Nguyên Hàm và tích phân

Chúng tôi tuyển sinh các lớp 9, 10, 11, 12 các ngày trong tuần. Các em có thể học tại nhà theo
nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệm


PHẦN 1 : ĐẠO HÀM
A).TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
1). Định nghĩa :

( )
( ) ( )
0 0
lim lim
x x
f x x f x
y
f x
x x
∆ → ∆ →
+∆ −
∆
′
= =
∆ ∆
o o
o
2). Các quy tắc tính đạo hàm:
a). Đạo hàm một tổng, hiệu:
( )
1 2 1 2
′
′ ′ ′

± ± ± = ± ± ±
L L
n n
u u u u u u
b). Đạo hàm một tích:
( )
. . .u v u v u v
′
′ ′
= +
* Trường hợp đặc biệt:
v k=
(
k
là hằng số) ta được:
( )
. .k u k u
′
′
=
c). Đạo hàm một thương:
( )
2
0
.u u v u v
v
v v
′
′ ′
−

 
= ≠
 ÷
 
* Trường hợp đặc biệt:
1u =
ta được:
( )
2
1
0
v
v
v v
′
′
 
= − ≠
 ÷
 
3). Các công thức tính đạo hàm:
( ) ( )
1 *n n
u nu u n
−
′
′
= ∈ ¥
( ) ( )
2

cot
sin
u
gu u k
u
π
′
′
= − ≠
( )
( )
0
2
u
u u
u
′
′
= >
( )
u u
e e u
′
′
=
( )
sin cos .u u u
′
′
=

( )
( )
0 1ln
u u
a a au a
′
′
= < ≠
( )
cos sin .u u u
′
′
= −
( ) ( )
0ln
u
u u
u
′
′
= >
( )
2
2cos
u
tgu u k
u
π
π
′

 
′
= ≠ +
 ÷
 
( )
( )
0 1 0log ;
ln
a
u
u a u
u a
′
′
= < ≠ >
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573
7
Chuyên đề 2 :
Chúng tôi tuyển sinh các lớp 9, 10, 11, 12 các ngày trong tuần. Các em có thể học tại nhà theo
nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệm
B).BÀI TẬP:
 Ghi nhớ: Để làm các bài toán về giải phương trình, bất phương trình, chứng
minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức trong đó có chứa biểu thức
( )
, , , , ,...F x y y y y
′ ′′ ′′′
,
với
( )

y f x=
là hàm số cho trước, ta thực hiện các bước sau:
• Tìm tập xác định của hàm số
( )
y f x=
• Tính
, , ,y y y
′ ′′ ′′′
K
(có khi ta phải rút gọn hàm số
( )
y f x=
trước, sau đó
mới tính đạo hàm).
• Thay
, , ,y y y
′ ′′ ′′′
K
vừa tìm được vào biểu thức
F
, tiếp theo thực hiện theo
yêu cầu của từng bài toán.
Bài 1: Cho hàm số
( )
2
1
2
x
y x= −
. Giải phương trình

0y xy
′
+ =
.
Bài 2: Cho hàm số
2 x
y x e=
. Chứng minh đẳng thức:
( )
2xy x y
′
= +
.
Bài 3: Cho hàm số
2
2
cos
x
y =
. Chứng minh đẳng thức:
cos siny x y x y
′
− =
.
Bài 4: Cho hàm số
sin
x
y e x=
. Chứng minh rằng:
2 2 0y y y

′ ′′ ′′′
− + =
.
Bài 5: Cho hàm số
( )
2
1 cosy x x= −
.
Hãy tìm các giá trị của
x
sao cho:
( ) ( )
1 0x y y y
′′ ′
− + − =
Bài 6: Cho hàm số
4 4
cos siny x x= −
.
a. Chứng minh rằng:
2 2 0siny x
′
+ =
.
b. Giải phương trình
2 0y y
′
+ =
.
Bài 7: Cho hàm số

2
lny x=
. Giải bất phương trình
2
3y xy x y
′ ′′
+ − ≤
Bài 8: Cho hàm số
( )
2
1
x
y e x
−
= +
.
Tìm các giá trị của
x
sao cho:
2 1 0
′ ′′ ′′′
+ + +
− =
y y y y
Bài 9: Cho hàm số
( )
2
1ln
x
y e x

 
= +
 
.
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573
8
Chúng tôi tuyển sinh các lớp 9, 10, 11, 12 các ngày trong tuần. Các em có thể học tại nhà theo
nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệm
a. Giải phương trình
( )
2
1 0y x y
′ ′′
+ + =
.
b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
y
′
.
Bài 10: Cho hàm số
x
y xe
−
=
.
Chứng minh bất đẳng thức sau:
0,y y y y x
′′′ ′ ′′
+ − − > ∀ ∈ ¡
.

Bài 11: Cho hai hàm số:
( )
2
2cos cosf x x x=
;
( )
2 2
1
2
2
sin sing x x x= +
.
a. Tính
( )
f x
′
,
( )
g x
′
.
b. Chứng minh rằng:
( ) ( )
0f x g x
′ ′
+ =
.
Bài 12: Cho hàm số
( )
3 2. .y f x tg x tg x tgx= =

.
Chứng minh rằng:
( )
2 2 2
3 3 2 2f x tg x tg x tg x
′
= − −
.
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573
9
Chúng tôi tuyển sinh các lớp 9, 10, 11, 12 các ngày trong tuần. Các em có thể học tại nhà theo
nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệm
PHẦN 2 : NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN
§1. NGUYÊN HÀM:
1). Định nghĩa :
Hàm số
( )
F x
gọi là nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trên
( )
,a b
nếu
( ) ( ) ( )
, ,F x f x x a b
′
= ∀ ∈
.

Ghi nhớ : Nếu
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
thì mọi hàm số có dạng
( )
F x C+
(
C
là hằng số) cũng là nguyên hàm của
( )
f x
và chỉ những hàm số có
dạng
( )
F x C+
mới là nguyên hàm của
( )
f x
. Ta gọi
( )
F x C+
là họ nguyên hàm
hay tích phân bất định của hàm số
( )
f x
và ký hiệu là
( )

f x dx
∫
.
Như vậy:
( ) ( )
f x dx F x C
= +
∫
2). Tính chất:
a.TC1:
( ) ( ) ( )
0;kf x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
b.TC2:
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
 
 
∫ ∫ ∫
c.TC3: Nếu
( ) ( )
f x dx F x C= +
∫
thì
( ) ( )
f u du F u C= +
∫
.

3). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ
( )
a,b a 0∈ & ≠¡
:
dx x C
= +
∫
1
ln
dx
ax b C
ax b a
= + +
+
∫
( )
1
1
1
,
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫

x x
e dx e C
= +
∫
sin cosxdx x C
= − +
∫
1
ax ax
e dx e C
a
= +
∫
cos sinxdx x C
= +
∫
1
sin cosaxdx ax C
a
= − +
∫
2
2
,
cos
dx
tgx C x k
x
π
π

= + ≠ +
∫
1
cos sinaxdx ax C
a
= +
∫
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573
10
Chúng tôi tuyển sinh các lớp 9, 10, 11, 12 các ngày trong tuần. Các em có thể học tại nhà theo
nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệm
2
cot ,
sin
dx
gx C x k
x
π
= − + ≠
∫
2
1
2
,
cos
dx
tgx C x k
ax a
π
π

= + ≠ +
∫
( )
0ln ,
dx
x C x
x
= + ≠
∫
2
1
cot ,
sin
dx
gax C x k
ax a
π
= − + ≠
∫
4). Bài tập:
Ghi nhớ:
− Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu)
của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng
tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành
một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm.
Bài 1: Cho hai hàm số
( )
1 1

2
2 4
sinF x x x= +
;
( )
2
cosf x x=
.
a. Chứng minh rằng
( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
.
b. Tìm nguyên hàm
( )
G x
biết rằng
0
4
G
π
 
=
 ÷
 
.
Bài 2: Cho hàm số
( )

4 4
2 3cos cos cos
cos sin
x x x
f x
x x
+ +
=
−
.
Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
f x
biết rằng
( )
F
π π
=
.
Bài 3: Cho hàm số
( )
2
2 4cos cosf x x x=
. Tìm hàm số
( )
G x
biết rằng

( ) ( )
G x f x
′′
=
và
( )
29 1
0
144 12 32
;G G
π
 
= − = −
 ÷
 
.
Bài 4: Cho hàm số
( )
8 2 4sin cos cos cosf x x x x x=
.
a. Giải phương trình
( ) ( )
0f x f x
′′
+ =
.
b. Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số

( )
f x
biết rằng đồ thị của hàm số
( )
F x
đi qua điểm
0
8
;M
π
 
−
 ÷
 
.
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573
11
Chúng tôi tuyển sinh các lớp 9, 10, 11, 12 các ngày trong tuần. Các em có thể học tại nhà theo
nhóm hoặc cá nhân, hoặc học tại trung tâm 40 học sinh/ 1lớp. Cung cấp tài liệu, đề thi trắc nghiệm
Bài 5: Biết rằng hàm số
( )
1
sin
cos
x
F x
x
=
+
là nguyên hàm của

( )
f x
. Hãy tìm
các giá trị của
x
sao cho
( ) ( )
0f x f x
′
− =
.
Bài 6: Cho hàm số
x
y xe=
.
a. Tính
y
′
và
( )
2y
′
.
b. Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2007
x
f x x e= +
.
Bài 7: Cho hàm số

( )
sin
x
f x e x=
. Chứng minh rằng hàm số
( ) ( )
f x f x
′ ′′
−
là
nguyên hàm của hàm số
( )
2 f x
.
Bài 8: Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
3 2
2
3 3 1
2 1
x x x
f x
x x
+ + −
=
+ +
,biết rằng

( )
1
1
3
F =
. (Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003)
§2. TÍCH PHÂN :
1). Định nghĩa :
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
2). Tính chất :
a. TC1:
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
= −
∫ ∫
b. TC2:
( ) ( )
0( )
b b
a a
kf x dx k f x dx k

= ≠
∫ ∫
c. TC3:
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ± 
 
∫ ∫ ∫
d. TC4:
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
= +
∫ ∫ ∫
e. TC5: Nếu
( )
[ ]
0, ;f x x a b≥ ∀ ∈
thì
( )
0
b
a
f x dx ≥
∫
f. TC6: Nếu
( ) ( )

[ ]
, ;f x g x x a b≥ ∀ ∈
thì
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥
∫ ∫
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573
12