Bài tập về giới hạn hàm số toán 11

Các bài tập hàm số liên tục Page 1 9/4/2014
CÁC BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
Vấn đề 1 : Tìm giới hạn của hàm đa thức f(x) tại x = a
•
Phương pháp :
)()(lim afxf
ax
=
→

Ví dụ : Tìm các giới hạn sau :
a.
1)²3³(lim
1
−=+−
→
xxx
x
b.
0)²(lim
0
=−
→
xx
x
c.
3)1²(lim
2
=−
−→
x

x
Vấn đề 2 : Tìm giới hạn của hàm phân thức hữu tỷ
)(
)(
xQ
xP
tại x = a
•
Phương pháp :
)(
)(
lim
xQ
xP
ax→
– Nếu
0)( ≠aQ
thì
)(
)(
)(
)(
lim
aQ
aP
xQ
xP
ax
=
→

– Nếu
0)( =aQ
và
0)( ≠aP
thì
∞=
→
)(
)(
lim
xQ
xP
ax
– Nếu
0)( =aQ
và
0)( =aP
thì
)(
)(
lim
xQ
xP
ax→
có dạng
0
0
tính
)(
)(

lim
)()(
)()(
lim
)(
)(
lim
xD
xC
xDax
xCax
xQ
xP
axaxax →→→
=
−
−
=
Ví dụ : Tìm các giới hạn sau :
1.
3
1
5²
lim
1
=
+
+
→
x

x
x
2.
∞=
−
+
→
3
1²
lim
3
x
x
x
3.
1)2(lim
3
)2)(3(
lim
3
65²
lim
333
=−=
−
−−
=
−
+−
→→→

x
x
xx
x
xx
xxx
4.
4
1
3
1
lim
)3)(1(
1
lim
34²
1
lim
111
−=
−−
=
−−+
+
=
−−−
+
−→−→−→
xxx
x

xx
x
xxx
5.
2
1
1
12
lim
)1)(1(
)12)(1(
lim
1²
13²2
lim
111
=
−
+
=
−+
++
=
−
++
−→−→−→
x
x
xx
xx

x
xx
xxx
6.
6
1
5
2
lim
)5)(1(
)2)(1(
lim
54²
23²
lim
111
−=
+
−
=
+−
−−
=
−+
+−
→→→
x
x
xx
xx

xx
xx
xxx
7.
32)4²)(2(lim
2
)4²)(2)(2(
lim
2
16
lim
22
4
2
=++=
−
++−
=
−
−
→→→
xx
x
xxx
x
x
xxx
8.
5
7

1
1
lim
5
7
1
=
−
−
→
x
x
x
9.
∞=
−
−
=
−
−−
=
−
+−
→→→
2
1
lim
)²2(
)1)(2(
lim

)²2(
23²
lim
222
x
x
x
xx
x
xx
xxx
1
Các bài tập hàm số liên tục Page 2 9/4/2014
10.
3
4²
8³
lim
2
=
−
−
→
x
x
x
11.
∞=
−
++−

=
+−
−
→→
)²1(
)1²).(1(
lim
12²
1³
lim
11
x
xxx
xx
x
xx
12.
5
)22²).(2(
lim
2²
42³
lim
22
−=
+−+
=
+
+−
−→−→

x
xxx
xx
xx
xx
Vấn đề 3: Tìm giới hạn tại x = a , của hàm số có chứa căn bậc hai
•
Phương pháp : Khử dạng vô định
0
0
bằng cách nhân thêm biểu thức
liên hợp
Cần nhớ :
•
a – b =
))(( baba −+

•
a – b =
)².²)((
333333
bbaaba ++−
Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau :
1.
)1²1(
)1²1)(1²1(
lim
1²1
lim
00

++++
++++++−+
=
++−+
→→
xxxx
xxxxxx
x
xxx
xx


0
2
0
)1²1(
²
lim
0
==
++++
−
=
→
xxxx
x
x
2.
)2)(2)(321(
)2)(321)(321(

lim
2
321
lim
44
+−++
+++−+
=
−
−+
→→
xxx
xxx
x
x
xx
3
4
)321).(4(
)2).(4.(2
lim
²)2).(321(
)2²).(321(
lim
44
=
++−
+−
=
−++

+−+
=
→→
xx
xx
xx
xx
xx
3.
)2).(914(
)314).(2²(
lim
314
2
lim
22
++−+
++−−
=
−+
+−
→→
xxx
xxx
x
xx
xx
8
9
)2).(2.(4

)314).(2)(1(
lim
2
=
++−
++−+
=
→
xxx
xxx
x
4.
2
111
lim
0
=
−−
→
x
x
x
5.
1
23²
1
lim
1
−=
−+

−
→
x
x
x
6.
[ ]
9
1
)²1(113
lim
3
11
lim
3
3
0
3
0
=
−+−+
=
−−
→→
xxx
x
x
x
xx
7.

3
2
23²
1
lim
3
1
−=
−+
+
−→
x
x
x
8.
2.2
3
)1²).(1).(21(
1²).(21).(21(
lim
1
21
lim
333
33
1
3
1
=
++−++

++++−+
=
−
−+
→→
xxxx
xxxx
x
x
xx
Vấn đề 4: Tìm giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ
2
Các bài tập hàm số liên tục Page 3 9/4/2014
)(
)(
lim
xQ
xP
x ∞→
( có dạng
∞
∞
)
•
Phương pháp : Chia tử và mẩu cho bậc cao nhất
Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau :
1.
3
2²
15²3

lim =
−
+−
∞→
x
xx
x
2.
1
)5)(2(
1²
lim =
−+
−
∞→
xx
x
x
3.
∞=
−
++−
∞→
2²
1³
lim
x
xx
x
4.

0
)1).(1³2(
)35).(1²3(
lim =
+−
++
∞→
xx
xx
x
5.
2
3
35²2
17²3
lim =
+−
+−
∞→
xx
xx
x
6.
3²5
²22²3
lim
4
+
+−+
∞→

x
xxx
x
=
5
3
7.
∞=
+
−+
∞→
72
1²
lim
3 5
x
xx
x
8.
4
1²4
32²
lim =
−+
++
+∞→
xx
xx
x
9.

3
2
1²4
32²
lim −=
−+
++
−∞→
xx
xx
x
10.
1)234²4(lim −=−+−
+∞→
xxx
x
11.
+∞=−+−
−∞→
)234²4(lim xxx
x
Vấn đề 5 : Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số có chứa căn bậc hai

•
Phương pháp :
– Trường hợp 1 : Khử dạng vô định
∞
∞
bằng cách chia tử và mẩu
cho lũy

thừa lớn nhất
– Trường hợp 2 : Khử dạng vô định
∞−∞
bằng cách nhân thêm
lượng
biểu thức liên hợp
•
Cần nhớ : x
→
+
∞
thì x =
²x
x
→
–
∞
thì x = –
²x
Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau :
3
Các bài tập hàm số liên tục Page 4 9/4/2014
1.
2
²
11
1
4
1
²

1
1
lim
²
1²
²
4²1²
lim
1²
4²1²
lim =
+−
−++
=
+−
−++
=
+−
−++
∞→∞→∞→
xx
xx
x
xx
x
xxx
xx
xxx
xxx
2.

)3²(
)3²)(3²(
lim)3²(lim
xxx
xxxxxx
xxx
xx
−+−
−+−++−
=++−
−∞→−∞→
xxx
xxx
x
−+−
−+−
=
−∞→
3²
²3²
lim
2
1
)1
²
31
1(
)
3
1(

lim
3²
3
lim =
++−−
−−
=
−+−
+−
=
−∞→−∞→
xx
x
x
x
xxx
x
xx
3.
xxx
x
xxx
xxxxxx
xxx
xxx
+−
−
=
+−
+−−−

=−−
+∞→+∞→+∞→
4²
4
lim
4²
)4²)(4²(
lim)4²(lim
=
2
)1
4
1(
4
lim −=
+−
−
+∞→
x
x
x
x
4.
1
1
²
lim −=
+
−
−∞→

x
xx
x
5.
1
1
²
lim =
+
−
+∞→
x
xx
x
6.
)4²).(3(lim xxx
x
−++
+∞→
( dạng
∞
.0 ) đs : 2
7.
[ ]
4
7
27²4lim −=++
−∞→
xxx
x

HÀM SỐ LIÊN TỤC
Vấn đề 1 : Xét tính liên tục của hàm số tại điểm
0
x
:
Phương pháp : Cần kiểm tra 3 điều kiện
– Tính
)(
0
xf
– Tính
)(lim
0
xf
xx→
– So sánh
)(lim
0
xf
xx→
=
)(
0
xf
Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số :
1.f(x) =
2
1
−
+

x
x
tại x = 1 , x = 2
Tại x = 1 : Ta có : f(1) = – 2
4
Các bài tập hàm số liên tục Page 5 9/4/2014
2
2
1
lim)(lim
11
−=
−
+
=
→→
x
x
xf
xx
)(lim
1
xf
x→
= f(1)
Vậy f(x) liên tục tại x = 1
Tại x = 2 thì f(x) không xác định
Vậy f(x) không liên tục tại x = 2
2.f(x) =






≤+
>
−
−−
132
1
1
12²3
xkhix
xkhi
x
xx
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1
Tacó : f(1) = 5
4
1
)13)(1(
lim
1
12²3
lim
11
=
−
+−
=

−
−−
++
→→
x
xx
x
xx
xx

5)32(lim
1
=+
−
→
x
x
Không tồn tại
)(lim
1
xf
x→
Vậy f(x) không liên tục tại x = 1
3. f(x) =





≠

+−
−
=
2
23²
)2(2
22
xkhi
xx
x
xkhi
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2
Ta có : f(2) = 2
2
)2)(1(
)2(2
lim
23²
)2(2
lim)(lim
222
=
−−
−
=
+−
−
=
→→→
xx

x
xx
x
xf
xxx
)(lim
2
xf
x→
= f(2)
Vậy f(x) liên tục tại x = 2
4. f(x) =





≠
−
−+−
=
1
1
22²³
14
xkhi
x
xxx
xkhi
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên tục

tại x = 1 )
5.f(x) =





>
−
≤+
1
3²
1
11
xkhi
xx
xkhix
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên
tục tại x = 1 )
5
Các bài tập hàm số liên tục Page 6 9/4/2014
6.







≠

−
−−
=
=
2
2
321
21
)(
xkhi
x
x
xkhi
xf
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2 ( f(x) liên tục tại x
= 2 )
7.







≠
−
=
=
0
²sin

cos1
0
4
1
)(
xkhi
x
x
xkhi
xf
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 0 ( f(x) liên tục tại x
= 0 )
8.Cho các hàm số f(x ) sau , có thể gán cho f(1) giá trị để f(x) liên tục tại x
=1
a. f(x) =
1
23²
−
+−
x
xx
Ta có :
1
1
)2).(1(
lim
1
23²
lim)(lim
111

−=
−
−−
=
−
+−
=
→→→
x
xx
x
xx
xf
xxx
Để f(x) liên tục tại x =1 thì gán f(1) = –1
Vậy f(x) =





−=−
−≠
−
+−
11
1
1
23²
xkhi

xkhi
x
xx

b. f(x) =
1
1
−x
Ta có :
+∞=
−
=
++
→→
1
1
lim)(lim
11
x
xf
xx

−∞=
−
=
−−
→→
1
1
lim)(lim

11
x
xf
xx
Nên f(x) không có giới hạn tại x = 1
Vậy không thể gán giá trị cho f(1) để f(x) liên tục tại x = 1
9.Định a để f(x) liên tục tại x = x
0
a. f(x) =





=
≠
−
−
2
2
2
4²
xkhia
xkhi
x
x
Định a để f(x) liên tục tại x = 2
b. f(x) =






≤+
>
−
−−
12
1
1
12²3
xkhiax
xkhi
x
xx

6
Các bài tập hàm số liên tục Page 7 9/4/2014
Định a để f(x) liên tục tại x =1 ( a = 2 )
c.f(x) =







≥
+
−

+
<≤−
+−−
0
2
4
01
11
xkhi
x
x
a
xkhi
x
xx
Định a để f(x) liên tục tại x = 0
Ta có : f(0) = a + 2
1
11
2
lim
11
lim)(lim
2)
2
4
(lim)(lim
000
00
−=

++−
−
=
+−−
=
+=
+
−
+=
−−−
++
→→→
→→
xx
x
xx
xf
a
x
x
axf
xxx
xx
⇒
f(x) liên tục tại x = 0 , khi và chỉ khi :
f(0) =
)(lim
0
xf
x

+
→
=
−
→0
lim
x
⇔
a = – 3
Vậy a = –3 thì f(x) liên tục tại x = 0
d. f(x) =







≥
+
+
<
−
0
1
0
2sin.
4cos1
xkhi
x

ax
xkhi
xx
x
Định a để f(x) liên tục tại x = 0 ( a = 2 )
e. f(x) =







=
≠
−−
0
4
1
0
42
xkhi
xkhi
x
x
Chứng minh f(x) liên tục tại x = 0
Vấn đề 2:Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x)
f(x) gián đoạn tại x
0
⇔

f(x) không liên tục tại x
0
•
Phương pháp : f(x) gián đoạn tại x
0
khi :
– hoặc f(x) không xác định tại x
0
– hoặc không tồn tại
)(lim
0
xf
xx→
–
)(lim
0
xf
xx→
≠
f( x
0
)
Ví dụ :Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x)
1. f(x) =
2
12
−
+
x
x

Tại x = 2 thì f( x ) không xác định
Vậy f(x) gián đoạn tại x = 2
7
Các bài tập hàm số liên tục Page 8 9/4/2014
2. f(x) =





≠
+−
−
=−
2
23²
)1(2
22
xkhi
xx
x
xkhi
f(x) xác định
∀
x
∈
R
{
1;2
}

f(x) là hàm hữu tỉ
⇒
f(x) liên tục
∀
x
∈
R
{
1;2
}
•
Khi x
≠
1 : Ta có f(x) =
23²
)1(2
+−
−
xx
x
=
2
2
)2).(1(
)1(2
−
=
−−
−
xxx

x
⇒
f(x) không xác định tại x = 2
⇒
f(x) gián đoạn tại x = 2
•
Khi x =1 : Ta có f(1) = – 2
2
)2).(1(
)1(2
lim
23²
)1(2
lim)(lim
111
−=
−−
−
=
+−
−
=
→→→
xx
x
xx
x
xf
xxx
⇒

)(lim
1
xf
x→
= f(1)
⇒
f(x) liên tục tại x = 1
Vậy f(x) chỉ gián đoạn tại x = 2
Vấn đề 3 : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên toàn trục số :

•
Phương pháp : Sử dụng định lí
Các hàm đa thức , hàm số hữu tỷ , hàm số lượng giác
thì liên
tục trên tập xác dịnh của chúng
Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R :
1. f(x) = 3x
4
–2x
³ +
x² – 3x + 2
Ta có : f(x) = 3x
4
–2x
³ +
x² – 3x + 2 là hàm đa thức
Vậy f(x) liên tục trên R
2. f(x) =
1

24²
−
+−
x
xx
TXD : D = R
{
1
}
Ta có : f(x) =
1
24²
−
+−
x
xx
là hàm hữu tỷ
Vậy f(x) liên tục trên D = R
{
1
}
8
Các bài tập hàm số liên tục Page 9 9/4/2014
3. f(x ) =
2²
12²3
+
++
x
xx

liên tục trên R
4. f(x) =
x
1
liên tục trên R
{
1
}
5.f(x) =





=−
≠
−
++−
23
2
2
6²4³
xkhi
xkhi
x
xxx
Vấn đề 4: Xét tính liên tục của hàm số f(x) cho bởi các biểu thức giải tích
trên trục số :
•
Phương pháp :

– Tìm “ điểm nối ” a giữa hai công thức
– Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên hai khoảng (–
∞
; a ) và (
a ; +
∞
) – Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = a
Ví dụ :Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R :
1. f(x) =





=
≠
−
+−
2
2
2
65²
xkhia
xkhi
x
xx
•
x
≠
2 thì f(x) =

2
65²
−
+−
x
xx
liên tục
∀
x
≠
2
•
x = 2 , Ta có : f(2) = a
1
2
)3.(2(
lim
2
65²
lim)(lim
222
−=
−
−−
=
−
+−
=
→→→
x

xx
x
xx
xf
xxx
– Nếu a = –1 thì f(2) =
)(lim
2
xf
x→
nên f(x) liên tục tại x = 2
– Nếu a
≠
1 thì f(2)
≠

)(lim
2
xf
x→
nên f(x ) không liên tục tại x =
2
Vậy a = – 1 thì f(x) liên tục trên R
a
≠
1 thì f(x) liên tục trên ( –
∞
; 2 ) và ( 2 ; +
∞
)

2. f(x) =





≥+
<
−
+−
32
3
3
127²
xkhibx
xkhi
x
xx
•
Với x
<
3 thì f(x) =
3
127²
−
+−
x
xx
là hàm phân thức hữu tỷ
9

Các bài tập hàm số liên tục Page 10 9/4/2014
⇒
f(x) liên tục trên khoảng ( –
∞
; 3 )
•
Với x
>
3 thì f(x) = 2x + b là hàm đa thức
⇒
f(x) liên tục trên khoảng ( 3 ; +
∞
)
•
Tại x = 3 , ta có f(3) = 6 + b
1
3
)4).(3(
lim
3
127²
lim
6)2(lim
33
3
−=
−
−−
=
−

+−
+=+
−−
+
→→
→
x
xx
x
xx
bbx
xx
x
– Nếu 6 + b = –1
⇔
b = – 7 thì
+
→3
lim
x
=
−
→3
lim
x
= f(3) nên f(x) liên tục tại x
= 3 – Nếu 6 + b
≠
–1
⇔

b
≠
– 7 thì
+
→3
lim
x
≠

−
→3
lim
x
nên f(x) không
liên tục tại x = 3
Vậy b = – 7 thì f(x) liên tục trên R
b
≠
– 7 thì f(x) liên tục trên khoảng ( –
∞
; 3 ) và ( 3 ; +
∞
)
3.f(x) =








>
−
−+
≤+
2
2
223
2
4
1
3
xkhi
x
x
xkhiax
a = 0 thì f(x) liên tục trên R
a
≠
0 thì f(x) liên tục trên khoảng ( –
∞
; 2 ) và ( 2 ; +
∞
)
Vấn đề 5: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm x
0

∈(
a ; b
)

•
Phương pháp : – Chứng minh f(x) liên tục trên
[
a ; b
]
– Chứng minh f(a).f(b)
<
0
Ví dụ :
1.Chứng minh phương trình : x³ – 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Giải
Đặt f(x) = x³ – 3x + 1 thì f(x) liên tục trên R
Ta có :
0-3f(2).f(1)
1 f(1)
3 f(2)
<=⇒



−=
=
thì
∃
x
1
∈(
1 ; 2
)
: f( x

1
) = 0
10
Các bài tập hàm số liên tục Page 11 9/4/2014

0-3f(1).f(-1)
3 f(-1)
1- f(1)
<=⇒



=
=
thì
∃
x
2
∈(
– 1 ; 1
)
: f( x
2
) =
0
0-3)f(-1).f(-2
1- f(-2)
3 f(-1)
<=⇒




=
=
thì
∃
x
3
∈(
–1 ;– 2
)
: f( x
3
) 0
Vậy phương trình : x³ – 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
2. Chứng minh phương trình : 2x
4
+ 4x² + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm
thuộc
(
-1 ; 1
)
Giải
Đặt f(x) = 2x
4
+ 4x² + x – 3 thì f(x) liên tục trên R
Ta có :
0-12f(1).f(0)
3 f(0)
4 f(1)

<=⇒



−=
=
thì
∃
ít nhất x
1
∈(
0 ; 1
)
: f( x
1
) =
0

0-6f(0).f(-1)
2 f(-1)
3- f(0)
<=⇒



=
=
thì
∃
ít nhất x

2
∈(
0 ;– 1
)
: f( x
2
)
= 0
Vậy phương trình : 2x
4
+ 4x² + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc
(
-1
; 1
)
3.Chứng minh phương trình : x
17
= x
11
+ 1 có nghiệm
Giải
Đặt f(x) = x
17
– x
11
– 1 thì f(x) liên tục trên R
Ta có :
0f(0).f(2)
0 f(2)
1- f(0)

<⇒



>
=
thì
∃
ít nhất x
1
∈(
0 ; 1
)
: f( x
1
) = 0
Vậy phương trình : x
17
– x
11
– 1 = 0 có nghiệm
4.Chứng minh phương trình : x
5
–3x = 1 có ít nhất một nghiệm thuộc
(
1 ;
2
)
( f(1).f(2)< 0 )
5.Chứng minh phương trình : m( x – 1)³.( x + 2 ) + 2x + 3 = 0 luôn có

nghiệm
( f(1).f( – 2) < 0 )
6.Chứng minh phương trình : a( x – b )( x – c ) + b.( x – a )( x – c ) + c.( x –
a)( x – b ) = 0
luôn có nghiệm
( f(a). f(b).f(c).f(0)
≤
0 )
11