng động, nó sẽ thực hiện các chuyển
động. Nếu chuyển động của công trình đợc lặp lại sau một khoảng thời gian nào
đó thì chuyển động đó đợc gọi là dao động.
Phơng trình dao động của hệ kết cấu có nhiều bậc tự do trong trờng hợp tổng
quát đợc mô tả nh sau [1], [2], [12]:

)()(.)(.)(.

tPtXKtXCtXM
=++
(1)
trong đó: M, C, K : lần lợt là ma trận khối lợng, cản và độ cứng của hệ.
X
''
(t), X
'
(t), X(t) và P(t) : lần lợt là vector gia tốc, vận tốc, chuyển vị
và tải trọng nút.
Tần số góc (tần số riêng) của hệ sẽ có đợc khi giải phơng trình:
OtXKtXM =+ )(.)(.

(2)
Hệ có n bậc tự do thì sẽ có n dạng dao động riêng và có n tần số dao động riêng.
Quan hệ giữa f (tần số dao động); T (chu kỳ dao động) và (tần số góc) nh sau:
T = 2 / (3)
f = 1/ T (4)
Tần số dao động riêng f của hệ kết cấu phụ thuộc vào:
- Khối lợng M của hệ (khối lợng tăng thì TSDĐR giảm và ngợc lại)
- Độ cứng K của hệ (độ cứng tăng thì TSDĐR tăng và ngợc lại).
Đối với công trình xây dựng TSDĐR còn phụ thuộc vào:
- Loại đất dới chân công trình.
- Khả năng giảm chấn của công trình.
3. Các phơng pháp xác định Tần số dao động riêng
Nếu xét về phơng diện thực tế tính toán, thiết kế có thể dùng các cách sau để xác
định TSDĐR của công trình:
3.1. Dùng công thức thực nghiệm, gần đúng trong tiêu chuẩn, tài liệu chuyên

môn
a- Căn cứ vào số tầng nhà, dạng kết cấu và dạng nền theo [7], ta có:
T = . N (5)
trong đó: N: số tầng nhà
: hệ số phụ thuộc vào kết cấu nhà và dạng nền
đối với nền móng có biến dạng trung bình thì:
= 0,064 nếu nhà là khung BTCT toàn khối;
= 0,08 nếu nhà khung thép.
b- Căn cứ kích thớc của nhà và dạng kết cấu theo [7], ta có:
D
H
T .
à
=
(6)
trong đó: H: là chiều cao công trình tính bằng (m).
D: bề rộng mặt đón gió tính bằng (m).
à: hệ số phụ thuộc dạng kết cấu
à = 0,09 nếu nhà bằng BTCT.
à = 0,1 nếu nhà bằng thép.
c- Đối với công trình có khối lợng phân bố đều, độ cứng không đổi theo [7] ta có
công thức giải tích xác định TSDĐR nh sau:
m
hEJ
H
f
i
i
.
2

2
2


=
(7)
Trong đó : m: là khối lợng tập trung mỗi tầng (T).
EJ: độ cứng chống uốn công trình(T/m
2
).
H: là chiều cao công trình tính bằng (m).
h: là chiều cao mỗi tầng tính bằng (m).

1,2,3
= 1,875; 4,694; 7,86 ; ứng với các tần số f
1
, f
2
, f
3
.
3.2. Dùng phần mềm tính toán kết cấu (nh SAP2000, STADDIII, )
Trong đó có 2 phơng pháp tính:
a- Sử dụng khối lợng tập trung (Lumped mass): cách này sẽ cho kết quả gần
chính xác trong các trờng hợp kết cấu có các vật nặng đặt sẵn tại các nút.
b- Sử dụng khối lợng tơng thích (Consistent mass): cách này sẽ cho kết quả chính
xác nếu dạng dao động thực có thể biểu diễn bằng tổ hợp của các hàm dạng [N].
Tuy nhiên, các hàm dạng này thờng là các hàm dạng khi phân tích tĩnh nên sự
phân bố theo cách này cũng chỉ là gần đúng. Mặc dù vậy dùng phơng pháp
"consistent mass" vẫn đáp ứng yêu cầu chính xác hầu hết các bài toán thực tế

[1],[12].
4. ví dụ minh họa
Xác định tần số dao động riêng của cao ốc văn phòng 25 tầng, bằng BTCT, cao
100m, mỗi tầng cao 4m. Mặt bằng có kích thớc 56m x 28m (xem hình
1); kích thớc kết cấu chính nh sau: dầm (1000x700); sàn (d=200); cột
(1000x1000); vách (t=500).
mặt bằng tầng điển hình
Hình 1. Mặt bằng tầng điển hình của cao ốc 25 tầng
4.1. Theo công thức thực nghiệm
D
H
T .
à
=
=
=
56
100
.09,0
1,2 (s).
4.2. Theo công thức giải tích ( gần đúng):
m
hEJ
H
f
i
i
.
2
2

2


=
Độ cứng công trình theo phơng y ( phơng bất lợi) đợc xác định theo phơng pháp
độ cứng tơng đơng: EJy = 3,33.10
9
(T.m
2
).
Khối lợng tập trụng đặt tại mỗi tầng: m = 1929 (T).
Chiều cao: H = 100m; h= 4m.
Hệ số:
1,2,3
= 1,875; 4,694; 7,86 ; ứng với các tần số f
1
, f
2
, f
3
.
Thay số vào, ta có:
f
1
= 0,145 (Hz);
f
2
= 0,911 (Hz);
f
3

= 2,555 (Hz);
4.3 Dùng phần mềm tính toán kết cấu - SAP2000:
a-Sử dụng khối lợng tập trung (Lumped mass):
Theo phơng y, ta có :
T
1
= 7,75 (s)
T
2
= 2,13 (s)
T
3
= 1,05 (s)
b-Sử dụng khối lợng tơng thích (Consistent mass):
Theo phơng y, ta có:
T
1
= 2,77 (s)
T
2
= 0,75 (s)
T
3
= 0,36 (s)
Kết quả tính TSDĐR giữa các phơng pháp đợc so sánh trong bảng 1:
Bảng 1. So sánh kết quả tính TSDĐR giữa các phơng pháp xác định
Phơng pháp xác định
Tần số dao động của công trình
f
1

(Hz) f
2
(Hz) f
3
(Hz)
Dùng công thức thực
nghiệm
0,83
Dùng công thức giải tích 0,14 0,9 2,56
Dùng
phần
mềm
SAP2000
Khối lợng
tập trung
0,12 0,46 0,95
Khối lợng tơng
thích
0,36 1,33 2,77
Từ bảng trên, ta rút ra nhận xét: Các phơng pháp xác định TSDĐR khác nhau
cho kết quả khác nhau và chênh lệch nhau rất lớn. Đây chính là điều đặc biệt
cần lu ý khi xác đinh TSDĐR của công trình cao tầng.
5.tần số dao động riêng yếu tố cơ bản trong phân tích
động lực nhà cao tầng
Khi có đợc tần số dao động riêng của hệ kết cấu sẽ xác định đợc tải trọng gió (có
xét thành phần động), tải trọng động đất tác động lên công trình và gia tốc cực
đại của công trình nh sau:
5.1 Tải trọng gió
Tải trọng gió có xét thành phần động đợc xác định theo [6], [7].
Theo [6], tải trọng gió tác dụng lên công trình đợc xác định nh sau:

q =
z
.à
s
.k.q
o
(8)
Trong đó:
z
: hệ số chấn động gió.
q
o
: áp lực gió cơ bản.
Khi TSDĐR của công trình càng giảm thì hệ số chấn động gió càng lớn[6], vì
vậy tải trọng gió tác động lên công trình càng lớn.
5.2. Tải trọng động đất
Theo cách tính trực tiếp trong phơng pháp tải trọng ngang thay thế [5], thì lực
động đất tác dụng trực tiếp lên tầng k trong dao động thứ i là:
kkii
c
ki
Q
k
F


=
(9)
Trong đó :
i

i
i
f
T
.



==

: hệ số động lực
Dễ dàng nhận thấy, khi TSDĐR của hệ càng tăng thì tải trọng động đất tác dụng
lên công trình càng lớn.
5.3. Gia tốc cực đại của công trình
Gia tốc cực đại tại đỉnh công trình dới tác động của tải trọng gió đợc xác định
theo [4], [11]:
w
Afa .).2(
2
max

=
(10)
trong đó: A
w
là chuyển vị tại đỉnh công trình do thành phần động gió gây ra.
Nh vậy, TSDĐR của hệ có ảnh hởng lớn đến gia tốc cực đại của công trình, có
nghĩa là có ảnh hởng đến cảm giác của ngời ở trong công trình(nh đề cập dới
đây).
Mối liên hệ mật thiết giữa TSDĐR(f), khối lợng(M), độ cứng (K), khả năng giảm

chấn (C), tải trọng động đất (E), tải trọng gió (W) và gia tốc cực đại(A) của công
trình có thể minh họa nh sau (hình 2):
Hình 2. Mối liên hệ mật thiết giữa TSDĐR và các yếu tố khác trong công trình
6. Các vấn đề cần lu ý khi xác định TSDĐR của công
trình
-Thực tế TSDĐR của công trình sẽ nhỏ hơn so với tính toán lý thuyết vì:
+ Độ cứng thực tế của công trình sẽ nhỏ hơn so với tính toán lý thuyết, do
đơn giản hóa trong giả thiết tính toán, do công trình xuất hiện khe nứt
trong quá trình sử dụng.
+ Liên kết giữa công trình và nền đất thực tế không phải là liên kết ngàm,
bởi vì nền đất có biến dạng [5].
- Khi sử dụng các phần mềm tính toán kết cấu, cần lu ý thứ tự tần số dao động
riêng ứng với dạng dao động riêng.
- Khoảng biến thiên của chu kỳ dao động riêng T ( T=1/f) của công trình cao
tầng thông thờng (theo [6],[11]) là:
+ Chu kỳ T
1
= (0,06
ữ
0,1).N ; với N là số tầng của công trình.
+ Chu kỳ T
2
, T
3
: T
2
= (1/5 - 1/3).T
1
T
3

= (1/7 - 1/5).T
1
- Cần chọn mô hình tính toán phù hợp với mặt bằng, kết cấu công trình và thiên
về an toàn. Đối với mặt bằng phức tạp, độ cứng công trình thay đổi theo chiều
cao cần dùng mô hình kết cấu không gian với sự trợ giúp của các phần mềm để
phân tích, tính toán.
- Hiện nay theo tiêu chuẩn Việt Nam [13], tiêu chuẩn Mỹ [14] và một số nớc
trên thế giới thì tổ hợp tải trọng do tác động của tải trọng động đất không tính
đến tải trọng gió. Vì vậy việc "khống chế" TSDĐR của công trình để độ chênh
lệch không nhiều về độ lớn giữa 2 loại tải trọng này là cần thiết để đảm bảo chỉ
tiêu kinh tế xây dựng công trình (tất nhiên điều kiện hạn chế chuyển vị và gia
tốc cực đại cần phải thỏa mãn ) .
- Giá trị tính toán tần số dao động riêng cần kiểm tra, phán đoán và điều chỉnh
một cách thích hợp, thiên về an toàn trớc khi xác định tải trọng động và gia tốc
cực đại của công trình.
7. ảnh hởng của dao động công trình đến cảm giác ngời
ở
Đối với nhà cao tầng ngoài việc đảm bảo độ bền, độ ổn định thì ngời thiết kế cần
lu ý vấn đề cảm thụ của ngời ở với tác động của gió, bão. Nếu không những dao
động của nhà sẽ gây khó chịu về tâm lý cho ngời ở. Trong một số ngôi nhà trên
40 tầng ở NewYork, ngời ta đã không thể làm việc vì bị lắc mạnh mỗi khi có gió
lớn [9].
Theo tiêu chuẩn Việt nam [8], thì gia tốc cực đại tại đỉnh công trình dới tác động
của tải trọng gió cần phải thỏa mãn điều kiện: a
max
150 mm/s
2
.
Đối với tiêu chuẩn của Mỹ ( tham khảo [3], [11] ) và một số nớc trên thế giới :
a

max
200 mm/s
2
( bằng 2 % gia tốc trọng trờng).
Theo [3], [11] ta có đợc giá trị tính toán của tần số dao động cơ bản và gia tốc
cực đại của một số công trình tiêu biểu trên thế giới nh sau:
Bảng 2. Giá trị tính toán của tần số dao động cơ bản và gia tốc
cực đại của một số công trình tiêu biểu trên thế giới
Tên công trình Chiều
cao nhà
Tần số
dao
Vận tốc
gió
Độ
võng
Gia tốc
cực đại
(m)
động
(Hz)
(km/h)
(/h)
(mm/s
2
)
United States Steel
Building (Pittsburgh)
275
0,11

109 1/1111
100
Seattle First National
Bank (Seattle)
183
0,16
117 1/500
190
Theme Towers
(Los Angeles)
183
0,24
100 1/500
70
Cen tral Plaza One
(Australia)
174
(44
tầng)
0,22
176 1/500
160
Kobe Portopia Hotel
(Japan)
112
(31
tầng)
0,28
108 1/320
200

Hong Kong Bank
Headquater
(Hong Kong)
180
(45
tầng)
0,22
230 -
200
8. kết luận
Tần số dao động riêng của công trình có liên quan mật thiết đến độ cứng, khối l-
ợng, khả năng giảm chấn của công trình. Nó là yếu tố cơ bản cần quan tâm khi
phân tích động lực công trình. Khống chế đợc tần số dao động riêng của công
trình (control of natural frequency) sẽ khống chế đợc tải trọng động tác dụng,
gia tốc cực đại của công trình.
Yếu tố đặc biệt quan trọng khi thiết kế nhà cao tầng là phải đem đến cảm giác
yên tâm, an toàn của ngời làm việc, c ngụ trong những ngôi nhà cao tầng đó.
Nếu không công trình vẫn có thể đợc xem là có "sự cố". Ngời thiết kế cần sử
dụng mô hình tính toán phù hợp, có phơng án kết cấu an toàn, hợp lý để tránh sự
cố nh đã nêu. Có nh vậy mới đem lại hiệu quả sử dụng cao nhất cho công trình
cao tầng và không làm mất đi vẻ đẹp kiêu hãnh vốn có của nó./.
Tài liệu tham khảo
1. Singiresu S.Rao, Mechanical Vibrations - Addison-Wesley,1990.
2. Zienkiewicz & Taylor, The Finite Element Method- McGraw-Hill, 1991.
3. Council on Tall Building and Urban Habitat, Structural Systems For Tall
Building - McGraw-Hill,1995.
4. Tính toán và thiếi kế nhà khung BTCT nhiều tầng- NXB Xây dựng, 1985.
5. Phan Văn Cúc & Nguyễn Lê Ninh, Tính toán và cấu tạo kháng chấn các
công trình nhiều tầng- NXB Khoa học kỹ thuật,1994.
6. Thiết kế và thi công kết cấu nhà cao tầng - NXB Xây dựng,1996.

7. TCXD 229-1999: Chỉ dẫn tính toán thành phần động của tải trọng gió- NXB
Xây dựng,1999.
8. TCXD 198-1997: Nhà cao tầng- Thiết kế kết cấu BTCT toàn khối, NXB Xây
dựng,1997.
9. Kết cấu nhà cao tầng - NXB Xây dựng,1995.
10.SAP2000- Analysis Reference- CSI,1999.
11. MonoGraph on Planning and Design of Tall Building-Structural design of
Tall Steel Building- American Society of C.E, 1979
12.Ray W.Clough and Joseph Penzien, Dynamic of Structure- McGraw-
Hill,1993.
13.TCXD 2737 -1995: Tải trọng và tác động- NXB Xây dựng, Hà Nội, 1995.
14.Nguyễn Viết Trung, Thiết kế kết cấu BTCT hiện đại theo tiêu chuẩn ACI-
NXB Giao thông vận tải, Hà Nội, 2000.