kì thi học sinh giỏi môn toán 6

thi hc sinh gii cp trng- Nm hc 2013-2014
PHềNG GIO DC V O TO PH Lí
TRNG THCS KIM BèNH
Kè THI HC SINH GII MễN TON 6
Ngy thi: 04 thỏng 3 nm 2014
Thi gian lm bi: 120 phỳt
Cõu 1. (4 im)
a) Tớnh N =
2 2 9 2 6 2 14 6
28 19 29 18
5.(2 .3 ) .(2 ) 2.(2 .3) .3
5.2 .3 7.2 .3


b) So sỏnh
2011.2012 1
2011.2012

v
2012.2013 1
2012.2013

;

45
22

v
103
51
; 2

225
v 3
151

Cõu 2. (4 im)
a)Cho biu thc :
2 1 3 5 4 5
3 3 3
n n n
A
n n n
+
= +

. Tỡm giỏ tr ca n A l mt s nguyờn
b) Chứng tỏ rằng
230
112
+
+
n
n
là phân số tối giản.
c) Chứng minh rằng :
2
2
1
+
2
3

1
+
2
4
1
+ +
2
100
1
<1
Cõu 3. (3 im)
a)Cho A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
+ 2
5
+ 2
6
+ 2
7
+ 2
8
+ 2
9
+ 2
10
+ 2

11
+ 2
12
- Chng t rng: A chia ht cho 7.
- Tỡm ch s tn cựng ca A.
b) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, hỏi p
2
+2003 là số nguyên tố hay hợp số.
Cõu 4 (2 im) : Tỡm s t nhiờn x,y bit :
a)
1 1 1 1 1
2.
9.10 10.11 11.12 x(x 1) 9

+ + + + =
ữ
+

b) 2
x
+ 624 = 5
y
Cõu 5 (4 im)
a) Tỡm s t nhiờn cú 3 ch s, bit rng khi chia s ú cho cỏc s 25 ; 28 ; 35 thỡ c cỏc
s d ln lt l 5 ; 8 ; 15.
b) Vit thờm ch s y vo bờn phi ca mt s cú 5 ch s thỡ c s ln gp 3 ln s cú
c do vit thờm ch s y vo bờn trỏi s ú. Tỡm ch s y v s cú 5 ch s ú ?
Cõu 6. (1 im)
Cho 101 đờng thẳng trong đó bất cứ hai đờng thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đờng
thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.

Cõu 7. (2 im)
Cho gúc AOB = 144
0
. Tia OC l phõn giỏc ca gúc AOB, v tia OM trong gúc AOB sao
cho gúc BOM = 35
0
.
a) Tớnh gúc MOC.
b) Gi OB l tia i ca tia OB, ON l tia phõn giỏc ca gúc AOC. Chng minh OA l
phõn giỏc ca gúc NOB.
======================================
GV: Phm Qunh Anh- THCS Kim Bỡnh
Đề thi học sinh giỏi cấp trường- Năm học 2013-2014
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 6 CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2013-2014
Câu 1.
Nội dung cần đạt
Thang
điểm
1a
N =
18 18 12 28 14 6
28 19 29 18
5.2 .3 .2 2.2 .3 .3
5.2 .3 7.2 .3
−
−
30 18 29 20 29 18 2
28 18 28 18
5.2 .3 2 .3 2 .3 (5.2 3 ) 2

2
2 .3 (5.3 7.2) 2 .3 (15 14) 1
− −
= = = =
− −
1b
ViÕt ®îc:
2011.2012 1 1
1
2011.2012 2011.2012
−
= −
vµ
2012.2013 1 1
1
2012.2013 2012.2013
−
= −
V×:
1 1
2011.2012 2012.2013
>
nªn
1 1
1 1
2011.2012 2012.2013
− < −
hay
2011.2012 1
2011.2012

−
<
2012.2013 1
2012.2013
−

101
51
45
22
101
51
45
22
101
51
102
51
2
1
44
22
45
22
−
>
−
⇒<⇒<==<

2

225
và 3
151

Câu 2.

Nội dung cần đạt
Thang
điểm
a/
2 1 3 5 4 5 (2 1) (3 5) (4 5) 2 1 3 5 4 5 1
3 3 3 3 3 3
n n n n n n n n n n
A
n n n n n n
+ − − + + − − − + + − − + +
= + − = = =
− − − − − −
A là phân số khi: n + 1
∈
Z , n - 3
∈
Z
⇔
n
∈
Z
và n - 3
≠
0

⇔
n
≠
3
Vậy A là phân số khi
⇔
n
∈
Z và n
≠
3
+ − +
= = = +
− − −
1 ( 3) 4 4
1
3 3 3
n n
A
n n n
A là số nguyên khi n – 3 ∈Ư(4) =
{ }
1;2;4; 1; 2; 4− − −
=> n ∈
{ }
4;5;7;2;1; 1−
b) Chøng tá r»ng
12 1
30 2
n

n
+
+
lµ ph©n sè tèi gi¶n.
GV: Phạm Quỳnh Anh- THCS Kim Bình
Đề thi học sinh giỏi cấp trường- Năm học 2013-2014
Gọi ƯCLN(12n+1,30n+2)=d
Ta có
( ) ( )
12 1 ;30 2
5. 12 1 2. 30 2
60 5 60 4 1 1
n d n d
n n d
n n d d d
+ +
⇒ + − +
⇔ + − − ⇔ ⇒ =
M M
M
M M
c) Chøng minh r»ng :
2
2
1
+
2
3
1
+

2
4
1
+ +
2
100
1
<1
Câu 3.
Nội dung cần đạt
Thang
điểm
A = (2 + 2
2
+ 2
3
) +(2
4
+ 2
5
+ 2
6
) + (2
7
+ 2
8
+ 2
9
) + (2
10

+ 2
11
+2
12
)
A = 2.(1+2+2
2
) + 2
4
.(1+2+2
2
) + 2
7
.(1+2+2
2
) + 2
10
.(1+2+2
2
)
A = 2.7 + 2
4
.7 + 2
7
.7 + 2
10
.7
A = 7.( 2 + 2
4
+ 2

7
+ 2
10
)
Suy ra A chia hết cho 7
- Tìm chữ số tận cùng của A.
2A= 2
0
+ 2+ 2
2
+ … + 2
12
+2
13
13 4 3
2 2 1 (2 ) .2 1 ( 6).2 1
( 2) 1 ( 1)
A A A⇒ − = = − = − = −
= − =
Vậy CSTC của A là 1
b) Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3, hái p
2
+2003 lµ sè nguyªn tè hay hîp sè.
Vì p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3
Nên p không chia hết cho 3
3 1; 3 2p k p k⇒ = + = +
• Nếu p=3k+1 thì
( ) ( ) ( )
2
2

3 1 3 . 3 1 1. 3 1p k k k k= + = + + +
Vì
( ) ( )
3 . 3 1 3;1. 3 1k k k+ +M
không chia hết cho 3 nên p
2
không chia hết cho 3
Nên p
2
có dạng
2 2
3 1 2003 3 1 2003 3 2004
3.( 668) 3
p m p m m
m
= + ⇒ + = + + = +
= + ⇒M
p
2
+2003 Là hợp số
• Nếu p=3k+2 thì
GV: Phạm Quỳnh Anh- THCS Kim Bình
Đề thi học sinh giỏi cấp trường- Năm học 2013-2014
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2
3 2 3 . 3 2 2. 3 2
3 . 3 2 2.3 4 :3(1) 3 1

p k k k k
k k k p p m
= + = + + +
= + + + ⇒ ⇒ = +
2 2
3 1 2003 3 1 2003 3 2004
3.( 668) 3
p m p m m
m
= + ⇒ + = + + = +
= + ⇒M
p
2
+2003 Là hợp số
Vậy p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 thì p
2
+2003 Là hợp số
Câu 4 (3 điểm) :
Câu Nội dung cần đạt
Thang
điểm
4a
1 1 1 1 1
2.
9.10 10.11 11.12 x(x 1) 9
1 1 1
2.
9 x 1 9
2 2 1
9 x 1 9

2 1
x 1 18 x 17
x 1 9


+ + + + =

÷
+




− =
÷

+


− =
+
= ⇒ + = ⇒ =
+
b) Nếu

x = 0 thì 5
y
= 2
0
+ 624 = 1 + 624 = 625 = 5

4
⇒
y = 4 ( y
∈
N)
(0,5 đ)
Nếu

x
≠
0 thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi x, y
∈
N : vô lý
(0,25 đ)
Vậy: x = 0, y = 4
(0,25 đ)
5
Gọi số tự nhiên phải tìm là x.
- Từ giả thiết suy ra
(x 20) 25
+
M
và
(x 20) 28
+
M
và
(x 20) 35
+ ⇒
M

x+ 20
là bội chung của 25; 28 và 35.
(0,5 đ)
- Tìm được BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700
( )
k N∈
.
(0,5 đ)
- Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra
x 999 x 20 1019
≤ ⇒ + ≤
⇒
k =
1 (0,5 đ)
⇒
x + 20 = 700
⇒
x = 680.
(0,5 đ)
b) Gọi số có 5 chữ số phải tìm là
abcde
(
9;;;;;;;;;;0 ≤∈≠ edcbaNedcbaa
)
Ta có
yabcdeabcdey .3=
Đặt
xabcde =
ta có 10x + y = 3. ( 100 000 y + x )
GV: Phạm Quỳnh Anh- THCS Kim Bình

Đề thi học sinh giỏi cấp trường- Năm học 2013-2014
7x + y = 300 000y
7x = 299 999y
x = 42 857y
Vì x là số có 5 chữ số nên y chỉ nhận 2 giá trị : y = 1 và y = 2
Nếu y = 1 thì x = 42 857
Nếu y = 2 thì x = 85 714
Nội dung cần đạt
Câu6
qua 1 điểm bao giờ cũng vẽ được 1 đường thẳng nên
+chọn 1 điểm trong n điểm cho trước( trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng) thì
ta sẽ vẽ được n đường thẳng
+ n-1 điểm thì ta sẽ vẽ được n-1 đường thẳng.
Nhưng số điểm đã được tính 2 lần nên số đường thẳng thực tế tạo thành là
( )
. 1
2
n n −
Nếu có 108 đường thẳng thì ta có

( )
( )
. 1
108
2
. 1 2.108 14.13
14
n n
n n
n

−
=
− = =
⇒ =
Vậy có 15 điểm
Thang
điểm
Câu 7
a, Vì OC là tia phân giác của góc AOB nên
·
·
·
0
0
144
72
2 2
AOB
AOC BOC= = = =
Lập luận để có tia OM nằm giữa hai tia OB, OC.
Từ đó
·
MOC
= 72
0
-35
0
= 37
0
b, Ta có

·
'AOB
= 180
0
-
·
AOB
= 180
0
– 144
0
= 36
0
·
AON
=
·
0
0
72
36
2 2
= =
AOC
Tia OA nằm giữa hai tia ON và OB’. Vậy tia OA là tia phân giác của góc NOB’
GV: Phạm Quỳnh Anh- THCS Kim Bình
A
B’ O
B
M

CN