về bài toán dao động riêng của kết cấu khung nhà nhiều tầng

Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Lời cảm ơn!
Học viên xin chân thành cảm ơn đến Ban giám đốc và tất cả các thầy
giáo, cán bộ Khoa sau đại học, Viện công trình đặc biệt Học viện kỹ thuật
quân sự trong quá trình học tập nâng cao kiến thức sau đại học tại trờng.
Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ này, học viên xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến thầy giáo hớng dẫn khoa học: PGS,TS Phạm Đình Ba, ngời đã trực
tiếp hớng dẫn, chỉ bảo nghiêm túc với cơ sở khoa học trong nghiên cứu, hớng
dẫn tận tình, kỹ lỡng là điểm tựa cho học viên hoàn thành tốt luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ của mình.
Xin chân thành cảm ơn!
Mục lục
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
PHầN Mở ĐầU
1. Tên đề tài:
Về bài toán dao động riêng của kết cấu khung nhà
nhiều tầng
2. Cơ sở khoa học và tính thực tiễn của đề tài:
Theo sự phát triển của đất nớc, tốc độ tăng dân số, quan niệm sống dẫn
đến nhu cầu phát triển các khu nhà cao tầng, hiện đại với những công năng sử
dụng khác nhau. Để đáp ứng đợc xu hớng phát triển đó của ngành xây dựng
thì việc tìm hiểu, nắm chắc và làm chủ các kiến thức tính toán để góp phần
nâng cao chất lợng và giảm giá thành công trình là việc làm cần thiết. Mục
đích của đề tài là nhằm cụ thể hóa một phơng pháp tính dao động của kết cấu,
giúp cho ngời dùng cũng nh các nhà nghiên cứu có đợc một công cụ dễ hiểu,
trực quan khi cần phân tích dao động của kết cấu.
Đề tài này đi theo hớng đi sâu nắm chắc một trong các cách tính dao
động riêng của hệ kết cấu khung nhà nhiều tầng, trên cơ sở đó có thể phát
triển để giải quyết một số bài toán phức tạp hơn trong xây dựng.
3. Mục tiêu của đề tài:
- Tên đề tài: Về bài toán dao động riêng của kết cấu khung nhà nhiều tầng.

- Nghiên cứu cách tính dạng dao động riêng của kết cấu khung nhà nhiều tầng
dựa trên phơng pháp lặp năng lợng.
4. Phơng pháp nghiên cứu:
- Nắm chắc lý thuyết tính toán với công trình chịu tải trọng động.
- Đi sâu nghiên cứu dạng dao động riêng đối với kết cấu khung với bài toán
hữu hạn bậc tự do.
- Làm cơ sở để nghiên cứu bài toán phức tạp hơn.
CHƯƠNG 1
TổNG QUAN
1.1. Nhiệm vụ cơ bản của bài toán động lực học công trình
Khái niệm về động lực học gắn liền với khái niệm lực thay đổi theo thời
gian; nghiên cứu động lực học công trình là nghiên cứu công trình chịu tác
dụng của tải trọng thay đổi theo thời gian.
1
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Nhiệm vụ cơ bản của bài toán động lực học công trình bao gồm:
Xác định nội lực và chuyển vị nhằm lựa chọn kích thớc hợp lý và kiểm
tra kích thớc thực của công trình, đồng thời tránh hiện tợng cộng hởng.
Dới tác dụng của tải trọng thay đổi theo thời gian hệ kết cấu sẽ dao động
và dao động đó đợc biểu thị dới dạng chuyển vị của kết cấu. Do đó khi phân
tích và giải quyết bài toán động lực công trình sẽ cho phép xác định đợc sự
thay đổi của chuyển vị theo thời gian tơng ứng với quá trình thay đổi của tải
trọng động. Các tham số khác nh nội lực, ứng suất, biến dạng nói chung đều
đợc xác định sau khi có sự phân bố chuyển vị của hệ. Tất cả các tham số đó
đều là các hàm thay đổi theo thời gian phù hợp với tác dụng động bên ngoài.
Tuy nhiên, đôi khi việc giải quyết bài toán động lực học công trình còn
đợc tiến hành bằng việc sử dụng hệ số động lực. Khi đó, nội lực chuyển vị và
mọi số tham số của hệ đều đợc tính toán thôn qua hệ số động với các kết quả
tính toán tĩnh. Tất cả các đại lợng đó đều là các giá trị cực đại ứng với một
thời điểm xác định, không phải là hàm theo biến thời gian.

1.2. Các đặc trng cơ bản của bài toán động lực học công trình
Việc tính toán động lực học công trình khác với việc tính toán tĩnh học
công trình ở những đặc trng cơ bản sau:
Trớc hết, dới tác dụng của tải trọng động thay đổi theo thời gian, trạng
thái ứng suất biến dạng của hệ cũng sẽ biến đổi theo thời gian. Nh vậy, bài
toán động sẽ không có nghiệm duy nhất nh bài toán tĩnh. Do đó, cần phải tìm
sự liên tục của nghiệm tơng ứng với mọi thời điểm thời gian biểu thị trạng thái
thực của hệ. Chính vì thế mà việc tính toán động rất phức tạp và khó khăn hơn
nhiều so với việc tính toán tĩnh.
Mặt khác, đặc trng cơ bản của bài toán động đợc phân biệt rõ so với bài
toán tĩnh ở chỗ: ở bài toán tĩnh, dới tác dụng của tải trọng tĩnh là tải trọng tác
dụng rất chậm lên công trình, sự chuyển động của hệ là chậm và lực quán tính
rất nhỏ có thể bỏ qua đợc. ở bài toán động, tác dụng của tải trọng động lên
công trình gây ra sự chuyển động của hệ với gia tốc lớn, và lực quán tính phụ
thuộc vào gia tốc chuyển động (đạo hàm bậc hai của chuyển vị theo thời gian)
là không thể bỏ qua đợc. Sự cần thiết phải kể đến lực quán tính là sự khác biệt
cơ bản nhất của bài toán động lực học so với bài toán tĩnh.
Ngoài ra việc xét tới ảnh hởng của lực cản cũng là đặc trng cơ bản phân
biệt bài toán động so với bài toán tĩnh. Bản chất của lực cản chuyển động (lực
tắt dần) rất phức tạp và đa dạng. Vì vậy, việc tính lực cản phức tạp hơn so với
2
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
tính lực quán tính. Trong tính toán, đôi khi không xét tới ảnh hởng của lực
cản, đôi khi lực cản đợc tính một cách gần đúng với giả thiết phù hợp. Nhng
phải luôn thấy rằng lực cản luôn có mặt và tham gia vào quá trình chuyển
động của hệ.
1.3. Các dạng tải trọng động tác dụng lên công trình
Bất kỳ một kết cấu xây dựng nào trong quá trình sử dụng đều phải chịu
tác dụng của tải trọng động ở dạng này hay dạng khác. Tải trọng động là tải
trọng bất kỳ có độ lớn, phơng, vị trí thay đổi theo thời gian. Tải trọng động tác

dụng lên công trình rất đa dạng phức tạp. Theo các đặc trng của nó, tải trọng
động với một quy luật bất kỳ nào đó đợc phân ra là tải trọng có chu kỳ là tải
trọng có chu kỳ và tải trọng không có chu kỳ.
Các tải trọng có chu kỳ:
Tải trọng có chu kỳ là tải trọng lặp đi lặp lại theo thời gian qua các chu
kỳ. Chu kỳ của tải trọng có thể là liên tục mà cũng có thể là gián đoạn. Nếu tải
trọng tác dụng có quy luật hình sin hoặc cos với chu kỳ liên tục thì gọi là tải
trọng điều hòa đơn giản.
Các dạng khác của tải trọng có chu kỳ thờng phức tạp hơn. Sự phức tạp
biểu hiện ở quy luật của tải trọng trong mỗi chu kỳ (ví dụ nh áp lực thuỷ động
do sự quay của cánh quạt tầu thuỷ).
Tải trọng không có chu kỳ
Có thể là các loại tải trọng ngắn hạn và các tải trọng dài hạn tổng quát:
+ Tải trọng ngắn hạn: Nguồn kích động đặc trng của các tải trọng ngắn
hạn có thể lấy ví dụ là các vụ nổ.
+ Tải trọng động dài hạn là dạng tải trọng động thờng gặp, ví dụ nh tác
dụng của động đất đối với các công trình đều là tải trọng dài hạn.
Trong thực tế thờng gặp một số loại tải trọng động nh sau:
Tải trọng có vị trí không đổi, còn trị số biến thiên theo thời gian P(t) ví
dụ nh là tải trọng do môtơ có phần quay không cân bằng gây ra.
Tải trọng di động có trị số không đổi P(z) ví dụ nh đoàn xe chạy trên cầu.
Tải trọng di động có trị số thay đổi P(z,t) ví dụ nh tải trọng động gây
bởi đầu máy xe lửa chạy, chu kỳ phụ thuộc vào tốc độ đầu máy
Lực địa chấn tác dụng lên công trình
Lực khí động do gió bão tác dụng lên công trình
3
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Tải trọng do va chạm: nh có vật rơi hoặc va đập lên công trình
Tải trọng động phức hợp: là tổ chức các dạng tải trọng trên và một số
trờng hợp khác.

1.4. Phân loại dao động
Tuỳ theo sự phân bố khối lợng trên hệ, cấu tạo và kích thớc của hệ, tính
chất của các loại tải trọng động và các tác dụng động bên ngoài mà ngời ta có
rất nhiều cách phân loại dao động khác nhau. Để thuận lợi cho việc phân tích
dao động của các hệ, có thể phân loại nh sau:
1.4.1. Phân loại theo số bậc tự do của hệ:
Phân theo số bậc tự do, sẽ đa hệ về 3 loại dao động sau:
+ Dao động của hệ một bậc tự do
+ Dao động của hệ hữu hạn bậc tự do
+ Dao động của hệ vô hạn bậc tự do
1.4.2. Phân theo tính chất và nguyên nhân gây ra dao động:
+ Dao động tự do: là dao động sinh ra do lực kích thích đột ngột hoặc lực
bất kỳ rồi bỏ ra tức thời. Điều kiện ban đầu đợc tạo nên do các xung lực tức
thời và tách hệ ra khỏi vị trí cân bằng.
+ Dao động cỡng bức: Là dao động sinh ra do chịu tác dụng của tải trọng
động, không phụ thuộc vào chuyển động và tồn tại trong suốt quá trình dao
động. Dao động cơng bức bao gồm rất nhiều loại: dao động của hệ chịu tải
trọng có chu kỳ, dao động của hệ chịu tải trọng ngắn hạn, dao động của hệ
chịu tải trọng di động, dao động của các công trình chịu tải gió, động đất
1.4.3. Phân theo sự tồn tại của lực cản:
+ Dao động tắt dần: là dao động có xét tới lực cản
+ Dao động không tắt dần: là dao động bỏ qua ảnh hởng của lực cản
1.4.4. Phân theo cấu tạo của cơ hệ:
Theo cách phân loại này dao động của hệ sẽ bao gồm:
+ Dao động của hệ thanh
+ Dao động của tấm
+ Dao động của vỏ
+ Dao động của các khối móng
+ Dao động của hệ treo
+ Dao động của các kết cấu công trình đặc biệt

1.4.5. Phân theo dạng phơng trình vi phân mô tả dao động:
4
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
+ Dao động tuyến tính: là dao động mà phơng trình vi phân mô tả dao
động là phơng trình vi phân tuyến tính
+ Dao động phi tuyến: là dao động mà phơng trình vi phân mô tả dao
động là phơng trình vi phân vi tuyến
1.5. Bậc tự do của hệ dao động
Bậc tự do của hệ dao động là số các thông số độc lập cần thiết để xác
định đầy đủ vị trí của tất cả các khối lợng của hệ khi dao động.
Trớc hết ta xét hệ với các khối lợng tập trung. Trong các hệ này có thể bỏ
qua các lực quán tính của thanh và chỉ tính đến các lực quán tính phát sinh do
các khối lợng tập trung. Để tính bậc tự do, ta dùng các giả thiết sau:
+ Coi các khối lợng tập trung của hệ là các chất điểm
+ Bỏ qua chiều dài co dãn do biến dạng uốn
Ta có thể xác định số bậc tự do của hệ bằng cách đặt vào các khối lợng
của hệ các liên kết loại một vừa đủ để sao cho tất cả các khối lợng của hệ trở
thành bất động.
Số bậc tự do của hệ dao động có thể bằng, nhỏ hơn hoặc lớn hơn số khối
lợng của hệ.
Xét hệ thanh với khối lợng phân bố ở hệ này không đợc phép bỏ qua lực
quán tính của thanh và nh vậy hệ sẽ có số bậc tự do là vô cùng. Để tính toán
các hệ có bậc tự do là vô cùng ta cần phải thiết lập và giải hệ phơng trình vi
phân với các đạo hàm riêng, bởi vì trong trờng hợp này lực quán tính phụ
thuộc cả vào toạ độ và thời gian.
1.6. Các phơng pháp cơ bản xây dựng phơng trình chuyển động
Trong dao động công trình có các phơng pháp cơ bản sau:
- Phơng pháp dựa trên nguyên lý Dalambe.
- Phơng pháp dựa trên nguyên lý Hamintơn.
- Phơng pháp dựa trên nguyên lý chuyển vị khả dĩ.

1.7. Các phơng pháp xác định tần số dao động riêng
Chia làm 3 nhóm phơng pháp:
A. Nhóm phơng pháp chính xác
B. Nhóm phơng pháp gần đúng
C. Nhóm phơng pháp đúng dần
1.7.1. Phơng pháp chính xác:
Xây dựng phơng trình vi phân tổng quát của dao động ngang của thanh
thẳng.
5
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Xét hệ thanh thẳng có khối lợng phân bố. Hệ này có vô số bậc tự do. Dao
động ngang của hệ tại thời điểm bất kỳ đợc biểu diễn bằng đờng đàn hồi của
nó. Phơng trình đờng đàn hồi là hàm của hai biến số: toạ độ x và thời gian t.
y = f(x,t)
Theo sức bền vật liệu ta đã có mối liên hệ giữa độ võng và nội lực trong
dầm có mối liên hệ vi phân sau:
( )
2
2
y
EJ M x,t
x

=

Ngoài ra, giữa nội lực và tải trọng cũng có sự liên hệ sau:
( )
( )
2
2

M x,t
p x,t
x

=

trong đó p(x,t) là cờng độ tải trọng phân bố, đại lợng này mang dấu dơng
khi chiều tải trọng hớng lên trên.
Kết hợp hai biểu thức trên ta có:
( )
2 2
2 2 2
y M
EJ p x,t
x x x


= =
ữ


(1-1)
Khi dầm dao động, tải trọng tác dụng trên dầm gồm có các lực kích
thích, lực quán tính và lực cản (xem hình vẽ). Lực kích thích phân bố có cờng
độ q(x,t); lực quán tính phân bố hớng theo chiều của chuyển vị, nếu xét tại
thời điểm dầm có chuyển vị dơng thì lực này có cờng độ:
( )
( )
2
2

y x,t
m x
t



Lực cản có chiều ngợc với chiều của chuyển động và có cờng độ r(x,t).
Vậy ta có:
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
y x,t
p x,t q x,t m x r x,t
t


= +



hay:
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
y x,t
p x,t q x,t m x r x,t

t

= + +

Thay biểu thức trên vào (1.1) thu đợc:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
y y
EJ q x,t m x r x,t
x x t


=
ữ


6
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Vậy phơng trình vi phân tổng quát của dao động ngang của dầm có dạng:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
y y
EJ m x r x,t q x,t
x x t


+ + =
ữ

(1-2)
Phơng trình (1-2) là phơng trình vi phân của dao động cỡng bức hệ vô số
bậc tự do.
Phơng trình vi phân dao động riêng tơng ứng sẽ là:
( )
2 2
2 2 2
y y
EJ m x 0
x x t


+ =
ữ


(1-3)
Nếu dầm có độ cứng EJ không đổi thì phơng trình (1.2) và (1.3) có dạng:
( ) ( ) ( )
4 2
4 2
m x r x,t q x,t
y y
x EJ t EJ EJ

+ + =

(1-4)

( )
4 2
4 2
m x
y y
0
x EJ t

+ =

(1-5)
Nếu dầm có khối lợng phân bố đều, trong các phơng trình trên ta có m(x)
= m.
Dùng các phơng pháp giải phơng trình vi phân chính xác của toán học, ta
sẽ giải ra đợc các nghiệm riêng ứng với các dạng dao động riêng với tần số
riêng
i

.
1.7.2. Phơng pháp gần đúng:
1.7.2.1. Phơng pháp Rayleigh. (chi tiết trong chơng 3)
Phơng pháp Rayleigh dựa trên cơ sở định luật bảo toàn năng lợng. Theo
định luật này, ở bất kỳ thời điểm nào ta cũng có biểu thức:
7
q(x,t) > 0
x
y
()
2
2

y
mx
x



r(x,t)
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
T + U = hằng số
trong đó:
T: động năng của hệ
U: thế năng của hệ
Giả sử dao động của hệ có dạng:
( ) ( ) ( )
i i i i
y x,t y x sin t= +
(1-6)
Xét hệ với các trạng thái đạt giá trị năng lợng lớn nhất, áp dụng cơ sở
định luật bảo toàn năng lợng ta có:
max max
T U=
(1-7)
Phơng trình (1-4) là phơng trình cơ bản của phơng pháp năng lợng.
Ta xét một hệ bất kỳ vừa có khối lợng phân bố m(x), vừa có khối lợng tập
trung m
i
.
Thành lập biểu thức động năng, với trờng hợp động năng lớn nhất:
( ) ( ) ( )
2

2 2
i
max i k i k
T m x y x dz m y x
2


= +



(1-8)
thay (1-5), (1-6) vào (1-4) ta thu đợc biểu thức bình phơng tần số nh sau:
( )
( ) ( ) ( )
2
''
i
2
i
2 2
i k i k
EJ y x dx
m x y x dx m y x


=
+

(1-9)
Nh vậy, nếu biết trớc chính xác dạng dao động riêng ứng với tần số
i

nào đó, thì có thể xác định đợc tần số
i

đó một cách chính xác theo công
thức (1-9).
Phơng pháp Rayleigh khi xác định tần số dao động riêng theo công tác
gần đúng thì thờng có giá trị lớn hơn trị số chính xác. Điều này xảy ra là do
việc giả định đờng đàn hồi thờng khó chính xác, do vậy sẽ dẫn đến hiện tợng
đa thêm vào hệ các liên kết, các liên kết này sẽ làm tăng độ cứng của hệ, nên
tần số dao động tìm đợc sẽ lớn hơn tần số dao động thực của hệ.
1.7.2.2. Phơng pháp Bupnop Galoockin
Dựa theo phơng trình vi phân của dạng dao động chính thứ j ta có:
[EJ(x)y

j
(x)]

-
2
j
m(x)y
j
(x) = 0 (1-10)
Giả thiết rằng nghiệm của phơng trình (1-10) đã biết và có thể biểu diễn

nh sau:
8
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
( ) ( )
i 1
n
j i i
Y x a x
=
=

(1-11)
Với
( )
i
x
: là hàm chọn trớc thoả mãn các điều kiện biên
a
i
: các hằng số cha biết.
Thay (1-11) vào (1-10) ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
''
n n
'' 2
i i j i i
i 1 i 1
EJ x a x m x a x 0
= =

=



(1-12)
Biểu thức (1-12) đúng với bất kỳ giá trị nào của x và cũng đúng với trờng
hợp khi ta nhân cả 2 vế của nó với một hàm
( )
k
x
bất kỳ (k chỉ số dạng dao
động riêng), có nghĩa:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
''
n n
'' 2
i i j i i k
i 1 i 1
EJ x a x m x a x x 0
= =



=

(1-13)
Lấy tích phân biểu thức (1-12) trên toàn chiều dài của dầm, khai triển,
viết ở dạng chính tắc ta có:
k1 1 k2 2 k3 3 kn n
C a C a C a C a 0
(k 1,2, n)
+ + =
=
(1-14)
với:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
''
L
n
'' 2
ki i i k j i k
i 1
0
C EJ x a x x m x x x dx
=



=

(1-15)
Nếu ta đặt
( ) ( )
''
n
''
i i i
i 1
EJ x a x q
=

=



thì số hạng đầu tiên trong (1-15) có
thể xem nh công khả dĩ của tải trọng q
i
trên chuyển vị
( )
k
x
. Do đó khi các
tham số
( )
i
x
, và
( )

k
x
chọn sao cho thoả mãn điều kiện biên thì biểu thức
(1-15) có thể coi là công của tải trọng q
k
trên chuyển dời
( )
i
x
. Từ lý luận đó
chúng ta thấy răng hàm
( )
i
x
thoả mãn điều kiện biên thì
ki ik
C C=
.
Trong công thức (1-14), các hệ số a
i
là cha xác định. Chúng phải có giá
trị để sao cho phơng trình (1-14) luôn thoả mãn với mọi giá trị của k (k=1, 2,
9
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
n). Các hàm
( )
i
x
phải chọn sao cho thoả mãn toàn bộ (hoặc một phần các
điều kiện biên) của bài toán và chọn càng gần các chính dao động thì càng

tốt. Ví dụ có thể chọn hàm dạng
( )
i
x
theo đờng đàn hồi do các tải trọng
khác nhau trên hệ tạo nên nh tải phân bố, tập trung có thể chọn là hàm lợng
giác v.v
Trong công thức (1-14), các hệ số a
i
là cha xác định. Hệ phơng trình đó
là thuần nhất, do vậy muốn có các nghiệm a
i
khác không thì định thức của các
hệ số trong phơng trình chính tắc phải bằng không:
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
C C C
C C C
D 0
. . . .
C C C
= =
(1-16)
Khai triển (1-16) ta đợc phơng trình tần số, phơng trình này là bậc n đối
với
2
j

.

Phơng pháp Bupnop Galookin áp dụng đợc cho cả hệ bảo tồn và không
bảo tồn [1].
1.7.2.3. Phơng pháp Lagơrăng - Ritz
Phơng pháp Lagơrăng Ritz đợc xây dựng trên cơ sở nghiên cứu thế năng
toàn phần của hệ.
Nguyên lý Lagơrăng phát biểu nh sau: Trong tất cả các trạng thái khả dĩ,
trạng thái cân bằng dới tác dụng của các lực có thể sẽ tơng ứng với trạng thái
mà theo đó thế năng toàn phần của hệ sẽ có giá trị dừng.
Thế năng toàn phần đợc biểu diễn dới dạng công của ngoại lực và nội lực
của hệ khi chuyển từ trạng thái biến dạng về trạng thái không biến dạng nh
sau:
( )
( ) ( ) ( )
L L
2
''
0 0
EJ x
U y x dx q x y x dx
2

=


(1-17)
trong đó: q(x) là lực quán tính do khối lợng phân bố gây ra khi hệ dao
động. Lực quán tính đợc xác định nh sau:
( ) ( ) ( )
2
j j j

q x m x y x=
10
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Thay vào (1-17) ta đợc:
( )
( ) ( ) ( )
L L
2
'' 2 2
j j j
0 0
EJ x
1
U y x dx m x y x dx
2 2

=


(1-18)
Cũng tơng tự nh phơng pháp Bupnop Galookin, ta giả thiết dạng của dao
động nh sau:
( ) ( )
n
j i i
i 1
y x a x
=
=

(1-19)
Thay (1.19) vào (1.18) ta thu đợc:
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
L L
n n
j
''
i i i i
i 1 i 1
0 0
EJ x
U a x dx m x a x dx
2 2
= =


=




(1-20)
Từ điềukiện thế năng cực tiểu, với các biến a
n
, ta thu đợc các phơng trình
chính tắc trong phơng pháp Lagơrăng Ritz, viết ở dạng thu gọn ta có:
C

k1
a
1
+ C
k2
a
2
+ C
k3
a
3
++ C
kn
a
n
= 0
(k = 1,2,n)
trong đó:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
L L
'' '' 2
ki i k j i k
0 0
C EJ x x x dx m x x x dx=

(1-21)
Qua (1-21) ta luôn có
ik ki
C C=
Từ (1-20) ta thiết lập đợc n phơng trình với các ẩn là a

1
,a
2
,,a
n
. Hệ ph-
ơng trình đó là thuần nhất, do vậy muốn có các nghiệm a
n
khác 0 thì định thức
của các hệ số trong phơng trình chính tắc phải bằng 0.
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
C C C
C C C
D 0
. . . .
C C C
= =
(1-22)
Khai triển (1-22) ta đợc phơng trình tần số, phơng trình này là bậc n đối
với
2
j

.
Phơng pháp Lagơrăng Ritz chỉ áp dụng đợc cho các hệ bảo tồn [1].
1.7.2.4. Phơng pháp khối lợng tơng đơng để xác định tần số cơ bản của dao
động riêng
11

Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Vấn đề là, đối với hệ có nhiều hoặc vô cùng bậc tự do, nếu chỉ cần xác
định tần số thứ nhất thì ta có thể tính gần đúng bằng cách thay hệ thực bằng
hệ mới chỉ có một khối lợng tập trung - gọi là khối lợng tơng đơng (chỉ có một
bậc tự do).
Lúc này tần số dao động riêng của hệ thay thế đợc xác định theo công thức:
k 1
M M.
= =

M: là khối lợng tơng đơng

: chuyển vị của dầm tại vị trí đặt M, do lực tập trung P=1 gây ra
Nội dung cơ bản của phơng pháp là xác định M và vị trí đặt M sao cho
tần số dao động riêng của hệ thay thế bằng hoặc gần bằng tần số thấp nhất của
hệ đã cho. Ngời ta thấy rằng nên đặt khối lợng tơng đơng tại vị trí có chuyển
vị lớn nhất khi dao động. Nếu ngoài khối lợng phân bố, trên hệ còn có khối l-
ợng tập trung tơng đối lớn, thì nên đặt ở M ở vị trí có khối lợng tập trung.
Phơng pháp khối lợng tơng đơng đợc xây dựng dựa trên cơ sở giả thiết
gần đúng sau: Hai hệ tơng đơng về động năng thì cũng tơng đơng về tần số.
Nh vậy điều kiện để tần số của hệ thay thế bằng tần số của hệ thực là:
động năng lớn nhất T(b) của hệ thay thế tơng đơng phải bằng động năng lớn
nhất T(a) của hệ thực khi dao động.
T(a) = T(b) (1-23)
Giả thiết đờng đàn hồi của hệ thực khi dao động có dạng:
y(x,t) = y(x) Z(t)
Suy ra vận tốc dao động tại thời điểm bất kỳ có hoành độ x là:
( ) ( ) ( )
. .
y x,t y x Z t=

Do đó, tổng động năng của hệ thực sẽ là:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
k k
. .
m x y x Z t dx m y x Z t
T a
2 2




+



Vì chuyển vị của hệ thay thế tơng đơng cũng đợc xem bằng chuyển vị
của hệ thực tại điểm có hoành độ a, nên ta có thể viết biểu thức động năng của
hệ thay thế nh sau:
12
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
( )
( ) ( )
2
td
.
M y a Z t
T b
2

=
Thay các kết quả vào biểu thức (1-23) ta thu đợc:
( ) ( ) ( )
( )
2 2
k k
td
2
m x y x dx m y x
M
y a
+

=




(1-24)
Sau khi tìm đợc M
td
ta có thể xác định
1

theo công thức đã nói ở trên.
2

1
td
1
M
=

Nhận xét:
- Khi dùng phơng pháp này ta cũng phải giả thiết trớc đờng đàn hồi y(x)
của hệ, và chỉ tính đợc với tần số
1

.
- Vị trí (a) của khối lợng tơng đơng M
td
nên chọn ở điểm có chuyển vị
lớn nhất do trọng lợng bản thân của dầm thực gây ra.
- Nguyên nhân gây ra sai số của
1

là do phơng trình y(x) chọn không
chính xác, hoặc chọn vị trí đặt khối lợng không hợp lý và giả thiết Hai hệ t-
ơng đơng về động năng thì cũng tơng đơng về tần số là gần đúng.
1.7.2.5. Phơng pháp thay thế khối lợng
Các phơng pháp gần đúng ở trên dựa trên sự gần đúng là do giả định gần
đúng ban đầu dạng dao động y(x). Phơng pháp thay thế khối lợng là phơng
pháp dựa trên cơ sở đơn giản hóa sơ đồ khối lợng.
Theo phơng pháp này chúng ta thay thế các khối lợng phân bố và tập
trung trên kết cấu thành các khối lợng tập trung với khối lợng ít hơn đặt tại
một số điểm đặc biệt. Có thể thay thế khối lợng phân bố theo một trong 2 cách
sau:

- Chia các khối lợng phân bố thành nhiều khoảng, tập trung các khối lợng
phân bố trên mỗi khoảng về trọng tâm của nó.
- Phân bố các khối lợng phân bố theo nguyên tắc đòn bẩy. Theo cách này
khối lợng phân bố trên mỗi đoạn đợc thay thế bằng khối lợng đặt ở hai đầu
đoạn đó.
Thay thế khối lợng theo cách thứ 2 thờng cho ta một hệ mới đơn giản hơn
cách thứ nhất, vì số lợng các khối lợng tập trung ít hơn. Tần số dao động của
13
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
hệ mới này chính là tần số gần đúng của hệ thực. Mức độ chính xác của lời
giải phụ thuộc số lợng và vị trí đặt các khối lợng trong sơ đồ mới. Số khối lợng
càng nhiều thì kết quả càng chính xác. Thông thờng, nếu chỉ quan tâm đến tần
số của một vài dạng dao động đầu tiên, ta có thể biến đổi hệ về hệ có hai, ba
bậc tự do cũng đủ thoả mãn đợc yêu cầu về độ chính xác cần thiết.
Sau khi đã chọn đợc sơ đồ khối lợng, ta tiến hành nh đối với bài toán hệ
hữu hạn bậc tự do với việc giải các phơng trình tần số, thu đợc các tần số cần
thiết.
1.7.2.6. Phơng pháp sai phân
Nh đã biết, khi đi tìm dạng dao động riêng chính xác của hệ ứng với tần
số khác nhau thì điều khó khăn chủ yếu là phải giải các phơng trình vi phân
dao động rất phức tạp.
Trong các trờng hợp khi dạng tải trọng phức tạp hay dầm có tiết diện thay
đổi thì khó khăn càng lớn. Do đó có thể tìm nghiệm gần đúng của phơng trình
vi phân bằng các phơng trình sai phân.
Trong các phơng pháp giải gần đúng bài toán dao động của hệ thanh, ph-
ơng pháp sai phân tơng đối đơn giản hơn và có thể áp dụng dễ dàng cho các tr-
ờng hợp các thông số của hệ thay đổi (ví dụ nh khối lợng thay đổi, tiết diện
thay đổi).
Nội dung của phơng pháp sai phân là thay thế các đạo hàm trong các ph-
ơng trình vi phân bằng các tỉ số hiệu số. Sau khi thay thế ta đợc một hệ phơng

trình đại số tuyến tính. Nh vậy ta đã thay thế việc giải phơng trình vi phân
bằng việc giải một hệ phơng trình đại số tuyến tính.
Xét hệ dầm dài 1 có khối lợng phân bố đều. Ta có phơng trình vi phân
dao động riêng của dầm mang khối lợng phân bố đều:
4 2
4 2
y m y
0
x EJ t

+ =

Nếu đặt
( ) ( ) ( )
y x,t y x sin t= +
thì sau khi biến đổi ta đợc phơng trình ssau:
( )
4
4
4
d y
k y x 0
dx
=
với
2
4
m
k
EJ

=
Nếu đặt
x 1.=
, thì phơng trình trên có thể diễn tả ở dạng sau:
14
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
4
4
4
d y
k y 0
d
=

với
4 2
4
ml
k
EJ

=
(1-25)
Chia dầm thành n đoạn bằng nhau có chiều dài
x
, ta có:
1
1 n. x ; x 1. ;
n

= = =
Phơng trình (1-25) có thể viết gần đúng dới dạng sai phân nh sau:
4
4
4
y
k y 0

=

Lấy sai phân tại điểm i, theo hình vẽ:
i i i 1
2
i i 1 i i 1 i i 1
3 2 2
i i i 1 i 1 i i 1 i 2
4 3 3
i i 1 i i 2 i 1 i i 1 i 2
y y y
y y y y 2y y
y y y y 3y 3y y
y y y y 4y 6y 4y y

+ +
+
+ + +
=
= = +
= = +
= = + +

Thay các kết quả trên vào (1-25) ta thu đợc phơng trình sai phân viết cho
điểm bất kỳ i nh sau:
4
i 2 i 1 i i 1 i 2
4
k
y 4y y 6 4y y 0
n
+ +

+ + =
ữ

với i = 1,2, , (n-1) (1-26)
Kết hợp các điểm ở bờ biên, ta sẽ thiết lập đợc (n-1) phơng trình thuần
nhất có dạng (1-26). Từ điều kiện định thức các hệ số của hệ bằng không ta
thiết lập đợc phơng trình tần số bậc (n-1). Sau khi giải phơng trình tần số ta đ-
ợc (n-1) tần số dao động riêng.
1.7.3. Phơng pháp đúng dần:
ở các phơng pháp gần đúng, có chung một nhợc điểm là nếu nh cha biết
15
x

x

x
y
i
y
i 1

y
+

y
i-1
y
i
y
i+1
0
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
đợc tần số chính xác thì không đoán đợc sai số của nó.
Phơng pháp đúng dần cho phép tìm đợc trị đúng dần của tần số, càng sát
với trị số chính xác của tần số nếu càng thực hiện nhiều lần tính toán. Nh vậy
có thể ớc tính đợc phạm vi sai số của tần số bằng cách so sánh kết quả trong
hai lần tính kế tiếp nhau. Đồng thời cũng có thể dựa vào độ chính xác yêu cầu
mà thực hiện số lần tính cần thiết.
Ngoài ra trong quá trình tính tần số ta cũng có thể tìm đợc dạng dao động
riêng tơng ứng. Tuy nhiên, phơng pháp này có nhợc điểm là nếu không có sự
trợ giúp của máy tính thì nó thực hiện sẽ dài, vì phải có quá trình lặp tìm các
phơng trình đờng đàn hồi.
Xét dầm có các khối lợng tập trung m
k
và khối lợng phân bố m(x). Giả sử
biết biên độ của các dạng dao động chính là y
i
(x) thì các lực quán tính tác
dụng lên hệ có dạng:
( ) ( ) ( )
( )

2
i i
2
k k i i
q x m x y x
P m y x
=
=
Bây giờ nếu giảm các tải trọng đi
2
i

lần ta có lực quán tính sẽ là:
( ) ( ) ( )
( )
i
k
k i
q x m x y x
P m y x
=
=
thì đờng đàn hồi
( )
( )
1
i
y x
do những tải trọng này gây ra cũng sẽ giảm đi
2

i

lần so với đờng y
i
(x), do vậy ta có:
( )
( )
( )
i
i
1
i
y x
y x
=
Đẳng thức này nghiệm đúng với bất kỳ giá trị nào của x. Vì hàm y
i
(x) ch-
a biết nên trong lần gần đúng thứ nhất ta giả thiết hàm dạng theo hàm
( )
i
x
nào đó và xác định đợc giá trị gần đúng thứ nhất theo công thức sau:
( )
( )
( )
( )
i
2
i

1
i
x
x

=

(1-27)
trong đó
( )
( )
1
i
x
là đờng đàn hồi do các tải trọng phân bố
16
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
( ) ( ) ( )
i
q x m x x=
và tải trọng tập trung
( )
k
k i
P m x=
gây ra.
Do hàm
( )
i
x

chọn ban đầu thờng không đúng với dạng dao động thực
nên đại lợng
( )
1
i

xác định theo (1-27) ứng với các điểm khác nhau trên hệ sẽ
có giá trị khác nhau. Nếu giá trị
( )
1
i

này không khác nhau nhiều lắm thì có thể
lấy giá trị trung bình của chúng làm kết quả cần tìm
i

. Nếu các giá trị
( )
1
i

khác nhau nhiều thì cần phải tiếp tục tính toán, tức là cần thực hiện lần tính
tiếp theo.
Trong lần tính tiếp theo, ta lại giả thiết phơng trình dao động có dạng
( )
( )
1
i
x
; lúc này các tải trọng có giá trị:

( ) ( )
( )
( )
( )
( )
i
i
1
1
k
k
q x m x y x
P m y x
=
=
Gọi phơng trình đờng đàn hồi do các tải trọng này gây ra là
( )
(2)
i
x
; ta
sẽ tính đợc tần số gần đúng lần thứ hai theo công thức sau:
( )
( )
( )
( )
1
(2)
i
i

2
i
x
x

=

Cứ tiếp tục nh vậy cho đến khi trị số
( )
n 1
i
+

và
( )
n
i

xấp xỉ bằng nhau là đ-
ợc. Lúc này
( )
( )
( )
( )
( )
n
n 1
i
i
n 1

i
x
x
+
+

=

ứng với giá trị x khác nhau đều có kết quả t-
ơng tự.
Ngoài ra còn có thể kể đến các phơng pháp tính tần số dao động riêng
nh phơng pháp Holzer, phơng pháp ma trận chuyển tiếp, phơng pháp chuyển vị
khả dĩ, phơng pháp lặp không gian con
17
LuËn v¨n Th¹c sÜ kü thuËt
18
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
chơng 2
dao động riêng của hệ hữu hạn bậc tự do
Trong thực tế tính toán kỹ thuật, chúng ta thờng gặp bài toán tính dao
động của hệ hữu hạn bậc tự do. Để thuận tiện, việc trình bày đợc thể hiện ở
dạng ma trận.
2.1. Xây dựng phơng trình vi phân dao động hệ hữu hạn bậc tự do
2.1.1. Khái niệm về ma trận cứng và ma trận mềm:
Xét hệ dầm tại tại các vị trí 1,2,n hệ chịu các lực ứng với các vị trí là
P
1
,P
2
, ,P

n
Hình 2.1
Chuyển vị tại vị trí k đợc xác định theo nguyên lý cộng tác dụng
v
k
=
k1
.P
1
+
k2
.P
2
+
k3
.P
3
+ +
kn
.P
n
với k = 1,2, ,n
Viết cho tất cả các vị trí và biểu diễn ở dạng ma trận ta có:
19
P
1
P
2
P
k

P
n
1 2 k n
v
1
v
2
v
k
v
n
P
1
=1
1 2 k n

11

21

k1

n1
1 2 k n

=1 r
21
r
k1
r

n1
r
11
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
v
1

11

12

1n
P
1
v
2

21

22

2n
P
2

v
n

n1

n2

nn
P
n
Hay có thể viết rút gọn: {V} = [F]{P}
v
1
v
2

v
n
P
1
P
2

P
n

11

12

1n

21

22

2n


n1

n2

nn
Các phần tử của ma trận độ mềm là các chuyển vị tơng ứng với tọa độ K
do lực bằng đơn vị đặt tại vị trí m gay ra đựoc xác định nh hình vẽ trên.
Ngợc lại ta cũng có thể biểu diễn phơng trình chính tắc ở dạng
{P} = [K] {V}
Trong đó [K] là ma trận độ cứng.
20
=
{V} : Vectơ chuyển vị {V} =
{P} : Vectơ tải trọng {P} =
[F] : Ma trận độ mềm [F] =
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
r
11
r
12
r
1n
r
21
r
22

r
2n

r
n1
r
n2
r
nn
Các phần tử của ma trận độ cứng là các lực tơng ứng ở tọa độ k do
chuyển vị đơn vị tại vị trí m gây ra.
Ma trận mềm [F] và ma trận cứng [K] là ma trận có tính chất đối xứng
và chúng là nghịch đảo của nhau:
[K] = [F]
-1
; [F] = [K]
-1
; [F][K] = [K][F] = [E]
2.1.2. Phơng trình vi phân dao động tổng quát của hệ hữu hạn bậc tự do:
Xét hệ dầm có n khối lợng tập trung, tơng ứng với vị trí hệ chịu các lực
P
1
(t), P
2
(t), P
3
(t),, P
n
(t). Bỏ qua trọng lợng bản thân của dầm khi dao động,
vị trí của mỗi khối lợng đợc xác định bởi một thông số là chuyển vị theo ph-

ơng đứng. Do vậy hệ có n bậc tự do.
Trớc hết ta xét trờng hợp bỏ qua ảnh hởng của lực cản. Ta sẽ viết phơng
trình cần bằng lực với việc sử dụng nguyên lý Dalambe. Trong đó các lực đặt
vào khối lợng bao gồm: tải trọng động tác dụng, lực quán tính và lực đàn hồi.
21
P
1
(t) P
2
(t) P
k
(t) P
n
(t)
m1 m2 mk mn

v
1
(t) v
2
(t) v
k
(t)
v
n
(t)
P
k,d
m
k

P
k
(t)
P
k,q
P
k
(t)
[K] =
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Hình 2.2
Phơng trình cần bằng lực đối với khối lợng thứ k:
-P(t)
k,q
+ P(t)
k,d
= P(t)
k
(2-1a)
Trong đó:
Lực quán tính: P
k,q
= -m
k
.V
(k)
(t)
Lực đàn hồi: P
k,d
= r

k1
v
1
+ r
k2
v
2
+ r
k3
v
3
+ + r
kn
v
n
Viết phơng trình (2-1a) cho tất cả khối lợng của hệ, và biểu diễn ở dạng
ma trận ta có:
1 1 11 12 1n 1 1
2 2 21 22 2n 2 2
n n n1 n2 nn n n
m 0 0 v r r r v P (t)
0 m 0 v r r r v P (t)


0 0 m v r r r v P (t)




+ =

&&
&&
&&
Hay có thể viết dới dạng thu gọn:
[ ]
{ }
[ ]
{ } { }
)t(P)t(VK)t(VM =+

(2-1)
Khi kể đến ảnh hởng của lực cản, phơng trình (2-1) sẽ là:
[ ]
{ }
[ ]
{ }
[ ]
{ } { }
)t(P)t(VK)t(VC)t(VM =+

(2-2)
Trong đó:
[M]: là ma trận khối lợng
[ ]

1
2
n
m 0 0
0 m 0
M

0 0 m



=



[C]: là ma trận cản
c
11
c
12
c
1n
c
21
c
22
c
2n

c

n1
c
n2
c
nn
22
[C] =
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Các phần tử của ma trận tắt dần C
km
gọi là hệ số ảnh hởng tắt dần, là lực t-
ơng ứng với toạ độ k do tốc độ chuyển dịch bằng đơn vị tại toạ độ m gây ra.
2.2. Bài toán dao động riêng của hệ hữu hạn bậc tự do
Khi xét dao động riêng của hệ, theo (2-2) ta có phơng trình sau:
[ ]
{ }
[ ]
{ } { }
0)t(VK)t(VM =+

(2-3)
Với giả thiết xem xét dao động tự do của hệ hữu hạn bậc tự do cũng có
dạng là hàm điều hoà đơn giản
{v
(t)
} = {A}sin(t + ) (2-4)
Trong đó:
{A} : là vectơ biểu thị biên độ dao động
: tần số dao động riêng
: độ lệch pha

Việc xác định tần số dao động riêng của hệ hữu hạn bậc tự do tơng ứng
với việc xác định các điều kiện để phơng trình (2-4) tồn tại dao động của hệ.
2.3. Xác định tần số dao động riêng
Lấy đạo hàm bậc hai biểu thức (2-4), và thay vào (2-3) ta thu đợc:
-
2
[M]{A}sin(t + ) + [K]{A}sin(t + ) = {0}
Hay:
[ ] [ ]
[ ]
{ }
[ ] [ ]
[ ]
{ }
}0{hay }0{)(
22
== AMKtvMK

(2-5)
Để hệ tồn tại dao động thì {A} {0} dẫn đến:
[ ] [ ]
2
K M 0
=
(2-6)
Phơng trình (2-6) đợc gọi là phơng trình tần số của hệ hữu hạn bậc tự
do, khai triển (2-6) ta sẽ nhận đợc phơng trình đại số bậc n đối với
2
. Giải
phơng trình này ta sẽ xác định n nghiệm

( )
2
n
2
3
2
2
2
1
, ,,,
. Các giá trị
nghiệm này biểu thị giá trị bình phơng các tần số của n dạng dao động riêng.
23
Luận văn Thạc sĩ kỹ thuật
Vectơ bao gồm tất cả các tần số dao động riêng xếp theo thứ tự tăng dần (
1
<

2
<
3
<
4
< <
n
) đợc gọi là vectơ tần số dao động riêng.

=
n






}{
3
2
1
(2-7)
Tần số dao động riêng thấp nhất
1

gọi là tần số cơ bản.
Tất cả các ma trận khối lợng và ma trận cứng của hệ kế cấu bất kỳ đều
là các ma trận đối xứng và xác định dơng. Vì vậy, tất cả các nghiệm của ph-
ơng trình tần số đều là thực và dơng [1].
Phơng trình tần số có thể biểu diễn ở dạng ma trận mềm. Muốn vậy ta
nhân trái hai vế của (2-5) với ma trận
[ ]
F
1
2


ta sẽ nhận đợc:
[ ] [ ] [ ]
2
1
F M E 0 =

(2-8)
Trong đó [E] là ma trận đơn vị.
2.4. Xác định dạng dao động riêng
Tơng ứng với các giá trị tần số dao động riêng
i

(i = 1,2,3,,n) ta sẽ
xác định đợc các dạng dao động riêng {
i
} từ phơng trình (2-5). Việc xác định
tần số và dạng dao động riêng có vai trò rất quan trọng trong bài toán dao
động của hệ hữu hạn bậc tự do.

Để xác định các dạng dao động riêng, ta đa vào ma trận [B
i
] ứng với
dao động riêng
i

. Dạng dao động riêng ứng với tần số
i

gọi là dạng dao
động riêng thứ i, hay là dạng chính thứ i.
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ][ ] [ ]







== E
1
MFBhay , MKB
2
i
i
2
ii
(2-9)

Khi đó phơng trình tần số có dạng:
24