Các chuyên đề ôn thi vào lớp 10

Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI VÀO LỚP 10
A. Căn thức và biến đổi căn thức
A.1. Kiến thức cơ bản
A.1.1. Căn bậc hai
a. Căn bậc hai số học
- Với số dương a, số
a
được gọi là căn bậc hai số học của a
- Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0
- Một cách tổng quát:
2
0x
x a
x a
≥

= ⇔

=

b. So sánh các căn bậc hai số học
- Với hai số a và b không âm ta có:
a b a b< ⇔ <
A.1.2. Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
2
A A=
a. Căn thức bậc hai
- Với A là một biểu thức đại số , người ta gọi
A

là căn thức bậc hai của A, A được gọi là biểu thức
lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn
-
A
xác định (hay có nghĩa)
⇔
A
≥
0
b. Hằng đẳng thức
2
A A=
- Với mọi A ta có
2
A A=
- Như vậy: +
2
A A=
nếu A
≥
0
+
2
A A= −
nếu A < 0
A.1.3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
a. Định lí: + Với A
≥
0 và B
≥

0 ta có:
. .A B A B=
+ Đặc biệt với A
≥
0 ta có
2 2
( )A A A= =
b. Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai phương một tích của các thừa số không âm, ta có thể khai
phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau
c. Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số
dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó
A.1.4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
a. Định lí: Với mọi A
≥
0 và B > 0 ta có:
A A
B
B
=
b. Quy tắc khai phương một thương: Muốn khai phương một thương a/b, trong đó a không âm và b dương
ta có thể lần lượt khai phương hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho kết quả thứ hai.
c. Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số b dương ta có thể chia
số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.
A.1.5. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
a. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
- Với hai biểu thức A, B mà B
≥
0, ta có
2
A B A B=

, tức là
+ Nếu A
≥
0 và B
≥
0 thì
2
A B A B=
+ Nếu A < 0 và B
≥
0 thì
2
A B A B= −
b. Đưa thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu A
≥
0 và B
≥
0 thì
2
A B A B=
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 1
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

+ Nếu A < 0 và B
≥
0 thì
2
A B A B= −

c. Khử mẫu của biểu thức lấy căn
- Với các biểu thức A, B mà A.B
≥
0 và B
≠
0, ta có
A AB
B B
=
d. Trục căn thức ở mẫu
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có

A A B
B
B
=
- Với các biểu thức A, B, C mà
0A
≥
và
2
A B≠
, ta có

2
( )C C A B
A B
A B
±
=

−
±
- Với các biểu thức A, B, C mà
0, 0A B≥ ≥
và
A B≠
, ta có

( )C A B
C
A B
A B
±
=
−
±
A.1.6. Căn bậc ba
a. Khái niệm căn bậc ba:
- Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x
3
= a
- Với mọi a thì
3 3 3
3
( )a a a= =
b. Tính chất
- Với a < b thì
3 3
a b<
- Với mọi a, b thì

3 3 3
.ab a b=
- Với mọi a và
0b
≠
thì
3
3
3
a a
b
b
=
A.2. Kiến thức bổ xung
A.2.1. Căn bậc n
a. Căn bậc n (
2 n N≤ ∈
) của số a là một số mà lũy thừa n bằng a
b. Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
 Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
 Căn bậc lẻ của số dương là số dương
 Căn bậc lẻ của số âm là số âm
 Căn bậc lẻ của số 0 là số 0
c. Căn bậc chẵn (n = 2k )
 Số âm không có căn bậc chẵn
 Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
 Số dương có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là
2k
a
và

2k
a−
d. Các phép biến đổi căn thức.

2 1
.
k
A
+
xác định với
A∀
2
.
k
A
xác định với
0A∀ ≥

2 1
2 1
k
k
A A
+
+
=
với
∀
A
2

2
k
k
A A=
với
∀
A

2 1 2 1
2 1
. .
k k
k
A B A B
+ +
+
=
với
∀
A, B
2
2 2
. .
k
k k
A B A B=
với
∀
A, B mà
. 0A B ≥

Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 2
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10


2 1 2 1
2 1
. .
k k
k
A B A B
+ +
+
=
với
∀
A, B
2 2
2
. .
k k
k
A B A B=
với
∀
A, B mà
0B
≥

2 1

2 1
2 1
k
k
k
A A
B
B
+
+
+
=
với
∀
A, B mà B
≠
0
2
2
2
k
k
k
A
A
B
B
=
với
∀

A, B mà B
≠
0,
. 0A B
≥

m
n mn
A A=
với
∀
A, mà
0A
≥

m
m
n
n
A A=
với
∀
A, mà
0A
≥
A.2.2. Bất đẳng thức và bất phương trình
• Bất đẳng thức
 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: f
1
(x), f

2
(x), …,f
n
(x) là các biểu thức bất kì
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
f x f x f x f x f x f x+ + + ≤ + + +
.
Đẳng thức xảy ra khi
( )
( ) 1,
i
f x i n=
cùng dấu
 Bất đẳng thức Côsi: a
1
, a
2
, …, a
n
là các số không âm, khi đó
1 2
1 2

.
n
n
n
a a a

a a a
n
+ + +
≥
Đẳng thức xảy ra khi a
1
= a
2
= … = a
n
 Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (a
1
, a
2
, …, a
n
) và (b
1
, b
2
, …, b
n
) là hai bộ số bất kì, khi đó
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +
Đẳng thức xảy ra khi
1 2

1 2

n
n
a
a a
b b b
= = =
(quy ước b
i
== 0 thì a
i
= 0)
• Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

( ) ( 0) ( )f x f x
α α α α
≤ ≥ ⇔ − ≤ ≤

( ) ( 0) ( )f x f x
α α α
≥ ≥ ⇔ ≤ −
hoặc
( )f x
α
≥
A.2.3. Dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai
a. Cho nhị thức f(x) = ax + b (a
≠
0). Khi đó ta có.

x -
∞
-b/a +
∞
f(x) = ax + b Trái dấu với a Cùng dấu với a
b. Cho tam thức f(x) = ax
2
+ bx + c (a
≠
0). Khi đó ta có
 Nếu
0∆ ≤
x -
∞
-b/2a +
∞
f(x) = ax
2
+ bx + c Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a
 Nếu
0
∆ >
x -
∞
x
1
x
2
+
∞

f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a
A.2.4. Biến đổi tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c (a
≠
0). Khi đó ta có

2 2
( ) ( )
2 4
b
f x ax bx c a x
a a
∆
= + + = − −
với
2
4b ac∆ = −
 Nếu a > 0 thì
( )
4
f x
a
−∆
≥
nên
min ( )
4
x R

f x
a
∈
−∆
=
2
b
x
a
−
⇔ =
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 3
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

 Nếu a < 0 thì
( )
4
f x
a
−∆
≤
nên
max ( )
4
x R
f x
a
∈
−∆

=
2
b
x
a
−
⇔ =
* Chú ý. Nếu
'
k
A
A
=
(k là hằng số dương) khi đó ta có
 Amin
⇔
A’max
 Amax
⇔
A’min
A.3. Ví dụ minh họa
A.4. Bài tập chọn lọc
Bài 1. Cho biểu thức:
1 3 2 2
1 1 2 2 2
x x
P
x x x x x x
 
− +

 
= − −
 ÷
 ÷
 ÷
− − − − − −
 
 
a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P với
3 2 2x = −
Bài 2. Cho biểu thức
1 1 2 1 2
:
1
1 1
x x x x x x
P
x
x x x x
 
+ − + −
 
= − +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− +
 

 

a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P với
7 4 3x = −
c. Tính giá trị lớn nhất của a để P > a
Bài 3. Cho biểu thức
3 2( 3) ( 3)
2 3 1 3
x x x x
P
x x x x
− − +
= − +
− − + −
a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P với
11 6 5x = −
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 4. Cho biểu thức :
3 2 2
1 :
1 2 3 5 6
x x x x
M
x x x x x
   
+ + +
= − + +
 ÷  ÷

 ÷  ÷
+ − − − +
   
a. Rút gọn M
b. Tìm x để M > 0
c. Tìm các giá trị củ m để có các giá trị của x thỏa mãn:
( 1) ( 1) 2M x m x+ = + −
Bài 5: Cho biểu thức:
2 2
2 2
4 4
4 4
x x x x x x
A
x x x x x x
+ − − −
= −
− − + −
a. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
b. Rút gọn A.
c. Tìm x để
5A <
.
Bài 6: Cho
1
2
2 1 1
x x x x x
A
x x x

  
− +
= − −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
+ −
  
.
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A > -6.
Bài 7: Cho
2 1 10
: 2
4
2 2 2
x x
B x
x
x x x
 
−
 
= + + − +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− + +
 
 

.
a. Rút gọn B.
b. Tìm x để B > 0.
Bài 8: Cho C =
1
2
1
2
1
1
+−
+
+
−
+ xxxxx
a. Rút gọn C.
b. Chứng minh rằng C < 1.
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 4
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

Bài 9: Cho biểu thức:
2
4 4 12 9A x x x= − − +
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A = -15.
Bài 10: Cho biểu thức:
2
2 6 9A x x x= + − +
.

a. Rút gọn rồi tìm giá trị của A khi a = -5.
b. Tìm x khi A = 15.
Bài 11: Cho biểu thức:
2
3 3
1 : 1
1
1
M x
x
x
 
 
= + − +
 ÷
 ÷
+
 
−
 
.
a. Rút gọn M.
b. Tìm giá trị của M khi
3
2 3
x =
+
.
c. Tìm giá trị của x để
M M>

.
Bài 12: Cho biểu thức:
2
3 1 4 9 12A x x x= − − + −
.
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm giá trị của x để A = 3.
Bài 13: Rút gọn biểu thức:
2
1
2 1
4
A x x x= − − − +
rồi tìm giá trị của x để A = 3/2.
Bài 14: Cho biểu thức:
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
Q
x x x x
− + +
= − −
− + − −
a. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để Q < 1.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên.
Bài 15: Cho biểu thức:
3 9 3 1 2
2 2 1
x x x x
P

x x x x
+ − + −
= − +
+ − + −
a. Rút gọn P.
b. Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
Bài 16: Cho biểu thức:
2
2
1
1
x x x x
Q
x x x
+ +
= − +
− +
a. Rút gọn Q.
b. Biết x > 1, hãy so sánh Q với
Q
c. Tìm x để Q = 2.
d. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q?
Bài 17. Cho biểu thức
2 3 3 2 2
: 1
9
3 3 3
x x x x
P
x

x x x
   
+ −
= + − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − −
   
, với x
≥
0 và x
≠
9
a. Rút gọn P
b. Tìm các giá trị của x để P < -1/3
c. Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 18. Cho biểu thức
3 3
3 3
1 1 2 1 1
. :
x y x x y y
A
x y
x y x y
x y xy
 
 
+ + +

= + + +
 
 ÷
 ÷
+
+
 
 
 
với x > 0, y > 0
a. Rút gọn A
b. Biết xy = 16. Tìm giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó
Bài 19. Cho biểu thức
2
2 2 1 8A x x x= − + +
a. Rút gọn biểu thức A
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 5
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

b. Với giá trị nào của x thì A = -3
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 6
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

Bài 20: Cho biểu thức:
2 2 2 2
2 1 2 1A x x x x= + − − − −
.
a. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.

b. Tính giá trị của A khi
2.x ≥
Bài 21: Cho
2
1 1
:
x
A
x x x x x x
+
=
− + +
.
a. Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
b. Rút gọn A.
Bài 22: Cho
3
1 1
1 1 1
x x
B
x x x x x
−
= − −
+ − − − −
.
a. Tìm điều kiện của x để B có nghĩa.
b. Tìm x để B > 0.
Bài 23: Cho biểu thức:
( ) ( )

1
2 1 2
1 .
1
1 2 1
x x x
x x x x x x
E
x
x x x
− −
 
− + + −
= − +
 ÷
 ÷
−
+ −
 
.
a. Tìm điều kiện để E có nghĩa.
b. Rút gọn E.
Bài 24: Cho
3 3 2 2
1 1
:
a b a b
A ab
a b
a b

− −
− −
 
− −
= −
 ÷
 ÷
−
−
 
.
a. Tìm điều kiện của a, b để A có nghĩa.
b. Rút gọn A.
Bài 25: Cho biểu thức:
2 2
6 9 6 9A x x x x= − + − + +
.
a. Rút gọn A.
b. Tìm các giá trị của x để A = 1.
Bài 26: Cho biểu thức:
2 2
2 2
2 2
.
2 2
x x x x x x
A
x x x x x x
+ − − −
= −

− − + −
a. Tìm điều kiện xác định của A.
b. Rút gọn A.
c. Tìm x để A < 2.
Bài 27. Xét biểu thức
1 2
(1 ) :( )
1
1 1
a a
B
a
a a a a a
= + −
+
− + − −
a. Rút gọn B
b. Tìm các giá trị của a sao cho B > 1
c. Tính giá trị của B nếu
6 2 5a = −
Bài 28. Xét biểu thức
2 3 6
2 3 6 2 3 6
a b ab
A
ab a b ab a b
+ −
= −
+ − − + + +
a. Rút gọn A

b. Cho giá trị của biểu thức A sau khi đã rút gọn bằng
10
( 10)
10
b
b
b
+
≠
−
. Chứng minh rằng a/b = 9/10
Bài 29. Xét biểu thức
2 2 4 3
:
4
2 2 2
x x x x
P
x
x x x x
 
+ − −
= − −
 ÷
 ÷
−
− + −
 
a. Rút gọn P
Nguyễn Hải Hà 0983325739

Trang 7
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

b. Tìm các giá trị của x để P > 0, P < 0
c. Tìm các giá trị của x để |P| = 1
Bài 30. Cho biểu thức
2
4 9 12 4A x x x= − − +
a. Rút gọn A
b. Tính giá trị của A khi x = 2/7
Bài 31. Cho biểu thức
2
5 6 9A x x x= + + +
a. Rút gọn B
b. Tính giá trị của x để B = -9
Bài 32: Cho biểu thức:
1 5 2
.
2 6 3
x
P
x x x x
−
= − −
+ − − −
a. Rút gọn P.
b. Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 33: Cho
2
: 1

1
1 1
x y x y
x y xy
P
xy
xy xy
 
+ −
 
+ +
= + +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− +
 
 
.
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P với
2
2 3
x =
+
.
c. Tìm giá trị lớn nhất của P.
B. Hệ phương trình
B.1. Kiến thức cơ bản

b. 1.1 . Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
a. Phương trình bậc nhất hai ẩn
• Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c
∈
R (a
2
+ b
2

≠
0)
• Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn:
Phương trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu
diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c
- Nếu a
≠
0, b
≠
0 thì đường thẳng (d) là đồ thị hàm số
a c
y x
b b
= − +
- Nếu a
≠
0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc
trùng với trục tung
- Nếu a = 0, b
≠
0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc

trùng với trục hoành
b. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
• Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
' ' '
ax by c
a x b y c
+ =


+ =

trong đó a, b, c, a’, b’, c’
∈
R
• Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có
 (d) // (d’) thì hệ vô nghiệm
 (d)
∩
(d’) =
{ }
A
thì hệ có nghiệm duy nhất
 (d)
≡
(d’) thì hệ có vô số nghiệm
• Hệ phương trình tương đương
Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
c. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
• Quy tắc thế

• Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 8
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

 Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đó có
một phương trình một ẩn
 Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ
d. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
• Quy tắc cộng
• Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
 Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn
nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau
 áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số
của một trong hai ẩn bằng 0 (phương trình một ẩn)
 Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
b. 1.2 . Hệ phương trình đưa về phương trình bậc hai
- Nếu hai số x và y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S
2

≥
4P) khi đó hai số x, y là nghiệm của phương
trình: x
2
+ SX + P = 0
B.2. Kiến thức bổ xung
b. 2.1 . Hệ phương trình đối xứng loại 1
a. Định nghĩa:
Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó thì từng
phương trình của hệ không đổi

b. Cách giải
• Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S
2
≥
4P
• Giải hệ để tìm S và P
• Với mỗi cặp (S, P) thì x và y là hai nghiệm của phương trình:
t
2
– St + P = 0
c. Ví dụ
• Giải hệ phương trình
2 2
7
13
x y xy
x y xy
+ + =


+ + =


2 2
1 0
22
x y xy
x y x y
+ + + =



+ − − =

2 2
8
( 1)( 1) 12
x y x y
xy x y

+ + + =

+ + =

b. 2.2. Hệ phương trình đối xứng loại 2
a. Định nghĩa
Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y thì phương
trình này trở thành phương trình kia và ngược lại
b. Cách giải
• Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ để được phương trình hai ẩn
• Biến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm được thành phương trình tích
• Giải phương trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
• Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn
• Giải phương trình một ẩn vừa tìm được ròi suy ra nghiệm của hệ
c. Ví dụ
• Giải hệ phương trình

2
2
2 4 5
2 4 5

x y y
y x x

= − +


= − +



3
3
13 6
13 6
x x y
y y x

= −


= −


b. 2.3 . Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2
a. Định nghĩa
- Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
2 2
2 2
0
' ' ' 0

ax bxy cy
a x b xy c y

+ + =


+ + =


b. Cách giải
- Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phương trình không
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 9
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

- Nếu x
≠
0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phương trình trong hệ
- Khử x rồi giải hệ tìm t
- Thay y = tx vào một trong hai phương trình của hệ để được phương trình một ẩn (ẩn x)
- Giải phương trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx
* Lưu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tương tự
c. Ví dụ
Giải hệ phương trình
2 2
2
4 1
3 4
x xy y
y xy


− + =


− =


2 2
2 2
2 3 3
2 2 6
x xy y
x xy y

− + =


+ − =


B.3. Ví dụ minh họa
B.4. Bài tập chọn lọc
Bài 1. Giải các hệ phương trình
1/
( 2)( 2)
( 4)( 3) 6
x y xy
x y xy
+ − =



+ − = +

2/
( 1)( 2) ( 1)( 3) 4
( 3)( 1) ( 3)( 5) 18
x y x y
x y x y
− − − + − =


− + − − − =

3/
( 5)( 2)
( 5)( 12)
x y xy
x y xy
+ − =


− + =

4/
2 5 1 2
16
11 3
7 2( 1)
31
5 3

x y x y
x y x
− − −

+ =



+ −

+ =


5/
9 2
28
7 3
3 12
15
2 5
x y
x y

− = −




+ =



6/
4 3
5
15 9
3
14
x
x y
y
x y
−

+ =



−

+ =


8/
5 1
10
1 1
1 3
18
1 1
x y

x y

+ =

− −



+ =

− −

9/
4 1
1
2 2
20 3
1
2 2
x y x y
x y x y

− =

+ −



+ =


+ −

10/
4 3 13
36
6 10
1
x y
x y

+ =




+ =


11/
2 5
3
3 3
1 2 3
3 3 5
x y x y
x y x y

− =

− −




+ =

− −

12/
7 4 5
3
7 6
5 3 13
6
7 6
x y
x y

− =

− +



+ =

− +

13/
3 2
8

3 1
3 1
1,5
3 1
x y x y
x y x y

− =

+ − − −



+ =

+ − − +

Bài 2. Giải các hệ phương trình
1/
1 2 1
1 3 3
x y
x y

− + − =


− + =



2/
2
2
10 25 5
10 25 5
x x x
x x x

+ + = +


− + = −



3/
2 2 1 9
1 1
x y
x y

− + − =


+ − = −


4/
2 2
2( 2)

6
x y xy
x y

+ = +

+ =

5/
2 2
1 0
22
x y xy
x y x y
+ + + =


+ − − =

6/
2 2
7
13
x y xy
x y xy
+ + =


+ + =


7/
2 2
10
4
x y
x y

+ =

+ =

8/
2 2
65
( 1)( 1) 18
x y
x y

+ =

− − =

9/
2 2
6
5
x y xy
xy x y

+ =


+ + =

10/
3 3
5 5 2 2
1x y
x y x y

+ =


+ = +


11/
3 3 2 2
1x y
x y x y
+ =


+ = +

12/
( 1)( 1) 10
( )( 1) 25
x y
x y xy
+ + =



+ + =

13/
5
13
6
x y
x y
y x
+ =



+ =


14/
3 3
2 2
2
2
x y
x y xy

+ =


+ =



15/
4 4
2 2
97
( ) 78
x y
xy x y

+ =


+ =


Các bài HPT có chứa tham số
Bài 1. Cho hệ phương trình
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 10
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

2
3
9 3 3
x y m
x m y
− = −




− = −


a. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm
b. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm
của hệ phương trình
c. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 2. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình
4
1
mx y
x my
+ =


− =

Có nghiệm thỏa mãn điều kiện
2
8
1
x y
m
+ =
+
. Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y.
Bài 3. Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình
2 3
1

mx y m
x y m
+ =


+ = +

Có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó.
Bài 4. Cho hệ phương trình
2 6
2 2
x y
x y
+ =


− =

a. Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp đồ thị
b. Nghiệm của hệ phương trình đã cho có phải là nghiệm của phương trình 3x - 7y = - 8 không ?
c. Nghiệm của hệ phương trình đã cho có phải là nghiệm của phương trình 4,5x + 7,5y = 25 không ?
Bài 5. Cho hai đường thẳng (d
1
): 2x - 3y = 8 và (d
2
): 7x - 5y = -5
Tìm các giá trị của a để đường thẳng y = ax đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d
1
) và (d
2

)
Bài 6. Cho ba đường thẳng
(d
1
): y = 2x - 5 (d
2
): y = 1 (d
3
): y = (2m - 3)x -1
Tìm các giá trị của m để ba đường thẳng đồng quy
Bài 7. Cho hệ phương trình
2
2 1
x ay
ax y
+ =


− =

Tìm các giá trị của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
Bài 8. Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(-5; -3) và điểm B(3; 1)
Bài 9. Tìm các giá trị của m để
a. Hệ phương trình:
5
2 3 7
mx y
x my
− =



+ =

có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
b. Hệ phương trình:
3
4 6
mx y
x my
+ =


+ =

có nghiệm thoả mãn điều kiện x > 1, y > 0
Bài 10. Cho hệ phương trình
2
1
mx y m
x my m
+ =


+ = +

Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm x, y là các số nguyên
Bài 11. Cho hệ phương trình
2
( 1) 2 1
2

m x my m
mx y m
+ + = −


− = −

Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn nhất
Bài 12. Hãy tìm giá trị của m và n sao cho đa thức
P(x) = mx
3
+ (m + 1)x
2
- (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x - 1) và (x + 2).
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 11
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

Bài 13. Cho hệ phương trình
( 1) 1
( 1) 2
m x y m
x m y
+ − = +


+ − =

Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: S = x + y đạt giá trị lớn nhất
Bài 14. Cho hệ phương trình

2
mx my m
mx y m
+ =


+ =

m, n là các tham số
a. Giải và biện luận hệ phương trình
b. trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất hãy tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình thỏa mãn
điều kiện x > 0, y < 0
Bài 15. Tìm a và b để hệ phương trình sau có nghiệmcó nghiệm với mọi giá trị của tham số m
( 3) 4 5 3
2 3 1
m x y a b m
x my am b m
+ + = + +


+ = − + −

Bài 16. Tìm tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2 3 2
2 3 2
4 .
4
y x x a x
x y y ay


= − +


= − +


Bài 17. Biết cặp số (x, y) là nghiệm của hệ phương trình:
2 2 2
6
x y m
y x m
+ =


+ = − +

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = xy + 2(x + y).
Bài 18. Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phương trình:
2 2 2
2 1
2 3
x y a
y x a a
+ = −


+ = + −

Xác định giá trị của tham số a để hệ
thỏa mãn tích xy nhỏ nhất.

Bài 19. Cho hệ phương trình:
2
1 1 1
xy a
x y b

=


+ =


Giải và biện luận hệ phương trình biết rằng x, y là độ dài các cạnh của một hình chữ nhất.
Bài 20. Cho hệ phương trình:
2 1
2 1
x my
mx y
+ =


+ =

a. Giải và biện luận theo tham số m.
b. Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên.
Bài 21. Cho hệ phương trình:
4
4 10
x my
mx y m

+ =


+ = −

(m là tham số).
a. Giải và biện luận theo m.
b. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dương.
Bài 22. Cho hệ phương trình:
( 1) 3 1
2 5
m x my m
x y m
− − = −


− = +

Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà S = x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ
nhất.
Bài 23 Cho hệ phương trình:
2
( 1) 2 1
2.
m x my m
mx y m

+ + = −


− = −

Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn nhất.
Bài 24. Cho hệ phương trình:
2
1.
mx y m
x my m
+ =


+ = +

a. Giải hệ khi m = -1.
b. Tìm m để hệ có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm: x = 1, y = 1.
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 12
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

Bài 25. Giải và biện luận hệ phương trình sau đây theo tham số m:
2 1
2 3.
mx y m
x my
+ = +



+ =

Bài 26. Cho hệ phương trình:
2
2 1.
x my
mx y
+ =


− =

a. Giải hệ khi m = 2.
b. Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0.
c. Tìm số nguyên n để có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên.
Bài 27. Cho hệ phương trình:
1
3 2 3.
x my
mx my m
+ =


− = +

a. Giải hệ khi m = - 3.
b. Giải và biện luận hệ đã cho theo m.
Bài 28. Cho hệ phương trình:
2
3 2 5

x y m
x y
+ =


− =

(m là tham số nguyên).
Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0, y < 0.
Bài 29. Cho hệ phương trình:
2
3 5.
mx y
x my
− =


+ =

a. Giải và biện luận hệ đã cho.
b. Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn hệ thức:
2
2
1
3
m
x y
m
+ = −
+

.
Bài 30. Cho hệ phương trình:
2 1
( 1) 2.
mx my m
x m y
+ = +


+ + =

a. Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x; y) luôn luôn thuộc một đường thẳng
cố định khi m thay đổi.
b. Xác định m để M thuộc góc vuông phần tư thứ nhất.
c. Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng
5
.
Bài 31. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phương trình:
4 2
.
mx y m
x my m
+ = +


+ =

có nghiệm duy nhất (x; y) với x;
y là các số nguyên.
Bài 32. Cho hệ phương trình:

2 1
2 1.
x my
mx y
+ =


+ =

a. Giải và biện luận theo m.
b. Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên.
c. Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên một đường thẳng
cố định.
d. Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng
2
2
.
Bài 33. Giải và biện các hệ phương trình:
a.
2
2 3( 1) 3
( ) 2 2
m x m y
m x y y

+ − =

+ − =

b.

2 1
2 .
x y m
x y m
− = +


+ = −

c.
1
.
x my
x y m
− =


− =

Bài 34. Cho hệ phương trình:
2 5
3 1.
mx y
mx y
− + =


+ =

a. Giải hệ phương trình lúc m = 1.

b. Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số.
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 13
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

Bài 35. Cho hệ phương trình (m là tham số ):
1
.
mx y
x y m
− =


− + = −

a. Chứng tỏ lúc m = 1, hệ phương trình có vô số nghiệm.
b. Giải hệ lúc m khác 1.
Bài 36. Với giá trị nào của x, y, z; ta có đẳng thức sau: 4x
2
+ 9y
2
+ 16z
2
- 4x - 6y - 8z +3 = 0.

Bài 37. Với giá trị nào của m, hệ phương trình:
2 2
25
3 4
x y

mx y m

+ =

− = −

có nghiệm?
Bài 38. Cho hệ phương trình:
2 2
2
2 1 2
x y a
xy a

+ =

+ =

. Xác định a để hệ có hai nghiệm phân biệt. Tìm các nghiệm đó.
Bài 39. Cho hệ phương trình:
8
x y
m
y x
x y

+ =




+ =

. Xác định m để hệ phương trình có nghiệm kép.
Bài 40. Cho hệ phương trình:
2 2
1
x y m
y x
− =


+ =

. Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.
Bài 41. Cho x, y là hai số nguyên dương sao cho:
2 2
71
880
xy x y
x y xy
+ + =


+ =

. Tìm giá trị của biểu thức: M = x
2
+y
2
.

Bài 42. Cho hệ phương trình:
1
3 1
x my m
mx y m
+ = +


+ = −

a. Giải và biện luận hệ phương trình trên.
b. Không giải hệ phương trình, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
Bài 43. Cho hệ phương trình:
( 1) 1
( 1) 2
a x y a
x a y
+ − = +


+ − =

(a là tham số).
a. Giải hệ phương trình với a = 2.
b. Giải và biện luận hệ phương trình.
c. Tìm giá trị nguyên của a để hệ phương trình có nghiệm nguyên.
d. Tìm giá trị của a để nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ nhất.
Bài 44. Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc O và song song với AB biết:
a/ A(-1; 1), B(-1; 3).
b/ A(1; 2), B(3; 2).

c/ A(1; 5), B(4; 3).
Bài 45. Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1). Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD.
Bài 46. Cho bốn điểm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thẳng
hàng.
Bài 47. Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2). Hãy xác định tứ giác ABCD là hình gì?
Bài 48. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm:
2( 1) ( 2) 3
( 1) 3 7
m x m y m
m x my m
+ + + = −


+ + = +

Bài 49. Cho hệ phương trình:
( 1) 2 2 0
2 ( 1) ( 1) 0
m x my
mx m y m
− + + =


+ − − − =

(m là tham số).
a. Giải hệ phương trình trên.
b. Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0, y < 0.
Bài 50. Cho hệ phương trình:
( 1) 3 4

( 1)
m x y m
x m y m
− + = −


+ − =

(m là tham số)
a. Giải hệ phương trình.
b. Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên.
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 14
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

c. Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm dương duy nhất.
Bài 51. Cho hệ phương trình:
1
3 1
x my m
mx y m
+ = +


+ = −

(m là tham số)
a. Giải hệ phương trình.
b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện xy nhỏ nhất.
Bài 52. Tìm giá trị của a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

2 2
2 1
4
x y a
x y a

+ = +

+ =

Bài 53.
a. Tìm các giá trị nguyên của tham số a hoặc m để hệ phương trình có nghiệm là số dương, số âm.
2 1
2
ax y
x ay
− =


+ =

;
3 5
2 1
x y m
x y
+ =


+ =


b. Tìm giá trị nguyên của m để hệ phương trình sau:
2
3 2 5
x y m
x y
+ =


− =

có nghiệm x > 0 và y < 0.
c. Với giá trị khác 0 nào của m thì hệ phương trình:
2
3 5
mx y
x my
− =


+ =

có nghiệm thỏa mãn
2
2
1
3
m
x y
m

+ = −
+
Bài 54.
1. Cho hệ phương trình:
. 3
1 2
a x y
x y
− + =



+ + =


a. Giải hệ phương trình với a = 2.
b. Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.
2. Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau vô nghiệm.
C. Phương trình
C.1. Kiến thức cơ bản
C. 1.1 . Phương trình bậc nhất một ẩn
a. Định nghĩa
- Phương trình có dạng ax + b = 0. Trong đó a, b
∈
R và a
≠
0
b. Cách giải và biện luận
- Nếu a = 0. Khi đó: + b = 0 thì phương trình có VSN
+ b

≠
0 thì phưong trình VN
- Nếu a
≠
0. Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất x = - b/a
C. 1.2. Phương trình bậc hai một ẩn
a. Định nghĩa
- Phương trình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0. Trong đó a, b, c
∈
R và a
≠
0
b. Cách giải và biện luận
- Nếu a = 0. Phương tình có dạng bx + c = 0: Phương trình bậc nhất
- Nếu a
≠
0. Khi đó
2
4b ac∆ = −
(hoặc
2
' 'b ac∆ = −
)
+
0∆ <
(hoặc
' 0∆ <
): Pt vô nghiệm

+
0∆ =
(hoặc
' 0∆ =
): Pt có nghiệm kép
1 2
2
b
x x
a
= = −
(hoặc
1 2
'b
x x
a
= = −
)
+
0
∆ >
(hoặc
' 0
∆ >
): Pt có hai nghiệm phận biệt
'
1,2
'b
x
a

− ± ∆
=
(hoặc
1,2
2
b
x
a
− ± ∆
=
)
• Chú ý: Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì ta có thể viết
ax
2
+ bx + c = a(x - x
1
)(x -x
2
)
Định lí Viet
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 15
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

a. Định lí thuận
- Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì tổng và tích hai nghiệm đó là
1 2
b
S x x
a
= + = −

và
1 2
.
c
P x x
a
= =
b. Định lí đảo
- Nếu hai số x và y có tổng
1 2
x x S+ =
và tích
1 2
.x x P=
thỏa mãn
2

4S P≥
thì hai số x và y là hai nghiệm
của phương trình t
2
- St + P = 0
Bài tập chọn lọc
Bài 1. Tìm các giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung
x
2
+ mx + 1 = 0; x
2
+ x + m = 0
Bài 2. Cho hai phương trình x
2
+ p
1
x + q
1
= 0; x
2
+ q
2
x + q
2
= 0
Chứng minh rằng nếu
1 2 1 2
2( )p p q q≥ +
thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm
Bài 3. Với giá trị bào của k thì hai phương trình sau:

2x
2
+ (3k + 1)x - 9 = 0; 6x
2
+ (7k - 1)x - 19 = 0
Có ít nhất một nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó
Bài 4. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi a, b, c
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0
Bài 5. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của m ột tam giác. Chứng minh phương trình sau vô nghiệm:
a
2
x
2
+ (a
2
+ b
2
- c
2
)x + b = 0
Bài 6. Cho ba phương trình
x
2
+ 2ax + ac = 0; x
2
- 2bx + ab - c = 0; x
2
+ 2cx + c = 0
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình trên có nghiệm
Bài 7. Cho phương trình: ax

2
+ bx + c = 0. Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm nếu một trong hai
điều kiện sau được thỏa mãn
a. a(a + 2b + c) < 0
b. 5a + 3b + 2c = 0
Bài 8. Tìm các giá trị của k để phương trình: kx
2
- (1 - 2k)x + k - 2 = 0 có nghiệm là số hữu tỉ.
Bài 9. Cho phương trình: 2x
2
- 3x + 1 = 0. Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình . Không giải phương trình
hãy tìm giá trị các biểu thức sau:
a.
1 2
1 1
A
x x
= +
b.
1 2
1 2
1 1x x
B
x x
− −
= +

c.
2 2
1 2
C x x= +
d.
1 2
2 1
1 1
x x
D
x x
= +
+ +
Bài 10. Cho phương trình: x
2
+ (2m - 1)x - m = 0
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b. Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để biểu thức
2 2
1 2 1 2
6A x x x x= + −
đạt
giá trị nhỏ nhất
Bài 11. Gọi x
1
, x

2
là các nghiệm của phương trình: 3x
2
+ 5x - 6 = 0. Không giải phương trình hãy lập phương
trình bậc hai ẩn y có các nghiệm
1 1
2
1
y x
x
= +
;
2 2
1
1
y x
x
= +
Bài 12. Cho phương trình
2
2 3 1 0x x− + =
. Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức
a.
3 3
1 2
A x x= +
b.
2 2
1 1 2 2
3 3

1 2 1 2
3 5 3
4 4
x x x x
B
x x x x
+ +
=
+
Bài 13. Cho phương trình (k – 1)x
2
– 2kx + k – 4 = 0. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình trên, hãy lập
hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào k
Bài 14. Tìm các giá trị của m để các nghiệm x
1
, x
2
của phương trình:
a. x
2
+ (m - 2)x + m + 5 = 0 thỏa mãn
2 2

1 2
10x x+ =
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 16
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

b. x
2
- (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 thỏa mãn x
1
= 2x
2
c. x
2
- mx + m + 1 = 0 thỏa mãn x
1
x
2
+ 2(x
1
+ x
2
) -19 = 0
Bài 15. Cho phương trình bậc hai: mx
2
- (5m - 2)x + 6m - 5 = 0
a. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm là hai số đối nhau
b. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
Bài 16. Cho phương trình: x
2

- 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
Tìm các giá trị của m để hai nghiệm x
1
, x
2
của phương trình thỏa mãn

2 2
1 2 1 2
10A x x x x= + +
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó
Bài 17. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình
2x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
+ 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = |x
1
x
2
- 2x
1
- 2x
2
|

Bài 18. Cho phương trình: x
2
- mx + m - 1 = 0
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2( 1)
x x
P
x x x x
+
=
+ + +
Bài 19. Cho phương trình: x
2
+ px + q = 0
Tìm các giá trị của p và q sao cho hai nghiệm của phương trình thỏa mãn
1 2
3 3
1 2
5
35
x x

x x
− =



− =


Bài 20. Cho phương trình bậc hai: x
2
- 2x - m
2
= 0 có các nghiệm x
1
, x
2
. Lập phương trình bậc hai có các
nghiệm y
1
, y
2
sao cho:
a. y
1
= x
1
- 3, y
2
= x
2

- 3
b. y
1
= 2x
1
- 1, y
2
= 2x
2
- 1
Bài 21. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm thỏa mãn:
1 2
3 3
1 2
2
26
x x
x x
− =



− =


Bài 22. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất một phương trình vô nghiệm
x
2
+ ax + b - 1 = 0
x

2
+ bx + c - 1 = 0
x
2
+ cx + a - 1 = 0
Bài 23. Cho 2 phương trình:
x
2
+ 2x + a = 0 (1) và (1 + a)(x
2
+ 2x + a) - 2(a - 1)(x
2
+ 1) = 0 (2)
Chứng minh rằng nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2) vô nghiệm.
Bài 24. Cho phương trình: x
2
- 2(m + 1)x + m - 1 = 0.
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b. Chứng minh rằng biểu thức: A = x
1
(1 - x
1
) + x
2
(1 - x
2
) tron đó x
1
, x
2

là hai nghiệm của phương trình
không phụ thuộc vào m
Bài 25. Cho phương trình (m - 1)x
2
- 2mx + m + 4 = 0
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có tích bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm
của phương trình
c. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
d. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn đẳng thức:
1 2
2 1
5
0
2
x x
x x
+ + =
Bài 26. Tìm các giá trị của m và n để hai phương trình sau tương đương
x
2
+ (4m + 3n)x - 9 = 0.
x
2
+ (3m + 4n)x + 3n = 0
Bài 27. Cho phương trình ax

2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm dương phân biệt x
1
, x
2
a. Chứng minh rằng phương trình cx
2
+ bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 17
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

b. Chứng minh rằng S = x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4

≥
4
Bài 28. Cho phương trình: x
2
- (2m + 1)x + m
2
+ m = 0
a. Biết rằng phương trình có một nghiệm x
1

= 2,tìm m rồi tìm nghiệm còn lại
b. Tìm các giá trị của m để các nghiệm của phương trình thỏa mãn bất đẳng thức -2 < x
1
< x
2
< 4
Bài 29. Tìm a sao cho nghiệm của phương trình
x
4
+ 2x
2
+ 2ax + a
2
+ 2a + 1 = 0.
Đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Bài 30. Cho a, b, c là ba số dương khác nhau có tổng bằng 12. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau:
x
2
+ ax + b = 0
x
2
+ bx + c = 0
x
2
+ cx + a = 0.
Có một phương trình vô nghiệm, một phương trình có nghiệm
Bài 31. Cho biết phương trình x
2
+ bx + c = 0, với b, c là các số hữu tỉ có một nghiệm là
1 2

2 4
+
. Tìm các cặp
số (b, c)
Bài 32. Biết số đo độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phương trình bậc hai:
(m - 2)x
2
- 2(m - 1)x + m = 0. Tìm m để số đo chiều cao ứng với cạnh huyền là
2
5
Bài 33. Tìm giá trị của m để các nghiệm x
1
, x
2
của phương trình: mx
2
- 2(m - 2)x + (m - 3) = 0
thỏa mãn điều kiện:
2 2
1 2
1x x+ =
:
Bài 34. Cho phương trình: mx
2
- 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số).
1. Tìm m để phương trình có nghiệm.
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt
đối lớn hơn.
3. Xác định m để các nghiệm x
1

, x
2
của phương trình thỏa mãn x
1
+ 4x
2
= 3.
4. Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
mà không phụ thuộc vào m.
Bài 35. Cho phương trình x
2
- 2(m - 2)x + (m
2
+ 2m - 3) = 0.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
phân biệt thỏa mãn
1 2
1 2
1 1
5
x x
x x
+
+ =

.
Bài 36. Cho phương trình x
2
+ 5x - 1 = 0 (1)
Không giải phương trình (1), hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là lũy thừa bậc bốn của
các nghiệm phương trình (1).
Bài 37. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a và b:
(a + 1)x
2
- 2(a + b)x + (b - 1) = 0.
Bài 38. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m:
x
2
- (3m
2
- 5m + 1)x - (m
2
- 4m + 5) = 0.
Bài 39. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm:
2 2
4 3 7
2 5
x y
x y m
− =


+ =

Bài 40. Tìm giá trị của a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:

x
2
+ ax + 8 = 0 (1) và x
2
+ x + a = 0 (2).
Bài 41. Tìm giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm x ≥ 0:
(m + 1)x
2
- 2x + (m - 1) = 0.
Bài 42. Xác định m để phương trình: (m + 1)x
2
- 2(m + 2)x + 2(m + 1) = 0 có hai nghiệm cùng âm, cùng
dương, và trái dấu nhau
Bài 43. Tìm giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: x
3
- m(x + 1) + 1 = 0.
Bài 44. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b và c:
x(x - a) + x(x - b) + (x - a)(x- b) = 0
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x- a) = 0.
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 18
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

Bài 45. Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm nếu
2
4
b c
a a

≥ +
.
Bài 46. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm nếu bm = 2(c + n):
x
2
+ bx + c = 0 và x
2
+ mx + n = 0.
Bài 47. Cho phương trình bậc hai: f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực α mà af(α) ≤ 0 thì phương trình có nghiệm.
Bài 48. Cho biết các phương trình ax
2
+ bx +2 c = 0 và ax
2
+ bx - c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm. Vận dụng bài 22 để
chứng minh phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm.
Bài 50. Với giá trị nào của a thì hệ phương trình sau có nghiệm:
2 2
3 1x y
x y a
+ =


+ =

Bài 51. Tìm giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:

x
2
+ 2x + m = 0 (1) và x
2
+ mx + 2 = 0 (2).
Bài 52. Tìm giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x
2
+ (m - 2)x + 3 = 0 và 2x
2
+ mx + m + 2 = 0.
Bài 53. Tìm giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
2x
2
+ (3m - 5)x - 9 = 0 và 6x
2
+ (7m-15)x -19 = 0.
Bài 54. Tìm giá trị nguyên của a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
2x
2
+ (3m - 1)x - 3 = 0 và 6x
2
- (2m - 3)x - 1 = 0.
Bài 55. Tìm giá trị của m để một nghiệm của phương trình 2x
2
- 13x + 2m = 0 (1) gấp đôi một nghiệm của
phương trình x
2
- 4x + m = 0 (2).
Bài 56. Cho các số a, b, c khác nhau đôi một, c ≠ 0. Biết rằng các phương trình

x
2
+ ax + bc = 0(1) và x
2
+ bx + ca = 0 (2) có ít nhất một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó.
Bài 57. Cho các phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (1) và cx
2
+ bx + a = 0 (2).
1. Biết phương trình (1) có nghiệm dương m,
2. Chứng minh rằng phương trình (2) có nghiệm n sao cho m + n ≥ 2.
Bài 58. Cho các phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (1) và cx
2
+ bx + a = 0 (2).
Tìm liên hệ giữa các số a, b, c biết rằng các nghiệm x
1
, x
2
của phương trình (1), các nghiệm x
3
, x
4
của
phương trình (2) thỏa mãn đẳng thức:
2 2 2 2
1 2 3 4
4x x x x+ + + =

.
Bài 59. Phương trình x
2
+ bx + c = 0 có nghiệm x
1
, x
2
. Phương trình x
2
- b
2
x + bc = 0 có nghiệm x
3
, x
4
.
Biết x
3
- x
1
= x
4
- x
2
= 1. Xác định b và c.
Bài 60. Tìm các số a, b sao cho các phương trình: x
2
+ ax + 6 = 0 và x
2
+ bx + 12 = 0 có ít nhất một nghiệm

chung và
a b+
nhỏ nhất.
Bài 61. Tìm m để phương trình x
2
+ mx + 2m - 4 = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.
Bài 62. Tìm m để phương trình
2 2
2 2 4 3 0x m x x m+ − − + + =
có nghiệm.
Bài 63. Tìm m để phương trình 3x
2
- 4x + 2(m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2.
Bài 64. Tìm m để phương trình (m - 1)x
2
- (m - 5)x + (m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1.
Bài 65. Với giá trị nào của m thì hai nghiệm của phương trình x
2
+ x + m = 0 đều lớn hơn m?
Bài 66. Tìm giá trị của m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:
x
3
- (m + 1)x
2
+ (m
2
+ m - 3)x - m
2
+ 3 = 0.
Bài 67. Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: (m - 3)x

4
- 2mx
2
+ 6m = 0.
Bài 68. Tìm giá trị của m để phương trình: mx
4
- 10mx
2
+ m + 8 = 0
1. Có bốn nghiệm phân biệt.
2. Có bốn nghiệm x
1
, x
2
, x
3
, x
4
(x
1
< x
2
< x
3
< x
4
) thỏa mãn điều kiện:x
4
- x
3

= x
3
- x
2
= x
2
- x
1
.
Bài 69. Cho phương trình ẩn x: x
2
- 2(m - 1)x - 3 - m = 0.
1. Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.
2. Tìm m sao cho nghiệm x
1
, x
2
của phương trình thỏa mãn điều kiện:
2 2
1 2
10x x+ ≥
.
Bài 70. Cho phương trình: (m - 1)x
2
+ 2(m -1)x - m = 0.
a. Định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b. Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 19
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

Bài 71. Cho phương trình: x
2
- (2m - 3)x + m
2
- 3m = 0.
a. Chứng minh rằng, phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.
b. Định m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn: 1 < x
1
< x
2
< 6.
Bài 72. Cho hai phương trình: x
2
+ x + a = 0 (1)
x
2
+ ax + 1 = 0 (2) Tìm các giá trị của a để hai phương trình:
a. Tương đương với nhau.
b. Có ít nhất một nghiệm chung.
Bài 73
a. Chứng minh hằng đẳng thức: (m
2
+ m - 1)
2
+ 4m

2
+ 4m = (m
2
+ m + 1)
2
b. Cho phương trình: mx
2
- (m
2
+ m + 1)x + m + 1 = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình có hai
nghiệm phân biệt khác -1.
Bài 74. Cho phương trình: (m + 2)x
2
- (2m - 1)x - 3 + m = 0.
1. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
2. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và khi đó hãy tìm giá
trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia.
Bài 75. Cho phương trình: x
2
- 4x + m + 1 = 0.
1. Định m để phương trình có nghiệm.
2. Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:

2 2
1 2
10x x+ =
.
Bài 76. Cho phương trình x
2
- 2mx + m + 2 = 0.
1. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm không âm.
2. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức:
1 2
E x x= +
theo m.
Bài 77. Cho phương trình: 3x
2
- mx + 2 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
3x
1
x
2
= 2x
2
- 2.
Bài 78. Cho phương trình: x
2
- 2(m - 1)x - m = 0.
1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.

2. Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thỏa mãn:
1 1
2
1
y x
x
= +
,
2 2
1
1
y x
x
= +
.
Bài 79. Cho phương trình: 3x
2
- 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
2 2
1 2
5
9
x x− =
.
Bài 80. Cho phương trình: x
2
- 2(m + 4)x + m
2
- 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x
1

, x
2
thỏa
mãn:
a/ A = x
1
+ x
2
- 3x
1
x
2
đạt giá trị lớn nhất.
b/
2 2
1 2 1 2
B x x x x= + −
đạt giá trị nhỏ nhất.
c/ Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 81. Cho phương trình: x
2
- 4x - (m
2
+ 3m) = 0.
1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm x
1

, x
2
với mọi m.
2. Xác định m để:
2 2
1 2 1 2
4( )x x x x+ = +
.
Bài 82. Cho phương trình: x
2
+ ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
2 2
1 2
2 1
7.
x x
x x
   
+ >
 ÷  ÷
   
Bài 83. Cho phương trình: 2x
2
+ 2(m + 2)x + m
2
+ 4m + 3 = 0.

1. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
.
2. Chứng minh rằng các nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn bất đẳng thức:
2
1 2 1 2
2
3 1
2
x x x x
 
+ + ≤ +
 ÷
 ÷
 
.
Bài 84. Cho phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phương trình có
hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b
2
.
Bài 85. Cho phương trình: ax
2

+ bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để phương trình có
hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là: kb
2
= (k + 1)
2
ac.
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 20
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

Bài 86. Cho hai phương trình: x
2
+ mx + 2 = 0 (1) x
2
+ 2x + m = 0 (2)
a. Định m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung.
b. Định m để hai phương trình tương đương.
c. Xác định m để phương trình: (x
2
+ mx +2)(x
2
+ 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 87. Cho phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 với a, b, c là các số hữu tỉ, a ≠ 0. Cho biết phương trình có
một nghiệm
1 2+
. Hãy tìm nghiệm còn lại.
Bài 88. Tìm tất cả các số nguyên k để phương trình: kx
2

- (1 - 2k)x + k - 2 = 0 luôn luôn có nghiệm số hữu tỷ.
Bài 89. Cho phương trình: 3x
2
+ 4(a - 1)x + a
2
- 4a + 1 = 0 xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
, x
2
thỏa mãn hệ thức:
1 2
1 2
1 1
2
x x
x x
+
= +
.
Bài 90. Cho hai phương trình: 2x
2
+ mx - 1 = 0 (1) mx
2
- x + 2 = 0 (2)
Với giá trị nào của m, phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệm chung.
Bài 91. Giả sử x
1
và x
2

là hai nghiệm của phương trình: 3x
2
- cx + 2c -1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức:
3 3
1 2
1 1
S
x x
= +
.
Bài 92. Xác định a để 2 phương trình: x
2
+ ax + 8 = 0 và x
2
+ x + a = 0 có nghiệm chung.
Bài 93. Cho phương trình: 2x
2
+ 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có hai nghiệm phân
biệt x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
2 1
2
x x
x x
+ =
.

Bài 94. Cho biết x
1
, x
2
là hai nghiệm phân biệt khác 0 của phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (
0; , ,a a b c R≠ ∈
). Hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:
2 2
1 2
1 1
,
x x
.
Bài 95. Biết rằng x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình: ax
2
+ bx + c = 0. Hãy viết phương trình bậc hai nhận
3 3
1 2
,x x
làm hai nghiệm.
Bài 96. Cho f(x) = x
2
- 2(m + 2)x + 6m + 1.
1. Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m.

2. Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm
lớn hơn 2.
Bài 97. Cho phương trình: x
2
- (2m + 1)x + m
2
+ m - 6.
1. Định m để phương trình có hai nghiệm đều âm.
2. Định m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
3 3
1 2
50x x− =
.
Bài 98. Cho phương trình: x
2
- 6x + m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x
1
, x
2
thỏa mãn
3 3
1 2
72x x+ =
.
Bài 99. Cho phương trình: x

2
- (m - 1)x - m
2
+ m - 2 = 0.
1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
2. Với giá trị nào của tham số m, biểu thức:
2 2
1 2
E x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 100. Cho hai phương trình: x
2
+ a
1
x + b
1
= 0 và x
2
+ a
2
x + b
2
= 0
Cho biết a
1
a
2
≥ 2(b
1
+ b

2
). Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 101. Cho phương trình: x
2
– 2(m – 1)x + m
2
– 3m + 4 = 0.
1. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
1 1
1
x x
+ =
.
2. Lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
độc lập với m.
Bài 102. Cho phương trình: (m + 2)x
2
- 2(m - 1)x + 3 - m = 0.
1. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2

thỏa mãn:
2 2
1 2 1 2
x x x x+ = +
.
2. Lập một hệ thức giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m
3. Lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là:
1 2
1 2
1 2
1 1
,
1 1
x x
X X
x x
− −
= =
+ +
.
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 21
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

Bài 103. Cho phương trình: x
2

+ (m + 1)x + m = 0.
1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
2. Với giá trị nào của tham số m, biểu thức:
2 2
1 2
E x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 104. Cho phương trình: (a - 3)x
2
- 2(a - 1)x + a - 5 = 0.
1. Giải phương trình khi a = 13.
2. Xác định a để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 105. Cho phương trình: 2x
2
+ (2m - 1)x + m - 1 = 0.
1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
2. Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.
3. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn: -1 < x
1
< x
2
< 1.

4. Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, hãy lập một hệ thức giữa x
1
, x
2
không
có m.
Bài 106. Cho phương trình: x
2
- 2(m - 1)x + m - 3 = 0.
1. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
2. Xác định m để phương trình có hai nghiệm đối nhau.
Bài 107. Cho phương trình: x
2
+ ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2

thỏa mãn: x
1
- x
2
= 5 và
3 3
1 2
35x x− =

. Tính các nghiệm đó.
Bài 108. Giả sử phương trình: ax
2
+ bx + c = 0; (a, b, c khác 0) có hai nghiệm phân biệt trong đó có đúng một
nghiệm dương x
1
thì phương trình: ct
2
+ bt + a = 0 cũng có hai nghiệm phân biệt trong đó t
1
> 0 thỏa mãn: x
1
+
t
1
≥ 2.
Bài 109. Cho phương trình: 2x
2
– (2m + 1)x + m
2
– 9m + 39 = 0.
1. Giải phương trình khi m = 9.
2. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
3. Xác định m để phương trình có hai nghiệm mà một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại. Tìm các nghiệm
đó.
Bài 110. Cho phương trình: x
2
+ ax + b = 0. Xác định a và b để phương trình có hai nghiệm là a và b.
Bài 111. Cho f(x) = (4m - 3)x
2

- 3(m + 1)x + 2(m + 1).
1. Khi m = 1, tìm nghiệm của phương trình f(x) = 0.
2. Xác định m để f(x) viết được dưới dạng một bình phương.
3. Giả sử phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
. Lập một hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ
thuộc vào m.
Bài 112. Giả sử phương trình: x
2
- 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
. Xác định m để biểu
thức:
2 2
1 2 1 2
10E x x x x= + +
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính min E.
Bài 113. Cho phương trình: x
2
- 2(m + 1)x + 4m = 0
a. Chứng minh rằng với mọi m, phương trình luôn luôn có nghiệm. Tìm m để phương trình có nghiệm
kép. Tìm nghiệm kép đó.

b. Xác định m để phương trình có một nghiệm x = 4. Tính nghiệm còn lại.
Bài 114. Cho phương trình: x
2
- mx + m -1 = 0. Có 2 nghiệm x
1
, x
2
. Với giá trị nào của m, biểu thức:
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2(1 )
x x
R
x x x x
+
=
+ + +
đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 115. Cho a là số thực khác -1. Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn các hệ
thức:
a. 4x
1
x
2

+ 4 = 5(x
1
+ x
2
) (1)
b.
( ) ( )
1 2
1
1 1
1
x x
a
− − =
+
(2)
Bài 116. Cho phương trình: x
2
+ 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0
a. Với giá trị nào của a, phương trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.
b. Xác định a để phương trình có hai nghiêm phân biệt lớn hơn -1.
Bài 117. Cho phương trình: x
2
- ax + a + 1 = 0 có hai nghiệm là x
1
và x
2
.
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 22

Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

a. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức:
2 2
1 2
2 2
1 2 1 2
3 3 3x x
M
x x x x
+ −
=
+
.
b. Tìm giá trị của a để:
2 2
1 2
P x x= +
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 118. Cho phương trình: x
2
- (2m + 1)x + m
2
+ m - 1= 0.
a. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
b. Chứng minh rằng có một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài 119. Cho phương trình: ax
2
+ (ab + 1)x + b = 0.
a. Chứng minh rằng với mọi a, b phương trình đã cho đều có nghiệm.

b. Muốn cho phương trình đã cho có nghiệm duy nhất bằng 1/2 thì a và b phải bằng bao nhiêu?
Bài 120. Cho phương trình: x
2
- 2mx - 2m - 1 = 0.
a. Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b. Tìm biểu thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
c. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
1 2
2 1
5
2
x x
x x
+ = −
.
Bài 121. Cho phương trình: (m - 1)x
2
- 2(m + 1)x + m = 0.

a. Giải và biện luận phương trình theo m.
b. Khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
:
• Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
độc lập với m.
• Tìm m sao cho:
1 2
2x x− ≥
.
Bài 122. Cho phương trình : x
2
- 2x - (m -1)(m - 3) = 0.
a. Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b. Xác định m để phương trình có hai nghiệm không âm.
c. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm. Xác định m để biểu thức:
1 2
( 1)E x x= +
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 123. Cho phương trình: x
2

+ 2(m + 2)x - 4m - 12 = 0.
a. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b. Xác định m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
2
1 2
x x=
.
Bài 124. Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình: x
2
- 3x + a = 0
Gọi t
1
, t
2
là hai nghiệm của phương trình: t
2
- 12t + b = 0
Cho biết:
1 2 1
2 1 2
x x t
x t t

= =
. Tính a và b.
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 23
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

Hàm số và đồ thị
Kiến thức cơ bản
Hàm số
a. Khái niệm hàm số
- Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định
được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số tương ứng của x và x được gọi là biến
số
- Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
b. Đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn phương
trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
- Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) < f(x
2
) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
- Nếu x
1

< x
2
mà f(x
1
) > f(x
2
) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
* Tổng quát
+
2 1
1 2 1 2
2 1
( ) ( )
0, , ,
f x f x
x x D x x
x x
−
> ∀ ∈ ≠ ⇒
−
Hàm số f(x) đồng biến trên D
+
2 1
1 2 1 2
2 1
( ) ( )
0, , ,
f x f x
x x D x x
x x

−
< ∀ ∈ ≠ ⇒
−
Hàm số f(x) nghịch biến trên D
Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trước và a
≠
0
b. Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a
≠
0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a
≠
0) là một đường thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đường thẳng y = ax, nếu b
≠
0, trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a
≠
0)
Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a
≠
0) và (d’): y = a’x + b’ (a’
≠
0). Khi đó
+
'
// '
'
a a
d d
b b
=

⇔

≠

+
{ }
' ' 'd d A a a∩ = ⇔ ≠
+
'
'
'
a a
d d
b b
=


≡ ⇔

=

+
' . ' 1d d a a⊥ ⇔ = −
e. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a
≠
0)
• Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm
của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương
• Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phương trình y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax +b
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 24
Kiến thức tổng hợp ôn thi vào Lớp 10

f. Một số phương trình đường thẳng
- Đường thẳng đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
)có hệ số góc k: y = k(x - x
0
) + y
0
- Đường thẳng đi qua điểm A(x

0
, 0) và B(0; y
0
) với x
0
.y
0

≠
0 là
0 0
1
x y
x y
+ =
Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax
2
(a
≠
0)
b. Tính chất
- Hàm số y = ax
2
(a
≠
0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0

c. Đồ thị của hàm số y = ax
2
(a
≠
0)
- Đồ thị hàm số y = ax
2
(a
≠
0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dười trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
Kiến thức bổ xung
Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y= − + −
- Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức
;

2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
+ +
= =
Quan hệ giữa Parabol y = ax
2
(a
≠
0) và đường thẳng y = mx + n (m
≠
0)
Cho Parabol (P): y = ax
2
(a
≠
0) và đường thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
- Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình
2
y ax
y mx n

=

= +

- Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình
ax

2
= mx + n (*)
- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Một số phép biến đổi đồ thị
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
- Đồ thị (C
1
): y = f(x) + b được suy ra bằng cách tịnh tiếc (C) dọc theo trục tung b đơn vị
- Đồ thị (C
2
): y = f(x + a) được suy ra bằng cách tịnh tiến (C) dọc theo trục hoành –a đơn vị
- Đồ thị (C
3
): y = f(|x|) gồm hai phần
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy, bỏ phần (C) nằm bên trái Oy
+ Lấy đối xứng phần (C) nằm bên phải Oy qua Oy
- Đồ thị (C
4
): y = |f(x)| gồm hai phần
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên Ox, bỏ phần (C) nằm bên dưới Ox
+ Lấy đối xứng phần (C) nằm bên treen Ox qua Ox
Hàm số chẵn, hàm số lẻ
d. Hàm số chẵn, Hàm số lẻ
- Hàm số y = f(x) được gọi là chẵn nếu
+
x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈
+ f(-x) = f(x)

x D
∀ ∈
Nguyễn Hải Hà 0983325739
Trang 25