Ôn tập nguyên hàm và tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.22 MB, 43 trang )
ltđh
Trang: 1
VẤN ĐỀ 1 TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1) 3x
2
– 2x + 5 2)
3
1
x
x
3)
3
23
3523
x
xxx
4)
32
916
4
x
x
5)
x
x
1
6)
3
2
x
xxx
7)
2
2
2
11
x
x
x
x
8)
5
2
3
2 x
xx
9)
1
x
xx
10)
3
42
2
351
x
xxx
11)
3
44
2
x
xx
12)
2
1
x
x
Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
6
)54( x
2)
2
)34(
1
x
3)
3
12 x
4)
4
3
)23(
1
x
5)
x56
1
6)
11
1
xx
7)
)2)(3(
1
xx
8)
23
173
2
x
xx
9)
32
54
x
x
10)
54
1
2
xx
11)
22
1
ax
12)
2
1
2
xx
11)
72
1
2
x
12)
65
1
2
xx
13)
169
1
2
xx
ltñh
Trang: 2
14)
34
1
2
x
15)
6
1
2
xx
16)
9124
1
2
xx
Baøi 3: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây :
1)
CosxSinx
xCos
2
2) Sin3x.Cos3x 3)
144
1
24
xCosxCos
4) (3 – 2Cosx)
2
5) Sin
4
x 6) Cos
3
3x
7) Sin5x.Cos2x 8) (2tgx – 5)
2
9) (3 – Sin2x)(2 + 5Cos2x)
10) Cos
4
x 11) (2Cos
2
3x – 1)Sin
2
3x
12) Cosx.Cos3x.Cos5x 13) Sin
3
x.Cos
3
x
14) (tg
2
x – 3)(2Cotg
2
+ 5) 15)
2
3
2
Sinx
Cosx
16) (3 – tgx)(5 + 4Cotgx) 17) Sin
2
x.Cos
4
x 18) Cos
6
x
Baøi 4: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây :
1)
2
8
3
x
x
e
e
2)
2
43
xx
3)
xx
ba
32
.
4)
x
xx
m
ba
5)
2
23 xx
ba
6)
1322
5.3.2
xxx
7)
xx
e 2.
2
8)
5
23
ln4ln xx
9)
xx
x
2
43lnln2
10)
xxx
1052
11
Baøi 5: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây :
1)
82
35
2
xx
x
2)
252
73
2
xx
x
3)
)1)(4(
1
2
2
xx
x
4)
22
1
23
xxx
5)
xxx 34
1
23
6)
3103
1
2
xx
x
7)
)4)(9(
22
2
xx
x
8)
)12)(1(
15
3
xx
x
9)
)2)(1)(1(
1
3
xxx
xx
Baøi 6: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây :
1)
96
17
2
xx
x
2)
3
2
)2(
1
x
x
3)
22
4
)1()1( xx
x
4)
2
)3)(2( xx
x
5)
4
)1(
1
x
x
6)
)3()1(
1
3
2
xx
x
ltđh
Trang: 3
Bài 7: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
103
25
2
xx
x
2)
1
2
3
x
x
3)
1
1
3
x
4)
1
1
4
x
5)
12
1
2
xx
6)
)1)(1(
12
2
2
xx
xx
7)
2
753
2
23
x
xxx
8)
)82()2)(1(
157
22
3
xxxx
xx
VẤN ĐỀ 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
4
2
dxx.
2)
1
0
2
dxx .
3)
2
1
2
x
dx
4 )
3
1
4 dxx
5)
2
1
2
2
2
2
dx
x
x
6)
2
2
1 dxx .
7)
3
3
2
1 dxx .
8)
4
1
2 dxx .
9)
2
0
2
32 dxxx .
10)
5
3
22 dxxx .
11)
1
1
2
12 dxxx .
12)
2
0
2
1 dxx .,min
13)
3
0
2
dxxx .,max
14)
2
0
2
)23,( dxxxMax
15)
1
0
dxaxx
(a > 0) 16)
2
1
2
)1( dxaxax
17)
0
4
dxxCos .
18)
4
0
5
dxtgxxCos
19)
3
22
6
.
dx
Sin xCos x
20)
2
3
2
4
(3 2 )Cotg x dx
Cos x
21)
3
3
2
6
(1 ).Sin x dx
Sin x
22)
1
4
2
2
0
1
x
dx
x
ltđh
Trang: 4
23)
0
1
24 xx
dx
24)
1
0
31
dx
xx
25)
2
2
Sinx dx
26)
2
1
2
0
4
x
dx
x
27)
1
2
0
2x x m dx
28)
1
2
0
32
dx
xx
29)
1
2
0
44
dx
xx
30)
1
2
0
( 3)
x
e dx
31)
1
0
( 3.2 )
xx
e dx
32)
3
8
22
8
.
dx
Sin xCos x
33)
3
2
0
4
1
Sin x
dx
Cosx
34)
2
0
1
1
Cosx
dx
Cosx
35)
42
3
2
1
26
4
xx
dx
x
36)
2 5 3 5
2
23
1
4.3 5.3
3
xx
x
dx
37)
4
2
1
6 9.x x dx
38)
2
32
1
2 2 .x x x dx
39)
4
32
0
2.x x x dx
40)
3
0
2 4 .
x
dx
41)
22
3
6
2.tg x Cotg x dx
42)
0
1 2 .Cos x dx
Bài 2: Cho hai số nguyên p và q khác nhau . Tính :I =
2
0
.CospxCosqxdx
Bài 3: Cho
1
0
.)( dxtetJ
x
với t R
1) Tính J(t) 2) Tìm MinJ(t)
Bài 4: Chứng minh rằng nếu
22
lny x x a
thì
22
1
'y
xa
(a> 0)
Tính :
22
0
.
a
I x a dx
Bài 5: Chứng minh rằng nếu
22
lny x x a
thì
22
1
'y
xa
(a> 0)
ltđh
Trang: 5
Tính :
22
0
.
a
I x a dx
Bài 6: Cho hàm số :
2
2
21
( ) ln
21
xx
Fx
xx
1) Tính đạo hàm của
()Fx
.
2) Tính tích phân
2
1
4
0
1
1
x
I dx
x
VẤN ĐỀ 3 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
63
1
3
2
xx
x
2)
3
6
2
x
x
3)
58
83
3
2
xx
x
4)
910
36
2
xx
x
5)
6
2
1 x
x
6)
23
5
)75(
6
x
x
7)
5
2
)1( x
x
8)
56
24
xx
x
9)
24
7
)1( x
x
10)
22
3
)1(
2
x
xx
11)
56
24
xx
x
12)
1
1
4
2
x
x
Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
1
0
3
1x
dxx.
2)
4
1
2
1xx
dx
3)
1
0
3
)1(
2
dx
x
x
4)
1
0
6
4
1
1
dx
x
x
5)
1
3
0
.
(3 1)
xdx
x
6)
1
2
1
4
2
1
1
dx
x
x
7)
2
1
3
)1(xx
dx
8)
1
0
2
5
1
.
x
dxx
9)
1
2
0
4 4 3
dx
xx
ltủh
Trang: 6
10)
1
2
1
2 . 1
dx
x xCos
(0 )
11)
1
42
0
43
dx
xx
12)
2
2
4
1
1
1
x
dx
x
13)
1
42
0
( 1)
10 9
x dx
xx
14)
1
3
0
1
dx
x
15)
1
22
0
( 3 2)
dx
xx
16)
1
2
5
(2 3)
4 13
x dx
xx
17)
2
2
1
(2 5)
6
x dx
xx
Baứi 3: Tớnh tớch phaõn caực haứm soỏ sau ủaõy :
1)
0
1
92
)1( dxxx
2)
5
4
20
)4( dxxxI
3)
1
0
19
.)1( dxxx
4)
1
0
635
.)1( dxxx
Baứi 4: Cho haứm soỏ :
2
42
()
( 2)( 1)
x
fx
xx
1) Tỡm A vaứ B sao cho
2
()
21
A Bx
fx
xx
2) Tớnh
0
( ) ( )
t
F t f x dx
vụựi t > 0
3) Tỡm
()
t
LimF t
Baứi 5: Tớnh tớch phaõn caực haứm soỏ sau ủaõy :
1) Sin
5
x 2)
3
2
xCos
Cosx
3) tgx
4)
xCosxtg
22
)3(
1
5)
CosxSinx 43
1
6)
3
2
.
1
CotgxxSin
7)
1
2
3
xCos
xSin
8)
14
2
3
xSin
xCos
9) Sin
7
x.Cos
2
x
10)
xCosSinxCosxxSin
22
54
1
11)
Cosx3
1
12)
xCos
xSin
6
2
13)
CosxxSin .
3
14)
xSinxCos
22
27
1
ltñh
Trang: 7
15) Cos
2
x.Sin
3
x 16)
xSin
4
1
17)
xCos
xCosSinx
2
3
1
.
18)
SinxxCos .
5
19)
CosxxSin .
1
2
20)
xCosxSin
22
.
1
21)
xCosxSin
CosxSinx
44
.
22)
xCos
Cosx
22
23)
xCos
Cos x
2
24)
3
Cos xSinx
Cos xSinx
25)
CosxbSinxa
1
26) Sin
4
x.Cos
5
x
27) Sin
2
x.Cos
4
x 28)
xCos
xSinSix
2
3
39)
xSin
xCos
4
2
30) Cotg
3
x 31) tg
4
x 32)
SinxxSin
xCos
2
3
33)
CosxSinxxSin
xCos
.4
2
2
34)
xCosxSin
CosxSinx
23
43
.
Baøi 6: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây :
1)
3
0
2
tgxdxxSin .
2)
2
0
31
dx
Cosx
Sinx
3)
2
0
3
dxCosxxSin
4)
2
0
dxCosxe
Sinx
5)
6
0
41
dxCosxSinx
6)
2
0
2
Sinx
dx
7)
4
0
4
xCos
dx
8)
dxxCosxSin
3
2
0
2
9)
dxxSinxCos .
2
0
33
10)
3
4
4
.
dxxtg
11)
3
4
23
dx
xSin
SinxCosx
12)
2
0
534
67
dx
CosxSinx
CosxSinx
13)
2
0
3
.
dxxCos
14)
2
0
27
dx
xCos
Cosx
15)
2
0
2
711
dx
xCosSin x
Cosx
16)
0
1.Sinx dx
17)
6
2
0
.
65
Cosx dx
Sinx Sin x
18)
3
4
3
.
dxxtg
ltđh
Trang: 8
19)
0
21
dx
xSin
SinxCosx
20)
4
0
21
1
dx
xSin
21)
2
0
32
)1(2
dxxSinxSin
22)
2
0
3
)1(.
dxCosxCosxSinx
23)
4
0
44
4
dx
xCosxSin
xSin
24)
2
0
66
6
dx
xCosxSin
xSin
25)
0
3
.5. dxxCosxCos
26)
4
0
1
tgx
dx
27)
4
0
3
)2(
CosxSinx
dxCosxSinx
28)
4
0
2
3
dx
xCos
xSin
29)
2
0
Co sxSinx
dx
30)
2
0
2
CosxSinx
dx
31)
2
0
1
Cosx
Cosxdx
32)
2
6
221
dx
CosxSinx
xCosxSin
33)
4
0
2
21
dx
xCos
xSin
34)
2
3
3
3
.
dxCotgx
xSin
SinxxS in
35)
1
0
4
.CosxxSin
dx
36)
2
0
2
.4.
dxxCosxCos
37)
2
0
3
)(
.4
CosxSinx
dxSinx
38)
4
0
2
1
.4
xCos
dxxSin
39)
3
4
6
2
dx
xCos
xSin
40)
3
6
6
.
xSinSinx
dx
41)
0
.dxSinxCosx
42)
2
2 2 2 2
0
SinxCosxdx
a Cos x b Sin x
43)
2
0
1.Sinx dx
44)
2
4
4
dx
Sin x
Bài 7: Tìm hai số A, B đề hàm số h(x) =
2
2
2
Sinx
xSin
có thể biểu diễn
dưới dạng :h(x) =
Sinx
CosxB
Sinx
CosxA
2
2
2
, từ đó tính J =
2
2
)(
dxxh
Bài 8: Xác đònh A , B , C sao cho :
1 ( 2 3) ( 2 )Sinx Cosx A Sinx Cosx B Cosx Sinx C
ltđh
Trang: 9
Từ đó tính :
2
0
( 1)
23
Sinx Cosx dx
Sinx Cosx
Bài 9: Cho
()
Sinx
fx
Cosx Sinx
1) Xác đònh A , B , C sao cho :
()
Cosx Sinx
f x A B
Cosx Sinx
Bài 10: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
7
2
x
x
e
e
2)
xx
2
ln1.
1
3) Cos(2e
x
– 3) . e
x
4) x.tg(x
2
+ 1) 5)
x
xCotg
1
.
2
6)
1
1
x
x
e
e
7)
xx
xx
49
2.3
8)
xx
5
ln.
1
9)
4
2
x
x
e
e
10)
)ln1.(
ln
2
xx
x
11)
x
x
e
e
2
1
1
12)
xx
x
ln1.
ln
13) (2e
x
+3)
2
.e
x
Bài 11: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
dxxe
x
.
1
0
2
2)
dx
x
e
x
.
4
1
3)
dx
x
x
e
.
ln
1
1
4)
dx
x
xxx
.
ln.
1
0
2
2
1
1
5)
2ln
0
1
1
dx
e
e
x
x
6)
ln2
2
2
0
3
32
xx
xx
ee
dx
ee
7)
2
1
1 ln
e
x
dx
x
8)
1
2
0
(1 )
x
x
e
dx
e
9)
1
0
1
x
x
e
dx
e
10)
e
dx
xx
x
1
2
)ln1(
ln
11)
e
dx
x
x
1
2
ln2
12)
2
1
2
ln
dx
x
x
13)
1
0
2
2
1
)1(
dx
e
e
x
x
14)
2
1
2
)1ln(
dx
x
x
15)
1
0
2
3
x
e
dx
ltñh
Trang: 10
16)
3ln
0
1
x
e
dx
17)
e
x
dxx
2
1
2
)1(
.ln
18)
1
0
2
)1ln(. dxxx
19)
1
0
4
x
dx
e
20)
2
1
1
x
dx
e
21)
2
0
54
xx
dx
ee
22)
2
2
0
1
x
x
e
dx
e
23)
2
2
11
ln ln
e
e
dx
xx
24)
1
1 ln
e
x
I dx
x
Baøi 12: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây :
1)
1)1(
21
2
xx
x
2)
1
1
1
1
3
xx
x
3)
1.
1
xx
4)
11
1
x
5)
xx 25.
7)
3
31 x
x
8)
)53)(2(
1
32
2
xxx
x
9)
3
23
1. xx
Baøi 13: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây :
1)
)(
3
3
xxx
x
2)
3
)1(
1
xx
3)
3
1
1
xx
4)
4
1212
1
xx
6)
3
11
1
xx
7)
x
xx
3
32
8)
xx
x
3
4
9)
3
3
2
x
x
Baøi 14: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây :
1)
54
1
2
xx
2)
143
1
2
xx
3)
182
43
2
xx
x
4)
1
1
2
xx
5)
86
43
2
xx
x
6)
34
1
2
xx
x
Baøi 15: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây :
1)
32)1(
1
2
xxx
2)
125.
1
2
xxx
3)
1.
1
2
xx
ltñh
Trang: 11
4)
33).1(
23
2
xxx
x
5)
xxx 2).2(
1
2
6)
122
1
2
xxx
x
Baøi 16: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây :
1)
x
xa
22
(a > 0) 2)
x
xa
22
(a > 0) 3)
2
2
1
x
x
4)
22
1. xx
5)
22
1
xax
(a > 0) 6)
1.
1
23
xx
7)
1.
1
2
xx
x
9)
2
1)1(
1
xx
10)
2
2
1
1
x
x
11)
2
3
1 x
x
12)
39
1
2
x
Baøi 17: Tính tích phaân caùc haøm soá sau ñaây :
1)
1
32
0
. 1 .x x dx
2)
dxx .
2
0
2
4
3)
2
23
0
(4 ) .x x dx
4)
dxxx
1
0
3 23
1.
5)
dxxx
1
0
1
6)
1
0
3
1 dxxx
7)
dx
x
x
.
1
0
3 3
2
1
8)
6
2
23
9
dx
xx
9)
2
4
43
3
4.x dx
x
10)
1
0
32
.)1( dxx
11)
7
0
3
2
3
1
.
x
dxx
12)
1
0
12x
xdx
13)
2
0
3
.
23
1
dx
x
x
14)
2
2
0
2
2
1
.
x
dxx
15)
3
7
0
3
13
)1(
x
dxx
16)
1
0
815
.31 dxxx
17)
3
0
2
35
1
2
dx
x
xx
18)
3
0
2
1
1
dx
x
x
19)
2
0
32
.1. dxxx
20)
2
0
3
23
1
dx
x
x
21)
1
0
2
2
1
)(
x
dxxx
ltñh
Trang: 12
22)
1
0
1)1(
n
nn
xx
dx
(n = 1 , 2 …) 23)
2
1
3
1 xx
dx
24)
a
dxxax
0
222
.
(a > 0) 25)
1
0
22
.1. dxxx
26)
1
0
23
.1. dxxx
27)
4
7
2
9. xx
dx
28)
3
1
0
22
1)12( xx
dx
29)
1
1
2
11 xx
dx
30)
3
2
2
1. xx
dx
31)
1
0
2
3
1
.
xx
dxx
32)
2
2
2
2
1
1
dx
xx
x
33)
3
0
25
1. dxxx
34)
1
0
.1. dxxx
n
35)
1
0
2
1
1
dx
x
x
36)
1
6
3
0
1
x
dx
x
37)
1
2
0
(3 4)
2 6 1
x dx
xx
38)
0
2
1
( 1) 2 3
dx
x x x
39)
1
2
0
(3 2)
( 1) 3 3
x dx
x x x
40)
2
22
0
(2 1) 4
dx
xx
41)
1
0
2
x
x dx
x
42)
2
22
1
1
dx
x x x
43)
1
2
0
(2 1)
42
x dx
x x x
44)
2
3
2
1
3
3
x x x dx
x x x
45)
1
2
22
1
2
dx
x x x x
46)
2
22
1
( 1)
2 2 3
x dx
x x x x
46)
1
2
3 2 3 2
0
(6 4 )
2
x x dx
x x x x
:
BÀI TẬP
CÓ
ltñh
Trang: 13
HƯỚNG DẪN
1/I =
e
2
1
lnx
dx
x(ln x 1)
I =
2
0
sinx.ln(1 cosx)dx
2/I =
e
1
sin(lnx)
dx
x
1. I =
1
0
23
1 dxxx
; Đs:
15
2
HD: Phân tích
1
0
23
1 dxxx
=
1
0
22
1 x.xx
;
Đặt: t=
2
1 x
t
2
= 1 –x
2
tdt = -xdx
(Hay đặt t = 1-x
2
)
2. I =
4
0
2
9 xdx.x
; Đs:
3
98
3. I =
2
0
23
4 dx.xx
; Đs:
15
64
4. I =
2
0
35
8 dx.xx
; Đs:
2
45
512
5. I =
2
0
23
2 dx.xx
; Đs:
15
2816
6. I =
1
0
47
1 dxxx
; Đs:
15
1
7. I =
3
0
23
9 dxxx
; Đs:
5
162
8. I =
3
0
23
16 dxxx
; Đs:
15
74132048
9. I =
3
0
1x
xdx
; Đs:
3
8
10. I =
1
0
3
2
1dxx.x
; Đs:
122
8
3
3
11. I =
2
1 3
2
2x
dxx
HD: đặt t =
2
3
x
t
2
=
3
x
+2
2tdt=3
2
x
dx;
2
x
dx =
3
2
tdt
Đổi cận: x: 1 2
ltñh
Trang: 14
t:
3
10
I =
10
3
3
2
t
tdt
=
10
3
3
2
dt
=
10
3
3
2
t
=
)( 310
3
2
12. I =
1
0 2
1 x
xdx
; Đs:
12
13. I =
1
0
22
1 dxxx
; HD: đặt x = sint ; Đs :
16
14. I =
2
0
xdxsin.e
xcos
; Đs: e-1
15.
4
0
2
2xdxcose
xsin
; Đs:
2
1e
16. I =
0
xdxcos.e
xsin
; Đs: e
0
-1= 0
17. I =
4
0
2
2xdxsine
xcos
Đặt : t = cos2x
dt = -2sin2xdx
sin2xdx= -
2
1
dt
x 0
4
t 1 0 I =-
2
1
0
1
dte
t
=
2
1
1
0
dte
t
=
2
1
1
0
t
e
=
)e( 1
2
1
18. I =
0
xdxsin)xe(
xcos
; Đs: e-
e
1
+
I =
0
xdxsine
xcos
+
0
xdxsinx
= I
1
+I
2
I
1
=
0
xdxsine
xcos
=
0
)x(cosde
xcos
19. I =
2
0
2
xdxcos)xe(
xsin
; Đs: e+
4
2
-3
20. I =
e
dx
x
)xsin(ln
1
; Đs:1-cos1
21. I =
3
1
1
e
xlnx
dx
; Đs: 2
ltñh
Trang: 15
22. I =
2
0
2
4 x
dx
; HD: Đặt x = 2tgt (t
22
;
) Đs:
8
23. I =
a
xa
dx
0
22
; HD: Đặt x = 3tgt (t
22
;
) Đs:
12
24. I =
4
0
2
16 x
dx
; HD: Đặt x = 4tgt (t
2
;
2
) Đs:
16
25. I =
3
0
2
3 x
dx
; HD: Đặt x =
3
tgt (t
22
;
) Đs:
12
3
26. I =
a
xa
dx
0
22
; HD: Đặt x = atgt (t
22
;
,a>0) Đs:
a4
27. I =
1
0
2
4 x
dx
; HD: Đặt x = 2sint (t
22
;
) Đs:
2
28. I =
2
3
0
2
9 x
dx
; HD: Đặt x = 3sint (t
22
;
)
29. I =
2
0 2
16 x
dx
; HD: Đặt x = 4sint (t
22
;
)
30. I =
2
2
0
2
2 x
dx
; HD:Đặt x =
2
sint;t
2
;
2
31. I =
2
0
22
a
xa
dx
; HD: Đặt x = asint (t
22
;
)
32. I =
3
3
2
dx
xcos
xsinx
; HD: Đặt:
sin
2
cos
ux
xdx
dv
x
Đs:
2
3
2
33
31
4
9
3
2
ln)ln(
33. I =
2
1 sin2xdx
0
; Đs: 2
2
-2
34. I =
2
1 sinxdx
0
ltñh
Trang: 16
35. I =
4
ln(1 tgx)dx
0
36. I =
6
cos x
2
dx
4
sin x
4
37. I =
1
1
22
1 )x(
dx
38. I =
4
0
22
dx
xcosxsin
xcosxsin
39. I =
3
6
22
2
dx
xsin.xcos
xcos
40. I =
2
4
22
22
x
cos
x
sin
dx
; Đs:
)( 33
3
4
41. I =
2
0
2
1
2
dx
xcos
xsin
; Đs: ln2
42. I =
2
0
22
1
2
dx
)xcos(
xsin
; Đs:
2
1
HD: Đặt t = 1+cos
2
x
dt = -2cosxsinxdx= -sin2xđx
x 0
2
t 2 1
I =
1
2
2
t
dt
=
2
1
2
dtt
=
2
1
1
1
t
= -
5
=
2
1
43. I =
4
0
221
2
dx
xsin
xcos
; Đs :
3
4
1
ln
44. I =
4
0
2
21
dx
xcos
xsin
; Đs: 1+ln2
45. I =
2
0
32
xdxcosxsin
; Đs:
15
2
46. I =
3
0
2
tgxdx.xsin
HD: Biến đổi: I =
3
0
2
1 tgxdx).xcos(
ltñh
Trang: 17
=
3
0
dxxcosxsin
xcos
xsin
47. I =
4
0
1
2
dx
xcosxsin
xcos
; Đs: ln
2
3
48. I =
cos2x
4
dx
0
2
cos x
; Đs:
2
-1
I =
4
0
2
2
12
dx
xcos
xcos
=
2
0
2
1 dx)xxln(
=
4
0
2
tgxx
=
2
-1
49. I =
2
0
2
24
2
dx
xcos
xsin
50. I =
2
0
2
2
1
dx
)xsin(
xcos.xsin
Đặt t = sinx
dt = cosxdx
x 0
2
t 0 1
I =
1
0
2
2
1 t
dtt
=
1
0
2
2
1
11
dt
t
t
=
1
0
dt
-
1
0
2
1 t
dt
=
1
0
t
- J = 1 – J ( Với J =
1
0
2
1 t
dt
)
Tính J: Đặt t = tgu ( u
(-
2
;
2
))
dt =
ucos
du
2
2
1
1
t
=
utg
2
1
1
= cos
2
u
Đổi cận: t 0 1
u 0
4
J =
4
0
2
2
ucos
du
.ucos
=
4
0
du
=
4
0
u
=
4
Vậy: I = 1-
4
51. I =
2
0
3
2xdxsin.xcos
; Đs :
5
2
52. I =
2
0
5
2xdxsin.xcos
; Đs:
7
2
ltñh
Trang: 18
53. I =
4
0
3
21
2
dx
xcos
xsin
; Đs:
4
1
54. I =
2
6
3
dx
xsin
xcos
; Đs:
210
19
5
8
55. I =
2
0
2
2 )xcosx(sin
dx
56. I =
1
0
3
1 )x(
xdx
; Đs:
8
1
57. I =
1
0
2
2
1
1
dx
)x(
e)x(
x
58. I =
2
0
3
1
4
dx
xcos
xsin
; Đs: 2
59. I =
2
0
3
1
4
dx
xsin
xcos
; Đs : 4
60. I =
2
0
2
1
2
dx
xcos
xsin
; Đs: ln2
61. I =
2
1
2
1
dx
x
)xln(
; Đs:
4
3
2
e
62. I =
3
1
1
dx
x
xln
; Đs:
2
1
2
31
2
ln
63. I =
2
xdxcosxcos
2
53
; Đs: 0
64. I =
dxxsinxsin
2
2
72
; Đs:
45
4
65. I =
6
0
626 dx)xsin.x(sin
;Đs:
32
3233
66. I =
2
6
3434 dx)xsinxsinxcosx(cos
; Đs:
2
1
67. I =
3
0
5656 dx)xsinxcosxcosx(sin
; Đs:
2
1
ltñh
Trang: 19
68. I=
2
0
2
xdxcos
; Đs:
4
69. I =
2
0
2
xdxsin
; Đs:
4
70. I =
3
2
6
xdxcos
; Đs:
12
71. I =
0
2
3
dx
x
cos
; Đs:
)(
4
33
2
1
72. I =
3
0
2
3
dx
x
sin
; Đs:
2
33
4
1
73. I =
3
0
2
3xdxsin
; Đs:
6
74. I =
2
0
2
4xdxcos
; Đs:
4
75. I =
xdxsin
0
2
4
; Đs:
2
76. Chứng minh rằng:
2
0
2
xdxsin
=
2
0
2
xdxcos
77. I =
2
0
3
xdxcos
; Đs:
3
2
78. I =
2
0
3
xdxsin
; Đs:
3
2
79. I =
0
4
xdxcos
; Đs :
8
3
80. I =
0
4
xdxsin
; Đs :
8
3
81. I =
2
0
5
xdxcos
; Đs
15
8
82. I =
2
0
5
xdxsin
; Đs
15
8
83. I =
2
0
2
xdxcose
x
; Đs:
5
2
e
ltñh
Trang: 20
84. I =
2
0
xdxsin.x
; Đs: 1
85. I =
1
0
dxe.x
x
; Đs: 1
86. I =
1
0
2
dxxe
x
; Đs:
)e( 1
4
1
2
87. I =
2
0
2
32 xdxsin)xx(
; Đs:
-1
88. I =
1
0
3
1 dxe)x(
x
; Đs:
9
25
3
e
89. I =
1
0
22
1 dxe)x(
x
; Đs:
)e( 1
4
3
2
I =
e
xdxln)x(
1
1
; Đs:
)e( 3
4
1
2
90. I =
2
1
12 xdxln)x(
; Đs:ln4-
2
1
91. I =
1
0
2
1 dx)xln(x
; Đs: ln2-
2
1
92. I =
5
2
12 dx)xln(x
; Đs: 24ln4-
2
27
93. I =
5
2
2
1 dx)xln(x
; Đs:
6
1
(248ln4-105)
94. I =
2
1
2
1 dx)xln(x
; Đs:
2
5
ln5- ln2 –
2
3
95. I =
2
0
2
3xdxcose
x
; Đs: -
13
5
e
96. I =
6
0
32 xdxsin)x(
; Đs:
9
5
97. I =
2
0
2
xdxsinx
; Đs;
2
-2
98. I =
0
2
xdxsinx
; Đs:
2
-4
99. I =
2
0
2
xdxcosx
;
4
2
-2
ltñh
Trang: 21
100. I =
4
0
2
dx)xsin(
; Đs: 2
101. HD: Biến đổi: I =
4
0
2
dx
x
)xsin(x
; đặt t =
x
…
102’. I =
4
0
cos x
; HD đặt t =
x
102. I =
3
2
3
2
0
sin xdx
; Đs HD: Biến đổi I =
2
3
2
0
3
2
3
3
2
dx
x
xsinx
; đặt u =
3
x
103. I =
3
6
2
dx
xcos
)xln(sin
; Đs:
6
4
3
3
3
ln
104. I =
2
0
2
1 dx)xxln(
; Đs: 2ln(
5
-2)+
5
-1
105. I =
2
1
dx)xcos(ln
; Đs:sin(ln2)+cos(ln2)-
2
1
106. I =
3
4
2
4 dxx
; Đs:
3
71
107. I =
3
0
2
23 dxxx
; Đs:
6
11
108. I =
6
5
2
45xx
dx
; Đs:
5
8
3
1
ln
109. I =
3
2
2
232 xx
dx
; Đs
3
4
5
1
ln
110’. I =
3
2
2
2x 1
dx
x 5x 4
110’’ I =
4
2
1
dx
x x 1
HD. xét
2
1
x x 1
=
2
Ax B
x
+
C
x1
=
2
2
(Ax B)(x 1) Cx
x (x 1)
=
22
2
(Ax Ax Bx B Cx
x (x 1)
=
2
2
(A C)x (A B)x B
x (x 1)
ltñh
Trang: 22
A C 0
A B 0
B1
A= -1; B=1; C =1
2
1
x x 1
=
2
1x
x
+
1
x1
=
2
1
x
-
1
x
1
x1
110. I =
4
0
1
dx
xcos
xsinx
;
HD: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần:
Đặt:
xcos
dx
dv
xsinxu
1
du (1 cosx)dx
dx x
v tg
1 cosx 2
Tính :
xcos
dx
1
;
đặt : t =
2
x
tg
dt =
2
2
2
x
cos
dx
=
dx
)
x
tg(
2
2
1
2
=
dx
t
2
)1(
2
dx =
2dt
2
1t
Tính :
xcos1
1
=
2
2
1
1
1
1
t
t
=
2
22
1
11
1
t
tt
=
2
1
2
1
t
=
2
1
2
t
Vậy:
x
dx
1
=
dt
t
t
2
2
1
1
=
dt
=t+C=
2
x
tg
+C
I =
4
0
x
(x sinx)tg
2
-
4
0
x
(1 cosx)tg dx
2
=
4
0
2
)sin(
x
tgxx
-
4
0
2
22
cos2
dx
x
tg
x
=
4
0
2
)sin(
x
tgxx
-2
4
0
2
2
sin
.
2
cos
dx
x
cox
x
x
=
4
0
2
)sin(
x
tgxx
-
4
0
sin
xdx
=
111. I =
2
2
x.cos xdx
0
; Đs:
2
1
16 4
ltñh
Trang: 23
HD: Hạ bậc
1 cos2x
2
cos x
2
trước khi tính.
112. I =
2
2
x.sin xdx
0
; Đs:
2
1
16 4
HD: Hạ bậc
1 cos2x
2
sin x
2
trước khi tính.
113. I =
x2
4
e cos xdx
0
; Đs:
10
67
2
e
HD: Hạ bậc
2
2cos1
cos
2
x
x
trước khi tính.
115. Cho I =
2
cos xcos2xdx
và
J =
2
sin xcos2xdx
; Tính I+J và I-J từ đó suy ra I,J
Đề ĐH 2004 Khối A
Tính tích phân I =
2
1
dx
1x1
x
HD:
Đặt t =
1x
t
2
= x
1
x = t
2
+1
dx =2tdt
x =1
t = 0; x =2
t =1
Ta có I =
1
0
2
tdt2
t1
1t
=2
1
0
2
dt
1t
2
2tt
=2
1
0
23
1tln2t2t
2
1
t
3
1
=2
2ln22
2
1
3
1
=
3
11
4ln2
Đề ĐH 2003 Khối A
Tính tích phân I =
32
5 2
4xx
dx
HD: Đặt t =
4x
2
dt =
4x
x
2
dx và x
2
= t
2
4
x =
5
t = 3; x =2
3
t = 4
ltñh
Trang: 24
I =
32
5 22
4xx
xdx
=
4
3
2
4t
dt
=
4
3
dt
2t
1
2t
1
4
1
=
4
3
2t
2t
ln
4
1
=
3
5
ln
4
1
Đề ĐH 2004 Khối B
Tính tích phân: I =
e
1
dx
x
xln.xln31
HD:Đặt t =
xln31
t
2
=1+3lnx
2tdt =3
x
dx
x = 1
t = 1; x = e
t =2
I =
2
1
2
2
dtt
3
1t
3
2
=
dxtt
9
2
24
=
2
1
35
3
t
5
t
9
2
=
135
116
Đề ĐH 2004 Khối D
Tính tích phân: I =
3
2
2
dxxxln
HD: Đặt
dxdv
xxlnu
2
xv
dx
xx
1x2
du
2
I =
3
2
2
xxlnx
3
2
dx
1x
1x2
=3ln6
2ln2
3
2
dx
1x
1
2
=3ln6
2ln2
3
2
1xlnx2
=3ln6
2ln2
2
ln2
= 3ln3
2
Đề ĐH 2003 Khối B
Tính tích phân: I =
4
0
2
dx
x2sin1
xsin21
HD: I =
4
0
dx
x2sin1
x2cos
ltđh
Trang: 25
Đặt t = 1+sin2x
dt = 2cos2xdx
cos2xdx=
2
1
dt
x = 0
t = 1; x =
4
t = 2
I =
2
1
t
dt
2
1
=
2
1
tln
2
1
=
2
1
ln2
Bài: (ĐH quốc gia HN 1998
Khối A)
Câu VIa.
Tính tích phân: I =
1
0
1
x
e
dx
HD: I =
1
0
1)e(e
dxe
xx
x
=
1
0
1)e(e
)e(d
xx
x
Đặt t = e
x
ta có:
I =
e
dt
tt
1
1
11
=
e
t
t
ln
1
1
=
1
2
e
e
ln
VẤN ĐỀ 5
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1) x.e
x
2) x.Cosx 3) x
2
.Cosx
4) lnx 5) e
x
.Sinx 6) x
2
.e
x
7) (3x – 5)Cos2x 8) (x
3
+ 1)lnx 9) Sin(lnx)
10) x.Cos
2
x 11)
xx ln
3
12)
1ln
2
xx
13) e
x
.Cosx 14) (x
2
+ 2x + 3)Cosx 15) e
2x
.Cosx
16) Cos(lnx) 17)
xSin
18)
x
e
19) x.tg
2
x 20) Cos
2
(lnx) 21)
xx ln.
