skkn: SỬ DỤNG SƠ ðỒ ðOẠN THẲNG VÀ MỘT SỐ BIỆN PHÁP SUY LUẬN GIÚP HỌC SINH LỚP 4, 5 GIẢI TỐT CÁC BÀI TOÁN TÍNH TUỔI

1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ðề tài:
SỬ DỤNG SƠ ðỒ ðOẠN THẲNG VÀ MỘT SỐ BIỆN PHÁP SUY LUẬN
GIÚP HỌC SINH LỚP 4, 5 GIẢI TỐT CÁC BÀI TOÁN TÍNH TUỔI

Nguyễn Thị Bích Thủy
Giáo viên, trường tiểu học Hậu Lộc, Lộc Hà, Hà Tĩnh

A. PHẦN MỞ ðẦU.
I. LÍ DO CHON ðỀ TÀI.
Toán là một trong những môn học ñóng vai trò, vị trí hết sức quan trọng
trong chương trình của mỗi cấp học trong ñó có bậc Tiểu học. Nó luôn ñược chú
trọng và ñược dành một thời lượng rất lớn trong chương trình dạy - học ở các
nhà trường.
Bên cạnh mục tiêu chủ yếu là rèn luyện kĩ năng tính toán và giải toán thì
môn Toán ở Tiểu học còn phải chú ý ñến sự phát triển của tư duy, óc tưởng
tượng, bồi dưỡng phương pháp suy luận lô-gic …. góp phần hình thành và phát
triển nhân cách toàn diện cho học sinh Tiểu học. Tuy nhiên ñể ñạt ñược những
mục tiêu ñó chúng ta không thể làm trong chốc lát, một sớm một chiều mà phải
ñược tiến hành từ từ, kiên trì từng bước một ñể các phương pháp suy luận có thể
thấm dần vào trí tuệ còn non nớt của các em. Chúng vừa có tác dụng nâng cao
năng lực suy nghĩ, vừa là công cụ ñắc lực giúp giáo viên có thể truyền thụ các
kiến thức mới cũng như luyện tập, rèn dũa các kĩ năng toán học cho học sinh. Vì
thế với vai trò là giáo viên hơn ai hết chúng ta cần phải trang bị cho mình những
hiểu biết cần thiết về các phương pháp suy luận ñể vận dụng hợp lý, linh hoạt và
sáng tạo trong giảng dạy nói chung và trong dạy toán ở Tiểu học nói riêng.
Trong môn Toán, giải toán là một vấn ñề hết sức lý thú nhưng không kém
phần khó khăn ñối với nhiều học sinh. ðây là một trong những vấn ñề ñã ñược
nhiều nhà khoa học giáo dục quan tâm nghiên cứu.

Qua thực tế dạy học các dạng toán ñiển hình ở Tiểu học thì việc dạy học
“Các bài toán tính tuổi” là một trong những dạng toán khó và có tính ña dạng
cao. ðể giải ñược dạng toán này ñòi hỏi học sinh phải huy ñộng tối ña các kiến
thức toán tổng hợp mà mình ñã học nhất là khả năng phân tích, tổng hợp, trừu
tượng hóa và khái quát hóa, sử dụng thành thạo, linh hoạt các phương pháp giải
toán ở Tiểu học. Thực tế cho thấy khi bắt gặp “Các bài toán tính tuổi” hầu hết
các em ñều cảm thấy lúng túng, khó khăn trong quá trình nhận dạng toán và tìm
ra cách giải của mỗi dạng. Bên cạnh ñó, một số giáo viên chưa biết cách hướng
dẫn cho học sinh ñể các em có thể nhanh chóng tìm ra hướng giải quyết, ñặc biệt
ñối với “Các bài toán tính tuổi” liên quan ñến tuổi của hai người tại 2 hoặc 3
thời ñiểm là một dạng toán khó ở Tiểu học mà loại bài tập này không xuất hiện
trong tài liệu sách giáo khoa, sách giáo viên. Vì vậy khi gặp phải dạng bài tập
2

này ña số giáo viên cảm thấy khó khăn, lúng túng trong quá trình hướng dẫn học
sinh hiểu nội dung bài toán và tìm ra cách giải phù hợp.
ðể góp phần nâng cao năng lực giải toán nói chung, năng lực giải “Các bài
toán tính tuổi” nói riêng trong môn Toán ở Tiểu học và góp phần vào việc ñổi
mới phương pháp BDHSG trên cơ sở kiến thức chuẩn theo chương trình ñể hình
thành và phát triển những kiến thức nâng cao một cách phù hợp với nhận thức
của học sinh, tôi ñã cố gắng nghiên cứu, tìm tòi ra các biện pháp suy luận và
cách giải nhanh, hiệu quả nhất ñối với học sinh của mình và ñó cũng chính là
nội dung sáng kiến: “Sử dụng sơ ñồ ñoạn thẳng và một số biện pháp suy luận
giúp học sinh lớp 4, 5 giải tốt các bài toán tính tuổi”.
II. ðỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
- ðối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 4A, 5A (năm học 2011 - 2012) và học
sinh lớp 4B, 5B (năm học 2012 - 2013) .
- Phạm vi nghiên cứu: ðề tài chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu nội dung và phương
pháp dạy học, từ ñó ñề xuất một số biện pháp suy luận cũng như cách sử dụng
sơ ñồ ñoạn thẳng ñể giúp học sinh lớp 4, 5 giải tốt “ Các bài toán tính tuổi”.

III. MỤC ðÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
- Cơ sở lý luận và thực tiễn của vấn ñề nghiên cứu.
- Tìm hiểu thực trạng của giáo viên và học sinh.
- Nghiên cứu SGK, SGV lớp 4, 5 và các tài liệu tham khảo khác.
- Tìm hiểu mạch kiến thức và phương pháp giải “ Các bài toán tính tuổi”.
Tìm hiểu nội dung bồi dưỡng HSG giải Toán qua mạng có liên quan ñến các bài
toán tính tuổi.
- ðề xuất một số biện pháp suy luận và cách sử dụng sơ ñồ ñoạn thẳng ñể
giúp học sinh lớp 4, 5 giải tốt “Các bài toán tính tuổi”.
- Rút ra những bài học kinh nghiệm bổ ích.
IV. GIẢ THIẾT KHOA HỌC
“Các bài toán tính tuổi” là một trong những dạng toán quen thuộc ở Tiểu
học ñặc biệt là trong chương trình BDHSG lớp 4, 5. Bên cạnh ñó, ñể giải tốt các
bài toán có lời văn nói chung và các bài toán tính tuổi nói riêng thì việc sử dụng
sơ ñồ ñoạn thẳng kết hợp với một số biện pháp suy luận ñóng vai trò vị trí hết
sức quan trọng. Vì vậy, nếu sử dụng tốt các biện pháp suy luận và sơ ñồ ñoạn
thẳng trong quá trình giải toán tính tuổi sẽ giúp học sinh hiểu và giải bài toán
một cách nhanh nhất và hiệu quả nhất. Từ ñó tạo ñộng lực, hứng thú học tập,
giúp các em có niềm say mê với môn học, nâng cao hiệu quả dạy học nói chung
và hiệu quả BDHSG nói riêng.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: ðọc, thu thập và xử lý thông tin qua các tài
liệu, SGK, SGV và các giáo trình khác có liên quan ñến ñề tài.
3

- Phương pháp ñiều tra thực tế: Khảo sát chất lượng học sinh cũng như tìm
hiểu cách dạy của giáo viên về dạng bài “ Tính tuổi”.
- Phương pháp thực nghiệm: Sử dụng các biện pháp suy luận và sơ ñồ ñoạn
thẳng ñể hướng dẫn học sinh giải “ Các bài toán tính tuổi”.
VI. ðÓNG GÓP CỦA ðỀ TÀI.

- Bước ñầu phân dạng và giúp học sinh giải tốt các bài toán tính tuổi theo từng
dạng cụ thể. Từ ñó nâng cao năng lực giải Toán có lời văn nói chung và toán
tính tuổi nói riêng cho học sinh lớp 4, 5.
- Nâng cao năng lực BDHSG cho giáo viên khối 4, 5. Từ ñó thúc ñẩy chất
lượng mũi nhọn của nhà trường ngày một ñi lên, ñáp ứng với yêu cầu của xã hội.

B. PHẦN NỘI DUNG.
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lí luận.
Trong chương trình môn Toán ở Tiểu học, toán có lời văn là loại toán ñóng
vai trò rất quan trọng và chiếm một thời lượng khá lớn. ðể giải ñược toán có lời
văn trước hết học sinh phải biết cắt nghĩa và hiểu ñược các từ ngữ diễn ñạt trong
mỗi bài toán, khi ñó học sinh mới hiểu ñược bài toán cho biết những gì và muốn
hỏi gì ? Từ ñó tìm ra ñược cách giải ñúng cho bài toán.
Toán có lời văn giúp học sinh cũng cố ñược kiến thức của bài học ở mức ñộ
cao hơn, cụ thể hơn, nó tạo ra sự phong phú ña dạng cho nội dung bài học. Bên
cạnh ñó, toán có lời văn còn giúp phát triển óc tưởng tượng, khả năng phân tích,
tư duy cho học sinh. Ngoài ra, sự phong phú của cuộc sống cũng ñược thể hiện
rõ qua nhiều kiểu bài, dạng bài của toán có lời văn.
Việc hướng dẫn học sinh hiểu và giải ñược các bài toán có lời văn không
những giúp các em nắm vững kiến thức toán trong từng nội dung bài học mà còn
góp phần tích cực giúp các em hiểu và vận dụng tốt những hiểu biết ñó vào cuộc
sống. ðiều ñó càng chứng minh cho tầm quan trọng của toán có lời văn trong
chương trình toán ở Tiểu học nói riêng và các bậc học khác nói chung cũng như
trong cuộc sống hàng ngày.
2. Cơ sở thực tiễn.
Qua tìm hiểu chương trình, SGK, tài liệu tham khảo và qua thực tế giảng
dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi về môn Toán lớp 4 - 5 tôi thấy:
Về sách giáo khoa: Các bài toán tính tuổi thuộc “Toán ñiển hình” ñược ñưa
vào trong sách giáo khoa môn Toán 4, 5 nhưng ñang ở mức ñộ ñơn giản. Các bài

tập không mang tính chất ña dạng, chưa phân loại ñược các dạng bài.
Về giáo viên: Hiện nay việc dạy - học môn Toán ở cấp Tiểu học ñã có nhiều
tiến bộ và có ñổi mới theo hướng tích cực hơn. Hoạt ñộng dạy - học ñều ñược
chú trọng và ñạt hiệu quả khá tốt. Việc áp dụng phương pháp dạy học mới nhằm
4

phát huy tối ña tính tích cực, sáng tạo của học sinh ñược nhiều giáo viên khai
thác, áp dụng hết sức thành công. Song bên cạnh ñó cũng còn không ít tồn tại,
hạn chế như: việc dạy - học thụ ñộng vẫn còn xảy ra; việc tìm ra cách dạy – cách
học hợp lý nhằm phát triển ñúng năng lực tư duy học toán cho học sinh lại chưa
ñược giáo viên thực sự chú trọng; vẫn còn một số giáo viên thiếu sự nghiên cứu,
sáng tạo trong hoạt ñộng dạy - học, còn hạn chế trong việc tổ chức các phương
pháp dạy học mới, chưa thật sự nắm vững các phương pháp suy luận trong dạy
toán ở Tiểu học ñể hướng dẫn học sinh tìm ra ñáp số các bài toán khó một cách
nhanh chóng và phù hợp với mức ñộ phát triển tư duy của các em
Qua thực tế BDHSG về môn Toán tôi thấy ña số giáo viên còn lúng túng khi
hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan ñến tuổi của hai người ở 2 hoặc 3
thời ñiểm Mặt khác, các bước giải trong tài liệu tham khảo còn chưa cụ thể,
hoặc quá dài nên khi giáo viên tham khảo ñể hướng dẫn học sinh còn gây sự khó
hiểu cho các em, thậm chí một số ít giáo viên còn không hiểu ñúng bản chất của
bài toán.
Về học sinh : Ở Tiểu học, một bộ phận các em còn thụ ñộng, chủ yếu là
nghe giảng, ghi nhớ và làm theo bài mẫu. Chính vì vậy mà kiến thức của các em
còn mang tính hời hợt, nhớ không lâu, thiếu sự linh hoạt, sáng tạo và khả năng
phân tích của các em còn hạn chế. ðối với “các bài toán tính tuổi” gây không ít
khó khăn cho một số ñông học sinh vì ñây là dạng toán khó trong chương trình
Tiểu học. ðặc biệt ñối với các bài toán liên quan ñến tuổi của hai người ở 2
hoặc 3 thời ñiểm quả thực là khó ñối với học sinh.
II. THỰC TRẠNG
Trong quá trình dạy học hiện nay, ngoài công tác dạy - học theo ñúng mục

tiêu, yêu cầu về kĩ năng cần ñạt của môn học, thì việc phát hiện và bồi dưỡng
học sinh giỏi từng môn ở các lớp là nhiệm vụ của mỗi giáo viên, của mỗi nhà
trường. Trong những năm qua, việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi ñã có
những kết quả nhất ñịnh nhưng nhìn chung còn có nhiều ñiểm tồn tại, thiếu sót
cần ñược khắc phục. Mặt khác qua kháo sát chất lượng học sinh giỏi lớp 4, 5
năm học 2011 – 2012 về nội dung kiến thức liên quan ñến toán tính tuổi tôi thấy
kết quả chưa cao. Cụ thể là:
Kết quả
G K TB Y
Lớp
Số
học
sinh
SL TL SL TL SL TL SL TL
4A 20 5 25 9 45 4 20 2 10
5A 18 3 16,7

10 55,6

3 16,7

2 11
Bên cạnh ñó, qua quá trình dạy học và trực tiếp phát hiện, bồi dưỡng học
sinh giỏi trong nhiều năm tôi nhận thấy rằng:
5

Về học sinh: Như ñã ñề cập ở trên, ngoài mục tiêu chủ yếu là rèn luyện kĩ
năng tính toán và giải toán thì môn Toán ở Tiểu học còn phải chú ý phát triển tư
duy và bồi dưỡng phương pháp suy luận cho học sinh. Nhưng với ñặc ñiểm tâm
sinh lý của học sinh Tiểu học thì tính tư duy mới chỉ ở trong giai ñoạn hình

thành và phát triển. Do vậy việc tiếp nhận tri thức của các em trong quá trình
học tập chủ yếu vẫn ñang thiên về tính cụ thể, bắt chước, làm theo, học tập theo
mẫu.
Về giáo viên: Hiện nay ñội ngũ giáo viên các nhà trường ñều ñạt chuẩn và
trên chuẩn, trẻ, nhiệt tình và năng lực chuyên môn khá tốt. Song do tuổi ñời, tuổi
nghề của một số giáo viên còn quá trẻ, kinh nghiệm dạy học còn ít, vốn tích lũy
kiến thức và khả năng hệ thống hoá chương trình môn học của từng khối lớp
chưa sâu. Giáo viên chỉ mới cố gắng dạy - học cho học sinh trên lớp ñúng, ñủ,
chính xác và ñạt chuẩn, còn công tác phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi ñạt
hiệu quả cao thì chỉ do một số rất ít giáo viên làm việc ñó. Bên cạnh ñó, có
nhiều giáo viên tuy năng lực chuyên môn rất tốt nhưng phương pháp truyền thụ
lại bị hạn chế. Vì vậy, hiệu quả dạy - học vẫn còn chưa ñáp ứng ñược yêu cầu
ñề ra.
Việc cung cấp kiến thức cho học sinh của giáo viên cũng mới chỉ nghiên
cứu trên phương diện tư liệu có sẵn, chứ chưa chịu ñào sâu kiến thức của từng
dạng bài cụ thể. Giáo viên dạy lớp nào chỉ biết kiến thức lớp ñó nên không hệ
thống ñược kiến thức và chưa ñưa ra ñược các phương pháp chung phù hợp ñể
giải quyết từng dạng bài tập. Những nội dung ở sách giáo khoa và sách tham
khảo không ñề cập tới thì rất ít giáo viên “tìm kiếm” ñể giúp học sinh có phương
pháp “ñặc trưng” giải bài tập ñó.
Về tài liệu tham khảo: Tài liệu tham khảo môn Toán ở Tiểu học nói chung
và dạng các bài toán tính tuổi nói riêng ñược viết rất nhiều. ðó quả là những tư
liệu tham khảo rất quý ñối với giáo viên, cán bộ quản lý, học sinh và phụ huynh
trong quá trình dạy - học. Tuy nhiên, các tài liệu tham khảo chỉ mới ñưa ra các
bài toán tuổi, bước ñầu phân loại và hướng dẫn giải các bài toán ñó. Còn vấn ñề
sử dụng các phương pháp suy luận nào là phù hợp với từng dạng bài ñể tìm ra
ñáp số thì ñó là vấn ñề còn “bỏ ngõ” của sách tham khảo. Với hạn chế ñó, trong
quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán, tôi ñã phân loại các dạng bài và ñưa ra
các phương pháp hỗ trợ suy luận giải các bài toán tuổi lớp 4- 5 ñể giúp học sinh
có sự lựa chọn phù hợp, hiệu quả và tìm ñược ñáp số dễ dàng những bài toán

tuổi ña dạng và khó ở Tiểu học.
III. CÁC DẠNG TOÁN TÍNH TUỔI ðIỂN HÌNH Ở LỚP 4, 5
Trong chương trình toán ở Tiểu học, các bài toán tuổi thuộc toán có lời văn
ñiển hình: tìm hai số khi biết tổng và hiệu; tìm hai số khi biết tổng và tỉ số hoặc
hiệu và tỉ số của hai số ñó. Tuy nhiên, các bài toán tính tuổi rất ña dạng, có
những bài toán tính tuổi rất khó với các em học sinh Tiểu học. ðể thuận tiện
trong việc giúp các em học sinh dễ dàng ghi nhớ và nhận dạng các bài toán ñể
lựa chọn phương pháp thích hợp, tìm ra lời giải, tôi ñã phân chia các dạng bài
toán tính tuổi ở lớp 4 - 5 như sau:
6

Dạng 1: Cho biết tổng và hiệu số tuổi của hai người.
Dạng 2: Cho biết tổng và tỉ số tuổi của hai người
Dạng 3: Cho biết hiệu và tỉ số tuổi của hai người.
Dạng 4: Cho biết tỉ số tuổi của hai người ở 2 thời ñiểm khác nhau.
Dạng 5: Cho biết tỉ số tuổi của hai người ở 3 thời ñiểm khác nhau.
IV. SỬ DỤNG SƠ ðỒ ðOẠN THẲNG VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG
PHÁP HỖ TRỢ SUY LUẬN GIÚP HỌC SINH LỚP 4, 5 GIẢI TỐT CÁC
BÀI TOÁN TÍNH TUỔI.
Việc biểu thị mối quan hệ giữa các ñại lượng trong bài toán tính tuổi như
thế nào ñể học sinh dễ dàng nhận ra hướng giải quyết bài toán ? Nên sử dụng
các phương pháp giải toán ở Tiểu học nào là phù hợp với các dạng toán tính tuổi
ñó? ðó chính là lý do mà tôi muốn tổng kết lại qua quá trình bồi dưỡng học sinh
giỏi của mình. ðể giải các bài toán tính tuổi tôi thường hướng dẫn học sinh sử
dụng sơ ñồ ñoạn thẳng ñể biểu thị nội dung bài toán. ðây là phương pháp ñóng
vai trò quan trọng trong giải toán ở Tiểu học ñặc biệt là trong quá trình bồi
dưỡng học sinh giỏi. Sử dụng phương pháp này tôi nhận thấy học sinh nắm bắt
nội dung và tìm ra cách giải bài toán nhanh và hiệu quả hơn các phương pháp
khác. Mặt khác, phương pháp này lại rất phù hợp với tâm lý lứa tuổi của học
sinh Tiểu học bởi vì một bài toán luôn có các ñại lượng chưa biết, các ñại lượng

này ñược biểu thị bởi các ñoạn thẳng, mối quan hệ giữa các ñại lượng trong bài
ñược thể hiện một cách trực quan, nhờ ñó mà học sinh dễ dàng hiểu và tìm ra
cách giải bài toán. Dùng phương pháp sơ ñồ ñoạn thẳng, học sinh có thể giải
ñược nhiều dạng bài toán tính tuổi . Ngoài việc dùng sơ ñồ ñoạn thẳng ñể minh
họa bài toán, GV cần giúp học sinh hiểu và nắm rõ một số biện pháp hỗ trợ suy
luận sau:
- Hiệu số tuổi (hoặc hiệu số phần tuổi) giữa hai người không thay ñổi theo
thời gian.
- ðối với bài toán dạng Tổng – Tỉ thì tổng số tuổi luôn phụ thuộc vào tỉ số
tuổi tại thời ñiểm bài toán cho.


MỘT SỐ VÍ DỤ DỤ MINH HỌA
Dạng 1: Tìm hai số khi biết Tổng và Hiệu số của hai số ñó.
Ở lớp 4 học sinh ñược học dạng toán “Tìm hai số khi biết Tổng và Hiệu số
của hai số ñó”. Các em ñược hướng dẫn giải bài toán này theo 2 cách:
Cách 1:
Bước 1: Dùng sơ ñồ ñoạn thẳng ñể biểu thị nội dung bài toán
Bước 2: Số lớn = ( Tổng + Hiệu ) : 2
Bước 3: Số bé = Tổng - Số lớn
( Hoặc Số bé = Số lớn - Hiệu )
Cách 2:

Bước 1: Dùng sơ ñồ ñoạn thẳng ñể biểu thị nội dung bài toán
7

Bước 2: Số bé = ( Tổng - Hiệu ) : 2
Bước 3: Số lớn = Tổng - Số bé
( Hoặc Số lớn = Số bé + Hiệu )
Ví dụ 1: Hiện nay tổng số tuổi của hai người là 30 tuổi. Tuổi của người

thứ nhất hơn tuổi của người thứ hai là 10 tuổi. Tìm tuổi của mỗi người hiện
nay ?
Phân tích: ðây là bài toán thuộc dạng toán “Tìm hai số khi biết Tổng và
Hiệu số của hai số ñó”. Giáo viên hướng dẫn học sinh giải theo 1 trong 2 cách
như trên.
Cách 1: Bài giải:
Theo bài ra ta có sơ ñồ:
Tuổi của người thứ nhất:
Tuổi của người thứ hai:

Tuổi của người thứ nhất là:
( 30 + 10 ) : 2 = 20 ( tuổi )
Tuổi của người thứ hai là:
20 – 10 = 10 ( tuổi )
ðáp số: Người thứ nhất: 20 tuổi; Người thứ hai: 10 tuổi
Cách 2: Bài giải:
Theo bài ra ta có sơ ñồ:
Tuổi của người thứ nhất:
Tuổi của người thứ hai:

Tuổi của người thứ hai là:
( 30 – 10 ) : 2 = 10 ( tuổi )
Tuổi của người thứ nhất là:
30 – 10 = 20 ( tuổi )
ðáp số: Người thứ nhất: 20 tuổi
Người thứ hai: 10 tuổi
Ví dụ 2: Trước ñây 3 năm tổng số tuổi của bố, mẹ và em là 90 tuổi. Tính tuổi
của ba người hiện nay biết bố hơn mẹ 2 tuổi và hơn em 34 tuổi ?
Phân tích: ðây cũng là bài toán thuộc dạng Tổng - Hiệu. Vì hiệu số tuổi
giữa 3 người không thay ñổi theo thời gian nên ta có thể hướng dẫn học sinh giải

theo 2 cách sau:
Cách 1: Giải bài toán Tổng - Hiệu tại thời ñiểm 3 năm trước ñể tính tuổi mỗi
người cách ñây 3 năm. Khi ñã biết tuổi mỗi người tại thời ñiểm 3 năm trước học
sinh sẽ dễ dàng tính tuổi của mỗi người hiện nay.
Bài giải:
Vì hiệu số tuổi giữa 3 người không thay ñổi theo thời gian nên ta có sơ ñồ
tuổi của 3 người 3 năm trước là:

Tuổi bố:

Tuổi mẹ:
30 tuổi
10 tu
ổi


?

?

90 tuổi
2 tuổi


?
30 tuổi
10 tu
ổi

?

?

8


Tuổi em:


Tuổi bố 3 năm trước là:
( 90 + 2 + 34 ) : 3 = 42 ( tuổi )
Tuổi bố hiện nay là:
42 + 3 = 45 ( tuổi )
Tuổi mẹ hiện nay là:
45 – 2 = 43 ( tuổi )
Tuổi em hiện nay là:
45 – 34 = 11 ( tuổi )
ðáp số: Tuổi bố: 45 tuổi
Tuổi mẹ: 43 tuổi
Tuổi em: 11 tuổi
Cách 2: Giải bài toán Tổng - Hiệu tại thời ñiểm hiện nay bằng cách hướng
dẫn học sinh tính tổng số tuổi của 3 người hiện nay, rồi giải bài toán ñể tìm tuổi
mỗi người hiện nay.
Bài giải:
Tổng số tuổi của 3 người hiện nay là:
90 + 3 x 3 = 99
Ta có sơ ñồ tuổi của 3 người hiện nay là:

Tuổi bố:

Tuổi mẹ:

Tuổi em:

Tuổi bố hiện nay là:
( 99 + 2 + 34 ) : 3 = 45 ( tuổi )
Tuổi mẹ hiện nay là:
45 – 2 = 43 ( tuổi )

Tuổi em hiện nay là:
45 – 34 = 11 ( tuổi )
ðáp số: Tuổi bố: 45 tuổi
Tuổi mẹ: 43 tuổi
Tuổi em: 11 tuổi
Ví dụ 3: Hai lần tuổi anh hơn tổng số tuổi của hai anh em là 10 tuổi.
Hiệu số tuổi của hai anh em hơn tuổi em là 2 tuổi. Hỏi tuổi của anh và của
em là bao nhiêu tuổi ?
Phân tích:
Bằng sơ ñồ ñoạn thẳng giáo viên giúp học sinh tìm ra ñược hiệu
số tuổi của 2 anh em là 10 tuổi và 10 tuổi này chính là tuổi em cộng với 2. Từ sự
34 tuổi
99 tuổi
34 tuổi
2 tuổi


?

?

?
9

phân tích ñó học sinh sẽ tìm ngay ñược tuổi em và tuổi anh theo yêu cầu của bài
toán.
Bài giải:
Theo bài ra ta có sơ ñồ:
Hai lần tuổi anh:

Tổng số tuổi của hai anh em:
Nhìn vào sơ ñồ ta thấy anh hơn em 10 tuổi. Mặt khác theo bài ra hiệu số
tuổi của hai anh em hơn tuổi em 2 tuổi nên ta có sơ ñồ sau:



Tuổi em là:
10 – 2 = 8 ( tuổi )
Tuổi anh là:
8 + 10 = 18 ( tuổi )
ðáp số: Tuổi anh: 18 tuổi;
Tuổi em: 8 tuổi


Dạng 2: Tìm hai số khi biết Tổng và Tỉ số của hai số ñó.
Ở lớp 4 học sinh ñược học dạng toán Tổng - Tỉ. Các em ñược hướng dẫn
giải bài toán này theo các bước sau:
Bước 1: Vẽ sơ ñồ ñoạn thẳng biểu thị nội dung bài toán.
Bước 2: Tính tổng số phần ñoạn thẳng bằng nhau theo sơ ñồ ñã vẽ.
Bước 3: Số bé = (Tổng : Tổng số phần bằng nhau )X Số phần số bé.

Bước 4: Số lớn = Tổng - Số bé.
* Lưu ý: ðối với học sinh học lực trung bình - yếu thì giáo viên cần yêu cầu
học sinh học thuộc các bước giải trên và giải bài toán theo các bước ñó. Còn ñối
với học sinh khá - giỏi thì khuyến khích học sinh làm gộp bước 2 và 3 cho bài
giải nhanh và ngắn gọn hơn.
Ví dụ 1: Hiện nay hai anh em có tổng số tuổi là 30 tuổi, số tuổi của anh gấp
2 lần số tuổi của em. Tìm tuổi của mỗi người ?
Phân tích: ðây là bài toán ở dạng Tổng - Tỉ. Tổng và tỉ số tuổi của 2 người
tại một thời ñiểm thống nhất. Vì vậy giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán
theo các bước giải cơ bản trên.
Bài giải:
Theo bài ra ta có sơ ñồ:
Tuổi của anh:
Tuổi của em:

Tổng số phần bằng nhau là:
2 + 1 = 3 ( phần )
Tuổi của anh hiện nay là:
( 30 : 3 ) x 2 = 20 ( tuổi )
30 tuổi

?
?
10 tuổi
10 tuổi

tuổi em
2 tuổi
10
Tuổi của em hiện nay là:

30 – 20 = 10 ( tuổi )
ðáp số:
Tuổi anh: 20 tuổi
Tuổi em: 10 tuổi
Ví dụ 2: Cách ñây 8 năm tổng số tuổi của hai chị em bằng 24 tuổi. Hiện
nay tuổi em bằng
5
3
tuổi chị. Tính tuổi của mỗi người hiện nay ?
Phân tích: ðây là bài toán tổng - tỉ, tuy nhiên giáo viên cần giúp học sinh
nhận xét ñược: tổng và tỉ số tuổi của 2 chị em ở hai thời ñiểm khác nhau. Vì vậy
muốn giải bài toán này theo các bước giải của bài toán tổng - tỉ thì các em phải
tính ñược tổng số tuổi của hai chị em hiện nay là bao nhiêu ? (vì tổng số tuổi
phải phụ thuộc vào tỉ số tuổi tại thời ñiểm mà bài toán ñã cho).
Bài giải:
Tổng số tuổi hiện nay của hai chị em là:
24 + 8 x 2 = 40 ( tuổi )
Ta có sơ ñồ tuổi của hai chị em hiện nay là:

Tuổi chị:
Tuổi em:

Tuổi chị hiện nay là:
40 : ( 5 + 3 ) x 5 = 25 ( tuổi )
Tuổi em hiện nay là:
40 – 25 = 15 ( tuổi )
ðáp số: Tuổi chị: 25 tuổi
Tuổi em: 15 tuổi
Ví dụ 3: Hai năm trước tuổi bố gấp 3,5 lần tuổi con. Hiện nay hai bố con
có tổng số tuổi là 49 tuổi. Tính tuổi của mỗi người hiện nay ?

Phân tích: ðể tính ñược tuổi của mỗi người hiện nay giáo viên hướng dẫn
học sinh tính tổng số tuổi của hai bố con tại thời ñiểm hai năm trước ñể tổng số
tuổi thống nhất với tỉ số tuổi của hai người. Giải bài toán tổng - tỉ này học sinh
sẽ tìm ñược tuổi hai bố con tại thời ñiểm hai năm trước, từ ñó tính tuổi mỗi
người hiện nay.

Bài giải:
Ta thấy: 3, 5 =
2
7

Tổng số tuổi của hai bố con 2 năm trước là:
49 – 2 x 2 = 45 ( tuổi )
Ta có sơ ñồ tuổi của hai bố con 2 năm trước là:

Tuổi bố:
Tuổi con:

Tuổi của bố 2 năm trước là:

?

45 tuổi
?

?
40 tuổi
?
11
45 : ( 7 + 2 ) x 7 = 35 ( tuổi )

Tuổi của bố hiện nay là:
35 + 2 = 37 ( tuổi )
Tuổi của con hiện nay là:
49 – 37 = 12 ( tuổi )
ðáp số:
Tuổi bố: 37 tuổi
Tuổi con: 12 tuổi
Ví dụ 4: Hiện nay hai ông cháu có tổng số tuổi là 72 tuổi. Tìm tuổi của
mỗi người biết rằng 4 năm nữa tuổi ông ñược bao nhiêu tuần thì tuổi cháu
ñược bấy nhiêu ngày ?
Phân tích: Giáo viên cần phân tích giúp học sinh tìm ra ñược tỉ số tuổi giữa
hai người qua cụm từ “tuổi ông ñược bao nhiêu tuần thì tuổi cháu ñược bấy
nhiêu ngày”. Sau khi ñã nắm ñược tỉ số tuổi của hai ông cháu tại thời ñiểm 4
năm nữa học sinh sẽ tính tổng số tuổi của hai ông cháu 4 năm nữa và giải bài
toán tương tự như ví dụ 3.
Bài giải:
4 năm nữa hai ông cháu có tổng số tuổi là:
72 + 4 x 2 = 80 ( tuổi )

Ta có sơ ñồ tuổi hai ông cháu 4 năm nữa là:

Tuổi ông:
Tuổi cháu:

Tuổi của ông 4 năm nữa là:
80 : ( 7 + 1 ) x 7 = 70 ( tuổi )
Tuổi của ông hiện nay là:
70 – 4 = 66 ( tuổi )
Tuổi của cháu hiện nay:
72 – 66 = 6 ( tuổi )

ðáp số: Tuổi ông: 66 tuổi
Tuổi cháu: 6 tuổi
Dạng 3: Tìm hai số khi biết Hiệu và Tỉ số của hai số ñó.
Ở lớp 4 học sinh ñược học dạng toán Hiệu - Tỉ. Các em ñược hướng dẫn
giải bài toán này theo các bước sau:
Bước 1: Vẽ sơ ñồ ñoạn thẳng biểu thị nội dung bài toán.
Bước 2: Tính hiệu số phần ñoạn thẳng bằng nhau theo sơ ñồ ñã vẽ.
Bước 3: Số bé = (Hiệu : Hiệu số phần bằng nhau )X Số phần số bé.
Bước 4: Số lớn = Số bé + Hiệu
Ví dụ 1: Hiện nay anh hơn em 9 tuổi và tuổi em bằng
4
1
tuổi của anh.
Tính tuổi của mỗi người hiện nay ?
Phân tích:
ðây là bài toán thuộc dạng hiệu - tỉ cơ bản. Giáo viên hướng
dẫn học sinh giải theo các bước cơ bản ở trên.
Bài giải:
80 tuổi

?
?

12
Theo bài ra ta có sơ ñồ:

Tuổi anh:
Tuổi em:

Hiệu số phần bằng nhau là:

4 – 1 = 3 ( phần )
Tuổi của em hiện nay là:
9 : 3 = 3 ( tuổi )
Tuổi của anh hiện nay là:
9 + 3 = 12 ( tuổi )
ðáp số:
Tuổi anh: 12 tuổi
Tuổi em: 3 tuổi
Ví dụ 2: Lan hơn Hoa 8 tuổi. Tính tuổi của mỗi người hiện nay biết 5
năm trước tuổi của Lan gấp ñôi tuổi của Hoa ?
Phân tích: Từ nhận xét “ Hiệu số tuổi của hai người không thay ñổi theo
thời gian” giáo viên hướng dẫn học sinh giải bài toán hiệu - tỉ tại thời ñiểm 5
năm trước ñể tính tuổi của mỗi người 5 năm trước. Và khi biết tuổi của mỗi
người 5 năm trước học sinh sẽ dễ dàng tính ñược tuổi của mỗi người hiện nay.
Bài giải:
Vì hiệu số tuổi của hai người không thay ñổi theo thời gian nên ta có sơ ñồ
tuổi của Lan và Hoa 5 năm trước là:
Tuổi Lan:
Tuổi Hoa:

Tuổi của Hoa 5 năm trước là:
8 : ( 2 – 1 ) = 8 ( tuổi )
Tuổi của Hoa hiện nay là:
8 + 5 = 13 ( tuổi )
Tuổi Lan hiện nay là:
13 + 8 = 21 ( tuổi )
ðáp số: Tuổi Lan: 21 tuổi
Tuổi Hoa: 13 tuổi
Ví dụ 3: 7 năm nữa tuổi Nam bằng 1
2

1
tuổi của Tuấn. Tìm tuổi của mỗi
bạn hiện nay biết Tuấn ít hơn Nam 8 tuổi ?
Phân tích: Dựa vào lập luận “ Hiệu số tuổi của hai người không thay ñổi
theo thời gian” học sinh sẽ giải bài toán tương tự như ví dụ 2.
Bài giải:
Ta thấy: 1
2
1
=
2
3

Vì hiệu số tuổi của hai người không thay ñổi theo thời gian nên ta có sơ ñồ
tuổi của Tuấn và Nam 7 năm nữa là:

Tuổi Nam:
9 tuổi

?


?

8 tuổi

?

?
?

13
Tuổi Tuấn:

7 năm nữa Tuấn có số tuổi là:
8 : ( 3 – 2 ) x 2 = 16 ( tuổi )
Tuổi của Tuấn hiện nay là:
16 – 7 = 9 ( tuổi )
Tuổi của Nam hiện nay là:
9 + 8 = 17 ( tuổi )
ðáp số:
Tuổi Tuấn: 9 tuổi
Tuổi Nam: 17 tuổi
Ví dụ 4: Năm nay anh 17 tuổi và em 8 tuổi. Hỏi cách ñây mấy năm thì
tuổi anh gấp 4 lần tuổi em ?
Phân tích: Dựa vào nhận xét “Hiệu số tuổi của hai người không thay ñổi
theo thời gian” giáo viên hướng dẫn học sinh tính hiệu số tuổi của hai anh em
và chuyển bài toán về dạng hiệu - tỉ tại thời ñiểm tuổi anh gấp 4 lần tuổi em. Và
khi học sinh ñã tính ñược tuổi anh tại thời ñiểm tuổi anh gấp 4 lần tuổi em thì
học sinh sẽ tìm ñược số năm theo yêu cầu của bài toán.


Bài giải:
Hiệu số tuổi của anh và em là:
17 – 8 = 9 ( tuổi )
Vì hiệu số tuổi của hai anh em không thay ñổi theo thời gian nên ta có sơ
ñồ biểu thị tuổi anh và tuổi em khi tuổi anh gấp 4 lần tuổi em là:

Tuổi anh:
Tuổi em:

Tuổi anh khi tuổi anh gấp 4 lần tuổi em là:
9 : ( 4 – 1 ) x 4 = 12 ( tuổi )
Thời gian từ khi tuổi anh gấp 4 lần tuổi em cho ñến nay là:
17 – 12 = 5 (năm)
ðáp số: 5 năm
Ví dụ 5: Cách ñây 2 năm con 5 tuổi và kém cha 30 tuổi. Hỏi sau bao
nhiêu năm nữa thì tuổi cha gấp 3 lần tuổi con ?
Phân tích: Giáo viên hướng dẫn học sinh tính tuổi của con hiện nay và tuổi
của con tại thời ñiểm tuổi cha gấp 3 lần tuổi con. Từ ñó học sinh sẽ tìm ñược số
năm mà bài toán yêu cầu.
Bài giải
Tuổi của con hiện nay là:
5 + 2 = 7 ( tuổi )
Vì hiệu số tuổi của hai cha con không thay ñổi theo thời gian nên ta có sơ ñồ
biểu thị tuổi cha và tuổi con khi tuổi cha gấp 3 lần tuổi con là:
Tuổi cha:
Tuổi con:
8 tuổi
?
9 tuổi

?
30 tuổi

?
14

Tuổi con khi tuổi cha gấp 3 lần tuổi con là:
30 : ( 3 – 1 ) x 1 = 15 ( tuổi )

Thời gian từ nay cho ñến khi tuổi cha gấp 3 lần tuổi con là:
15 – 7 = 8 (năm)
ðáp số:
8 năm
Dạng 4: Cho biết tỉ số tuổi của hai người ở 2 thời ñiểm khác nhau.
Ví dụ 1: Hiện nay tuổi cha gấp 4 lần tuổi con. Trước ñây 9 năm tuổi cha
gấp 13 lần tuổi con. Tính tuổi của cha và con hiện nay?
Phân tích: Giáo viên hướng dẫn học sinh dùng sơ ñồ ñoạn thẳng biểu thị
tuổi của cha và con tại 2 thời ñiểm: hiện nay và trước ñây 9 năm rồi dựa vào
nhận xét: “Hiệu số phần tuổi giữa 2 cha con không thay ñổi theo thời gian” ñể
tìm ñược tỉ số tuổi của con hiện nay so với 9 năm trước. Từ ñó giải bài toán
hiệu - tỉ ñể tìm tuổi con và tuổi cha.
Bài giải:
Theo bài ra ta có sơ ñồ sau:
Tuổi cha trước ñây:
Tuổi con trước ñây:
Tuổi con hiện nay:
Tuổi cha hiện nay:
- Vì hiện nay tuổi cha gấp 4 lần tuổi con nên hiệu số phần tuổi của 2 cha
con hiện nay là 3 lần tuổi con hiện nay.
- Vì trước ñây 9 năm tuổi cha gấp 13 lần tuổi con nên hiệu số phần tuổi của
2 cha con trước ñây 9 năm là 12 lần tuổi con khi ñó.
- Vì mỗi năm mỗi người ñều tăng 1 tuổi. Vì vậy, theo thời gian, hiệu số tuổi
giữa 2 cha con không thay ñổi.
Ta có: 3 lần tuổi con hiện nay = 12 lần tuổi con trước ñây.
Tuổi con hiện nay = 4 lần tuổi con trước ñây.
Ta có sơ ñồ tuổi con:

Tuổi con hiện nay là:
9 : ( 4 – 1 ) x 4 = 12 (tuổi)
Tuổi cha hiện nay là :
12 x 4 = 48 (tuổi)
ðáp số: Tuổi con: 12 tuổi
Tuổi cha: 48 tuổi
9 tu
ổi

T
rư
ớc ñây:

Hiện nay:
15
Ví dụ 2
: Hiện nay anh 30 tuổi. Trước ñây khi tuổi anh bằng tuổi em
hiện nay thì hồi ñó anh gấp ñôi tuổi em. Tính tuổi em hiện nay?
Phân tích: Dùng sơ ñồ ñoạn thẳng và lập luận “Hiệu số phần tuổi giữa 2
người không thay ñổi theo thời gian” ñể biểu thị nội dung bài toán. Dựa vào sơ
ñồ ñoạn thẳng học sinh sẽ tìm ñược 30 tuổi của anh ứng với mấy phần bằng
nhau. Từ ñó học sinh sẽ tìm ñược tuổi của em hiện nay.
Bài giải:
Vì theo thời gian, hiệu số tuổi giữa 2 anh em không thay ñổi theo thời
gian nên ta có sơ ñồ:



Tuổi em hiện nay là:
30 : 3 x 2 = 20 (tuổi)

ðáp số : 20 tuổi.
Ví dụ 3: Năm nay tuổi của 2 cha con cộng lại bằng 54. ðến khi tuổi con
bằng tuổi cha hiện nay thì tuổi con bằng
5
9
tuổi cha lúc ñó. Tìm tuổi 2 cha con
hiện nay ?
Phân tích: Dùng sơ ñồ ñoạn thẳng và lập luận “Hiệu số phần tuổi giữa 2
người không thay ñổi theo thời gian” ñể biểu thị nội dung bài toán. Từ ñó học
sinh sẽ tìm ñược tỉ số tuổi của 2 cha con hiện nay và chuyển bài toán về dạng
Tổng – Tỉ và giải bài toán theo các bước giải của bài toán Tổng - Tỉ.
Bài giải:
Nếu coi tuổi con sau này là 5 phần thì tuổi cha sau này là 9 phần như thế.
Khi ñó hiệu số phần tuổi của 2 cha con là: 9 – 5 = 4 (phần)
Vì hiện nay tuổi cha bằng tuổi con sau này nên hiện nay tuổi cha chiếm 5
phần mà hiệu số phần tuổi của 2 cha con không thay ñổi theo thời gian (hiệu là 4
phần) nên số phần tuổi con là: 5 – 4 = 1 (phần).
Do ñó ta có sơ ñồ sau:



Vậy tuổi con hiện nay là:
54 : ( 1 + 5 ) = 9 (tuổi).
Tuổi cha hiện nay là:
54 – 9 = 45 (tuổi).
ðáp số:
Tuổi con: 9 tuổi
Tuổi cha: 45 tuổi

Tu

ổi cha sau n
ày
:

Tuổi cha hiện nay:
Tuổi con sau này:
Tuổi con hiện nay:
54 tuổi
Hiệu
Hiệu
Hiệu
Hi
ệu

Tu
ổi anh tr
ư
ớc ñây:

Tu
ổi em hiện nay:

Tu
ổi em tr
ư
ớc ñây
:

Tu
ổi anh hiện nay:

30 tu
ổi

16
Ví dụ 4:
Năm nay, tuổi bố gấp 2,2 lần tuổi con. Hai mươi lăm năm về
trước tuổi bố gấp 8,2 lần tuổi con. Hỏi khi tuổi bố gấp 3 lần tuổi con thì con
bao nhiêu tuổi?
Phân tích: Dùng sơ ñồ ñoạn thẳng và lập luận “Hiệu số phần tuổi giữa 2
người không thay ñổi theo thời gian” hướng dẫn giải tương tự như VD1 học sinh
sẽ tìm ñược tuổi của 2 bố con hiện nay là bao nhiêu tuổi. Từ ñó học sinh sẽ tính
hiệu số tuổi của 2 người và chuyển bài toán về dạng Hiệu - Tỉ ñể tìm tuổi con
khi tuổi bố gấp 3 lần tuổi con.


Bài giải:
Tuổi bố hiện nay hơn tuổi con số lần là:
2,2 – 1 = 1,2 (lần tuổi con hiện nay).
Tuổi bố cách ñây 25 năm hơn tuổi con số lần là:
8,2 – 1 = 7,2 (lần tuổi con lúc ñó).
Mỗi năm mỗi người ñều tăng 1 tuổi. Vì vậy, theo thời gian hiệu số tuổi giữa 2
bố con không thay ñổi.
Vậy ta suy ra: 1,2 lần tuổi con hiện nay = 7,2 lần tuổi con lúc ñó.
Tuổi con hiện nay gấp tuổi con 25 năm trước số lần là: 7,2 : 1,2 = 6 (l
ần)
Ta có sơ ñồ tuổi của con:


Tuổi con hiện nay là:

25 : (6 – 1) x 6 = 30 (tuổi).
Tuổi bố hiện nay là :
30 x 2,2 = 66 (tuổi).
Hiệu số tuổi của 2 bố con hiện nay là:
66 – 30 = 36 (tuổi)
Ta có sơ ñồ tuổi 2 bố con tại thời ñiểm tuổi bố gấp 3 lần tuổi con:
Tuổi của bố:
Tuổi của con:
Vậy tuổi con khi ñó là:
36 : 2 = 18 (tuổi)
ðáp số: 18 tuổi
Dạng 5: Cho tỉ số tuổi của hai người ở 3 thời ñiểm khác nhau.
Ví dụ 1: Tuổi em hiện nay gấp hai lần tuổi em khi anh bằng tuổi em hiện
nay. Khi tuổi em bằng tuổi anh hiện nay thì hai lần tuổi em hơn tuổi anh lúc
ñó là 16 tuổi. Tính tuổi hiện nay của mỗi người ?
Phân tích:
Dùng sơ ñồ ñoạn thẳng và lập luận “Hiệu số tuổi giữa 2 người
không thay ñổi theo thời gian” ñể biểu thị nội dung bài toán. Dựa vào sơ ñồ
Hiện nay:
Trước ñây:
25 tuổi
36 tuổi

?

?
17
ñoạn thẳng học sinh sẽ thấy ñược 16 tuổi ứng với 2 phần bằng nhau và bằng tuổi
em hiện nay. Từ suy luận ñó học sinh sẽ dễ dàng tìm ñược tuổi của 2 anh em
hiện nay.

Bài giải:

Vì mỗi năm mỗi người thêm một tuổi nên hiệu số tuổi của hai người luôn
không thay ñổi theo thời gian.
Ta có sơ ñồ:




Tuổi em hiện nay là:
16 : 2 x 2 = 16 (tuổi)
Tuổi anh hiện nay là:
16 : 2 x 3 = 24 (tuổi)
ðáp số: Tuổi em: 16 tuổi
Tuổi anh: 24 tuổi
Ví dụ 2: Tuổi của em tôi hiện nay bằng 4 lần tuổi của nó khi tuổi của
anh tôi bằng tuổi em tôi hiện nay. ðến khi tuổi em tôi bằng tuổi anh tôi hiện
nay thì tổng số tuổi của hai anh em là 51. Hỏi hiện nay em tôi, anh tôi bao
nhiêu tuổi?
Phân tích: Dựa vào lập luận “Hiệu số tuổi giữa 2 người không thay ñổi
theo thời gian” và nội dung bài toán học sinh sẽ dùng sơ ñồ ñoạn thẳng biểu thị
tuổi của anh và em tai 3 thời ñiểm: trước ñây, hiện nay, sau này. Từ ñó học sinh
sẽ ñưa bài toán về dạng Tổng – Tỉ quen thuộc.

Bài giải:
Vì mỗi năm mỗi người thêm một tuổi nên hiệu số phần tuổi của hai người
luôn không thay ñổi theo thời gian. Ta có sơ ñồ:

Giá trị một phần là:
51 : (7 + 10) = 3 (tuổi)
Tuổi em hiện nay là:
3 x 4 = 12 (tuổi)
Tuổi anh hiện nay là:
3 x 7 = 21 (tuổi)
Tu
ổi em:

Tu
ổi anh:

Tu
ổi em:

Tu
ổi anh:

2 l
ần
TE

Tu
ổi anh:

Trư
ớc ñây:

Hi

ện nay:

Sau này:
Tu
ổi em:

Tu
ổi anh:

Tu
ổi em:

Tu
ổi anh:

Tu
ổi em:

Tu
ổi anh:

Trư
ớc ñây:

Hi
ện nay:

Sau này:

Hiệu

Hiệu
Hiệu
51 tuổi
Hiệu
Hiệu
Hiệu
16 tuổi
18
ðáp số
: Tuổi em: 12 tuổi
Tuổi anh: 21 tuổi
V. KẾT QUẢ THU ðƯỢC.
Với những biện pháp cụ thể ñược thể nghiệm trong quá trình nghiên cứu
sáng kiến kinh nghiệm, cũng như việc thực nghiệm công tác giảng dạy theo
hướng nghiên cứu, tôi nhận thấy các biện pháp ñưa ra có tính hiệu quả cao và
tương ñối rõ rệt. Cụ thể :
- Về mặt kiến thức: Tôi ñã phân loại ñược các bài toán tính tuổi theo từng
dạng bài, phục vụ hiệu quả cho việc giải bài toán có dạng .
- Về mặt phương pháp: Tôi ñã ñưa ra các phương pháp hỗ trợ suy luận và
sử dụng sơ ñồ ñoạn thẳng ñể giải các bài toán tính tuổi một cách dễ hiểu và có
hiệu quả.
Với mục ñích là nâng cao năng lực giải toán ở Tiểu học nói chung và các bài
toán tính tuổi thuộc “Toán ñiển hình” ở Tiểu học nói riêng cho giáo viên và học
sinh trong nhà trường, thực hiện ñổi mới phương pháp dạy học và bồi dưỡng học
sinh giỏi về môn Toán tôi ñã thực hiện trên hai ñối tượng:
ðối với giáo viên: Nhà trường ñã tổ chức chuyên ñề bồi dưỡng học sinh
giỏi cho tất cả giáo viên trực tiếp ñứng lớp. Sau khi giáo viên ñược bồi dưỡng về
kiến thức và phương pháp, chúng tôi ñã tổ chức các tiết dạy thể nghiệm trên ñối
tượng là học sinh lớp 4 - 5 và tổ chức ñúc rút kinh nghiệm. Qua ñó năng lực, khả
năng giải toán của giáo viên ñược nâng lên rõ rệt. ða số giáo viên ñã biết và có

thể phát huy ñược khả năng của mình trong việc ñổi mới phương pháp bồi
dưỡng học sinh giỏi về môn Toán. “Các bài toán tính tuổi” tương ñối khó, bây
giờ giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải một cách dễ dàng; một số giáo viên
có thể ứng dụng linh hoạt các phương pháp hỗ trợ suy luận ñó ñể giảng dạy phù
hợp với các ñối tượng học sinh. Việc dạy – học môn Toán trong trường ngày
càng có chiều sâu và tính hiệu quả cao hơn .
ðối với học sinh: Với sự phân loại “Các bài toán tính tuổi” theo dạng bài
ñã giúp học sinh nhận diện các bài toán tính tuổi thuộc dạng bài một cách dễ
dàng hơn, tránh ñược sự lúng túng và nhầm lẫn trong việc lựa chọn các phương
pháp ñể giải các bài toán tính tuổi ñó. ðặc biệt, với “các phương pháp hỗ trợ
suy luận về giải các bài toán tính tuổi” ñã giúp các em rất nhiều trong quá trình
tìm ra ñáp số của bài toán. Giờ ñây, “Các bài toán tính tuổi” trở nên quen thuộc,
nó không còn là một loại toán khó trong chương trình toán lớp 4 - 5 bởi nó ñược
cụ thể hoá theo từng dạng bài và trong mỗi dạng bài như thế nó ñược giải quyết
bởi phương pháp:“ Sử dụng sơ ñồ ñoạn thẳng và một số biện pháp suy luận giúp
học sinh lớp 4, 5 giải tốt các bài toán tính tuổi” một cách có hiệu quả.
Kết quả ñó ñược chứng minh rõ hơn qua kết quả bài kiểm tra của học sinh
cuối 2 năm học. Học sinh lớp 4B, 5B (năm học 2012 – 2013) khi ñược áp dụng
các biện pháp trên chất lượng cao hơn nhiều so với học sinh lớp 4A, 5A (năm
học 2011 – 2012) khi chưa ñược áp dụng các biện pháp trên. Cụ thể là:
19

Kết quả
G K TB Y
Lớp
Số
học
sinh
SL TL SL TL SL TL SL TL
4A 20 5 25 9 45 4 20 2 10

4B 20 11 55 7 35 2 10 0 0
5A 18 3 16,7

10 55,6

3 16,7

2 11
5B 18 13 72,2

4 22,2

1 5,6 0 0
Qua kết quả kháo sát, ñối chiếu chất lượng của các lớp ở 2 năm học tôi có
thể khẳng ñịnh rằng: Biện pháp “Sử dụng sơ ñồ ñoạn thẳng và một số phương
pháp hỗ trợ suy luận giúp học sinh lớp 4, 5 giải tốt các bài toán tính tuổi”ñã
bước ñầu phát huy ñược hiệu quả của nó. Chất lượng bài khá giỏi ñược nâng lên
rõ rệt, học sinh chủ ñộng làm bài một cách tích cực và hiệu quả tốt.

C. KẾT LUẬN.
I. KẾT LUẬN.
- Qua việc nghiên cứu, triển khai và áp dụng phương pháp dạy học “Sử
dụng sơ ñồ ñoạn thẳng và một số biện pháp suy luận giúp học sinh lớp 4, 5 giải
tốt các bài toán tính tuổi” tôi thấy:
- Các phương pháp hỗ trợ suy luận về giải các bài toán tính tuổi ở lớp 4 - 5
ñã thật sự thành công không chỉ ñối với một loại bài tập mà nó còn có ý nghĩa
ñối với các dạng bài tập khác trong chương trình môn Toán ở Tiểu học. Chỉ cần
20
có lòng ñam mê, sự tìm tòi và tích luỹ về kiến thức, kinh nghiệm thì có thể trang
bị cho bản thân mình một vốn kiến thức và phương pháp dạy học ña dạng.
- Các bài toán tính tuổi giờ ñây không còn là những bài toán khó ñối với giáo
viên và cả học sinh nữa. Từ ñó nó tạo ñộng lực mạnh mẽ thúc ñẩy phong trào tự
nghiên cứu ñổi mới phương pháp dạy học nói chung và phương pháp bồi dưỡng
học sinh giỏi về môn Toán nói riêng, thúc ñẩy phong trào dạy – học trong ñó có
phong trào bồi dưỡng học sinh giỏi ngày một khởi sắc hơn.
- Muốn kết quả dạy học ngày một ñi lên thì BGH nhà trường phải phối hợp
chặt chẽ với tổ chuyên môn và giáo viên bồi dưỡng ñể lập kế hoạch chỉ ñạo
công tác bồi dưỡng, ñồng thời phải nắm vững nội dung chương trình bồi dưỡng
ñể có thể xây dựng, kiểm tra ñánh giá, giúp ñỡ và hướng dẫn giáo viên khi cần
thiết. Bên cạnh ñó phải biết tạo ñộng lực thúc ñẩy sự tự học, tự nghiên cứu của
giáo viên, kích thích sự hứng thú ñể giáo viên xem ñây là một niềm vui trong
học tập nghiên cứu, tạo ñược lòng tin vào chính mình, khả năng của chính mỗi
giáo viên ñể có thể phát huy ñược khả năng tiềm ẩn trong họ, thổi lên ngọn lửa
ñam mê nghiên cứu trong mỗi giáo viên .
- Kiến thức là vô hạn, phương pháp dạy học là “ nghệ thuật ”. Vì vậy chúng
ta cần phải biết lựa chọn và vận dụng kiến thức, phương pháp sao cho phù hợp,
linh hoạt, sáng tạo ñể ñạt ñược mục ñích dạy học.

II. KIẾN NGỊ - ðỀ XUẤT.

1. ðối với giáo viên:
- Thường xuyên nghiên cứu, suy nghĩ ñể tìm ra nhiều cách giải hay, sáng
tạo mà dể hiểu nhất ñối với từng dạng bài toán cụ thể. Từ ñó hướng dẫn học sinh
nắm bắt cách giải một cách nhanh chóng và hiệu quả nhất.
- Thường xuyên trao ñổi với bạn bè ñồng nghiệp, xem sách báo, truy cập
In-ter-net ñể tìm hiểu các kiến thức liên quan. Từ ñó nâng cao trình ñộ
chuyên môn nghiệp vụ nói chung và khả năng giải toán nói riêng cho bản thân
và cho cả ñồng nghiệp.
2. ðối với nhà trường, cụm chuyên môn, phòng GD&ðT:
- Thường xuyên tổ chức các chuyên ñề về BDHSG, chuyên ñề về các phương
pháp giải toán hay và hiệu quả ñể chúng tôi có nhiều cơ hội ñược trao ñổi,
giao lưu, học hỏi nhằm nâng cao năng lực chuyên môn cũng như hiệu quả
BDHSG của mình.
- Sau mỗi năm học cần triển khai sâu rộng ñến từng tận giáo viên những sáng
kiến hay, thiết thực và bổ ích giúp nâng cao chất lượng dạy học nói chung và
hiệu quả BDHSG nói riêng.
Trên ñây là một số biện pháp mà tôi thường xuyên sử dụng trong quá trình
BDHSG của mình và tôi nhận thấy bước ñầu ñã có hiệu quả hơn, nó góp phần
nâng cao chất lượng mũi nhọn cho nhà trường. Tuy nhiên do trình ñộ, kinh
21
nghiệm của bản thân còn nhiều hạn chế, thời gian áp dụng chưa nhiều, chưa
nghiên cứu vấn ñề một cách toàn diện nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Tôi
mong nhận ñược sự góp ý chỉ ñạo tận tình của hội ñồng khoa học, của bạn bè
ñồng nghiệp ñể sáng kiến của tôi ñược hoàn chỉnh hơn nhằm nâng cao chất
lượng dạy học nói chung và chất lượng mũi nhọn nói riêng.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

Hà Tĩnh, ngày 15 tháng 3 năm 2013