Tổng hợp kiến thức môn toán ôn thi đại học

WWW.ToanCapBa.Net
TỔNG HỢP KIẾN THỨC TỐN ƠN THI ĐẠI HỌC
NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT
Ax = B
• A ≠ 0 : phương trình có nghiệm duy nhất
A
B
x =
• A = 0 và B ≠ 0 : phương trình vô nghiệm
• A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm
Ax > B
• A > 0 :
A
B
x >
• A < 0 :
A
B
x <
• A = 0 và B ≥ 0 : vô nghiệm
• A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm
NHỚ 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ
1/. Dạng :



=+
=+
///
cybxa
cbyax

2/. Cách giải :
baab
ba
ba
D
//
//
−==
bccb
bc
bc
D
x
//
//
−==
caac
ca
ca
D
y
//
//
−==
∗ D ≠ 0 : hệ có nghiệm duy nhất








=
=
D
D
y
y
D
D
x
x
∗ D = 0 và D
x
≠ 0
Hệ vô nghiệm
D = 0 và D
y
≠ 0
∗ D = D
x
= D
y
= 0 : Hệ vô số nghiệm hay vô nghiệm tùy thuộc a, b, c, a
/
, b
/
, c
/
Sơ đồ: a c b

a’ c’ b'
D
D
y
D
x
Trang 1
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
NHỚ 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN
ax
2
+ bx + c = 0 ( a ≠ 0)
∗ ∆ = b
2
– 4ac
∆ > 0
a
b
x
2
1
∆+−
=
,
a
b
x
2
2

∆−−
=
∆ = 0
Nghiệm kép
a
b
xx
2
21
−==
∆ < 0 Vô nghiệm
∗ ∆
/
= b
/ 2
– ac
∆
/
> 0
a
b
x
//
1
∆+−
=
,
a
b
x

//
2
∆−−
=
∆
/
= 0
Nghiệm kép
a
b
xx
/
21
−==
∆
/
< 0 Vô nghiệm
Chú ý: a + b + c = 0 : nghiệm x
1
= 1, x
2
=
a
c
a – b + c = 0 : nghiệm x
1
= –1, x
2
=
a

c
−
NHỚ 4 : DẤU NHỊ THỨC
f(x) = ax + b ( a ≠ 0)
x
– ∞
a
b
−
+∞
f(x) Trái dấu a 0 cùng dấu a
NHỚ 5 : DẤU TAM THỨC
f(x) = ax
2
+ bx + c ( a ≠ 0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG)
Nếu Thì



>
<∆
0
0
a



<
<∆
0

0
a
f(x) > 0, ∀x
f(x) < 0, ∀x



>
=∆
0
0
a



<
=∆
0
0
a
f(x) > 0, ∀x ≠
a
b
2
−
f(x) < 0, ∀x ≠
a
b
2
−

∆ > 0
x – ∞ x
1
x
2
+∞
f(x) cùng 0 trái 0 cùng
dấu a
Trang 2
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
NHỚ 6 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI
VỚI CÁC SỐ
Cho: f(x) = ax
2
+ bx + c ( a ≠ 0) và α, β là hai số thực
1/. Muốn có x
1
< α < x
2
ta phải có af(x) < 0
2/. Muốn có x
2
> x
1
> α ta phải có








>−
>
>∆
0
2
0)(
0
α
α
S
af
3/. Muốn có x
1
< x
2
< α ta phải có







<−
>
>∆
0

2
0)(
0
α
α
S
af
4/. Muốn có x
1
< α < β < x
2
ta phải có



<
<
0)(
0)(
β
α
af
af
5/. Muốn có x
1
< α < x
2
<β ta phải có




>
<
0)(
0)(
β
α
af
af
6/. Muốn có



<<<
<<<
21
21
xx
xx
βα
βα
ta phải có
0)()( <
βα
ff
7/. Muốn có α < x
1
< x
2
<β ta phải có










<<
>
>
>∆
βα
β
α
2
0)(
0)(
0
S
af
af
 Chú ý:
1/. Muốn có x
1
< 0 < x
2
ta phải có P < 0
2/. Muốn có x

2
> x
1
> 0 ta phải có





>
>
>∆
0
0
0
S
P
3/. Muốn có x
1
< x
2
< α ta phải có





<
>
>∆

0
0
0
S
P
NHỚ 7 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1/.



=
≥
⇔=
K
K
BA
B
BA
2
2
0
Trang 3
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
2/.



≥≥
=

⇔=
)0(0
22
hayBA
BA
BA
KK
NHỚ 8 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1/.





<
>
≥
⇔<
K
K
BA
B
A
BA
2
2
0
0
2/.











>
≥



≥
<
⇔>
K
K
BA
B
A
B
BA
2
2
0
0
0
3/.

12
12
+
+
<⇔<
K
K
BABA
NHỚ 9 : PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1/.










≥
−=



≥
=
⇔=
0
0

B
BA
B
BA
BA

2/.



−=
=
⇔=
BA
BA
BA
Chú ý:










≤
=−




≥
=
⇔=
0
)()(
0
)()(
)()(
x
xgxf
x
xgxf
xgxf
NHỚ 10 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1/.



>
<<−
⇔<
0B
BAB
BA
Trang 4
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
2/.














≥
−<



≥
>
<
⇔>
0
0
0
B
BA
B
BA
B

BA
3/.
22
BABA >⇔>
NHỚ 11 : BẤT ĐẲNG THỨC
1/. Đònh nghóa :
Dạng : A > B, A ≥ B
A < B, A ≤ B
2/. Tính chất :
a)
abba
<⇔>
b)
ca
cb
ba
>⇒



>
>
c)
cbcaba
+>+⇔>
d)



<<

>>
⇔>
0,
0,
cbcac
cbcac
ba
e)
dbca
dc
ba
+>+⇒



>
>
f)
bdac
dc
ba
>⇒



>>
>>
0
0
g)







<>
><
⇒>
0;
11
0;
11
abkhi
ba
abkhi
ba
ba
3/. BĐT Cô Si :
Cho n số tự nhiên không âm a
1
, a
2
, a
3
, , a
n
n
n
n

aaaa
n
aaaa


321
321
≥
++++
hay
n
n
n
n
aaaa
aaaa






++++
≤


321
321
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a
1

= a
2
= a
3
= = a
n
4/. BĐT Bunhia Côp ski :
Cho a
1
, a
2
, a
3
, , a
n
, b
1
, b
2
, b
3
, , b
n
là những số tực khi đó:
) )( () (
22
2
2
1
22

2
2
1
2
2211 nnnn
bbbaaabababa ++++++≤+++
Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a
i
= k.b
i
, i = 1 , 2 , 3, , n
5/. BĐT BecnuLi :
Trang 5
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Cho : a > –1, n ∈ N Ta có : (1 + a)
n
≥ 1 + na
Đẳng thức xảy ra



=
=
⇔
1
0
n
a
6/. BĐT tam giác :

BABA +≤+
Đẳng thức xảy ra ⇔ AB ≥ 0
NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
A. HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )
1/.
1
22
=+ xCosxSin
2/.
Cosx
Sinx
Tanx =
3/.
Sinx
Cosx
Cotx =
4/.
1.
=
CotxTanx
5/.
xCos
xTan
2
2
1
1 =+
6/.
xSin
xCot

2
2
1
1 =+
Điều kiện tồn tại :
• Tanx là x ≠ π/ 2 + kπ , k ∈ Z
• Cotx là x ≠ kπ , k ∈ Z
• Sinx là – 1 ≤ Sinx ≤ 1
• Cosx là – 1 ≤ Cosx ≤ 1
Chú ý :
• a
2
+ b
2
= ( a + b)
2
– 2ab
• a
3
+ b
3
= ( a + b)
3
– 3ab( a + b)
B. CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức )
7/.
SinaSinbCosaCosbbaCos −=+ )(
8/.
SinaSinbCosaCosbbaCos +=− )(
9/.

CosaSinbSinaCosbbaSin +=+ )(
10/.
CosaSinbSinaCosbbaSin −=− )(
11/.
TanaTanb
TanbTana
baTan
−
+
=+
1
)(
12/.
TanaTanb
TanbTana
baTan
+
−
=−
1
)(

13/.
CotbCota
CotaCotb
baCot
+
−
=+
1

)(
Trang 6
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
14/.
CotbCota
CotaCotb
baCot
−
+
=−
1
)(
C. CÔNG THỨC NHÂN
I. NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức)
15/.
SinaCosaaSin 22 =
16/.
aSinaCosaSinaCosaCos
2222
21122 −=−=−=
17/.
aTan
Tana
aTan
2
1
2
2
−

=
II. NHÂN BA : ( 3 công thức)
18/.
CosaaCosaCos 343
3
−=
19/.
aSinSinaaSin
3
433 −=
20/.
aTan
aTanTana
aTan
2
3
31
3
3
−
−
=
III.HẠ BẬC : ( 4 công thức)
21/.
2
21
2
aCos
aSin
−

=
⇒
aSinaCos
2
221 =−
22/.
2
21
2
aCos
aCos
+
=
⇒
aCosaCos
2
221 =+
23/.
4
33
3
aSinSina
aSin
−
=
24/.
4
33
3
aCosCosa

aCos
+
=
IV.GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức)
25/.
2
1
2
t
t
Sinx
+
=
26/.
2
2
1
1
t
t
Cosx
+
−
=
, với
2
x
Tant =
27/.
2

1
2
t
t
Tanx
−
=
D. TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức)
28/.
22
2
ba
Cos
ba
CosCosbCosa
−+
=+
29/.
22
2
ba
Sin
ba
SinCosbCosa
−+
−=−
30/.
22
2
ba

Cos
ba
SinSinbSina
−+
=+
31/.
22
2
ba
Sin
ba
CosSinbSina
−+
=−
32/.
CosaCosb
baSin
TanbTana
)( +
=+
33/.
CosaCosb
baSin
TanbTana
)( −
=−
Trang 7
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
34/.

SinaSinb
baSin
CotbCota
)( +
=+
35/.
SinaSinb
baSin
CotbCota
)( −−
=−
E. TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức)
36/.
( )
[ ]
)(
2
1
baCosbaCosCosaCosb ++−=
37/.
[ ]
)()(
2
1
baCosbaCosSinaSinb +−−=
38/.
[ ]
)()(
2
1

baSinbaSinSinaCosb ++−=
F. CUNG LIÊN KẾT :
Cos đối
Cos(–
α
) = Cos
α
; Sin(–
α
) = – Sin
α
Sin bù
Sin(
π
–
α
) = Sin
α
; Cos(
π
–
α
) = – Cos
α
Phụ chéo
Sin(
π
/2 –
α
) = Cos

α
; Cos(
π
/2 –
α
) = Sin
α
Khác
π
Tan
Tan(
π
+
α
) = Tan
α
; Cot(
π
+
α
) = Cot
α

Sai kém
π
/ 2
Sin(
π
/2 +
α

) = Cos
α
; Cos(
π
/2 +
α
) = – Sin
α
NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
A. CƠ BẢN :
Sinu = Sinv



+−=
+=
⇔
ππ
π
2
2
kvu
kvu
k
∈
Z
Cosu = Cosv
π
2kvu +±=⇔
Tanu = Tanv

π
kvu +=⇔
Cotu = Cotv
π
kvu +=⇔
Sinu = 0
π
ku =⇔
Sinu = 1
ππ
22/ ku +=⇔
Sinu = –1
ππ
22/ ku +−=⇔
Cosu = 0
ππ
ku +=⇔ 2/
Cosu = 1
π
2ku =⇔
Cosu = – 1
ππ
2ku +=⇔
B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos
Dạng aSinx + bCosx = c ( a
2
+ b
2
≠ 0 )
Phương pháp :

Cách 1: Chia hai vế cho
22
ba +
Đặt :
αα
Sin
ba
b
Cos
ba
a
=
+
=
+
2222
;

Ta có
22
)(
ba
c
xSin
+
=+
α
(*)
(*) Có nghiệm khi
1

22
≤
+ ba
c
222
cba ≥+⇔
(*) Vô nghiệm khi
222
cba <+⇔
Trang 8
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Cách 2:
• Kiểm chứng x = (2k + 1)π có phải là nghiệm của phương trình hay không?
• Xét x ≠ (2k + 1)π Đặt :
2
x
Tant =
Thế
2
2
2
1
1
;
1
2
t
t
Cosx

t
t
Sinx
+
−
=
+
=
Vào phương trình ⇒ t ?
⇒ x ?
C. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:
1/. Đối với một hàm số lượng giác:
Giả sử a≠ 0
0
2
=++ cbSinxxaSin
( đặt
1, ≤= tSinxt
)
0
2
=++ cbCosxxaCos
(đặt
1, ≤= tCosxt
)
0
2
=++ cbTanxxaTan
( đặt
π

π
kxTanxt +≠=
2
,
)
0
2
=++ cbCotxxaCot
( đặt
π
kxCotxt ≠= ,
)
2/. Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx
Dạng:
0
22
=++ xcCosbSinxCosxxaSin
(1)
0
3223
=+++ xdCosxcSinxCosxCosxbSinxaSin
(2)
Phương pháp :
Cách 1:
∗ Kiểm x = π/ 2 + kπ có phải là nghiệm của phương trình ?
∗ Chia hai vế cho Cos
2
x ( dạng 1), chia Cos
3
x ( dạng 2) để đưa phương trình đã cho

về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx.
Cách 2:
Dạng (1) có thể sử dụng công thức hạ bậc và
2
2xSin
SinxCosx =
thế vào
3/. Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx:
Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)
Phương pháp: Đặt :
2),
4
(2 ≤+=+= txSinCosxSinxt
π
0
2
1
(*)
2
=+
−
+⇔ c
t
bat
t⇒
( nếu có)
x⇒
Chú ý: Dạng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giải tương tự :
Đặt :
2),

4
(2 ≤−=−= txSinCosxSinxt
π
0
2
1
(*)
2
=+
−
+⇔ c
t
bat
⇒ t ? ( nếu có) ⇒ x ?
D. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT :
Trang 9
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
1/. Tổng bình phương :
• A
2
+ B
2
+ + Z
2
= 0 ⇔ A = B = = Z = 0
• A ≥ 0, B ≥ 0, , Z ≥ 0
Ta có : A + B + + Z = 0 ⇔ A = B = = Z = 0
2/. Đối lập :
Giả sử giải phương trình A = B (*)

Nếu ta chứng minh



≥
≤
KB
KA




=
=
⇔
KB
KA
(*)
3/.





+=+
≤
≤
klBA
kB
lA




=
=
⇔
kB
lA
4/.
1,1 ≤≤ BA




=
=
⇔=
1
1
1
B
A
AB
hay



−=
−=

1
1
B
A
NHỚ 14: HỆ THỨC LƯNG
Tam giác thường ( các đònh lý)
Hàm số Cosin
•
bcCosAcba 2
222
−+=
•
bc
acb
CosA
2
222
−+
=
Hàm số Sin
•
R
SinC
c
SinB
b
SinA
a
2===
•

R
a
SinARSinAa
2
,2 ==
Hàm số Tan
•
ba
ba
BA
Tan
BA
Tan
+
−
=
+
−
2
2
Các chiếu •
cCosBbCosCa +=
Trung tuyến
•
4
)(2
222
2
acb
m

a
−+
=
Phân giác
•
2 .
2
a
A
bc Cos
l
b c
=
+
Diện tích
Diện tích
•
cba
chbhahS
2
1
2
1
2
1
===
Trang 10
WWW.ToanCapBa.Net
H
B

C
A
WWW.ToanCapBa.Net
•
abSinCacSinBbcSinAS
2
1
2
1
2
1
===
•
prS =
•
R
abc
S
4
=
•
))()(( cpbpappS −−−=
Chú ý:
•
2
)(
2
)(
2
)(

C
Tancp
B
Tanbp
A
Tanap
p
S
r −=−=−==
•
SinC
c
SinB
b
SinA
a
S
abc
R
2224
====
• a, b, c : cạnh tam giác
• A, B, C: góc tam giác
• h
a
: Đường cao tương ứng với cạnh a
• m
a
: Đường trung tuyến vẽ từ A
• R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác.

•
2
cba
p
++
=
Nữa chu vi tam giác.
Hệ thức lượng tam giác vuông:
•
ACABBCAH
CHBHAH

.
2
=
=
•
BCBHAB .
2
=
•
CBCHAC .
2
=
•
222
ACABBC +=
NHỚ 15: MỘT SỐ BÀI TÓAN CẦN NHỚ
Cho tam giác ABC :
1/.

222
4
C
Cos
B
Cos
A
CosSinCSinBSinA =++
2/.
222
41
C
Sin
B
Sin
A
SinCosCCosBCosA +=++
3/.
TanCTanBTanATanCTanBTanA =++
( tam giác ABC không vuông)
4/.
2
.
2
.
2222
C
Cot
B
Cot

A
Cot
C
Cot
B
Cot
A
Cot =++
5/.
1
2
.
22
.
22
.
2
=++
A
Tan
C
Tan
C
Tan
B
Tan
B
Tan
A
Tan

6/.
CosCCosBCosACSinBSinASin 22
222
+=++
7/.
CosCCosBCosACCosBCosACos 21
222
−=++
8/.
SinCBASin =+ )(
CosCBACos −=+ )(
;
22
C
Cos
BA
Sin =
+
22
C
Sin
BA
Cos =
+
;
22
C
Cot
BA
Tan =

+
Trang 11
WWW.ToanCapBa.Net
222
111
ACABAH
+=
WWW.ToanCapBa.Net
9/.
8
33
≤SinCSinBSinA
10/.
8
1
≤CosCCosBCosA
11/.
8
33
2
.
2
.
2
≤
C
Cos
B
Cos
A

Cos
12/.
8
1
2
.
2
.
2
≤
C
Sin
B
Sin
A
Sin
13/.
4
3
222
≥++ CCosBCosACos
14/.
9
4
222
≤++ CSinBSinASin
15/.
9
222
≥++ CTanBTanATan

16/.
1
2224
3
222
<++≤
C
Sin
B
Sin
A
Sin
17/.
4
9
222
2
222
≤++<
C
Cos
B
Cos
A
Cos
18/.
1
222
222
≥++

C
Tan
B
Tan
A
Tan
19/.
9
222
222
≥++
C
Cot
B
Cot
A
Cot
20/.
2
33
222 ≤++ CSinBSinASin

21/.
2
3
222 −≥++ CCosBCosACos
NHỚ 16 : HÀM SỐ LIÊN TỤC
Đònh nghóa 1:Hàm số
)(xfy =
gọi là liên tục tại điểm x = a nếu :

1/.
)(xf
xác đònh tại điểm x = a
2/.
)()(lim afxf
ax
=
→
Đònh nghóa 2:
)(xf
liên tục tại điểm x = a
)()(lim)(lim afxfxf
axax
==⇔
−+
→→
Đònh lý : Nếu
)(xf
liên tục trên [a, b] và
0)().( <bfaf
thì tồn tại ít nhất một điểm c∈ (a, b)
sao cho
0)( =cf
NHỚ 17 : HÀM SỐ MŨ
1/. Đònh nghóa : Cho a > 0, a
≠
1 ( cố đònh). Hàm số mũ là hàm số xác đònh bởi công thức :
y = a
x
( x

∈
R)
2/. Tính chất :
a) Hàm số mũ liên tục trên R
b) y = a
x
> 0 mọi x ∈ R
c) a > 1 : Hàm số đồng biến
21
21
xxaa
xx
<⇔<
d) 0 < a < 1 : Hàm số nghòch biến
21
21
xxaa
xx
>⇔<
Trang 12
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Chú ý :
)10(
21
21
≠<=⇔< axxaa
xx
3/. Đồ thò :
(a> 1) y ( 0 < a < 1) y

1 1
0 x 0 x



NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT
1/. Đònh nghóa :
a) Cho
0,1,0 >≠> Naa

Logarit cơ số a của N là số mũ M sao cho : a
M
= N
Ký hiệu : log
a
N = M
b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a
≠
1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công
thức: y = log
a
x ( với x > 0, a > 0, a
≠
1)
2/. Tính chất và đònh lý cơ bản về logarit :
Giả sử logarit có điều kiện đã thỏa mãn
TC1 : log
a
N = M ⇔ a

M
= N
TC2 : log
a
a
M
= M ,
Ma
M
a
=
log
TC3 : log
a
1 = 0, log
a
a = 1
TC4 : log
a

(MN) = log
a
M + log
a
N
TC5 :
NM
N
M
aaa

logloglog −=
TC6 : Đổi cơ số
a
b
a
N
N
b
a
c
c
a
log
1
log;
log
log
log ==
3/. Đồ thò :
(a> 1) y ( 0 < a < 1) y

1 1
0 x 0 x

4/. Phương trình Logarit :
)()()(log)(log xgxfxgxf
aa
=⇔=

( f(x) hoặc g(x) > 0 , 0 < a

≠
1 )
5/. Bất phương trình Logarit :
(*))(log)(log xgxf
aa
<




<
>
→←
>
)()(
0)(
(*)
1
xgxf
xf
a




>
>
 →←
<<
)()(

0)(
(*)
10
xgxf
xg
a

Trang 13
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
NHỚ 19 : ĐẠO HÀM
I/. Đònh nghóa đạo hàm :
Cho hàm số y = f(x) , xác đònh trên ( a, b) , x
0

∈
( a, b). Ta nói f(x) có đạo hàm tại x
0
nếu
giới hạn
0→∆
∆
∆
xkhi
x
y
tồn tại.
x
xfxxf
x

y
xf
xx
∆
−∆+
=
∆
∆
=
→∆→∆
)()(
limlim)(
00
00
0
'
∗ Đạo hàm bên trái :
x
y
xf
x
∆
∆
=
−
→∆
−
0
0
'

lim)(
( tồn tại )
∗ Đạo hàm bên phải :
x
y
xf
x
∆
∆
=
+
→∆
+
0
0
'
lim)(
( tồn tại )
 Cho y = f(x) xác đònh trên (a, b)
y = f(x) có đạo hàm tại x
0

∈
(a, b)
⇔
f
‘
(x
0
+

) = f
’
(x
0
–
)
II/. Qui tắc tính đạo hàm :
1/.
''''
) ( cbacba +++=+++
2/.
'''
)( babaab +=

''''
)( cbacbacbaabc ++=
3/.
2
''
'
b
abba
b
a −
=







( b
≠
0)

)(.)(
''
Rcuccu ∈=

2
'
'
1
u
u
u
−=






III/. Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản :
TT Hàm số Đạo hàm
1
y = c y
’
= 0
2

y = x y
’
= 1
3
α
xy =
α
uy =
1'
.
−
=
α
α
xy
'1'
uuy
−
=
α
α
4
x
y
1
=
xy =
uy =
2
'

1
x
y −=
x
y
2
1
'
=
u
u
y
2
'
'
=
5
Sinuy
Sinxy
=
=
Cosuuy
Cosxy
.
''
'
=
=
Trang 14
WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net
6
Cosxy =
Cosuy =
Sinxy −=
'
Sinuuy .
''
−=
7
Tanxy =
Tanuy =
xCos
y
2
'
1
=
uCos
u
y
2
'
'
=
8
Cotxy =
Cotuy =
xSin
y

2
'
1
−=
uSin
u
y
2
'
'
−=
9
arcSinxy =
2
'
1
1
x
y
−
=
10
arcCosxy =
2
'
1
1
x
y
−

−=
11
arcTanxy =
2
'
1
1
x
y
+
=
12
arcCotxy =
2
'
1
1
x
y
+
−=
13
x
ay =
u
ay =
Lnaay
x
=
'

Lnaauy
u

''
=
14
u
ey =
u
ey =
x
ey =
'
u
euy
''
=
15
Lnxy =
Lnuy =
x
y
1
'
=
u
u
y
'
'

=
16
xLny =
uLny =
x
y
1
'
=
u
u
y
'
'
=
17
xy
a
log=
xLna
y
1
'
=
NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm
x = c , c
∈
(a, b)
f(b) – f(a) = f

‘
(c)(b – a)
NHỚ 21 : BẢNG TÍCH PHÂN
1/. Công thức NewTon _ Leibnitz :
Trang 15
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
[ ]
∫
−==
b
a
b
a
aFbFxFdxxf )()()()(
với F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b}
2/. Tích phân từng phần :
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv ].[
với u, v liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a, b]
3/. Đổi cơ số :
[ ]
∫∫

=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxf
b
a
)(.)()(
'
với x =
ϕ
(t) là hàm số liên tục và có đạo hàm
ϕ
’
(t) liên tục trên [a, b] ,
α

≤
t
≤

β

a =
ϕ
(
α
), b =
ϕ
(

β
), f[
ϕ
(t)] là hàm số liên tục trên [
α
,
β
]
4/. Tính chất :
a)
∫ ∫
−=
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
b)
0)( =
∫
a
a
dxxf
c)
∫∫∫
+=
b
c
c
a

b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
d)
∫ ∫∫
±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([
e)
∫ ∫
∈=
b
a
b
a
RKdxxfKdxxKf ,)()(
f) Nếu m ≤ f(x) ≤ M thì
)()()( abMdxxfabm
b
a
−≤≤−
∫
5/. Bảng tích phân :
TT Công thức
1

)1(
1
1
−≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
c
x
dxx
2
c
bax
a
dxbax +
+
+
=+
∫
+
1
)(
.
1
)(

1
α
α
α
3
∫
≠+
−
−=
−
)1(
)1(
11
1
α
α
αα
c
x
dx
x
4
∫
≠+
+−
−=
+
−
)1(
))(1(

1
)(
1
α
α
αα
c
baxabax
dx
5
∫
+= cxLn
x
dx
Trang 16
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
6
∫
++=
+
cbaxLn
abax
dx 1
7
∫
∈+= RKcKxKdx ,
8
∫
+= cedxe

xx
9
∫
+=
++
ce
a
dxe
baxbax
1
10
∫
+= c
Lna
a
dxa
x
x
11
∫
+−= cCosxSinxdx
12
∫
++−=+ cbaxCos
a
dxbaxSin )(
1
)(
13
∫

+= cSinxCosxdx
14
∫
++=+ cbaxSin
a
dxbaxCos )(
1
)(
15
∫
+= cTanx
xCos
dx
2
16
∫
+−= cCotx
xSin
dx
2
17
∫
+=
+
carcTanx
x
dx
1
2
18

∫
+=
+
c
a
x
arcTan
a
ax
dx 1
22
19
∫
+
+
−
=
−
c
ax
ax
Ln
a
ax
dx
2
1
22
20
∫

+
−
+
=
−
c
xa
xa
Ln
a
xa
dx
2
1
22
21
∫
>+=
−
)0(
22
ac
a
x
arcSin
xa
dx
22
chxxLn
hx

dx
+++=
+
∫
2
2
23
∫
>++−=− )0(
22
2
2222
ac
a
x
arcSin
a
xa
x
dxxa
24
chxxLn
h
hx
x
dxhx +++++=+
∫
222
22
NHỚ 22 : HOÁN VỊ _ TỔ HP _ CHỈNH HP

1/. Hoán vò :
!nP
n
=
2/. Tổ hợp :
)!(!
!
KnK
n
C
K
n
−
=

Kn
n
K
n
CC
−
=
Trang 17
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net

1
0
==
n

n
n
CC

K
n
K
n
K
n
CCC =+
−
−−
1
11

nn
nnn
CCC 2
10
=+++
3/. Chỉnh hợp :
)0(
)!(
!
nK
Kn
n
A
K

n
≤≤
−
=
NHỚ 23 : SỐ PHỨC
1/. Phép tính :
∗ Cho z = a + bi
z’ = a’ + b’i
z
±
z’ = ( a
±
a’) + ( b
±
b’)i
z.z’ = (a.a’ – b.b’) + ( a.b’ + a’.b)i
∗ z = r.(Cos
α
+ i.Sin
α
)
z’ = r’(Cos
β
+ i.Sin
β
) z, z’
≠
0
z.z’ = r.r’[Cos(
α

+
β
) + i.Sin(
α
+
β
)]
)]()([
''
βαβα
−+−= iSinCos
r
r
z
z
2/. MoaVrơ :
)()]([
αααα
iSinnCosnriSinCosr
nn
+=+
3/. Căn bậc n của số phức z = r.( Cos
α
+ i.Sin
α
) :
)
2
.
2

(
n
K
Sini
n
K
CosrZ
n
K
παπα
+
+
+
=
với K = 0, 1, 2, , n – 1
NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :
•
→→→
+=⇔
21
),( yexeOMyxM
• Cho A( x
A
, y
A
)
B( x
B
, y

B
)
1).
),(
ABAB
yyxxAB −−=
→
2).
2
),(
ABAB
yyxxAB −−=
Trang 18
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
3). Tọa độ trung điểm I của AB :







+
=
+
=
2
2
BA

BA
yy
y
xx
x
4). Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :







−
−
=
−
−
=
k
yky
y
k
xkx
x
BA
BA
1
.
1

.
• Phép toán : Cho
),(
21
aaa =
→
),(
21
bbb =
→
1).



=
=
⇔=
→→
22
11
ba
ba
ba
2).
),(
2211
bababa ±±=±
→→
3).
),(.

21
mamaam =
→
4).
2211
bababa +=
→→
5).
2
2
2
1
aaa +=
→
6).
0
2211
=+⇔⊥
→→
bababa
7).
2
2
2
1
2
2
2
1
2211

.
,
bbaa
baba
baCos
++
+
=






→→
B. ĐƯỜNG THẲNG
1/. Phương trình tham số :



+=
+=
tayy
taxx
20
10
Vectơ chỉ phương
),(
21
aaa =

→
2/. Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A
2
+ B
2

≠
0)
• Pháp vectơ
),( BAn =
→

y

• Vectơ chỉ phương
),( ABa −=
→
( hay
),( ABa −=
→
)
• Hệ số góc
)0( ≠−= B
B
A
K

0

x

3/. Phương trình pháp dạng :
0
222222
=
+
+
+
+
+ BA
C
y
BA
B
x
BA
A
4/. Phương trình đường thẳng qua M( x
0
, y
0
) có hệ số góc K :
)(
00
xxKyy −=−
5/. Phương trình đường thẳng qua A(x
A
, y
A
) và B(x
B

, y
B
) :
Trang 19
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
(x – x
A
)(y
B
– y
A
) = (y – y
A
)(x
B
– x
A
)
hay
AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx
−
−

=
−
−
6/. Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn)
1=+
b
y
a
x
7/. Phương trình chính tắc :
b
yy
a
xx
00
−
=
−







=
→
),(),,(
00
baayxM

* Quy ước :
0
0
0
00
=−⇔
−
=
−
xx
b
yyxx
0
0
0
00
=−⇔
−
=
−
yy
yy
a
xx
8/. Phương trình đường thẳng qua A(a, 0), B(0, b) ( đoạn chắn ) :
1=+
b
y
a
x

9/. Khoảng cách từ một điểm M(x
0
, y
0
) đến Ax + By + C = 0 :
22
00
BA
CByAx
+
++
10/. Vò trí tương đối của hai đường thẳng : d
1
: A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
d
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0

2
1
2
1
B
B
A
A
D =
2
1
2
1
B
B
C
C
D
x
−
−
=
2
1
2
1
C
C
A
A

D
y
−
−
=
* d
1
cắt d
2


0≠⇔ D
*



≠
=
⇔
0
0
//
21
x
D
D
dd
hay




≠
=
0
0
y
D
D
*
0
21
===⇔≡
yx
DDDdd
Chú ý : A
2
, B
2
, C
2

≠
0
d
1
cắt d
2


2

1
2
1
B
B
A
A
≠⇔
2
1
2
1
2
1
21
//
C
C
B
B
A
A
dd ≠=⇔
2
1
2
1
2
1
21

C
C
B
B
A
A
dd ==⇔≡
11/. Góc của hai đường thẳng d
1
và d
2
:
Xác đònh bởi công thức :
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
BABA
BBAA
Cos
++
+
=
ϕ
Trang 20

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
12/. Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d
1
và d
2
:
2
2
2
2
222
2
1
2
1
111
BA
CyBxA
BA
CyBxA
+
++
±=
+
++
* Chú ý :
Dấu của
→→
21

nn
Phương trình đường phân
giác góc nhọn tạo bởi d
1
, d
2
Phương trình đường phân
giác góc tù tạo bởi d
1
, d
2
– t
1
= t
2
t
1
= – t
2
+ t
1
= – t
2
t
1
= t
2
C. ĐƯỜNG TRÒN :
1/. Đònh nghóa : M ∈ (c) ⇔ OM = R
2/. Phương trình đường tròn tâm I( a, b) bán kính R :

Dạng 1 :
2 2 2
( ) ( )x a y b R− + − =
Dạng 2 :
2 2
2 2 0x y ax by c+ − − + =
Với
2 2 2
0R a b c= + − ≥
3/. Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M( x
0
, y
0
)
(x
0
– a).(x – a) + (y
0
– b).(y – b) = R
2
( Dạng 1)
x
0
x + y
0
y – a(x
0
+ x) – b(y
0
+ y) + c = 0 ( Dạng 2)

D. ELIP
PT chính tắc
Lý thuyết
2 2
2 2
2 2
1
( )
x y
a b
a b
+ =
>
2 2
2 2
2 2
1
( )
x y
a b
a b
+ =
<
Trục lớn, độ dài Ox, 2a Oy, 2b
Trục nhỏ, độ dài Oy, 2b Ox, 2a
Liên hệ a, b, c c
2
= a
2
– b

2
c
2
= b
2
– a
2
Tiêu điểm F
1
(– c, 0), F
2
( c, 0) F
1
(0,– c), F
2
( 0, c)
Đỉnh
A
1,2
( ± a, 0)
B
1,2
(0, ± b)
A
1,2
( ± a, 0)
B
1,2
(0, ± b)
Tâm sai

c
e
a
=
c
e
b
=
Đường chuẩn
a
x
e
= ±
b
y
e
= ±
Bán kính qua tiêu
MF
1
= a + ex
MF
2
= a – ex
MF
1
= b + ey
MF
2
= b – ey

Pt tiếp tuyến tại
M(x
0
, y
0
)
0 0
2 2
1
x x y y
a b
+ =
0 0
2 2
1
x x y y
a b
+ =
Pt hình chữ nhật cơ
sở
x a
y b
= ±


= ±

x a
y b
= ±



= ±

Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = 0
A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2
A
2
a
2
+ B
2
b
2
= C
2
E. HYPEBOL
Trang 21
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net

PT chính tắc
Lý thuyết
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
2 2
2 2
1
y x
b a
− =
Trục thực, độ dài Ox, 2a Oy, 2b
Trục ảo, độ dài Oy, 2b Ox, 2a
Liên hệ a, b, c c
2
= a
2
+ b
2
c
2
= a
2
+ b
2
Tiêu điểm F
1

(– c, 0), F
2
( c, 0) F
1
(0,– c), F
2
( 0, c)
Đỉnh A
1,2
( ± a, 0) B
1,2
(0, ± b)
Tâm sai
c
e
a
=
c
e
b
=
Đường chuẩn
a
x
e
= ±
b
y
e
= ±

Tiệm cận
b
y x
a
= ±
b
y x
a
= ±
Bán kính qua tiêu
M
∈
nhánh phải
MF
1
= ex + a
MF
2
= ex – a
M
∈
nhánh trái
MF
1
= – (ex + a)
MF
2
= – (ex – a)
M
∈

nhánh phải
MF
1
= ey + b
MF
2
= ey – b
M
∈
nhánh trái
MF
1
= – (ey + b)
MF
2
= – (ey – b)
Pt tiếp tuyến tại
M(x
0
, y
0
)
0 0
2 2
1
x x y y
a b
− =
0 0
2 2

1
y y x x
b a
− =
Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = 0
A
2
a
2
– B
2
b
2
= C
2
B
2
b
2
– A
2
a
2
= C
2
F. PARAPOL
Pt chính tắc
Lý thuyết
y

2
= 2px y
2
= – 2px y
2
= 2py y
2
= – 2py
Tiêu điểm
,0
2
p
F
 
 ÷
 
,0
2
p
F
 
−
 ÷
 
0,
2
p
F
 
 ÷

 
0,
2
p
F
 
−
 ÷
 
Đường chuẩn
2
p
x = −
2
p
x =
2
p
y = −
2
p
y =
Điều kiện tiếp xúc
với Ax + By + C = 0
B
2
p = 2AC B
2
p = – 2AC A
2

p = 2BC A
2
p = – 2BC
NHỚ 25 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Trang 22
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :
•
( )
1 2 3
, ,M x y z OM x e y e z e
→ → → →
⇔ = + +
•
1 2 3 1 1 2 2 3 3
( , , )a a a a a a e a e a e
→ → → → →
= ⇔ = + +
• Cho
( , , ), ( , , )
A A A B B B
A x y z B x y z
1).
( , , )
B A B A B A
AB x x y y z z
→
= − − −
2).

2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB x x y y z z= − + − + −
3). Tọa độ trung điểm I của AB :
2
2
2
A B
A B
A B
x x
x
y y
y
z z
z
+

=


+

=


+

=



4). Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :
1
1
1
A B
A B
A B
x kx
x
k
y ky
y
k
z kz
z
k
+

=

−

+

=

−


+

=

−

• Phép toán : Cho
1 2 3
( , , )a a a a
→
=
1 2 3
( , , )b b b b
→
=
1).
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
→ →
=


= ⇔ =


=


2).
1 1 2 2 3 3
( , , )a b a b a b a b
→ →
± = ± ± ±
3).
1 2 3
( , , )m a ma ma ma
→
=
4).
1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b
→ →
= + +
5).
2 2 2
1 2 3
a a a a
→
= + +
6).
1 1 2 2 3 3
0a b a b a b a b
→ →
⊥ ⇔ + + =
7).
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3
,
.
a b a b a b
Cos a b
a a a b b b
→ →
+ +
 
=
 ÷
 
+ + + +
8). Tích vô hướng của hai Vectơ
3 3
2 1 1 2
2 3 3 1 1 2
, , ,
a a
a a a a
a b
b b b b b b
→ →
 
 
=
 ÷
 
 ÷
 

 
Trang 23
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Điều kiện đồng phẳng :
, ,a b c
→ → →
Đồng phẳng
, 0a b c
→ → →
 
⇔ =
 
 
* Diện tích tam giác ABC :
1
,
2
S AB AC
→ →
 
=
 
 
B. PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG :
1/. Phương trình tham số :
0 1 1 1 2
0 2 1 2 2 1 2
0 3 1 3 2
,( , )

x x a t b t
y y a t b t t t R
z z a t b t
= + +


= + + ∈


= + +

Cặp Vectơ chỉ phương ( VCP)
1 2 3 1 2 3
( , , ), ( , , )a a a a b b b b
→ →
= =
2/. Phương trình tổng quát :
Ax + By + Cz + D = 0
( , , )n A B C
→
=
Vectơ pháp tuyến ( VPT)
Đặc biệt :
• By + Cz + D = 0 song song trục ox
• Cz + d = 0 song song mặt phẳng oxy
• Ax + By + Cz = 0 qua gốc tọa độ
• By + Cz = 0 chứa trục ox
• z = 0 mặt phẳng oxy
3/. Phương trình mặt phẳng qua M( x
0

, y
0
, z
0
) ,có VPT
( , , )n A B C
→
=
là:
A(x – x
0
) + B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0
4/. Phương trình mặt phẳng theo các đoạn chắn tên các trục tọa độ:
1
x y z
a b c
+ + =
5/. Cho α : A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0

β: A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
a/. Góc giữa 2 mặt phẳng : Tính bởi công thức :
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
.
A A B B C C
Cos
A B C A B C
ϕ
+ +
=
+ + + +
b/. Vuông góc :
1 2 1 2 1 2
0A A B B C C
α β
⊥ ⇔ + + =
c/. Vò trí tương đối :
• α cắt β
1 1 1 2 2 2
: : : :A B C A B C⇔ ≠

•
1 1 1 1
2 2 2 2
A B C D
A B C D
α β
≡ ⇔ = = =
•
1 1 1 1
2 2 2 2
//
A B C D
A B C D
α β
⇔ = = ≠
Với A
2
, B
2
, C
2
, D
2
≠ 0
d/. Phương trình của chùm mặt phẳng có dạng
1 1 1 1 2 2 2 2
( ) ( ) 0m A x B y C z D n A x B y C z D+ + + + + + + =
Với m
2
+ n

2
≠ 0 và α cắt β
Trang 24
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
C. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG:
1/. Phương trình tham số :
0 1
0 2
0 3
,
x x a t
y y a t t R
z z a t
= +


= + ∈


= +

Với
1 2 3
( , , )a a a a
→
=
Vectơ chỉ phương
2/. Phương trình tổng quát :
1 1 1 1

2 2 2 2
0
:
0
A x B y C z D
d
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =

Với
1 1 1 2 2 2
: : : :A B C A B C≠
2 2 2
1 1 1
0A B C+ + >
2 2 2
2 2 2
0A B C+ + >
d có Vectơ chỉ phương là
1 2
,a n n
→ → →
 
=
 
 
3/. Phương trình đường thẳng qua A(x

A
, y
A
, z
A
), B(x
B
, y
B
, z
B
) là
A A A
B A B A B A
x x y y z z
x x y y z z
− − −
= =
− − −
D. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
1/. Hai đường thẳng :
d qua M(x
0
, y
0
, z
0
) có Vectơ chỉ phương
1 2 3
( , , )a a a a

→
=

'
d
qua
' ' '
0 0 0
( , , )N x y z
có Vectơ chỉ phương
1 2 3
( , , )b b b b
→
=
* d, d’ cùng nằm trong mặt phẳng
, . 0a b MN
→ → →
 
⇔ =
 
 
* d chéo d’
, . 0a b MN
→ → →
 
⇔ ≠
 
 
* Góc giữa d và d’ là :
1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
a b a b a b
Cos
a a a b b b
ϕ
+ +
=
+ + + +
2/. Đường thẳng và mặt phẳng :
• d qua M(x
0
, y
0
, z
0
) có Vectơ chỉ phương
1 2 3
( , , )a a a a
→
=
• mặt phẳng (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0 có vectơ pháp tuyến
( , , )n A B C
→
=
* d // (
α

)
0 0 0
. 0
0
a n
Ax By Cz D
→ →


=
⇔

+ + + ≠


* d cắt (
α
)
. 0a n
→ →
⇔ ≠
* d
α
⊂
0 0 0
. 0
0
a n
Ax By Cz D
→ →



=
⇔

+ + + =


Trang 25
WWW.ToanCapBa.Net