Tài liệu bồi dưỡng hsg thi giải toán trên máy tính casio thcs

TI LIU BI DNG HSG THI GII TON TRấN MY TNH CASIO - THCS
GII TON TRấN MY TNH CASIO - THCS
PHN: HNG DN S DNG MY TNH CM TAY
1. Cỏc loi phớm trờn mỏy tớnh:
1.1 Phớm chung:
Phớm Chc Nng
ON
M mỏy
SHIFT

OFF
Tt mỏy
<

>
Cho phộp di chuyn con tr n v trớ d liu hoc phộp
toỏn cn sa
0

1
. . .
9
Nhp tng s
.
Nhp du ngn cỏch phn nguyờn vi phn thp phõn
ca s thp phõn.
+

-

x

ữ
Cỏc phộp tớnh cng, tr, nhõn, chia.
AC
Xoỏ ht
DEL
Xoỏ kớ t va nhp.
( )

Du tr ca s õm.
CLR
Xoỏ mn hỡnh.
1.2 Phớm Nh:
Phớm Chc Nng
RCL
Gi s ghi trong ụ nh
STO
Gỏn (Ghi) s vo ụ nh
A

B

C

D
E

F

X

Y

M
Cỏc ụ nh, mi ụ nh ny ch nh c mt s riờng,
Riờng ụ nh M thờm chc nng nh do M+; M- gỏn cho
M +

M
Cng thờm vo s nh M hoc tr bt ra s nh M.
1.3 Phớm c BIt:
Phớm Chc Nng
SHIFT
Chuyn sang kờnh ch Vng.
ALPHA
Chuyn sang kờnh ch

MODE
n nh ngay t u Kiu, Trng thỏi, Loi hỡnh tớnh
toỏn, Loi n v o, Dng s biu din kt qu . . . cn
dựng.
(
;
)

Mở ; đóng ngoặc.
EXP
Nhân với luỹ thừa nguyên của 10

Nhp s

,,,o

,,,
suuu
o
Nhp hoc c ; phỳt; giõy
DRG >
Chuyn n v gia , raian, grad
Rnd
Lm trũn giỏ tr.
nCr
Tớnh t hp chp r ca n
Nguyn c Tun - THCS Qung ụng
1
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
nPr
Tính chỉnh hợp chập r của n
1.4 Phím Hàm :
Phím Chức Năng
sin

cos

tan

TÝnh TSLG: Sin ; cosin; tang
1
sin
−

1
cos
−

1
tan
−
TÝnh sè ®o cña gãc khi biÕt 1 TSLG:Sin; cosin; tang.
log

ln
Lôgarit thập phân, Lôgarit tự nhiên.
x
e
.
10
e
Hàm mũ cơ số e, cơ số 10
2
x

3
x
Bình phương , lập phương.

3


n

Căn bậc hai, căn bậc ba, căn bậc n.
1
x
−
Số nghịch đảo
∧
Số mũ.
!x
Giai thừa
%
Phẩn trăm
Abs
Giá trị tuyệt đối
/ab c
;
/d c
Nhập hoặc đọc phân số, hỗn số ;
Đổi phân số ra số thập phân, hỗn số.
CALC
Tính giá trị của hàm số.
/d dx
Tính giá trị đạo hàm
.
Dấu ngăn cách giữa hàm số và đối số hoặc đối số và các cận.
dx
∫
Tính tích phân.
ENG
Chuyển sang dạng a *
n

10
với n giảm.
ENG
suuuuu
Chuyển sang dạng a *
n
10
với n tăng.
Pol(
Đổi toạ độ đề các ra toạ độ cực
Rec(
Đổi toạ độ cực ra toạ độ đề các
Ran #
Nhập số ngẫu nhiên
1.5 Phím Thống Kê:
Phím Chức Năng
DT
Nhập dữ liệu
;
Dấu ngăn cách giữ số liệu và tần số.
S SUM−
Gọi
2
x
∑
;
x
∑
; n
S VAR−

Gäi
x
;
n
δ
n
Tổng tần số
x
;
n
δ

Sè trung b×nh; §é lÖch chuÈn.
x
∑
Tæng c¸c sè liÖu
2
x
∑
Tổng bình phương các số liệu.
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
2
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
LÍ THUYẾT - DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
PHẦN 1: DẠNG TOÁN VỀ PHÂN SỐ - SỐ THẬP PHÂN:
I. LÍ THUYẾT:
1. Công thức đổi STPVHTH (số thập phân vô hạn tuần hoàn) ra phân số:

( ) ( )
( )

{
{
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2

, ,
99 900 0
n
m n m n
n m
c c c
A bb b c c c A bb b c c c= +
Ví dụ 1:
Đổi các số TPVHTH sau ra phân số:
+)
( )
6 2
0, 6
9 3
= =
+)
( )
231 77
0, 231
999 333
= =
+)
( )
18 7
0,3 18 0,3

990 22
= + =
+)
( )
345
6,12 345 6,12
99900
= +
Ví dụ 2:
Nếu F = 0,4818181 là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kỳ là 81.
Khi F được viết lại dưới dạng phân số thì mẫu lớn hơn tử là bao nhiêu?
Giải:
Ta có: F = 0,4818181 =
( )
81 53
0,4 81 0,4
990 110
= + =
Vậy khi đó mẫu số lớn hơn tử là: 110 - 53 = 57
Ví dụ 3: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321).
ĐS :
16650
52501
Giải:
Ta đặt 3,15(321) = a
Hay : 100.000 a = 315321,(321) (1)
100 a = 315,(321) (2)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta có : 99900 a = 315006
Vậy
315006 52501

99900 16650
a = =
Đáp số:
52501
16650

Khi thực hành ta chỉ thực hiện phép tính như sau cho nhanh:
315321 315 315006 52501
99900 99900 16650
−
= =
 Chú ý: Khi thực hiện tính toán ta cần chú ý các phân số nào đổi ra được số thập
phân ta nên nhập số thập phân cho nhanh.
 Ví dụ: 4/5 = 0,8
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
I. Tính giá trị của biểu thức:
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức:
a)
( )
( )
4 2 4
0,8: 1,25 1,08 :
4
5 25 7
1,2.0,5 :
1
1 2
5
0,64
6, 5 3 .2

25
4 17
A
   
− −
 ÷  ÷
   
= + +
 
−
−
 ÷
 
Đáp số: A =
53
27
−
b) B =
( )
( )
( )
( )
21
4
:
3
2
15,2557,28:84,6
481,3306,34
2,18,05,2

1,02,0:3
:26 +






−
−
+
+
− x
x
B =
26
1
27
−
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
3
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
c) C =
[ ]
3
4
:)
3
1
2

5
2
()
25
33
:
3
1
3(:)2(,0)5(,0 xx −
C =
293
450
−
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức:
a)
1 3 3 1 3 4
:
2 4 7 3 7 5
7 3 2 3 5 3
:
8 5 9 5 6 4
A
 
    
+ − +
 ÷  ÷ ÷
 
    
 
=

 
     
+ + −
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
b)
2 0 3 0 2 0 3 0
3 0 3 0
sin 35 .cos 20 15 40 . 25
3
sin 42 : 0,5cot 20
4
tg tg
B
g
+
=
 Đáp số: A = . . . . . . . . . . . Đáp số: B = . . . . . . . . . .
Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức(chỉ ghi kết quả):
a)
A 321930 291945 2171954 3041975= + + +

b)
2 2 2 2
(x 5y)(x 5y) 5x y 5x y
B
x y x 5xy x 5xy
 

+ − − +
= +
 ÷
+ + −
 
Với x = 0,987654321; y = 0,123456789
Đáp số: A = Đáp số: B =
Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức:
a)
1 3 3 1 3 4
:
2 4 7 3 7 5
7 3 2 3 5 3
:
8 5 9 5 6 4
A
 
    
+ − +
 ÷  ÷ ÷
 
    
 
=
 
     
+ + −
 ÷  ÷  ÷
 
     

 
b)
2 0 3 0 2 0 3 0
3 0 3 0
sin 35 .cos 20 15 40 . 25
3
sin 42 : 0,5cot 20
4
tg tg
B
g
+
=
Đáp số: A = ? Đáp số: B =
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1. Bài 1:

( ) ( )
− + −
=
2 2
1986 1992 1986 3972 3 .1987
A
1983.1985.1988.1989

( )
 
− +
 
=

 
+ −
 ÷
 
1
7 6,35 :6,5 9,899 .
12,8
B
1 1
1,2 :36 1 : 0,25 1,8333 .1
5 4
A =1987
5
12
B =
a) Tính 2,5% của
 
−
 ÷
 
7 5 2
85 83 :2
30 18 3
0,04
b) Tính 7,5% của
7 17 2
8 6 : 2
55 110 3
2 3 7
:1

5 20 8
 
−
 ÷
 
 
−
 ÷
 
a)
11
24
b)
9
8
2. Bài 2:
a) Cho bốn số A = [(2
3
)
2
]
3
, B = [(3
2
)
3
]
2
; C =
3

2
3
2
; D =
2
3
2
3
.
Hãy so sánh A với B; C với D
b) E = 0,3050505… là số thập phân vô hạn tuần hoàn được viết dưới dạng phân số
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
4
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
tối giản. Tổng của tử và mẫu là (đánh dấu đáp số đúng)
A. 464 B. 446 C. 644 D. 646 E. 664 G. 466
3. Bài 3: a) Tính giá trị của biểu thức:
3 2
1 3 4 6 7 9
21 : 3 . 1
3 4 5 7 8 11
5 2 8 8 11 12
3 . 4 :
6 5 13 9 12 15
A
 
     
+ − +
 
 ÷  ÷  ÷

     
 
 
=
 
     
+ + −
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
KQ: A ≈ 2.526141499
4. Bài 4: Tính giá trị của các biểu thức sau
a) A =
( )
( )
( )
( )
21
4
:
3
2
15,2557,28:84,6
481,3306,34
2,18,05,2
1,02,0:3
:26 +







−
−
+
+
− x
x
b) B = (649
2
+ 13x180
2
)
2
- 13x(2x649x180)
2
c) D =
( )
11
90
:
)5(8,0
3
1
2
1
11
7

14:)62(,143,0
+
−+

d) C =
7
1
6
2
5
3
4
4
3
5
2
6
7 +−+−+−
(Chính xác đến 6 chữ số thập phân)
5. Bài 5: Tính giá trị của biểu thức
a) A =
( )
5
4
:5,02,1
17
2
2.
4
1

3
9
5
6
7
4
:
25
2
08,1
25
1
64,0
25,1
5
4
:8,0
x+






−







−
+
−






−
b) B =
80808080
91919191
343
1
49
1
7
1
1
27
2
9
2
3
2
2
:
343

4
49
4
7
4
4
27
1
9
1
3
1
1
182 xx
−+−
+++
−+−
+++
c) C =
[ ]
3
4
:)
3
1
2
5
2
()
25

33
:
3
1
3(:)2(,0)5(,0 xx −
d) S =
)2008(00,0
5
)2008(0,0
5
)2008(,0
5
++

6. Bài 6: (Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm 2005-2006- Hải Dương)
Cho
5312,1=
α
tg
. Tính
ααααα
ααααα
sin2sin3sincoscos
cos2cossincos3sin
323
233
+−+
−+−
=A
Trả lời: A = -1,873918408

Cho hai biểu thức P =
1003020065
142431199079
23
2
−+−
++
xxx
xx
; Q =
5
2006
2
−
+
+
+
x
c
x
bax
1) Xác định a, b, c để P = Q với mọi x ≠ 5. 2) Tính giá trị của P khi
2006
2005
=x
.
Trả lời: 1) a = 3 ; b = 2005 ; c = 76 (4 điểm)
2) P = - 17,99713 ; khi
2006
2005

=x
(4 điểm)
7. Bài 7: Thực hiện phép tính.
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
5
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
a)
082008200820
072007200720
.
200.197

17.1414.1111.8
399
4

63
4
35
4
15
4
3333
2222















++++
++++
=A
.

109 4.33.22.1
++++=
B
c
d)
0020072008,0
2008
020072008,0
2007
20072008,0
2006
++=
D
8. Bài 8: Tính giá trị của biểu thức
a) A =
( )
5

4
:5,02,1
17
2
2.
4
1
3
9
5
6
7
4
:
25
2
08,1
25
1
64,0
25,1
5
4
:8,0
x+







−






−
+
−






−
b) B =
80808080
91919191
343
1
49
1
7
1
1
27
2

9
2
3
2
2
:
343
4
49
4
7
4
4
27
1
9
1
3
1
1
182 xx
−+−
+++
−+−
+++
c) C =
[ ]
3
4
:)

3
1
2
5
2
()
25
33
:
3
1
3(:)2(,0)5(,0 xx −
9. Bài 9: Tính giá trị của các biểu thức sau
a) A =
( )
( )
( )
( )
21
4
:
3
2
15,2557,28:84,6
481,3306,34
2,18,05,2
1,02,0:3
:26 +







−
−
+
+
− x
x
b) B = (649
2
+ 13x180
2
)
2
- 13x(2x649x180)
2
c) D =
( )
11
90
:
)5(8,0
3
1
2
1
11
7

14:)62(,143,0
+
−+
d) C =
7
1
6
2
5
3
4
4
3
5
2
6
7 +−+−+−
( Chính xác đến 6 chữ số thập phân)
11. Bài 11: THI KHU VỰC GIẢI MÁY TÍNH TRÊN MÁY TÍNH CASIO 2007
a) Tính giá trị của biểu thức lấy kết quả với 2 chữ số ở phần thập phân :

N= 321930+ 291945+ 2171954+ 3041975
b) Tính giá trị của biểu thức M với α = 25
0
30', β = 57
o
30’

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2

M= 1+tgα 1+cotg β + 1-sin α 1-cos β . 1-sin 1-cos β
α
 
 
(Kết quả lấy với 4 chữ số thập phân)
Kết quả: a) N = 567,87 1 điểm
b) M = 1,7548 2 điểm
12. Bài 12: Tính tổng các phân số sau:
a)
49.47.45
36

7.5.3
36
5.3.1
36
+++=
A
.
b)
.
10000
1
1
16
1
1.
9
1
1.

3
1
1






−






−






−







−=
B
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
6
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
c)
  
n
C 333 333 3333333333
+++++=
.
II. Tính giá trị biểu thức có điều kiện:
1. Bài 1:
Tính giá trị của biểu thức:
( )
( )
( )
2 3 2 2
2 2 4
. 3 5 4 2 . 4 2 6
. 5 7 8
x y z x y z y z
A
x x y z
− + + − + + −
=
+ − + +
tại
9
4

x =
;
7
2
y =
;
4z =
2. Bài 2:
a) Tính gần đúng giá trị của biểu thức M = a
4
+ b
4
+ c
4

nếu a + b + c = 3, ab = -2, b
2
+ c
2
= 1
b) Cho
( )
= < <
0 0
cos 0,8157 0 90x x
. Tính x theo độ , phút , giây và cotg x ( chính xác đến
4 chữ số thập phân ) ?
r
1
= r

2
=
x = cotg x =
Bài tập áp dụng:
1. Bài 1: 1) Tính giá trị của biểu thức: A(x) = 3x
5
-2x
4
+2x
2
-7x-3
tại x
1
=1,234 x
2
=1,345 x
3
=1,456 x
4
=1,567
2) Tìm nghiệm gần đúng của các phương trình:
a/
02)12(3
2
=−−+ xx
b/
02552
23
=−−+ xxx
Giải:

1) Ghi vào màn hình:
37223
245
−−+− XXXX
ấn =
- Gán vào ô nhớ: 1,234
SHIFT STO X
, di chuyển con trỏ lên dòng biểu thức rồi ấn =
được A(x
1
) (-4,645914508)
Tương tự, gán x
2
, x
3
, x
4
ta có kết quả”
A(x
2
)= -2,137267098
A(x
3
)= 1,689968629
A(x
4
)= 7,227458245
2) a/ Gọi chương trình:
MODE MODE 1 2→
Nhập hệ số:

( )
3 2 1 2= − = − =

03105235,1;791906037,0(
21
−≈≈ xx
)
b/ Gọi chương trình:
MODE MODE 1 3→
Nhập hệ số:
2 5 5 2= = − = − =
(
710424116,0;407609872.1;1
321
−≈−≈= xxx
)
2. Bài 2:
a/ Tìm số dư khi chia đa thức
743
24
+−− xxx
cho x-2
b/ Cho hai đa thức:
P(x) = x
4
+5x
3
-4x
2
+3x+m

Q(x) = x
4
+4x
3
-3x
2
+2x+n
Tìm giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x-3
Giải:
a/ Thay x = 2 vào biểu thức x
4
- 3x
2
- 4x + 7
⇒
Kết quả là số dư
Ghi vào màn hình: X
4
- 3X
2
+ 4X + 7
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
7
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
Gán:
2

Shift

STO

X
di chuyển con trỏ lên dòng biểu thức, ấn
=
Kết quả: 3
b/ Để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x-3 thì x=3 là nghiệm của P(x) và Q(x)
Ghi vào màn hình: X
4
+5X
3
-4X
2
+3X ấn
=
-Gán:
3

Shift

STO

X
, di chuyển con trỏ lên dòng biểu thức và ấn
=
được kết quả 189
⇒
m = -189
3. Bài 3: (Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm 2005-2006 - Cẩm Giàng)
a) Cho X =
3

3
33
538
57
201264538
+×
−+−
; Y =
34
3
43
3
812
992
23
29
−
−
+
+
−
Tính X.Y chính xác đến 0,001 ?
b) Tính
C =
)2005(00,0
5
)2005(0,0
5
)2005(,0
5

++
4. Bài 4:
a) Tính GTBT: C =
xyzzyyzxzx
xyzzxyzxyx
−−+
−+−
3222
422222
432
2745
Với x= 0,52, y =1,23, z = 2,123
C = 0.041682
b) Tính GTBT:C =
3222
422222
432
745
zyyzxzx
zxyzxyx
−+
+−
Với x = 0,252, y = 3,23, z = 0,123
C = 0.276195
5. Bài 5:
a) Tính : D = 0,3(4) + 1,(62) : 14
1 1
7 90
2 3
:

11 0,8(5) 11
+
−
b) Cho biết
13,11; 11,05; 20,04a b c
= = =
. Tính giá trị của biểu thức M biết rằng:
M = (a
2
- bc)
2
+ (b
2
- ca)
2
+ (c
2
- ab)
2
+ (ab + bc + ca)
6. Bài 6:
a) Tính giá trị của biểu thức M =
− +
2
1,25
11
z
x y
chính xác đến 0,0001 với:

=
 
− −
 ÷
+
 
1
6400
0,21 1 0,015
6400 55000
x


= + + +3 2 3 3 3y

 
+
 ÷
 
=
× ×
+
2
1 3
1,72 :3
4 8
3 150
0,94
5
5

3:
4
7
9
z
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
8
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
d) Tính gần đúng giá trị của biểu thức : N =
+ +
−
−
+
4
3
3
3
13
2006 25 2005
3 4
2006
2005 4
1 2

Ghi kết quả vào ô vuông
m = A = B =
7. Bài 7:
Cho
ϕ
=

20
cot
21
. Tính
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
=
−
2
2cos cos
3
sin 3sin2
2
B
đúng đến 7 chữ số thập phân .
a) Tính giá trị biểu thức D với x = 3,33 ( chính xác đến chữ số thập phân thứ tư )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
3 2 5 6 7 12 9 20 11 30
D
x x x x x x x x x x x x
= + + + + +
+ + + + + + + + + + +

Tính và ghi kết quả vào ô vuông .
A = B = C = D =
8. Bài 8:

b) Tính giá trị biểu thức D với x = 8,157
2 1 1
1 1 1
x x x x
D x
x x x x x
  
+ +
= − −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
− + + +
  

Tính và ghi kết quả vào ô vuông .
A = B = r = D =
9. Bài 9: a) Tính giá trị biểu thức
   
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
− + − −
   
1 2
1 :
1
1 1
x x
D

x
x x x x x
với
=
9
4
x

b) Tính gần đúng giá trị của biểu thức : N =
+ +
−
−
+
4
3
3
3
13
2006 25 2005
3 4
2006
2005 4
1 2

10. Bài 10:
a) Tính
=
9
8
7

6
5
4
3
9 8 7 6 5 4 3 2A
.
b) Tính C = 5322,666744 : 5,333332 + 17443,478 : 17,3913
11. Bài 11:
a. Tính
( )
 
× + × − × +
 ÷
 
=
+ × +
2
4
22 4
10,38 7,12 10,38 1,25 1,25 32,025
35 7
9
11,81 8,19 0,02 : 13
11,25
A
b. Tính C =
2 2 2
0,(1998) 0,0(1998) 0,00(1998)
+ +
12. Bài 12: a) Tính

= + − + − ×
3 3
2007 243 108 5 243 108 5 72364A
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
9
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
b) Cho
α
=
3
sin
5
.Tính
+ +
=
+
2 2
2
2cos 5sin2 3tan
5tan 2 6 t2
x x x
B
x co x
13. Bài 13: a) Tính
3
4
8
9
2 3 4 8 9A = + + + + +L
b) Cho

α
=tan 2,324
. Tính
− +
=
− +
3 3
3 2
8cos 2sin tan3
2cos sin sin
x x x
B
x x x
c) Tính giá trị biểu thức:
+ +
= + +
+ + −
−
3
2 1 1
1 1
1
x x
C
x x x
x
với x = 9,25167
Tính và ghi kết quả vào ô vuông .
14. Bài 14: Cho A =
20 202020 ++++

; B =
3
3
3
3
24 242424 ++++
Mỗi số đều có 2005 dấu căn. Tìm
[ ]
BA +
? ( Trong đó
[ ]
BA +
là phần nguyên của A+B )
III. Tìm x biết:
1 . Ví dụ 1: Tìm x biết:
( )
2,3 5: 6,25 .7
4 6 1
5 : :1,3 8,4. . 6 1
7 7 8.0,0125 6,9 14
x
 
+ 
 
+ − =
 
 
+
 
 

 
 Đáp số: x = -20,38420
2. Ví dụ 2: Tính giá trị của x từ phương trình sau

3 4 4 1
0,5 1 1,25 1,8 3
7 5 7 2 3
5,2 2,5
3 1 3
4
15,2 3,15 2 4 1,5 0,8
4 2 4
:
:
:
x× ×
× × ×
 
   
− − +
 ÷  ÷
 
 
   
 
= −
 ÷
 
 
− +

 ÷
 
Đáp số: x = −903,4765135
3. Ví dụ 3: Tìm x biết:
a)
1 3 1
4 : 0,003 0,3 1
1
2 20 2
: 62 17,81:0,0137 1301
1 1 2 1
20
3 2,65 4 : 1,88 2
20 5 55 8
x x
x x
 
   
− −
 ÷  ÷
 
   
 
− + =
   
 
− +
 ÷  ÷
 
   

 
b)






−+






−−
=
−
25,3
2
1
58,02,3
5
1
1
2
1
2:
66
5

11
2
44
13
7,14:51,4825,02,15
x
x
x
x
4. Ví dụ 4: Tìm nghiệm của phương trình viết dưới dạng phân số:

4 1 2
4
1 8
2 1
1
9
3
2 4
4
2 1
4 1
1 2
7
5
1
8
x
+ = +
 

+ +
 ÷
 
+
 ÷
 ÷
 ÷
+ − +
 ÷
 ÷
 ÷
+ +
 ÷
 
+
 ÷
 
Đáp số: Nghiệm của phương trình viết dưới dạng phân số:
70847109 1389159
64004388 1254988
x = =
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
10
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
4. Ví dụ 4: 4
Bài tập áp dụng:
Số thập phân vô hạn tuần hoàn:
Ví dụ 1: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hồn 3,15(321).
Giải:
ĐS :

16650
52501
Ví dụ 2: Viết các bước chứng tỏ :
A =
0020072007,0
223
020072007,0
223
20072007,0
223
++
là một số tự nhiên và tính giá trị của A
Giải:
Đặt A
1
= 0,20072007
⇒
10000 A
1
= 2007,20072007 = 2007 + A
1

⇒
9999 A
1
= 2007
⇒
A
1
=

2007
9999
Tương tự, A
2
=
1
1
A ;
10

3 1
1
A A
100
=

⇒

1 2 3
1 1 1 9999 99990 999900
A 223. 223.
A A A 2007 2007 2007
 
 
= + + = + +
 ÷
 ÷
 
 

111
223.9999. 123321
2007
= =
Tính trên máy Vậy A = 123321 là một số tự nhiên
Ví dụ 3: Cho số tự nhiên A =
2 2 2
0,19981998 0,019981998 0,0019981998
+ +
.
Số nào sau đây là ước nguyên tố của số đã cho: 2; 3; 5; 7 ; 11.
Giải:
A=1111=11.101
PHẦN 2: DẠNG TOÁN TÌM SỐ VÀ CHỮ SỐ
I. DẠNG TÌM CHỮ SỐ:
Bài 1: a) Tìm chữ số hàng đơn vị của số:
2006
103N
=
b) Tìm chữ số hàng trăm của số:
2007
29P
=
Giải:
a) Ta có:

1 2
3
4
5

103 3(mod10); 103 9(mod10);
103 3 9 27 7(mod10);
103 21 1(mod10);
103 3(mod10);
≡ ≡
≡ × = ≡
≡ ≡
≡
Như vậy các luỹ thừa của 103 có chữ số tận cùng liên tiếp là: 3, 9, 7, 1 (chu kỳ 4).
2006 2(mod 4)
≡
, nên
2006
103
có chữ số hàng đơn vị là 9.
b) Tìm chữ số hàng trăm của số:
2007
29P =
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
11
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS

1 2
3 4
5 6
29 29( 1000); 29 841(mod1000);
29 389(mod1000);29 281(mod1000);
29 149(mod1000);29 321(mod1000);
Mod≡ ≡
≡ ≡

≡ ≡

( )
2
10 5 2
20 2
40 80
29 29 149 201(mod1000);
29 201 401(mod1000);
29 801(mod1000);29 601(mod1000);
= ≡ ≡
≡ ≡
≡ ≡

100 20 80
29 29 29 401 601 1(mod1000);= × ≡ × ≡

( )
20
2000 100 20
2007 2000 6 1
29 29 1 1(mod1000);
29 29 29 29 1 321 29(mod1000)
309(mod1000);
= ≡ ≡
= × × ≡ × ×
=
Chữ số hàng trăm của số:
2007
29P =

là 3
Bài 2: Từ 10000 đến 99999 có bao nhiêu số chia hếùt cho 3 mà không chia hết cho 5.
Tính tổng tất cả các số này
Giải:
* Các số chia hết cho 3 trong khoảng từ 10000 đến 99999 là10002; 10005 ; . . . . . ;
99999.
Tất cả có : (99999 – 10002) : 3 + 1 = 30000 số
Tổng của tất cả các số này là : 10002 + . . . . . + 99999 = 1650015000
* Các số vừa chia hết cho 3 và cho 5 trong khoảng từ 10000 đến 99999 là 10005 ;
10020 ; . . . . .; 99990
Tất cả có : (99990 – 10005) : 15 + 1 = 6000 số
Tổng của tất cả các số này là : 10005 + . . . . . + 99990 = 329985000
Vậy từ 10000 đến 99999 có 30000 – 6000 = 24000 số chia hết cho 3 mà không chia hết
cho 5
Tổng của tất cả các số này là :1650015000 – 329985000 = 1320030000.
Bài 3: Tìm 2 số tự nhiên nhỏ nhất thỏa:
4
( )ag a g
= ∗∗∗∗∗

Trong đú ***** là những chữ số khụng ấn định điều kiện
Giải:
ĐS : 45 ; 46

( )
4
*****ag a g=
gồm 7 chữ số nên ,ta có :
999.999.9)(000.000.1
4

≤≤
ag
5731
<<⇒
ag
.Dùng phương pháp lặp để tính ta có :
Aán 31 SHIFT STO A
Ghi vào màn hình : A = A + 1 : A ^ 4 ấn = . . . = để dò
Ta thấy A = 45 và 46 thoả điều kiện bài toán
ĐS : 45 ; 46
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
12
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
 Hay từ
31 57ag< <
ta lí luận tiếp
( )
4
*****ag a g=
⇒
g chỉ có thể là 0 , 1 , 5 ,6 do đó ta chỉ dò trên các số 31, 35, 36, 40, 41, 45, 46, 50,
51,55, 56
ĐS : 45 ; 46
 Dùng toán lí luận (lời giải của thí sinh Lê Anh Vũ – Học Sinh Trường Thực Nghiệm
Giáo Dục Phổ Thông Tây Ninh), ta có
5731
<<
ag

53

<<⇒
a
5999999)(3000000
4
≤≤⇒
ag
5041
<<⇔
ag

4
=⇒
a

Kết hợp với g chỉ có thể là 0 , 1 , 5 ,6 nên có ngay 45 ; 46 là kết quả
ĐS : 45 ; 46
Bài 4:
a) Tìm chữ số thập phân thứ
2007
13
sau dấu phẩy trong phép chia
250000 19
÷
b) Khi ta chia 1 cho 49. Chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phẩy là chữ số nào?
c) Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy của phép chia 5 cho 61
d) Chữ số thập phân thứ 2002 sau dấu phẩy là số nào khi chia 1 cho 17
Giải:
a) Ta có
250000 17
13157

19 19
= +

Vậy chỉ cần tìm chữ số thứ
2007
13
sau dấu phẩy trong phép chia 17 ÷ 19
Ấn 17 ÷ 19 = 0,894736842 ta được 8 số thập phần đầu tiên sau dấu phẩy là:
89473684 (không lấy số thập phân cuối cùng vì có thể máy đã làm tròn )
Ta tính tiếp 17 – 19 × 89473684 EXP – 8 = 4 ×
8
10
−
Tính tiếp 4 ×
8
10
−
÷ 19 = 2.105263158 ×
9
10
−
Ta được 9 số tiếp theo là : 210526315
4 ×
8
10
−
– 19 × 210526315 ×
17
10
−

= 1.5 ×
16
10
−
1,5 ×
16
10
−
÷ 19 = 7.894736842 ×
18
10
−
Suy ra 9 số tiếp theo nữa là : 789473684
Vậy :
18
17
0,89473684210526315789473684
19
=
1 4 4 44 2 4 4 4 43

Kết luận
17
19
là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì là 18 chữ số .
Để thỏa đề bài , ta cần tìm số dư khi chia
2007
13
cho 18
Số dư khi chia

2007
13
cho 18 chính là số có thứ tự trong chu kì gồm 18 chữ số thập
phân.
Ta có :
)18(mod11)13(13
)18(mod113
66966932007
3
=≡=
≡
Kết quả số dư là 1 , suy ra số cần tìm là số đứng ở vị trí đầu tiên trong chu
kì gồm 18 chữ số thập phân .
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
13
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
Kết quả : số 8
b) (Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm 2004-2005- Hải Dương)
Khi ta chia 1 cho 49. Chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phẩy là chữ số nào?
Giải:
1 chia cho 49 ta được số thập phân vô hạn tuần hoàn chu kỳ gồm 42 chữ số 0,
(020408163265306122448979591836734693877551) vậy chữ số 2005 ứng với chữ số
dư khi chia 2005 cho 42; 2005 = 47.42+31 do đó chữ số 2005 ứng với chữ số thứ 31 là số
c) Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy của phép chia 5 cho 61
d) Chữ số thập phân thứ 2002 sau dấu phẩy là số nào khi chia 1 cho 17
Giải:
Bài 5:
a) Tìm hai chữ số tận cùng của 208
1994
b) Cho biết 3 chữ số cuối cùng bên phải của

3411
7
. ĐS : 743
c) Cho biết 4 chữ số cuối cùng bên phải của
236
8
.
d) Gọi a là hệ số của số hạng chứa x
8
trong triển khai (-x
3
+ x
2
+ 1)
9
.
Tính tổng các chữ số của a
5
.
Giải:
Bài 6:
a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 10 chữ số .Biết số đó chia 19 dư 13, chia 31 dư 12.
b) Giả sử a là một số tự nhiên cho trước. Để bình phương của a có tận cùng là 89 thì a
phải có hai chữ số tận cùng là bao nhiêu ?
c) Tìm chữ số cuối cùng của 17
2008
Giải:
Bài 7:
a) Trình bày cách tìm và tìm số dư khi chia 2
1000

cho 25
b) Trình bày cách tìm và tìm 2 chữ số cuối cùng số 6
2005

c) Tìm số nhỏ nhất có 10 chữ số sao cho số đó chia cho 17 dư 2 ,cho 29 dư 5
: d) Tìm bốn chữ số tận cùng của số a = 41511621
3
- 11
e) Trình bày cách tìm và tìm 2 chữ số cuối cùng số
999
2

f) Trình bày cách tìm và tìm 2 chữ số cuối cùng số
999
3
g) Tìm 4 chữ số tận cùng của số a = 20022135
3
+ 5 ?
Giải:
Bài 8: a) Cho biết 3 chữ số cuối cùng bên phải của
3411
7
. Đ/S : 743
b) Cho biết 4 chữ số cuối cùng bên phải của
236
8
. Đ/S : 2256
c) Tìm hai chữ số tận cùng của số 3
2007

d) Tìm bốn chữ số tận cùng của số a = 41511621
3
-11
Giải:
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
14
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
a) Ta có:

)1000(mod74372490017777
)1000(mod0017
)1000(mod001001)001(249)249(2497
)1000(mod2497
1034003411
3400
222410100
10
≡××≡××≡
≡
≡×≡×≡≡
≡
ĐS : 743
Khi thực hành ta thực hiện phép tính như sau cho nhanh

)1000(mod74377
113411
≡≡

b) Dễ thấy

)10000(mod5376
73767376662466246624)8(8
)10000(mod662418244576888
)10000(mod457669768
)10000(mod697618248
)10000(mod18248
224450200
104050
240
220
10
≡
×≡×≡≡=
≡×≡×=
≡≡
≡≡
≡
Và ta có :
( )
( )
3
36 10 6 3 6
8 8 8 1824 8 4224 2144 6256 mod10000= × ≡ × ≡ × ≡
Cuối cùng :
( )
236 200 36
8 8 8 5376 6256 2256 mod10000= × ≡ × ≡
Đ/S : 2256
Bài 9: a)Tìm số dư của phép chia sau:
200708

:111007
102007
.
b) Chứng minh rằng: 1)
2004
2006
) 10
(2001
2003
+ M
; 2)
2
3 2008
) 400
(7 7
7 7
+ + +
+
M
c) Tìm chữ số tận cùng của số sau:
20072008
20072008
.
d) Tìm hai chữ số tận cùng của số sau:
9
9
9
9 9
9 9
+

.
Bài 10:
a) Trình bày cách tìm và tìm số dư r của
7349
3
khi chia cho 19
b) Tìm tất cả các số có 10 chữ số có chữ số tận cùng là 4 và luỹ thừa bậc năm của một số
tự nhiên
d) Tìm số dư r
2
trong chia
3 2
2 11 17 28x x x+ − +
cho
( )
7x +
Bài 11:
e) Trình bày cách tìm và tìm số dư khi chia 2
1000
cho 25
f) Trình bày cách tìm và tìm 2 chữ số cuối cùng số 6
2005

c) Tìm số dư r
2
trong chia
+ − +
3 2
2 11 17 28x x x
cho

( )
+ 7x
d) Tìm số dư r khi chia 1776
2003
cho 4000

Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
15
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
II. DẠNG TÌM SỐ:
Bài 1: : (Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm 2005-2006 - Cẩm Giàng)
a) Tìm các số nguyên x để
22199
2
+−− xx
là một số chính phương chẵn?
(Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm 2005-2006- Hải Dương)
b) Tìm số tự nhiên n thoả mãn đẳng thức:
][ ]3[]2[]1[ n++++
= 805
([x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x)
Trả lời: n = 118
Giải:
Bài 2: Tim cặp số ( x , y ) nguyen dương với x nhỏ nhất thỏa phương trỡnh :

595220)12(807156
22
3
2
++=++

xyxx
Giải:
Theo đề cho :
595220)12(807156
22
3
2
++=++
xyxx

⇔
5952)12(80715620
2
3
22
−−++=
xxxy
Suy ra:
20
5952)12(807156
2
3
2
−−++
=
xxx
y
Dùng máy tính : Ấn 0 SHIFT STO X
Ghi vào màn hình :
X = X + 1 : Y = ((

3
(
807156
2
+
X
) +
5952)12(
2
−−
XX
) f 20 )
Ấn = . . . = cho đến khi màn hình hiện Y là số nguyên dương p thì dừng .
Kết quả Y = 29 ứng với X = 11
ĐS : x = 11 ; y = 29
Bài 3:
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) có hai chữ số thoả mãn:
3 2
x - y = xy
b) Tìm các số nguyên dương x và y sao cho x
2
+ y
2
= 2009 và x > y
(x = 35, y = 28)
Giải:
b) Gán x = 1 : Ghi lên màn hình :
2 2
A x y
= +

ấn
ckdvfkd

ckdvfkd
khi đó máy hỏi A = ?
nhập 2009
rồi ấn bằng liên tiếp đến khi x; y là những số nguyên thì dừng lại và ta được kết quả x
= 35; y = 28
Bài 4:
a) Viết qui trình ấn phím để tính
1 2 3 4 99 100

2.3 3.4 4.5 5.6 100.101 101.102
S = − + − + + −
b) Tính gần đúng S
c) Tính
3 3 3 3
S = 1 + 2 + 3 + . . . + 2008

Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
16
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS

d) Tính :
13 C/S 3
P = 3 + 33 + 333 + . . . + 33 . . . 33
14 2 43
(Nêu cách tính)
Giải:
Bài 5:

a) Tìm tất cả các số tự nhiên có dạng
3 3
1ab = a +b +1
Với các số nguyên a,b 0 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9
3 3 3
153 = 1 + 5 +3
b) Tìm tất cả các số tự nhiên có dạng
3 3 3
4ab = 4 +a +b
Với các số nguyên a, b sao cho
0 9a≤ ≤
;
0 9b≤ ≤

3 3 3
407 = 4 + 0 +7
c) Tìm các chữ số a, b , c , d biết :
× =1 2004ab cd
d) Tìm các chữ số a, b , c , d, f biết :
× =5 2712960ab cdef

e) Tìm các chữ số a, b, c trong phép chia
× =5 761436ab c bac
biết hai chữ số a, b hơn
kém nhau một đơn vị
f) Tìm các chữ số a, b , c , d, f biết :
× =5 2712960ab cdef
g) Tìm số tự nhiên n
( )
≤ ≤500 1000n

để
= +2004 15
n
a n
là số tự nhiên
c) Biết số có dạng
= M12345679 4 24N x y
. Tìm tất cả các số N ?
Giải:
Bài 6: So sánh các cặp số sau:
a)
5555
222
×=
A
và
4442
333
×=
B

b)
1
1
2007
2006
2008
2007
+
+

=
A
và
1
1
2008
2007
2009
2008
+
+
=
B
.
c)
( )
1.20082.2007 2006.32007.22008.1
)2008 321( )321(211
+++++
+++++++++++
=
A
và B = 1.
Giải:
Bài 7:
Giải:
Bài 8:
1) Tìm giá trị của x , y viết dưới dạng phân số ( hoặc hỗn số ) từ các phương trình sau:
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
17

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
a)
5
2 5
5 1
3 4
5 2
4 3
5 3
1
5
5
6
x x
+ =
+ +
+ +
+ +
+
b)
2
5 1
3 7
4 1
2 3
5 1
2 3
4
4
2

5
2
3
y y
+ =
+ +
+ +
+ +
+
+

2) Cho x và y là hai số dương thoả mãn điều kiện :
2 2
1,025
2,135
x
y
x y

=



− =

a) Trình bày lời giải tìm giá trị của x và y
b) Tính giá trị của x và y và điền kết quả vào ô vuông
Bài 9:
a) Tính giá trị của biểu thức
= − +

2
1,25
11
z
M x y
chính xác đến 0,0001 với:
=
 
− −
 ÷
+
 
1
6400
0,21 1 0,015
6400 55000
x
;
= + + +3 2 3 3 3y
;
 
+
 ÷
 
=
× ×
+
2
1 3
1,72 :3

4 8
3 150
0,94
5
5
3:
4
7
9
z
b) Tìm số nguyên x biết nếu nhân số đó với 12 rồi cộng thêm 0,5 số đó thì được bình
phương số đó cộng với 21
c) Tính gần đúng giá trị của biểu thức :
+ +
−
=
−
+
4
3
3
3
13
2006 25 2005
3 4
2006
2005 4
1 2
N

Bài tập áp dụng:
1. Bài 1:
a. Tính kết quả đúng của tích A =
×2222277777 2222288888
b. Tính kết quả đúng của tích A =
2
20122007
c. Tính
′ ′′ ′ ′′
× +
=
′ ′′
22 25 18 2,6 7 47 53
9 28 16
h h
h
B
.
d) Tính C = 5322,666744 : 5,333332 + 17443,478 : 17,3913
2. Bài 2
a) Cho biết tỷ số của 7x – 5 và y + 13 là hằng số và y = 20 khi x = 2 . Hỏi khi y = 2005 thì x
bằng bao nhiêu ? ( Trình bày cách tính và tính )
c) Cho
( )
= < <
0 0
cos 0,8157 0 90x x
. Tính x theo độ , phút , giây và cotg x ( chính xác đến 4
chữ số thập phân ) ?
Giải:

3. Bài 3:
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
18
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
a) Tìm số tự nhiên n
( )
≤ ≤1010 2010n
sao cho với mỗi số đó thì
= +20203 21
n
a n
là số
tự nhiên
b) Tìm các số tự nhiên thoả mãn phương trình x
2
+ 2y
2
= 2377
c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình
+ + − = 7920x y x y
d) Tìmsố tự nhiên n
( )
≤ ≤20349 47238n
để 4789655 – 27 n là lập phương của một số tự
nhiên ?
e) Biết số có dạng
= M12345679 4 24N x y
. Tìm tất cả các số N ?
Giải:
PHẦN 3 CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC:

I. SỐ NGUYÊN TỐ:
1. Lí thuyết:
Để kiểm tra một số nguyên a dương có là số nguyên tố hay không ta chia số nguyên tố
từ 2 đến
a
. Nếu tất cả phép chia đều có dư thì a là số nguyên tố.
Ví dụ 1: Để kiểm tra số 647 có là số nguyên tố hay không ta chia 647 lần lượt cho các số
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29. các phép chia đều có dư khi đó ta kết luận số 647
là số nguyên tố.
Ví dụ 2 : Chỉ với các chữ số 1, 2, 3, hỏi có thể viết được nhiều nhất bao nhiêu số tự
nhiên khác nhau mà mỗi số đều có ba chữ số ? Hãy viết tất cả các số đó.
Giải:
Các số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ 3 số 1; 2; 3 là: 27 số
111; 112; 113; 121; 122; 123; 131; 132; 133;
211; 212; 213; 221; 222; 223; 231; 232; 233
311; 312; 313; 321; 322; 323; 331; 332; 333;
Ví dụ 3: Trong tất cả n số tự nhiên khác nhau mà mỗi số đều có bảy chữ số, được viết
ratừ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 thì có k số chia hết cho 5 và m số chia hết cho 2.
Hãy tính các số n, k, m.
Giải:
Ví dụ 4
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
19
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
Bài 4: Có 3 thùng táo có tổng hợp là 240 trái . Nếu bán đi
2
3
thùng thứ nhất ;
3
4

thùng thứ
hai và
4
5
thùng thứ ba thì số táo còn lại trong mỗi thùng đều bằng nhau. Tính số táo lúc đầu
của mỗi thùng ? Điền các kết quả tính vào ô vuông :
Thùng thứ nhất là 60 Thùng thứ hai là
Thùng thứ ba là
Giải:
Gọi số táo của 3 thùng lần lượt là: a; b; c (quả) Điều kiện
( )
0 ; ; 240a b c< <
Theo bài ra ta có hệ phương trình:
240
1 1 1
3 4 5
a b c
a b c
+ + =



= =



⇔

240
1 1

3 4
1 1
4 5
a b c
a b
b c


+ + =


=



=



⇔

240
1 1
0 0
3 4
1 1
0 0
4 5
a b c
a b c

a b c


+ + =


− + =



+ − =



Giải hệ phương trình này ta được: a = 60 ; b = 80; c = 100
Vậy Thùng thứ nhất có 60 (quả); Thùng thứ hai có 80 (quả); Thùng thứ ba có 100 (quả).
II. ƯCLN; BCNN:
1. Lí thuyết: Để tìm ƯCLN, BCNN của hai số A và B ta rút gọn phân số
A a
B b
=
Từ đó : ƯCLN (A; B)
= A : a

BCNN(A; B) = A .b
=
A × B
UCLN(A,B)
2. Ví dụ: Cho hai số A = 1234566 và B = 9876546
a) Tìm ƯCLN(A, B) và BCNN(A,B) ?

b) Gọi D = BCNN(A,B) Tính giá trị đúng của D
3
? Tính và ghi kết quả vào ô vuông.
ƯCLN(A, B) = BCNN(A,B) =
D
3
=
a) Ví dụ 1: Tìm ƯCLN; BCNN của A = 209865 và B = 283935
Giải:
Ta có:
209865 17
283935 23
A a
B b
= = =

⇒
ƯCLN (A; B)
= A : a
= 209865: 17 = 12345
BCNN (A; B)
= A .b
= 209865.23 = 4826895.
 Đáp số:
(A; B)= 12345
;
[ ]
; 4826895A B
=
Ta có Gọi D = BCNN(A,B)=

4826895
⇒

3 3
D = 4826895

Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
20
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
Đặt
a = 4826
⇒

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3 2
2 3
3 3 3 3 3
D = a. 10 + 895 a. 10 3 a. 10 .895 3. a. 10 . 895 895= + + +

b) Ví dụ 2: Tìm UCLN của 40096920, 9474372 và 51135438
Giải:
(Nêu được cơ sở lý thuyết và cách giải 2 điểm; Kết quả 3 điểm)
Do máy cài sẵn chương trình đơn giản phân số nên ta dùng chương trình này
để tìm Ước số chung lớn nhất (ƯSCLN)
Ta có :
b
a
B
A

=
(
b
a
tối giản)
ƯSCLN(A;B) = A ÷ a
Ấn
9474372 : 40096920 =

Ta được: 6987
:
29570
ƯSCLN của 9474372 và 40096920 là 9474372 ÷ 6987 = 1356
Ta đã biết : ƯSCLN(a ; b ; c ) = ƯSCLN(ƯSCLN( a ; b ) ; c )
Do đó chỉ cần tìm ƯSCLN(1356 ; 51135438 )
Ấn 1356
:
51135438 =
⇒
Ta được: 2
:
75421
Kết luận : ƯSCLN của 9474372 ; 40096920 và 51135438
là : 1356 ÷ 2 = 678
ĐS : 678
c) Ví dụ 3: Cho ba số A = 1193984 ; B = 157993 ; C = 38743
a) Tìm UCLN của A , B , C
b) Tìm BCNN của A , B , C với kết quả đúng.
Giải:
a) Đáp số: D = UCLN(A,B) = 583 ; UCLN(A,B,C) = UCLN(D,C) = 53

b)
( , )E BCNN A B= = ⇒
A × B
= 323569644; BCNN(A,B,C) = BCNN(E,C) = 326529424384
UCLN(A,B)
Bài tập áp dụng:
1. Bài 1: Tìm ƯCLN và BCNN của hai số A = 1234566 và B = 9876546
(ƯCLN = 18; BCNN = 677402660502)
2. Bài 2: Tìm ƯCLN và BCNN của các cặp số sau:
a) 12356 và 546738 b) 20062007 và 121007 c) 2007 và 2008 và 20072008.
3. Bài 3:
Tìm UCLN, BCNN của A = 45563, B = 21791, C = 182252 .
Giải
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
21
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
A : B = 23 : 11
⇒
UCLN(A,B) = A : 23 = D
UCLN( C,D) = 1981

⇒
BCNN(A,B) = 45563x11 = E
BCNN(C,E) = 46109756
UCLN(A,B,C) = 1981
BCNN(A,B,C) = 46109756
4. Bài 4:
Tìm ƯCLN và BCNN của các cặp số sau:
a)12356 và 546738 b)20062007 và 121007 c)2007 và 2008 và 20072008.
5. Bài 5: Cho hai số A = 2419580247 và B = 3802197531

c) Tìm ƯCLN(A, B) ?
d) Tìm BCNN(A,B) ?
Tính và ghi kết quả vào ô vuông .
ƯCLN(A, B) = . . . . . . . . . . BCNN(A,B) = . . . . . . . . .
6. Bài 6: Tìm ƯSCLN của 40096920 , 9474372 và 51135438.
DS: 678
Giải
Do máy cài sẵn chương trình đơn giản phân số nên ta dùng chương trình này để tìm
Ước số chung lớn nhất (ƯSCLN) Ta tinh :
A a
B b
=
(
a
b
tối giản)
⇒
ƯSCLN : A
÷
a
Ấn 9474372
÷
40096920 = Ta được: 6987
÷
29570

⇒
ƯSCLN (9474372; 40096920) = 9474372 ÷ 6987 = 1356
Ta đã biết : ƯSCLN(a ; b ; c ) = ƯSCLN(ƯSCLN( a ; b ) ; c )
Do đó chỉ cần tìm ƯSCLN(1356 ; 51135438 )

Aán: 1356
÷
51135438 = 2
÷
75421
Kết luận: ƯSCLN ( 9474372 ; 40096920 ; 51135438 )= 1356
÷
2 = 678
ĐS : 678
7. Bài 7:
a) Tìm tổng các ước số lẻ của số 7677583
b) Tìm ước số chung lớn nhất và Bội số chung nhỏ nhất của hai số 12705, 26565.
USCLN: 1155 BSCNN: 292215
c) Tìm ước số chung lớn nhất và Bội số chung nhỏ nhất của hai số 82467, 2119887.
USCLN: 4851 BSCNN: 36.038.079
Giải:
a) Ta có Ư(7677583) =
{ }
83;92501
⇒
Tổng các ước dương của số 7677583 là: 83 + 92501 = 92584
b) Ta có:
12705 11
26565 23
=

⇒
ƯSCLN(12705; 26565) = 12705 ÷ 11 = 1155
Vậy USCLN: 1155
Ta có

12705 x 26565
( , ) 292215E BCNN A B= = =
A × B
=
UCLN(A,B) 1155
Vậy BSCNN: 292215
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
22
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
c) Ta có:
82467 17
2119887 437
=

⇒
ƯSCLN(82467, 2119887) = 82467÷ 17 = 4851
Vậy USCLN: 4851
Ta có
82467 x 2119887
( , ) 36 038 079E BCNN A B= = =
A × B
=
UCLN(A,B) 4851
Vậy BSCNN: 36.038.079
3. TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA A CHO B:
a. Lí thuyết: Số dư của phép chia A cho B là: :
.
A
A B
B

 
−
 
 

(trong đó:
A
B
 
 
 
là phần nguyên của thương A cho B)
b) Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 22031234 : 4567
Ta có:
22031234
4824,005693
4567
A
B
= =

⇒
4824
A
B
 
=
 
 

⇒

. 22031234 4567.4824 26
A
A B
B
 
− = − =
 
 
Đáp số : 26
c) Ví dụ 2 : Tìm số dư của phép chia 22031234 cho 4567
Ta có:
22031234
4824,005693
4567
A
B
= =

⇒
4824
A
B
 
=
 
 

⇒

. 22031234 4567.4824 26
A
A B
B
 
− = − =
 
 
Đáp số : 26
Bài 1: a) Tìm số dư r khi chia 39267735657 cho 4321
b) dư r
1
trong chia 186054 cho 7362
c) Tìm số dư r
2
trong chia
+ − +
3 2
2 11 17 28x x x
cho
( )
+ 7x
d) Chia 19082007 cho 2707 có số dư là r
1
, chia r
1
cho 209 có số dư là r
2

.
Tìm r
1
và r
2
?
Giải:
a) Ta có:
39267735657
9087650,002
4321
A
B
= =

⇒
9087650
A
B
 
=
 
 


⇒

. 39267735657 4321.9087650 7
A
A B

B
 
− = − =
 
 
Đáp số : r =7
Bài 2:
a) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 20052006 cho 2005105
Tìm số dư khi chia 20052006 cho 2005105
b) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047
Tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
23
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
c) Tìm số dư r của phép chia 2345678901234 cho 4567
Giải:
a) Qui trình tính số dư khi chia 20052006 cho 2005105
20052006
10, 00047678
2005105
A
B
= =

⇒
10
A
B
 
=

 
 


⇒
Số dư của phép chia A cho B là:
. 20052006 - 2005105 10 = 956
A
A B
B
 
− = ×
 
 
Ta làm như sau: ấn
20052006
÷
2005105 = Ta có kết quả
10, 00047678
Lấy
20052006
-
2005105 10
×
= Ta được kết quả: 956
Vậy số dư của phép chia là: 956
4. ƯỚC VÀ BỘI:
a) Lí thuyết:
b) Ví dụ: Tìm tất cả các ước của 120
+) Sử dụng máy tính CASIO 500MS

Ta ấn các phím sau:

1

Shift

STO

A
/
120

:

A

=
/
A

+
1
Shift

STO

A
/= / = / . . .
chọn các kết quả là số nguyên Kết quả: Ư(120) =
Giải:

Quy trình tìm các ước của 60 trên máy tính Casio 570 Esv là
1

SHIFT

STO

A
Ghi lên màn hình
A = A + 1: 120 A÷
sau đó ấn
CLR
ấn dấu
=

liên tiếp để chọn kết quả là số nguyên
Kết quả: Ư (60) =
{ }
1; 2; 3; 5; 6; 8 10 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60; 120± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±
V. TÍNH CHÍNH XÁC GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC SỐ:
Lí thuyết:
 Ví dụ 1: (Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm 2004-2005- Hải Dương)
Bài 5(2, 0 điểm) Tìm giá trị chính xác của 1038471
3
.
Giải:
Đặt
1038a =
;
471b =

Khi đó D =
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2
3 3 3 3 3 2 3
1038471 .10 .10 3. .10 . 3 .10 .a b a a b a b b= + = + + +

3 9 2 6 2 3 3
.10 3. .10 3 . 10a a b a b b= + + +
Lập bảng giá trị ta có:
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông
24
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO - THCS
( )
3
3
.10a
1 1 1 8 3 8 6 8 7 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
( )
2
3
3. .10 .a b
1 5 2 2 4 2 8 3 7 2 0 0 0 0 0 0
( )
3 2
3 .10 .a b
6 9 0 8 1 2 8 7 4 0 0 0
3
b
1 0 4 4 8 7 1 1 1

D 1 1 1 9 9 0 9 9 9 1 2 8 9 3 6 1 1 1 1
Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: D = 1038471
3
=1119909991289361111
 Ví dụ 2: (5 điểm) Cho đa thức Q(x) = ( 3x
2
+ 2x – 7 )
64
.
Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị.
Giải:
Tổng các hệ số của đa thức Q(x) chính là giá trị của đa thức tại x = 1.
Gọi tổng các hệ số của đa thức là A ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7)
64
= 2
64
.
Để ý rằng : 2
64
=
( )
2
32
2
=
2
4294967296
.
Đặt
42949 = X

;
67296 = Y
Ta có : A =
5 2 2 10 5 2
( X.10 +Y) = X .10 + 2XY.10 + Y

Tính trên máy kết hợp với giấy ta có:
X
2
.10
10
= 1 8 4 4 6 1 6 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2XY.10
5
= 5 7 8 0 5 9 1 8 0 8 0 0 0 0 0
Y
2
= 4 5 2 8 7 5 1 6 1 6
A = 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 6
Vậy A = 18446744073709551616
 Ví dụ 3:
Cho x
1000
+ y
1000
= 6,912; x
2000
+ y
2000
= 33,76244

Tính A = x
3000
+ y
3000
Giải:
Đặt a = x
1000
, b = y
1000
. Ta có: a + b = 6,912; a
2
+ b
2
= 33,76244
Khi đó : a
3
+ b
3
= (a + b)
3
- 3ab(a + b) = (a + b)
3
- 3.
( )
( )
( )
2
2 2
2
a b a b

a b
+ − +
⋅ +
Đáp số : A = 184,9360067
4 ) Ví dụ 4: Cho:
17 16 15
P(x) =ax + bx + cx + . . . + m
biết:
P(1) = 1; P(2) = 2; . . . . . . ; P(17) = 17.
Tính P(18)
Bài tập:
1. Bài 1: Tính kết quả đúng ( không sai số ) của các tích sau:
a)
2
123456789P =
; b)
20082008.20092009Q =
Giải:
a) Ta có:
( )
2
4
12345.10 6789P = +

( )
2
4 4 2
12345.10 2.12345.10 .6789 6789P = + +
= …
Nguyễn Đức Tuấn - THCS Quảng Đông

25