Tóm tắt lí thuyết_ Bài tập hình giải tích phằng

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
* Hệ tọa độ Đecac Oxy gồm hai trục vuông góc Ox, Oy với hai vecto đơn vị
i
,
j
lần lượt nằm trên hai trục đó.
+ O: gốc tọa độ
+ Ox: trục hoành
+ Oy: trục tung
+
)0,1(i
=
và
)1,0(j
=
* Tọa độ của vecto.
jyixu)y,x(u
+=⇔=
. Cho hai vecto
)y,x(u
=
và
)'y,'x('u
=
thì
+
)'yy,'xx('uu
++=+
+
)ky,kx(uk
=

+
'y.y'x.x'u.u
+=
+
22
yxu
+=
+
2222
'y'x.yx
'y.y'x.x
)'u,ucos(
++
+
=
+
0'y.y'x.x0'u.uvu
=+⇔=⇔⊥
* Tọa độ điểm
)y,x(M)y,x(OM
⇔=
. Cho hai điểm
)y,x(A
AA
và
)y,x(B
BB
khi
đó:
+

)yy,xx(AB
ABAB
−−=
+
2
AB
2
AB
)yy()xx(AB
−+−=
+ Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số
1k
≠
:
MBkMA
=
khi đó tọa độ M là





−
−
=
−
−
=
k1
kyy

y
k1
kxx
x
BA
M
BA
M
Đặt biệt nếu M là trung điểm AB thì





+
=
+
=
2
yy
y
2
xx
x
BA
M
BA
M
* Vecto bằng nhau:
)y,x(u

=
,
)'y,'x('u
=
khi đó



=
=
⇔=
'yy
'xx
vu
* Qui tắc tính:
+ Qui tắc 3 điểm:
ACBCAB
=+
+ Qui tắc hình bình hành. Nếu ABCD là hình bình hành
ACADAB
=+
+ Qui tắc 3 điểm đối với phép trừ:
BCABAC
=−
+ Hai véc tơ cùng phương
v,u
cùng phương
'y
y
'x

x
'yy
'xx
vku
=⇔



=
=
⇔=
+ AM là trung tuyến tam giác ABC thì
AM2ACAB
=+
+ G là trong tâm của tam giác ABC thì
0GCGBGA
=++
; với O bất kỳ
OG3OCOBOA
=++
. Nếu
)y,x(A
AA
;
)y,x(B
BB
và
)y,x(C
CC
thì






++
=
++
=
3
yyy
y
3
xxx
x
CBA
G
CBA
G
* Phương trình đường thẳng.
+ Phương trình tổng quát đường thẳng (d) qua điểm M(x
0
, y
0
) và có vecto pháp
tuyến
)B,A(n
=
:

0)yy(B)xx(A
00
=−+−
+ Phương trình tham số đường thẳng (d) qua điểm M(x
0
, y
0
) và có vecto chỉ phương
)b,a(u
=
là:
Rt
btyy
atxx
0
0
∈



+=
+=
+ Phương trình chính tắc đường thẳng (d) qua điểm M(x
0
, y
0
) và có vecto chỉ
phương
)b,a(u
=

là:
b
yy
a
xx
00
−
=
−
Chú ý. Nếu
)B,A(n
=
là vecto pháp tuyến của (d) thì vecto chỉ phương của (d) là
)A,B(u
−=
(hoặc
)A,B(u
−=
).
* Vị trì tương đối của hai đường thẳng
0CByAx:)d(
=++
0'Cy'Bx'A :)(d'
=++
+ d cắt d’
'B
B
'A
A
≠⇔

+ d song song d’
'C
C
'B
B
'A
A
≠=⇔
+ d trùng d’
'C
C
'B
B
'A
A
==⇔
+ Chùm đường thẳng tạo bởi d và d’ có dạng:
0)'Cy'Bx'A(n)CByAx(m
=+++++
* Gọi
α
là góc giữa d và d’ khi đó
2222
'B'A.BA
'B.B'A.A
cos
++
+
=α
* Khoảng cách từ M(x

0
, y
0
) tới
0CByAx:)(
=++∆
là:
22
BA
CByAx
),M(d
+
++
=∆
* Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d và d’:
2222
'B'A
'Cy'Bx'A
BA
CByAx
+
++
=
+
++
* Đường tròn tâm I(a, b) bán kính R:
222
R)by()ax(
=−+−
Dạng khai triển:

0cby2ax2yx
22
=+−−+
khi đó tâm I(a, b) và
cbaR
22
−+=
+ Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm
)y,x(M
00
:
2
00
R)by).(by()ax).(ax(
=−−+−−
0c)yy(b)xx(ay.yx.x
0000
=++−+−+
+ Phương tích điểm M(x
0
, y
0
) đối với đường tròn
0cby2ax2yx
22
=+−−+
cby2ax2yx)I/(M(P
00
2
0

2
0
+−−+=
- Nếu
M0)I/(M(P
⇔<
nằm trong (I)
- Nếu
)I(M0)I/(M(P
∈⇔=
- Nếu
M0)I/(M(P
⇔>
nằm ngoài (I)
+ Trục đẳng phương của hai đường tròn
(C
1
):
0cby2ax2yx
22
=+−−+
(C
2
):
0'cy'b2x'a2yx
22
=+−−+
Có phương trình là:
0'ccy)'bb(2x)'aa(2
=−+−−−

* Elip
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
222
cab
−=
+ Tiêu điểm
)0,c(F
1
−
,
)0,c(F
2
+
a2MFMF
21
=+
,
a
cx
aMF
1

+=
và
a
cx
aMF
2
−=
+ Tâm sai
1
a
c
e
<=
+ Đường chuẩn
e
a
x
±=
+ Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm
)y,x(M
00
:
1
b
y.y
a
x.x
2
0
2

0
=+
Điều kiện để đường thẳng:
0CByAx
=++
tiếp xúc với (E) là:
22222
CbBaA =+
* Hypebol
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−
(Hypebol vuông
1
a
y
a
x
2
2
2
2
=−

)
222
acb
−=
+ Tiêu điểm
)0,c(F
1
−
,
)0,c(F
2
+ Tiệm cận:
x
a
b
y
±=
+
a2MFMF
21
=−
x > 0 thì
a
a
cx
MF
1
+=
và
a

a
cx
MF
2
−=
x < 0 thì
a
a
cx
MF
1
−−=
và
a
a
cx
MF
2
+−=
+ Tâm sai
1
a
c
e
>=
+ Đường chuẩn
e
a
x
±=

+ Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm
)y,x(M
00
:
1
b
y.y
a
x.x
2
0
2
0
=−
Điều kiện để đường thẳng:
0CByAx
=++
tiếp xúc với (E) là:
22222
CbBaA =−
* Parabol
px2y
2
=
+ Tiêu điểm
)0,
2
p
(F
+

2
p
xMF
+=
bán kính qua tiêu
+ e = 1
+ Đường chuẩn
2
p
x
−=
+ Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm
)y,x(M
00
:
)xx(py.y
00
+=
Điều kiện để đường thẳng:
0CByAx
=++
tiếp xúc với (E) là:
AC2pB
2
=
Phương trình đường thẳng
Bài 1.
a) Chứng tỏ rằng ba điểm
)1,0(A
,

)2,1(B
,
)5,4(C
thẳng hàng.
b) Xác định m lấy ba điểm
)1,1(A
,
)2,0(B
,
)2m,m(C
−
thẳng hàng.
Bài 2.
a) Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm
),2,1(A
−

)6,3(B
−
.
b) Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm
),0,2(A
−

)3,0(B
.
c) Lập phương trình đường thẳng qua điểm
)0,2(A
−
và có vecto chỉ phương

)1,2(a
−=
.
d) Lập phương trình đường thẳng qua điểm
)2,1(A
−
và có vecto pháp tuyến
)3,2(n
−=
.
Bài 3. Viết phương trình đường thẳng (d) trong các trường hợp sau
a) Đi qua M(1, 2) và có hệ số góc là 3
b) Đi qua A(-3, 2) và tạo với hướng dương trục Ox một góc 45
0
.
c) Đi qua B(3, 2) và tạo với Ox một góc 60
0
.
Bài 3. Viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết trung điểm các cạnh
),1,1(M
−−

),9,1(N

)1,9(P
.
Bài 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(3, 2) và song song với đường thẳng:
01y2x
=−+
.

Bài 5. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1, 2) và vuông góc với đường thẳng:
01y3x
=−−
.
Bài 6. Viết phương trình các cạnh tam giác ABC nếu cho B(-4, -5) và hai đường cao
có phương trình:
04y3x5:)d(
1
=−+
và
013y8x3:)d(
2
=++
.
Bài 7. Tam giác ABC có phương trình cạnh AB là
02y3x5
=+−
, các đường cao
qua đỉnh A và B lần lượt là
01y3x4:)d(
1
=+−
và
022y2x7:)d(
2
=−+
. Lập phương
trình hai cạnh AC, BC và đường cao thứ ba.
Bài 8. Viết phương trình các cạnh tam giác ABC nếu cho C(4, -1) và đường cao và
trung tuyến kẻ từ một đỉnh lần lượt có phương trình là:

012y3x2:)d(
1
=+−
và
0y3x2:)d(
2
=+
.
Bài 9. Viết phương trình các cạnh tam giác ABC nếu cho A(1, 3) và hai trung tuyến
có phương trình:
01y2x:)d(
1
=+−
và
01y:)d(
2
=−
.
Bài 10. Phương trình hai cạnh một tam giác là
06y2x5:)d(
1
=+−
và
021y7x4:)d(
2
=−+
. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết rằng trục tâm
tam giác trùng với góc tọa độ.
Hình chiếu vuông góc
Bài 11. Cho đường thẳng

012y4x3:)d(
=−+
và điểm M(7, 4).
a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M lên (d)
b) Tìm điểm M’ đối với M qua (d).
Bài 12. Cho tam giác ABC biết
),3,1(A
),1,5(B
)1,3(C
−−
. Tìm tọa độ trực tâm
tam giác.
Bài 13. Cho tam giác ABC biết
)1,2(A
−
và hai đường phân giác trong của B, C có
phương trình
01y2x:)d(
1
=+−
và
03yx:)d(
2
=++
. Lập phương trình cạnh BC.
Bài 14. Lập đường thẳng (d
1
) đối xướng với đường thẳng (d) qua đường thẳng
)(
∆

, biết:
a)
03yx4:)d(
=+−
và
0yx:)(
=−∆
.
b)
04y3x6:)d(
=+−
và
03y2x4:)(
=+−∆
.
Bài 15. Lập đường thẳng (d
1
) đối xướng với đường thẳng (d):
02y2x
=+−
qua
điểm M(1, 1).
Bài 16. Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh (BC):
03yx4
=+−
và hai đường
phân giác trong của B, C có phương trình
01y2x:)d(
B
=+−

và
03yx:)d(
C
=++
.
Lập phương trình cạnh AB, AC.
Bài 17. Cho hình bình hành ABCD biết phương trình cạnh (AB):
0yx2
=−
;
0y3x4:)AD(
=−
và tâm I(1, 1). Lập phương trình cạnh BC, CD.
Bài 18. Cho tam giác ABC biết A(3, 5); B(4, -3) và phân giác trong góc C có
phương trình
08y2x:)d(
C
=−+
. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Bài 19. Một hình chữ nhật có hai đỉnh đối nhau có tọa độ (5, 1) và (0, 6) một cạnh
của hình chữ nhật có phương trình
012y2x
=−+
. Tìm phương trình các cạnh còn
lại của hình chữ nhật.
Bài 20. Một hình thoi có một đỉnh có tọa độ (0, 1) một cạnh có phương trình
07y7x
=−+
và một đường chéo có phương trình
07y2x

=−+
. Tìm phương trình
các cạnh còn lại của hình thoi.
Bài 21. Cho đường thẳng (d):
01y2x
=+−
và điểm A(0, 3).
a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (d), kéo dài AH về phía H một đoạn HB
= 2HA. Tìm tọa độ điểm B.
b) Lập phương trình đường thẳng (d’) qua A và tạo với AB một góc 60
0
.
Chùm đường thẳng
Bài 22. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua giao điểm hai đường thẳng
05y3x2:)d(
1
=−+
và
01y2x:)d(
2
=+−
đồng thời đi qua điểm A(2, 1).
Bài 23. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua giao điểm hai đường thẳng
02y5x3:)d(
1
=+−
và
04y2x5:)d(
2
=+−

đồng thời song song với đường thẳng
04yx2:)(
=+−∆
.
Bài 24. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua giao điểm hai đường thẳng
05y3x2:)d(
1
=+−
và
03y2x:)d(
2
=−−
đồng thời vuông góc với đường thẳng
01y7x:)(
=−−∆
.
Bài 25. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua giao điểm hai đường thẳng
03yx2:)d(
1
=−+
và
01y2x:)d(
2
=+−
đồng thời tạo với đường thẳng
01y:)(
=−∆
một góc 45
0
.

Bài 26. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua giao điểm hai đường thẳng
01y2x:)d(
1
=+−
và
03y2x:)d(
2
=−−
đồng thời chắn trên hai trục tọa độ những
đoạn bằng nhau.
Bài 27. Tam giác ABC có phương trình cạnh AB là:
02y3x5
=+−
các đường cao
qua đỉnh A và B lần lượt là
01y3x4:)d(
1
=+−
và
022y2x7:)d(
2
=−+
. Lập phường
trình hai canhjAc, BC và đường cao thứ ba.
Bài 28. Các cạnh AB, AC và BC của tam giác ABC lần lượt có phương trình
;02yx
=−−

;05yx3
=+−

01y4x
=−−
. Viết phương trình các đường cao.
Góc và khoảng cách
Bài 29. Viết phương trình đường thẳng (d) trong các trương hợp sau:
a) Đi qua điểm M(1, 1) và tạo với đường thẳng
)(
∆
:



+=
=
t4y
t2x
một góc 30
0
.
b) Đi qua điểm M(3, 2) và tạo với đường thẳng
)(
∆
:
02yx
=−−
một góc 45
0
.
c) Đi qua điểm M(5, 1) và tạo với đường thẳng

)(
∆
:
4x2y
+−=
một góc 45
0
.
Bài 30. Tính khoảng cách từ m tới đường thẳng (d) biết:
a) M(1, 1) và đường thẳng (d):
02yx
=−−
.
b) M(2, 1) và đường thẳng (d):
1
1y
1
1x
−
+
=
−
.
c) M(1, 5) và đường thẳng (d):



∈
+=
=

Rt,
t4y
t2x
.
Bài 31. Viết phương trình đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng (d) và
(d’) trong các trường hợp sau:
a) (d
1
):
01y2x
=++
và (d
2
):
03y3x
=++
.
b) (d
1
):



∈
+=
=
Rt,
t4y
t2x
và (d

2
):
07yx
=−+
.
c) (d
1
):



∈
+=
=
Rt,
t4y
t2x
và (d
2
):



∈
=
=
Rt,
t3y
tx
.

Bài 32. Lập phường trình đường thẳng qua điểm P(2, -1) sao cho đường thẳng đó
cùng với hai đường thẳng (d
1
):
05yx2
=+−
và (d
2
):
01y6x3
=−+
tạo ra một tam
giác cân có đỉnh là giao của hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
).
Bài 33. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2, -1) đường cao và
phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là (d
1
):
027y4x3
=+−
và (d
2
):
05y2x
=−+
.
Bài 34. Cho hai điểm P(2, 5) và Q(5, 1). Lập phương trình đường thẳng qua P sao

cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng đó bằng 3.
Bài 35. Cho P(3, 0) và hai đường thẳng (d
1
):
02yx2
=−−
và (d
2
):
03yx
=++
. Gọi
(d) là đường thẳng qua P và cắt (d
1
) và (d
2
) lần lượt tại A, B. Viết phương trình của
(d) biết PA = PB.
Bài 36. Cho ba điểm A(2, 3); B(4, -1); C(4, 5). Viết phương trình đường phân giác
trong của góc A của tam giác ABC.
Bài 37. Cho hai đường thẳng (d
1
):
01y4x3
=+−
và (d
2
):
07y5x12
=−−

. Viết
phương trình phân giác góc nhọn tạo bởi (d
1
) và (d
2
).
Bài 38. Trong tam giác ABC cho M(-1, 1) là trung điểm của một cạnh còn hai cạnh
kia có phương trình là:
02yx
=−+
;
03y6x2
=−+
. Hãy xác định tọa độ các đỉnh
của tam giác ABC.