Phương pháp tính :Chương 4:tính gần đúng đạo hàm và tích phân

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

PHƯƠNG PHÁP TÍNH
CHƯƠNG 4
TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM & TÍCH PHÂN
•
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (11/2006)

NỘI DUNG

A- TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM
1- ĐẠO HÀM CẤP 1: SAI PHÂN 2 ĐIỂM TIẾN – LÙI, 3
ĐIỂM TIẾN – LÙI - HƯỚNG TÂM
B- TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
2 - TÍNH ĐẠO HÀM BẬC CAO
1- HỆ SỐ NEWTON-COTES
2- CÔNG THỨC HÌNH THANG & SIMPSON
3- GIẢM SAI SỐ

MINH HOẠ Ý TƯỞNG

Tính xấp xỉ: a/ Đạo hàm f’ tại mốc x
1
: f’(0.4)
( )
∫
6.0
3.0
/ dxxfb
Hàm y = f(x), hoặc xác đònh qua bảng giá trò, hoặc biểu

thức phức tạp (không dễ tìm f’ hay ∫) → Thay bằng bảng
Mốc x
k
0.3 0.4 0.6
Giá Trò y
k
= f(x
k
) 0.355 0.36 0.4
Xây dựng đa thức nội suy L(x) từ bảng {( x
k
, f(x
k
) )}, k = 0 … 2
( )
( ) ( )



==
++=
36.04.0,355.03.0
2
LL
cb xaxxL

MINH HOẠ CÔNG THỨC ĐẠO HÀM 2 ĐIỂM

2 điểm (x
0

, f(x
0
)) , (x
0
+h, f(x
0
+h))
Mốc x
0
x
0
+ h
Giá trò f(x
0
) f(x
0
+ h)
[ ]
''max,
2
,
)()(
)('
00
,
2
2
00
0
fM

hM
h
xfhxf
xf
hxx
+
==∆
−+
≈
Công thức xấp xỉ Sai số
x
0
– h x
0
x
0
+ h
h h
VD: Xấp xỉ f’(1.8) với f(x) =
lnx & h = 0.1 , 0.01 , 0.001
h Xấp xỉ C/xác f’(x
0
)
0.1 0.5555556
0.01
0.001

TỔNG KẾT XẤP XỈ ĐẠO HÀM

Xấp xỉ

đạo hàm
cấp 1
Xấp xỉ f’’(x
0
):
( )
( ) ( ) ( )
12
,
2
''
2
4
2
000
0
hM
h
hxfxfhxf
xf
=∆
−+−+
≈
3 điểm:
3
,
2
)2()(4)(3
)('
2

3000
0
hM
h
hxfhxfxf
xf
=∆
+−++−
≈
2 điểm:
2
,
)()(
)('
2
00
0
hM
h
xfhxf
xf
⋅
=∆
−+
≈
Hướng tâm:
6
,
2
)()(

)('
2
300
0
hM
h
hxfhxf
xf
⋅
=∆
−−+
≈

CÔNG THỨC XẤP XỈ TÍCH PHÂN

Hình thang:
[ ]
12
,)()(
2
3
2
hM
bfaf
ab
I
=∆+
−
≈
Simpson:

( ) ( )






+






+
+
−
≈
bf
ab
faf
ab
I
2
4
6
Sai số:
90
5
4

hM
=∆
Xấp xỉ
tích phân
( )
∫
=
b
a
dxxfI
n
ab
h
−
=
Hình thang, n đoạn chia:
Sai số:
( ) ( )






++≈
∑
−
=
n
n

k
k
xfxfxf
h
I
1
1
0
2)(
2
( )
12
2
2
hMab
−=∆
C/t Simpson, n: chẵn
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
180
,24)(
3
4
4
2120
hMab
xfxfxfxf
h
I

nkk
−
=∆+++≈
∑ ∑
+

CÔNG THỨC HÌNH THANG VỚI n ĐOẠN CHIA

Giảm h: Chia [a, b]→ n đoạn bằng nhau, độ dài h = (b– a)/n
(n+1) điểm chia: x
0
= a < x
1
= a + h < x
2
= a + 2h < … < x
n
= b
a
1
x
2
x
b
1
−
n
x
h
Sai số:

( )
12
2
2
habM
−
( ) ( )






++≈
∑
∫
−
=
n
n
k
k
b
a
xfxfxf
h
dxxf
1
1
0

2)(
2
)(
Công thức hình thang:
2 điểm đầu, cuối: hệ số 1; Các điểm
còn lại: Hệ số 2

CÔNG THỨC SIMPSON VỚI n ĐOẠN CHIA CÁCH ĐỀU

Công thức Simpson với n (số chẵn) đoạn chia bằng nhau)
a
1
x
2
x
b
1
−
n
x
h
( ) ( ) ( )
[ ]
nkk
b
a
xfxfxfxf
h
dxxf
+++=

∑ ∑
∫
+
2120
24)(
3
)(
Sai số:
( )
180
4
4
habM
−
≤∆
Trung điểm (chỉ số lẻ): hệ số 4;
2 đầu: hệ số 1; Còn lại: Hệ số 2

VÍ DUÏ

Xeùt





=
≠
=
0,1

0,
sin
)(
x
x
x
x
xf
Tính tích phaân a/ CT hình
thang, h = 0.2 b/ Simpson, h = 0.25
∫
=
1
0
)( dxxfI

TÌM SỐ ĐOẠN CHIA

a/ Công thức hình thang b/ Công thức Simpson
Tìm số đoạn chia n để xấp xỉ với sai số 10
-6
tích phân sau bằng
∫
+
=
2
0
4x
dx
I