tài liệu bồi dưỡng hsg toán lớp 7

Trường THCS Bảo Đài Năm học 2014-2015
BỒI DƯỠNG HSG TOÁN LỚP 7
A.ĐẠI SỐ
1. Bài tập về tính chất của tỷ lệ thức
Bài 1: Cho 3 số x ,y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện :

y z x z x y x y z
x y z
+ − + − + −
= =
Hãy tính giá trị của biểu thức : B =
1 1 1
x y z
y z x
 
  
+ + +
 ÷
 ÷ ÷
  
 
Giải
Với 3 số x ,y , z khác 0
và
y z x z x y x y z
x y z
+ − + − + −
= =
⇒
1 1 1
y z z x x y

x y z
+ + +
− = − = −
⇒
y z z x x y
x y z
+ + +
= =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
2( )
2
y z z x x y x y z
x y z x y z
+ + + + +
= = = =
+ +
với x + y + z
≠
0
Do đó :
B =
1 1 1
x y z
y z x
 
  
+ + +
 ÷
 ÷ ÷
  

 
=
. .
y z z x x y
x y z
+ + +
= 2 .2 .2 = 8
Bài 2 Cho a, b, c là 3 số khác 0 và
a b c 0+ + ≠
thỏa mãn:
a b c
b c c a a b
= =
+ + +
Tính giá trị biểu thức
b c c a a b
P
a b c
+ + +
= + +
Giải
Ta có
a b c a b c 1
b c c a a b 2.(a b c) 2
+ +
= = = =
+ + + + +

b c c a a b
2

a b c
+ + +
⇒ = = =
b c c a a b
P 2 2 2 6
a b c
+ + +
⇒ = + + = + + =
Bài 3
Một tam giác có chu vi là 63 cm và ba cạnh của nó tỉ lệ với 5; 7; 9. Tính độ dài
ba cạnh của tam giác.
GV Nguyễn Văn Minh Giáo án Bồi dưỡng HSG Toán lớp 8
1
Trường THCS Bảo Đài Năm học 2014-2015
Giải
Gọi x,y,z là ba cạnh của tam giác (x,y,z >0; tính bằng cm)
Theo đề bài, ta có:
975
zyx
==
và x + y + z = 63
Suy ra:
975
zyx
==
=
21
63
975
=

++
++ zyx
= 3
 x = 5 .3 = 15
 y = 7 . 3= 21
 z = 9 3 = 27
Trả lời: Ba cạnh của tam giác là 15 cm, 21 cm, 27 cm.
Bài 4
Một hộp đựng ba loại bi khác nhau. Số lượng loại bi màu xanh, bi màu vàng và
bi màu đỏ tỷ lệ với các số 5,7,9. Tính số bi mỗi loại, biết số bi màu xanh ít hơn số bi
màu vàng là 4 viên
Giải
- Gọi số bi màu xanh, vàng, đỏ lần lượt là x, y, z (viên)

⇒
975
zyx
==
và
4=− xy
Từ đó
2
2
4
57975
==
−
−
===
xyzyx

- tìm được
.18;14;10 === zyx
- KL: Có 10 viên xanh; 14 viên đỏ; 18 viên vàng
Bài 5 Tìm các số a,b,c biết
432
cba
==
và a+b-c=15
Giải
Từ
432
cba
==
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

432
cba
==
=
15
3 4 5 2
a b c+ −
=
+ −
⇒
a=15; b=22,5;c=30
Bài 6 Tìm a, b, c biết

2 3 4
a b c

= =
và a+2b-3c= -20
Giải
Từ
2 3 4
a b c
= =
⇒
2 3 2 3 20
5
2 6 12 2 6 12 4
a b c a b c+ − −
= = = = =
+ − −
.
⇒
a=10; b=15; c=20
GV Nguyễn Văn Minh Giáo án Bồi dưỡng HSG Toán lớp 8
2
Trường THCS Bảo Đài Năm học 2014-2015
Bài tập 1.Tính x,y,z biết
1 2 3
x y z
x y z
y z x z x y
= = = + +
+ + + + + −
(1)
HD
Từ (1)

⇒
x+y+z=
1
2
⇒
y+z=
1
2
-x (2)
Lại từ
1
1 2
x
y z
=
+ +
⇒
y+z=2x-1 (3)
Từ (2) và (3)
⇒
x=
1
2
. Tưng tự tính được y=
5
6
; z=
5
6
−

2.1.Tìm ba số a,b,c biết
2 3
a b
=
(1);
5 7
b c
=
(2) và a+b-c=8
HD
Từ (1) và (2)
⇒
8
2
10 15 21 10 15 21 4
a b c a b c+ −
= = = = =
+ −
⇒
a=20;b=30;c=42
2.2Tìm ba số a,b,c biết
7
5
a
c
=
(1) ,
1
5
b

c
=
(2) và a-b+c=55
HD
Từ
7
5
a
c
=
(1)
⇒
7 5
a c
=
(*); Từ (2)
⇒
1 5
b c
=
(**)
Từ (*) và (**)
⇒
55
5
7 1 5 7 1 5 11
a b c a b c− +
= = = = =
− +
⇒

a=35; b=5; c=25
Bài 7 Cho a,b,c là các số tự nhiên khác 0
Chứng minh rằng nếu
d
c
b
a
=
thì
dc
dc
ba
ba
72
72
72
72
−
+
=
−
+

Giải
Từ
d
c
b
a
=

⇒
2 7 2 7 2 7
2 7 2 7 2 7
2 7 2 7
2 7 2 7
a b a b a b a b
c d c d c d c d
a b c d
a b c d
+ −
= = = = =
+ −
+ +
⇒ =
− −
BTTT Cho a,b,c là các số tự nhiên khác 0
Chứng minh rằng nếu
d
c
b
a
=
thì
2 5 2 5
2 5 2 5
a b c d
a b c d
+ +
=
− −

Bải 8
cho
a c
b d
=
chứng minh rằng
a c
a b c d
=
+ +
;
a c
a b c d
=
− −
;
Giải
Từ
a c
b d
=
⇒
a b a b
c d c d
+
= =
+
⇒
a c

a b c d
=
+ +
GV Nguyễn Văn Minh Giáo án Bồi dưỡng HSG Toán lớp 8
3
Trường THCS Bảo Đài Năm học 2014-2015
2. Bài tập về dãy số
Bài 1 Tính tổng
a) S= 1+3+5+ +97+99
=(1+99)+(3+97)+(5+95)+ +(49+51) ,có 25 nhóm
=100.25=2500
b) S=1-2-3+4+5-6-7+8+ +2009-2010-2011+2012+2013
=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+ +(2009-2010-2011+2012)+2013 ( có 53 nhóm)
=2013
Bài 2 Cho M=
2 3 99
1 1 1 1

3
3 3 3
+ + + +
(1) Chứng minh rằng M<
1
2
.
Giải
Từ (1)
⇒
3M=1+
2 3 98

1 1 1 1

3
3 3 3
+ + + +
⇒
3M-M=1-
99
1
3
⇒
2M=1-
99
1
3
⇒
M=
99
1 1
2
2.3
−
⇒
M<
1
2
BTTT Cho
2 3 2012
1 1 1 1
1

3 3 3 3
C = + + + + +
(1). Chứng minh rằng C <
3
2
Giải
Từ (1)
⇒
3C=3+(1+
2 3 2011
1 1 1 1

3 3 3 3
+ + + +
)
⇒
3C=3+C-
2012
1
3
⇒
2C=3-
2012
1
3
⇒
C=
2012
3 1 3
2 2.3 2

− <
⇒
C <
3
2
.
Bài 4 Chứng minh rằng A=
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1

1 2 2 3 9 10 2
+ + + <
+ + +
Giải
Nhận xét
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
( 1) 2 2 1 2 2 2 1a a a a a a a a
 
= < = −
 ÷
+ + + + + +
 
Do đó A<
1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 2 3 9 10
 
− + − + + −
 ÷

 
=
1 1 1 1
1
2 10 2 20
 
− = −
 ÷
 
<
1
2
⇒
A<
1
2
.
BTTT
Chứng minh rằng M=
( )
2
2 2 2 2
2
1 1 1 1

1 2 2 3 2
1n n
+ + + <
+ +
+ +

Bài 5 Chứng minh rằng: A=
10
1
100
99

6
5
.
4
3
.
2
1
<
.
Bài 6 Tính tổng S=
1 1 1 1

1.2 2.3 3.4 99.100
+ + + +
S=
1 1 1 1 1
1
2 2 3 99 100
     
− + − + −
 ÷  ÷  ÷
     

=1-
1 99
100 100
=
GV Nguyễn Văn Minh Giáo án Bồi dưỡng HSG Toán lớp 8
4
Trường THCS Bảo Đài Năm học 2014-2015
Bài 7 Tính P=
2 2 2 2
1 1 1 1
2.3 3.4 4.5 9.10
     
− − − −
 ÷ ÷ ÷  ÷
     
Nhận xét:
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
1 2
2 2
1
1 1 1
n n
n n
n n n n n n
− +
+ −
− = =

+ + +
Do đó P=
1.4 2.5 3.6 4.7 5.8 6.9 7.10 8.11
. . . . . . .
2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10
=
1 11 11
.
3 9 27
=
BTTT Tính P=
( )
2 2 2 2
1 1 1 1
2.3 3.4 4.5 1n n
 
   
− − − −
 ÷
 ÷ ÷ ÷
 ÷
+
   
 
Nhận xét:
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
1 2

2 2
1
1 1 1
n n
n n
n n n n n n
− +
+ −
− = =
+ + +
Do đó P=
( ) ( )
( )
1 2
1.4 2.5 3.6 1 2 2
. .
2.3 3.4 4.5 1 3 3
n n
n n
n n n n
− +
+ +
= − =
+
.
ĐỀ THI THỬ SỐ 1
Câu 1
1.Tìm số nguyên a sao cho 3 chia hết cho (a-2)
2.Tìm số nguyên x sao cho
3 2x − =

Câu 2
1.Tìm x,y,z biết
2 3
2 3 4
x y z
= =
(1) và x-y=15.
HD: Từ (1)
⇒
15
4 3 4 3
x y x y−
= = =
−
⇒
x=60; y=45; z= 40
2. Cho
a c
b d
=
. Chứng minh rằng
2 5 2 5
2 5 2 5
a b c d
a b c d
+ +
=
− −
Câu 3

1. Rút gọn biểu thức (2x-3y)(4x
2
+6xy+9y
2
)
2. Tính giá trị của biểu thức 6x
2
-(2x+1)(3x-2)-4 tại x=3.
Câu 4
Cho hình thang ABCD (AB//CD). Các đường phân giác ngoài đỉnh A và D cắt
nhau ở K; Các đường phân giác ngoài đỉnh B và C cắt nhau ở L. Biết KL=25cm. Tính
chu vi của hình thang.
Câu 5
Tìm các số nguyên x,y sao cho 5x+2y=3xy-3 (1)
Từ (1)
⇒
3xy-2y-5x=3
9xy-6y-15x=9
(9xy-6y)-(15x-10)=19
(3x-2y)(3y-5)=19
⇒
a)
3 2 19
3 5 1
x
y
− =


− =


hoặc
3 2 1
3 5 19
x
y
− =


− =

; b)
3 2 19
3 5 1
x
y
− = −


− = −

hoặc
3 2 1
3 5 19
x
y
− = −


− = −


GV Nguyễn Văn Minh Giáo án Bồi dưỡng HSG Toán lớp 8
5