bài tập hình giải tích không gian

TRẦN SĨ TÙNG
›š & ›š






BÀI TẬP










ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

Năm 2010

Trn S Tựng Khi a din
Trang 1





1. Hai ng thng song song
a) nh ngha:
abP
ab
ab
,()
ỡ
è

ớ
ầ=ặ
ợ
P

b) Tớnh cht
ã
()()()

()(),,
()()
()()
PQR
PQaabcủongqui
PRbabc
QRc
ỡ
ạạ
ù
ù
ộ
ầ=
ị
ớ
ờ
ầ=
ở
ù
ầ=
ù
ợ
PP

ã

()()
(),()
()
PQd

dab
PaQb
dadb
ab
ỡ
ầ=
ù
ộ
ẫẫị
ớ
ờ

ở
ù
ợ
PP
P


ã

,
ab
ab
acbc
ỡ
ạ
ị
ớ
ợ

P
PP

2. ng thng v mt phng song song
a) nh ngha: d // (P)

d
ầ
(P) =
ặ

b) Tớnh cht

ã

(),'()
()
'
dPdP
dP
dd
ỡ
ậè
ị
ớ
ợ
P
P

ã

()
(),()()
dP
da
QdQPa
ỡ
ị
ớ
ẫầ=
ợ
P
P


ã

()()
(),()
PQd
da
PaQa
ỡ
ầ=
ị
ớ
ợ
P
PP

3. Hai mt phng song song
a) nh ngha: (P) // (Q)

(P)
ầ
(Q) =
ặ

b) Tớnh cht

ã

(),
()()
(),()
Pab
abMPQ
aQbQ
ỡ
ẫ
ù
ầ=ị
ớ
ù
ợ
P
PP

ã

()()
()()()()
()()
PQ
PRPQ
QR
ỡ
ạ
ù
ị
ớ
ù
ợ
PP
P

ã

()()
()()
()()
QR
PQaab
PRb
ỡ
ù
ầ=ị
ớ
ù
ầ=

ợ
P
P

4. Chng minh quan h song song
a) Chng minh hai ng thng song song
Cú th s dng 1 trong cỏc cỏch sau:

ã
Chng minh 2 ng thng ú ng phng, ri ỏp dng phng phỏp chng minh
song song trong hỡnh hc phng (nh tớnh cht ng trung bỡnh, nh lớ Talột o, )

ã
Chng minh 2 ng thng ú cựng song song vi ng thng th ba.

ã
p dng cỏc nh lớ v giao tuyn song song.
b) Chng minh ng thng song song vi mt phng
chng minh
()
dP
P
, ta chng minh d khụng nm trong (P) v song song vi mt
ng thng d
Â
no ú nm trong (P).
c) Chng minh hai mt phng song song
Chng minh mt phng ny cha hai ng thng ct nhau ln lt song song vi hai
ng thng trong mt phng kia.

CHNG 0

ễN TP HèNH HC KHễNG GIAN 11
I. QUAN H SONG SONG
Khi a din Trn S Tựng
Trang 2



1. Hai ng thng vuụng gúc
a) nh ngha: a
^
b


ả
(
)
0
,90
ab =
b) Tớnh cht
ã Gi s
u
r
l VTCP ca a,
v
r

l VTCP ca b. Khi ú
.0
abuv
^=
rr
.

ã

bc
ab
ac
ỡ
ÔÔ
ị^
ớ
^
ợ

2. ng thng v mt phng vuụng gúc
a) nh ngha: d
^
(P)

d
^
a,
"
a
è

(P)
b) Tớnh cht
ã iu kin ng thng ^ mt phng:
abPabO
dP
dadb
,(),
()
,
ỡ
èầ=
ị^
ớ
^^
ợ

ã
ab
Pb
Pa
()
()
ỡ
ị^
ớ
^
ợ
P
ã
ab

ab
aPbP(),()
ỡ
ạ
ị
ớ
^^
ợ
P

ã
PQ
aQ
aP
()()
()
()
ỡ
ị^
ớ
^
ợ
P
ã
PQ
PQ
PaQa
()()
())
(),()

ỡ
ạ
ị(
ớ
^^
ợ
P

ã
aP
ba
bP
()
()
ỡ
ị^
ớ
^
ợ
P
ã
aP
aP
abPb
()
)
,()
ỡ
ậ
ị(

ớ
^^
ợ
P

ã Mt phng trung trc ca mt on thng l mt phng vuụng gúc vi on thng ti
trung im ca nú.
Mt phng trung trc ca on thng l tp hp cỏc im cỏch u hai u mỳt ca
on thng ú.
ã nh lớ ba ng vuụng gúc
Cho
(),()
aPbP
^è, a l hỡnh chiu ca a trờn (P). Khi ú b ^ a b ^ aÂ
3. Hai mt phng vuụng gúc
a) nh ngha: (P)
^
(Q)


ã
(
)
0
90
PQ(),()=
b) Tớnh cht
ã iu kin hai mt phng vuụng gúc vi nhau:
()
()()

()
Pa
PQ
aQ
ỡ
ẫ
ị^
ớ
^
ợ

ã
()(),()()
()
(),
PQPQc
aQ
aPac
ỡ
^ầ=
ị^
ớ
è^
ợ
ã
()()
()()
,()
PQ
APaP

aAaQ
ỡ
^
ù
ẻịè
ớ
ù
'^
ợ

ã
()()
()()()
()()
PQa
PRaR
QR
ỡ
ầ=
ù
^ị^
ớ
ù
^
ợ

4. Chng minh quan h vuụng gúc
a) Chng minh hai ng thng vuụng gúc
chng minh
da

^
, ta cú th s dng 1 trong cỏc cỏch sau:

ã
Chng minh gúc gia a v d bng 90
0
.

ã
Chng minh 2 vect ch phng ca a v d vuụng gúc vi nhau.

ã
Chng minh
db
^
m
ba
P
.

ã
Chng minh d vuụng gúc vi (P) v (P) cha a.

ã
S dng nh lớ ba ng vuụng gúc.
II. QUAN H VUễNG GểC
Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
Trang 3

·
Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …).
b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh d ^ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

·
Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).

·
Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).

·
Chứng minh d // a và a
^
(P).

·
Chứng minh d
Ì
(Q) với (Q)
^
(P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).

·
Chứng minh d = (Q)
Ç
(R) với (Q)
^
(P) và (R)
^

(P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P) ^ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

·
Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a
^
(Q).

·
Chứng minh
·
(
)
0
(),()90
PQ=




1. Góc
a) Góc giữa hai đường thẳng: a//a', b//b' Þ
¶
(
)
·
(
)
,','

abab
=
Chú ý: 0
0
£
¶
(
)
ab
,
£ 90
0

b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:
· Nếu d ^ (P) thì
·
(
)
,()
dP
= 90
0
.
· Nếu
()
dP
^ thì
·
(
)

,()
dP
=
·
(
)
,'
dd
với d¢ là hình chiếu của d trên (P).
Chú ý: 0
0
£
·
(
)
,()
dP
£ 90
0

c) Góc giữa hai mặt phẳng
·
(
)
¶
(
)
()
(),(),
()

aP
PQab
bQ
ì
^
Þ=
í
^
î

· Giả sử (P) Ç (Q) = c. Từ I Î c, dựng
(),
(),
aPac
bQbc
ì
Ì^
í
Ì^
î
Þ
·
(
)
¶
(
)
(),(),
PQab
=

Chú ý:
·
(
)
00
0(),()90
PQ££
d) Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S¢ là diện tích của hình chiếu (H¢) của (H)
trên (Q), j =
·
(
)
(),()
PQ
. Khi đó: S
¢
= S.cos
j

2. Khoảng cách
a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông
góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).
b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một
điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng.
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì
trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:

·

Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

·
Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia
và song song với đường thẳng thứ nhất.

·
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song
song với đường thẳng kia.
III. GÓC – KHOẢNG CÁCH
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
Trang 4




1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho DABC vuông tại A, có đường cao AH.
·
222
ABACBC
+=
·
22
ABBCBHACBCCH
.,.
== ·
222
111
AHABAC

=+
·
ABBCCBCBACCACB
.sin.cos.tan.cot
====

b) Cho DABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m
a
, m
b
, m
c
; bán kính
đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.
· Định lí hàm số cosin:

222222
22
222
a=bc2bccosA;bcacaBcababC
– cos;.cos
+=+-=+-
· Định lí hàm số sin: R
C
c
B
b
A
a
2

sin
sin
sin
===
· Công thức độ dài trung tuyến:

222222222
222
242424
abc
bcacababc
mmm;;
+++
=-=-=-

2. Các công thức tính diện tích
a) Tam giác:
·
cba
hchbhaS .
2
1
.
2
1
.
2
1
=== · CabBcaAbcS sin
2

1
sin.
2
1
sin
2
1
===
·
R
abc
S
4
= · prS
=
·
(
)
(
)
(
)
Sppapbpc
=

· DABC vuông tại A:
2
SABACBCAH

==

· DABC đều, cạnh a:
2
3
4
a
S =
b) Hình vuông: S = a
2
(a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành: S = đáy
´
cao =
·
ABADsinBAD


e) Hình thoi:
·
1
2
SABADsinBADACBD

==
f) Hình thang:
( )
hbaS .
2
1

+= (a, b: hai đáy, h: chiều cao)
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
1
2
SACBD
.
=








IV. Nhắc lại một số công thức
trong Hình học phẳng
Trn S Tựng Khi a din
Trang 5




1. Th tớch ca khi hp ch nht:

Vabc
=
vi a, b, c l ba kớch thc ca khi hp ch nht.
2. Th tớch ca khi chúp:

1
3
ủaựy
VSh
.
=
vi S
ỏy
l din tớch ỏy, h l chiu cao ca khi chúp
3. Th tớch ca khi lng tr:

ủaựy
VSh
.
=
vi S
ỏy
l din tớch ỏy, h l chiu cao ca khi lng tr
4. Mt s phng phỏp tớnh th tớch khi a din
a) Tớnh th tớch bng cụng thc

ã
Tớnh cỏc yu t cn thit: di cnh, din tớch ỏy, chiu cao,

ã
S dng cụng thc tớnh th tớch.
b) Tớnh th tớch bng cỏch chia nh
Ta chia khi a din thnh nhiu khi a din nh m cú th d dng tớnh c th
tớch ca chỳng. Sau ú, cng cỏc kt qu ta c th tớch ca khi a din cn tớnh.
c) Tớnh th tớch bng cỏch b sung

Ta cú th ghộp thờm vo khi a din mt khi a din khỏc sao cho khi a din thờm
vo v khi a din mi to thnh cú th d tớnh c th tớch.
d) Tớnh th tớch bng cụng thc t s th tớch
Ta cú th vn dng tớnh cht sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz khụng ng phng. Vi bt kỡ cỏc im A, A trờn Ox; B, B'
trờn Oy; C, C' trờn Oz, ta u cú:

OABC
OABC
V
OAOBOC
VOAOBOC
'''

'''
=

* B sung
ã Din tớch xung quanh ca hỡnh lng tr (hỡnh chúp) bng tng din tớch cỏc mt bờn
ã Din tớch ton phn ca hỡnh lng tr (hỡnh chúp) bng tng din tớch xung quanh vi
din tớch cỏc ỏy.

Baứi 1. Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a. Gúc gia
mt bờn v mt ỏy bng a (45
0
< a < 90
0
). Tớnh th tớch hỡnh chúp.
HD: Tớnh h =
1

2
a
tan
a

ị
Va
3
1
tan
6
=a

Baứi 2. Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh 2a, cnh bờn
SA = a
5
. Mt mt phng (P) i qua AB v vuụng gúc vi mp(SCD) ln lt ct SC v
SD ti CÂ v DÂ. Tớnh th tớch ca khi a din ADDÂ.BCCÂ.
HD: Ghộp thờm khi S.ABC'D' vo khi ADD'.BCC' thỡ c khi SABCD

ị

a
V
3
53
6
=
Baứi 3. Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú SA = x, BC = y, cỏc cnh cũn li u bng 1.
Tớnh th tớch hỡnh chúp theo x v y.

HD: Chia khi SABC thnh hai khi SIBC v AIBC (I l trung im SA)
CHNG I

KHI A DIN V TH TCH CA CHNG
Khi a din Trn S Tựng
Trang 6


ị

xy
Vxy
22
4
12
=

Baứi 4. Cho t din ABCD cú cỏc cnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Tớnh th
tớch t din theo a, b, c.
HD: Trong mp(BCD) ly cỏc im P, Q, R sao cho B, C, D ln lt l trung im ca
PQ, QR, RP. Chỳ ý: V
APQR
= 4V
ABCD
=
1
6
APAQAR

ị

Vabcbcacab
222222222
2
()()()
12
=+-+-+-
Baứi 5. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, SA = 2a v SA ^
(ABC).Gi M v N ln lt l hỡnh chiu ca A trờn cỏc ng thng SB v SC. Tớnh th
tớch khi chúp A.BCNM.
HD:
2
2
2
16
25
SAMN
SABC
V
SASMSNSA
VSASBSC
SB

ổử
===
ỗữ
ỗữ
ốứ

ị

a
V
3
33
50
=
Baứi 6. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh 7cm, SA ^ (ABCD), SB
= 7
3
cm. Tớnh th tớch ca khi chúp S.ABCD.
Baứi 7. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A vi AB = 3 cm, AC =
4cm. Hai mt phng (SAB) v (SAC) cựng vuụng gúc vi mt phng ỏy v SA = 5cm.
Tớnh th tớch khi chúp S.ABC.
Baứi 8. Cho hỡnh t din ABCD cú AD ^ (ABC). Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC =
5cm.
a) Tớnh khong cỏch t A n mp(BCD).
b) Tớnh th tớch t din ABCD.
Baứi 9. Cho lng tr tam giỏc u ABC.AÂBÂCÂ cú mp(ABCÂ) to vi ỏy mt gúc 45
0
v
din tớch DABCÂ bng 49
6
cm
2
. Tớnh th tớch lng tr.
Baứi 10. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh a, cỏc na ng thng Bx, Dy vuụng gúc vi
mp(ABCD) v v cựng mt phớa i vi mt phng y. Trờn Bx v Dy ln lt ly cỏc

im M, N v gi BM = x, DN = y. Tớnh th tớch t din ACMN theo a, x, y.
Baứi 11. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht vi AB =a, AD = a
2
, SA
^ (ABCD). Gi M,N ln lt l trung im ca AD v SC, I l giao im ca BM v AC.
a) Chng minh mp(SAC) ^ BM.
b) Tớnh th tớch ca khi t din ANIB.
Baứi 12. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a, SA = 2a v SA ^ (ABC).
Gi M v N ln lt l hỡnh chiu ca A trờn cỏc ng thng SB, SC. Tớnh th tớch khi
chúp A.BCNM.









Trn S Tựng Khi a din
Trang 7




Baứi 1. Cho hỡnh chúp t giỏc u SABCD, cú cnh ỏy bng a v
ã
ASB
a
=

.
a) Tớnh din tớch xung quanh hỡnh chúp.
b) Chng minh chiu cao ca hỡnh chúp bng
2
1
22
a
cot
a
-

c) Tớnh th tớch khi chúp.
HD: a) S
xq
=
2
2
a
cot
a
c) V =
32
1
1
62
acot
a
-

Baứi 2. Cho hỡnh chúp SABC cú 2 mt bờn (SAB) v (SAC) vuụng gúc vi ỏy. ỏy ABC l

tam giỏc cõn nh A, trung tuyn AD = a. Cnh bờn SB to vi ỏy gúc a v to vi
mp(SAD) gúc b.
a) Xỏc nh cỏc gúc a, b.
b) Chng minh: SB
2
= SA
2
+ AD
2
+ BD
2
.
c) Tớnh din tớch ton phn v th tớch khi chúp.
HD: a)
ã
ã
SBABSD;
ab
==

c) S
tp
=
22
22
22
1
22
2
aasin

(sinsin)
cossin
cossin
b
ab
ab
ab
++
-
-

V =
3
22
3
asin.sin
(cossin)
ab
ab
-

Baứi 3. Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a. Mt bờn SAB l tam
giỏc u v vuụng gúc vi ỏy. Gi H l trung im ca AB v M l mt im di ng
trờn ng thng BC.
a) Chng minh rng SH ^ (ABCD). Tớnh th tớch khi chúp SABCD.
b) Tỡm tp hp cỏc hỡnh chiu ca S lờn DM.
c) Tỡm khong cỏch t S n DM theo a v x = CM.
HD: b) K thuc ng trũn ng kớnh HD c) SK =
22
22

744
2
aaaxx
ax
-+
+

Baứi 4. Trờn ng thng vuụng gúc ti A vi mt phng ca hỡnh vuụng ABCD cnh a ta
ly im S vi SA = 2a. Gi BÂ, DÂ l hỡnh chiu ca A lờn SB v SD. Mt phng (ABÂDÂ)
ct SC ti CÂ. Tớnh th tớch khi chúp SABÂCÂDÂ.
HD:
8
15
SABC
SABC
V
V
ÂÂ
=

ị
V
SAB
Â
C
Â
D
Â

=

3
16
45
a

Baứi 5. Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh. Mt mt phng (P) ct SA,
SB, SC, SD ln lt ti AÂ, BÂ, CÂ, DÂ. Chng minh:

SASCSBSD
SASCSBSD
+=+
ÂÂÂÂ

HD: S dng tớnh cht t s th tớch hỡnh chúp
Baứi 6. Cho t din u SABC cú cnh l a. Dng ng cao SH.
a) Chng minh SA ^ BC.
b) Tớnh th tớch v din tớch ton phn ca hỡnh chúp SABC.
ễN TP KHI A DIN
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
Trang 8

c) Gọi O là trung điểm của SH. Chứng minh rằng OA, OB, OC đôi một vuông góc với
nhau.
HD: b) V =
3
2
12
a
; S
tp

=
2
3
a .
Baøi 7. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 60
0
và cạnh đáy
bằng a.
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và
hình chóp.
HD: a) V =
3
6
6
a
b) S =
2
3
3
a

Baøi 8. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên là
a.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp theo a và h.
b) Cho điểm M di động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB).
HD: a) S
xq
=
2

2
4
1
h
tan
tan
a
a
-
; V =
3
2
4
31
h
(tan)
a
-

Baøi 9. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0 £
x £ a) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông, người
ta lấy điểm S với SA = y (y > 0).
a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) và (SBC) vuông góc.
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC).
c) Tính thể tích khối chóp SABCM.
d) Với giả thiết
222
xya
+=
. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích với SABCM.

e) I là trung điểm của SC. Tìm quĩ tích hình chiếu của I xuống MC khi M di động trên
đoạn AD.
HD: b) d =
2
2
x
c) V =
1
6
ayxa
()
+
d) V
max
=
3
1
3
24
a
Baøi 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA
vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc a và hợp với mặt bên SAB một góc b.
a) Chứng minh: SC
2
=
2
22
a
cossin
ab

-
.
b) Tính thể tích khối chóp.
HD: b) V =
3
22
3
asin.sin
(cossin)
ab
ab
-

Baøi 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và
vuông góc với mặt phẳng đáy.
a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
b) Hạ AE ^ SB, AF ^ SD. Chứng minh SC ^ (AEF).
Baøi 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và
SA = SB = SC = SD = a. Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp S.ABCD.
Baøi 13. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là ABCD hình thang vuông tại A và D, AB =
AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD ^ (ABCD) và SD = a .
a) Chứng minh DSBC vuông. Tính diện tích DSBC.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
Trang 9

Baøi 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB =
AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD ^ (ABCD), SD
3
a

= . Từ trung điểm E của DC dựng
EK ^ SC (K Î SC). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC ^ (EBK).
Baøi 15. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết
rằng AB = 2a, AD = CD = a (a > 0). Cạnh bên SA = 3a và vuông góc với đáy.
a) Tính diện tích tam giác SBD.
b) Tính thể tích của tứ diện SBCD theo a.
Baøi 16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông
góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD
^
SB và AE
^
SC. Biết AB = a, BC = b, SA =
c.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ADE.
b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB).
Baøi 17. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a, đường chéo của mặt bên
BCC¢B¢ hợp với mặt bên ABB¢A¢ một góc a.
a) Xác định góc a.
b) Chứng minh thể tích lăng trụ là:
3
3
33
8
a sin
sin
a
a
.
HD: a)
·

CBI
¢¢
với I
¢
là trung điểm của A
¢
B
¢

Baøi 18. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢, chiều cao h. Mặt phẳng (A¢BD) hợp với
mặt bên ABB¢A¢ một góc a. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.
HD: V =
32
1
h tan
a
-
, S
xq
=
22
41
h tan
a
-
.
Baøi 19. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC vuông tại A. Khoảng cách từ AA¢ đến mặt
bên BCC¢B¢ bằng a, mp(ABC¢) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy góc a.
a) Dựng AH ^ BC, CK ^ AC¢. Chứng minh: AH = a,
·

CAC
¢
= a, CK = b.
b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Cho a = b không đổi, còn a thay đổi. Định a để thể tích lăng trụ nhỏ nhất.
HD: b) V =
3
222
2
ab
basinsin
aa
-
c)
a
= arctan
2
2

Baøi 20. Cho lăng trụ đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC¢ và
đáy là 60
0
. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: V = a
3
6
; S
xq
= 4a
2

6

Baøi 21. Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên là h. Từ một đỉnh vẽ 2 đường chéo của 2 mặt
bên kề nhau. Góc giữa 2 đường chéo ấy là a. Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: S
xq
= 4h
2
1
cos
cos
a
a
-
.
Baøi 22. Cho lăng trụ tam giác đều ABc.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng (ABC¢) hợp với
mp(BCC¢B¢) một góc a. Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC¢.
a) Chứng minh
·
AJI
= a.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: b) V =
3
2
3
43
a
tan
a

-
; S
xq
= 3a
2
2
3
3
tan
a
-
.
Baøi 23. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy là tam giác đều cạnh a, AA¢ = A¢B = A¢C = b.
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
Trang 10

a) Xác định đường cao của lăng trụ vẽ từ A¢. Chứng minh mặt bên BCC¢B¢ là hình chữ
nhật.
b) Định b theo a để mặt bên ABB¢A¢ hợp với đáy góc 60
0
.
c) Tính thể tích và diện tích toàn phần theo a với giá trị b tìm được.
HD: b) b = a
7
12
c) S
tp
=
2
7321

6
a
()
+
Baøi 24. Cho hình lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt
bên ABB¢A¢ là hình thoi cạnh a, nằm trên mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên
ACC¢A¢ hợp với đáy góc nhị diện có số đo a (0 < a < 90
0
).
a) Chứng minh:
·
AAB
¢
= a.
b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Xác định thiết diện thẳng qua A. Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
d) Gọi b là góc nhọn mà mp(BCC¢B¢) hợp với mặt phẳng đáy.
Chứng minh: tanb =
2
tana.
HD: b) V =
1
2
a
3
sin
a
c) S
xq
= a

2
(1 + sin
a
+
2
1 sin
a
+ )
Baøi 25. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A¢ lên
mp(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC). Cho
·
BAA
¢
= 45
0
.
a) Tính thể tích lăng trụ. b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ.
HD: a) V =
2
2
8
a
b) S
xq
= a
2
(1 +
2
2
).

Baøi 26. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn
tâm O. Hình chiếu của C¢ lên mp(ABC) là O. Khoảng cách giữa AB và CC¢ là d và số đo
nhị diện cạnh CC¢ là 2j.
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢.
b) Gọi a là góc giữa 2 mặt phẳng (ABB¢A¢) và (ABC) (0 < a < 90
0
).
Tính j biết a + j = 90
0
.
HD: a) V =
33
2
2
31
d tan
tan
j
j
-
b) tan
a
=
2
1
31
tan
j
-
;

j
= arctan
2
2

Baøi 27. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Mặt
bên ABBA¢ là hình thoi, mặt bên BCC¢B¢ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, hai
mặt này hợp với nhau một góc a.
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCC¢B¢). Xác định góc a.
b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A¢B¢C¢ .
HD: a)
3
2
a
. Gọi AK là đường cao của
D
ABC; vẽ KH
^
BB
¢
.
·
AHK
=
a
.
b) V =
3
3
2

a
cot
a
.
Baøi 28. Cho hình hộp đứng ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy là hình thoi. Biết diện tích 2 mặt chéo
ACC¢A¢, BDD¢B¢ là S
1
, S
2
.
a) Tính diện tích xung quanh hình hộp.
b) Biết
·
BAD
¢
= 1v. Tính thể tích khối hộp.
Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
Trang 11

HD: a) S
xq
= 2
22
12
SS
+ b) V =
12
22
4
21

2
2
SS
SS
.
-

Baøi 29. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢, đường chéo AC¢ = d hợp với đáy ABCD
một góc a và hợp với mặt bên BCC¢B¢ một góc b.
a) Chứng minh:
·
·
CACvaøACB
ab
¢¢
==
.
b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d
3
sina.sinb
cos().cos()
abab
+-

c) Tìm hệ thức giữa a, b để A¢D¢CB là hình vuông. Cho d không đổi, a và b thay đổi mà
A¢D¢CB luôn là hình vuông, định a, b để V lớn nhất.
HD: c) 2(cos
2
a
– sin

2
b
) = 1 ; V
max
=
3
2
32
d
khi
a
=
b
= 30
0
(dùng Côsi).
Baøi 30. Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D’ có đáy là hình thoi ABCD cạnh a,
µ
A
= 60
0
. Chân
đường vuông góc hà từ B¢ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo của đáy.
Cho BB¢ = a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp.
HD: a) 60
0
b) V =
3

3
4
a
; S
xq
= a
2
15
.
Baøi 31. Cho hình hộp xiên ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
·
BAD
= 60
0
;
A¢A = A¢B = A¢D và cạnh bên hợp với đáy góc a.
a) Xác định chân đường cao của hình hộp vẽ từ A¢ và góc a. Tính thể tích hình hộp.
b) Tính diện tích các tứ giác ACC¢A¢, BDD¢B¢.
c) Đặt b =
·
(
)
ABBAABCD
,
¢¢
. Tính a biết a + b =
4
p
.
HD: a) Chân đường cao là tâm của tam giác đều ABD.

b) S
BDD
¢
B
¢
=
2
3
3
a
sin
a
; S
ACC
¢
A
¢
= a
2
tan
a
c)
a
= arctan
173
4
-

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.


Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng
Trang 12




I. Mặt cầu – Khối cầu:
1. Định nghĩa
· Mặt cầu:
{
}
SORMOMR
(;)== · Khối cầu:
{
}
VORMOMR
(;)=£
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)).
· Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và
bán kính
22
rRd

=-
.
· Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H. ((P) đgl tiếp diện của (S))
· Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung.
Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính
bằng R đgl đường tròn lớn.
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng D. Gọi d = d(O; D).
· Nếu d < R thì D cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
· Nếu d = R thì D tiếp xúc với (S). (
D
đgl tiếp tuyến của (S)).
· Nếu d > R thì D và (S) không có điểm chung.
4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp
Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp
Hình đa diện
Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều
nằm trên mặt cầu
Tất cả các mặt của hình đa diện đều
tiếp xúc với mặt cầu
Hình trụ
Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm
trên mặt cầu
Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và
mọi đường sinh của hình trụ
Hình nón
Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn
đáy của hình nón
Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi
đường sinh của hình nón

5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
· Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì
tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.
· Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
– Xác định trục D của đáy (
D
là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm
đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
– Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.
– Giao điểm của (P) và D là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

II. Diện tích – Thể tích
Cầu Trụ Nón
Diện tích
2
4
SR
p
=

2
xq
SRh
p
=
2
tpxqñaùy
SSS
=+

xq
SRl
p
=
tpxqñaùy
SSS
=+
Thể tích
3
4
3
VR
p
=
2
VRh
p
=

2
1
3
VRh
p
=



CHƯƠNG II

KHỐI TRÒN XOAY
Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay
Trang 13

VẤN ĐỀ 1: Mặt cầu – Khối cầu

Baøi 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và )(ABCSA
^
.
a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A,
B, C, S cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính
2
SC
R = .
b) Cho SA = BC = a và
2aAB =
. Tính bán kính mặt cầu nói trên.
Baøi 2. Trong mặt phẳng (P), cho đường thẳng d và một điểm A ngồi d. Một góc xAy di
động quanh A, cắt d tại B và C. Trên đường thẳng qua A vuông góc với (P) lấy điểm S.
Gọi H và K là các hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC.
a) Chứng minh A, B, C, H, K thuộc cùng một mặt cầu.
b) Tính bán kính mặt cầu trên, biết AB = 2, AC = 3,
·
0
0
BAC6
=
.
Baøi 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, )(ABCDSA
^

và
3aSA = . Gọi O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC.
a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm
điểm S, D, A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB.
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên.
Baøi 4. Cho mặt cầu S(O; a) và một điểm A, biết OA = 2a. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc
với (S) tại B và cũng qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, biết 3aCD = .
a) Tính AB.
b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD.
Baøi 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và
đáy bằng 60
0
. Gọi O là tâm của tam giác ABC. Trong tam giác SAO dựng đường trung
trực của cạnh SA, cắt SO tại K.
a) Tính SO, SA.
b) Chứng minh
SMKSOA
DD
:
( với M là trung điểm của SA). Suy ra KS.
c) Chứng minh hình chóp K.ABC là hình chóp đều. suy ra: KA = KB +KC.
d) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Baøi 6. Cho hình chóp S.ABC. biết rằng có một mặt cầu bán kính R tiếp xúc với các cạnh
của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp.
a) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.
b) Tính chiều cao của hình chóp, biết rằng 3RIS =
Baøi 7. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Baøi 8. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc

60
0
.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó.
Baøi 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định tâm và
bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D.
Baøi 10. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là 13, 14, 15. Một mặt cầu tâm O, bán kính R =
5 tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC tại các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó. Tính
Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng
Trang 14

khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác.
Baøi 11. Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Baøi 12. Cho hình chóp từ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và
đáy bằng 60
0
. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Baøi 13. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a và đường cao h. Gọi O là tâm của
ABCD và H là trung điểm của BC. Đường phân giác trong của góc SHO cắt SO tại I.
Chứng minh rằng I là tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp. Tính bán kính mặt cầu này.
Baøi 14. Cho hình chóp S.ABC có SA ^ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Gọi AH, AK
lần lượt là các đường cao của các tam giác SAB và SAC.
a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Cho AB = 10, BC = 24. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.
Baøi 15. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA =
7
a
và SA ^

(ABCD). Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H,
M, K.
a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, H, M, K cùng ở trên một mặt cầu.
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó.

VẤN ĐỀ 2: Mặt trụ – Hình trụ – Khối trụ

Baøi 1. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên
đường tròn đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2 cm. Biết rằng thể tích tứ diện
OO¢AB bằng 8 cm
3
. Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.
Baøi 2. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng 2 cm. Trên
đường tròn đáy tâm O lấy điểm A sao cho AO¢ hợp với mặt phẳng đáy một góc
0
60
.
Tính chiều cao hình trụ và thể tích khối trụ.
Baøi 3. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O¢, bán kính đáy bằng chiều cao và
bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O¢ lấy điểm B
sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO¢AB.
Baøi 4. Một khối trụ có chiều cao bằng 20 cm và có bán kính đáy bằng 10 cm. Người ta kẻ hai
bán kính OA và O’B’ lần lượt trên hai đáy sao cho chúng hợp với nhau một góc 30
0
. Cắt
khối trụ bởi một mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ và song song với trục OO’ của khối
trụ đó. Hãy tính diện tích của thiết diện.
Baøi 5. Một hình trụ có bán kính đáy R = 53 cm, khoảng cách giữa hai đáy h = 56 cm. Một
thiết diện song song với trục là hình vuông. Tính khoảng cách từ trục đến mặt phẳng thiết
diện.

Baøi 6. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao OO¢ = h, A và B là hai điểm thay đổi trên hai
đường tròn đáy sao cho độ dài AB = a không đổi
(
)
22
4
hahR
><+ .
a) Chứng minh góc giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi.
b) Chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO’ không đổi.
Baøi 7. Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB và CD. Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình
trụ tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay được tạo nên.
b) Tính thể tích của khối trụ tròn xoay được tạo nên bởi hình trụ tròn xoay đó.
Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay
Trang 15

Baøi 8. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.
Baøi 9. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao bằng 3R ; A và B là hai điểm trên hai
đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 30
0
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
Baøi 10. Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h. Gọi A và B là hai điểm lần lượt nằm trên
hai đường tròn đáy (O, R) và (O¢, R) sao cho OA và O¢B hợp với nhau một góc bằng x và
và hai đường thẳng AB, O¢O hợp với nhau một góc bằng y.

a) Tính bán kính R theo h, x, y.
b) Tính S
xq
, S
tp
và thể tích V của hình trụ theo h, x, y.
Baøi 11. Cho hình trụ bán kính đáy bằng a và trục OO’ = 2a. OA và OB’ là hai bán kính của
hai đường tròn đáy (O), (O’) sao cho góc của OA và OB’ bằng 30
0
.
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB’.
b) Tính tang của góc giữa AB’ và OO’.
c) Tính khoảng cách giữa AB’ và OO’.
Baøi 12. Một khối trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính R và có đường cao
2Rh =
. Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn
tâm O’ sao cho OA vuông góc với O’B.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO’ là những tam giác vuông. Tính tỉ số
thể tích của khối tứ diện OABO’ và khối trụ.
b) Gọi
(
)
a
là mặt phẳng qua AB và song song với OO’. Tính khoảng cách giữa trục OO’
và mặt phẳng
(
)
a
.
c) Chứng minh rằng

(
)
a
là tiếp diện của mặt trụ có trục OO’ và có bán kính đáy bằng
2
2
R
.

VẤN ĐỀ 3: Mặt nón – Hình nón – Khối nón

Baøi 1. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạnh đáy bằng a, chiều cao 2a.
Biết rằng O¢ là tâm của A¢B¢C¢D¢ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD. Tính thể tích
khối nón có đỉnh O¢ và đáy (C).
Baøi 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢ có cạnh đáy bằng a và chiều cao 2a.
Biết rằng O¢ là tâm của A¢B¢C¢ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABC. Tính thể tích khối
nón có đỉnh O¢ và đáy (C).
Baøi 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một
góc
0
60
. Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Tính thể tích khối nón có đỉnh S
và đáy (C).
Baøi 4. Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, góc IOM bằng 30
0
và cạnh IM = a.
Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành
một hình nón tròn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay tạo thành.
b) Tính thể tích của khối nón tròn xoay tạo thành.

Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng
Trang 16

Baøi 5. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông
bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích của khối nón tương ứng.
c) Một thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc 60
0
. Tính diện tích của thiết diện này.
Baøi 6. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao
cho khoảng cách từ điểm O đến AB bằng a và
·
0
0
SAO3
=
,
·
0
0
SAB=6
. Tính độ dài đường
sinh của hình nón theo a.
Baøi 7. Thiết diện qua trục của một khối nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng
a. Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
Baøi 8. Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình
nón có đỉnh là tâm O của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông
A’B’C’D’.
Baøi 9. Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một

tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình và thể tích
của khối nón.
Baøi 10. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh bên bằng a và góc giữa các mặt bên và
mặt đáy là
a
. Một hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC, Hãy
tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và
a
.
Baøi 11. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và
·
SAB
a
=
(
a
> 45
0
).
Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình
vuông ABCD.
Baøi 12. Một hình nón có độ dài đường sinh bằng 1 và góc giữa đường sinh và đáy là
a
.
a) Tình diện tích xung quanh và thể tích của khối nón.
b) Gọi I là điểm trên đường cao SO của hình nón sao cho
( )
10 <<= kk
SO
SI

. Tính diện
tích của thiết diện qua I và vuông góc với trục.




















Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay
Trang 17



Baøi 1. Cho một tứ diện đều có cạnh là a.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng.

Baøi 2. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc
0
60
.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng.
Baøi 3. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, góc giữa mặt bên và đáy là a.
a) Tính bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp.
b) Tính giá trị của
tan
a
để các mặt cầu này có tâm trùng nhau.
Baøi 4. Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b. Hai mặt phẳng (ACD)
và (BCD) vuông góc với nhau.
a) Chứng minh tam giác ACD vuông.
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Baøi 5. Cho hình cầu tâm O bán kính R và đường kính SS¢. Một mặt phẳng vuông góc với
SS¢ cắt hình cầu theo một đường tròn tâm H. Gọi ABC là tam giác đều nội tiếp trong
đường tròn này. Đặt SH = x (0 < x < 2R).
a) Tính các cạnh của tứ diện SABC theo R, x.
b) Xác định x để SABC là tứ diện đều, khi đó tính thể tích của tứ diện và chứng minh
rằng các đường thẳng S¢A, S¢B, S¢C đôi một vuông góc với nhau.
Baøi 6. Trong mặt phẳng (P), cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a.
Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy một điêm di động S. Một mặt phẳng
qua A vuông góc với SB, cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R.
a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính
diện tích của mặt cầu đó.
b) Co SA =
3
a

. Tính diện tích của tứ giác APQR.
Baøi 7. Cho một đoạn thẳng IJ có chiều dài c. Trên đường thẳng vuông góc với IJ tại I ta lấy
hai điểm A, A¢ đối xứng qua I và IA = IA¢ = a. Trên đường thẳng vuông góc với IJ tại J
và không song song với AA¢ ta lấy hai điểm B, B¢ đối xứng qua J và JB = JB¢ = b.
a) Chứng minh rằng tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA¢B¢B nằm trên đường thẳng
IJ.
b) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA¢B¢B theo a, b, c.
Baøi 8. Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC)
vuông góc với nhau và
·
0
90
BDC =
. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD.
Baøi 9. Cho hình cầu bán kính R. Từ một điểm S bất kỳ trên mặt cầu, dựng ba cát tuyến bằng
nhau, cắt mặt cầu tại A, B, C sao cho:
·
·
·
ASBASC =BSC
a
==
. Tính thể tích V của tứ
diện SABC theo R và
a
.
Baøi 10. Cho tứ diện SABC có SA ^ (ABC), SA = a, AB = b, AC = c. Xác định tâm và tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:
a)

·
0
90
BAC =
b)
·
0
60
BAC =
, b = c c)
·
0
120
BAC =
, b = c.
Baøi 11. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định
tâm, bán kính và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.
ÔN TẬP KHỐI TRÒN XOAY
Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng
Trang 18

Baøi 12. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
a) Tính S
xq
và S
tp
của hình trụ.
b) Tính V khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.
Baøi 13. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao
3

R
. A và B là 2 điểm trên 2 đường
tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là
0
30
.
a) Tính diện tích của thiết diện qua AB và song song với trục của hình trụ.
b) Tính S
xq
và S
tp
của hình trụ.
c) Tính thể tích khối trụ tương ứng.
Baøi 14. Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà 2 đỉnh
liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ 1 của hình trụ, 2 đỉnh còn lại nằm trên đường
tròn đáy thứ 2 của hình trụ. Mặt phẳng chứa hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc
0
45
. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đó.
Baøi 15. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông
bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích khối nón tương ứng.
Baøi 16. Cho hình nón có đường cao SO = h và bán kính đáy R. Gọi M là điểm trên đoạn OS,
đặt OM = x (0 < x < h).
a) Tính diện tích thiết diện (C) vuông góc với trục tại M.
b) Tính thể tích V của khối nón đỉnh O và đáy (C) theo R, h và x. Xác định x sao cho V
đạt giá trị lớn nhất.
Baøi 17. Một hình nón đỉnh S có chiều cao SH = h và đường sinh bằng đường kính đáy. Một
hình cầu có tâm là trung điểm O của đường cao SH và tiếp xúc với đáy hình nón.

a) Xác định giao tuyến của mặt nón và mặt cầu.
b) Tính diện tích của phần mặt nón nằm trong mặt cầu.
c) Tính S mặt cầu và so sánh với diện tích toàn phần của mặt nón.
Baøi 18. Cho hình nón tròn xoay đỉnh S. Trong đáy của hình nón đó có hình vuông ABCD nội
tiếp, cạnh bằng a. Biết rằng
·
00
2045
ASB
,()
aa
=<< . Tính thể tích khối nón và diện
tích xung quanh của hình nón.
Baøi 19. Cho hình nón có bán kính đáy bằng R và góc ở đỉnh là 2
a
. Trong hình nón có một
hình trụ nội tiếp. Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, biết rằng thiết diện qua trục
của hình trụ là một hình vuông.
Baøi 20. Cho hình nón có bán kính đáy R, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón là
a
.
Một mặt phẳng (P) song song với đáy của hình nón, cách đáy hình nón một khoảng h, cắt
hình nón theo đường tròn (C). Tính bán kính đường tròn (C) theo R, h và
a
.

Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay
Trang 19



Baøi 1. Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ^ (ABC) và
SA = a. M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đặt
·
ACM
=a
, hạ SH vuông góc với
đường thẳng CM.
a) Tìm quỹ tích điểm H. Suy ra giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC.
b) Hạ AI ^ SC, AK ^ SH. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAKI.
HD: a) Quĩ tích điểm H là một cung tròn. MaxV
SAHC
=
3
12
a


b) AK =
2
1

asin
sin
a
a
+
,

SK =
2
1
a
sin
a
+
, V =
3
2
2
241
a sin
(sin)
a
a
+

Baøi 2. Cho DABC cân tại A có AB = AC = a và góc
·
BAC2
=a
. Trên đường thẳng d qua A

và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S sao cho SA = 2a. Gọi I là trung điểm của
BC. Hạ AH ^ SI.
a) Chứng minh AH ^ (SBC). Tính độ dài AH theo a, a.
b) K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt
AK
x
AI
=
. Mặt phẳng (R) qua K và vuông góc
với AI cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
Tính diện tích tứ giác này.
HD: a) AH =
2
2
4
a.cos
cos
a
a
+
b) S
MNPQ
=
2
41
axxa
(–)sin
.
Baøi 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x
æö

ç÷
ç÷
èø
2
0 < x <
2
và AC = AD = BC = BD = 1.
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.
a) Chứng minh AB ^ CD và IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x. Tìm x để thể tích này lớn nhất và tính giá trị lớn
nhất đó.
HD: b) V =
22
212
3
xx
-
; MaxV =
2
93
khi x =
3
3

Baøi 4. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a, có tâm là O. Trên các nửa
đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P) lấy lần lượt hai
điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y.
a) Tính độ dài MN. Từ đó chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để OMN vuông tại O
là:
2

2
xya
=
.
b) Giả sử M, N thay đổi sao cho OMN vuông tại O. Tính thể tích tứ diện BDMN. Xác
định x, y để thể tích tứ diện này bằng
3
a
4
.
HD: a) MN =
22
2
axy
()
+- b) V =
3
6
a
xy
()
+
, (x, y) =
2
a
a
;
æö
ç÷
èø

hoặc
2
a
a
;
æö
ç÷
èø
.
Baøi 5. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của 2
đường chéo của hình vuông ABCD. Trên đường thẳng Ox vuông góc (P) lấy điểm S. Gọi
ÔN TẬP TỔNG HỢP
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Khi trũn xoay Trn S Tựng
Trang 20

a l gúc nhn to bi mt bờn v mt ỏy ca hỡnh chúp SABCD.
a) Tớnh th tớch v din tớch ton phn ca hỡnh chúp SABCD theo a v a.
b) Xỏc nh ng vuụng gúc chung ca SA v CD. Tớnh di ng vuụng gúc chung
ú theo a v a.
HD: a) V =
3
6
a
tan
a
, S
tp
=
2

1
1a
cos
a
ổử
+
ỗữ
ốứ
b) d =
a
tan
cos
a
a

Baứi 6. Trờn na ng trũn ng kớnh AB = 2R ly mt im C tựy ý. Dng CH vuụng
gúc vi AB (H thuc on AB) v gi I l trung im ca CH. Trờn na ng thng It
vuụng gúc vi mt phng (ABC) ti I ly im S sao cho gúc
ã
ASB
= 90
o
.
a) Chng minh tam giỏc SHC l tam giỏc u.
b) t AH = h. Tớnh th tớch V ca t din SABC theo h v R.
HD: b) V =
( )
3
2
Rh2Rh

Baứi 7. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh 2a. Trờn ng thng d qua trung im I ca cnh AB
v vuụng gúc vi mt phng (ABCD) ly im E sao cho IE = a. M l im thay i trờn
cnh AB, h EH ^ CM. t BM = x.
a) Chng minh im H di ng trờn mt ng trũn. Tớnh di IH.
b) Gi J l trung im ca on CE. Tớnh di JM v tỡm giỏ tr nh nht ca JM.
HD: a) IH =
22
2
4
axa
ax
-
+
b) JM =
2
2
5
24
aa
x
ổử
-+
ỗữ
ốứ
MinJM =
5
2
a

khi x =
2
a

Baứi 8. Cho hỡnh hp ch nht ABCDA'B'C'D' v im M trờn cnh AD. Mt phng (A'BM)
ct ng chộo AC' ca hỡnh hp ti im H.
a) Chng minh rng khi M thay i trờn cnh AD thỡ ng thng MH ct ng thng
A'B ti mt im c nh.
b) Tớnh t s th tớch ca hai khi a din to bi mt phng A'BM ct hỡnh hp trong
trng hp M l trung im ca cnh AD.
c) Gi s AA' = AB v MB vuụng gúc vi AC. Chng minh rng mt phng A'BM
vuụng gúc vi AC' v im H l trc tõm ca tam giỏc A'BM.
HD: a) MH ct A
Â
B ti trung im I ca A
Â
B. b)
1
2
1
11
V
V
=

Baứi 9. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh bng a. I l trung im AB. Qua I dng ng vuụng
gúc vi mt phng (ABCD) v trờn ú ly im S sao cho 2IS = a
3
.
a) Chng minh rng tam giỏc SAD l tam giỏc vuụng.

b) Tớnh th tớch khi chúp S.ACD ri suy ra khong cỏch t C n mt phng (SAD).
HD: b) V =
3
3
12
a
, d =
3
2
a

Baứi 10. Cho hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD cú AB = a, AD = 2a, AA = a.
a) Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AD v BC.
b) Gi M l im chia trong on AD theo t s
3
AM
MD
=
. Hóy tớnh khong cỏch t im
M n mt phng (ABC).
c) Tớnh th tớch t din ABDC.
HD: a) d(AD
Â
, B
Â
C) = a b) d(M, (AB
Â
C)) =
2
a

c) V =
3
2
3
a

Baứi 11. Trong mt phng (P), cho mt hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng a. S l mt im bt
Trần Sĩ Tùng Khối tròn xoay
Trang 21

kỳ nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A.
a) Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD khi SA = 2a.
b) M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD (M Î CB, N Î CD) và đặt
CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và
(SAN) tạo với nhau một góc 45°.
HD: a) V =
3
a6
p
b)
(
)
0
2
2a2mnamn–
++=

Baøi 12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
()
SAABCD

^
và
2
SAa
=
.Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc
·
a
=
ACM
. Hạ
SNCM
^
.
a) Chứng minh N luôn thuộc một đường tròn cố định và tính thể tích tứ diện SACN theo
a
và
a
.
b) Hạ
AHSC
^
,
AKSN
^
. Chứng minh rằng
()
SCAHK
^
và tính độ dài đoạn HK.

HD: a) N thuộc đường tròn đường kính AC cố định, V =
3
2
2
6
a
sin
a

b) HK =
cos
2
1sin
a
a
+
a

Baøi 13. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC đôi một vuông góc. Đặt SA = a,
SB = b, SC = c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Tính độ dài đoạn SG theo a, b, c.
b) Một mặt phẳng (P) tuỳ ý đi qua S và G cắt đoạn AB tại M và cắt đoạn AC tại N.
i) Chứng minh rằng
3
ABAC
AMAN
+=
.
ii) Chứng minh rằng mặt cầu đi qua các điểm S, A, B, C có tâm O thuộc mặt phẳng
(P). Tính thể tích khối đa diện ASMON theo a, b, c khi mặt phẳng (P) song song với BC

HD: a) SG =
1
222
3
++
abc
b) V =
1
9
abc

Baøi 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên nửa đường
thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, ta lấy điểm S sao cho góc
·
60
=°
SCB
.
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD.
b) Gọi (
a
) là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Tính diện tích
thiết diện tạo bởi (
a
) và hình chóp S.ABCD.
HD: a) d(BC, SD) =
6
3
a
b) S =

2
6
4
a

Baøi 15. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = x
(0
£
x
£
a). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy
điểm S sao cho SA = y (y > 0).
a) Chứng minh rằng (SAB) ^ (SBC).
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).
c) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x.
d) Biết rằng x
2
+ y
2
= a
2
. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM.
HD: b) d(M, (SAC)) =
2
2
x
c) V =
1
()
6

yaax
+

d) MaxV =
3
3
8
a
khi x =
2
a

Baøi 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A;
·
0
30
ABC =
; SBC là tam
Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng
Trang 22

giác đều cạnh a. Mặt bên SAB vuông góc với đáy ABC. M là trung điểm SB.
a) Chứng minh AM là đoạn vuông góc chung của SB và AC. Tính cosin góc giữa 2 mặt
phẳng (SAC) và (ABC).
b) Tính thể tích của hình chóp S.ABC.
HD: a)
·
1
3
SABcos

=
b) V =
3
2
24
a

Baøi 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc
µ
0
120
A =
, BD = a > 0. Cạnh
bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60
0
. Một mặt phẳng
(P) đi qua BD và vuông góc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp
do mặt phẳng (P) tạo ra khi cắt hình chóp.
HD:
1
2
1
12
V
V
=

Baøi 18. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ =
2
3a

và góc
·
0
60
BAD =
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh
rằng AC¢ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
HD: V =
3
3
16
a

Baøi 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh
SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
o
. Trên cạnh SA lấy
điểm M sao cho AM =
3
3a
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích
khối chóp S.BCNM .
HD: V =
27
310
3
a

Baøi 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
·

0
60
BAD =
, SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P)
đi qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’.
Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.
HD: V =
18
3
3
a








Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.

Trn S Tựng PP To trong khụng gian
Trang 23





1. nh ngha v cỏc phộp toỏn

ã nh ngha, tớnh cht, cỏc phộp toỏn v vect trong khụng gian c xõy dng hon ton
tng t nh trong mt phng.
ã Lu ý:
+ Qui tc ba im: Cho ba im A, B, C bt k, ta cú:
ABBCAC
+=
uuuruuuruuur

+ Qui tc hỡnh bỡnh hnh: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, ta cú:
ABADAC
+=
uuuruuuruuur

+ Qui tc hỡnh hp: Cho hỡnh hp ABCD.AÂBÂCÂDÂ, ta cú:
ABADAAAC
''
++=
uuuruuuruuuruuuur

+ Hờù thc trung im on thng: Cho I l trung im ca on thng AB, O tu ý.
Ta cú:
0
IAIB
+=
uuruur
r
;
2
OAOBOI
+=

uuuruuuruur

+ H thc trng tõm tam giỏc: Cho G l trng tõm ca tam giỏc ABC, O tu ý.
Ta cú: 03
GAGBGCOAOBOCOG
;++=++=
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
r

+ H thc trng tõm t din: Cho G l trng tõm ca t din ABCD, O tu ý.
Ta cú: 04
GAGBGCGDOAOBOCODOG
;+++=+++=
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
r

+ iu kin hai vect cựng phng: 0
avaứbcuứngphửụngakRbka
()!:
ạ$ẻ=
r
rr
rrr

+ im M chia on thng AB theo t s k (k ạ 1), O tu ý.
Ta cú:
1
OAkOB
MAkMBOM
k

;
-
==
-
uuuruuur
uuuruuuruuur

2. S ng phng ca ba vect
ã Ba vect c gi l ng phng nu cỏc giỏ ca chỳng cựng song song vi mt mt phng.
ã iu kin ba vect ng phng: Cho ba vect
abc
,,
r
rr
, trong ú
avaứb
r
r
khụng cựng
phng. Khi ú:
abc
,,
r
rr
ng phng $! m, n ẻ R:
cmanb
=+
r
rr

ã Cho ba vect
abc
,,
r
rr
khụng ng phng,
x
r
tu ý.
Khi ú: $! m, n, p ẻ R:
xmanbpc
=++
r
rrr

3. Tớch vụ hng ca hai vect
ã Gúc gia hai vect trong khụng gian:

ã
ã
00
0180
ABuACvuvBACBAC
,(,)()
==ị=ÊÊ
uuuruuur
rrrr

ã Tớch vụ hng ca hai vect trong khụng gian:
+ Cho

0
uv,
ạ
r
rr
. Khi ú:
uvuvuv
cos(,)
=
rrrrrr

+ Vi
00
uhoaởcv
==
rr
rr
. Qui c:
0
uv
.
=
rr

+
0
uvuv
.
^=
rrrr

+
2
uu
=
rr








CH

NG III

PHNG PHP TO TRONG KHễNG GIAN
I. VECT TRONG KHễNG GIAN
PP Toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng
Trang 24




1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi
ijk
,,

rrr
là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa
độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
Chú ý:
222
1
ijk
===
rrr
và
0
ijikkj

===
rrrrrr
.
2. Tọa độ của vectơ:
a) Định nghĩa:
(
)
uxyzuxiyjzk
;;=Û=++
rrrrr

b) Tính chất: Cho
123123
aaaabbbbkR
(;;),(;;),
==Î
rr

·
112233
abababab
(;;)
±=±±±
r
r

·
123
kakakaka
(;;)
=
r

·
11
22
33
ab
abab
ab
ì
=
ï
=Û=
í
ï
=

î
rr

·
0000100010001
ijk
(;;),(;;),(;;),(;;)
====
r
r
rr

·
a
r
cùng phương
0
bb
()
¹
r
r
r
Û
akbkR
()
=Î
rr

11
312
22123
123
33
0
akb
aaa
akbbbb
bbb
akb
,(,,)
ì
=
ï
Û=Û==¹
í
ï
=
î

·
112233
abababab

=++
r
r
·
112233

0
abababab
^Û++=
rr

·
2222
123
aaaa
=++
r
·
222
122
aaaa
=++
r

·
112233
222222
123123
ababab
ab
ab
ab
aaabbb
.
cos(,)
.

.
++
==
++++
r
r
r
r
r
r
(với
0
ab,
¹
r
r
r
)
3. Tọa độ của điểm:
a) Định nghĩa:
MxyzOMxyz
(;;)(;;)
Û=
uuur
(x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
·
M
Î
(Oxy)

Û
z = 0; M
Î
(Oyz)
Û
x = 0; M
Î
(Oxz)
Û
y = 0

·
M
Î
Ox
Û
y = z = 0; M
Î
Oy
Û
x = z = 0; M
Î
Oz
Û
x = y = 0
b) Tính chất: Cho
AAABBB
AxyzBxyz
(;;),(;;)

·
BABABA
ABxxyyzz
(;;)
=
uuur
·
222
BABABA
ABxxyyzz
()()()
=-+-+-
· Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1):
111
ABABAB
xkxykyzkz
M
kkk
;;
æö

ç÷

èø

· Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:
222
ABABAB
xxyyzz
M ;;

æö
+++
ç÷
èø

· Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

333
ABCABCABC
xxxyyyzzz
G ;;
æö
++++++
ç÷
èø

· Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
II. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN