bài toán liên quan ôn thi đại học năm 2013

TIẾP TUYẾN
Điều kiện tiếp xúc của hai đường cong.
Cho hàm số
( )
y f x=
có đồ thị
( )
1
C
và
( )
y g x=
có đồ thị
( )
2
C
Để
( )
1
C
tiếp xúc với
( )
2
C
khi và chỉ khi hệ phương trình
( ) ( )
( ) ( )
' '
f x g x
f x g x
=



=


có
nghiệm.
Bài 1: Cho hàm số
3 2
1y x x x= − + +
. Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số không tồn tại
điểm
mà tiếp tuyến tại điểm đó với đồ thị song song với trục hoành.
Bài 2: Cho hàm số
3 2
1y x x x= − + +
. Tìm trên đồ thị hàm số các điểm mà tiếp tuyến tại
điểm đó song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất .
Bài 3: Cho hàm số
3 2
1y x x x= − + +
. Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số không tồn tại
hai điểm sao cho tiếp tuyến tại hai điểm này vuông góc với nhau.
Bài 4: Cho hàm số
3 2
1y x x x= − + +
. Với giá trị nào của k để có ít nhất một điểm mà
tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó vuông góc với đường thẳng y=kx
( )
k ≠ 0

.
Bài 5: Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số
3
3 1y x x= + +
không tồn tại hai điểm mà
tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
Bài 6: (Đại học QGTPHCM): Cho hàm số
( )
2
3 1m x m m
y
x m
+ − +
=
+
có đồ thị là (C
m
) với m
là tham số và m khác không. Với giá trị nào của m thì tại giao điểm của đồ thị (C
m
)
với trục hoành tiếp tuyến sẽ song song với đường thẳng y=x-10. Viết phương trình tiếp
tuyến này.
Bài 7: (Đại học công đoàn): Cho hàm số
3 2
y x 3x 3x 5= + + +
. Xác định k để trên đồ thị
có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại điểm đó vuông góc với đường thẳng d:y=kx+1.
Bài 8: Cho hàm số
3 2

y x 6x 9x 5= − + − −
. Tìm trên đồ thị hàm số những điểm mà tiếp
tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đó nằm ngang.
Bài 9(Đại học thủy lợi): Tìm m để trên đồ thị hàm số
( )
3
2
x
y m 1 x 4x m
3
= − − + +
có hai
tiếp tuyến nằm ngang.
Bài 10 (CĐSP TPHCM): Cho hàm số
2
y ax bx 3= + −
. Tính a, b để đồ thị hàm số tiếp
xúc với đường thẳng y=2x+4 tại điểm có hoành độ bằng 1.
Bài 11: Cho hàm số
ax+b
y , c ad - bc 0
cx+d
= ≠ 0, ≠
. Chứng minh rằng trên đồ thị hàm số
này không thể có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài 12 (Đề khối D năm 2005): Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số
3 2
1 m 1

y x x
3 2 3
= − +
. Gọi M
là điểm thuộc đồ thị (C
m
) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến tại M song song
với đường thẳng 5x-y=0
1
Bài 13 (ĐH KT): Cho hàm số
3 2
y x 6x 9x 1= − + −
. Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng
x=2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số.
Bài 14 (Đại học quốc gia Hà Nội): Cho hàm số
3
y x 3x= −
có đồ thị (C). Tìm trên
đường thẳng x=2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được đúng 3 tiếp tuyến.
Bài 15: Cho hàm số
4 2
y x x 1= − +
có đồ thị (C). Tìm trên trục tung các điểm kẻ đúng 3
tiếp tuyến đến đồ thị hàm số.
Bài 16: Cho hàm số
3 2
y 2x 9x 12x 1= − + +
. Tìm điểm A trên đồ thị (C) sao cho tiếp
tuyến tại A song song với đường thẳng d: 12x-y=0.
Bài 17 (Dự bị năm 2003): Cho hàm số

2x 1
y
x 1
−
=
−
có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm hai
tiệm cận. Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Bài 18(Đề dự bị năm 2002): Cho hàm số
3 2
y x 3x 4= − +
. Gọi d là đường thẳng đi qua
A(3;4) và có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân
biệt A, M, N sao cho tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau.
Bài 19: Cho hàm số
x
y
x 1
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến
tạo với hai tiệm cận một tam giác cân. Khối A.
Bài 20: Cho hàm số
x 1
y
x 2
−
=
−
. Tìm m để đường thẳng d: y=x+m cắt đồ thị hàm số tại

hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến tại hai điểm này song song với nhau.
Bài 21: (KD 2007): Cho hàm số
=
+
2x
y
x 1
. Tìm M thuộc đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến
tại M cắt hai trục tọa độ tại A và B và tam giác OAB có diện tích bằng 1/4.
Bài 22: Cho hàm số
+
=
−
x 3
y
x 1
. Gọi
( )
0 0
M x ;y
thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến tại M cắt
các tiệm cận tại các điểm A và B. Chứng minh M là trung điểm của AB.
Bài 23: Cho hàm số
3
y x 3x 2= − +
. Tìm điểm thuộc trục Ox mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến
với đồ thị hàm số.
CỰC TRỊ
Bài 1: Cho hàm số
( ) ( )

3 2
2 1 2 2y x m x m x= − − + − +
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực
tiểu đồng thời hoành độ điểm cực trị đó dương.
Bài 2: Cho hàm số
y m x x mx
3 2
( 2) 3 5
= + + + −
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu
đồng thời hoành độ điểm cực trị đó dương.
Bài 3: Cho hàm số
( )
3 2 2
2 2
2 3 1
3 3
y x mx m x= − − − +
(1).
1. Khảo sát hàm số khi m=1.
2. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho
( )
1 2 1 2
. 2 1x x x x+ + =
.
2
Bi 3: (i hc giao thụng vn ti): Cho hm s
( )
3 2
y x 3 m 1 x 9x m,= + +

m l s
thc. Xỏc nh m hm s ó cho t cc tr ti x
1
, x
2
sao cho
1 2
x x 2 6
Bi 4: (H Cnh Sỏt 97): Cho hm s
( ) ( )
3 2
y x m 2 x 1 m x 3m 1= + + +
. Tỡm m
hm s t cc tr ti
1 2
x ,x
tha iu kin
1 2
x x 2 =
.
Bi 5: Cho hm s
( ) ( )
3 2
1 2 1 2y x m x m x= + +
. Vi giỏ tr no ca m thỡ hm s t cc
tr ti cỏc im cú honh
1 2
,x x
tha món
2 2

1 2
2x x+ =
.
Bi 6: Cho hm s
( )
3 2
3 2 9 1y x m x x m= + +
. Tỡm m hm s t cc tr ti cỏc im
1 2
,x x
sao cho
1 2
2x x
.
Bi 7: Cho hm s
y x m x m x m
3 2
(1 2 ) (2 ) 2= + + + +
. Xỏc nh
m
hm s ó cho t cc tr
ti
x x
1 2
,
sao cho
x x
1 2
1
3

>
.
Bi 8: Cho hm s
y x m x m x
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
= + +
. Xỏc nh
m
hm s ó cho t cc tr
ti
x x
1 2
,
sao cho
x x
1 2
2 1+ =
.
Bi 9: Cho hm s
y x mx x
3 2
4 3= +
. Tỡm m hm s cú hai im cc tr
x x
1 2
,
tha

x x
1 2
4=
.
Bi 10: Cho hm s
3 2
y 2x x=
. Gi s ng thng y=a ct th hm s ti 3 im
phõn bit cú honh
1 2 3
x ,x ,x
. Tớnh
2 2 2
1 2 3
x x x+ +
.
Bi 11: Cho hàm số
3 2
2 (1 ) ( )y x x m x m Cm= + +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=1.
2. Tìm m để đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
321
,, xxx
thỏa mãn điều kiện
4
2
3
2
2
2

1
<++ xxx
.
Bi 12: Cho hm s
( )
3 2
y 4x m 3 x mx= + + +
. Tỡm m hm s nghch bin trờn on
cú di bng 1.
Bi 13: Cho hm s
3 2
y x 3x 9x m= +
. Xỏc nh m hm s cú cc i cc tiu v
honh im cc i v cc tha:
1 2
x x 2+ =
Bi 14: Cho hm s
( ) ( )
3 2
y 2x 3 2a 1 x 6a a 1 x 1= + + + +
. Chng minh rng vi mi a
hm s luụn t cc i v cc tiu ti hai im
1 2
x ,x
vi
2 1
x x
khụng ph thuc vo
tham s a.
Bi 15(HN): Cho hm s

( )
( )
3 2
2 1 3 2 4y x m x m m x= + + + +
. Tỡm m hm s cú cc
i v cc tiu v hai phớa ca trc tung.
Bi 16(Hc vin quan h quc t): Cho hm s
3 2
4 3y x mx x m= +
. Chng minh rng vi
mi m hm s luụn cú cc i v cc tiu, ng thi chng minh rng honh im cc i
v cc tiu luụn trỏi du.
IM THUC TH HM S
3
Bài 1(Dự bị 2006): Cho hàm số
3
2
x 11
y x 3x
3 3
= − + + −
. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm M,
N đối xứng nhau qua trục tung.
Bài 2(Đại học Quốc gia TPHCM): Cho hàm số
3
y x 3x 2= + −
. Tìm trên đồ thị (C) của
hàm số các cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(2;18).
Bài 3(Đại học Thái Nguyên): Cho hàm số
( )

3 2 2 2
y x 3mx 3 m 1 x 1 m= − + − + −
. Tìm m
để trên đồ thị hàm số có hai điểm đối xứng nhau qua gốc toại độ.
Bài 4(Đại học Đà Nẵng 97): Cho hàm số
( )
3 2
y x m 3 x mx m 5= − + + + −
. Tìm m để đồ
thị có hai điểm đối xứng nhau qua trục tung.
Bài 5(ĐH QGHN 97): Cho hàm số
3 2
y 2x kx 12x 13= + − −
, a là tham số. Với giá trị
nào của k thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu
đối xứng nhau qua trục tung.
Bài 6: Cho hàm số
3 2
y x mx 1= − +
. Khi m=3 hãy tìm điểm thuộc đồ thị và đối xứng nhau
qua gốc tọa độ.
Bài 7(ĐH Y HCM 96): Cho hàm số
= − +
3 2 3
y x 3mx 4m
. Xác định m để các điểm cực
đại và cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng y=x.
Bài 8: Cho hàm số
2
2

x
y
x
+
=
−
. Tìm trên đồ thị hàm số các điểm cách đều hai trục tọa độ.
TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM
Bài 1: Cho hàm số
3
y 4x 3x 1= − +
. Giả sử A là điểm nằm trên (C) có hoành độ x
A
=1
và d là đường thẳng qua A có hệ số góc m. Xác định m để d cắt (C) tại hai điểm phân
biệt khác A.
Sử dụng sơ đồ Hocner để chia đa thức:
- Nếu pt:
3 2
ax bx cx d 0 (a 0)+ + + = ≠
có nghiệm x=
α
.
- Thì
( )
( )
3 2 2
ax bx cx d 0 x ax Bx C 0+ + + = ⇔ −α + + =
→
( ) ( )

( )
3 2
4x 3 m x m 1 0 x 1 4x Bx C 0− + + − = = − + + =
.
- Như vậy ta thực hiện phép chia đa thức để tìm B và C.
x
3
x
2
x
1
x
0
4 0 -(3+m) m-1
1 4 B=1.4+0=4 C=1.B+(-3-m)=1-m D=1.C+(m-1)=0
x
3
x
2
x
1
x
0
4 0 -3-m m-1
1 4 4 1-m 0
Khi chia
( )
− + + −
3
4x 3 m x m 1

cho x-1, tức là chia bậc ba cho bậc nhất nên từ bậc ba sẽ
giảm xuống còn bậc hai. Do đó kết quả là bậc hai với các hệ số a=4, B=4, C=1-m.
4
Bài 2: Cho hàm số
( )
3 2
y x m x 1= + −
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba
điểm phân biệt.
Bài 3: Cho hàm số
3 2
y x mx 1= + +
. Tìm m để (C
m
) cắt đường thẳng d: y=-x+1 tại ba điểm
phân biệt A(0;1), B, C sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau. ĐHQG 96.
Bài 4: Cho hàm số
3 2
y x 6x 9x= − +
. Tìm tất cả các đường thẳng đi qua A(4;4) và cắt
đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
Bài 5: Cho hàm số
( )
( )
2 2
y x 2 x mx m 3= − + + −
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục
hoành tại ba điểm phân biệt.
Bài 6: Cho hàm số
3 2

y x 6x 9x 1= − + −
có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng qua A(2;1) và có
hệ số góc m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biêt.
Bài 7: Cho hàm số
3 2
2 8
y x x 4x
3 3
= − − +
và đường thẳng d:
8
y mx
3
= +
. Tìm m để d cắt đồ
thị hàm số tại ba điểm phân biệt: ĐS:
35
m , m 4
8
> − ≠
Bài 8: Cho hàm số
3 2
y x 2x mx 1= + + +
có đồ thị (C
m
). Chứng minh rằng với mọi m (C
m
)
cắt đồ thị hàm số
3 2

y x 2x 7= + +
tại hai điểm A và B khác nhau.
Bài 9: Cho hàm số
3 2
y x 3x 1= + +
. Đường thẳng d qua A(-3;1) có hệ số góc k. Xác định k
để d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt.
Bài 10: Cho hàm số
( )
3 2
y x mx 2 m 1 x m 3= + − + + +
có đồ thị (C
m
) và đường thẳng (d
m
) có
phương trình: y=mx-m+2. Tìm m để đường thẳng (d
m
) cắt đồ thị (C
m
) tại ba điểm phân biệt.
Bài 11: Cho hàm số
3 2
y x 3x 4= − +
. Chứng minh rằng đường thẳng d qua I(1;2) có hệ số
góc k>-3 cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A, I, B đồng thời I là trung điểm của AB.
Bài 12: Cho hàm số
2x 1
y
x 1

−
=
+
. Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d
m
) đi qua A(-
2;2) có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số:
a/ Tại hai điểm phân biệt.
b/ Tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị.
Bài 13(ĐH QGTPHCM): Tìm tất cả các giá trị m để phương trình:
3
2
2
3
1
m
x x
m
− =
+
có ba
nghiệm phân biệt, với m là tham số. ĐS: Với mọi m
∈¡
.
CẤP SỐ CỘNG
Bài 1: Cho hàm số
3 2
y x 3x 9x m= − − +
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba
điểm phân biệt với hoành độ lặp thành cấp số cộng

Bài 2: Cho hàm số
3 2 3
y x 3ax 4a= − +
. Xác định a để đường thẳng y=x cắt đồ thị hàm
số tại ba điểm phân biệt A, B, C với AB=BC.
Bài 3: Cho hàm số
( )
4 2
y x m 1 x m= − + +
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại
bốn điểm phân biệt và có hoành độ lặp thành cấp số cộng.
5
Bài 4: Cho hàm số
4 2
y x 5x 4= − +
. Tìm m để đường thẳng d: y=m chắn trên đồ thị
hàm số ba đoạn thẳng bằng nhau.
Bài 5: Cho hàm số
( )
4 2
y x 2 m 1 x 2m 1= − + + −
. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành
tại bốn điểm A, B, C , D sao cho AB=BC=CD. Đáp số:
4
m 4, m=
9
=
.
Bài 6(ĐH Kiến Trúc 93): Cho hàm số
4 2

y x ax b= + +
. Giả sử đồ thị hàm số cắt trục
hoành tại bốn điểm lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng:
2
9a 100b 0− =
.
ĐS:
1 2
3 17 3 17 3 17 3 17
; , ;
2 2 2 2
M M
   
+ + − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
.
6
 Chú ý:
- Pt bậc ba:
( )
+ + + = ≠
3 2
ax bx cx d 0 a 0 (*)
.
- Nếu pt (*) có ba nghiệm phân biệt
1 2 3
x ,x ,x
thì :

1 2 3
1 2 3
1 2 2 3 3 1
b
x x x
a
d
x x x
a
c
x x x x x x
a

+ + = −



= −



+ + =


Nhẩm nghiệm đặc biệt x
0
.
- Nếu a+b+c+d=0 thì pt (*) có nghiệm x
0
=1.

- Nếu a-b+c-d=0 thì pt (*) có nghiệm x
0
=-1.
- Ngoài ra ta có thể nhẩm nghiệm
=
0
p
x
q
, với p là ước của d và q là ước của a.