de thi học sinh giỏi môn Toán

PHÒNG GD&ĐT PHÚ THIỆN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM 2008
MÔN THI: TOÁN LỚP 7
Thời Gian: 120 phút
(không kể thời gian phát đề)
(Đề này gồm 06 bài).
Bài 1: (2đ): Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =
3,2 2,5x
− +
Bài 2: (3 điểm) : Chứng minh rằng số
2
11...11 22...22
ö ö
n ch soá n ch soá
A = -
% %
1442 443 14442 4443
là một số chính phương.
Bài 3: (3 điểm): Cho phân số
1 1 1 1 1
1
2 3 4 5 6
m
n
= + + + + +

Chứng minh rằng tử số
m
chia hết cho 7.
Bài 4: (4 điểm) : Với a, b, c là hằng số
( 0)a ≠
sao cho a + b +c = 0.

Chứng minh rằng đa thức
2
( ) axp x bx c= + +
có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 5: (4 điểm): Cho tam giác
ABC
. Gọi
,D E
theo thứ tự là trung điểm của
,AC AB
trên tia
BD lấy điểm M sao cho
2BM BD=
. Trên tia
CE
lấy điểm
N
sao cho
E
là trung điểm của
CN
.
Chứng minh rằng
2MN BC=
.
Bài 6: (4đ): Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến ứng với cạnh BC.
Chứng minh:
+
〈
2

AB AC
AM
------------------------------------Hết-----------------------------------------
Họ tên thí sinh:………………………………..; phòng thi:……………..; số báo danh:………
Đáp Án Biểu Điểm
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài Nội Dung Điểm
1
Vì
3,2 0x− ≥
nên A
≥
2,5
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2,5;
khi x = 3,2.
0.5
0.5
0.5
0.5
2
A
11...1100...00
n soá n soá
=
1442 4431442 443
11...11
n soá
+
1442 443
2.11...11

n soá
-
1442 443
A
11...11(10 1)
n
n soá
= -
1442 443
A
11...11
n soá
=
1442 443
99...99
n soá
´
1442 443
A
2
33...33
n soá
=
1442 443
Vậy A là một số chính phương
0.75
0.5
0.75
0.5
0.5

3
1
1
6
m
æ ö
÷
ç
= +
÷
ç
÷
ç
è ø

1 1
2 5
æ ö
÷
ç
+ +
÷
ç
÷
ç
è ø
1 1
3 4
æ ö
÷

ç
+ +
÷
ç
÷
ç
è ø
m
7
6
=

7
10
+
7
12
+

m
7.21
60
=

Do ®ã tö cña ph©n sè chia hÕt cho 7.
Vậy m chia hết cho 7
1.0
0.75
0.75
0.5

4 *Chứng minh p(x) có một nghiệm bằng 1.
Ta có:
( )
2
1 .1 .1p a b c= + +
Mà: a + b +c = 0 (gt)
(1) 0p⇒ =
Vậy x = 1 là nghiệm của p(x).
*Tìm nghiệm còn lại của p(x)
Theo đề bài ta có: a + b +c = 0 (1)
Và
2
( ) axp x bx c= + +
(2)
2
(1)
(2) ax ( )
b a c
a c x c
⇔ = − −
⇔ + − − +
( ) ( )
2
ax - ax - cx + c = 0
ax x-1 1 0
( 1)(ax - c) = 0
c x
x
⇔
⇔ − − =

⇔ −
1
1 0
ax - c = 0
x
x
c
x
a
=

− =


⇔ ⇔


=



05
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.5
0.5
0.5

C
A
B
M
1
2
A
Túm li: a + b +c = 0 thỡ a thc
2
( ) axp x bx c= + +
;
( 0)a
cú nghim l: x = 1 hoc
c
x
a
=
0.5
5
V hỡnh ỳng c
Trờn tia AM ly im A sao cho: AM = AM.
Hai tam giỏc AMB v AMC ta cú:
BM = CM (gt).
AM = AM (cỏch v)
1 2
M M

=
(i nh)
Vy:

' 'A BM AMC A B AC
= =
Trong tam giỏc ABA thỡ: AA < AB + AB suy ra AA < AB + AC M AA =
2AM
suy ra
+

2
AB AC
AM
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
6
v hỡnh ỳng
Xét
DAMV
và
DCBV
Có BD = MD vì MB = 2BD
ả
ả
1 2
D D=
(đối đỉnh)

DA DC=
vì
D
là trung điểm của
AC
Do đó , tam
DAM DCB=V V
.(c.g.c)
Suy ra
AM BC=
(1)
à
ả
1 2
B M=
suy ra
AM
//
BC
(hai góc so le trong) (2)
Xét
EANV
và
EBCV

NE CE=
vì
E
là trung điểm của
CN

ả
à
2 1
E E=
(đối đỉnh)
EA EB=
vì
E
là trung điểm của
AB
Do đó ,
EAN EBC=V V
(c.g.c) điểm)
Suy ra
AN BC=
(3)
à
ả
1 2
C N=
suy ra
AN
//
BC
(4) điểm)
Từ (2) và (4) suy ra ba điểm
, ,M A N
thẳng hàng theo thứ tự đó
Suy ra
MN MA AN= +

Từ(1) và (3) ta có :
2MN MA AN BC BC BC= + = + =
Vậy
2MN BC=
(Đpcm)
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
1
1
2
1
2
1
2
2
D

E
B
A
C
M
N